อีกรูปแบบหนึ่งของกฎข้อแรกคือการเขียนโดยใช้ตัวแปรหลักเป็นเศษส่วนมวล ( y ซึ่งกำหนดเป็นหน่วย kg/kg เป็นต้น) จากนั้นสมการจะเปลี่ยนไปเป็น $${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i},}$$ ที่ไหน

• ดัชนีiหมายถึงชนิดพันธุ์^ที่i
• J คืออัตราการแพร่ของ ^{สารชนิด ที่}i (ตัวอย่างเช่น ในหน่วย mol/m² ^/ s)
• M คือมวลโมลาร์ของชนิด^ที่i
• ρคือความหนาแน่น ของส่วนผสม (ตัวอย่างเช่น ในหน่วย kg/ ^m³ )

เดอะ${\displaystyle \rho }$อยู่นอกตัว ดำเนินการ เกรเดียนต์ เนื่องจาก $${\displaystyle y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }},}$$ โดยที่ρsiคือความหนาแน่นบางส่วนของชนิด i

นอกจากนี้ ในระบบเคมีอื่นที่ไม่ใช่สารละลายหรือสารผสมในอุดมคติ แรงผลักดันสำหรับการแพร่กระจายของแต่ละชนิดคือความชันของศักย์ทางเคมีของชนิดนั้น จากนั้นกฎข้อแรกของฟิก (กรณีหนึ่งมิติ) สามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle J_{i}=-{\frac {Dc_{i}}{RT}}{\frac {\partial \mu _{i}}{\partial x}},}$$ ที่ไหน

• ดัชนีiหมายถึงชนิดพันธุ์^ที่i
• cคือความเข้มข้น (mol/ ^m³ )
• Rคือค่าคงที่ของแก๊สสากล (J/K/mol)
• Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์ (เคลวิน)
• μคือศักย์ทางเคมี (J/mol)

แรงขับเคลื่อนของกฎของฟิกสามารถแสดงได้ในรูปของ ความแตกต่าง ของฟิวจาซิตี้ : $${\displaystyle J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}},}$$

ที่ไหน${\displaystyle f_{i}}$ค่าฟิวจาซิตี้ในเพนซิลเวเนียคือค่าใด${\displaystyle f_{i}}$คือความดันย่อยของส่วนประกอบiในไอ${\displaystyle f_{i}^{\text{G}}}$หรือของเหลว${\displaystyle f_{i}^{\text{L}}}$ในสภาวะสมดุลระหว่างไอและของเหลว อัตราการระเหยจะเป็นศูนย์เนื่องจาก${\displaystyle f_{i}^{\text{G}}=f_{i}^{\text{L}}}$.

กฎของฟิกสำหรับส่วนผสมก๊าซไบนารีสี่เวอร์ชันมีดังต่อไปนี้ โดยถือว่า: การแพร่ความร้อนนั้นน้อยมาก; แรงภายนอกต่อหน่วยมวลเท่ากันในทั้งสองชนิด; และความดันคงที่หรือทั้งสองชนิดมีมวลโมลาร์เท่ากัน ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ เอกสารอ้างอิง^{[ 10 ]}แสดงรายละเอียดว่าสมการการแพร่จากทฤษฎีจลน์ของก๊าซลดลงเหลือกฎของฟิกเวอร์ชันนี้ได้อย่างไร: $${\displaystyle \mathbf {V_{i}} =-D\,\nabla \ln y_{i},}$$ โดยที่V คือความเร็วการแพร่ของชนิดที่iในแง่ของฟลักซ์ของชนิดนั้นคือ $${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}.}$$

นอกจากนี้ หาก${\displaystyle \นาบลา \โร =0}$ซึ่งลดทอนลงเหลือรูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดของกฎของฟิก (Fick's law) $${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-D\nabla \varphi .}$$

หาก (แทนที่หรือเพิ่มเติมจาก)${\displaystyle \นาบลา \โร =0}$) เนื่องจากทั้งสองชนิดมีมวลโมลาร์เท่ากัน กฎของฟิกจึงกลายเป็น $${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla x_{i},}$$ ที่ไหน${\displaystyle x_{i}}$คือเศษส่วนโมลของชนิดที่i

กฎข้อที่สองของฟิกสามารถอนุมานได้จากกฎข้อแรกของฟิกและการอนุรักษ์มวลในกรณีที่ไม่มีปฏิกิริยาเคมีใดๆ เกิดขึ้น: $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}J=0\Rightarrow {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)\,=0.}$$

โดยถือว่าสัมประสิทธิ์การแพร่Dเป็นค่าคงที่ เราสามารถสลับลำดับของการอนุพันธ์และคูณด้วยค่าคงที่ได้: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)=D{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi =D{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}},}$$ และด้วยเหตุนี้จึงได้รับรูปแบบของสมการของฟิก (Fick's equations) ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น

สำหรับกรณีการแพร่ในสองมิติขึ้นไป กฎข้อที่สองของฟิกจะกลายเป็น $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\,\nabla ^{2}\varphi ,}$$ ซึ่งคล้ายคลึงกับ สม การความร้อน

ถ้าค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ไม่คงที่ แต่ขึ้นอยู่กับพิกัดหรือความเข้มข้น กฎข้อที่สองของฟิกจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D\,\nabla \varphi ).}$$

ตัวอย่างที่สำคัญคือกรณีที่φอยู่ในสภาวะสมดุล กล่าวคือ ความเข้มข้นไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นส่วนซ้ายของสมการข้างต้นจึงเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ในมิติเดียวที่มีค่าD คง ที่ คำตอบสำหรับความเข้มข้นจะเป็นการเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นเชิงเส้นตามแนวแกนxในสองมิติหรือมากกว่านั้น เราจะได้ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0,}$$ ซึ่งก็คือสมการของลาปลาสโดยคำตอบของสมการนี้ นักคณิตศาสตร์เรียกว่าฟังก์ชันฮาร์มอนิก

กรณีง่ายๆ ของการแพร่กระจายตามเวลาtในมิติเดียว (โดยกำหนดให้เป็น แกน x ) จากขอบเขตที่ตำแหน่งx = 0ซึ่งความเข้มข้นคงที่ที่ค่าn คือ $${\displaystyle n\left(x,t\right)=n_{0}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),}$$ โดยที่erfcคือฟังก์ชันข้อผิดพลาด เสริม นี่คือกรณีที่ก๊าซกัดกร่อนแพร่ผ่านชั้นออกซิเดชันไปยังพื้นผิวโลหะ (ถ้าเราสมมติว่าความเข้มข้นของก๊าซในสิ่งแวดล้อมคงที่ และพื้นที่การแพร่ – นั่นคือชั้นผลิตภัณฑ์การกัดกร่อน – เป็นกึ่งอนันต์เริ่มต้นที่ 0 ที่พื้นผิวและแพร่กระจายลึกเข้าไปในวัสดุอย่างไม่มีที่สิ้นสุด) ถ้าหากพื้นที่การแพร่เป็นอนันต์ (ครอบคลุมทั้งชั้นที่มีn ( x , 0) = 0 x > 0และชั้นที่มีn ( x , 0) = n0 , x ≤ 0 แล้วคำตอบจะถูกแก้ไขโดยเพิ่มสัมประสิทธิ์ 1/2 หน้า n0 เท่านั้น(เนื่องจากการแพร่เกิดขึ้นในทั้งสองทิศทาง) กรณีนี้ใช้ได้เมื่อสารละลายที่มีความเข้มข้นn0สัมผัสกับชั้นของตัวทำละลายบริสุทธิ์ (Bokstein, 2005) ความ${\displaystyle 2{\sqrt {Dt}}}$เรียกว่าระยะการแพร่กระจายและเป็นตัววัดว่าความเข้มข้นแพร่กระจายไปไกลแค่ไหนใน ทิศทาง xโดยการแพร่กระจายในช่วงเวลาt (Bird, 1976)

เพื่อประมาณค่าฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนอย่างรวดเร็วสามารถใช้ พจน์สองพจน์แรกของ อนุกรมเทย์เลอร์ ได้:$${\displaystyle n(x,t)=n_{0}\left[1-2\left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt\pi }}}}\right)\right].}$$

ถ้าDขึ้นอยู่กับเวลา ความยาวของการแพร่กระจายจะกลายเป็น $${\displaystyle 2{\sqrt {\int _{0}^{t}D(\tau )\,d\tau }}.}$$ แนวคิดนี้มีประโยชน์สำหรับการประมาณความยาวการแพร่กระจายในช่วงวงจรการทำความร้อนและการทำความเย็น โดยที่Dเปลี่ยนแปลงไปตามอุณหภูมิ

ตัวอย่างง่ายๆ อีกกรณีหนึ่งของการแพร่กระจายคือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ของอนุภาคหนึ่ง ตัว การกระจัดเฉลี่ยกำลังสองของอนุภาคจากตำแหน่งเดิมคือ: $${\displaystyle {\text{MSD}}\equiv \left\langle \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right)^{2}\right\rangle =2nDt,}$$ ที่ไหน${\displaystyle n}$มิติ ของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ของอนุภาคเรียกว่ามิติ การแพร่ ตัวอย่างเช่น การแพร่ของโมเลกุลผ่าน เยื่อหุ้มเซลล์ที่ มีความหนา 8  นาโนเมตรเป็นการแพร่แบบ 1 มิติ เนื่องจากสมมาตรทรงกลม อย่างไรก็ตาม การแพร่ของโมเลกุลจากเยื่อหุ้มเซลล์ไปยังใจกลางของเซลล์ยูคาริโอตเป็นการแพร่แบบ 3 มิติ สำหรับต้น กระบองเพชร ทรงกระบอก การแพร่จากเซลล์สังเคราะห์แสงบนพื้นผิวไปยังใจกลาง (แกนสมมาตรทรงกระบอก) เป็นการแพร่แบบ 2 มิติ

รากที่สองของ MSD${\displaystyle {\sqrt {2nDt}}}$มักใช้เป็นตัวบ่งชี้ว่าอนุภาคเคลื่อนที่ไปไกลแค่ไหนหลังจากเวลาผ่านไป${\displaystyle t}$เวลาผ่านไปแล้ว ค่า MSD กระจายตัวอย่างสมมาตรในพื้นที่ 1 มิติ 2 มิติ และ 3 มิติ ดังนั้น การกระจายความน่าจะเป็นของขนาดของ MSD ใน 1 มิติจึงเป็นการกระจายแบบเกาส์เซียน และใน 3 มิติเป็นการกระจายแบบแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์

• ในตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันสัมประสิทธิ์การแพร่จะแปรผันตามตำแหน่งD = D ( x )ความสัมพันธ์นี้ไม่มีผลต่อกฎข้อแรกของฟิก แต่กฎข้อที่สองจะเปลี่ยนแปลงไป:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}&=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}\\&=D(x)\Delta \varphi (x,t)+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial D(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}.\end{aligned}}}$$
• ในตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันค่าสัมประสิทธิ์การแพร่จะขึ้นอยู่กับทิศทาง มันเป็นเทนเซอร์ สมมาตร D = D กฎข้อแรกของฟิกก์จึงเปลี่ยนไปเป็น$${\displaystyle J=-D\nabla \varphi ,}$$มันคือผลคูณของเทนเซอร์และเวกเตอร์:$${\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}.}$$สำหรับสมการการแพร่กระจาย สูตรนี้ให้ผลลัพธ์ดังนี้$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$$เมทริกซ์สมมาตรของสัมประสิทธิ์การแพร่D ต้องเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนจำเป็นต้องทำให้ตัวดำเนินการทางด้านขวามือ เป็น แบบวงรี
• สำหรับตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันและมีคุณสมบัติไม่เป็นไอโซโทรปิกควรนำสมการการแพร่ทั้งสองรูปแบบนี้มารวมกัน$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}&=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}\\&=\sum _{i,j=1}^{3}\left(D_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial D_{ij}(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}\right).\end{aligned}}}$$
• แนวทางที่อิงตามความคล่องตัวของไอน์สไตน์และสูตรของทีโอเรลล์นำไปสู่การสรุปทั่วไปของสมการของฟิกก์สำหรับการแพร่กระจายแบบหลายองค์ประกอบขององค์ประกอบที่สมบูรณ์แบบได้ดังนี้:$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial t}}=\sum _{j}\nabla \cdot \left(D_{ij}{\frac {\varphi _{i}}{\varphi _{j}}}\nabla \,\varphi _{j}\right),}$$โดยที่φi ความเข้มข้นของส่วนประกอบต่างๆ และDijคือเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ ในที่นี้ ดัชนีและ j เกี่ยวข้องกับส่วนประกอบต่างๆ ไม่ใช่พิกัดเชิงพื้นที่

สูตร ของแชปแมน-เอนสโกกสำหรับการแพร่ในก๊าซประกอบด้วยพจน์ที่เหมือนกันทุกประการ แบบจำลองทางกายภาพของการแพร่เหล่านี้แตกต่างจากแบบจำลองทดสอบ∂ φ = Σ D Δ φ ซึ่งใช้ได้กับการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากสมดุลสม่ำเสมอ ก่อนหน้านี้ พจน์ดังกล่าวได้ถูกนำมาใช้ในสมการการแพร่ของแม็กซ์เวลล์-สเตฟาน

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์การแพร่แบบหลายองค์ประกอบที่ไม่เป็นไอโซโทรปิก จำเป็นต้องใช้เทนเซอร์อันดับสี่ เช่นD โดยที่i , jหมายถึงองค์ประกอบ และα , β = 1, 2, 3สอดคล้องกับพิกัดเชิงพื้นที่

เมื่อ ของเหลว ที่ผสมกันได้ สอง ชนิดสัมผัสกัน และเกิดการแพร่ ความเข้มข้นระดับมหภาค (หรือเฉลี่ย) จะเปลี่ยนแปลงไปตามกฎของฟิก ในระดับเมโซสโคปิก ซึ่งอยู่ระหว่างระดับมหภาคที่อธิบายโดยกฎของฟิกและระดับโมเลกุล ซึ่ง มี การเดินแบบสุ่ม ของโมเลกุล เกิดขึ้น ความผันผวนไม่สามารถละเลยได้ สถานการณ์ดังกล่าวสามารถจำลองได้อย่างประสบความสำเร็จด้วยอุทกพลศาสตร์ผันผวนของแลนเดา-ลิฟชิตซ์ ในกรอบทฤษฎีนี้ การแพร่เกิดจากความผันผวนที่มีมิติตั้งแต่ระดับโมเลกุลไปจนถึงระดับมหภาค^{[ 12 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการอุทกพลศาสตร์แบบผันผวนนั้นประกอบด้วยพจน์การไหลของฟิก (Fick's flow term) พร้อมด้วยสัมประสิทธิ์การแพร่ที่กำหนดไว้ รวมถึงสมการอุทกพลศาสตร์และพจน์สุ่มที่อธิบายถึงการผันผวน เมื่อคำนวณการผันผวนด้วยวิธีการรบกวน การประมาณค่าอันดับศูนย์คือ กฎของฟิก การประมาณค่าอันดับแรกจะให้ค่าการผันผวน และพบว่าการผันผวนมีส่วนทำให้เกิดการแพร่ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความกำกวม ในแง่หนึ่ง เนื่องจากปรากฏการณ์ที่อธิบายโดยการประมาณค่าอันดับต่ำกว่านั้นเป็นผลมาจากการประมาณค่าอันดับสูงกว่า ปัญหานี้จึงแก้ไขได้โดย การปรับค่าสมการอุทกพลศาสตร์แบบผันผวนใหม่เท่านั้น

การดูดซับ การดูดซึม และการชนกันของโมเลกุล อนุภาค และพื้นผิว เป็นปัญหาสำคัญในหลายสาขา กระบวนการพื้นฐานเหล่านี้ควบคุมปฏิกิริยาทางเคมี ชีวภาพ และสิ่งแวดล้อม อัตราของปฏิกิริยาเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าคงที่การแพร่และกฎการแพร่ของฟิก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อปฏิกิริยาเหล่านี้เกิดขึ้นในสารละลายเจือจาง

โดยทั่วไป ค่าคงที่การแพร่ของโมเลกุลและอนุภาคที่กำหนดโดยสมการของ Fick สามารถคำนวณได้โดยใช้สมการ Stokes–Einsteinในขีดจำกัดเวลาที่สั้นมาก ในลำดับของเวลาการแพร่a ² / Dโดยที่aคือรัศมีของอนุภาค การแพร่จะถูกอธิบายโดยสมการ Langevinในเวลาที่นานขึ้นสมการ Langevinจะรวมเข้ากับสมการ Stokes–Einsteinซึ่งสมการหลังนี้เหมาะสมสำหรับเงื่อนไขของสารละลายเจือจาง ซึ่งพิจารณาการแพร่ระยะไกล ตามทฤษฎีบทความผันผวน-การกระจายพลังงานตามสมการ Langevinในขีดจำกัดเวลาที่ยาวนานและเมื่ออนุภาคมีความหนาแน่นมากกว่าของเหลวโดยรอบอย่างมีนัยสำคัญ ค่าคงที่การแพร่ที่ขึ้นอยู่กับเวลาคือ: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T\left(1-e^{-t/(m\mu )}\right),}$$ โดยที่ (หน่วยทั้งหมดเป็นหน่วย SI)

• k คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์
• Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์
• μคือค่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคในของเหลวหรือก๊าซ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์ ( ทฤษฎีจลน์)
• mคือมวลของอนุภาค
• ได้เวลาแล้ว

สำหรับโมเลกุลเดี่ยว เช่น โมเลกุลอินทรีย์หรือโมเลกุลชีวภาพ (เช่น โปรตีน) ในน้ำ พจน์เลขชี้กำลังนั้นมีค่าน้อยมาก เนื่องจากผลคูณของmμ มีค่าน้อย ในบริเวณพิโควินาทีที่เร็วมาก จึงไม่เกี่ยวข้องกับการดูดซับของสารละลายเจือจางที่ช้ากว่า

อัตราการ ดูดซับหรือการดูดซึมของสารละลายเจือจางไปยังพื้นผิวหรือส่วนต่อประสานในสารละลาย (ก๊าซหรือของเหลว) สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎการแพร่ของฟิกก์ จำนวนโมเลกุลที่สะสมที่ถูกดูดซับบนพื้นผิวจะแสดงโดยสมการ Langmuir-Schaefer โดยการอินทิเกรตสมการฟลักซ์การแพร่ตามเวลาดังที่แสดงในการแพร่โมเลกุลจำลองในส่วนแรกของหน้านี้: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \Gamma =2AC_{b}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}.}$$

• Aคือพื้นที่ผิว ( ^ตร.ม. )
• ${\displaystyle C_{b}}$คือความเข้มข้นเชิงจำนวนของโมเลกุลตัวดูดซับ (ตัวถูกละลาย) ในสารละลายโดยรวม (#/ ^m³ )
• Dคือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ของสารดูดซับ (m² ^/ s)
• tคือเวลาที่ผ่านไป (วินาที)
• ${\displaystyle \Gamma }$คือจำนวนโมเลกุลสะสมในหน่วย # โมเลกุลที่ถูกดูดซับในช่วงเวลา${\displaystyle t}$.

สมการนี้ตั้งชื่อตามนักเคมีชาวอเมริกันเออร์วิง แลงมัวร์และวินเซนต์ เชเฟอร์

โดยสรุปตามที่อธิบายไว้ใน^{[ 16 ]} โปรไฟล์การไล่ระดับความเข้มข้นใกล้กับที่สร้างขึ้นใหม่ (จาก${\displaystyle t=0}$พื้นผิวดูดซับ (วางไว้ที่${\displaystyle x=0}$) ในสารละลายที่เป็นเนื้อเดียวกันครั้งหนึ่ง สามารถแก้ไขได้ในส่วนด้านบนโดยใช้สมการของฟิก (Fick's equation) $${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial x}}={\frac {C_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}{\text{exp}}\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right),}$$ โดยที่Cคือความเข้มข้นเชิงจำนวนของโมเลกุลตัวดูดซับที่${\displaystyle x,t}$(#/m³ ⁾ .

ความแตกต่างของความเข้มข้นที่ระดับใต้ผิวดิน ณ${\displaystyle x=0}$ถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็นปัจจัยก่อนเลขชี้กำลังของการแจกแจง $${\displaystyle \left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{x=0}={\frac {C_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}.}$$ และอัตราการแพร่ (ฟลักซ์) ทั่วพื้นที่${\displaystyle A.}$ของเครื่องบินคือ $${\displaystyle \left({\frac {\partial \Gamma }{\partial t}}\right)_{x=0}=-{\frac {DAC_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}.}$$ การผสมผสานอย่างค่อยเป็นค่อยไปเมื่อเวลาผ่านไป $${\displaystyle \Gamma =\int _{0}^{t}\left({\frac {\partial \Gamma }{\partial t}}\right)_{x=0}=2AC_{b}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}.}$$

สมการ Langmuir–Schaefer สามารถขยายไปยังสมการ Ward–Tordai เพื่ออธิบาย "การแพร่กลับ" ของโมเลกุลที่ถูกปฏิเสธจากพื้นผิว: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \Gamma =2A{C_{\text{b}}}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}-A{\sqrt {\frac {D}{\pi }}}\int _{0}^{\sqrt {t}}{\frac {C(\tau )}{\sqrt {t-\tau }}}\,d\tau ,}$$ ที่ไหน${\displaystyle C_{b}}$คือความเข้มข้นโดยรวม${\displaystyle C}$คือความเข้มข้นใต้พื้นผิว (ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลาขึ้นอยู่กับแบบจำลองปฏิกิริยาของการดูดซับ) และ${\displaystyle \tau }$เป็นตัวแปรดัมมี่

การจำลองมอนเตคาร์โลแสดงให้เห็นว่าสมการทั้งสองนี้ใช้ได้ผลในการทำนายอัตราการดูดซับของระบบที่สร้างการไล่ระดับความเข้มข้นที่คาดการณ์ได้ใกล้พื้นผิว แต่มีปัญหาสำหรับระบบที่ไม่มีหรือมีการไล่ระดับความเข้มข้นที่คาดการณ์ไม่ได้ เช่น ระบบไบโอเซนเซอร์ทั่วไป หรือเมื่อการไหลและการพาความร้อนมีความสำคัญ^{[ 17 ]}

รูปด้านขวาแสดงประวัติโดยย่อของการดูดซับแบบแพร่กระจาย^{[ 17 ]}ความท้าทายที่เห็นได้ชัดในการทำความเข้าใจการดูดซับแบบแพร่กระจายในระดับโมเลกุลเดี่ยวคือ ลักษณะ แบบแฟรกทัลของการแพร่กระจาย การจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่เลือกขั้นตอนเวลาสำหรับการแพร่กระจายซึ่งละเลยข้อเท็จจริงที่ว่ามีเหตุการณ์การแพร่กระจายที่ละเอียดกว่าที่คล้ายคลึงกัน (แฟรกทัล) ภายในแต่ละขั้นตอน การจำลองการแพร่กระจายแบบแฟรกทัลแสดงให้เห็นว่าควรมีการแก้ไขปัจจัยสองเท่าสำหรับผลลัพธ์ของการจำลองการดูดซับขั้นตอนเวลาคงที่ เพื่อให้สอดคล้องกับสมการสองสมการข้างต้น^{[ 17 ]}

ผลลัพธ์ที่สร้างปัญหามากกว่าของสมการข้างต้นคือ สมการเหล่านี้ทำนายขีดจำกัดล่างของการดูดซับภายใต้สถานการณ์ที่เหมาะสม แต่ยากมากที่จะทำนายอัตราการดูดซับจริง สมการเหล่านี้ได้มาจากเงื่อนไขขีดจำกัดเวลาที่ยาวนาน เมื่อมีการสร้างเกรเดียนต์ความเข้มข้นที่เสถียรใกล้กับพื้นผิว แต่การดูดซับจริงมักเกิดขึ้นเร็วกว่าขีดจำกัดเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้มาก กล่าวคือ เกรเดียนต์ความเข้มข้น การลดลงของความเข้มข้นที่ใต้พื้นผิว จะเกิดขึ้นเพียงบางส่วนก่อนที่พื้นผิวจะอิ่มตัวหรือมีการไหลเพื่อรักษาระดับเกรเดียนต์ที่แน่นอน ดังนั้นอัตราการดูดซับที่วัดได้จึงเร็วกว่าที่สมการทำนายไว้เกือบตลอดเวลาสำหรับการดูดซับที่มีอุปสรรคพลังงานต่ำหรือไม่มีเลย (เว้นแต่จะมีอุปสรรคพลังงานการดูดซับที่สำคัญซึ่งทำให้การดูดซับช้าลงอย่างมาก) ตัวอย่างเช่น เร็วกว่าหลายพันถึงหลายล้านเท่าในการประกอบตัวเองของโมโนเลเยอร์ที่ส่วนต่อประสานระหว่างน้ำกับอากาศหรือน้ำกับพื้นผิว^{[ 15 ]}ด้วยเหตุนี้ จึงจำเป็นต้องคำนวณวิวัฒนาการของเกรเดียนต์ความเข้มข้นใกล้กับพื้นผิวและหาเวลาที่เหมาะสมในการหยุดวิวัฒนาการที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่จินตนาการไว้สำหรับการใช้งานจริง แม้ว่าจะยากที่จะคาดเดาว่าจะหยุดเมื่อใด แต่การคำนวณเวลาที่สั้นที่สุดที่สำคัญนั้นค่อนข้างง่าย ซึ่งก็คือเวลาวิกฤตที่เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดจากพื้นผิวของสารตั้งต้นรู้สึกถึงการสร้างความแตกต่างของความเข้มข้น ซึ่งจะให้ค่าขีดจำกัดบนของอัตราการดูดซับภายใต้สถานการณ์ที่เหมาะสมเมื่อไม่มีปัจจัยอื่นใดนอกจากการแพร่กระจายที่ส่งผลต่อพลวัตของตัวดูดซับ: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle \langle r\rangle ={\frac {4}{\pi }}AC_{b}^{4/3}D,}$$ ที่ไหน:

• ${\displaystyle \langle r\rangle }$คืออัตราการดูดซับโดยสมมติว่าอยู่ในสถานการณ์ที่ไม่มีอุปสรรคทางพลังงานในการดูดซับ หน่วยเป็น #/วินาที
• ${\displaystyle A}$คือพื้นที่ผิวที่สนใจบนพื้นผิวที่ "เรียบและไม่มีที่สิ้นสุด" ( ^ตร.ม. )
• ${\displaystyle C_{b}}$คือความเข้มข้นของโมเลกุลตัวดูดซับในสารละลายโดยรวม (#/ ^m³ )
• ${\displaystyle D}$คือค่าคงที่การแพร่ของตัวดูดซับ (ตัวถูกละลาย) ในสารละลาย (m² ^/ s) ซึ่งกำหนดโดยกฎของฟิก (Fick's law)

สมการนี้สามารถใช้ในการทำนายอัตราการดูดซับเริ่มต้นของระบบใดๆ ก็ได้ นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการทำนายอัตราการดูดซับในสภาวะคงที่ของระบบไบโอเซนเซอร์ทั่วไป เมื่อบริเวณการจับยึดเป็นเพียงเศษส่วนเล็กๆ ของพื้นผิวของสารตั้งต้น และไม่มีการเกิดการไล่ระดับความเข้มข้นใกล้พื้นผิว และยังสามารถใช้ในการทำนายอัตราการดูดซับของโมเลกุลบนพื้นผิวได้ เมื่อมีกระแสไหลที่สำคัญผลักดันการไล่ระดับความเข้มข้นให้ตื้นมากในชั้นใต้พื้นผิว

เวลาวิกฤตนี้แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากเวลาที่ผู้โดยสารคนแรกมาถึงหรือเวลาเฉลี่ยของเส้นทางอิสระ การใช้เวลาเฉลี่ยของผู้โดยสารคนแรกและกฎการแพร่ของฟิกก์เพื่อประมาณอัตราการจับตัวเฉลี่ยจะทำให้ค่าความชันของความเข้มข้นสูงเกินจริงอย่างมาก เนื่องจากผู้โดยสารคนแรกมักจะมาจากชั้นเพื่อนบ้านหลายชั้นที่อยู่ห่างจากเป้าหมาย ดังนั้นเวลาที่มาถึงจึงนานกว่าเวลาการแพร่ของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดอย่างมาก การใช้เวลาเฉลี่ยของเส้นทางอิสระบวกกับสมการของแลงมัวร์จะทำให้เกิดความชันของความเข้มข้นเทียมระหว่างตำแหน่งเริ่มต้นของผู้โดยสารคนแรกกับพื้นผิวเป้าหมาย เนื่องจากชั้นเพื่อนบ้านอื่นๆ ยังไม่มีการเปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงประมาณเวลาการจับตัวที่แท้จริงได้ต่ำกว่าอย่างมาก กล่าวคือ เวลาที่ผู้โดยสารคนแรกมาถึงจริง ซึ่งเป็นค่าผกผันของอัตราข้างต้นนั้น คำนวณได้ยาก หากระบบสามารถลดรูปให้เหลือการแพร่แบบ 1 มิติได้ เวลาเฉลี่ยของผู้โดยสารคนแรกสามารถคำนวณได้โดยใช้เวลาการแพร่ที่สำคัญของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดเดียวกันสำหรับระยะห่างของเพื่อนบ้านแรกเป็น MSD ^{[ 18 ]}$${\displaystyle L={\sqrt {2Dt}},}$$ ที่ไหน:

• ${\displaystyle L~=C_{b}^{-1/3}}$(หน่วยเป็นเมตร) คือระยะห่างเฉลี่ยระหว่างเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดโดยประมาณตามการจัดเรียงแบบลูกบาศก์ โดยที่${\displaystyle C_{b}}$คือความเข้มข้นของตัวถูกละลายในสารละลายโดยรวม (หน่วยเป็นจำนวนโมเลกุลต่อลูกบาศก์^เมตร )
• ${\displaystyle D}$คือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ที่กำหนดโดยสมการของฟิก (หน่วยเป็น m² ^/ s)
• ${\displaystyle t}$คือช่วงเวลาวิกฤต (หน่วยเป็นวินาที)

ในช่วงเวลาวิกฤตนี้ เป็นไปได้ยากที่ผู้โดยสารคนแรกจะมาถึงและถูกดูดซับ แต่การมาถึงของผู้โดยสารคนแรกจะเป็นตัวกำหนดความเร็วในการมาถึงของชั้นเพื่อนบ้าน ด้วยความเร็วนี้และระดับความเข้มข้นที่หยุดลงบริเวณชั้นเพื่อนบ้านชั้นแรก ระดับความเข้มข้นนี้จะไม่ปรากฏให้เห็นในเวลาที่ยาวนานขึ้นเมื่อผู้โดยสารคนแรกมาถึงจริง ดังนั้น อัตราการมาถึงของผู้โดยสารคนแรกโดยเฉลี่ย (หน่วย # โมเลกุล/วินาที) สำหรับการแพร่แบบ 3 มิติที่ลดรูปเป็นปัญหา 1 มิติ $${\displaystyle \langle r\rangle ={\frac {a}{t}}=2aC_{b}^{2/3}D,}$$ ที่ไหน${\displaystyle a}$เป็นปัจจัยในการแปลงปัญหาการดูดซับแบบแพร่กระจาย 3 มิติ ให้เป็นปัญหาการแพร่กระจาย 1 มิติ ซึ่งค่าของปัจจัยนี้ขึ้นอยู่กับระบบ เช่น สัดส่วนของพื้นที่การดูดซับ${\displaystyle A}$พื้นที่ผิวของทรงกลมเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดของตัวละลาย${\displaystyle 4\pi L^{2}/4}$โดยสมมติว่ามีการจัดเรียงแบบลูกบาศก์ แต่ละหน่วยจะมีเพื่อนบ้าน 8 หน่วยที่ใช้ร่วมกับหน่วยอื่น ตัวอย่างเศษส่วนนี้ทำให้ผลลัพธ์เข้าใกล้กับวิธีการดูดซับแบบแพร่กระจาย 3 มิติที่แสดงไว้ข้างต้น โดยมีความแตกต่างเล็กน้อยในค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเนื่องจากสมมติฐานการจัดเรียงที่แตกต่างกันและการละเลยเพื่อนบ้านอื่น ๆ

เมื่อพื้นที่ที่สนใจมีขนาดเท่ากับโมเลกุล (โดยเฉพาะโมเลกุลทรงกระบอกยาวเช่น DNA) สมการอัตราการดูดซับจะแสดงถึงความถี่ของการชนกันของโมเลกุลสองตัวในสารละลายเจือจาง โดยโมเลกุลหนึ่งชนกับด้านใดด้านหนึ่งโดยเฉพาะ และอีกโมเลกุลหนึ่งไม่มีข้อจำกัดทางด้านโครงสร้าง กล่าวคือ โมเลกุลหนึ่ง (วางตัวแบบสุ่ม) จะชนกับด้านใดด้านหนึ่งของอีกโมเลกุลหนึ่ง ค่าคงที่การแพร่จะต้องได้รับการปรับปรุงให้เป็นค่าคงที่การแพร่สัมพัทธ์ระหว่างโมเลกุลสองตัวที่กำลังแพร่ การประมาณค่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการศึกษาปฏิสัมพันธ์ระหว่างโมเลกุลขนาดเล็กกับโมเลกุลขนาดใหญ่ เช่น โปรตีน ค่าคงที่การแพร่ที่มีประสิทธิภาพจะถูกกำหนดโดยโมเลกุลขนาดเล็กกว่า ซึ่งสามารถใช้ค่าคงที่การแพร่ของโมเลกุลขนาดเล็กกว่าแทนได้

สมการอัตราการชนข้างต้นยังมีประโยชน์ในการทำนายจลนศาสตร์ของการประกอบตัวเอง ของโมเลกุล บนพื้นผิว โมเลกุลมีการวางตัวแบบสุ่มในสารละลายโดยรวม สมมติว่า 1/6 ของโมเลกุลมีการวางตัวที่ถูกต้องไปยังตำแหน่งการยึดเกาะบนพื้นผิว กล่าวคือ 1/2 ของทิศทาง z ในสามมิติ x, y, z ดังนั้นความเข้มข้นที่สนใจจึงเป็นเพียง 1/6 ของความเข้มข้นโดยรวม เมื่อใส่ค่านี้ลงในสมการ เราควรจะสามารถคำนวณเส้นโค้งจลนศาสตร์การดูดซับทางทฤษฎีโดยใช้แบบจำลองการดูดซับของ Langmuirได้ ในภาพที่เข้มงวดมากขึ้น 1/6 สามารถแทนที่ด้วยปัจจัยเชิงสเตอริกของรูปทรงเรขาคณิตของการยึดเกาะได้

ความถี่การชนกันของโมเลกุลคู่ที่เกี่ยวข้องกับปฏิกิริยาหลายอย่าง รวมถึงการจับตัวเป็นก้อน/การรวมกลุ่มของโปรตีน ได้รับการอธิบายเบื้องต้นโดยสมการการจับตัวเป็นก้อนของ Smoluchowskiซึ่งเสนอโดยMarian Smoluchowskiในสิ่งพิมพ์สำคัญในปี 1916 ^{[ 20 ]}ซึ่งได้มาจากการเคลื่อนที่แบบบราวน์และกฎการแพร่ของ Fick ภายใต้เงื่อนไขปฏิกิริยาในอุดมคติสำหรับ A + B → ผลิตภัณฑ์ในสารละลายเจือจาง Smoluchovski แนะนำว่าฟลักซ์โมเลกุลที่ขีดจำกัดเวลาอนันต์สามารถคำนวณได้จากกฎการแพร่ของ Fick ซึ่งให้ความเข้มข้นที่คงที่/เสถียรจากโมเลกุลเป้าหมาย เช่น B เป็นโมเลกุลเป้าหมายที่คงที่สัมพัทธ์ และ A เป็นโมเลกุลที่เคลื่อนที่ซึ่งสร้างความเข้มข้นที่ลดลงใกล้กับโมเลกุลเป้าหมาย B เนื่องจากปฏิกิริยาการจับตัวเป็นก้อนระหว่าง A และ B Smoluchowski คำนวณความถี่การชนกันระหว่าง A และ B ในสารละลายด้วยหน่วย #/s/m ³ : $${\displaystyle Z_{AB}=4{\pi }RD_{r}C_{A}C_{B},}$$ ที่ไหน:

• ${\displaystyle R}$คือรัศมีของการชนกัน
• ${\displaystyle D_{r}=D_{A}+D_{B}}$คือค่าคงที่การแพร่สัมพัทธ์ระหว่าง A และ B (m² ^/ s)
• ${\displaystyle C_{A}}$และ${\displaystyle C_{B}}$คือความเข้มข้นเชิงจำนวนของ A และ B ตามลำดับ (#/ ^m³ )

อันดับปฏิกิริยาของปฏิกิริยาสองโมเลกุลนี้คือ 2 ซึ่งคล้ายคลึงกับผลลัพธ์จากทฤษฎีการชนกันโดยแทนที่ความเร็วในการเคลื่อนที่ของโมเลกุลด้วยฟลักซ์การแพร่ ในทฤษฎีการชนกัน เวลาในการเดินทางระหว่าง A และ B เป็นสัดส่วนกับระยะทาง ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับกรณีการแพร่ หากฟลักซ์คงที่

อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขในทางปฏิบัติ ความชันของความเข้มข้นใกล้โมเลกุลเป้าหมายจะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์โมเลกุลด้วย^{[ 17 ]}และโดยเฉลี่ยแล้วฟลักซ์มีขนาดใหญ่กว่าฟลักซ์ขีดจำกัดเวลาอนันต์ที่ Smoluchowski เสนอไว้มาก ก่อนเวลาที่ผู้โดยสารคนแรกมาถึง สมการของ Fick ทำนายความชันของความเข้มข้นตามเวลาซึ่งยังไม่เกิดขึ้นจริง ดังนั้น ความถี่ของ Smoluchowski นี้จึงแสดงถึงขีดจำกัดล่างของความถี่การชนกันจริง

ในปี 2022 เฉินคำนวณขีดจำกัดบนของความถี่การชนกันระหว่าง A และ B ในสารละลายโดยสมมติว่าความเข้มข้นโดยรวมของโมเลกุลที่เคลื่อนที่คงที่หลังจากเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดตัวแรกของโมเลกุลเป้าหมาย^{[ 19 ]}ดังนั้นวิวัฒนาการของความชันความเข้มข้นจะหยุดที่ชั้นเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดตัวแรกโดยกำหนดเวลาหยุดเพื่อคำนวณฟลักซ์จริง เขาตั้งชื่อสิ่งนี้ว่าเวลาวิกฤตและได้ความถี่การชนแบบแพร่กระจายในหน่วย #/s/m ³ : ^{[ 19 ]}$${\displaystyle Z_{AB}={\frac {8}{\pi }}{\sigma }D_{r}C_{A}C_{B}{\sqrt[{3}]{C_{A}+C_{B}}},}$$ ที่ไหน:

• ${\displaystyle {\sigma }}$คือพื้นที่หน้าตัดของการชน ( ^ตร.ม. )
• ${\displaystyle D_{r}=D_{A}+D_{B}}$คือค่าคงที่การแพร่สัมพัทธ์ระหว่าง A และ B (m² ^/ s)
• ${\displaystyle C_{A}}$และ${\displaystyle C_{B}}$คือความเข้มข้นเชิงจำนวนของ A และ B ตามลำดับ (#/ ^m³ )
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{C_{A}+C_{B}}}}$แทนค่า 1/⟨ d ⟩ โดยที่dคือระยะห่างเฉลี่ยระหว่างโมเลกุลสองตัว

สมการนี้ถือว่าขีดจำกัดบนของความถี่การชนแบบแพร่กระจายระหว่าง A และ B คือเมื่อชั้นเพื่อนบ้านชั้นแรกเริ่มรู้สึกถึงวิวัฒนาการของความชันความเข้มข้น ซึ่งลำดับปฏิกิริยาคือ2 + 1 / 3 แทนที่จะเป็น 2ทั้งสมการ Smoluchowski และสมการ JChen เป็นไปตามการตรวจสอบมิติด้วยหน่วย SI แต่สมการแรกขึ้นอยู่กับรัศมีและสมการหลังขึ้นอยู่กับพื้นที่ของทรงกลมการชน จากการวิเคราะห์มิติ ควรมีสมการที่ขึ้นอยู่กับปริมาตรของทรงกลมการชน^{[ 21 ]}เช่น

$${\displaystyle Z_{AB}=4VD_{r}C_{A}C_{B}(C_{A}+C_{B})^{2/3},}$$

• V คือปริมาตรของทรงกลมการชน

แต่ในที่สุด สมการทั้งหมดควรจะลู่เข้าสู่ค่าอัตราการชนเชิงตัวเลขเดียวกัน ซึ่งสามารถวัดได้จากการทดลอง ลำดับปฏิกิริยาที่แท้จริงสำหรับปฏิกิริยาหน่วยสองโมเลกุลอาจอยู่ระหว่าง 2 และ2 + 2 / 3 ซึ่งสมเหตุสมผลเพราะเวลาการชนแบบแพร่กระจายขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างโมเลกุลทั้งสองโดยตรง

สมการใหม่เหล่านี้ยังช่วยหลีกเลี่ยงภาวะเอกฐานของอัตราการดูดซับที่เวลาศูนย์สำหรับสมการ Langmuir-Schaefer ด้วย อัตราอนันต์นั้นสมเหตุสมผลภายใต้เงื่อนไขในอุดมคติ เพราะเมื่อคุณนำโมเลกุลเป้าหมายเข้าไปในสารละลายของโมเลกุลตัวตรวจสอบอย่างน่าอัศจรรย์ หรือในทางกลับกัน จะมีความน่าจะเป็นที่พวกมันจะทับซ้อนกันที่เวลาศูนย์เสมอ ดังนั้นอัตราการรวมตัวของโมเลกุลสองตัวนั้นจึงเป็นอนันต์ ไม่สำคัญว่าโมเลกุลอีกหลายล้านตัวจะต้องรอให้คู่แรกของพวกมันแพร่กระจายและมาถึง อัตราเฉลี่ยจึงเป็นอนันต์ แต่ในทางสถิติแล้ว ข้อโต้แย้งนี้ไม่มีความหมาย อัตราสูงสุดของโมเลกุลในช่วงเวลาที่มากกว่าศูนย์คือ 1 ไม่ว่าจะพบกันหรือไม่ก็ตาม ดังนั้นอัตราอนันต์ที่เวลาศูนย์สำหรับคู่โมเลกุลนั้นควรจะเป็นเพียง 1 ทำให้ค่าเฉลี่ยเป็น 1/ล้าน หรือมากกว่านั้น และในทางสถิติแล้วถือว่าน้อยมาก นี่ยังไม่รวมถึงความเป็นจริงที่ว่าไม่มีโมเลกุลสองตัวใดสามารถพบกันอย่างน่าอัศจรรย์ที่เวลาศูนย์ได้

กฎข้อแรกก่อให้เกิดสูตรต่อไปนี้: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\text{flux}}={-P\left(c_{2}-c_{1}\right)},}$$ ที่ไหน

• Pคือค่าการซึมผ่าน ซึ่งเป็น " ค่าการนำไฟฟ้า " ของเยื่อหุ้มเซลล์ที่ได้จากการทดลอง สำหรับก๊าซชนิดหนึ่งที่อุณหภูมิชนิดหนึ่ง
• c − c คือผลต่างของความเข้มข้นของก๊าซที่อยู่ข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ในทิศทางการไหล (จาก c ไปยัง c )

กฎข้อแรกของฟิก (Fick's first law) ก็มีความสำคัญในสมการการถ่ายเทรังสีเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ในบริบทนี้ กฎดังกล่าวจะใช้ไม่ได้ผลเมื่อค่าคงที่การแพร่กระจายต่ำ และรังสีถูกจำกัดด้วยความเร็วแสงแทนที่จะเป็นความต้านทานของวัสดุที่รังสีไหลผ่าน ในสถานการณ์เช่นนี้ เราสามารถใช้ตัวจำกัดฟลักซ์ (flux limiter ) ได้

อัตราการแลกเปลี่ยนของก๊าซผ่านเยื่อของเหลวสามารถหาได้โดยใช้กฎนี้ร่วมกับกฎของเกรแฮม

ภายใต้สภาวะของสารละลายเจือจางเมื่อการแพร่กระจายเข้ามามีบทบาท การซึมผ่านของเยื่อหุ้มเซลล์ที่กล่าวถึงในส่วนข้างต้นสามารถคำนวณได้ทางทฤษฎีสำหรับตัวถูกละลายโดยใช้สมการที่กล่าวถึงในส่วนสุดท้าย (ใช้ด้วยความระมัดระวังเป็นพิเศษ เนื่องจากสมการนี้ได้มาจากตัวถูกละลายที่มีความหนาแน่นสูง ในขณะที่โมเลกุลทางชีวภาพไม่ได้มีความหนาแน่นมากกว่าน้ำ นอกจากนี้ สมการนี้ยังถือว่าเกิดการไล่ระดับความเข้มข้นในอุดมคติใกล้กับเยื่อหุ้มเซลล์และมีการเปลี่ยนแปลง): ^{[ 14 ]}$${\displaystyle P=2A_{p}\eta _{tm}{\sqrt {\frac {D}{\pi t}}},}$$ ที่ไหน:

• ${\displaystyle A_{P}}$คือพื้นที่รวมของรูพรุนบนเยื่อเมมเบรน (หน่วยเป็น^m² )
• ${\displaystyle \eta _{tm}}$ประสิทธิภาพการผ่านเยื่อหุ้มเซลล์ (ไม่มีหน่วย) ซึ่งสามารถคำนวณได้จากทฤษฎีสุ่มของโครมาโทกราฟี
• Dคือค่าคงที่การแพร่ของหน่วยตัวถูกละลาย m ² ⋅s ⁻¹ ,
• tคือหน่วยเวลา (วินาที)
• ความเข้มข้น ของc และc ควรใช้หน่วยเป็น mol m ⁻³ดังนั้นหน่วยฟลักซ์จึงกลายเป็น mol s ⁻¹

ฟลักซ์จะลดลงตามรากที่สองของเวลาเนื่องจากความเข้มข้นจะค่อยๆ เพิ่มขึ้นใกล้เยื่อหุ้มเซลล์เมื่อเวลาผ่านไปภายใต้สภาวะที่เหมาะสม เมื่อมีการไหลและการพาความร้อน ฟลักซ์อาจแตกต่างจากที่สมการคาดการณ์ไว้อย่างมากและแสดงเวลาที่มีประสิทธิภาพ t ที่มีค่าคงที่^{[ 17 ]}ซึ่งทำให้ฟลักซ์คงที่แทนที่จะลดลงเมื่อเวลาผ่านไป มีการประมาณเวลาวิกฤตภายใต้สภาวะการไหลในอุดมคติเมื่อไม่มีการเกิดความเข้มข้น^{[ 17 ] [ 19 ]}กลยุทธ์นี้ถูกนำมาใช้ในทางชีววิทยา เช่น การไหลเวียนของเลือด

สารกึ่งตัวนำเป็นคำรวมที่ใช้เรียกอุปกรณ์หลายประเภท โดยหลักๆ แล้วแบ่งออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ อุปกรณ์สองขั้ว อุปกรณ์สามขั้ว และอุปกรณ์สี่ขั้ว การรวมกันของสารกึ่งตัวนำเหล่านี้เรียกว่าวงจรรวม

ความสัมพันธ์ระหว่างกฎของฟิก (Fick's law) กับสารกึ่งตัวนำ: หลักการของสารกึ่งตัวนำคือการถ่ายโอนสารเคมีหรือสารเจือปนจากชั้นหนึ่งไปยังอีกชั้นหนึ่ง กฎของฟิกสามารถใช้ควบคุมและทำนายการแพร่กระจายได้โดยการทราบปริมาณความเข้มข้นของสารเจือปนหรือสารเคมีที่เคลื่อนที่ต่อเมตรและต่อวินาทีผ่านทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น จึงสามารถผลิตสารกึ่งตัวนำประเภทและระดับต่างๆ ได้

เทคโนโลยีการผลิต วงจรรวมและกระบวนการต่างๆ เช่น CVD, การออกซิเดชันด้วยความร้อน, การออกซิเดชันแบบเปียก, การเจือสาร ฯลฯ ใช้สมการการแพร่ที่ได้จากกฎของฟิก (Fick's law)

การกำหนดกฎข้อแรกของฟิกสามารถอธิบายปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนต่างๆ ในบริบทของอาหารและการปรุงอาหารได้ เช่น การแพร่กระจายของโมเลกุล เช่น เอทิลีน ช่วยส่งเสริมการเจริญเติบโตและการสุกของพืช โมเลกุลของเกลือและน้ำตาลช่วยส่งเสริมการแช่น้ำเกลือและการหมักเนื้อสัตว์ และโมเลกุลของน้ำช่วยส่งเสริมการคายน้ำ กฎข้อแรกของฟิกยังสามารถใช้ในการทำนายการเปลี่ยนแปลงของโปรไฟล์ความชื้นทั่วเส้นสปาเก็ตตี้ขณะที่ดูดซับน้ำระหว่างการปรุงอาหาร ปรากฏการณ์เหล่านี้ล้วนเกี่ยวกับการเคลื่อนที่โดยธรรมชาติของอนุภาคของสารละลายที่ขับเคลื่อนโดยความแตกต่างของความเข้มข้น ในสถานการณ์ต่างๆ จะมีค่าการแพร่กระจายที่แตกต่างกันซึ่งเป็นค่าคงที่^{[ 23 ]}

การควบคุมความเข้มข้นของเกลือ เวลาในการปรุง และรูปทรงของอาหาร สามารถช่วยควบคุมปริมาณเกลือที่ใช้ได้