ในคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์และวิศวกรรมการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ) [ ¹ ]^คือการศึกษาวิธีที่ฟังก์ชัน ทั่วไป บนเส้นจำนวนจริงวงกลมจำนวนเต็มกลุ่มวัฏจักรจำกัดหรือกลุ่มอาเบเลียนแบบกระชับเฉพาะ ที่ ทั่วไปสามารถแสดงหรือประมาณค่าได้ด้วยผลรวมของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือที่สะดวกกว่านั้นคือ^{เลขชี้กำลัง}เชิงซ้อนการวิเคราะห์ฟูริเยร์เติบโตมาจากการศึกษาอนุกรมฟูริเยร์และตั้งชื่อตามโจเซฟ ฟูริเยร์ผู้ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการแสดงฟังก์ชันเป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติทำให้การศึกษาการถ่ายเทความร้อนง่ายขึ้น มาก

การวิเคราะห์ฟูริเยร์มีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในวิทยาศาสตร์ และในวิศวกรรม กระบวนการแยกฟังก์ชันออกเป็นส่วนประกอบของการสั่นมักเรียกว่าการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ในขณะที่การสร้างฟังก์ชันขึ้นใหม่จากส่วนประกอบเหล่านี้เรียกว่าการสังเคราะห์ฟูริเยร์ตัวอย่างเช่น การหาความถี่ องค์ประกอบ ที่มีอยู่ในโน้ตดนตรีจะต้องคำนวณการแปลงฟูริเยร์ของโน้ตดนตรีที่สุ่มตัวอย่าง จากนั้นเราสามารถสังเคราะห์เสียงเดียวกันขึ้นใหม่ได้โดยการผสมเสียงฮาร์มอนิกบริสุทธิ์กับส่วนประกอบความถี่ที่ได้จากการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ในทางคณิตศาสตร์ คำว่าการวิเคราะห์ฟูริเยร์มักหมายถึงการศึกษาทั้งสองการดำเนินการนี้

กระบวนการแยกส่วนประกอบนั้นเรียกว่าการแปลงฟูริเยร์ (Fourier transformation ) ผลลัพธ์ที่ได้คือการแปลงฟูริเยร์ (Fourier transform ) ซึ่งมักจะมีชื่อเรียกที่เฉพาะเจาะจงกว่า ขึ้นอยู่กับโดเมนและคุณสมบัติอื่นๆ ของฟังก์ชันที่กำลังถูกแปลง นอกจากนี้ แนวคิดดั้งเดิมของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ (Fourier analysis) ได้ถูกขยายออกไปเรื่อยๆ เพื่อนำไปใช้กับสถานการณ์ที่เป็นนามธรรมและทั่วไปมากขึ้น เช่น ทฤษฎีการแทนกลุ่ม ( Group representation theory) และสาขาทั่วไปนี้มักเรียกว่าการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก (Harmonic analysis ) การแปลงแต่ละแบบที่ใช้ในการวิเคราะห์ (ดูรายการการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์ ) จะมี การแปลง ผกผันที่ สอดคล้องกัน ซึ่งสามารถใช้สำหรับการสังเคราะห์ได้

ในการใช้งาน การวิเคราะห์ฟูริเยร์มักจะใช้กับ "สัญญาณ" ที่ขึ้นอยู่กับ "เวลา" ซึ่งสุ่มตัวอย่างในช่วงเวลาเท่ากันที่มีความยาวการแปลงฟูริเยร์จะแปลงลำดับนี้เป็นลำดับแอมพลิจูดที่มีความยาวเท่ากันสำหรับไซน์และโคไซน์ (หรือที่สะดวกกว่าคือเลขชี้กำลังเชิงซ้อน) ที่มีความถี่ทวีคูณของซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในการตรวจจับส่วนประกอบคาบที่แข็งแกร่งในสัญญาณการแปลงฟูริเยร์แบบเร็วเป็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณแอมพลิจูดเหล่านี้ มีการพัฒนาแนวทางต่างๆ สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลที่มีระยะห่างไม่เท่ากัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธี การวิเคราะห์สเปกตรัมกำลังสองน้อยที่สุด (LSSA) ซึ่งใช้การปรับไซน์แบบกำลังสองน้อยที่สุดกับตัวอย่างข้อมูล คล้ายกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์^{[ 2 ] [ 3 ]}การวิเคราะห์ฟูริเยร์ ซึ่งเป็นวิธีการสเปกตรัมที่ใช้มากที่สุดในวิทยาศาสตร์ โดยทั่วไปจะเพิ่มสัญญาณรบกวนคาบยาวในบันทึกที่มีช่องว่างยาว LSSA ช่วยลดปัญหาดังกล่าว^{[ 4 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle 1/T}$

การวิเคราะห์ฟูริเยร์มีแอปพลิเคชันทางวิทยาศาสตร์มากมาย เช่นฟิสิกส์สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ทฤษฎีจำนวนคณิตศาสตร์เชิงการ จัดเรียง การประมวลผลสัญญาณการประมวลผลภาพดิจิทัลทฤษฎีความน่าจะเป็นสถิตินิติวิทยาศาสตร์การกำหนดราคา ออ ป ชั่ นการเข้ารหัสการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอะคูสติกส์สมุทรศาสตร์ โซนาร์ ทัศนศาสตร์การเลี้ยวเบนเรขาคณิตการวิเคราะห์โครงสร้างโปรตีนและสาขาอื่นๆ

การประยุกต์ใช้ในวงกว้างนี้เกิดจากคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์มากมายของการแปลงเหล่านี้:

• การแปลงเหล่านี้เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและด้วยการปรับให้เป็นมาตรฐานที่เหมาะสม ก็จะเป็นตัวดำเนินการเอกภาพเช่นกัน (คุณสมบัติที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของ Parsevalหรือโดยทั่วไปเรียกว่าทฤษฎีบทของ Plancherelและโดยทั่วไปผ่านทฤษฎีบทคู่ของ Pontryagin ) ^{[ 5 ]}
• การแปลงเหล่านี้มักจะสามารถผกผันได้
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการหาอนุพันธ์ซึ่งหมายความว่าการแสดงนี้จะแปลงสมการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ให้เป็นสมการพีชคณิตธรรมดา^{[ 6 ]}ดังนั้น พฤติกรรมของระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาจึงสามารถวิเคราะห์ได้ที่ความถี่แต่ละความถี่อย่างอิสระ
• ตามทฤษฎีบทการสังเคราะห์ การแปลงฟูริเยร์จะเปลี่ยน การดำเนิน การสังเคราะห์ ที่ซับซ้อน ให้เป็นการคูณแบบง่าย ซึ่งหมายความว่าการแปลงฟูริเยร์เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณการดำเนินการที่ใช้การสังเคราะห์ เช่น การกรองสัญญาณ การ คูณ พหุนามและ การ คูณจำนวนมาก^{[ 7 ]}
• เวอร์ชัน แบบไม่ต่อเนื่องของการแปลงฟูริเยร์ (ดูด้านล่าง) สามารถประเมินได้อย่างรวดเร็วบนคอมพิวเตอร์โดยใช้ อัลกอริธึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) ^{[ 8 ]}

ในงานนิติวิทยาศาสตร์ เครื่องสเปกโตรโฟโตมิเตอร์อินฟราเรดในห้องปฏิบัติการใช้การวิเคราะห์การแปลงฟูริเยร์เพื่อวัดความยาวคลื่นของแสงที่วัสดุจะดูดซับในสเปกตรัมอินฟราเรด วิธี FT ใช้ในการถอดรหัสสัญญาณที่วัดได้และบันทึกข้อมูลความยาวคลื่น และด้วยการใช้คอมพิวเตอร์ การคำนวณฟูริเยร์เหล่านี้จะดำเนินการอย่างรวดเร็ว ดังนั้นในเวลาเพียงไม่กี่วินาที เครื่องมือ FT-IR ที่ทำงานด้วยคอมพิวเตอร์สามารถสร้างรูปแบบการดูดซับอินฟราเรดที่เทียบได้กับเครื่องมือปริซึม^{[ 9 ]}

การแปลงฟูริเยร์ยังมีประโยชน์ในฐานะวิธีการแสดงสัญญาณแบบกระชับ ตัวอย่างเช่น การบีบอัด JPEGใช้การแปลงฟูริเยร์รูปแบบหนึ่ง ( การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง ) กับชิ้นส่วนสี่เหลี่ยมเล็กๆ ของภาพดิจิทัล ส่วนประกอบฟูริเยร์ของแต่ละสี่เหลี่ยมจะถูกปัดเศษให้มีความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ ต่ำลง และส่วนประกอบที่อ่อนแอจะถูกกำจัดออกไป เพื่อให้ส่วนประกอบที่เหลือสามารถจัดเก็บได้อย่างกะทัดรัดมาก ในการสร้างภาพขึ้นใหม่ แต่ละสี่เหลี่ยมของภาพจะถูกประกอบขึ้นใหม่จากส่วนประกอบที่แปลงฟูริเยร์โดยประมาณที่เก็บรักษาไว้ จากนั้นจึงแปลงกลับเพื่อสร้างภาพโดยประมาณของภาพต้นฉบับ

ในด้านการประมวลผลสัญญาณการแปลงฟูริเยร์มักใช้กับอนุกรมเวลาหรือฟังก์ชันต่อเนื่องของเวลาและแปลงให้อยู่ในรูปสเปกตรัมความถี่กล่าวคือ เป็นการแปลงฟังก์ชันจากโดเมนเวลาไปสู่ โดเมน ความถี่โดยเป็นการแยกฟังก์ชันออกเป็นไซน์ซอยด์ที่มีความถี่ต่างกัน ในกรณีของอนุกรมฟูริเยร์หรือการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องไซน์ซอยด์เหล่านี้คือฮาร์มอนิกของความถี่พื้นฐานของฟังก์ชันที่กำลังวิเคราะห์

เมื่อฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันของเวลาและแสดงถึงสัญญาณ ทางกายภาพ การแปลงจะมีค่ามาตรฐานคือสเปกตรัมความถี่ของสัญญาณขนาดของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่ได้ณ ความถี่จะแสดงถึงแอมพลิจูดของส่วนประกอบความถี่ ซึ่งเฟสเริ่มต้นกำหนดโดยมุม(พิกัดเชิงขั้ว) ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S(f)}$

การแปลงฟูริเยร์ไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะฟังก์ชันของเวลาและความถี่เชิงเวลาเท่านั้น แต่ยังสามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์ ความถี่ เชิงพื้นที่และแทบทุกโดเมนฟังก์ชันได้อีกด้วย นี่จึงเป็นเหตุผลที่ทำให้มีการนำไปใช้ในสาขาต่างๆ ที่หลากหลาย เช่นการประมวลผลภาพการนำความร้อนและ การ ควบคุม อัตโนมัติ

เมื่อประมวลผลสัญญาณ เช่นเสียงคลื่นวิทยุคลื่นแสง คลื่นแผ่นดินไหวและแม้แต่ภาพ การวิเคราะห์ฟูริเยร์สามารถแยกส่วนประกอบแถบความถี่แคบของรูปคลื่นประกอบ ทำให้มีความเข้มข้นมากขึ้นเพื่อการตรวจจับหรือการกำจัดที่ง่ายขึ้น เทคนิคการประมวลผลสัญญาณจำนวนมากประกอบด้วยการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณ การจัดการข้อมูลที่แปลงฟูริเยร์แล้วในวิธีที่ง่าย และการย้อนกลับการแปลง^{[ 10 ]}

ตัวอย่างบางส่วนได้แก่:

• การปรับสมดุลเสียงบันทึกด้วยชุดฟิลเตอร์แบบแบนด์พาส ;
• การรับสัญญาณวิทยุดิจิทัลโดยไม่ต้องใช้ วงจร ซูเปอร์เฮเทอโรไดน์เช่นเดียวกับในโทรศัพท์มือถือหรือเครื่องสแกนวิทยุ สมัยใหม่
• การประมวลผลภาพเพื่อลบสิ่งแปลกปลอมที่เป็นคาบหรือแบบแอนไอโซโทรปิกเช่นรอยหยักจากวิดีโอแบบอินเตอร์เลซสิ่งแปลกปลอมเป็นแถบจากภาพถ่ายทางอากาศแบบแถบหรือลวดลายคลื่นจากการรบกวนความถี่วิทยุในกล้องดิจิทัล
• การหาความสัมพันธ์ร่วมของภาพที่คล้ายคลึงกันเพื่อการจัดเรียงที่สอดคล้องกัน
• การใช้รังสีเอกซ์ในการวิเคราะห์โครงสร้างผลึกเพื่อสร้างโครงสร้างผลึกขึ้นใหม่จากรูปแบบการเลี้ยวเบนของรังสี
• การวิเคราะห์มวลด้วยเทคนิค Fourier-transform ion cyclotron resonance mass spectrometry เพื่อกำหนดมวลของไอออนจากความถี่ของการเคลื่อนที่แบบไซโคลตรอนในสนามแม่เหล็ก
• นอกจากนี้ยังมีสเปกโทรสโกปีรูปแบบอื่นๆ อีกมากมาย รวมถึง สเปกโทรสโก ปีอินฟราเรดและสเปกโทรสโกปีนิวเคลียร์แมกเนติกเรโซแนน ซ์
• การสร้างสเปกโตรแกรม เสียง เพื่อใช้ในการวิเคราะห์เสียง;
• โซนาร์แบบพาสซีฟใช้ในการจำแนกเป้าหมายโดยอาศัยเสียงจากเครื่องจักร

การวิเคราะห์ฟูริเยร์มีห้ารูปแบบที่แตกต่างกัน โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของสัญญาณอินพุต:

• การแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องเวลา (CTFT)
• อนุกรมฟูริเยร์แบบต่อเนื่อง (CTFS)
• การแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT)
• อนุกรมฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFS)
• การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT)

การเลือกใช้ตัวเลือกใดตัวเลือกหนึ่งจากสี่ตัวเลือกแรกนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะสองประการของฟังก์ชันอินพุต:

• ไม่ว่าโดเมนของฟังก์ชันอินพุตจะเป็นแบบต่อเนื่องหรือแบบไม่ต่อเนื่องก็ตาม และ
• ไม่ว่าฟังก์ชันอินพุตจะเป็นฟังก์ชันคาบหรือฟังก์ชันไม่คาบในโดเมนของมันก็ตาม

วิธีการที่ห้า คือ DFT (Digital Fourier Transform) ซึ่งใช้เฉพาะในกรณีที่ฟังก์ชันอินพุตเป็นแบบไม่ต่อเนื่องในโดเมนและจำกัดอยู่ในบริเวณรองรับที่มีขอบเขตจำกัดเท่านั้น DFT เป็นวิธีการเดียวที่สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข และสามารถใช้เพื่อประมาณค่าวิธีการอีกสี่วิธีได้

โดยส่วนใหญ่ คำว่าการแปลงฟูริเยร์ (Fourier transform) โดยไม่มีคำคุณศัพท์ กำกับ หมายถึงการแปลงฟังก์ชันของ ตัวแปร จริง ต่อเนื่อง และได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันความถี่ต่อเนื่อง ซึ่งเรียกว่าการกระจายความถี่หรือสเปกตรัมฟังก์ชันหนึ่งถูกแปลงเป็นอีกฟังก์ชันหนึ่ง และการดำเนินการนี้สามารถย้อนกลับได้ เมื่อโดเมนของฟังก์ชันอินพุต (เริ่มต้น) คือเวลา ( ) และโดเมนของฟังก์ชันเอาต์พุต (สุดท้าย) คือความถี่ปกติการแปลงฟังก์ชันที่ความถี่จะกำหนดโดยจำนวนเชิงซ้อน:${\displaystyle t}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

การประเมินค่าปริมาณนี้สำหรับค่าทั้งหมดของจะได้ ฟังก์ชัน ในโดเมนความถี่จากนั้นสามารถแสดงได้ในรูปของการรวมกันของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนของความถี่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด:${\displaystyle f}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

ซึ่งเป็นสูตรการแปลงผกผัน จำนวนเชิงซ้อนแสดงทั้งแอมพลิจูดและเฟสของความถี่${\displaystyle S(f),}$${\displaystyle f.}$

ดูการแปลงฟูริเยร์สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมมากมาย รวมถึง:

• ข้อกำหนดสำหรับการปรับขนาดแอมพลิจูดและการกำหนดมาตราส่วนความถี่/หน่วย
• คุณสมบัติการแปลง
• ตารางแสดงการแปลงของฟังก์ชันเฉพาะ
• การขยาย/การวางนัยทั่วไปสำหรับฟังก์ชันที่มีหลายมิติ เช่น รูปภาพ

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันคาบที่มีคาบ จะกลาย เป็น ฟังก์ชัน หวีของดิแรกซึ่งถูกปรับแต่งด้วยลำดับของสัมประสิทธิ์ เชิงซ้อน :${\displaystyle s_{_{P}}(t),}$${\displaystyle P,}$

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (โดยที่คือปริมาณอินทิกรัลในช่วงความยาวใดๆ)${\displaystyle \int _{P}}$${\displaystyle P}$

การแปลงผกผัน หรือที่เรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์คือการแสดงค่าในรูปผลรวมของฟังก์ชันไซน์หรือ ฟังก์ชัน เลขชี้กำลังเชิงซ้อน ที่มีความสัมพันธ์กันอย่างกลมกลืนจำนวนอนันต์ โดยแต่ละฟังก์ชันมีแอมพลิจูดและเฟสที่ระบุโดยสัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่ง:${\displaystyle s_{_{P}}(t)}$

${\displaystyle s_{_{P}}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

ฟังก์ชัน ใดๆก็สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมคาบของฟังก์ชันอื่นได้เช่น กัน :${\displaystyle s_{_{P}}(t)}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{_{P}}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

และค่าสัมประสิทธิ์จะเป็นสัดส่วนกับตัวอย่างในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องของ:${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle {\frac {1}{P}}}$

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[ก]

โปรดทราบว่าเมทริกซ์ใดๆ ที่มีค่าตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องเหมือนกัน สามารถนำมาใช้ในการรวมผลแบบเป็นคาบได้ เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการกู้คืน(และดังนั้น) จากตัวอย่างเหล่านี้เท่านั้น (เช่น จากอนุกรมฟูริเยร์) คือส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ของ จะต้องถูกจำกัดอยู่ในช่วงเวลาที่ทราบซึ่งมีระยะเวลาเท่ากับโดเมนความถี่ของ ทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่าง ของ Nyquist–Shannon${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle P,}$

ดูข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงพัฒนาการทางประวัติศาสตร์ได้จาก ชุดอนุกรมฟูริเยร์

DTFT คือการแปลงผกผันทางคณิตศาสตร์ของอนุกรมฟูริเยร์ในโดเมนเวลา ดังนั้นผลรวมคาบ ที่ลู่เข้า ในโดเมนความถี่สามารถแสดงได้ด้วยอนุกรมฟูริเยร์ ซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเวลาต่อเนื่องที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{อนุกรมฟูริเยร์ (DTFT)}}} _{\text{สูตรผลรวมปัวซง}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,}$

ซึ่งเรียกว่า DTFT ดังนั้นDTFTของลำดับนี้จึงเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันหวี Dirac ที่ถูกปรับแต่งด้วยเช่นกัน ^{[ B ]}${\displaystyle s[n]}$

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์ (และการแปลงผกผัน) ถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}$

พารามิเตอร์นี้สอดคล้องกับช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง และอนุกรมฟูริเยร์นี้สามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของสูตรการรวมปัวซงดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ที่สำคัญว่า เมื่อลำดับข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่องเป็นสัดส่วนกับตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องพื้นฐานเราสามารถสังเกตเห็นการรวมเป็นคาบของการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องได้โปรดทราบว่าข้อมูลใดๆที่มีค่าตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องเหมือนกันจะสร้าง DTFT เดียวกัน แต่ภายใต้เงื่อนไขในอุดมคติบางประการ เราสามารถกู้คืนข้อมูลและได้อย่างแม่นยำในทางทฤษฎี เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการกู้คืนที่สมบูรณ์แบบคือส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ของข้อมูลจะต้องถูกจำกัดอยู่ในช่วงความถี่ที่ทราบซึ่งมีความกว้าง  เมื่อช่วงนั้นคือสูตรการสร้างใหม่ที่ใช้คือ สูตรการแทรกสอด ของ Whittaker–Shannonนี่เป็นรากฐานสำคัญของการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล${\displaystyle T}$${\displaystyle s[n],}$${\displaystyle s(t),}$${\displaystyle S(f).}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}.}$${\displaystyle \left[-{\tfrac {1}{2T}},{\tfrac {1}{2T}}\right],}$

อีกเหตุผลหนึ่งที่น่าสนใจคือ มันมักให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับปริมาณการเกิดเอเลียสเนื่องจากกระบวนการสุ่มตัวอย่าง ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)}$

การประยุกต์ใช้ DTFT ไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะฟังก์ชันที่สุ่มตัวอย่างเท่านั้น ดู ข้อมูลเพิ่มเติมได้ ที่ การแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (Discrete-time Fourier transform)สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อนี้และหัวข้ออื่นๆ รวมถึง:

• หน่วยความถี่ปกติ
• การกำหนดหน้าต่าง (ลำดับที่มีความยาวจำกัด)
• คุณสมบัติการแปลง
• ตารางแสดงการแปลงของฟังก์ชันเฉพาะ

เช่นเดียวกับอนุกรมฟูริเยร์ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DTFT) ของลำดับคาบที่มีคาบจะกลายเป็นฟังก์ชันหวีของดิแรก ซึ่งถูกปรับแต่งด้วยลำดับของสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน (ดูDTFT § ข้อมูลคาบ )${\displaystyle s_{_{N}}[n],}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (โดยที่คือผลรวมเหนือลำดับใดๆ ที่มีความยาว)${\displaystyle \sum _{n}}$${\displaystyle N.}$

ลำดับ นี้โดยทั่วไปเรียกว่าDFTของหนึ่งรอบของและยังเป็นคาบ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณสัมประสิทธิ์มากกว่าการแปลงผกผัน หรือที่เรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อ เนื่อง กำหนดโดย:${\displaystyle S[k]}$${\displaystyle s_{_{N}}.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}$   โดยที่ผลรวมของลำดับใดๆ ที่มีความยาว${\displaystyle \sum _{k}}$${\displaystyle N.}$

เมื่อใดที่แสดงออกมาในรูปผลรวมคาบของฟังก์ชันอื่น:${\displaystyle s_{_{N}}[n]}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   และ   ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,T\cdot s(nT),}$

ค่าสัมประสิทธิ์เป็นตัวอย่างในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องของ:${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}={\tfrac {1}{NT}}}$

${\displaystyle S[k]=S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$

ในทางกลับกัน เมื่อต้องการคำนวณตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องจำนวนใดๆ ของหนึ่งรอบของ DTFT แบบต่อเนื่องสามารถทำได้โดยการคำนวณ DFT ที่ค่อนข้างง่ายของตามที่นิยามไว้ข้างต้น ในกรณีส่วนใหญ่จะถูกเลือกให้เท่ากับความยาวของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ของการเพิ่ม ค่า ซึ่งเรียกว่าการเติมศูนย์หรือการประมาณค่าจะทำให้ได้ตัวอย่างของหนึ่งรอบที่อยู่ใกล้กันมากขึ้นการลดค่าจะทำให้เกิดการทับซ้อน (การบวก) ในโดเมนเวลา (คล้ายกับการเกิดเอเลียส ) ซึ่งสอดคล้องกับการลดจำนวนตัวอย่างในโดเมนความถี่ (ดูการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง § L=N×I ) ในกรณีส่วนใหญ่ที่น่าสนใจในทางปฏิบัติ ลำดับ จะแสดงถึงลำดับที่ยาวกว่าซึ่งถูกตัดทอนโดยการใช้ ฟังก์ชันหน้าต่างที่มีความยาวจำกัดหรืออาร์เรย์ ตัวกรอง FIR${\displaystyle (N)}$${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f),}$${\displaystyle s_{_{N}}[n],}$${\displaystyle N}$${\displaystyle s[n].}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f).}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle s[n]}$

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ( DFT) สามารถคำนวณได้โดยใช้ อัลกอริธึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) ซึ่งทำให้เป็นการแปลงที่ใช้งานได้จริงและสำคัญในคอมพิวเตอร์

ดูหัวข้อการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier transform)สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมมากมาย รวมถึง:

• คุณสมบัติการแปลง
• แอปพลิเคชัน
• ตารางแสดงการแปลงของฟังก์ชันเฉพาะ

สำหรับฟังก์ชันคาบ ทั้งการแปลงฟูริเยร์และการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DTFT) ประกอบด้วยชุดส่วนประกอบความถี่แบบไม่ต่อเนื่อง (อนุกรมฟูริเยร์) เท่านั้น และการแปลงจะล diverge ที่ความถี่เหล่านั้น วิธีปฏิบัติทั่วไปอย่างหนึ่ง (ไม่ได้กล่าวถึงข้างต้น) คือการจัดการกับ diverge นั้นโดยใช้ ฟังก์ชัน เดลต้าของ Diracและ ฟังก์ชัน หวีของ Diracแต่ข้อมูลสเปกตรัมเดียวกันสามารถแยกแยะได้จากเพียงรอบเดียวของฟังก์ชันคาบ เนื่องจากรอบอื่นๆ ทั้งหมดเหมือนกัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีระยะเวลาจำกัดสามารถแสดงเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้ โดยไม่มีการสูญเสียข้อมูลใดๆ ยกเว้นว่าความเป็นคาบของการแปลงผกผันเป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์เท่านั้น

ในทางปฏิบัติเป็นเรื่องปกติที่ระยะเวลาของs (•) จะถูกจำกัดไว้ที่คาบPหรือNแต่สูตรเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขนั้น

${\displaystyle s(t)}$แปลง (เวลาต่อเนื่อง)

	ความถี่ต่อเนื่อง	ความถี่แบบไม่ต่อเนื่อง
แปลง	${\displaystyle S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt}$	${\displaystyle \underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\,\triangleq \,{\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}$
ผกผัน	${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}$	${\displaystyle \underbrace {s_{_{P}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}} _{\text{Poisson summation formula (Fourier series)}}\,}$

${\displaystyle s(nT)}$แปลง (เวลาไม่ต่อเนื่อง)

	ความถี่ต่อเนื่อง	ความถี่แบบไม่ต่อเนื่อง
แปลง	${\displaystyle \underbrace {S_{\tfrac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson summation formula (DTFT)}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{DFT}}\,\end{aligned}}}$
ผกผัน	${\displaystyle s[n]=\underbrace {T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\text{Fourier series coefficient}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{inverse Fourier transform}}\,}$	${\displaystyle s_{_{N}}[n]=\underbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{inverse DFT}}}$

เมื่อส่วนจริงและส่วนจินตนาการของฟังก์ชันเชิงซ้อนถูกแยกออกเป็นส่วนคู่และส่วนคี่จะมีส่วนประกอบสี่ส่วน ซึ่งแสดงไว้ด้านล่างด้วยตัวห้อย RE, RO, IE และ IO และมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างส่วนประกอบทั้งสี่ของฟังก์ชันเวลาเชิงซ้อนและส่วนประกอบทั้งสี่ของการแปลงความถี่เชิงซ้อน: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

จากสิ่งนี้ ความสัมพันธ์ต่างๆ ปรากฏให้เห็นได้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น:

• การแปลงของฟังก์ชันค่าจริงคือฟังก์ชันสมมาตรสังยุค ในทางกลับกัน การแปลง สมมาตรสังยุคหมายถึงโดเมนเวลาค่าจริง${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$
• การแปลงของฟังก์ชันค่าจินตนาการคือฟังก์ชันปฏิสมมาตรสังยุคและในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$
• การแปลงของฟังก์ชันสมมาตรสังยุคคือฟังก์ชันค่าจริงและในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$
• การแปลงของฟังก์ชันปฏิสมมาตรคู่ควบคือฟังก์ชันค่าจินตนาการและข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$

รูปแบบแรกของอนุกรมฮาร์มอนิกมีมาตั้งแต่สมัยคณิตศาสตร์บาบิโลนโบราณซึ่งใช้ในการคำนวณปฏิทินดาราศาสตร์^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

แนวคิดเรื่องdeferent และ epicycleในระบบดาราศาสตร์ของปโตเลมีในยุคกรีกโบราณนั้นเกี่ยวข้องกับอนุกรมฟูริเยร์ (ดูDeferent และ epicycle § รูปแบบทางคณิตศาสตร์ )

ในยุคปัจจุบัน อเล็กซิส แคลโร ต์ ใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องในรูปแบบต่างๆในปี 1754 เพื่อคำนวณวงโคจร^{[ 16 ]} ซึ่งได้รับการอธิบายว่าเป็นสูตรแรกสำหรับ DFT ^{[ 17 ]} และในปี 1759 โจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ได้ใช้ DFT ในการคำนวณสัมประสิทธิ์ของอนุกรมตรีโกณมิติสำหรับสายสั่น^{[ 17 ]}ในทางเทคนิค งานของแคลโรต์เป็นอนุกรมโคไซน์เท่านั้น (รูปแบบหนึ่งของการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง ) ในขณะที่งานของลากรองจ์เป็นอนุกรมไซน์เท่านั้น (รูปแบบหนึ่งของการแปลงไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง ) การแปลง DFT โคไซน์+ไซน์ที่แท้จริงถูกใช้โดยเกาส์ในปี 1805 สำหรับการประมาณค่าแบบตรีโกณมิติของวงโคจรของดาวเคราะห์น้อย^{[ 18 ]} ทั้งออยเลอร์และลากรองจ์ได้ทำการแยกปัญหาของสายสั่นโดยใช้สิ่งที่ในปัจจุบันเรียกว่าตัวอย่าง^{[ 17 ]}

การพัฒนาสมัยใหม่ในช่วงต้นของการวิเคราะห์ฟูริเยร์คือบทความRéflexions sur la résolution algébrique des équations ในปี 1770 โดย Lagrange ซึ่งใช้การแยกส่วนฟูริเยร์เชิงซ้อนในวิธีการของตัวแก้ไขของ Lagrangeเพื่อศึกษาการแก้ปัญหาของลูกบาศก์: ^{[ 19 ]} Lagrange แปลงรากเป็นตัวแก้ไข:${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{2},}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

โดยที่ζคือรากที่สามของเอกภาพซึ่งก็คือ DFT อันดับ 3

ผู้เขียนหลายท่าน โดยเฉพาะJean le Rond d'AlembertและCarl Friedrich Gaussได้ใช้ชุดอนุกรมตรีโกณมิติเพื่อศึกษาสมการความร้อน [ ^{20 ] แต่}การพัฒนาที่สำคัญคือบทความMémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ในปี 1807 โดยJoseph Fourierซึ่งมีความเข้าใจที่สำคัญในการสร้างแบบจำลอง ฟังก์ชัน ทั้งหมดด้วยชุดอนุกรมตรีโกณมิติ และแนะนำชุดอนุกรมฟูริเยร์ นอกจากนี้ นักดาราศาสตร์Friedrich Wilhelm Besselก็ได้แนะนำชุดอนุกรมฟูริเยร์เพื่อแก้สมการของเคปเลอร์ เช่นกัน งานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี 1819 โดยไม่ทราบถึงงานของฟูริเยร์ซึ่งยังไม่ได้รับการตีพิมพ์จนกระทั่งปี 1822 ^{[ 21 ]}

นักประวัติศาสตร์มีความเห็นแตกต่างกันว่าควรให้เครดิตแก่ Lagrange และคนอื่นๆ มากน้อยเพียงใดในการพัฒนาทฤษฎีฟูริเยร์: Daniel BernoulliและLeonhard Eulerได้นำเสนอการแสดงฟังก์ชันด้วยตรีโกณมิติ และ Lagrange ได้ให้คำตอบอนุกรมฟูริเยร์สำหรับสมการคลื่น ดังนั้นการมีส่วนร่วมของฟูริเยร์ส่วนใหญ่จึงเป็นการอ้างอย่างกล้าหาญว่าฟังก์ชันใดๆ ก็สามารถแสดงได้ด้วยอนุกรมฟูริเยร์^{[ 17 ]}

การพัฒนาต่อมาของสาขานี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและ ยังเป็นตัวอย่างแรกเริ่มของทฤษฎีการแทนค่า อีกด้วย

อัลกอริทึมการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) ตัวแรกสำหรับ DFT ถูกค้นพบเมื่อราวปี ค.ศ. 1805 โดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์เมื่อทำการประมาณค่าจากการวัดวงโคจรของดาวเคราะห์น้อยจูโนและพัลลัสแม้ว่าอัลกอริทึม FFT เฉพาะนี้มักจะถูกยกให้เป็นผลงานของผู้ค้นพบใหม่ในยุคปัจจุบันอย่างคูลีย์และทูคีย์ก็ตาม^{[ 18 ] [ 16 ]}

ใน แง่ของ การประมวลผลสัญญาณฟังก์ชัน (ของเวลา) คือการแสดงสัญญาณด้วยความละเอียดของเวลา ที่สมบูรณ์แบบ แต่ไม่มีข้อมูลความถี่ ในขณะที่การแปลงฟูริเยร์มีความละเอียดของความถี่ ที่สมบูรณ์แบบ แต่ไม่มีข้อมูลเวลา

ในการวิเคราะห์เวลา-ความถี่ นอกเหนือจากการแปลงฟูริเยร์ แล้ว ยังใช้การแปลงเวลา-ความถี่เพื่อแสดงสัญญาณในรูปแบบที่มีทั้งข้อมูลเวลาและข้อมูลความถี่ โดยอาศัยหลักการความไม่แน่นอนจึงมีการแลกเปลี่ยนระหว่างข้อมูลทั้งสองนี้ การแปลงเหล่านี้อาจเป็นการขยายความของการแปลงฟูริเยร์ เช่นการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น การแปลง กาบอร์หรือการแปลงฟูริเยร์แบบเศษส่วน (FRFT) หรืออาจใช้ฟังก์ชันที่แตกต่างกันเพื่อแสดงสัญญาณ เช่นการแปลงเวฟเล็ตและการแปลงชิปเล็ต โดยการแปลงเวฟเล็ตแบบต่อเนื่องเป็นการแปลงเวฟเล็ตแบบ ต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการแปลงที่เทียบเท่ากับการแปลงฟู ริเย ร์ (แบบต่อเนื่อง)

รูปแบบต่างๆ ของฟูริเยร์ยังสามารถขยายไปสู่การแปลงฟูริเยร์บนกลุ่มโทโพโลยีอาเบเลียนที่กะทัดรัดเฉพาะที่ ใดๆ ก็ได้ ซึ่งมีการศึกษาในวิเคราะห์ฮาร์มอนิกโดยที่การแปลงฟูริเยร์จะแปลงฟังก์ชันบนกลุ่มหนึ่งไปเป็นฟังก์ชันบนกลุ่มคู่ขนาน การดำเนินการนี้ยังช่วยให้สามารถกำหนดทฤษฎีบทการสังเคราะห์ แบบทั่วไปได้ ซึ่งเชื่อมโยงการแปลงฟูริเยร์และการสังเคราะห์ เข้าด้วย กัน ดูเพิ่มเติมที่ทฤษฎีบทคู่ขนานของปอนทรียาจินสำหรับพื้นฐานทั่วไปของการแปลงฟูริเยร์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวิเคราะห์ฟูริเยร์สามารถทำได้บนโคเซต^{[ 22 ]}แม้กระทั่งโคเซตแบบไม่ต่อเนื่อง

• ตารางการแปลงอินทิกรัลที่ EqWorld: โลกแห่งสมการทางคณิตศาสตร์
• คำอธิบายเชิงลึกเกี่ยวกับทฤษฎีฟูริเยร์โดย สตีเวน เลฮาร์
• ชุดบรรยายเรื่องการประมวลผลภาพ: รวม 18 บรรยายในรูปแบบไฟล์ PDF จากมหาวิทยาลัยแวนเดอร์บิลต์ บรรยายที่ 6 เกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์แบบ 1 มิติและ 2 มิติ บรรยายที่ 7-15 ใช้การแปลงฟูริเยร์นี้โดย อลัน ปีเตอร์ส
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "การหาผลรวม Σ (และการวิเคราะห์ฟูริเยร์)" . Sixty Symbols . Brady Haranสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .
• บทนำเกี่ยวกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์ของอนุกรมเวลาในระดับปานกลาง