ในแคลคูลัสเวกเตอร์ ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเกาส์ หรือทฤษฎีบทของออสโตรกราดสกี [ 1 ] เป็น ที่ เชื่อมโยงฟลักซ์ สนามเวกเตอร์ ผ่าน พื้นผิว ปิดกับไดเวอร์เจนซ์
กล่าวโดยละเอียดแล้ว ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ระบุว่าอินทิกรัลพื้นผิว ของสนามเวกเตอร์บนพื้นผิวปิด ซึ่งเรียกว่า "ฟลักซ์" ผ่านพื้นผิวนั้น เท่ากับอินทิกรัลปริมาตร ของไดเวอร์เจนซ์เหนือบริเวณที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวนั้น โดยสัญชาตญาณแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า "ผลรวมของแหล่งกำเนิดทั้งหมดของสนามในบริเวณหนึ่ง (โดยถือว่าแหล่งดูดเป็นแหล่งกำเนิดเชิงลบ) จะให้ฟลักซ์สุทธิที่ไหลออกจากบริเวณนั้น"
ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญสำหรับคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ และวิศวกรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในไฟฟ้าสถิต และพลศาสตร์ของไหล ในสาขาเหล่านี้ มักจะนำไปใช้ในสามมิติ อย่างไรก็ตาม มันสามารถขยาย ไปสู่จำนวนมิติใดๆ ก็ได้ ในหนึ่งมิติ มันเทียบเท่ากับทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส ในสองมิติ มันเทียบเท่ากับทฤษฎีบทของกรี น
คำอธิบายโดยใช้การไหลของของเหลว โดยทั่วไปแล้ว สนามเวกเตอร์ มักถูกอธิบายโดยใช้ตัวอย่างของ สนาม ความเร็ว ของของไหล เช่น แก๊สหรือของเหลว ของเหลวที่เคลื่อนที่นั้นมีความเร็ว—ทั้งอัตราเร็วและทิศทาง—ในแต่ละจุด ซึ่งสามารถแทนด้วยเวกเตอร์ ได้ ดังนั้นความเร็วของของเหลวในแต่ละช่วงเวลาจึงก่อให้เกิดสนามเวกเตอร์ ลองพิจารณาพื้นผิวปิดS ภายในตัวของเหลว ซึ่งล้อมรอบปริมาตรของของเหลว อัตราการไหล ของของเหลวออกจากปริมาตรในแต่ละช่วงเวลาจะเท่ากับอัตราปริมาตรของของเหลวที่ไหลผ่านพื้นผิวนี้ กล่าวคือ ปริมาณอินทิกรัล ของความเร็วบนพื้นผิว
ภายใต้สมมติฐานของของเหลวที่ไม่สามารถอัดได้ ปริมาณของเหลวภายในปริมาตรปิดจะมีค่าคงที่ หากไม่มีแหล่งกำเนิดหรือแหล่งดูดซับ ภายในปริมาตรนั้น อัตราการไหลของของเหลวออกจากปริมาตรS จะเป็นศูนย์ หากของเหลวกำลังเคลื่อนที่ มันอาจไหลเข้าสู่ปริมาตรที่บางจุดบนพื้นผิวS และไหลออกจากปริมาตรที่จุดอื่น ๆ แต่ปริมาณที่ไหลเข้าและไหลออกในแต่ละช่วงเวลาจะเท่ากัน ดังนั้น อัตราการไหล สุทธิ ของของเหลวออกจากปริมาตรจึงเป็นศูนย์
อย่างไรก็ตาม หากมีแหล่ง ของเหลวอยู่ภายในพื้นผิวปิด เช่น ท่อที่ของเหลวไหลผ่าน ของเหลวที่เพิ่มเข้ามาจะสร้างแรงดันต่อของเหลวโดยรอบ ทำให้เกิดการไหลออกไปในทุกทิศทาง ซึ่งจะทำให้เกิดการไหลสุทธิออกไปภายนอกผ่านพื้นผิวS อัตราการไหลออกไปภายนอกผ่านS จะเท่ากับอัตราปริมาตรการไหลของของเหลวเข้าสู่S จากท่อ ในทำนองเดียวกัน หากมีอ่าง หรือท่อระบายอยู่ภายในS เช่น ท่อที่ระบายของเหลวออก แรงดันภายนอกของของเหลวจะทำให้เกิดความเร็วทั่วทั้งของเหลวที่พุ่งเข้าด้านในไปยังตำแหน่งของท่อระบาย อัตราปริมาตรการไหลของของเหลวเข้าสู่ภายในผ่านพื้นผิวS จะเท่ากับอัตราการไหลของของเหลวที่ถูกระบายออกโดยอ่าง
หากมีแหล่งกำเนิดและแหล่งรับของเหลวหลายแหล่งภายในS ฟลักซ์ที่ไหลผ่านพื้นผิวสามารถคำนวณได้โดยการบวกอัตราปริมาตรของของเหลวที่เพิ่มเข้ามาจากแหล่งกำเนิดและลบอัตราของของเหลวที่ระบายออกจากแหล่งรับ อัตราปริมาตรของการไหลของของเหลวผ่านแหล่งกำเนิดหรือแหล่งรับ (โดยการไหลผ่านแหล่งรับจะมีเครื่องหมายลบ) เท่ากับไดเวอร์เจนซ์ S จะเท่ากับอัตราปริมาตรของฟลักซ์ผ่านS นี่คือทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์[ 2 ]
ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ถูกนำมาใช้ในกฎการอนุรักษ์ ใดๆ ซึ่งระบุว่าปริมาตรทั้งหมดของแหล่งดูดซับและแหล่งจ่าย นั่นคือปริมาตรอินทิกรัลของไดเวอร์เจนซ์ เท่ากับการไหลสุทธิข้ามขอบเขตของปริมาตร[ 3 ]
ข้อความทางคณิตศาสตร์ บริเวณV ที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวS = ∂ V โดยมีเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวเป็นn สมมติว่าV เป็นเซตย่อย ของ(ในกรณีที่n = 3, V ปริภูมิสามมิติ ) ซึ่งเป็นเซตกระชับ และมีขอบเขตเรียบ เป็นช่วงๆ S (ระบุด้วย) ถ้าF บริเวณใกล้เคียง ของV แล้ว: [ 4 ] [ 5 ] อาร์ n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ∂ วี = เอส {\displaystyle \partial V=S}
∭ วี ( ∇ ⋅ เอฟ ) ง วี = {\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=} เอส {\displaystyle \scriptstyle S} ( เอฟ ⋅ n ^ ) ง เอส . {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.} ด้านซ้ายคือปริพันธ์ปริมาตร เหนือปริมาตรV และด้านขวาคือปริพันธ์พื้นผิว เหนือขอบเขตของปริมาตรV เซตที่ปิดและวัดได้นั้นวางแนวโดยเวกเตอร์ปกติ ที่ชี้ออกด้านนอก และคือเวกเตอร์ปกติหน่วยที่ชี้ออกด้านนอกเกือบทุกจุดบนขอบเขต( อาจใช้เป็นตัวย่อสำหรับ) ในแง่ของคำอธิบายเชิงสัญชาตญาณข้างต้น ด้านซ้ายของสมการแสดงถึงผลรวมของแหล่งกำเนิดในปริมาตรV และด้านขวาแสดงถึงการไหลทั้งหมดข้ามขอบเขต S ∂ วี {\displaystyle \partial V} n ^ {\displaystyle \mathbf {\หมวก {n}} } ∂ วี {\displaystyle \partial V} ง เอส {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} } n ง เอส {\displaystyle \mathbf {n} \mathrm {d} S}
ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า หากปริมาตรV ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆฟลักซ์ ที่ออกจากปริมาตรเดิมจะเท่ากับผลรวมทางพีชคณิตของฟลักซ์ที่ออกจากปริมาตรแต่ละส่วน[ 6 ] [ 7 ]
ปริมาตรหนึ่งถูกแบ่งออกเป็นสองปริมาตรย่อย ทางด้านขวา ปริมาตรย่อยทั้งสองถูกแยกออกจากกันเพื่อแสดงการไหลออกของสารจากพื้นผิวที่แตกต่างกัน ดูแผนภาพ ปริมาตรปิดที่มีขอบเขตV ถูกแบ่งออกเป็นสองปริมาตรV 1 V 2 S 3 (สีเขียว) Φ( V i ) ที่ไหลออกจากแต่ละบริเวณV i
Φ ( วี 1 ) + Φ ( วี 2 ) = Φ 1 + Φ 31 + Φ 2 + Φ 32 {\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}} โดยที่Φ 1 และΦ 2 คือฟลักซ์ที่ออกจากพื้นผิวS 1 S 2 Φ 31 คือฟลักซ์ที่ผ่านS 3 Φ 32 คือฟลักซ์ที่ผ่านS 3 S 3 เวกเตอร์ปกติ จะตรงข้ามกันสำหรับแต่ละปริมาตร ดังนั้นฟลักซ์ที่ออกจากปริมาตรหนึ่งผ่านS 3 n ^ {\displaystyle \mathbf {\หมวก {n}} }
Φ 31 = ∬ เอส 3 เอฟ ⋅ n ^ ง เอส = − ∬ เอส 3 เอฟ ⋅ ( − n ^ ) ง เอส = − Φ 32 {\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\พี _{\ข้อความ{32}}} ดังนั้น:
Φ ( วี 1 ) + Φ ( วี 2 ) = Φ 1 + Φ 2 {\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}} เนื่องจากผลรวมของพื้นผิวS 1 S 2 S
Φ ( วี 1 ) + Φ ( วี 2 ) = Φ ( วี ) {\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}
ปริมาตรสามารถแบ่งออกเป็นปริมาตรย่อยได้จำนวนเท่าใดก็ได้ และฟลักซ์ที่ออกจากV จะเท่ากับผลรวมของฟลักซ์ที่ออกจากแต่ละปริมาตรย่อย เนื่องจากฟลักซ์ที่ผ่าน พื้นผิว สีเขียว จะหักล้างกันในผลรวม ในภาพ (b) ปริมาตรต่างๆ ถูกแสดงแยกออกจากกันเล็กน้อย เพื่อแสดงให้เห็นว่าแต่ละส่วนแบ่งสีเขียวเป็นส่วนหนึ่งของขอบเขตของปริมาตรที่อยู่ติดกันสองปริมาตร หลักการนี้ใช้ได้กับปริมาตรที่แบ่งออกเป็นส่วนจำนวนเท่าใดก็ได้ ดังแสดงในแผนภาพ[ 7 ] (พื้นผิวสีเขียว) (สีเทา)
Φ ( วี ) = ∑ วี ฉัน ⊂ วี Φ ( วี ฉัน ) {\displaystyle \Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}
เมื่อปริมาตรถูกแบ่งออกเป็นส่วนย่อยๆ อัตราส่วนของการไหลออกจากแต่ละปริมาตรต่อปริมาตรทั้งหมดจะเข้าใกล้ ค่าหนึ่งΦ ( วี ฉัน ) {\displaystyle \พี (V_{\text{i}})} | วี ฉัน | {\displaystyle |V_{\text{i}}|} ดิฟ เอฟ {\displaystyle \ตัวดำเนินการ {div} \mathbf {F} } ฟลักซ์Φ ที่ออกจากแต่ละปริมาตรคือปริพันธ์พื้นผิวของสนามเวกเตอร์F ( x )
∬ เอส ( วี ) เอฟ ⋅ n ^ ง เอส = ∑ วี ฉัน ⊂ วี ∬ เอส ( วี ฉัน ) เอฟ ⋅ n ^ ง เอส {\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\คณิตศาสตร์ {d} ส} เป้าหมายคือการแบ่งปริมาตรเดิมออกเป็นปริมาตรเล็กๆ จำนวนอนันต์ เมื่อปริมาตรถูกแบ่งออกเป็นส่วนที่เล็กลงเรื่อยๆ ปริมาณอินทิกรัลพื้นผิวทางด้านขวา ซึ่งเป็นฟลักซ์ที่ไหลออกจากปริมาตรย่อยแต่ละส่วน จะเข้าใกล้ศูนย์ เนื่องจากพื้นที่ผิวS ( V i )ไดเวอร์เจน ซ์ อัตราส่วนของฟลักซ์ต่อปริมาตรซึ่งเป็นส่วนที่อยู่ในวงเล็บด้านล่าง โดยทั่วไปจะไม่เป็นศูนย์ แต่จะเข้าใกล้ไดเวอร์เจนซ์ div F [ 7 ] Φ ( วี ฉัน ) | วี ฉัน | = 1 | วี ฉัน | ∬ เอส ( วี ฉัน ) เอฟ ⋅ n ^ ง เอส {\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}
∬ เอส ( วี ) เอฟ ⋅ n ^ ง เอส = ∑ วี ฉัน ⊂ วี ( 1 | วี ฉัน | ∬ เอส ( วี ฉัน ) เอฟ ⋅ n ^ ง เอส ) | วี ฉัน | {\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|} ตราบใดที่เวกเตอร์ฟิลด์F ( x )จริง แม้ ในกรณีที่ปริมาตรถูกแบ่งออกเป็นส่วนย่อยเล็ก ๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด
∬ เอส ( วี ) เอฟ ⋅ n ^ ง เอส = ลิม | วี ฉัน | → 0 ∑ วี ฉัน ⊂ วี ( 1 | วี ฉัน | ∬ เอส ( วี ฉัน ) เอฟ ⋅ n ^ ง เอส ) | วี ฉัน | {\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|} เมื่อปริมาตรเข้าใกล้ศูนย์ มันจะกลายเป็นdV ปริมาตรอินทิกรัล เหนือV | V i | {\displaystyle |V_{\text{i}}|}
∬ S ( V ) F ⋅ n ^ d S = ∭ V div F d V {\displaystyle \;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;}
เนื่องจากการพิสูจน์นี้ไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด จึงแสดงให้เห็นว่าค่าความแตกต่างไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดที่ใช้
หลักฐาน
สำหรับเซตย่อยเปิดที่มีขอบเขตในปริภูมิยุคลิด เราจะทำการพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้:
ทฤษฎีบท — ให้เป็นเซตเปิดและมีขอบเขตถ้าอยู่บนย่านใกล้เคียงแบบเปิดของนั่นคือแล้วสำหรับแต่ละโดย ที่เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากที่ชี้ออกไปยัง หรือเทียบเท่ากับ Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} C 1 {\displaystyle C^{1}} u {\displaystyle u} C 1 {\displaystyle C^{1}} O {\displaystyle O} Ω ¯ {\displaystyle {\overline {\Omega }}} u ∈ C 1 ( O ) {\displaystyle u\in C^{1}(O)} i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} ∫ Ω u x i d V = ∫ ∂ Ω u ν i d S , {\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,} ν : ∂ Ω → R n {\displaystyle \nu :\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } ∫ Ω ∇ u d V = ∫ ∂ Ω u ν d S . {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}
พิสูจน์ทฤษฎีบท [ 8 ]
ขั้นตอนแรกคือการลดให้เหลือกรณีที่เลือกเช่นนั้นบนสังเกตว่าและบนดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับดังนั้นเราอาจสมมติว่าu ∈ C c 1 ( R n ) {\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})} ϕ ∈ C c ∞ ( O ) {\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(O)} ϕ = 1 {\displaystyle \phi =1} Ω ¯ {\displaystyle {\overline {\Omega }}} ϕ u ∈ C c 1 ( O ) ⊂ C c 1 ( R n ) {\displaystyle \phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})} ϕ u = u {\displaystyle \phi u=u} Ω ¯ {\displaystyle {\overline {\Omega }}} ϕ u {\displaystyle \phi u} u ∈ C c 1 ( R n ) {\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})} ให้เป็นค่าใดๆ สมมติฐานที่ว่ามีขอบเขต หมายความว่ามีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของในลักษณะที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน โดยที่ อยู่ด้านใดด้านหนึ่งของกราฟนี้ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น หมายความว่าหลังจากการเลื่อนและการหมุนของจะมีและและฟังก์ชันในลักษณะที่ โดยใช้สัญลักษณ์ x 0 ∈ ∂ Ω {\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega } Ω ¯ {\displaystyle {\overline {\Omega }}} C 1 {\displaystyle C^{1}} U {\displaystyle U} x 0 {\displaystyle x_{0}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ∂ Ω ∩ U {\displaystyle \partial \Omega \cap U} C 1 {\displaystyle C^{1}} Ω ∩ U {\displaystyle \Omega \cap U} Ω {\displaystyle \Omega } r > 0 {\displaystyle r>0} h > 0 {\displaystyle h>0} C 1 {\displaystyle C^{1}} g : R n − 1 → R {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} } x ′ = ( x 1 , … , x n − 1 ) , {\displaystyle x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),} U = { x ∈ R n : | x ′ | < r and | x n − g ( x ′ ) | < h } {\displaystyle U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}} x ∈ U {\displaystyle x\in U} x n = g ( x ′ ) ⟹ x ∈ ∂ Ω , − h < x n − g ( x ′ ) < 0 ⟹ x ∈ Ω , 0 < x n − g ( x ′ ) < h ⟹ x ∉ Ω . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}}
เนื่องจากเป็นเซตกระชับ เราจึงสามารถคลุม ด้วยย่านใกล้เคียง ที่มีรูปแบบข้างต้นได้จำนวนจำกัด สังเกตว่า เป็นการคลุมแบบเปิดของโดยใช้การแบ่งส่วนของเอกภาพ ที่อยู่ภายใต้การคลุมนี้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทในกรณีที่ มี ส่วนรองรับ กระชับในหรือมีส่วนรองรับกระชับในบางถ้ามีส่วนรองรับกระชับในแล้วสำหรับทุกโดยทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส และเนื่องจากหายไปในย่านใกล้เคียงของดังนั้นทฤษฎีบทจึงเป็นจริงสำหรับที่มีส่วนรองรับกระชับในดังนั้นเราจึงลดเหลือกรณีที่มีส่วนรองรับกระชับในบาง∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } U 1 , … , U N {\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}} { Ω , U 1 , … , U N } {\displaystyle \{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}} Ω ¯ = Ω ∪ ∂ Ω {\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega } C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} u {\displaystyle u} Ω {\displaystyle \Omega } u {\displaystyle u} U j {\displaystyle U_{j}} u {\displaystyle u} Ω {\displaystyle \Omega } i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} ∫ Ω u x i d V = ∫ R n u x i d V = ∫ R n − 1 ∫ − ∞ ∞ u x i ( x ) d x i d x ′ = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0} ∫ ∂ Ω u ν i d S = 0 {\displaystyle \int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0} u {\displaystyle u} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } u {\displaystyle u} Ω {\displaystyle \Omega } u {\displaystyle u} U j {\displaystyle U_{j}} ดังนั้นสมมติว่ามีส่วนรองรับแบบกระชับในบางจุดขั้นตอนสุดท้ายคือการแสดงว่าทฤษฎีบทนี้เป็นจริงโดยการคำนวณโดยตรง เปลี่ยนสัญลักษณ์เป็นและนำสัญลักษณ์จาก (2) ที่ใช้ในการอธิบายเข้ามาโปรดทราบว่านี่หมายความว่าเราได้หมุนและแปลแล้วนี่เป็นการลดรูปที่ถูกต้องเนื่องจากทฤษฎีบทนี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนและการแปลพิกัด เนื่องจากสำหรับและสำหรับเราจึงมีสำหรับแต่ละที่ สำหรับเรามีโดยทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสว่า ตอนนี้กำหนดโปรดทราบว่า กำหนดโดยโดยกฎลูกโซ่ แต่เนื่องจากมีส่วนรองรับแบบกระชับ เราสามารถอินทิเกรตออกก่อนเพื่อสรุปได้ว่า ดังนั้น โดยสรุป ด้วยเรามี จำได้ว่าเวกเตอร์ปกติหน่วยภายนอกของกราฟของที่จุดคือและองค์ประกอบพื้นผิวจะกำหนดโดยดังนั้น นี่เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์u {\displaystyle u} U j {\displaystyle U_{j}} U = U j {\displaystyle U=U_{j}} U {\displaystyle U} Ω {\displaystyle \Omega } u ( x ) = 0 {\displaystyle u(x)=0} | x ′ | ≥ r {\displaystyle |x'|\geq r} | x n − g ( x ′ ) | ≥ h {\displaystyle |x_{n}-g(x')|\geq h} i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} ∫ Ω u x i d V = ∫ | x ′ | < r ∫ g ( x ′ ) − h g ( x ′ ) u x i ( x ′ , x n ) d x n d x ′ = ∫ R n − 1 ∫ − ∞ g ( x ′ ) u x i ( x ′ , x n ) d x n d x ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}} i = n {\displaystyle i=n} ∫ R n − 1 ∫ − ∞ g ( x ′ ) u x n ( x ′ , x n ) d x n d x ′ = ∫ R n − 1 u ( x ′ , g ( x ′ ) ) d x ′ . {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.} i ∈ { 1 , … , n − 1 } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n-1\}} ∫ R n − 1 ∫ − ∞ g ( x ′ ) u x i ( x ′ , x n ) d x n d x ′ = ∫ R n − 1 ∫ − ∞ 0 u x i ( x ′ , g ( x ′ ) + s ) d s d x ′ {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'} v : R n → R {\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } v ( x ′ , s ) = u ( x ′ , g ( x ′ ) + s ) {\displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)} v x i ( x ′ , s ) = u x i ( x ′ , g ( x ′ ) + s ) + u x n ( x ′ , g ( x ′ ) + s ) g x i ( x ′ ) . {\displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').} v {\displaystyle v} d x i {\displaystyle dx_{i}} ∫ R n − 1 ∫ − ∞ 0 v x i ( x ′ , s ) d s d x ′ = 0. {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.} ∫ R n − 1 ∫ − ∞ 0 u x i ( x ′ , g ( x ′ ) + s ) d s d x ′ = ∫ R n − 1 ∫ − ∞ 0 − u x n ( x ′ , g ( x ′ ) + s ) g x i ( x ′ ) d s d x ′ = ∫ R n − 1 − u ( x ′ , g ( x ′ ) ) g x i ( x ′ ) d x ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}} ∇ u = ( u x 1 , … , u x n ) {\displaystyle \nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})} ∫ Ω ∇ u d V = ∫ R n − 1 ∫ − ∞ g ( x ′ ) ∇ u d V = ∫ R n − 1 u ( x ′ , g ( x ′ ) ) ( − ∇ g ( x ′ ) , 1 ) d x ′ . {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.} Γ {\displaystyle \Gamma } g {\displaystyle g} ( x ′ , g ( x ′ ) ) ∈ Γ {\displaystyle (x',g(x'))\in \Gamma } ν ( x ′ , g ( x ′ ) ) = 1 1 + | ∇ g ( x ′ ) | 2 ( − ∇ g ( x ′ ) , 1 ) {\displaystyle \nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)} d S {\displaystyle dS} d S = 1 + | ∇ g ( x ′ ) | 2 d x ′ {\textstyle dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'} ∫ Ω ∇ u d V = ∫ ∂ Ω u ν d S . {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}
สำหรับแมนิโฟลด์รีมันน์ขนาดกะทัดรัดที่มีขอบเขต เราจะทำการพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้:
ทฤษฎีบท — ให้เป็นแมนิโฟลด์กระชับที่มีขอบเขตเป็นเทนเซอร์เมตริกให้แทนส่วนภายในของแมนิโฟลด์และให้แทนขอบเขตของแมนิโฟลด์ให้แทนผลคูณภายในของฟังก์ชัน และแทนผลคูณภายในของเวกเตอร์ สมมติว่าและเป็นฟิลด์เวกเตอร์บน แล้วโดย ที่เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับ ที่ชี้ออกไปด้านนอก Ω ¯ {\displaystyle {\overline {\Omega }}} C 2 {\displaystyle C^{2}} C 1 {\displaystyle C^{1}} g {\displaystyle g} Ω {\displaystyle \Omega } Ω ¯ {\displaystyle {\overline {\Omega }}} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } Ω ¯ {\displaystyle {\overline {\Omega }}} ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} L 2 ( Ω ¯ ) {\displaystyle L^{2}({\overline {\Omega }})} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } u ∈ C 1 ( Ω ¯ , R ) {\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )} X {\displaystyle X} C 1 {\displaystyle C^{1}} Ω ¯ {\displaystyle {\overline {\Omega }}} ( grad u , X ) = − ( u , div X ) + ∫ ∂ Ω u ⟨ X , N ⟩ d S , {\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,} N {\displaystyle N} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega }
พิสูจน์ทฤษฎีบท [ 9 ] ทฤษฎีบทการยืดตรงสำหรับฟิลด์เวกเตอร์ เราอาจเลือกเพื่อให้เป็นเวกเตอร์ปกติหน่วยเข้าด้านในที่ในกรณีนี้คือองค์ประกอบปริมาตรบนและสูตรข้างต้นอ่านได้ ดังนี้ ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ u {\displaystyle u} X {\displaystyle X} O ⊂ Ω ¯ {\displaystyle O\subset {\overline {\Omega }}} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } O {\displaystyle O} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ( grad u , X ) = ∫ O ⟨ grad u , X ⟩ g d x = ∫ O ∂ j u X j g d x = − ∫ O u ∂ j ( g X j ) d x = − ∫ O u 1 g ∂ j ( g X j ) g d x = ( u , − 1 g ∂ j ( g X j ) ) = ( u , − div X ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\[5pt]&=-\int _{O}u\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right)\,dx\\[5pt]&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right){\sqrt {g}}\,dx\\[5pt]&=\left(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right)\right)\\[5pt]&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}} − div {\displaystyle -\operatorname {div} } grad {\displaystyle \operatorname {grad} } O {\displaystyle O} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } O {\displaystyle O} R + n = { x ∈ R n : x n ≥ 0 } {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}} u {\displaystyle u} X {\displaystyle X} R + n {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}} ( grad u , X ) = ∫ O ⟨ grad u , X ⟩ g d x = ∫ R + n ∂ j u X j g d x = ( u , − div X ) − ∫ R n − 1 u ( x ′ , 0 ) X n ( x ′ , 0 ) g ( x ′ , 0 ) d x ′ , {\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}} d x ′ = d x 1 ⋯ d x n − 1 {\displaystyle dx'=dx_{1}\cdots dx_{n-1}} O {\displaystyle O} ∂ ∂ x n {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}} − N {\displaystyle -N} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } g ( x ′ , 0 ) d x ′ = g ∂ Ω ( x ′ ) d x ′ = d S {\displaystyle {\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } ( grad u , X ) = ( u , − div X ) + ∫ ∂ Ω u ⟨ X , N ⟩ d S . {\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.}
บทสรุป โดยการแทนที่F เอกลักษณ์เวกเตอร์ ) [ 10 ]
โดยที่g เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ และ F F → F g {\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g} ∭ V [ F ⋅ ( ∇ g ) + g ( ∇ ⋅ F ) ] d V = {\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} g F ⋅ n d S . {\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.} กรณีพิเศษของเรื่องนี้คือซึ่งในกรณีนี้ทฤษฎีบทจะเป็นพื้นฐานสำหรับเอกลักษณ์ของกรี นF = ∇ f {\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f} สำหรับเวกเตอร์ฟิลด์สองตัวF G F → F × G {\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} } × {\displaystyle \times } ∭ V ∇ ⋅ ( F × G ) d V = ∭ V [ G ⋅ ( ∇ × F ) − F ⋅ ( ∇ × G ) ] d V = {\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} ( F × G ) ⋅ n d S . {\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.} สำหรับเวกเตอร์ฟิลด์สองตัวF G ผลคูณดอ ทF → F ⋅ G {\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} } ⋅ {\displaystyle \cdot } ∭ V ∇ ( F ⋅ G ) d V = ∭ V [ ( ∇ G ) ⋅ F + ( ∇ F ) ⋅ G ] d V = {\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} ( F ⋅ G ) n d S . {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \,\mathrm {d} S.} สำหรับฟังก์ชันสเกลาร์f c : [ 11 ] F → f c {\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} } ∭ V c ⋅ ∇ f d V = {\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} ( c f ) ⋅ n d S − ∭ V f ( ∇ ⋅ c ) d V . {\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.} พจน์สุดท้ายทางด้านขวาจะหายไปเมื่อสนามเวกเตอร์คงที่หรือสนามเวกเตอร์ที่ไม่มีการล divergence (solenoidal) เช่น การไหลที่ไม่สามารถอัดได้โดยไม่มีแหล่งกำเนิดหรือตัวดูด เช่น การเปลี่ยนเฟสหรือปฏิกิริยาเคมี เป็นต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดให้เป็นค่าคงที่:c {\displaystyle \mathbf {c} } c {\displaystyle \mathbf {c} } ∭ V ∇ f d V = {\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} f n d S . {\displaystyle f\mathbf {n} \,\mathrm {d} S.} โดยมีเวกเตอร์ฟิลด์F c : [ 11 ] F → c × F {\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} } ∭ V c ⋅ ( ∇ × F ) d V = {\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} ( F × c ) ⋅ n d S . {\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.} โดยการเรียงลำดับผลคูณสามตัวใหม่ ทางด้านขวามือและนำเวกเตอร์คงที่ของการอินทิกรัลออกไป ∭ V ( ∇ × F ) d V ⋅ c = {\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =} S {\displaystyle \scriptstyle S} ( d S × F ) ⋅ c . {\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .} เพราะฉะนั้น, ∭ V ( ∇ × F ) d V = {\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} n × F d S . {\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S.}
ตัวอย่าง สนามเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับตัวอย่างที่แสดง เวกเตอร์อาจชี้เข้าไปหรือชี้ออกมาจากทรงกลมก็ได้ ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์สามารถใช้คำนวณฟลักซ์ผ่านพื้นผิวปิด ที่ล้อมรอบปริมาตรอย่างสมบูรณ์ เช่น พื้นผิวใดๆ ทางด้านซ้าย แต่ไม่ สามารถ ใช้คำนวณฟลักซ์ผ่านพื้นผิวที่มีขอบเขตได้โดยตรง เช่น พื้นผิวทางด้านขวา (พื้นผิวเป็นสีน้ำเงิน ขอบเขตเป็นสีแดง) สมมติว่าเราต้องการประเมินค่า
S {\displaystyle \scriptstyle S} F ⋅ n d S , {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,} โดยที่S คือทรงกลมหน่วย ที่กำหนดโดย
S = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 } , {\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},} และF สนามเวกเตอร์
F = 2 x i + y 2 j + z 2 k . {\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .} การคำนวณอินทิกรัลนี้โดยตรงค่อนข้างยาก แต่เราสามารถทำให้การได้มาซึ่งผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ เนื่องจากทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์กล่าวว่าอินทิกรัลมีค่าเท่ากับ:
∭ W ( ∇ ⋅ F ) d V = 2 ∭ W ( 1 + y + z ) d V = 2 ∭ W d V + 2 ∭ W y d V + 2 ∭ W z d V , {\displaystyle {\begin{aligned}\iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V&=2\iiint _{W}\left(1+y+z\right)\ \mathrm {d} V\\&=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,\end{aligned}}} โดยที่W คือทรงกลมหน่วย :
W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } . {\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.} เนื่องจากฟังก์ชันy มีค่าเป็นบวกในซีกโลกหนึ่งของW และมีค่าเป็นลบในอีกซีกโลกหนึ่ง ในลักษณะที่เท่ากันและตรงกันข้าม ดังนั้นปริพันธ์รวมของฟังก์ชัน y บนW จึงมีค่าเป็นศูนย์ และเช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับz ด้วย :
∭ W y d V = ∭ W z d V = 0. {\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.} ดังนั้น,
S {\displaystyle \scriptstyle S} F ⋅ n d S = 2 ∭ W d V = 8 π 3 , {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},} เนื่องจากทรงกลมหน่วยW มีปริมาตร 4π / 3
แอปพลิเคชัน
จากทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ทำให้กฎทางฟิสิกส์จำนวนมากสามารถเขียนได้ทั้งในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (โดยที่ปริมาณหนึ่งเป็นไดเวอร์เจนซ์ของอีกปริมาณหนึ่ง) และรูปแบบเชิงปริพันธ์ (โดยที่ฟลักซ์ของปริมาณหนึ่งผ่านพื้นผิวปิดเท่ากับอีกปริมาณหนึ่ง) ตัวอย่างสามประการ ได้แก่กฎของเกาส์ (ในไฟฟ้าสถิต ) กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็ก และกฎของเกาส์สำหรับแรงโน้ม ถ่วง
สมการความต่อเนื่อง สมการความต่อเนื่อง นำเสนอตัวอย่างเพิ่มเติมของกฎที่มีทั้งรูปแบบเชิงอนุพันธ์และเชิงปริพันธ์ ซึ่งมีความสัมพันธ์กันโดยทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ในพลศาสตร์ของไหล แม่เหล็กไฟฟ้า กลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีสัมพัทธภาพ และสาขาอื่นๆ อีกมากมาย มีสมการความต่อเนื่อง ที่อธิบายการอนุรักษ์มวล โมเมนตัม พลังงาน ความน่าจะเป็น หรือปริมาณอื่นๆ โดยทั่วไป สมการเหล่านี้ระบุว่าไดเวอร์เจนซ์ของการไหลของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้นั้นเท่ากับการกระจายของแหล่งกำเนิด หรือตัวดูดซับ ของปริมาณนั้น ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ระบุว่าสมการความต่อเนื่องใดๆ ดังกล่าวสามารถเขียนได้ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (ในแง่ของไดเวอร์เจนซ์) และรูปแบบเชิงปริพันธ์ (ในแง่ของฟลักซ์) [ 12 ]
กฎกำลังสองผกผัน กฎกำลังสองผกผัน กฎของเกาส์ ได้ (โดยมีรูปแบบเชิงอนุพันธ์และเชิงปริพันธ์ ดังที่อธิบายไว้ข้างต้น) ตัวอย่างสองประการคือกฎของเกาส์ (ในไฟฟ้าสถิต) ซึ่งได้มาจาก กฎ กำลังสองผกผัน ของคูลอมบ์ และกฎของเกาส์สำหรับแรงโน้มถ่วง ซึ่งได้มาจากกฎกำลังสองผกผันของนิวตันของแรงโน้มถ่วงสากล การได้มาซึ่งสมการประเภทกฎของเกาส์จากสูตรกำลังสองผกผันหรือในทางกลับกันนั้นเหมือนกันทุกประการในทั้งสองกรณี โปรดดูบทความใดบทความหนึ่งสำหรับรายละเอียด[ 12 ]
ประวัติศาสตร์ โจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ ได้นำเสนอแนวคิดเรื่องปริพันธ์พื้นผิวในปี 1760 และอีกครั้งในรูปแบบทั่วไปมากขึ้นในปี 1811 ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สองของMécanique Analytique ของ[ 13 ] [ 14 ]
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ยังใช้ปริพันธ์พื้นผิวขณะทำงานเกี่ยวกับการดึงดูดของทรงรีในปี พ.ศ. 2456 เมื่อเขาพิสูจน์กรณีพิเศษของทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์[ 15 ] [ 13 ] [ 16 ] มิคาอิล ออสโตรกราดสกี ที่ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบททั่วไปเป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2469 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการวิจัยการไหลของความร้อน[ 17 ] จอร์จ กรีน ในปี พ.ศ. 2461 ในเรียงความเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์กับทฤษฎีไฟฟ้าและแม่เหล็ก 18 ] [ 16 ] ซิเมออน เดนิส ปัวซง ในปี พ.ศ. 2467 ในบทความเกี่ยวกับความยืดหยุ่น และเฟรเดอริก ซาร์รัส ใน ปี [ 19 ] [ 16 ]
ตัวอย่างการใช้งาน
ตัวอย่างที่ 1 เพื่อตรวจสอบทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์แบบระนาบสำหรับบริเวณหนึ่ง: R {\displaystyle R}
R = { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 } , {\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},} และสนามเวกเตอร์:
F ( x , y ) = 2 y i + 5 x j . {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .} ขอบเขตของคือวงกลมหน่วยซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปแบบพาราเมตริกดังนี้: R {\displaystyle R} C {\displaystyle C}
x = cos ( s ) , y = sin ( s ) {\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)} โดยที่หน่วยเป็นความยาวส่วนโค้งจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งบนแล้วสมการเวกเตอร์ของคือ 0 ≤ s ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi } s {\displaystyle s} s = 0 {\displaystyle s=0} P {\displaystyle P} C {\displaystyle C} C {\displaystyle C}
C ( s ) = cos ( s ) i + sin ( s ) j . {\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .} ณ จุดหนึ่งบน: P {\displaystyle P} C {\displaystyle C}
P = ( cos ( s ) , sin ( s ) ) ⇒ F = 2 sin ( s ) i + 5 cos ( s ) j . {\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .} ดังนั้น,
∮ C F ⋅ n d s = ∫ 0 2 π ( 2 sin ( s ) i + 5 cos ( s ) j ) ⋅ ( cos ( s ) i + sin ( s ) j ) d s = ∫ 0 2 π ( 2 sin ( s ) cos ( s ) + 5 sin ( s ) cos ( s ) ) d s = 7 ∫ 0 2 π sin ( s ) cos ( s ) d s = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}} เนื่องจาก เรา จึง สามารถประเมินได้และ เนื่องจากดังนั้น M = R e ( F ) = 2 y {\displaystyle M={\mathfrak {Re}}(\mathbf {F} )=2y} ∂ M ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0} N = I m ( F ) = 5 x {\displaystyle N={\mathfrak {Im}}(\mathbf {F} )=5x} ∂ N ∂ y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}
∬ R ∇ ⋅ F d A = ∬ R ( ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y ) d A = 0. {\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}
ตัวอย่างที่ 2 สมมติว่าเราต้องการประเมินฟลักซ์ของสนามเวกเตอร์ ต่อไปนี้ ซึ่งกำหนดโดยและถูกจำกัดด้วยอสมการต่อไปนี้: F = 2 x 2 i + 2 y 2 j + 2 z 2 k {\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}
{ 0 ≤ x ≤ 3 } , { − 2 ≤ y ≤ 2 } , { 0 ≤ z ≤ 2 π } {\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}} ตามทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
∭ V ( ∇ ⋅ F ) d V = {\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} ( F ⋅ n ) d S . {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.} ตอนนี้เราต้องหาค่าไดเวอร์เจนซ์ของถ้าเป็นสนามเวกเตอร์สามมิติ ค่าไดเวอร์เจนซ์ของ จะ กำหนด โดยF {\displaystyle {\textbf {F}}} F {\displaystyle \mathbf {F} } F {\displaystyle {\textbf {F}}} ∇ ⋅ F = ( ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k ) ⋅ F {\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}
ดังนั้น เราสามารถตั้งค่าอินทิกรัลฟลักซ์ต่อไปนี้ ได้ดังนี้: I = {\displaystyle I=} S {\displaystyle {\scriptstyle S}} F ⋅ n d S , {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}
I = ∭ V ∇ ⋅ F d V = ∭ V ( ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z ) d V = ∭ V ( 4 x + 4 y + 4 z ) d V = ∫ 0 3 ∫ − 2 2 ∫ 0 2 π ( 4 x + 4 y + 4 z ) d V {\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}} เมื่อเราตั้งสมการอินทิกรัลเสร็จแล้ว เราก็สามารถคำนวณค่าอินทิกรัลได้
∫ 0 3 ∫ − 2 2 ∫ 0 2 π ( 4 x + 4 y + 4 z ) d V = ∫ − 2 2 ∫ 0 2 π ( 12 y + 12 z + 18 ) d y d z = ∫ 0 2 π 24 ( 2 z + 3 ) d z = 48 π ( 2 π + 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}
การสรุปโดยทั่วไป
มิติหลายมิติ เราสามารถใช้ทฤษฎีบทสโตกส์แบบทั่วไป เพื่อเทียบ ปริมาตรอินทิกรัล n มิติของไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์F U กับอิน ทิกรัลพื้นผิว ( n − 1) มิติของF U ได้ :
∫ ⋯ ∫ U ⏟ n ∇ ⋅ F d V = ∮ ⋯ ∮ ∂ U ⏟ n − 1 F ⋅ n d S {\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S} สมการนี้เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
เมื่อn = 2ทฤษฎีบทของกรี น
เมื่อn = 1ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส ภาค 2
ฟิลด์เทนเซอร์ การเขียนทฤษฎีบทในรูปแบบสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ :
∭ V ∂ F i ∂ x i d V = {\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} F i n i d S {\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S} โดยแนะนำว่า การแทนที่ฟิลด์เวกเตอร์F n T สามารถขยายความได้ดังนี้: [ 20 ]
∭ V ∂ T i 1 i 2 ⋯ i q ⋯ i n ∂ x i q d V = {\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\,\mathrm {d} V=} S {\displaystyle \scriptstyle S} T i 1 i 2 ⋯ i q ⋯ i n n i q d S . {\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.} โดยที่ในแต่ละด้านการหดตัวของเทนเซอร์ เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งดัชนี รูปแบบของทฤษฎีบทนี้ยังคงอยู่ในมิติ 3 มิติ โดยแต่ละดัชนีมีค่าเป็น 1, 2 และ 3 สามารถขยายความทั่วไปไปยังมิติที่สูงกว่า (หรือต่ำกว่า) ได้อีก (เช่น ไปยังปริภูมิเวลา 4 มิติ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป [ 21 ]
ดูเพิ่มเติม
ลิงก์ภายนอก 
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\[5pt]&=-\int _{O}u\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right)\,dx\\[5pt]&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right){\sqrt {g}}\,dx\\[5pt]&=\left(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right)\right)\\[5pt]&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ccee48b8434b5164d70506bda12f4a5f185660)
![{\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2423d13911c2504aaa900e167209926272cf9e)
![{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7545c1e2a215463f96180aa6566fc932cbf2fafb)
![{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\คณิตศาสตร์ {d} V=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8e82e763d252526e5c5cb4518b3615d250dc81)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\บางส่วน y}}+{\frac {\บางส่วน \mathbf {F_{z}} }{\บางส่วน z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d474d797d9611bde7396b5ad3c477fc3954e40fb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620b3ddd2e22372f036668159bdb83c2be45446e)
