ในแคลคูลัสเวกเตอร์และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีบทสโตกส์แบบทั่วไป (บางครั้งใช้เครื่องหมายอะพอสโทรฟีเป็น^{ทฤษฎีบท}สโตกส์หรือStokes's theorem ) หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทสโตกส์-คาร์ตัน [ ^{1 ]}เป็นข้อความเกี่ยวกับการบูรณาการของรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์ ซึ่งทั้งทำให้ ทฤษฎีบท หลายข้อ จากแคลคูลัสเวกเตอร์ง่ายขึ้นและเป็นแบบทั่วไปโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเป็นกรณีพิเศษที่แมนิโฟลด์เป็นส่วนของเส้นตรงทฤษฎีบทของกรีนและทฤษฎีบทของสโตกส์เป็นกรณีของพื้นผิวใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$หรือ​${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$และทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์เป็นกรณีของปริมาตรใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสหลายตัวแปร ^{[ 2 ]}

ทฤษฎีบทของสโตกส์กล่าวว่า อินทิกรัลของรูปแบบเชิงอนุพันธ์${\displaystyle \omega }$ข้ามพรมแดน${\displaystyle \partial \Omega }$ของแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ บางส่วน${\displaystyle \Omega }$เท่ากับปริพันธ์ของอนุพันธ์ภายนอก${\displaystyle d\omega }$ตลอดทั้ง⁠${\displaystyle \Omega }$กล่าวคือ $${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathop {} \!d\omega \,.}$$

ทฤษฎีบทของ Stokes ได้รับการกำหนดรูปแบบสมัยใหม่โดยÉlie Cartanในปี พ.ศ. 2488 ^{[ 3 ]}โดยอ้างอิงจากงานก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของแคลคูลัสเวกเตอร์โดยVito Volterra , Édouard GoursatและHenri Poincaré ^{[ 4 ] [ 5 ]}

ทฤษฎีบทของสโตกส์ในรูปแบบสมัยใหม่นี้เป็นการขยายความอย่างกว้างขวางของผลลัพธ์แบบคลาสสิกที่ลอร์ดเคลวินแจ้งให้จอร์จ สโตกส์ ทราบ ในจดหมายลงวันที่ 2 กรกฎาคม ค.ศ. 1850 ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}สโตกส์ตั้งทฤษฎีบทนี้เป็นคำถามใน การสอบ รางวัลสมิธใน ปี ค.ศ. 1854 ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ใช้ชื่อของเขาเป็นชื่อทฤษฎีบท โดยเฮอร์มันน์ ฮันเคลตี พิมพ์ครั้งแรก ในปี ค.ศ. 1861 ^{[ 8 ] [ 9 ]}กรณีคลาสสิกนี้เกี่ยวข้องกับปริพันธ์พื้นผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์${\displaystyle {\textbf {F}}}$เหนือพื้นผิว (นั่นคือฟลักซ์ของ⁠)${\displaystyle {\text{curl}}\,{\textbf {F}}}$)ในปริภูมิสามมิติแบบยุคลิดไปยังปริพันธ์เชิงเส้นของสนามเวกเตอร์เหนือขอบเขตพื้นผิว

ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองของแคลคูลัสกล่าวว่าอินทิกรัลของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ตลอดช่วงเวลา${\displaystyle [a,b]}$สามารถคำนวณได้โดยการหาอนุพันธ์ผกผัน${\displaystyle F}$ของ​${\displaystyle f}$:​ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$$

ทฤษฎีบทของสโตกส์เป็นการขยายความอย่างกว้างขวางของทฤษฎีบทนี้ในความหมายดังต่อไปนี้

• โดยการเลือกของ${\displaystyle F}$, ⁠​${\displaystyle \textstyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)}$ในแง่ของรูปแบบเชิงอนุพันธ์นี่หมายความว่า${\displaystyle f(x)\,dx}$คืออนุพันธ์ภายนอกของฟอร์ม 0 นั่นคือฟังก์ชัน⁠${\displaystyle F}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือว่า${\displaystyle dF=f\,dx}$ทฤษฎีบทสโตกส์ทั่วไปใช้ได้กับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ ที่ มีดีกรี สูงกว่า${\displaystyle \omega }$แทนที่จะใช้แค่ฟอร์ม 0 เช่น⁠${\displaystyle F}$⁠ .
• ช่วงเวลาปิด${\displaystyle [a,b]}$เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของแมนิโฟลด์หนึ่งมิติที่มีขอบเขตขอบเขตของมันคือเซตที่ประกอบด้วยจุดสองจุด${\displaystyle a}$และ​${\displaystyle b}$การบูร ณาการ${\displaystyle f}$ในช่วงเวลาดังกล่าว สามารถขยายความไปสู่รูปแบบการอินทิเกรตบนแมนิโฟลด์มิติสูงกว่าได้ จำเป็นต้องมีเงื่อนไขทางเทคนิคสองประการ คือ แมนิโฟลด์ต้องสามารถกำหนดทิศทางได้และรูปแบบต้องมีขอบเขตจำกัดเพื่อให้ได้อินทิกรัลที่นิยามได้ดี
• สองประเด็น${\displaystyle a}$และ${\displaystyle b}$สร้างขอบเขตของช่วงปิด โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทของสโตกส์ใช้ได้กับแมนิโฟลด์แบบมีทิศทาง${\displaystyle M}$พร้อมขอบเขต ขอบเขต${\displaystyle \partial M}$ของ${\displaystyle M}$ตัวมันเองเป็นแมนิโฟลด์และสืบทอดทิศทางตามธรรมชาติมาจาก⁠${\displaystyle M}$ตัวอย่างเช่น การวางแนวตามธรรมชาติของช่วงเวลาจะให้การวางแนวของจุดขอบเขตทั้งสองจุด ตามสัญชาตญาณแล้ว${\displaystyle a}$สืบทอดทิศทางตรงกันข้ามกับ⁠${\displaystyle b}$เนื่องจากอยู่ตรงข้ามกันที่ปลายช่วง ดังนั้น การ "อินทิเกรต"${\displaystyle F}$เหนือจุดขอบเขตสองจุด${\displaystyle a}$⁠ ,${\displaystyle b}$คือการนำส่วนต่างมาหาร${\displaystyle F(b)-F(a)}$⁠ .

กล่าวโดยง่ายยิ่งกว่านั้น เราสามารถพิจารณาจุดเหล่านั้นเป็นขอบเขตของเส้นโค้ง นั่นคือเป็นขอบเขต 0 มิติของแมนิโฟลด์ 1 มิติ ดังนั้น เช่นเดียวกับที่เราสามารถหาค่าของอินทิกรัลได้ ( ⁠${\displaystyle f\,dx=dF}$)บนแมนิโฟลด์ 1 มิติ ( ⁠${\displaystyle [a,b]}$)โดยพิจารณาจากอนุพันธ์ผกผัน ( ⁠${\displaystyle F}$)ที่ขอบเขต 0 มิติ ( ⁠${\displaystyle \{a,b\}}$)เราสามารถสรุปทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสได้ โดยมีข้อแม้เพิ่มเติมอีกเล็กน้อย เพื่อใช้ในการพิจารณาค่าของปริพันธ์ ( )${\displaystyle d\omega }$)มากกว่า ⁠${\displaystyle n}$แมนิโฟลด์ มิติ ( ⁠${\displaystyle \Omega }$)โดยพิจารณาจากอนุพันธ์ผกผัน ( ⁠${\displaystyle \omega }$)ที่ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ขอบเขตมิติ(${\displaystyle \partial \Omega }$)ของท่อร่วม

ดังนั้นทฤษฎีบทพื้นฐานจึงมีดังนี้: $${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\partial [a,b]}\,F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$$

อนุญาต${\displaystyle \Omega }$เป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีทิศทาง ของมิติ${\displaystyle n}$ด้วยขอบเขตและปล่อยให้${\displaystyle \alpha }$ราบรื่น​​${\displaystyle n}$-รูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีรองรับแบบกะทัดรัดบน${\displaystyle \Omega }$ก่อน อื่นสมมติว่า${\displaystyle \alpha }$รองรับได้อย่างกระชับในขอบเขตของแผนภูมิพิกัด แบบกำหนดทิศทาง เดียว${\displaystyle \{U,\varphi \}}$ในกรณีนี้ เรากำหนดอินทิกรัลของ${\displaystyle \alpha }$เกิน${\displaystyle \Omega }$เช่น $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$$ เช่น ผ่านการดึงกลับของ${\displaystyle \alpha }$ถึง⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ .

โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลของ${\displaystyle \alpha }$เกิน${\displaystyle \Omega }$กำหนดไว้ดังนี้: ให้${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$เป็นการแบ่งส่วนของเอกภาพที่เกี่ยวข้องกับปกคลุมที่มีขอบเขตจำกัดในท้องถิ่น${\displaystyle \{U_{i},\varphi _{i}\}}$ของแผนภูมิพิกัด (ที่มีทิศทางสม่ำเสมอ) จากนั้นกำหนดอินทิกรัล $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$$ โดยที่แต่ละพจน์ในผลรวมจะถูกประเมินโดยการดึงกลับไปยัง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ปริมาณนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจน กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกแผนภูมิพิกัด หรือการแบ่งส่วนของเอกภาพ

ทฤษฎีบทสโตกส์แบบทั่วไปมีดังนี้:

ที่นี่${\displaystyle d}$คืออนุพันธ์ภายนอกซึ่งกำหนดโดยใช้โครงสร้างของแมนิโฟลด์เท่านั้น ด้านขวามือบางครั้งเขียนได้ดังนี้${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$เพื่อเน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่า⁠${\displaystyle (n-1)}$-ท่อร่วม${\displaystyle \partial \Omega }$ไม่มีขอบเขต^{[หมายเหตุ 1 ]} (ข้อเท็จจริงนี้ยังเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของสโตกส์ด้วย เนื่องจากสำหรับพื้นผิวเรียบที่กำหนด⁠${\displaystyle n}$แมนิโฟลด์มิติ${\displaystyle \Omega }$การนำทฤษฎีบทไปใช้สองครั้งจะให้ผลลัพธ์ดังนี้${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$สำหรับสิ่งใดๆ${\displaystyle (n-2)}$-ฟอร์ม​${\displaystyle \omega }$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$ด้านขวาของสมการมักถูกนำมาใช้ในการกำหนดกฎเชิงปริพันธ์ในขณะที่ด้านซ้ายจะนำไปสู่ การกำหนดสูตรเชิง อนุพันธ์ ที่เทียบเท่ากัน (ดูด้านล่าง)

ทฤษฎีบทนี้มักถูกนำมาใช้ในสถานการณ์ต่างๆ ดังนี้${\displaystyle \Omega }$เป็นส่วนย่อยแบบฝังตัวที่มีทิศทางของส่วนย่อยที่ใหญ่กว่า ซึ่งมักจะเป็น⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่ง${\displaystyle \omega }$ได้รับการกำหนดแล้ว

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์เรียบซิมเพล็กซ์k เอก ฐาน (เรียบ) ในMถูกนิยามว่าเป็นแผนที่เรียบจากซิมเพล็กซ์มาตรฐานในR ^kไปยังMกลุ่มC ( M , Z )ของโซ่kเอก ฐาน บนMถูกนิยามให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระบนเซตของซิมเพล็กซ์kเอกฐานในMกลุ่มเหล่านี้ ร่วมกับแผนที่ขอบเขต∂กำหนดคอมเพล็กซ์โซ่กลุ่มโฮโมโลยี (หรือโคโฮโมโลยี) ที่สอดคล้องกันนั้นสม isomorphic กับกลุ่มโฮโมโลยีเอกฐาน ปกติ H ( M , Z ) (หรือกลุ่ม โคโฮโมโล ยีเอกฐานH ^k ( M , Z ) ) ซึ่งนิยามโดยใช้ซิมเพล็กซ์ต่อเนื่องแทนที่จะเป็นซิมเพล็กซ์เรียบในM

ในทางกลับกัน รูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีอนุพันธ์ภายนอกdเป็นแผนที่เชื่อมต่อ จะก่อให้เกิดคอมเพล็กซ์โคเชน ซึ่งกำหนดกลุ่ม โคฮอโมโลยีของเด อแรม${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$⁠ .

รูปแบบ kเชิงอนุพันธ์สามารถอินทิเกรตบน ซิมเพล็กซ์ k ได้ อย่างเป็นธรรมชาติ โดยการดึงกลับไปยังR ^kการขยายโดยใช้ความเป็นเชิงเส้นทำให้สามารถอินทิเกรตบนโซ่ได้ ซึ่งให้แผนที่เชิงเส้นจากปริภูมิของ รูปแบบ kไปยัง กลุ่มที่ kของโคเชนเอกฐานC ^k ( M , Z )ซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนC ( M , Z )กล่าวอีกนัยหนึ่งรูปแบบk ωกำหนดฟังก์ชัน $${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$ บน โซ่ kทฤษฎีบทของ Stokes กล่าวว่านี่คือแผนที่โซ่จากโคฮอโมโลยี de Rham ไปยังโคฮอโมโลยีเอกฐานที่มีสัมประสิทธิ์จริง อนุพันธ์ภายนอกdมีพฤติกรรมเหมือนคู่ของ∂บนฟอร์ม ซึ่งให้โฮโมมอร์ฟิซึมจากโคฮอโมโลยี de Rham ไปยังโคฮอโมโลยีเอกฐาน ในระดับของฟอร์ม นี่หมายความว่า:

1. รูปแบบปิด เช่นdω = 0จะมีปริพันธ์เป็นศูนย์เหนือขอบเขตเช่น เหนือแมนิโฟลด์ที่สามารถเขียนได้เป็น∂Σ M ; และ
2. รูปแบบที่แน่นอน เช่นω = dσจะมีปริพันธ์เป็นศูนย์เหนือวัฏจักรกล่าวคือ ถ้าขอบเขตรวมกันได้เท่ากับเซตว่าง: ∂Σ M = ∅

ทฤษฎีบทของเดอแรมแสดงให้เห็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมนี้แท้จริงแล้วคือไอโซมอร์ฟิซึมดังนั้นข้อความผกผันของข้อ 1 และ 2 ข้างต้นจึงเป็นจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า{ c }เป็นวัฏจักรที่สร้าง กลุ่มโฮโมโลยีที่ kแล้วสำหรับจำนวนจริงที่สอดคล้องกันใดๆ{ a }จะมีรูปแบบปิดω อยู่ เช่นนั้น $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$ และแบบฟอร์มนี้มีความเป็นเอกลักษณ์เฉพาะตัวในทุกรายละเอียด

ทฤษฎีบทของสโตกส์บนแมนิโฟลด์เรียบสามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทของสโตกส์สำหรับโซ่ในแมนิโฟลด์เรียบ และในทางกลับกัน^{[ 10 ]} กล่าวอย่างเป็นทางการคือ ข้อหลังอ่านได้ดังนี้: ^{[ 11 ]}

เพื่อลดความซับซ้อนของข้อโต้แย้งเชิงโทโพโลยีเหล่านี้ จึงควรพิจารณาหลักการพื้นฐานโดยยกตัวอย่างสำหรับ มิติ d = 2แนวคิดสำคัญสามารถเข้าใจได้จากแผนภาพทางด้านซ้าย ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ในการปูพื้นแบบมีทิศทางของแมนิโฟลด์ เส้นทางภายในจะถูกสำรวจในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้น ผลรวมของเส้นทางเหล่านั้นต่อปริพันธ์เส้นทางจึงหักล้างกันเป็นคู่ๆ ผลที่ตามมาคือ เหลือเพียงผลรวมจากขอบเขตเท่านั้น ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของสโตกส์สำหรับการปูพื้น (หรือเทียบเท่ากับซิมเพล็กซ์ ) ที่ละเอียดเพียงพอ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่เรื่องยาก

อนุญาต${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}} เป็นเส้นโค้งระนาบจอร์แดนที่เรียบเป็นช่วงๆทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนบ่งชี้ว่า${\displaystyle \gamma }$แบ่งแยก${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$แบ่งออกเป็นสองส่วน ส่วน หนึ่ง กะทัดรัดและอีกส่วนหนึ่งไม่กะทัดรัด ให้${\displaystyle D}$แสดงถึงส่วนที่กะทัดรัดซึ่งถูกล้อมรอบด้วย${\displaystyle \gamma }$และสมมติว่า${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$เรียบเนียนด้วย⁠${\displaystyle S=\psi (D)}$ถ้า​${\displaystyle \Gamma }$เส้นโค้งในอวกาศที่กำหนดโดย⁠${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$[ ^{หมายเหตุ} 2 ^{] และ}${\displaystyle {\textbf {F}}}$เป็นสนามเวกเตอร์เรียบบน⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$⁠จากนั้น: ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {S} }$$

ข้อความคลาสสิกนี้เป็นกรณีพิเศษของการกำหนดสูตรทั่วไปหลังจากทำการระบุฟิลด์เวกเตอร์ด้วยฟอร์ม 1 และเคิร์ลของฟิลด์เวกเตอร์ด้วยฟอร์ม 2 ผ่านทาง $${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to \\[1.4ex]&d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)dy\wedge dz+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)dz\wedge dx+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

สูตรข้างต้นซึ่ง${\displaystyle \Omega }$การที่โดเมนของการอินทิเกรตเป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีขอบเขตนั้นไม่เพียงพอในหลายกรณี ตัวอย่างเช่น หากโดเมนของการอินทิเกรตถูกกำหนดให้เป็นบริเวณระนาบระหว่างพิกัดx สอง พิกัดและกราฟของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน มักจะเกิดกรณีที่โดเมนมีจุดมุม ในกรณีเช่นนี้ จุดมุมหมายความว่า${\displaystyle \Omega }$ไม่ใช่แมนิโฟลด์เรียบที่มีขอบเขต ดังนั้นข้อความในทฤษฎีบทของสโตกส์ที่กล่าวมาข้างต้นจึงใช้ไม่ได้ อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะตรวจสอบว่าข้อสรุปของทฤษฎีบทของสโตกส์ยังคงเป็นจริงอยู่ เนื่องจาก${\displaystyle \Omega }$และขอบเขตของมันมีพฤติกรรมที่ดีเมื่ออยู่ห่างจากจุดจำนวนเล็กน้อย ( เซต ที่มีการวัดเป็นศูนย์ )

Hassler Whitneyได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Stokes เวอร์ชันที่อนุญาตให้มีความหยาบ^{[ 14 ]}สมมติว่า${\displaystyle D}$เป็นเซตย่อยเปิดที่มีขอบเขตและเชื่อมต่อกันของ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$โทร .${\displaystyle D}$โดเมนมาตรฐานคือโดเมนที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: มีเซตย่อยอยู่${\displaystyle P}$ของ​${\displaystyle \partial D}$เปิดใน​${\displaystyle \partial D}$ซึ่งส่วนเติมเต็มอยู่ใน${\displaystyle \partial D}$เฮาส์ดอร์ฟ${\displaystyle (n-1)}$-วัดเป็นศูนย์ และเพื่อให้ทุกจุดของ${\displaystyle P}$มีเวกเตอร์ปกติทั่วไปนี่คือเวกเตอร์${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$โดยที่หากเลือกใช้ระบบพิกัดเพื่อให้${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$เวกเตอร์ฐานแรกจึงอยู่ในบริเวณเปิดรอบๆ⁠${\displaystyle x}$มีฟังก์ชันเรียบอยู่${\displaystyle f(x_{2},\dots ,x_{n})}$โดยที่${\displaystyle P}$คือกราฟ${\displaystyle \{x_{1}=f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$และ${\displaystyle D}$คือภูมิภาค${\displaystyle \{x_{1}:x_{1}<f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$วิ ทนีย์กล่าวว่าขอบเขตของโดเมนมาตรฐานคือการรวมกันของเซตของเฮาส์ดอร์ฟศูนย์${\displaystyle (n-1)}$-การวัดและผลรวมจำกัดหรือนับได้ของความเรียบ${\displaystyle (n-1)}$-แมนิโฟลด์ ซึ่งแต่ละแมนิโฟลด์มีโดเมนอยู่ด้านเดียวเท่านั้น จากนั้นเขาพิสูจน์ว่าถ้า${\displaystyle D}$เป็นโดเมนมาตรฐานใน⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ ,${\displaystyle \omega }$เป็น⁠${\displaystyle (n-1)}$-รูปแบบที่นิยามได้ ต่อเนื่อง และมีขอบเขตบน${\displaystyle D\cup P}$เกลี่ยให้เรียบ${\displaystyle D}$สามารถอินทิเกรตได้บน${\displaystyle P}$และด้วยเหตุนั้น${\displaystyle d\omega }$สามารถอินทิเกรตได้บน⁠${\displaystyle D}$ดังนั้นทฤษฎีบทของสโตกส์จึงเป็นจริง นั่นคือ $${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$$

การศึกษาคุณสมบัติเชิงทฤษฎีการวัดของเซตหยาบนำไปสู่ทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตทฤษฎีบทของ Stokes เวอร์ชันทั่วไปได้รับการพิสูจน์โดย Federer และ Harrison ^{[ 15 ]}

รูปแบบทั่วไปของทฤษฎีบทสโตกส์ที่ใช้รูปแบบเชิงอนุพันธ์นั้นมีประสิทธิภาพและใช้งานง่ายกว่ากรณีพิเศษ เวอร์ชันดั้งเดิมสามารถกำหนดได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนโดยไม่ต้องใช้กลไกของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ จึงเข้าถึงได้ง่ายกว่า ยิ่งไปกว่านั้น รูปแบบดั้งเดิมนั้นเก่าแก่กว่าและชื่อเรียกก็คุ้นเคยกว่า นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรที่ปฏิบัติงานมักมองว่ารูปแบบดั้งเดิมสะดวกกว่า แต่ความไม่เป็นธรรมชาติของการกำหนดสูตรแบบดั้งเดิมจะปรากฏชัดเมื่อใช้ระบบพิกัดอื่น แม้แต่ระบบที่คุ้นเคยอย่างพิกัดทรงกลมหรือพิกัดทรงกระบอก อาจเกิดความสับสนในวิธีการใช้ชื่อและการใช้สูตรคู่ขนานได้

กรณีคลาสสิก (แคลคูลัสเวกเตอร์)

นี่คือ (คู่)${\displaystyle (1+1)}$กรณี มิติ - สำหรับ 1-ฟอร์ม (แบบคู่ขนานเนื่องจากเป็นข้อความเกี่ยวกับฟิลด์เวกเตอร์ ) กรณีพิเศษนี้มักถูกเรียกว่าทฤษฎีบทของสโตกส์ในหลักสูตรแคลคูลัสเวกเตอร์เบื้องต้นในมหาวิทยาลัยหลายแห่ง และใช้ในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ บางครั้งก็เรียกว่าทฤษฎีบทเคิร์ล ด้วย

ทฤษฎีบทสโตกส์แบบคลาสสิกเกี่ยวข้องกับปริพันธ์พื้นผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์บนพื้นผิว${\displaystyle \Sigma }$ในปริภูมิสามมิติแบบยุคลิดไปยังปริพันธ์เส้นของสนามเวกเตอร์เหนือขอบเขตของมัน นี่เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทสโตกส์ทั่วไป (โดยที่⁠${\displaystyle n=2}$)เมื่อเรากำหนดฟิลด์เวกเตอร์ด้วย 1-ฟอร์มโดยใช้เมตริกบนปริภูมิยูคลิด 3 มิติ เส้นโค้งของปริพันธ์เส้นตรง ⁠${\displaystyle \partial \Sigma }$ต้องมีทัศนคติ เชิง บวก หมายความว่า${\displaystyle \partial \Sigma }$ชี้ทวนเข็มนาฬิกาเมื่อ ระนาบ ตั้งฉากกับพื้นผิว ⁠${\displaystyle n}$ชี้ไปยังผู้ดู

ผลที่ตามมาประการหนึ่งของทฤษฎีบทนี้คือเส้นสนามของสนามเวกเตอร์ที่มีเคิร์ลเป็นศูนย์ไม่สามารถเป็นเส้นโค้งปิดได้ สูตรสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

ทฤษฎีบท—สมมติว่า${\displaystyle {\textbf {F}}={\big (}P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z){\big )}}$ถูกกำหนดในบริเวณที่มีพื้นผิวเรียบ${\displaystyle \Sigma }$และมีอนุพันธ์ย่อย อันดับหนึ่งต่อเนื่อง ดังนั้น $${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\Biggl (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy{\Biggr )}=\oint _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}\,,}$$ ที่ไหน${\displaystyle P,Q}$และ${\displaystyle R}$คือส่วนประกอบของ⁠${\displaystyle {\textbf {F}}}$และ​${\displaystyle \partial \Sigma }$เป็นขอบเขตของภูมิภาค${\displaystyle \Sigma }$⁠ .

ทฤษฎีบทของกรีน

ทฤษฎีบทของกรีนสามารถจดจำได้ทันทีว่าเป็นตัวอินทิกรัลตัวที่สามของทั้งสองข้างในอินทิกรัลในรูปของP , QและRที่กล่าวถึงข้างต้น

ในแม่เหล็กไฟฟ้า

สมการของแม็กซ์เวลล์สองในสี่สมการเกี่ยวข้องกับการหมุนวนของสนามเวกเตอร์ 3 มิติ และรูปแบบเชิงอนุพันธ์และเชิงปริพันธ์ของสมการเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันโดยกรณีพิเศษ 3 มิติ (แคลคูลัสเวกเตอร์) ของทฤษฎีบทของสโตกส์ต้องระมัดระวังเพื่อหลีกเลี่ยงกรณีที่มีขอบเขตเคลื่อนที่: อนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลาถูกออกแบบมาเพื่อยกเว้นกรณีดังกล่าว หากรวมขอบเขตเคลื่อนที่ การสลับระหว่างการหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์จะทำให้เกิดพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของขอบเขตซึ่งไม่ได้รวมอยู่ในผลลัพธ์ด้านล่าง (ดูการหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์ ):

รูปแบบเชิงอนุพันธ์และเชิงจำนวนเต็มของสมการแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ที่เกี่ยวข้องกับเคิร์ลของสนามเวกเตอร์

ชื่อ	รูปแบบที่แตกต่างกัน	รูปแบบ อินทิกรัล (โดยใช้ทฤษฎีบทสโตกส์สามมิติบวกกับความไม่แปรเปลี่ยนเชิงสัมพัทธภาพ)${\displaystyle \textstyle \int {\tfrac {\partial }{\partial t}}\dots \to {\tfrac {d}{dt}}\textstyle \int \cdots }$)​
สมการแม็กซ์เวลล์-ฟาราเดย์ กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} \\&=-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}}$ (โดยที่CและSไม่จำเป็นต้องอยู่นิ่ง)
กฎของแอมแปร์ (พร้อมส่วนขยายของแม็กซ์เวลล์)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot d\mathbf {A} \\&=\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}}$ (โดยที่CและSไม่จำเป็นต้องอยู่นิ่ง)

ชุดย่อยของสมการของแม็กซ์เวลล์ที่ระบุไว้ข้างต้นนั้นใช้ได้กับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่แสดงในหน่วย SIในระบบหน่วยอื่นๆ เช่น หน่วยCGSหรือหน่วยเกาส์เซียนปัจจัยการปรับขนาดสำหรับเทอมต่างๆ จะแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในหน่วยเกาส์เซียน กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์และกฎของแอมแปร์จะมีรูปแบบดังนี้: ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$$ ตามลำดับ โดยที่cคือความเร็วแสงในสุญญากาศ

• ทฤษฎีบทเสริมของจันดราเสกขาร์-เวนท์เซล

• กรุนสกี, เฮลมุต (1983). ทฤษฎีบทสโตกส์ทั่วไป . บอสตัน: พิตแมน. ISBN 0-273-08510-7.
• ลูมิส, ลินน์ แฮโรลด์ ; สเติร์นเบิร์ก, ชโลโม (2014). แคลคูลัสขั้นสูง . แฮกเคนแซค, นิวเจอร์ซีย์: เวิลด์ ไซเอนซ์. ISBN 978-981-4583-93-0.
• Madsen, Ib ; Tornehave, Jørgen (1997). จากแคลคูลัสสู่โคฮอโมโลยี: โคฮอโมโลยีเดอแรมและชั้นลักษณะเฉพาะเคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 0-521-58956-8.
• Marsden, Jerrold E. ; Anthony, Tromba (2003). Vector Calculus (  ฉบับที่ 5). WH Freeman.
• รูดิน, วอลเตอร์ (1976). หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ . นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James (2009). แคลคูลัส: แนวคิดและบริบท . Cengage Learning. หน้า960–967 . ISBN  978-0-495-55742-5.
• Tu, Loring W. (2011). บทนำเกี่ยวกับแมนิโฟลด์ (  ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3.

• "สูตรของสโตกส์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การพิสูจน์ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์และทฤษฎีบทของสโตกส์
• แคลคูลัส 3 – ทฤษฎีบทสโตกส์ จาก lamar.edu – คำอธิบายเชิงวิเคราะห์