คณิตศาสตร์อินเดียเกิดขึ้นในอนุทวีปอินเดีย^{[ 1 ]}ตั้งแต่ 1200 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 2 ]}จนถึงปลายศตวรรษที่ 18 ในยุคคลาสสิกของคณิตศาสตร์อินเดีย (ค.ศ. 400 ถึง ค.ศ. 1200) นักวิชาการที่สำคัญ เช่นอารยภัตตาพราหมณ คุปตะ ภั สการะที่ 2 วรหมิหิระและมาธวะ ได้มีส่วนร่วมสำคัญ ระบบเลขฐานสิบที่ใช้ในปัจจุบัน^{[ 3 ]}ได้รับการบันทึกไว้ครั้งแรกในคณิตศาสตร์อินเดีย^{[ 4 ​​]}นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้มีส่วนร่วมในช่วงแรกๆ ในการศึกษาแนวคิดของศูนย์ในฐานะจำนวน^{[ 5 ]} จำนวนลบ^{[ 6 ]}เลขคณิตและพีชคณิต [ ^{7 ]}นอกจากนี้ตรีโกณมิติ^{[ 8 ]} ยังได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในอินเดีย และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นิยามสมัยใหม่ของไซน์และโคไซน์ ได้รับการพัฒนา ^ขึ้นที่นั่น^{[ 9 ]}แนวคิดทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ถูกส่งต่อไปยังตะวันออกกลาง จีน และยุโรป^{[ 7 ]}และนำไปสู่การพัฒนาเพิ่มเติมซึ่งปัจจุบันเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์หลายสาขา

งานคณิตศาสตร์ของอินเดียโบราณและยุคกลาง ซึ่งแต่งขึ้นทั้งหมดเป็นภาษาสันสกฤตมักประกอบด้วยส่วนของสูตรซึ่งมีการระบุชุดกฎหรือปัญหาไว้อย่างกระชับในรูปแบบบทกวี เพื่อช่วยให้นักเรียนจดจำได้ง่าย ตามด้วยส่วนที่สองซึ่งประกอบด้วยคำอธิบายร้อยแก้ว (บางครั้งอาจมีคำอธิบายหลายฉบับจากนักวิชาการหลายคน) ที่อธิบายปัญหาโดยละเอียดมากขึ้นและให้เหตุผลสำหรับวิธีแก้ปัญหา ในส่วนร้อยแก้วนั้น รูปแบบ (และดังนั้นการจดจำ) ไม่ได้มีความสำคัญเท่ากับแนวคิดที่เกี่ยวข้อง^{[ 1 ] [ 10 ]}งานคณิตศาสตร์ทั้งหมดถูกถ่ายทอดด้วยวาจาจนถึงประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล หลังจากนั้นจึงถูกถ่ายทอดทั้งด้วยวาจาและในรูปแบบต้นฉบับ เอกสารคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ซึ่งผลิตขึ้นในอนุทวีปอินเดียคือต้นฉบับ Bakhshali ที่ทำจากเปลือกไม้เบิร์ช ซึ่งค้นพบในปี 1881 ในหมู่บ้านBakhshaliใกล้กับPeshawar (ปัจจุบันคือปากีสถาน ) และน่าจะมาจากศตวรรษที่ 7 ^{[ 11 ] [ 12 ]}

ความก้าวหน้าครั้งสำคัญในคณิตศาสตร์อินเดียในเวลาต่อมาคือการพัฒนาการ ขยาย อนุกรมสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ไซน์ โคไซน์ และอาร์คแทนเจนต์ ) โดยนักคณิตศาสตร์จากโรงเรียนเกรละในศตวรรษที่ 15 ผลงานของพวกเขาซึ่งเสร็จสมบูรณ์สองศตวรรษก่อนการคิดค้นแคลคูลัสในยุโรป ได้ให้สิ่งที่ปัจจุบันถือว่าเป็นตัวอย่างแรกของอนุกรมกำลัง (นอกเหนือจากอนุกรมเรขาคณิต) ^{[ 13 ]}อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้กำหนดทฤษฎีที่เป็นระบบของการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์และไม่มีหลักฐานใด ๆ ที่แสดงว่าผลลัพธ์ของพวกเขาถูกส่งต่อออกไปนอกเกรละ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

การขุดค้นที่ฮารัปปาโมเฮนโจดาโรและแหล่งโบราณคดีอื่นๆ ของอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุได้ค้นพบหลักฐานการใช้ "คณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติ" ชาวอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุผลิตอิฐที่มีขนาดตามสัดส่วน 4:2:1 ซึ่งถือว่าเหมาะสมสำหรับความมั่นคงของโครงสร้างอิฐ พวกเขาใช้ระบบน้ำหนักมาตรฐานตามอัตราส่วน: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 และ 500 โดยน้ำหนักต่อหน่วยเท่ากับประมาณ 28 กรัม (และประมาณเท่ากับออนซ์ของอังกฤษหรืออุนเซียของกรีก) พวกเขาผลิตน้ำหนักจำนวนมากใน รูปทรง เรขาคณิต ปกติ ซึ่งรวมถึงทรงหกเหลี่ยมทรงกระบอกทรงกรวยและทรงกระบอกซึ่งแสดงให้เห็นถึงความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตพื้นฐาน^{[ 18 ]}

ชาวอารยธรรมอินดัสยังพยายามกำหนดมาตรฐานการวัดความยาวให้มีความแม่นยำสูง พวกเขาออกแบบไม้บรรทัด— ไม้บรรทัดโมเฮนโจดาโร —ซึ่งหน่วยความยาว (ประมาณ 1.32 นิ้ว หรือ 3.4 เซนติเมตร) ถูกแบ่งออกเป็นสิบส่วนเท่าๆ กัน อิฐที่ผลิตในโมเฮนโจดาโรโบราณมักมีขนาดที่เป็นจำนวนเต็มเท่าของหน่วยความยาวนี้^{[ 19 ] [ 20 ]}

วัตถุทรงกระบอกกลวงที่ทำจากเปลือกหอยและพบที่โลธัล (2200 ปีก่อนคริสตกาล) และโดลาวีราแสดงให้เห็นว่ามีความสามารถในการวัดมุมในระนาบ รวมถึงกำหนดตำแหน่งของดาวเพื่อการนำทาง^{[ 21 ]}

ข้อความในยุคพระเวทเป็นหลักฐานของการใช้ตัวเลขจำนวนมากในช่วงเวลาของยชุรเวทสัมหิตา ^{(1200–900 ปี ก่อน}คริสตกาล) ตัวเลขสูงถึง10¹²ได้ถูกรวมอยู่ในข้อความ^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่นมนต์ (การท่องศักดิ์สิทธิ์) ในตอนท้ายของอันนาโหมะ ("พิธีถวายอาหาร") ที่กระทำระหว่างอัศวเมธะและกล่าวออกมาทันทีก่อน ระหว่าง และหลังพระอาทิตย์ขึ้น จะเรียกพลังของสิบตั้งแต่ร้อยถึงล้านล้าน: ^{[ 2 ]}

ขอสรรเสริญศตะ ("ร้อย" 10 ² ), ขอสรรเสริญสหัสระ ("พัน" 10 ³ ), ขอสรรเสริญอายุตะ ("หมื่น" 10 ⁴ ), ขอสรรเสริญนิยุตะ ("แสน" 10 ⁵ ), ขอสรรเสริญประยุตะ ("ล้าน" 10 ⁶ ), ขอสรรเสริญอาร์บูทะ ("สิบล้าน" 10 ⁷ ), ขอสรรเสริญนยรบูทะ ("ร้อยล้าน" 10 ⁸ ), ขอสรรเสริญสมุทระ ("พันล้าน" 10 ⁹ , แปลตรงตัวว่า "มหาสมุทร"), ขอสรรเสริญมัธยะ ("สิบพันล้าน" 10 ¹⁰ , แปลตรงตัวว่า "กลาง"), ขอสรรเสริญอันตะ ("แสนล้าน" 10 ¹¹ , แปลตรงตัวว่า "ปลาย"), ขอสรรเสริญปรฤธะ ("หนึ่งล้านล้าน" 10 ¹²ตามตัวอักษร "เหนือส่วนต่างๆ" ขอสรรเสริญอุษัส (รุ่งอรุณ) ขอสรรเสริญวยุษฏิ (พลบค่ำ) ขอสรรเสริญอุฑษยัต (ผู้ที่กำลังจะขึ้น) ขอสรรเสริญอุฑยัต (ผู้ที่กำลังขึ้น) ขอสรรเสริญอุฑิฏิ (ผู้ที่เพิ่งขึ้น) ขอสรรเสริญสวรรค์ขอสรรเสริญมรรตยะ (โลก) ขอสรรเสริญทุกสิ่ง^{[ 2 ]}

มีการกล่าวถึงเศษส่วน ดังเช่นในปุรุษะสุกตะ (RV 10.90.4):

ปุรุษะขึ้นไปพร้อมกับส่วนสามในสี่ ส่วนที่เหลืออีกหนึ่งในสี่ก็อยู่ที่นี่

Satapatha Brahmana ( ประมาณศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล) มีกฎสำหรับการสร้างรูปทรงเรขาคณิตในพิธีกรรมที่คล้ายกับ Sulba Sutras ^{[ 22 ]}

Śulba Sūtras (แปลตรงตัวว่า "สุภาษิตแห่งคอร์ด" ในภาษาสันสกฤตเวท ) (ประมาณ 700–400 ปีก่อนคริสตกาล) ระบุถึงกฎเกณฑ์สำหรับการสร้างแท่นบูชาไฟ^{[ 23 ]}ปัญหาทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่พิจารณาใน Śulba Sūtrasเกิดจาก "ข้อกำหนดทางเทววิทยาเพียงข้อเดียว" ^{[ 24 ]}นั่นคือการสร้างแท่นบูชาไฟที่มีรูปร่างแตกต่างกันแต่ใช้พื้นที่เท่ากัน แท่นบูชาจะต้องสร้างจากอิฐเผาห้าชั้น โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าแต่ละชั้นต้องประกอบด้วยอิฐ 200 ก้อน และไม่มีสองชั้นที่อยู่ติดกันที่มีการจัดเรียงอิฐที่เหมือนกัน^{[ 24 ]}

ตามคำกล่าวของฮายาชิ พระสูตรศุลบะประกอบด้วย "การแสดงออกทางวาจาที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในโลก แม้ว่าชาวบาบิโลนโบราณ จะรู้จักทฤษฎีบทนี้มาก่อนแล้วก็ตาม "

เชือกแนวทแยง ( akṣṇayā-rajju ) ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะสร้างทั้งเชือกด้านข้าง ( pārśvamāni ) และเชือกแนวนอน ( tiryaṇmānī ) ที่สร้างขึ้นแยกกัน” ^{[ 25 ]}

เนื่องจากข้อความดังกล่าวเป็นสูตรจึงจำเป็นต้องย่อให้กระชับ และไม่ได้อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับสิ่งที่เชือกผลิตขึ้นแต่บริบทแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นตามความยาวของเชือก และครูผู้สอนก็คงจะอธิบายเช่นนั้นให้กับนักเรียน^{[ 25 ]}

พวกมันประกอบด้วยรายการของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน [ ^{26 ]}ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์ [ ^{27 ] พวก}มันยังประกอบด้วยข้อความ (ซึ่งเมื่อมองย้อนกลับไปเรารู้ว่าเป็นค่าประมาณ) เกี่ยวกับ^การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ "การสร้างวงกลมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัส" ^{[ 28 ]}

บาวธายานะ (ราวศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสต์ศักราช) ประพันธ์บาวธายานะสุลบาสูตร ซึ่งเป็น สุลบาสูตรที่รู้จักกันดีที่สุดโดยมีตัวอย่างของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสแบบง่ายๆ เช่น(3, 4, 5) , ( 5 , 12, 13) , (8, 15, 17) , (7, 24, 25)และ( 12 , 35, 37) ^{[ 29 ]}รวมทั้งข้อความของทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส: "เชือกที่ขึงตามแนวทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีพื้นที่เป็นสองเท่าของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม" ^{[ 29 ] [ 30 ]}นอกจากนี้ยังมีข้อความทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (สำหรับด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า): "เชือกที่ขึงตามความยาวของแนวทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ที่ด้านแนวตั้งและด้านแนวนอนรวมกัน" ^{[ 29 ]} Baudhayana ให้นิพจน์สำหรับรากที่สองของสอง : ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

นิพจน์นี้มีความแม่นยำถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง โดยค่าที่แท้จริงคือ 1.41421356... ^{[ 32 ]}นิพจน์นี้มีโครงสร้างคล้ายกับนิพจน์ที่พบในแผ่นจารึกเมโสโปเตเมีย^{[ 33 ]}จากยุคบาบิโลนโบราณ (1900–1600 ปีก่อนคริสตกาล ): ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots }$

ซึ่งแสดงค่า√2ในระบบเลขฐานหกสิบ และมีความแม่นยำถึงทศนิยม 5 ตำแหน่ง

ตามที่นักคณิตศาสตร์ SG Dani กล่าวไว้ แท็บเล็ตอักษรลิ่มบาบิโลน Plimpton 322ที่เขียนขึ้นราว 1850 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 34 ]} "ประกอบด้วยสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนสิบห้าชุดที่มีค่าค่อนข้างมาก รวมถึง (13500, 12709, 18541) ซึ่งเป็นสามเหลี่ยมดั้งเดิม^{[ 35 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นโดยเฉพาะว่ามีความเข้าใจที่ซับซ้อนในหัวข้อนี้" ในเมโสโปเตเมียเมื่อ 1850 ปีก่อนคริสตกาล "เนื่องจากแท็บเล็ตเหล่านี้มีอายุก่อนยุค Sulbasutras หลายศตวรรษ เมื่อพิจารณาถึงการปรากฏของสามเหลี่ยมบางชุดในบริบทแล้ว จึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะคาดหวังว่าจะมีความเข้าใจที่คล้ายคลึงกันในอินเดีย" ^{[ 36 ]} Dani กล่าวต่อไปว่า:

เนื่องจากวัตถุประสงค์หลักของสุลวสูตรคือการอธิบายการสร้างแท่นบูชาและหลักการทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นหัวข้อของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน แม้ว่าจะเข้าใจกันดีแล้ว ก็อาจจะยังไม่ปรากฏในสุลวสูตรการปรากฏของสามเหลี่ยมในสุลวสูตรนั้นเทียบได้กับคณิตศาสตร์ที่อาจพบได้ในหนังสือเบื้องต้นเกี่ยวกับสถาปัตยกรรมหรือสาขาประยุกต์อื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน และจะไม่สอดคล้องกับความรู้โดยรวมเกี่ยวกับหัวข้อนี้ในเวลานั้นโดยตรง เนื่องจากน่าเสียดายที่ไม่มีแหล่งข้อมูลร่วมสมัยอื่นใดที่พบ จึงอาจเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไขปัญหานี้ได้อย่างน่าพอใจ^{[ 36 ]}

โดยรวมแล้ว มีการแต่ง สุลบาสูตร ทั้งหมดสามเล่ม เล่ม ที่เหลืออีกสองเล่ม ได้แก่มนาวะสุลบาสูตรซึ่งแต่งโดยมนาวะ (มีชีวิตอยู่ในช่วง 750–650 ปีก่อนคริสตกาล) และอัปสตัมบาสุลบาสูตรซึ่งแต่งโดยอัปสตัมบา (ประมาณ 600 ปีก่อนคริสตกาล) มีเนื้อหาคล้ายคลึงกับเบาธายานะสุลบาสูตร

วยาการณะ

ในยุคเวทมีผลงานของนักไวยากรณ์ภาษาสันสกฤตชื่อปาณินี (ประมาณ 520–460 ปีก่อนคริสตกาล) ไวยากรณ์ของเขามีต้นแบบของรูปแบบ Backus–Naur (ซึ่งใช้ในภาษาการเขียนโปรแกรม เชิงพรรณนา ) ^{[ 37 ]}

ในบรรดานักปราชญ์ในยุคหลังพระเวทที่ได้มีส่วนร่วมในด้านคณิตศาสตร์ บุคคลที่โดดเด่นที่สุดคือปิงคลา ( piṅgalá ) ( มีชีวิตอยู่ราว 300–200 ปีก่อนคริสตกาล) นักทฤษฎีดนตรีผู้ประพันธ์คัมภีร์ฉันทลักษณ์ ( chandaḥ-śāstraหรือ Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra ) ซึ่งเป็นตำราภาษาสันสกฤต เกี่ยวกับ ฉันทลักษณ์งานของปิงคลายังประกอบด้วยแนวคิดพื้นฐานของจำนวนฟิโบนาชชี (เรียกว่าmaatraameru ) แม้ว่าคัมภีร์ฉันทลักษณ์จะไม่หลงเหลืออยู่ครบถ้วน แต่ก็มีคำอธิบายเพิ่มเติมในศตวรรษที่ 10 โดยหลายุทธะ หลายุทธะซึ่งเรียกสามเหลี่ยมปาสคาลว่าเมรุ -ปราสตาระ (แปลตรงตัวว่า "บันไดสู่ภูเขาเมรุ") กล่าวไว้ดังนี้:

วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เริ่มจากครึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่คล้ายกันอีกสองรูปไว้ด้านล่าง จากนั้นวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกสามรูปไว้ด้านล่าง และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ การทำเครื่องหมายควรเริ่มต้นด้วยการใส่เลข1ลงในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ใส่เลข1 ลง ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปในแถวที่สอง ในแถวที่สาม ให้ใส่เลข1 ลง ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่ปลายทั้งสองข้าง และในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตรงกลาง ให้ใส่ผลรวมของตัวเลขในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่อยู่เหนือขึ้นไป ในแถวที่สี่ ให้ใส่เลข 1 ลง ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่ปลายทั้งสองข้าง ในรูปตรงกลาง ให้ใส่ผลรวมของตัวเลขในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่อยู่เหนือแต่ละรูป ทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ แถวเหล่านี้ แถวที่สองให้การรวมกันที่มีพยางค์เดียว แถวที่สามให้การรวมกันที่มีสองพยางค์ ... ^{[ 38 ]}

ข้อความยังระบุด้วยว่า Pingala ตระหนักถึง เอกลักษณ์ เชิงการจัดเรียง : ^{[ 39 ]}

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}}$

กัตยาณะ

กาตยานะ (ประมาณศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) เป็นที่รู้จักในฐานะนักคณิตศาสตร์เวทคนสุดท้าย ท่านเขียนตำรากาตยานะสุลบสูตรซึ่งนำเสนอเรขาคณิต มากมาย รวมถึง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทั่วไปและการคำนวณรากที่สองของ 2ที่ถูกต้องถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง

แม้ว่าศาสนาและปรัชญาเชนจะมีมาก่อนมหาวีระ (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล) ผู้มีชื่อเสียงที่สุด แต่ตำราเชนส่วนใหญ่ที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์นั้นถูกเขียนขึ้นหลังศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล นักคณิตศาสตร์ เชนมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์ในฐานะที่เป็นผู้เชื่อมโยงที่สำคัญระหว่างคณิตศาสตร์ในยุคพระเวทและคณิตศาสตร์ใน "ยุคคลาสสิก"

ผลงานทางประวัติศาสตร์ที่สำคัญของนักคณิตศาสตร์ชาวเชนอยู่ที่การปลดปล่อยคณิตศาสตร์อินเดียจากข้อจำกัดทางศาสนาและพิธีกรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความหลงใหลในการนับจำนวนขนาดใหญ่มากและอนันต์ทำให้พวกเขาจำแนกจำนวนออกเป็นสามประเภท ได้แก่ จำนวนที่นับได้ จำนวนที่นับไม่ได้ และจำนวนอนันต์พวกเขาไม่เพียงแต่พอใจกับแนวคิดเรื่องอนันต์อย่างง่ายๆ เท่านั้น แต่ยังกำหนดนิยามของอนันต์ถึงห้าประเภท ได้แก่ อนันต์ในทิศทางเดียว อนันต์ในสองทิศทาง อนันต์ในพื้นที่ อนันต์ทุกหนทุกแห่ง และอนันต์ชั่วนิรันดร์ นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวเชนยังคิดค้นสัญลักษณ์สำหรับกำลัง (และเลขชี้กำลัง) อย่างง่ายของจำนวน เช่น กำลังสองและกำลังสาม ซึ่งทำให้พวกเขาสามารถกำหนดสมการพีชคณิต อย่างง่าย ( bījagaṇita samīkaraṇa ) ได้ ดูเหมือนว่านักคณิตศาสตร์ชาวเชนจะเป็นกลุ่มแรกที่ใช้คำว่าshunya (แปลว่าว่างเปล่าในภาษาสันสกฤต ) เพื่อหมายถึงศูนย์ด้วย คำนี้เป็นต้นกำเนิดทางนิรุกติศาสตร์ขั้นสูงสุดของคำภาษาอังกฤษ "zero"เนื่องจากมีการลอก เลียนแบบ ในภาษาอาหรับเป็นṣifrและต่อมาถูกยืมเข้ามาในภาษาละตินยุคกลางเป็นzephirumและในที่สุดก็มาถึงภาษาอังกฤษหลังจากผ่านภาษาโรมานซ์ หนึ่งภาษาหรือมากกว่า (ดูภาษาฝรั่งเศสzéroภาษาอิตาลีzero ) ^{[ 40 ]}

นอกจากSurya Prajnaptiแล้ว ผลงานสำคัญของศาสนาเชนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ยังรวมถึงSthānāṅga Sūtra (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช – 200 ปีคริสต์ศักราช); Anuyogadwara Sutra (ประมาณ 200 ปีก่อนคริสต์ศักราช – 100 ปีคริสต์ศักราช) ซึ่งรวมถึงคำอธิบายแฟกทอเรียล ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่รู้จัก ในคณิตศาสตร์อินเดีย; ^{[ 41 ]}และṢaṭkhaṅḍāgama (ประมาณศตวรรษที่ 2 หลังคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์เชนที่สำคัญ ได้แก่Bhadrabahu (เสียชีวิต 298 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ผู้ประพันธ์ผลงานทางดาราศาสตร์สองเล่ม คือBhadrabahavi-Samhitaและคำอธิบายเกี่ยวกับSurya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (ประมาณ 176 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ผู้ประพันธ์ตำราคณิตศาสตร์ชื่อTiloyapannati ; และอุมัสวตี (ประมาณ 150 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งแม้จะเป็นที่รู้จักกันดีในฐานะผู้เขียนงานเขียนที่มีอิทธิพลต่อปรัชญาและอภิปรัชญา ของศาสนาเชน แต่เขาก็ได้ประพันธ์งานทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า ตัตต วร ฐสูตร

นักคณิตศาสตร์ในอินเดียโบราณและยุคต้นสมัยกลางเกือบทั้งหมดเป็นปราชญ์สันสกฤต ( paṇḍita "ผู้รู้") ^{[ 42 ]}ซึ่งได้รับการฝึกฝนในภาษาและวรรณคดีสันสกฤต และมี "ความรู้พื้นฐานร่วมกันในด้านไวยากรณ์ ( vyākaraṇa ) การตีความ ( mīmāṃsā ) และตรรกศาสตร์ ( nyāya )" ^{[ 42 ]}การท่องจำ "สิ่งที่ได้ยิน" ( śrutiในภาษาสันสกฤต) ผ่านการท่องจำมีบทบาทสำคัญในการถ่ายทอดข้อความศักดิ์สิทธิ์ในอินเดียโบราณ การท่องจำและการท่องจำยังถูกนำมาใช้ในการถ่ายทอดงานปรัชญาและวรรณกรรม ตลอดจนตำราเกี่ยวกับพิธีกรรมและไวยากรณ์ นักวิชาการสมัยใหม่ของอินเดียโบราณได้กล่าวถึง "ความสำเร็จที่น่าทึ่งอย่างแท้จริงของปราชญ์ชาวอินเดียที่ได้รักษาข้อความจำนวนมหาศาลไว้ด้วยการถ่ายทอดทางวาจาเป็นเวลาหลายพันปี" ^{[ 43 ]}

วัฒนธรรมอินเดียโบราณได้ทุ่มเทพลังงานอย่างมหาศาลเพื่อให้แน่ใจว่าข้อความเหล่านี้ได้รับการถ่ายทอดจากรุ่นสู่รุ่นด้วยความซื่อสัตย์อย่างยิ่ง^{[ 44 ]}ตัวอย่างเช่น การท่องจำพระเวท ศักดิ์สิทธิ์ นั้นรวมถึงรูปแบบการท่องจำข้อความเดียวกันมากถึงสิบเอ็ดรูปแบบ จากนั้นข้อความเหล่านั้นจะถูก "ตรวจทาน" โดยการเปรียบเทียบเวอร์ชันที่ท่องจำต่างกัน รูปแบบการท่องจำรวมถึงjaṭā-pāṭha (แปลตรงตัวว่า "การท่องจำแบบตาข่าย") ซึ่งคำสองคำที่อยู่ติดกันในข้อความจะถูกท่องจำในลำดับเดิมก่อน จากนั้นจึงท่องจำในลำดับย้อนกลับ และสุดท้ายก็ท่องจำในลำดับเดิม^{[ 45 ]}การท่องจำจึงดำเนินไปดังนี้:

ในอีกรูปแบบหนึ่งของการท่องจำdhvaja-pāṭha ^{[ 45 ]} (แปลตรงตัวว่า "การท่องจำธง") จะมีการท่องจำ (และจดจำ) คำ Nคำ โดยจับคู่คำสองคำแรกและสองคำสุดท้าย แล้วจึงดำเนินการต่อไปดังนี้:

รูปแบบการท่องจำที่ซับซ้อนที่สุดghana-pāṭha (แปลตรงตัวว่า "การท่องจำที่หนาแน่น") ตามที่ Filliozat กล่าวไว้^{[ 45 ]}มีรูปแบบดังนี้:

หลักฐานที่แสดงให้เห็นว่าวิธีการเหล่านี้ได้ผลคือการรักษาตำราทางศาสนาที่เก่าแก่ที่สุดของอินเดีย คือฤคเวท (ประมาณ 1500 ปีก่อนคริสตกาล) ไว้เป็นข้อความเดียวโดยไม่มีการอ่านที่แตกต่างกัน^{[ 45 ]}มีการใช้วิธีการที่คล้ายกันในการท่องจำตำราคณิตศาสตร์ ซึ่งการถ่ายทอดยังคงเป็นแบบปากเปล่าเท่านั้นจนกระทั่งสิ้นสุดยุคพระเวท (ประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล)

กิจกรรมทางคณิตศาสตร์ในอินเดียโบราณเริ่มต้นขึ้นในฐานะส่วนหนึ่งของ "การไตร่ตรองเชิงวิธีการ" เกี่ยวกับพระเวท อันศักดิ์สิทธิ์ ซึ่งปรากฏในรูปแบบของงานที่เรียกว่าเวทางคะหรือ "เครื่องมือเสริมของพระเวท" (ศตวรรษที่ 7-4 ก่อนคริสต์ศักราช) ^{[ 46 ]}ความจำเป็นในการรักษาเสียงของข้อความศักดิ์สิทธิ์โดยใช้ศิกษา ( สัทศาสตร์ ) และฉันทะ ( ฉันทลักษณ์ ) เพื่อรักษาความหมายโดยใช้ วยาการณะ ( ไวยากรณ์ ) และนิรุกตะ ( นิรุกติศาสตร์ ) และเพื่อประกอบพิธีกรรมอย่างถูกต้องในเวลาที่ถูกต้องโดยใช้กัลปะ ( พิธีกรรม ) และโชติษะ ( โหราศาสตร์ ) ทำให้เกิดสาขาวิชาทั้งหกของเวทางคะ [ ^{46 ] คณิตศาสตร์}เกิดขึ้นเป็นส่วนหนึ่งของสองสาขาวิชาสุดท้าย คือ พิธีกรรมและดาราศาสตร์ (ซึ่งรวมถึงโหราศาสตร์ด้วย) เนื่องจากคัมภีร์เวทางคะมีมาก่อนการใช้ตัวอักษรในอินเดียโบราณ จึงเป็นวรรณกรรมประเภทสุดท้ายที่ถ่ายทอดด้วยวาจาเท่านั้น โดยถ่ายทอดในรูปแบบที่กระชับและจำง่าย เรียกว่าสุตระ (แปลตรงตัวว่า "เส้นด้าย")

ผู้ที่รู้พระ สูตรรู้ว่า พระสูตรนี้มีหน่วยเสียงน้อย ปราศจากความคลุมเครือ มีสาระสำคัญ เผชิญหน้ากับทุกสิ่ง ไม่มีการหยุดชะงัก และไม่มีข้อโต้แย้ง^{[ 46 ]}

ความกระชับอย่างยิ่งยวดเกิดขึ้นได้ด้วยวิธีการหลายประการ ซึ่งรวมถึงการใช้จุดไข่ปลา "เกินกว่าขีดจำกัดของภาษาธรรมชาติ" ^{[ 46 ]}การใช้ชื่อทางเทคนิคแทนชื่อเชิงพรรณนาที่ยาวกว่า การย่อรายการโดยกล่าวถึงเฉพาะรายการแรกและรายการสุดท้าย และการใช้เครื่องหมายและตัวแปร^{[ 46 ]}พระสูตรสร้างความประทับใจว่าการสื่อสารผ่านข้อความนั้น "เป็นเพียงส่วนหนึ่งของคำแนะนำทั้งหมด คำแนะนำที่เหลือจะต้องถูกส่งต่อโดยสิ่งที่เรียกว่าGuru-shishya parampara 'การสืบทอดอย่างต่อเนื่องจากครู ( guru ) ไปสู่ศิษย์ ( śisya )' และไม่ได้เปิดเผยต่อสาธารณชนทั่วไป" และอาจถูกเก็บเป็นความลับด้วยซ้ำ^{[ 47 ]}ความกระชับที่เกิดขึ้นในพระสูตรแสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้จาก Baudhāyana Śulba Sūtra (700 ปีก่อนคริสตกาล)

แท่นบูชาไฟในบ้านเรือนในสมัยเวทนั้นจำเป็นต้องมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและประกอบด้วยอิฐ 5 ชั้น โดยแต่ละชั้นมีอิฐ 21 ก้อน ตามพิธีกรรม วิธีการสร้างแท่นบูชาวิธีหนึ่งคือการแบ่งด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กันโดยใช้เชือกหรือด้าย จากนั้นแบ่งด้านขวาง (หรือด้านตั้งฉาก) ออกเป็น 7 ส่วนเท่าๆ กัน และแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากัน 21 รูป อิฐจะถูกออกแบบให้มีรูปร่างตามสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบกัน และสร้างชั้นนั้นขึ้นมา ในการสร้างชั้นถัดไป จะใช้สูตรเดียวกัน แต่อิฐจะถูกจัดเรียงในแนวขวาง^{[ 48 ]}จากนั้นกระบวนการนี้จะทำซ้ำอีก 3 ครั้ง (โดยสลับทิศทาง) เพื่อให้การก่อสร้างเสร็จสมบูรณ์ ใน Baudhāyana Śulba Sūtraได้อธิบายขั้นตอนดังกล่าวไว้ดังนี้:

II.64. หลังจากแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นเจ็ดส่วนแล้ว ก็แบ่งเส้นขวาง [คอร์ด] ออกเป็นสามส่วนII.65. ในอีกชั้นหนึ่งก็วาง [อิฐ] โดยให้ทิศเหนือชี้ไป^{[ 48 ]}

ตามที่ Filliozat กล่าวไว้^{[ 49 ]}ผู้ประกอบพิธีกรรมที่สร้างแท่นบูชามีเครื่องมือและวัสดุเพียงไม่กี่อย่าง ได้แก่ เชือก (สันสกฤต, rajju , f.) หมุดสองตัว (สันสกฤต, śanku , m.) และดินเหนียวสำหรับทำอิฐ (สันสกฤต, iṣṭakā , f.) ความกระชับเกิดขึ้นในสูตรนี้โดยไม่ได้กล่าวถึงอย่างชัดเจนว่าคำคุณศัพท์ "ขวาง" หมายถึงอะไร อย่างไรก็ตาม จากรูปเพศหญิงของคำคุณศัพท์ (สันสกฤต) ที่ใช้ ทำให้สามารถอนุมานได้ง่ายว่าหมายถึง "เชือก" ในทำนองเดียวกัน ในบทที่สอง "อิฐ" ไม่ได้ถูกกล่าวถึงอย่างชัดเจน แต่อนุมานได้อีกครั้งจากรูปพหูพจน์เพศหญิงของ "ชี้ไปทางทิศเหนือ" สุดท้ายนี้ บทแรกไม่ได้กล่าวอย่างชัดเจนว่าชั้นอิฐชั้นแรกวางในทิศตะวันออก-ตะวันตก แต่ก็มีการกล่าวถึง "ทิศเหนือ" อย่างชัดเจนใน บท ที่สอง ด้วย เพราะหากการวางแนวจะเหมือนกันในทั้งสองชั้น ก็คงจะไม่มีการกล่าวถึงเลย หรืออาจจะกล่าวถึงเฉพาะในบทแรกเท่านั้น การอนุมานทั้งหมดนี้เกิดขึ้นจากเจ้าหน้าที่ขณะที่เขานึกถึงสูตรจากความทรงจำของเขา^{[ 48 ]}

ด้วยความซับซ้อนที่เพิ่มมากขึ้นของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่แม่นยำอื่นๆ ทั้งการเขียนและการคำนวณจึงมีความจำเป็น ดังนั้น งานทางคณิตศาสตร์จำนวนมากจึงเริ่มถูกเขียนลงในต้นฉบับ แล้วคัดลอกและส่งต่อจากรุ่นสู่รุ่น

ปัจจุบันอินเดียมีต้นฉบับประมาณสามสิบล้านฉบับ ซึ่งเป็นแหล่งรวมเอกสารอ่านที่เขียนด้วยลายมือที่ใหญ่ที่สุดในโลก วัฒนธรรมการเขียนของวิทยาศาสตร์อินเดียย้อนกลับไปอย่างน้อยถึงศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช ... ดังที่แสดงให้เห็นโดยองค์ประกอบของวรรณกรรมทำนายและดาราศาสตร์ของเมโสโปเตเมียที่เข้ามาในอินเดียในเวลานั้นและ (ไม่ได้) แน่นอนว่าไม่ได้ ... เก็บรักษาไว้ด้วยการบอกเล่าปากเปล่า^{[ 50 ]}

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่เป็นร้อยแก้วที่เก่าแก่ที่สุดคือคำอธิบายเกี่ยวกับงานĀryabhaṭīya (เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 499) ซึ่งเป็นงานเกี่ยวกับดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ ส่วนทางคณิตศาสตร์ของĀryabhaṭīyaประกอบด้วย 33 สุตระ (ในรูปแบบบทกวี) ซึ่งประกอบด้วยข้อความหรือกฎทางคณิตศาสตร์ แต่ไม่มีการพิสูจน์^{[ 51 ]}อย่างไรก็ตาม ตามที่ Hayashi กล่าวไว้^{[ 52 ]} "นี่ไม่ได้หมายความว่าผู้เขียนไม่ได้พิสูจน์มัน อาจเป็นเรื่องของรูปแบบการอธิบาย" ตั้งแต่สมัยของBhaskara I (ตั้งแต่ปี ค.ศ. 600 เป็นต้นไป) คำอธิบายที่เป็นร้อยแก้วเริ่มรวมการอนุมาน ( upapatti ) มากขึ้นเรื่อยๆ คำอธิบายของ Bhaskara I เกี่ยวกับĀryabhaṭīyaมีโครงสร้างดังต่อไปนี้: ^{[ 51 ]}

• กฎ (สูตร) ​​ในรูปแบบบทกวี โดยอารยภฏะ
• คำอธิบายโดยภัสการะที่ 1 ประกอบด้วย:
  • การอธิบายกฎ (ในสมัยนั้นการพิสูจน์กฎยังไม่แพร่หลาย แต่ต่อมากลายเป็นเรื่องปกติมากขึ้น)
  • ตัวอย่าง ( uddeśaka ) มักอยู่ในรูปแบบบทกวี
  • การตั้งค่า ( nyāsa/sthāpanā ) ของข้อมูลตัวเลข
  • ขั้นตอนการทำงาน ( karana ) ของวิธีแก้ปัญหา
  • การตรวจสอบ ( pratyayakaraṇaซึ่งแปลตรงตัวว่า "ทำให้มั่นใจ") ของคำตอบ สิ่งเหล่านี้หายากขึ้นในช่วงศตวรรษที่ 13 เนื่องจากมีการนิยมใช้การอนุมานหรือการพิสูจน์มากกว่า^{[ 51 ]}

โดยทั่วไป สำหรับหัวข้อทางคณิตศาสตร์ใดๆ นักเรียนในอินเดียโบราณจะท่องจำสูตร ก่อน ซึ่งดังที่ได้อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ว่า "จงใจไม่เพียงพอ" ^{[ 50 ]}ในรายละเอียดการอธิบาย (เพื่อถ่ายทอดกฎทางคณิตศาสตร์พื้นฐานอย่างกระชับ) จากนั้นนักเรียนจะทำงานผ่านหัวข้อของคำอธิบายร้อยแก้วโดยการเขียน (และวาดแผนภาพ) บนกระดานชอล์กและกระดานฝุ่น ( เช่นกระดานที่ปกคลุมด้วยฝุ่น) กิจกรรมหลังนี้ ซึ่งเป็นส่วนสำคัญของงานทางคณิตศาสตร์ ต่อมาได้กระตุ้นให้นักคณิตศาสตร์-นักดาราศาสตร์พราหมณคุปตะ ( มีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 7) อธิบายการคำนวณทางดาราศาสตร์ว่าเป็น "งานฝุ่น" (สันสกฤต: dhulikarman ) ^{[ 53 ]}

เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบค่าประจำหลักทศนิยมที่ใช้ในปัจจุบันได้รับการบันทึกไว้ครั้งแรกในอินเดีย จากนั้นจึงส่งต่อไปยังโลกอิสลาม และในที่สุดก็มาถึงยุโรป^{[ 54 ]}บิชอปเซเวรัส เซโบคท์ แห่งซีเรีย ได้เขียนไว้ในช่วงกลางศตวรรษที่ 7 เกี่ยวกับ "สัญลักษณ์เก้าอย่าง" ของชาวอินเดียสำหรับการแสดงตัวเลข^{[ 54 ]}อย่างไรก็ตาม วิธีการ เวลา และสถานที่ที่ระบบค่าประจำหลักทศนิยมถูกคิดค้นขึ้นเป็นครั้งแรกนั้นยังไม่ชัดเจนนัก^{[ 55 ]}

อักษรที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังคงใช้กันอยู่ในอินเดียคือ อักษร คาโรษฐีที่ใช้ใน วัฒนธรรม คันธาราทางตะวันตกเฉียงเหนือ เชื่อกันว่ามีต้นกำเนิดมาจากภาษาอราเมอิกและมีการใช้งานตั้งแต่ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราชจนถึงศตวรรษที่ 4 หลังคริสต์ศักราช ในเวลาเดียวกันนั้นเอง อักษรอีกแบบหนึ่งคืออักษรพราห์มีก็ปรากฏขึ้นในหลายพื้นที่ของอนุทวีป และต่อมาได้กลายเป็นรากฐานของอักษรหลายชนิดในเอเชียใต้และเอเชียตะวันออกเฉียงใต้ อักษรทั้งสองมีสัญลักษณ์ตัวเลขและระบบตัวเลข ซึ่งในตอนแรกไม่ได้อิงตามระบบค่าประจำหลัก^{[ 56 ]}

หลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ของตัวเลขค่าตำแหน่งทศนิยมในอินเดียและเอเชียตะวันออกเฉียงใต้มาจากช่วงกลางของสหัสวรรษแรกของคริสต์ศักราช^{[ 57 ]}แผ่นทองแดงจากรัฐคุชราต ประเทศอินเดีย กล่าวถึงวันที่ 595 คริสต์ศักราช ซึ่งเขียนด้วยสัญกรณ์ค่าตำแหน่งทศนิยม แม้ว่าจะมีข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของแผ่นทองแดงนี้ก็ตาม^{[ 57 ]}นอกจากนี้ยังพบตัวเลขทศนิยมที่บันทึกปี 683 คริสต์ศักราชในจารึกหินในอินโดนีเซียและกัมพูชา ซึ่งมีอิทธิพลทางวัฒนธรรมของอินเดียอย่างมาก^{[ 57 ]}

มีแหล่งข้อมูลข้อความที่เก่ากว่า แม้ว่าสำเนาต้นฉบับของข้อความเหล่านี้จะมาจากช่วงเวลาที่ช้ากว่ามากก็ตาม^{[ 58 ]}แหล่งข้อมูลที่เก่าแก่ที่สุดน่าจะเป็นงานของนักปรัชญาพุทธศาสนาชื่อวาสุมิตรา ซึ่งน่าจะมีอายุราวศตวรรษที่ 1 ^{[ 58 ]}วาสุมิตรากล่าวถึงหลุมนับของพ่อค้าว่า "เมื่อชิ้นดินเหนียวสำหรับนับ [ชิ้นเดียวกัน] อยู่ในตำแหน่งของหน่วย จะเรียกว่าหนึ่ง เมื่ออยู่ในตำแหน่งของร้อย จะเรียกว่าหนึ่งร้อย" ^{[ 58 ]}แม้ว่าการอ้างอิงดังกล่าวดูเหมือนจะบ่งบอกว่าผู้อ่านของเขามีความรู้เกี่ยวกับการแสดงค่าตำแหน่งทศนิยม แต่ "ความสั้นของการอ้างอิงและความคลุมเครือของวันที่ของพวกเขา ไม่ได้สร้างลำดับเวลาของการพัฒนาแนวคิดนี้อย่างแน่ชัด" ^{[ 58 ]}

มีการใช้การแสดงเลขฐานสิบแบบที่สามในเทคนิคการแต่งบทกวี ซึ่งต่อมาเรียกว่าBhuta-sankhya (แปลตรงตัวว่า "เลขวัตถุ") ซึ่งใช้โดยนักเขียนภาษาสันสกฤตยุคแรกๆ ที่เขียนตำราทางเทคนิค^{[ 59 ]}เนื่องจากงานทางเทคนิคยุคแรกๆ จำนวนมากแต่งเป็นบทกวี ตัวเลขจึงมักถูกแทนด้วยวัตถุในโลกธรรมชาติหรือโลกทางศาสนาที่สอดคล้องกับตัวเลขนั้นๆ ซึ่งทำให้สามารถจับคู่แบบหลายต่อหนึ่งสำหรับแต่ละตัวเลขและทำให้การแต่งบทกวีง่ายขึ้น^{[ 59 ]}ตามที่ Plofker กล่าว^{[ 60 ]}ตัวอย่างเช่น เลข 4 สามารถแทนด้วยคำว่า " Veda " (เนื่องจากมีตำราทางศาสนานี้สี่เล่ม) เลข 32 ด้วยคำว่า "ฟัน" (เนื่องจากชุดฟันครบชุดมี 32 ซี่) และเลข 1 ด้วยคำว่า "ดวงจันทร์" (เนื่องจากมีดวงจันทร์เพียงดวงเดียว) ^{[ 59 ]}ดังนั้น Veda/ฟัน/ดวงจันทร์จึงสอดคล้องกับเลขฐานสิบ 1324 เนื่องจากธรรมเนียมการนับตัวเลขคือการนับหลักจากขวาไปซ้าย^{[ 59 ]}การอ้างอิงที่เก่าแก่ที่สุดที่ใช้เลขวัตถุคือข้อความภาษาสันสกฤตราวปี ค.ศ. 269 ชื่อYavanajātaka (แปลตรงตัวว่า "โหราศาสตร์กรีก") ของ Sphujidhvaja ซึ่งเป็นบทกวีที่ดัดแปลงมาจากร้อยแก้วอินเดียที่สูญหายไปจากงานโหราศาสตร์เฮลเลนิสติกในยุคก่อนหน้า (ราวปี ค.ศ. 150) ^{[ 61 ]}การใช้งานดังกล่าวดูเหมือนจะแสดงให้เห็นว่าในช่วงกลางศตวรรษที่ 3 ระบบค่าตำแหน่งทศนิยมเป็นที่คุ้นเคยอย่างน้อยสำหรับผู้อ่านตำราดาราศาสตร์และโหราศาสตร์ในอินเดีย^{[ 59 ]}

มีการตั้งสมมติฐานว่าระบบค่าประจำหลักทศนิยมของอินเดียมีพื้นฐานมาจากสัญลักษณ์ที่ใช้ในกระดานนับเลขของจีนตั้งแต่ช่วงกลางสหัสวรรษแรกก่อนคริสต์ศักราช^{[ 62 ]}ตามที่ Plofker กล่าวไว้^{[ 60 ]}

กระดานนับเหล่านี้ เช่นเดียวกับหลุมนับของชาวอินเดีย ... มีโครงสร้างค่าประจำหลักทศนิยม ... ชาวอินเดียอาจเรียนรู้เกี่ยวกับ "ตัวเลขแท่ง" ค่าประจำหลักทศนิยมเหล่านี้จากผู้แสวงบุญชาวพุทธชาวจีนหรือนักเดินทางคนอื่นๆ หรือพวกเขาอาจพัฒนาแนวคิดนี้ขึ้นเองโดยอิสระจากระบบที่ไม่ใช้ค่าประจำหลักก่อนหน้านี้ ไม่มีหลักฐานเอกสารใดหลงเหลืออยู่เพื่อยืนยันข้อสรุปใดข้อสรุปหนึ่ง" ^{[ 62 ]}

ต้นฉบับคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ในอินเดียคือต้นฉบับ Bakhshaliซึ่งเป็นต้นฉบับที่เขียนบนเปลือกไม้เบิร์ชด้วย "ภาษาสันสกฤตแบบผสมผสานทางพุทธศาสนา" ^{[ 12 ]}ใน อักษร Śāradāซึ่งใช้ในภูมิภาคตะวันตกเฉียงเหนือของอนุทวีปอินเดียระหว่างศตวรรษที่ 8 ถึง 12 ^{[ 63 ]}ต้นฉบับนี้ถูกค้นพบในปี 1881 โดยชาวนาคนหนึ่งขณะขุดดินในบริเวณที่ล้อมรอบด้วยหินในหมู่บ้าน Bakhshali ใกล้กับPeshawar (ในขณะนั้นอยู่ในบริติชอินเดียและปัจจุบันอยู่ในปากีสถาน ) ต้นฉบับนี้ไม่ทราบผู้แต่งและปัจจุบันเก็บรักษาไว้ในห้องสมุด Bodleianในมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดเมื่อไม่นานมานี้มีการกำหนดอายุของต้นฉบับนี้ไว้ที่ 224–383 CE ^{[ 64 ]}

ต้นฉบับที่หลงเหลืออยู่มี 70 หน้า ซึ่งบางส่วนเป็นชิ้นส่วน เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกฎและตัวอย่างที่เขียนเป็นบทกวี พร้อมด้วยคำอธิบายร้อยแก้วซึ่งรวมถึงวิธีแก้ตัวอย่าง^{[ 63 ]}หัวข้อที่กล่าวถึง ได้แก่ เลขคณิต (เศษส่วน รากที่สอง กำไรและขาดทุน ดอกเบี้ยธรรมดากฎสามเท่าและกฎเศษส่วน ) และพีชคณิต (สมการเชิงเส้นพร้อมกันและสมการกำลังสอง ) และลำดับเลขคณิต นอกจากนี้ยังมีปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนหนึ่ง (รวมถึงปัญหาเกี่ยวกับปริมาตรของทรงเรขาคณิตที่ไม่เป็นรูปทรงเรขาคณิตปกติ) ต้นฉบับ Bakhshali ยัง "ใช้ระบบค่าประจำหลักทศนิยมโดยใช้จุดแทนศูนย์" ^{[ 63 ]}ปัญหาหลายข้ออยู่ในหมวดหมู่ที่เรียกว่า 'ปัญหาการทำให้เท่ากัน' ซึ่งนำไปสู่ระบบสมการเชิงเส้น ตัวอย่างหนึ่งจากชิ้นส่วน III-5-3v คือดังต่อไปนี้:

พ่อค้าคนหนึ่งมี ม้า อาสาวะ เจ็ดตัว พ่อค้า คนที่สองมี ม้า ฮายะ เก้าตัว และพ่อค้าคนที่สามมีอูฐสิบตัว พวกเขามีฐานะดีเท่าเทียมกันในแง่ของมูลค่าสัตว์ หากแต่ละคนให้สัตว์สองตัวแก่พ่อค้าคนอื่นคนละตัว จงหาราคาของสัตว์แต่ละตัวและมูลค่ารวมของสัตว์ทั้งหมดที่พ่อค้าแต่ละคนครอบครอง^{[ 65 ]}

คำอธิบายร้อยแก้วที่มาพร้อมกับตัวอย่างจะแก้ปัญหาโดยการแปลงเป็นสมการสามสมการ (ที่ไม่สมบูรณ์) ในตัวแปรสี่ตัว และสมมติว่าราคาทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม^{[ 65 ]}

ในปี 2017 ตัวอย่างสามชิ้นจากต้นฉบับได้รับการพิสูจน์โดยการหาอายุด้วยคาร์บอนกัมมันตรังสีว่ามาจากสามศตวรรษที่แตกต่างกัน ได้แก่ ตั้งแต่ปี ค.ศ. 224 ถึง 383, ค.ศ. 680–779 และ ค.ศ. 885–993 ไม่ทราบว่าชิ้นส่วนจากศตวรรษต่างๆ มาบรรจุรวมกันได้อย่างไร^{[ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]}

ช่วงเวลานี้มักถูกเรียกว่ายุคทองของคณิตศาสตร์อินเดีย ในยุคนี้ นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง เช่นอารยภัตตา , วราหมิหิ ระ , พราหมณคุปตะ , ภั สการะที่ 1 , มหาวีระ , ภัสการะที่ 2 , มาธวะแห่งสังคัมครามและนิลากันธา โสมยาจีได้วางรากฐานและทำให้สาขาคณิตศาสตร์หลายแขนงมีความชัดเจนและกว้างขวางยิ่งขึ้น ผลงานของพวกเขากระจายไปสู่เอเชีย ตะวันออกกลาง และในที่สุดก็ไปถึงยุโรป แตกต่างจากคณิตศาสตร์ในยุคพระเวท ผลงานของพวกเขารวมทั้งด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ไว้ด้วยกัน ที่จริงแล้ว คณิตศาสตร์ในยุคนั้นถูกรวมอยู่ใน 'วิทยาศาสตร์ดาราศาสตร์' ( ชโยติษฐาสตร ) และประกอบด้วยสาขาย่อย 3 สาขา ได้แก่ วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ ( คณิตะหรือตันตระ ), โหราศาสตร์ ( โฆระหรือชาตกะ ) และการทำนาย (สัมหิตา) ^{[ 53 ]}การแบ่งไตรภาคีนี้มีให้เห็นในการรวบรวมของวราหะมิหิระในคริสต์ศตวรรษที่ 6 - ปัญจสิดธานติกะ^{[ 69 ]} (ตามตัวอักษรว่าปัญจะ "ห้า" สิทธันตะ "ข้อสรุปของการไตร่ตรอง" ลงวันที่  ส.ศ. 575 ) - จากผลงานห้าชิ้นก่อนหน้านี้ ได้แก่สุริยะ สิทธันตะ , โรมะกะ สิทธันตะ , เปาลิสา สิทธันตะ , วศิษฐะ สิทธันตะและไพตามมหาสิทธันตะซึ่งดัดแปลงมาจากงานดาราศาสตร์เมโสโปเตเมีย กรีก อียิปต์ โรมัน และอินเดียในยุคก่อนๆ ดังที่อธิบายไว้ข้างต้น ตำราหลักแต่งเป็นกลอนภาษาสันสกฤต และตามมาด้วยข้อคิดเห็นที่เป็นร้อยแก้ว^{[ 53 ]}

สุริยสิทธันตะ

แม้ว่าจะไม่ทราบผู้แต่ง แต่Surya Siddhanta (ประมาณ ค.ศ. 400) ก็มีรากฐานของตรีโกณมิติ สมัยใหม่ เนื่องจากมีคำศัพท์ที่มีต้นกำเนิดจากต่างประเทศจำนวนมาก ผู้เขียนบางคนจึงคิดว่าเขียนขึ้นภายใต้อิทธิพลของเมโสโปเตเมียและกรีซ^{[ 70 ]}

ตำราโบราณนี้ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้เป็นครั้งแรก:

• ไซน์ ( จยา )
• โคไซน์ ( โคจยา )
• ไซน์ผกผัน ( โอตคราม ชยา )

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียรุ่นหลัง เช่น อารยภัตตา ได้อ้างอิงถึงตำราเล่มนี้ ในขณะที่ ฉบับแปลเป็น ภาษาอาหรับและละติน ในภายหลัง นั้นมีอิทธิพลอย่างมากในยุโรปและตะวันออกกลาง

ปฏิทินเชดดี

ปฏิทินเชดีฉบับนี้ (594) มีการใช้ระบบตัวเลขฮินดู-อารบิกแบบค่าประจำหลัก ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบันตั้งแต่ ยุคแรกๆ

อารยภัตตาที่ 1

อารยภัตตา (ค.ศ. 476–550) ได้เขียนตำราอารยภติยะขึ้นท่านได้อธิบายหลักการพื้นฐานที่สำคัญของคณิตศาสตร์ไว้ในโศลก 332 โศลกตำรานี้ประกอบด้วย:

• สมการกำลังสอง
• ตรีโกณมิติ
• ค่าของπที่ถูกต้องถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง

อารยภาตยังได้เขียนอารยะสิทธันตะซึ่งปัจจุบันสูญหายไปแล้ว ผลงานของ Aryabhata ได้แก่ :

ตรีโกณมิติ:

(ดูเพิ่มเติมที่ : ตารางไซน์ของอารยภตะ )

• แนะนำฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• นิยามของไซน์ ( jya ) ว่าเป็นความสัมพันธ์สมัยใหม่ระหว่างครึ่งมุมและครึ่งคอร์ด
• นิยามของค่าโคไซน์ ( kojya )
• กำหนดบทกลอน ( อุตกรมะชยะ ).
• กำหนดไซน์ผกผัน ( otkram jya )
• ได้ระบุวิธีการคำนวณค่าตัวเลขโดยประมาณของค่าเหล่านั้นไว้ด้วย
• ประกอบด้วยตารางค่าไซน์ โคไซน์ และเวอร์ไซน์ที่เก่าแก่ที่สุด โดยมีช่วงค่า 3.75 องศา ตั้งแต่ 0 องศา ถึง 90 องศา และมีความแม่นยำถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง
• ประกอบด้วยสูตรตรีโกณมิติ sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225) sin nx
• ตรีโกณมิติเชิงทรงกลม

เลขคณิต:

• เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย

พีชคณิต:

• การแก้ระบบสมการกำลังสองพร้อมกัน
• การหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการเชิงเส้นด้วยวิธีการที่เทียบเท่ากับวิธีการสมัยใหม่
• วิธีแก้สมการเชิงเส้นไม่แน่นอนทั่วไป

ดาราศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์:

• การคำนวณค่าคงที่ทางดาราศาสตร์อย่างแม่นยำ เช่น:
  • สุริยุปราคา​
  • จันทรุปราคา​
  • สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์ซึ่งเป็นขั้นตอนสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสเชิงอินทิกรัล^{[ 71 ]}

วาราหามิหิระ

พระวรหมิหิระ (ค.ศ. 505–587) ทรงประพันธ์คัมภีร์ปัญจสิทธันตะ ( หลักดาราศาสตร์ทั้งห้า ) และทรงมีส่วนสำคัญในด้านตรีโกณมิติ รวมถึงตารางค่าไซน์และโคไซน์ที่มีความแม่นยำถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง และสูตรต่อไปนี้ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน ไซน์และโคไซน์ :

• ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$
• ${\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)}$

ในศตวรรษที่ 7 สาขาแยกกันสองสาขา ได้แก่เลขคณิต (ซึ่งรวมถึงการวัด ) และพีชคณิตเริ่มปรากฏขึ้นในคณิตศาสตร์อินเดีย ต่อมาสาขาทั้งสองนี้จะถูกเรียกว่าปาฏีคณิตะ (แปลตรงตัวว่า "คณิตศาสตร์ของอัลกอริทึม") และบีชาคณิตะ (แปลตรงตัวว่า "คณิตศาสตร์ของเมล็ด" โดย "เมล็ด"—เช่น เมล็ดพืช—แทนตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่มีศักยภาพในการสร้าง ในกรณีนี้คือคำตอบของสมการ) ^{[ 72 ]}พราหมณคุปตะในงานดาราศาสตร์ของเขาพราหมณะสภูฏะสิทธันตะ (ค.ศ. 628) ได้รวมสองบท (12 และ 18) ที่อุทิศให้กับสาขาเหล่านี้ บทที่ 12 ซึ่งมีบทกวีภาษาสันสกฤต 66 บท แบ่งออกเป็นสองส่วน คือ "การดำเนินการพื้นฐาน" (รวมถึงรากที่สาม เศษส่วน อัตราส่วนและสัดส่วน และการแลกเปลี่ยน) และ "คณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติ" (รวมถึงส่วนผสม อนุกรมทางคณิตศาสตร์ รูปทรงเรขาคณิต การเรียงอิฐ การเลื่อยไม้ และการกองเมล็ดพืช) ^{[ 73 ]}ในส่วนหลังนี้ เขาได้กล่าวถึงทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขาเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลม : ^{[ 73 ]}

ทฤษฎีบทของพรหมคุปตะ:ถ้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลมมีเส้นทแยงมุมที่ตั้งฉากกัน เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดตัดของเส้นทแยงมุมไปยังด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะแบ่งครึ่งด้านตรงข้ามเสมอ

บทที่ 12 ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในวงกลม (ซึ่งเป็นการขยายความของสูตรของเฮรอน ) รวมถึงคำอธิบายโดยละเอียดของรูปสามเหลี่ยมเชิงตรรกะ ( กล่าวคือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจำนวนตรรกะและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกะ)

สูตรของพรหมคุปตะ:พื้นที่Aของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลมที่มีด้านยาวa , b , c , dตามลำดับ หาได้จาก สูตรต่อไปนี้

${\displaystyle A={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}\,}$

โดยที่sคือครึ่งเส้นรอบวงซึ่งกำหนดโดย${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

ทฤษฎีบทของพรหมคุปตะเกี่ยวกับสามเหลี่ยมตรรกยะ:สามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจำนวนตรรกยะและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะจะมีรูปแบบดังนี้: ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

สำหรับจำนวนตรรกยะบางจำนวนและ. ^{[ 74 ]}${\displaystyle u,v,}$${\displaystyle w}$

บทที่ 18 ประกอบด้วยบทกวีภาษาสันสกฤต 103 บท ซึ่งเริ่มต้นด้วยกฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับศูนย์และจำนวนลบ^{[ 73 ]}และถือเป็นการจัดการอย่างเป็นระบบครั้งแรกของหัวข้อนี้ กฎ (ซึ่งรวมถึงและ) นั้นถูกต้องทั้งหมด ยกเว้นข้อเดียวคือ[ ^{73 ] ต่อ}มาในบทนี้ เขาได้ให้คำตอบที่ชัดเจนครั้งแรก (แม้ว่าจะยังไม่ครอบคลุมทั้งหมด) ของสมการกำลังสอง : ${\displaystyle a+0=\ a}$${\displaystyle a\times 0=0}$${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c}$

นำค่าสัมบูรณ์คูณด้วยสี่เท่าของ [สัมประสิทธิ์ของ] กำลังสอง แล้วบวกด้วยกำลังสองของ [สัมประสิทธิ์ของ] พจน์กลาง รากที่สองของค่าเดียวกัน ลบด้วย [สัมประสิทธิ์ของ] พจน์กลาง แล้วหารด้วยสองเท่าของ [สัมประสิทธิ์ของ] กำลังสอง จะได้ค่า^{[ 75 ]}

สิ่งนี้เทียบเท่ากับ:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

นอกจากนี้ในบทที่ 18 พราหมณคุปตะยังสามารถก้าวหน้าในการค้นหาคำตอบ (จำนวนเต็ม) ของสมการของเพลล์ได้^{[ 76 ]}

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

โดยที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่กำลังสอง เขาทำเช่นนี้โดยการค้นพบเอกลักษณ์ต่อไปนี้: ^{[ 76 ]}${\displaystyle N}$

เอกลักษณ์ของพรหมคุปตะ: ซึ่งเป็นการสรุปทั่วไปของเอกลักษณ์ก่อนหน้าของไดโอแฟนตัส : ^{[ 76 ]}พรหมคุปตะใช้เอกลักษณ์ของเขาเพื่อพิสูจน์เลมมาต่อไปนี้: ^{[ 76 ]}${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}$

บทตั้ง (พรหมคุปตะ):ถ้าเป็นคำตอบของและ เป็นคำตอบของแล้ว: ${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$เป็นวิธีแก้ปัญหาของ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

จากนั้นเขาใช้บทพิสูจน์ย่อยนี้เพื่อสร้างคำตอบ (จำนวนเต็ม) ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของสมการของเพลล์ โดยกำหนดคำตอบหนึ่งคำตอบ และกล่าวถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท (พรหมคุปตะ):ถ้าสมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มสำหรับตัวแปรใดตัวหนึ่งแล้ว สมการของเพลล์จะเป็นดังนี้: ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

นอกจากนี้ยังมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มอีกด้วย^{[ 77 ]}

บราห์มาคุปตะไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทจริง ๆ แต่ได้ยกตัวอย่างโดยใช้วิธีการของเขา ตัวอย่างแรกที่เขานำเสนอคือ: ^{[ 76 ]}

ตัวอย่าง (พรหมคุปตะ):จงหาจำนวนเต็มที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \ x,\ y\ }$

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

ในคำอธิบายของเขา พราหมณคุปตะกล่าวเสริมว่า "คนที่แก้ปัญหานี้ได้ภายในหนึ่งปีคือนักคณิตศาสตร์" ^{[ 76 ]}คำตอบที่เขาให้ไว้คือ:

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

ภัสการะที่ 1

ภัสการาที่ 1 (ค.ศ. 600–680) ขยายงานของอารยภาตะในหนังสือของเขาชื่อมหาภสการิยา , อารยภาติยะ-ภาษยะและลากู-ภสการิยา เขาผลิต:

• การแก้สมการที่ไม่กำหนด
• การประมาณค่าเชิงตรรกะของฟังก์ชันไซน์
• สูตรสำหรับการคำนวณค่าไซน์ของมุมแหลมโดยไม่ต้องใช้ตาราง ซึ่งมีความถูกต้องถึงทศนิยมสองตำแหน่ง

วิราเสนา

วิราเสนา (ศตวรรษที่ 8) เป็นนักคณิตศาสตร์ศาสนาเชนในราชสำนักของพระเจ้าอาโมฆวรษา แห่ง ราชวงศ์ รัชตรากุตะ แห่งมันยาเกตะรัฐกรณาฏกะ ท่านได้เขียนคัมภีร์ธาวาลาซึ่งเป็นคำอธิบายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของศาสนาเชน ซึ่งมีใจความว่า:

• เกี่ยวข้องกับแนวคิดของardhacchedaซึ่งเป็นจำนวนครั้งที่สามารถหารครึ่งจำนวนหนึ่งได้ และแสดงรายการกฎต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการนี้ ซึ่งสอดคล้องกับลอการิทึมฐานสองเมื่อนำไปใช้กับกำลังของสอง [ ^{78 ] [ 79 ] แต่แตกต่างกันในจำนวนอื่นๆ ซึ่ง} คล้ายกับ ลำดับ 2- adic มากกว่า

วิราเสนาได้กล่าวไว้ว่า:

• การหาปริมาตรของ ทรง กรวยตัด ยอด โดยใช้กระบวนการอนันต์ชนิดหนึ่ง

เชื่อกันว่าเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในDhavalaมาจากนักเขียนรุ่นก่อนๆ โดยเฉพาะ Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra และ Bappadeva ซึ่งเขียนขึ้นระหว่างปี ค.ศ. 200 ถึง 600 ^{[ 79 ]}

มหาวีระ

มหาวีระ อัจฉริยะ (ประมาณ ค.ศ. 800–870) จากรัฐกรณาฏกะนักคณิตศาสตร์ชาวเชนคนสุดท้ายที่มีชื่อเสียง มีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 9 และได้รับการอุปถัมภ์จากพระเจ้าอมโฆวรษา กษัตริย์แห่งราชวงศ์รัชตรากุตะ ท่านได้เขียนหนังสือชื่อกันิต สาร์ สังคราหะเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เชิงตัวเลข และยังเขียนตำราเกี่ยวกับหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย ซึ่งรวมถึงคณิตศาสตร์ของ:

• ศูนย์
• สี่เหลี่ยม
• ลูกบาศก์
• รากที่สองรากที่สามและอนุกรมที่ขยายออกไปนอกเหนือจากนี้
• เรขาคณิตระนาบ
• เรขาคณิตทรงตัน
• ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการทอดเงา
• สูตร ที่ใช้ในการคำนวณพื้นที่ของวงรีและรูปสี่เหลี่ยมที่อยู่ภายในวงกลม

มหาวีระยังกล่าวอีกว่า:

• ยืนยันว่ารากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่จริง
• ให้ผลรวมของอนุกรมที่มีพจน์เป็นกำลังสองของลำดับเลขคณิตและให้กฎเชิงประจักษ์สำหรับพื้นที่และเส้นรอบวงของวงรี
• แก้สมการกำลังสามแล้ว
• แก้สมการกำลังสี่แล้ว
• แก้สม การกำลังห้า และ พหุนามอันดับสูงกว่าบาง สม การ
• ได้ให้คำตอบทั่วไปของสมการพหุนามอันดับสูงไว้แล้ว:
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• แก้สมการกำลังสองที่ไม่กำหนดค่าได้แล้ว
• แก้สมการกำลังสามที่ไม่กำหนดค่าได้แล้ว
• แก้สมการอันดับสูงที่ไม่กำหนด

ศรีธรา

Shridhara (ค.ศ. 870–930) ซึ่งอาศัยอยู่ในเบงกอลเขียนหนังสือชื่อNav Shatika , Tri ShatikaและPati Ganita เขาให้:

• กฎง่ายๆ สำหรับการหาปริมาตรของทรงกลม
• สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

คัมภีร์ปติคณิตาเป็นตำราเกี่ยวกับการคำนวณและการวัดกล่าวถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ รวมถึง:

• การดำเนินการขั้นพื้นฐาน
• การหาค่ารากที่สองและรากที่สาม
• เศษส่วน
• มีกฎแปดข้อสำหรับการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับเลขศูนย์
• วิธีการหาผลรวมของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิตต่างๆ ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นมาตรฐานอ้างอิงในงานเขียนอื่นๆ ในภายหลัง

มันจูลา

สมการของอารยภัตตาได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในศตวรรษที่ 10 โดยมัญจุละ (หรือมุนจาละ ) ซึ่งตระหนักว่าการแสดงออก^{[ 80 ]}

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

สามารถแสดงได้โดยประมาณดังนี้

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

เรื่องนี้ได้รับการขยายความโดย Bhaskara ii ผู้สืบทอดตำแหน่งต่อมาของเขา จึงได้ค้นพบอนุพันธ์ของไซน์^{[ 80 ]}

อารยภัตตาที่ 2

อารยภาตะที่ 2 (ราวปี ค.ศ. 920–1000) เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับพระศรีธระ และบทความทางดาราศาสตร์เรื่องมหาสิทธันตะ มหาสิทธันตะมี 18 บท กล่าวถึง:

• คณิตศาสตร์เชิงตัวเลข ( Ank Ganit )
• พีชคณิต.
• การแก้สมการไม่กำหนด ( kuttaka )

ชริปาติ

ศรีปาติ มิชรา (ค.ศ. 1019–1066) ได้ประพันธ์หนังสือสิทธันตะ เศขระซึ่งเป็นผลงานชิ้นสำคัญด้านดาราศาสตร์จำนวน 19 บท และคานิต ติลากะ ซึ่งเป็นตำรา คณิตศาสตร์ที่ไม่สมบูรณ์จำนวน 125 บท โดยอ้างอิงจากผลงานของศรีธระ โดยหลักแล้วท่านทำงานในด้าน:

• การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่
• วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นไม่แน่นอนพร้อมกัน

นอกจากนี้ เขายังเป็นผู้ประพันธ์Dhikotidakaranaซึ่งเป็นบทกวี 20 บทเกี่ยวกับ:

• สุริยุปราคา​
• จันทรุปราคา​

ธรุวมนัสเป็นงานเขียนที่มี 105 บท เกี่ยวกับ:

• การคำนวณลองจิจูด ของดาวเคราะห์
• สุริยุปราคา​
• การโคจรผ่านหน้าดวงอาทิตย์ของดาวเคราะห์

เนมิจันทรา สิทธันตะ จักราวดี

เนมิจันทรา สิทธันตะ จักราวดี (ประมาณ ค.ศ. 1100) ประพันธ์บทความทางคณิตศาสตร์ชื่อโกเม-มัตซาร์

ภัสการาที่ 2

ภัสการะที่ 2 (ค.ศ. 1114–1185) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ผู้เขียนตำราสำคัญหลายเล่ม ได้แก่ สิทธันตะศิโรมานี , ลิลวตี , บิชากานิตา , โกละอัธยา , คฤหะกานิตัมและการันเกาตูหัลผลงานของเขาหลายชิ้นได้ถูกเผยแพร่ไปยังตะวันออกกลางและยุโรปในภายหลัง ผลงานของเขารวมถึง:

เลขคณิต:

• การคำนวณดอกเบี้ย
• ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
• เรขาคณิตระนาบ
• เรขาคณิตทรงตัน
• เงาของนาฬิกาแดด
• วิธีแก้ปัญหาการจัดเรียง
• ได้พิสูจน์แล้วว่าการหารด้วยศูนย์มีค่าเป็นอนันต์

พีชคณิต:

• การยอมรับว่าจำนวนบวกมีรากที่สองสองตัว
• รากที่สอง
• การดำเนินงานกับผลิตภัณฑ์ที่มีส่วนประกอบที่ไม่ทราบแน่ชัดหลายประการ
• วิธีแก้ปัญหาของ:
  • สมการกำลังสอง
  • สมการลูกบาศก์
  • สมการกำลังสี่
  • สมการที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว
  • สมการกำลังสองที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว
  • รูปแบบทั่วไปของสมการของ Pellโดยใช้วิธีchakravala
  • สมการกำลังสองไม่แน่นอนทั่วไปโดยใช้วิธีจักราวาลา
  • สมการลูกบาศก์ที่ไม่กำหนดค่าได้
  • สมการกำลังสี่ที่ไม่กำหนดค่า
  • สมการพหุนามอันดับสูงที่ไม่กำหนดค่าได้

เรขาคณิต:

• ได้แสดงการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

แคลคูลัส:

• แนวคิดเบื้องต้นเกี่ยวกับการหาอนุพันธ์
• ค้นพบค่าสัมประสิทธิ์เชิงอนุพันธ์
• กล่าวถึงรูปแบบเบื้องต้นของ ทฤษฎีบทของโรลล์ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย (หนึ่งในทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดของแคลคูลัสและการวิเคราะห์)
• ในงานดาราศาสตร์ของเขา ภัสการะได้ให้ผลลัพธ์ที่ดูเหมือนจะเป็นต้นแบบของวิธีการอนันต์เล็ก: ถ้าแล้วสิ่งนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการค้นพบว่าโคไซน์เป็นอนุพันธ์ของไซน์ แม้ว่าเขาจะไม่ได้พัฒนาแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ก็ตาม^{[ 81 ]}${\displaystyle x\approx y}$${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$
• คำนวณค่า πได้ถูกต้องถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง
• คำนวณปีสุริยคติเป็นทศนิยม 9 ตำแหน่ง^{[ 82 ]}

ตรีโกณมิติ:

• พัฒนาการของตรีโกณมิติเชิงทรงกลม
• สูตรตรีโกณมิติ:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

สำนักปรัชญาอินเดีย Navya-Nyāya หรือ Neo-Logical darśana ก่อตั้งขึ้นในศตวรรษที่ 13 โดยนักปรัชญา^Gangesha Upadhyayaแห่งMithila [ ^{83 ]}นับเป็นการพัฒนาต่อยอดมาจาก Nyāya darśana แบบคลาสสิก อิทธิพลอื่นๆ ที่มีต่อ Navya-Nyāya ได้แก่ ผลงานของนักปรัชญารุ่นก่อนๆ อย่างVācaspati Miśra (ค.ศ. 900–980) และUdayana (ปลายศตวรรษที่ 10)

หนังสือTattvacintāmaṇi ("อัญมณีแห่งความคิดและความจริง") ของ Gangeśa เขียนขึ้นบางส่วนเพื่อตอบโต้ Khandanakhandakhādya ของ Śrīharśa ซึ่งเป็นการปกป้องAdvaita Vedāntaซึ่งได้เสนอชุดคำวิจารณ์อย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับทฤษฎีความคิดและภาษาของ Nyāya ^{[ 84 ]} Navya-Nyāya ได้พัฒนาระบบภาษาและโครงร่างแนวคิดที่ซับซ้อนซึ่งทำให้สามารถยก วิเคราะห์ และแก้ปัญหาในตรรกศาสตร์และญาณวิทยาได้ โดยเกี่ยวข้องกับการตั้งชื่อวัตถุแต่ละชิ้นที่จะวิเคราะห์ การระบุลักษณะเด่นของวัตถุที่ตั้งชื่อ และการตรวจสอบความเหมาะสมของลักษณะที่กำหนดโดย^ใช้ pramanas [ ^{85 ]}

สำนักดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์แห่งเกรละก่อตั้งโดยมาธาวะแห่งสังคมาครามในรัฐเกรละทางตอนใต้ของอินเดียโดยมีสมาชิกสำคัญ ได้แก่ปารเมศวรนี ลา กันตะ โสมยาจี เชษฐเทวะอัชยุตะ ปิศารติ เมลปาธุร นารายณะ ภัตตาถิรีและอัชยุตะ ปานิกการ สำนักนี้เจริญรุ่งเรืองระหว่างศตวรรษที่ 14 ถึง 16 และการค้นพบดั้งเดิมของสำนักดูเหมือนจะสิ้นสุดลงที่นารายณะ ภัตตาถิรี (ค.ศ. 1559–1632) ในความพยายามที่จะแก้ปัญหาทางดาราศาสตร์ นักดาราศาสตร์ของสำนักเกรละได้สร้างแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญหลายอย่างขึ้นมาโดยอิสระ ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดคือ การขยายอนุกรมสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งได้กล่าวไว้ใน บทกวี ภาษาสันสกฤตในหนังสือของนีลากันตะชื่อตันตระสังคราหะและมีคำอธิบายประกอบงานนี้ชื่อตันตระสังคราหะ-วักยะซึ่งไม่ทราบผู้แต่ง ทฤษฎีบทถูกกล่าวถึงโดยไม่มีการพิสูจน์ แต่การพิสูจน์อนุกรมสำหรับไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ผกผัน นั้น ได้รับการจัดเตรียมไว้ในอีกหนึ่งศตวรรษต่อมาในงานYuktibhāṣā (ประมาณ ค.ศ. 1500–ประมาณ ค.ศ. 1610) ซึ่งเขียนเป็นภาษามาลายา ลั มโดยJyesthadeva ^{[ 86 ]}

การค้นพบการขยายอนุกรมที่สำคัญทั้งสามนี้ของแคลคูลัส — ^หลายศตวรรษก่อนที่ไอแซค นิวตันและก็อตฟรีด ไลบ์นิซ จะพัฒนาแคลคูลัสในยุโรป —ถือเป็นความสำเร็จ อย่างไรก็ตาม สำนักเกรละไม่ได้คิดค้นแคลคูลัส [ ^{87 ]}เพราะถึงแม้พวกเขาจะสามารถพัฒนาการ ขยายอนุกรม เทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่สำคัญ ได้ แต่พวกเขาก็ไม่ได้พัฒนาทฤษฎีการหาอนุพันธ์หรือการหาปริพันธ์หรือทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส [ ^{71 ] ผลลัพธ์}ที่สำนักเกรละได้รับ ได้แก่:

• อนุกรมเรขาคณิต (อนันต์) : ^{[ 88 ]}${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$
• การพิสูจน์แบบกึ่งเข้มงวด (ดูหมายเหตุ "การเหนี่ยวนำ" ด้านล่าง) ของผลลัพธ์: สำหรับnขนาด ใหญ่ ^{[ 86 ]}${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$
• การใช้การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ โดยสัญชาตญาณ อย่างไรก็ตาม สมมติฐาน การเหนี่ยวนำไม่ได้ถูกกำหนดหรือนำมาใช้ในการพิสูจน์^{[ 86 ]}
• การประยุกต์ใช้แนวคิดจาก (สิ่งที่จะกลายเป็น) แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเชิงอินทิกรัลเพื่อให้ได้อนุกรมอนันต์ (เทย์เลอร์-แมคลาอริน)สำหรับ sin x, cos x และ arctan x ^{[ 87 ]} Tantrasangraha -vakhyaให้อนุกรมในรูปแบบบทกวี ซึ่งเมื่อแปลเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แล้ว สามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 86 ]}

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

โดยที่สำหรับr  = 1 อนุกรมจะลดรูปเป็นอนุกรมกำลังมาตรฐานสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

และ

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• การใช้การแก้ไข (การคำนวณความยาว) ของส่วนโค้งของวงกลมเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์เหล่านี้ ( ไม่ได้ ใช้วิธีการของไลบ์นิซในภายหลัง ซึ่ง ใช้ การคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของวงกลม) ^{[ 86 ]}
• การใช้การขยายอนุกรมของเพื่อให้ได้สูตร Leibniz สำหรับ π : ^{[ 86 ]}${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• การประมาณค่าความคลาดเคลื่อน อย่างมีเหตุผล สำหรับผลรวมจำกัดของอนุกรมที่สนใจ ตัวอย่างเช่น ความคลาดเคลื่อน(สำหรับnเป็นจำนวนคี่ และi = 1, 2, 3) สำหรับอนุกรม:${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• การจัดการเทอมข้อผิดพลาดเพื่อหาอนุกรมลู่เข้าที่เร็วขึ้นสำหรับ: ^{[ 86 ]}${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• การใช้ชุดที่ปรับปรุงแล้วเพื่อหาการแสดงออกเชิงตรรกะ^{[ 86 ]} 104348/33215 สำหรับπถูกต้องจนถึง ทศนิยม เก้าตำแหน่งเช่น  3.141592653
• การใช้แนวคิดเชิงสัญชาตญาณของขีดจำกัดเพื่อคำนวณผลลัพธ์เหล่านี้^{[ 86 ]}
• วิธีการกึ่งเข้มงวด (ดูหมายเหตุเกี่ยวกับขีดจำกัดข้างต้น) ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติบางฟังก์ชัน^{[ 71 ]}อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้กำหนดแนวคิดของฟังก์ชันหรือมีความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือลอการิทึม

ผลงานของโรงเรียน Kerala ได้รับการเขียนขึ้นเป็นครั้งแรกสำหรับโลกตะวันตกโดยชาวอังกฤษCM Whishในปี พ.ศ. 2378 ตามที่ Whish กล่าว นักคณิตศาสตร์ชาว Kerala ได้ " วางรากฐานสำหรับระบบฟลักซ์ชันที่สมบูรณ์ " และผลงานเหล่านี้เต็มไปด้วย " รูปแบบและอนุกรมฟลักซ์ชันที่หาไม่ได้ในผลงานของประเทศอื่น " ^{[ 89 ]}

อย่างไรก็ตาม ผลงานของ Whish แทบจะถูกละเลยไปโดยสิ้นเชิง จนกระทั่งกว่าศตวรรษต่อมา เมื่อ C. Rajagopal และผู้ร่วมงานของเขาได้ตรวจสอบการค้นพบของโรงเรียน Kerala อีกครั้ง งานของพวกเขารวมถึงคำอธิบายเกี่ยวกับการพิสูจน์อนุกรม arctan ในYuktibhāṣāที่นำเสนอในเอกสารสองฉบับ^{[ 90 ] [ 91 ]}คำอธิบายเกี่ยวกับการพิสูจน์อนุกรมไซน์และโคไซน์ของYuktibhāṣā ^{[ 92 ]}และเอกสารสองฉบับที่ให้บทกวีภาษาสันสกฤตของTantrasangrahavakhyaสำหรับอนุกรม arctan, sin และ cosine (พร้อมคำแปลและคำอธิบายภาษาอังกฤษ) ^{[ 93 ] [ 94 ]}

Parameshvara (ประมาณปี 1370–1460) เขียนข้อคิดเห็นเกี่ยวกับผลงานของBhaskara I , Aryabhataและ Bhaskara II Lilavati Bhasyaของเขา ซึ่งเป็นบทวิจารณ์เกี่ยวกับ Lilavatiของ Bhaskara II มีการค้นพบที่สำคัญอย่างหนึ่งของเขา: เวอร์ชันของทฤษฎีบท ค่าเฉลี่ยนิลคันธา โสมยาจี (ค.ศ. 1444–1544) แต่งTantra Samgraha (ซึ่ง 'สร้าง' ความเห็นนิรนามในภายหลังTantrasangraha-vyakhyaและความเห็นเพิ่มเติมในชื่อYuktidipaikaเขียนในปี 1501) เขาอธิบายรายละเอียดและขยายการมีส่วนร่วมของ Madhava

จิตรภานุ (ประมาณ ค.ศ. 1530) เป็นนักคณิตศาสตร์จากรัฐเกรละในศตวรรษที่ 16 ผู้ให้คำตอบเป็นจำนวนเต็มสำหรับระบบสมการพีชคณิตสอง ตัวแปร พร้อมกัน 21 ประเภท ซึ่งประเภทเหล่านี้คือคู่สมการที่เป็นไปได้ทั้งหมดในเจ็ดรูปแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

ในแต่ละกรณี จิตรภานุได้ให้คำอธิบายและเหตุผลของกฎของเขา รวมทั้งยกตัวอย่างประกอบ บางส่วนของคำอธิบายของเขาเป็นแบบพีชคณิต ในขณะที่บางส่วนเป็นแบบเรขาคณิต เชษฐเทวะ (ประมาณ ค.ศ. 1500–1575) เป็นอีกหนึ่งสมาชิกของสำนักคณิตศาสตร์เกรละ ผลงานสำคัญของเขาคือยุกติภาษะ (เขียนด้วยภาษามาลายาลัม ซึ่งเป็นภาษาท้องถิ่นของเกรละ) เชษฐเทวะได้นำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์และอนุกรมอนันต์ส่วนใหญ่ที่มาธาวะและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ในสำนักเกรละได้ค้นพบก่อนหน้านี้

นารายณะ ปัณฑิตเป็นนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 14 ผู้ประพันธ์ผลงานทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญสองชิ้น ได้แก่ ตำราเลขคณิตชื่อกานิตา เกามุดีและตำราพีชคณิตชื่อ บิจกานิตา วาตัม สะ กา นิตา เกามุดีเป็นหนึ่งในผลงานที่ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง โดยได้พัฒนาวิธีการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของลำดับที่กำหนดให้ ในกานิตา เกามุดีนารายณะได้เสนอโจทย์ปัญหาต่อไปนี้เกี่ยวกับฝูงวัวและลูกวัว:

แม่วัวตัวหนึ่งให้กำเนิดลูกวัวหนึ่งตัวทุกปี เริ่มตั้งแต่ปีที่สี่เป็นต้นไป ลูกวัวแต่ละตัวจะให้กำเนิดลูกวัวหนึ่งตัวในต้นปีของทุกปี หลังจาก 20 ปี จะมีแม่วัวและลูกวัวทั้งหมดกี่ตัว?

แปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ของลำดับเวียนเกิด :

N _n = N _n-1 + N _n-3สำหรับn > 2 ,

ด้วยค่าเริ่มต้น

N ₀ = N ₁ = N ₂ = 1 .

พจน์แรกๆ ได้แก่ 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (ลำดับA000930ในOEIS ) อัตราส่วนลิมิตระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันคืออัตราส่วนซูเปอร์โกลด์ . . นารายณะยังเชื่อกันว่าเป็นผู้เขียนคำอธิบายอย่างละเอียดของลิลวตีของภัสการะที่ 2ซึ่งมีชื่อว่าคานาติ เกามุทยะ (หรือกรรมปัทธติ ) ^{[ 95 ]}

มีการกล่าวอ้างว่าผลงานของอินเดียในด้านคณิตศาสตร์ไม่ได้รับการยอมรับอย่างเหมาะสมในประวัติศาสตร์สมัยใหม่ และการค้นพบและสิ่งประดิษฐ์มากมายของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในปัจจุบันถูกนำไปเปรียบเทียบกับผลงานของ นักคณิตศาสตร์ ชาวตะวันตก ในเชิงวัฒนธรรม อันเป็นผลมาจากแนวคิดชาตินิยมยุโรปตามทัศนะของ GG Joseph ในหนังสือ " คณิตศาสตร์ชาติพันธุ์ ":

[งานของพวกเขา] คำนึงถึงข้อโต้แย้งบางประการเกี่ยวกับเส้นทางแบบยูโรเซนทริกคลาสสิก ความตระหนัก [เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอินเดียและอาหรับ] มีแนวโน้มที่จะถูกลดทอนด้วยการปฏิเสธความสำคัญของพวกเขาเมื่อเทียบกับคณิตศาสตร์ของกรีก การมีส่วนร่วมจากอารยธรรมอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจีนและอินเดีย ถูกมองว่าเป็นการยืมมาจากแหล่งที่มาของกรีก หรือมีส่วนร่วมเพียงเล็กน้อยต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์กระแสหลัก ความเปิดกว้างต่อผลการวิจัยล่าสุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของคณิตศาสตร์อินเดียและจีน เป็นสิ่งที่ขาดหายไปอย่างน่าเสียดาย” ^{[ 96 ]}

นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์Florian Cajoriเขียนว่าเขาและคนอื่นๆ "สงสัยว่าDiophantusได้รับความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตครั้งแรกจากอินเดีย" ^{[ 97 ]}เขายังเขียนอีกว่า "เป็นที่แน่นอนว่าคณิตศาสตร์ฮินดูบางส่วนมีต้นกำเนิดมาจากกรีก" ^{[ 98 ]}

เมื่อไม่นานมานี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในส่วนข้างต้น อนุกรมอนันต์ของแคลคูลัสสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ซึ่งค้นพบใหม่โดยเกรกอรี เทย์เลอร์ และแมคลาอริน ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17) ได้รับการอธิบายในอินเดียโดยนักคณิตศาสตร์จากโรงเรียนเกรละเมื่อประมาณสองศตวรรษก่อนหน้านั้น นักวิชาการบางคนได้เสนอแนะเมื่อเร็ว ๆ นี้ว่าความรู้เกี่ยวกับผลลัพธ์เหล่านี้อาจถูกส่งต่อไปยังยุโรปผ่านเส้นทางการค้าจากเกรละโดยพ่อค้าและมิชชันนารีเยซูอิ ต ^{[ 99 ]}เกรละมีการติดต่อกับจีนและอาระเบีย อย่างต่อเนื่อง และตั้งแต่ประมาณปี 1500 ก็มีการติดต่อกับยุโรป ข้อเท็จจริงที่ว่ามีเส้นทางการสื่อสารและลำดับเวลาที่เหมาะสมทำให้การส่งต่อดังกล่าวเป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม ไม่พบหลักฐานการส่งต่อ^{[ 99 ]}ตามที่เดวิด เบรสซูดกล่าวว่า "ไม่มีหลักฐานว่างานอนุกรมของอินเดียเป็นที่รู้จักนอกอินเดีย หรือแม้กระทั่งนอกเกรละ จนกระทั่งศตวรรษที่ 19" ^{[ 87 ] [ 100 ]}

นักวิชาการชาวอาหรับและอินเดียต่างค้นพบสิ่งต่างๆ ก่อนศตวรรษที่ 17 ซึ่งปัจจุบันถือเป็นส่วนหนึ่งของแคลคูลัส^{[ 71 ]}อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้ (อย่างที่นิวตันและไลบ์นิซทำ) "รวมแนวคิดที่แตกต่างกันมากมายภายใต้สองหัวข้อหลักคืออนุพันธ์และปริพันธ์แสดงความเชื่อมโยงระหว่างทั้งสอง และเปลี่ยนแคลคูลัสให้เป็นเครื่องมือแก้ปัญหาที่ยอดเยี่ยมอย่างที่เรามีในปัจจุบัน" ^{[ 71 ]}เส้นทางอาชีพทางปัญญาของทั้งนิวตันและไลบ์นิซได้รับการบันทึกไว้อย่างดี และไม่มีข้อบ่งชี้ว่างานของพวกเขาไม่ใช่ผลงานของตนเอง^{[ 71 ]}อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าบรรพบุรุษ โดยตรง ของนิวตันและไลบ์นิซ "โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แฟร์มาต์และโรเบอร์วาล [อาจ] เรียนรู้แนวคิดบางอย่างของนักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามและอินเดียผ่านแหล่งข้อมูลที่เรายังไม่ทราบในขณะนี้" ^{[ 71 ]}นี่เป็นหัวข้อการวิจัยในปัจจุบัน โดยเฉพาะในคอลเลกชันต้นฉบับของสเปนและมาเกร็บและกำลังดำเนินการอยู่ที่CNRSใน บรรดาสถานที่อื่นๆ ^{[ 71 ]}

• Keller, Agathe (2006), การอธิบายเมล็ดพันธุ์ทางคณิตศาสตร์ เล่ม 1: การแปล: การแปล Bhaskara I เกี่ยวกับบทคณิตศาสตร์ของ Aryabhatiya , บาเซิล, บอสตัน และเบอร์ลิน: Birkhäuser Verlag, 172 หน้า, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Keller, Agathe (2006), การอธิบายเมล็ดพันธุ์ทางคณิตศาสตร์ เล่ม 2: ภาคผนวก: การแปล Bhaskara I เกี่ยวกับบทคณิตศาสตร์ของ Aryabhatiya , บาเซิล, บอสตัน และเบอร์ลิน: Birkhäuser Verlag, 206 หน้า, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Sarma, KV , บรรณาธิการ (1976), ĀryabhaṭīyaของĀryabhaṭaพร้อมคำอธิบายของ Sūryadeva Yajvan , เรียบเรียงอย่างละเอียดพร้อมบทนำและภาคผนวก, นิวเดลี: Indian National Science Academy.
• Sen, SN; Bag, AK, บรรณาธิการ (1983), Śulbasūtras ของ Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana และ Mānavaพร้อมด้วยข้อความ คำแปลภาษาอังกฤษ และคำอธิบาย นิวเดลี: Indian National Science Academy.
• Shukla, KS, บรรณาธิการ (1976), ĀryabhaṭīyaของĀryabhaṭaพร้อมคำอธิบายของ Bhāskara I และ Someśvaraเรียบเรียงอย่างละเอียดพร้อมบทนำ คำแปลภาษาอังกฤษ หมายเหตุ ความคิดเห็น และดัชนี นิวเดลี: Indian National Science Academy.
• Shukla, KS, บรรณาธิการ (1988), Āryabhaṭīya ของ Āryabhaṭa , เรียบเรียงเชิงวิจารณ์พร้อมบทนำ คำแปลภาษาอังกฤษ หมายเหตุ ความคิดเห็น และดัชนี ร่วมกับKV Sarma , นิวเดลี: Indian National Science Academy.

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ของอินเดีย

• วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ในอินเดีย
• ภาพรวมของคณิตศาสตร์อินเดีย , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ , ปี 2000
• นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย
• ดัชนีคณิตศาสตร์อินเดียโบราณ , คลังประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์, 2004
• คณิตศาสตร์อินเดีย: การปรับสมดุลใหม่โครงการนักศึกษาในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์เอียน เพียร์ซ หอจดหมายเหตุประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutorมหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส ปี 2002
• คณิตศาสตร์อินเดียในรายการIn Our Timeทางช่องBBC
• InSIGHT 2009 (เก็บถาวรเมื่อวันที่ 25 กุมภาพันธ์ 2006 ที่Wayback Machine)เป็นเวิร์กช็อปเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ดั้งเดิมของอินเดียสำหรับเด็กนักเรียน จัดโดยภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยอันนา เมืองเจนไน ประเทศอินเดีย
• คณิตศาสตร์ในอินเดียโบราณ โดย อาร์. ศรีธารัน
• วิธีการเชิงการจัดเรียงในอินเดียโบราณ
• คณิตศาสตร์ก่อนสมัยของ ส. รามานุจัน