ตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน (Low-pass filter ) คือตัวกรองที่ยอมให้สัญญาณที่มีความถี่ต่ำกว่าความถี่ตัด ที่เลือกไว้ผ่านไปได้ และลดทอนสัญญาณที่มีความถี่สูงกว่าความถี่ตัดนั้นการตอบสนองความถี่ ที่แน่นอน ของตัวกรองขึ้นอยู่กับการออกแบบตัวกรองตัวกรองนี้บางครั้งเรียกว่าตัวกรองความถี่สูงผ่าน (High-cut filter)หรือตัวกรองความถี่แหลมผ่าน (Treble-cut filter)ในการใช้งานด้านเสียง ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านเป็นส่วนกลับของตัวกรองความถี่สูงผ่าน

ในทางทัศนศาสตร์ตัวกรองความถี่สูงและตัวกรองความถี่ต่ำอาจมีความหมายต่างกัน ขึ้นอยู่กับว่าหมายถึงความถี่หรือความยาวคลื่นของแสง เนื่องจากตัวแปรเหล่านี้มีความสัมพันธ์ผกผันกัน ตัวกรองความถี่สูงจะทำหน้าที่เป็นตัวกรองความยาวคลื่นความถี่ต่ำ และในทางกลับกัน ด้วยเหตุนี้ จึงควรเรียกตัวกรองความยาวคลื่นว่าตัวกรองความถี่สั้นและตัวกรองความถี่ยาวเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ซึ่งจะสอดคล้องกับความถี่สูงและความถี่ต่ำ^{[ 1 ]}

ตัวกรองความถี่ต่ำมีอยู่หลายรูปแบบ รวมถึงวงจรอิเล็กทรอนิกส์ เช่นตัวกรองเสียงฟู่ที่ใช้ในระบบเสียงตัวกรองป้องกันการเกิดสัญญาณรบกวน (anti-aliasing filters)สำหรับปรับสภาพสัญญาณก่อนการแปลงอนาล็อกเป็นดิจิทัลตัวกรองดิจิทัลสำหรับปรับความเรียบของชุดข้อมูล ฉนวนกันเสียงการเบลอภาพ และอื่นๆ การคำนวณ ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่ใช้ในสาขาต่างๆ เช่น การเงิน เป็นตัวกรองความถี่ต่ำชนิดหนึ่ง และสามารถวิเคราะห์ได้ด้วย เทคนิค การประมวลผลสัญญาณ แบบเดียว กับที่ใช้กับตัวกรองความถี่ต่ำอื่นๆ ตัวกรองความถี่ต่ำจะให้สัญญาณที่มีความเรียบมากขึ้น โดยกำจัดความผันผวนระยะสั้นและคงไว้ซึ่งแนวโน้มระยะยาว

นักออกแบบตัวกรองมักใช้ตัวกรอง ความถี่ต่ำเป็นต้นแบบ นั่นคือตัวกรองที่มีแบนด์วิดท์และความต้านทานเท่ากับหนึ่ง ตัวกรองที่ต้องการจะได้มาจากการปรับขนาดแบนด์วิดท์และความต้านทานตามต้นแบบ แล้วแปลงให้เป็นรูปแบบแบนด์ที่ต้องการ (เช่น ความถี่ต่ำ ความถี่สูง ความถี่ผ่านย่านหรือความถี่หยุดย่าน )

ตัวอย่างของตัวกรองความถี่ต่ำพบได้ในด้านเสียงด้านทัศนศาสตร์และด้าน อิเล็กทรอนิกส์

สิ่งกีดขวางทางกายภาพที่แข็งแรงมักจะสะท้อนความถี่เสียงสูง ทำให้ทำหน้าที่เหมือนตัวกรองเสียงความถี่ต่ำสำหรับการส่งผ่านเสียง เมื่อมีเสียงเพลงเล่นอยู่ในห้องอื่น เสียงโน้ตต่ำจะได้ยินชัดเจน ในขณะที่เสียงโน้ตสูงจะถูกลดทอนลง

ตัวกรองแสงที่มีฟังก์ชันเดียวกันสามารถเรียกได้อย่างถูกต้องว่าตัวกรองความถี่ต่ำ แต่โดยทั่วไปจะเรียกว่า ตัวกรอง ความถี่สูง (ความถี่ต่ำคือความยาวคลื่นยาว) เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน^{[ 1 ]}

ในวงจรกรองความถี่ต่ำแบบอิเล็กทรอนิกส์RCสำหรับสัญญาณแรงดันไฟฟ้า ความถี่สูงในสัญญาณอินพุตจะถูกลดทอน แต่ตัวกรองจะลดทอนน้อยมากต่ำกว่าความถี่ตัดที่กำหนดโดยค่าคงที่เวลา RCสำหรับสัญญาณกระแสไฟฟ้า วงจรที่คล้ายกันโดยใช้ตัวต้านทานและตัวเก็บประจุแบบขนานจะทำงานในลักษณะเดียวกัน (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวแบ่งกระแสไฟฟ้าด้านล่าง )

ตัวกรองความถี่ต่ำแบบอิเล็กทรอนิกส์ใช้กับอินพุตของซับวูฟเฟอร์ และ ลำโพงประเภทอื่นๆเพื่อบล็อกความถี่สูงที่ไม่สามารถสร้างเสียงได้อย่างมีประสิทธิภาพ เครื่องส่งสัญญาณวิทยุใช้ตัวกรองความถี่ต่ำเพื่อบล็อก การปล่อยคลื่น ฮาร์มอนิกที่อาจรบกวนการสื่อสารอื่นๆ ปุ่มปรับโทนเสียงบนกีตาร์ไฟฟ้า หลายตัว เป็นตัวกรองความถี่ต่ำที่ใช้เพื่อลดปริมาณเสียงแหลมในเสียง ตัวรวมสัญญาณเป็นตัวกรองความถี่ต่ำแบบคงที่เวลา อีกตัวหนึ่ง ^{[ 2 ]}

สายโทรศัพท์ที่ติดตั้งตัวแยกสัญญาณ DSLใช้ตัวกรองความถี่ต่ำเพื่อแยก สัญญาณ DSL ออก จาก สัญญาณ POTS (และตัวกรองความถี่สูงในทางกลับกัน) ซึ่งใช้สายคู่ เดียวกัน ( ช่องทางการส่งสัญญาณ ) ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ตัวกรองความถี่ต่ำยังมีบทบาทสำคัญในการปรับแต่งเสียงที่สร้างขึ้นโดยเครื่องสังเคราะห์ เสียงแบบอนาล็อกและแบบอนาล็อก เสมือนดูการสังเคราะห์แบบลบ (subtractive synthesis )

ตัวกรองความถี่ต่ำใช้เป็นตัวกรองป้องกันการเกิดสัญญาณรบกวนก่อนการสุ่มตัวอย่างและสำหรับการสร้างสัญญาณขึ้นใหม่ใน กระบวนการแปลงสัญญาณ ดิจิทัล เป็นอนาล็อก

ตัวกรองความถี่ต่ำในอุดมคติจะกำจัดความถี่ทั้งหมดที่สูงกว่าความถี่ตัดออกไป อย่างสมบูรณ์ ในขณะที่ปล่อยให้ความถี่ที่ต่ำกว่าผ่านไป โดยไม่เปลี่ยนแปลง การตอบสนองความถี่ ของมัน เป็นฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเป็นตัวกรองแบบกำแพงอิฐบริเวณการเปลี่ยนผ่านที่มีอยู่ในตัวกรองที่ใช้งานจริงนั้นไม่มีอยู่ในตัวกรองในอุดมคติ ตัวกรองความถี่ต่ำในอุดมคติสามารถสร้างขึ้นได้ทางคณิตศาสตร์ (ทางทฤษฎี) โดยการคูณสัญญาณด้วยฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าในโดเมนความถี่ หรือเทียบเท่ากับการคอนโวลูชันกับการตอบสนองแบบอิมพัลส์ซึ่งเป็นฟังก์ชัน sincในโดเมนเวลา

อย่างไรก็ตาม ตัวกรองในอุดมคตินั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างขึ้นมาได้หากปราศจากสัญญาณที่มีขอบเขตเวลาอนันต์ ดังนั้นโดยทั่วไปจึงจำเป็นต้องประมาณค่าสำหรับสัญญาณที่เกิดขึ้นจริงอย่างต่อเนื่อง เนื่องจากขอบเขตการทำงานของฟังก์ชัน sinc ครอบคลุมเวลาในอดีตและอนาคตทั้งหมด ตัวกรองจึงจำเป็นต้องมีค่าหน่วงเวลาอนันต์ หรือมีความรู้เกี่ยวกับอดีตและอนาคตที่อนันต์ เพื่อทำการคอนโวลูชัน ซึ่งสามารถสร้างได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับสัญญาณดิจิทัลที่บันทึกไว้ล่วงหน้าโดยการสมมติว่ามีการขยายค่าศูนย์ไปยังอดีตและอนาคต หรือโดยทั่วไปแล้วคือการทำให้สัญญาณเป็นแบบซ้ำๆ และใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์

ตัวกรองจริงสำหรับ แอปพลิเคชัน แบบเรียลไทม์จะประมาณค่าตัวกรองในอุดมคติโดยการตัดและใช้ฟังก์ชันหน้าต่างกับผลตอบสนองแบบอนันต์เพื่อให้ได้ผลตอบสนองแบบจำกัดการใช้ตัวกรองนั้นจำเป็นต้องหน่วงสัญญาณเป็นระยะเวลาพอสมควร เพื่อให้การคำนวณสามารถ "มองเห็น" อนาคตได้เล็กน้อย การหน่วงเวลานี้จะปรากฏออกมาในรูปของการเลื่อนเฟสความแม่นยำที่มากขึ้นในการประมาณค่าจำเป็นต้องใช้การหน่วงเวลาที่นานขึ้น

การตัดทอนตัวกรองความถี่ต่ำในอุดมคติส่งผลให้เกิดสิ่งแปลกปลอมแบบสั่นไหวผ่านปรากฏการณ์ของ Gibbsซึ่งสามารถลดหรือทำให้แย่ลงได้ด้วยการเลือกฟังก์ชันหน้าต่างการออกแบบและการเลือกตัวกรองจริงเกี่ยวข้องกับการทำความเข้าใจและลดสิ่งแปลกปลอมเหล่านี้ให้เหลือน้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น การตัดทอนฟังก์ชัน sinc อย่างง่ายจะสร้างสิ่งแปลกปลอมแบบสั่นไหวอย่างรุนแรง ซึ่งสามารถลดลงได้โดยใช้ฟังก์ชันหน้าต่างที่ลดลงอย่างราบรื่นมากขึ้นที่ขอบ^{[ 5 ]}

สามารถหาค่าการตอบสนองต่อเวลาของตัวกรองความถี่ต่ำได้โดยการแก้สมการการตอบสนองต่อตัวกรอง RC ความถี่ต่ำแบบง่าย

โดยใช้กฎของ Kirchhoffเราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์^{[ 6 ]}

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

ถ้าเรากำหนดให้เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดที่มีขนาดเท่ากับ สมการเชิงอนุพันธ์จะมีคำตอบ^{[ 7 ]}${\displaystyle v_{\text{in}}(t)}$${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),}$

ความถี่ตัดของตัวกรองอยู่ ที่ใด${\displaystyle \omega _{0}={1 \over RC}}$

วิธีที่พบได้บ่อยที่สุดในการกำหนดลักษณะการตอบสนองความถี่ของวงจรคือการหาฟังก์ชันถ่ายโอน การแปลงลาปลาส ^{[ 6 ]} ของวงจรนั้น เมื่อทำการแปลงลาปลาสของสมการเชิงอนุพันธ์ของเราและแก้หาเราจะได้ ${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}}$

สมการผลต่างแบบไม่ต่อเนื่องสามารถหาได้ง่ายๆ โดยการสุ่มตัวอย่างการตอบสนองของอินพุตขั้นบันไดข้างต้นในช่วงเวลาปกติ โดยที่และคือเวลาKระหว่างตัวอย่าง เมื่อหาผลต่างระหว่างตัวอย่างสองตัวอย่างที่ต่อเนื่องกัน เราจะได้ ${\displaystyle nT}$${\displaystyle n=0,1,...}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})}$

เมื่อแก้สมการแล้วจะได้ ${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)}$

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}}$

ที่ไหน${\displaystyle \beta =e^{-\omega _{0}T}}$

โดยใช้สัญลักษณ์และและแทนค่าตัวอย่างของเราเราจะได้สมการผลต่าง ${\displaystyle V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)}$${\displaystyle v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)}$${\displaystyle v_{n}=V_{i}}$

${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}}$

เมื่อเปรียบเทียบสัญญาณเอาต์พุตที่สร้างขึ้นใหม่จากสมการผลต่างกับผลตอบสนองอินพุตแบบขั้นบันไดเราพบว่ามีการสร้างใหม่ที่แม่นยำ (ข้อผิดพลาด 0%) นี่คือเอาต์พุตที่สร้างขึ้นใหม่สำหรับอินพุตที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา อย่างไรก็ตาม หากอินพุตเปลี่ยนแปลงตามเวลาเช่นแบบจำลองนี้จะประมาณสัญญาณอินพุตเป็นอนุกรมของฟังก์ชันขั้นบันไดที่มีระยะเวลา ซึ่งทำให้เกิดข้อผิดพลาดในสัญญาณเอาต์พุตที่สร้างขึ้นใหม่ ข้อผิดพลาดที่เกิดจาก อินพุต ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลานั้นยากที่จะวัดปริมาณ แต่จะลดลงเมื่อ ${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}}$${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})}$${\displaystyle v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow 0}$

ตัวกรองดิจิทัลจำนวนมากถูกออกแบบมาเพื่อให้มีคุณสมบัติแบบโลว์พาส ทั้งตัวกรองโลว์พาสแบบตอบสนองอิมพัลส์อนันต์และแบบตอบสนองอิมพัลส์จำกัดรวมถึงตัวกรองที่ใช้การแปลงฟูริเยร์ ล้วน ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย

ผลของตัวกรองความถี่ต่ำที่มีการตอบสนองแบบอนันต์สามารถจำลองได้บนคอมพิวเตอร์โดยการวิเคราะห์พฤติกรรมของตัวกรอง RC ในโดเมนเวลา แล้วจึงทำการแปลงแบบจำลองให้เป็นแบบไม่ต่อ เนื่อง

จากแผนภาพวงจรทางด้านขวา ตามกฎของเคิร์ชฮอฟฟ์และนิยามของค่าความจุ :

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=R\;i(t)}$

วี

${\displaystyle Q_{c}(t)=C\,v_{\text{out}}(t)}$

คิว

${\displaystyle i(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}}$

ฉัน

ประจุที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุ ณ เวลา t คือค่า ใดเมื่อแทนสมการQลงในสมการIจะได้ซึ่งสามารถแทนลงในสมการVได้ดังนี้ ${\displaystyle Q_{c}(t)}$${\displaystyle i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.}$

สมการนี้สามารถทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้ เพื่อความง่าย ให้สมมติว่าตัวอย่างของอินพุตและเอาต์พุตถูกเก็บที่จุดเวลาที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กัน โดยให้ตัวอย่างของแทนด้วยลำดับและให้แทนด้วยลำดับซึ่งสอดคล้องกับจุดเวลาเดียวกัน เมื่อทำการแทนที่เหล่านี้แล้ว ${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle v_{\text{in}}}$${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$

${\displaystyle x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.}$

เมื่อจัดเรียงพจน์ใหม่จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.}$

กล่าวคือ การนำตัวกรองความถี่ต่ำRC แบบง่ายมาใช้ในรูปแบบเวลาไม่ต่อเนื่องนี้ คือ ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ถ่วงน้ำหนักแบบเอกซ์โปเนนเชียล

${\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha :={\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}.}$

ตามนิยามแล้วค่าตัวประกอบการปรับเรียบจะอยู่ในช่วงนิพจน์สำหรับ α จะให้ค่าคงที่เวลาที่ เทียบเท่า RCในรูปของช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างและค่าตัวประกอบการปรับ เรียบ α${\displaystyle 0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1}$${\displaystyle \Delta _{T}}$

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).}$

เมื่อนึกขึ้นได้ว่า

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$ดังนั้น${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},}$

หมายเหตุ αและมีความสัมพันธ์กันโดย ${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

และ

${\displaystyle f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.}$

ถ้า α = 0.5 ค่าคงที่เวลา RCจะเท่ากับช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง ถ้าแสดงว่าRC มีค่ามากกว่าช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างอย่างมีนัยสำคัญและ ${\displaystyle \alpha \;\ll \;0.5}$${\displaystyle \Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC}$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดของตัวกรองช่วยให้สามารถกำหนดตัวอย่างเอาต์พุตโดยพิจารณาจากตัวอย่างอินพุตและเอาต์พุตก่อนหน้าได้ อัลกอริทึม รหัสเทียม ต่อไปนี้ จำลองผลกระทบของตัวกรองความถี่ต่ำต่อชุดตัวอย่างดิจิทัล:

// ส่งคืนตัวอย่างเอาต์พุตของตัวกรองความถี่ต่ำ RC โดยใช้ตัวอย่างอินพุตที่กำหนด // ช่วงเวลาdtและค่าคงที่เวลาRC ฟังก์ชัน lowpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var real[1..n] y var real α := dt / (RC + dt) y[1] := α * x[1] สำหรับ i ตั้งแต่ 2 ถึง n y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1] ส่งคืน y 

ลูปที่คำนวณค่าเอาต์พุตทั้งn ค่า สามารถปรับปรุงใหม่ให้เทียบเท่าได้ดังนี้:

สำหรับ i ตั้งแต่ 2 ถึง n y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1]) 

กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงจากเอาต์พุตของตัวกรองหนึ่งไปยังอีกตัวกรองหนึ่งจะเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างระหว่างเอาต์พุตก่อนหน้าและอินพุตถัดไปคุณสมบัติการปรับเรียบแบบเอกซ์โปเนนเชียล นี้สอดคล้องกับการลดลงแบบ เอก ซ์โปเนนเชียล ที่พบในระบบเวลาต่อเนื่อง ดังที่คาดไว้ เมื่อค่าคงที่เวลาRC เพิ่มขึ้น พารามิเตอร์การปรับเรียบเวลาไม่ต่อเนื่องจะลดลง และตัวอย่างเอาต์พุตจะตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงในตัวอย่างอินพุตช้าลงระบบจะมีแรงเฉื่อย มากขึ้น ตัวกรองนี้เป็น ตัวกรองความถี่ต่ำแบบขั้วเดียว ที่มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบอนันต์ (IIR) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$

สามารถสร้างตัวกรองแบบตอบสนองอิมพัลส์จำกัดที่ประมาณการ ตอบสนองในโดเมนเวลาของ ฟังก์ชัน sincของตัวกรองความถี่ต่ำแบบตัดคมในอุดมคติได้ สำหรับการบิดเบือนน้อยที่สุด ตัวกรองแบบตอบสนองอิมพัลส์จำกัดจะมีจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่จำกัดซึ่งทำงานกับสัญญาณที่ไม่จำกัด ในทางปฏิบัติ การตอบสนองในโดเมนเวลาจะต้องถูกตัดทอนตามเวลาและมักจะมีรูปร่างที่เรียบง่าย ในกรณีที่ง่ายที่สุดสามารถใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ได้ ซึ่งให้การตอบสนองเวลาแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส ^{[ 8 ]}

สำหรับการกรองแบบไม่เรียลไทม์ เพื่อให้ได้ตัวกรองความถี่ต่ำ โดยทั่วไปแล้วจะนำสัญญาณทั้งหมดมาเป็นสัญญาณวนซ้ำ ทำการแปลงฟูริเยร์ กรองในโดเมนความถี่ แล้วจึงทำการแปลงฟูริเยร์ผกผัน ซึ่งต้องใช้การดำเนินการเพียง O(n log(n)) เท่านั้น เมื่อเทียบกับ O(n² ⁾สำหรับอัลกอริธึมการกรองในโดเมนเวลา

บางครั้งวิธีการนี้สามารถทำได้แบบเรียลไทม์ โดยการหน่วงสัญญาณให้นานพอที่จะทำการแปลงฟูริเยร์บนบล็อกที่สั้นกว่าและซ้อนทับกัน

วงจรกรองมีหลายประเภท โดยแต่ละประเภทมีการตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงความถี่แตกต่างกัน การตอบสนองความถี่ของวงจรกรองโดยทั่วไปจะแสดงด้วยกราฟโบเด (Bode plot ) และลักษณะของวงจรกรองจะระบุด้วยความถี่ตัดและอัตราการลดลง ของความถี่ ในทุกกรณี ที่ความถี่ตัด วงจรกรองจะลดทอนกำลังไฟฟ้าขาเข้าลงครึ่งหนึ่งหรือ 3 เดซิเบล ดังนั้นลำดับของวงจรกรองจะเป็นตัวกำหนดปริมาณการลดทอนเพิ่มเติมสำหรับความถี่ที่สูงกว่าความถี่ตัด

• ตัวอย่างเช่น ตัวกรองอันดับหนึ่งจะลดแอมพลิจูดของสัญญาณลงครึ่งหนึ่ง (ดังนั้นกำลังลดลง 4 เท่า หรือ6 dB)ทุกครั้งที่ความถี่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า (เพิ่มขึ้นหนึ่งอ็อกเทฟ ) กล่าวคือ กำลังที่ลดลงจะเข้าใกล้ 20 dB ต่อทศวรรษในขีดจำกัดของความถี่สูง กราฟ Bode ของขนาดสำหรับตัวกรองอันดับหนึ่งจะมีลักษณะเป็นเส้นแนวนอนด้านล่างความถี่ตัดและเส้นทแยงมุมด้านบนความถี่ตัด นอกจากนี้ยังมี "เส้นโค้งหัวเข่า" ที่ขอบเขตระหว่างสองส่วนนี้ ซึ่งเปลี่ยนผ่านอย่างราบรื่นระหว่างบริเวณเส้นตรงทั้งสอง หากฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวกรองความถี่ต่ำอันดับหนึ่งมี ทั้ง ศูนย์และขั้วกราฟ Bode จะแบนราบอีกครั้งที่การลดทอนสูงสุดของความถี่สูง ผลกระทบดังกล่าวเกิดจากตัวอย่างเช่น สัญญาณอินพุตรั่วไหลเล็กน้อยรอบตัวกรองหนึ่งขั้ว ตัวกรองหนึ่งขั้วหนึ่งศูนย์นี้ยังคงเป็นตัวกรองความถี่ต่ำอันดับหนึ่งดูกราฟขั้ว-ศูนย์และวงจรRC
• ตัวกรองอันดับสองจะลดทอนความถี่สูงอย่างรวดเร็วกว่า กราฟ Bode สำหรับตัวกรองประเภทนี้จะคล้ายกับตัวกรองอันดับหนึ่ง ยกเว้นว่ามันจะลดลงอย่างรวดเร็วกว่า ตัวอย่างเช่นตัวกรอง Butterworth อันดับสอง จะลดแอมพลิจูดของสัญญาณลงเหลือหนึ่งในสี่ของระดับเดิมทุกครั้งที่ความถี่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า (ดังนั้นกำลังจะลดลง 12 dB ต่ออ็อกเทฟ หรือ 40 dB ต่อทศวรรษ) ตัวกรองอันดับสองแบบ all-pole อื่นๆ อาจลดลงในอัตราที่แตกต่างกันในตอนเริ่มต้น ขึ้นอยู่กับค่าQ factorแต่จะเข้าใกล้อัตราสุดท้ายที่ 12 dB ต่ออ็อกเทฟ เช่นเดียวกับตัวกรองอันดับหนึ่ง ค่าศูนย์ในฟังก์ชันถ่ายโอนสามารถเปลี่ยนเส้นกำกับความถี่สูงได้ ดูวงจร RLC
• ตัวกรองลำดับที่สามและลำดับที่สูงกว่านั้นถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน โดยทั่วไป อัตราการลดทอนกำลังสุดท้ายสำหรับตัวกรองแบบออลโพลลำดับที่ n คือ 6nเดซิเบลต่ออ็อกเทฟ (20n เดซิเบลต่อทศวรรษ)

ในตัวกรอง Butterworth ใดๆ หากลากเส้นแนวนอนไปทางขวาและเส้นทแยงมุมไปทางซ้ายบน ( เส้นกำกับของฟังก์ชัน) เส้นทั้งสองจะตัดกันที่ความถี่ตัด พอดี ซึ่งต่ำกว่าเส้นแนวนอน 3 dB ตัวกรองประเภทต่างๆ ( ตัวกรอง Butterworthตัวกรอง Chebyshevตัวกรอง Bessel เป็นต้น) ล้วนมีลักษณะ เส้นโค้งหัวเข่าที่แตกต่างกันตัวกรองอันดับสองหลายตัวมี "จุดสูงสุด" หรือการสั่นพ้องที่ทำให้การตอบสนองความถี่อยู่เหนือเส้นแนวนอนที่จุดสูงสุดนี้

ความหมายของคำว่า 'ต่ำ' และ 'สูง'—นั่นคือความถี่ตัด—ขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของตัวกรอง คำว่า "ตัวกรองความถี่ต่ำ" หมายถึงรูปร่างของการตอบสนองของตัวกรองเท่านั้น ตัวกรองความถี่สูงอาจถูกสร้างขึ้นเพื่อให้ตัดความถี่ต่ำกว่าตัวกรองความถี่ต่ำใดๆ ก็ได้—ความแตกต่างอยู่ที่การตอบสนองของตัวกรองทั้งสองประเภท วงจรอิเล็กทรอนิกส์สามารถออกแบบได้สำหรับช่วงความถี่ที่ต้องการใดๆ ก็ได้ ตั้งแต่ความถี่ไมโครเวฟ (สูงกว่า 1 GHz) ขึ้นไป

ตัวกรองแบบต่อเนื่องสามารถอธิบายได้โดยใช้การแปลงลาปลาสของสัญญาณตอบสนองแบบอิมพัลส์ในลักษณะที่ทำให้วิเคราะห์คุณลักษณะทั้งหมดของตัวกรองได้ง่าย โดยพิจารณาจากรูปแบบของขั้วและศูนย์ของการแปลงลาปลาสในระนาบเชิงซ้อน (ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง สามารถพิจารณาการแปลง Zของสัญญาณตอบสนองแบบอิมพัลส์ได้ในทำนองเดียวกัน)

ตัวอย่างเช่น ตัวกรองความถี่ต่ำอันดับหนึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันถ่ายโอนเวลาต่อเนื่อง ในโดเมนลาปลาสดังนี้:

${\displaystyle H(s)={\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}=K{\frac {\alpha }{s+\alpha }}}$

โดยที่Hคือฟังก์ชันถ่ายโอน, sคือตัวแปรการแปลงลาปลาส (ความถี่เชิงมุมเชิงซ้อน), τคือค่าคงที่เวลาของ ตัวกรอง , คือความถี่ตัด และKคืออัตราขยายของตัวกรองในย่านความถี่ผ่าน ความถี่ตัดมีความสัมพันธ์กับค่าคงที่เวลาโดย: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={1 \over \tau }}$

วงจรกรองความถี่ต่ำแบบง่ายๆ วงจรหนึ่งประกอบด้วยตัวต้านทานต่ออนุกรมกับโหลดและตัวเก็บประจุต่อขนานกับโหลด ตัวเก็บประจุมีค่ารีแอก แทนซ์ และจะบล็อกสัญญาณความถี่ต่ำ บังคับให้สัญญาณเหล่านั้นผ่านโหลดไปแทน ที่ความถี่สูงขึ้น ค่ารีแอกแทนซ์จะลดลง และตัวเก็บประจุจะทำหน้าที่เสมือนวงจรลัด การรวมกันของความต้านทานและความจุจะให้ค่าคงที่เวลาของตัวกรอง(แทนด้วยอักษรกรีกเทา ) ความถี่ตัด หรือที่เรียกว่าความถี่จุดเปลี่ยน ความถี่มุม หรือความถี่ตัดออก (ในหน่วยเฮิรตซ์) จะถูกกำหนดโดยค่าคงที่เวลา: ${\displaystyle \tau \;=\;RC}$

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}}$

หรือเทียบเท่า (ในหน่วยเรเดียนต่อวินาที):

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}}$

สามารถทำความเข้าใจวงจรนี้ได้โดยพิจารณาจากเวลาที่ตัวเก็บประจุต้องการในการชาร์จหรือคายประจุผ่านตัวต้านทาน:

• ที่ความถี่ต่ำ มีเวลาเหลือเฟือให้ตัวเก็บประจุชาร์จจนมีแรงดันไฟฟ้าเกือบเท่ากับแรงดันไฟฟ้าขาเข้า
• ที่ความถี่สูง ตัวเก็บประจุจะมีเวลาชาร์จประจุได้เพียงเล็กน้อยก่อนที่สัญญาณอินพุตจะเปลี่ยนทิศทาง สัญญาณเอาต์พุตจะขึ้นลงเพียงเศษเสี้ยวเล็กน้อยของปริมาณที่สัญญาณอินพุตขึ้นลง ที่ความถี่เป็นสองเท่า ตัวเก็บประจุจะมีเวลาชาร์จประจุได้เพียงครึ่งเดียวเท่านั้น

อีกวิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจวงจรนี้คือการพิจารณาแนวคิดเรื่องค่าความต้านทานเชิงเหนี่ยวนำที่ความถี่เฉพาะ:

• เนื่องจากกระแสตรง (DC) ไม่สามารถไหลผ่านตัวเก็บประจุได้ กระแสตรงขาเข้าจึงต้องไหลออกทางเส้นทางที่กำหนดไว้(เปรียบเสมือนการถอดตัวเก็บประจุออก)${\displaystyle V_{\mathrm {out} }}$
• เนื่องจากกระแสสลับ (AC) ไหลผ่านตัวเก็บประจุได้ดีมาก เกือบจะดีเท่ากับการไหลผ่านสายไฟธรรมดา ดังนั้นกระแสสลับที่ป้อนเข้าไปจึงไหลออกผ่านตัวเก็บประจุ ทำให้เกิดการลัดวงจรลงกราวด์ (เปรียบเสมือนการแทนที่ตัวเก็บประจุด้วยสายไฟธรรมดา)

ตัวเก็บประจุไม่ใช่สิ่งที่มีสถานะ "เปิด/ปิด" อย่างเดียว (เหมือนกับคำอธิบายเรื่องบล็อกหรือการไหลของของเหลวที่กล่าวมาข้างต้น) ตัวเก็บประจุจะทำงานในลักษณะที่เปลี่ยนแปลงไปมาระหว่างสองขั้วนี้กราฟ Bodeและการตอบสนองความถี่แสดงให้เห็นถึงความเปลี่ยนแปลงนี้

วงจรตัวต้านทาน-ตัวเหนี่ยวนำ หรือตัวกรอง RLคือวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำซึ่งถูกขับเคลื่อนด้วย แหล่ง จ่ายแรงดันหรือกระแส วงจร RL อันดับหนึ่งประกอบด้วยตัวต้านทานหนึ่งตัวและตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว และเป็นวงจร RL ชนิดที่ง่ายที่สุด

วงจร RL อันดับหนึ่งเป็นหนึ่งในตัวกรองอิเล็กทรอนิกส์ แบบ อนาล็อกที่มีการตอบสนองแบบอิมพัลส์อนันต์ ที่ง่ายที่สุด ประกอบด้วยตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำซึ่งอาจต่ออนุกรมกัน โดยใช้ แหล่งจ่ายแรงดันหรือ ต่อ ขนานกันโดยใช้แหล่งจ่ายกระแส

วงจรRLC (ตัวอักษร R, L และ C อาจเรียงลำดับต่างกันได้) คือวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ ที่ ต่อ อนุกรมหรือขนานกัน ชื่อ RLC มาจากสัญลักษณ์ทางไฟฟ้าที่ใช้กันทั่วไปสำหรับความต้านทาน ความเหนี่ยวนำ และความจุ ตามลำดับ วงจรนี้สร้างออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสำหรับกระแสไฟฟ้าและจะเกิดการสั่นพ้องในลักษณะเดียวกับวงจร LCความแตกต่างหลักที่เกิดจากการมีตัวต้านทานคือ การสั่นที่เกิดขึ้นในวงจรจะค่อยๆ ลดลงเมื่อเวลาผ่านไปหากไม่มีแหล่งกำเนิดสัญญาณมากระตุ้น ผลของตัวต้านทานนี้เรียกว่าการหน่วงการมีอยู่ของความต้านทานยังช่วยลดความถี่เรโซแนนซ์สูงสุดลงบ้าง ความต้านทานบางส่วนเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในวงจรจริง แม้ว่าจะไม่ได้ระบุตัวต้านทานเป็นส่วนประกอบก็ตาม วงจร LC บริสุทธิ์ในอุดมคติเป็นเพียงนามธรรมเพื่อจุดประสงค์ทางทฤษฎี

วงจร RLC มีการใช้งานมากมาย ใช้ในวงจร oscillator หลายประเภท อีกหนึ่งการใช้งานที่สำคัญคือการปรับจูนเช่น ในเครื่องรับวิทยุหรือโทรทัศน์ซึ่งใช้ในการเลือกช่วงความถี่แคบๆ จากคลื่นวิทยุรอบข้าง ในบทบาทนี้ วงจรนี้มักเรียกว่าวงจรปรับจูน วงจร RLC สามารถใช้เป็นตัวกรองแบบ band-pass , band-stop , low-pass หรือhigh-pass ได้ ตัวกรอง RLC ถูกอธิบายว่าเป็น วงจร ลำดับที่สองหมายความว่าแรงดันหรือกระแสใดๆ ในวงจรสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ ลำดับที่สอง ในการวิเคราะห์วงจร

ฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวกรองความถี่ต่ำอันดับสองสามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันของความถี่ดังแสดงในสมการที่ 1 ซึ่งเป็นรูปแบบมาตรฐานของตัวกรองความถี่ต่ำอันดับสอง ${\displaystyle H_{LP}(f)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle H_{LP}(f)=-{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f_{c}^{2}+{\frac {1}{Q}}\cdot jf_{FSF}\cdot f_{c}+1}}\quad (1)}$

ในสมการนี้คือตัวแปรความถี่ คือความถี่ตัดคือตัวประกอบการปรับขนาดความถี่ และคือตัวประกอบคุณภาพ สมการที่ 1 อธิบายถึงสามช่วงการทำงาน ได้แก่ ต่ำกว่าความถี่ตัด ในบริเวณความถี่ตัด และสูงกว่าความถี่ตัด สำหรับแต่ละช่วง สมการที่ 1 จะลดรูปเหลือดังนี้: ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{FSF}}$${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle f\ll f_{c}}$: - วงจรนี้ส่งสัญญาณที่ถูกคูณด้วยค่าตัวคูณขยาย${\displaystyle H_{LP}(f)\approx K}$${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle {\frac {f}{f_{c}}}=f_{FSF}}$สัญญาณจะถูกเลื่อนเฟส 90° และปรับเปลี่ยนโดยค่าคุณภาพ (quality factor )${\displaystyle H_{LP}(f)=jKQ}$${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle f\gg f_{c}}$: - สัญญาณจะถูกเลื่อนเฟส 180° และถูกลดทอนด้วยกำลังสองของอัตราส่วนความถี่ พฤติกรรมนี้ได้รับการอธิบายโดยละเอียดโดย Jim Karki ใน "Active Low-Pass Filter Design" (Texas Instruments, 2023) ^{[ 9 ]}${\displaystyle H_{LP}(f)\approx -{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f^{2}}}}$

ด้วยการลดทอนที่ความถี่สูงกว่ากำลังสอง สูตรสุดท้ายจึงอธิบายถึงตัวกรองความถี่ต่ำอันดับสอง ตัวประกอบการปรับขนาดความถี่ใช้เพื่อปรับขนาดความถี่ตัดของตัวกรองเพื่อให้เป็นไปตามคำจำกัดความที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{FSF}}$

นอกจากนี้ยังสามารถสร้างตัวกรองแบบพาสซีฟลำดับสูงกว่าได้ (ดูแผนภาพสำหรับตัวอย่างลำดับที่สาม)

ตัวกรองความถี่ต่ำแบบแอคทีฟ จะเพิ่ม อุปกรณ์แอคทีฟเพื่อสร้างตัวกรองแบบแอคทีฟที่ช่วยให้สามารถเพิ่มกำลังขยายในช่วงความถี่ผ่านได้

ใน วงจร ขยายสัญญาณปฏิบัติการที่แสดงในรูป ความถี่ตัด (ในหน่วยเฮิรตซ์ ) ถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}}$

หรือเทียบเท่า (ในหน่วยเรเดียนต่อวินาที):

${\displaystyle \omega _{\text{c}}={\frac {1}{R_{2}C}}}$

อัตราขยายในย่านความถี่ผ่านคือ − R ₂ / R ₁และย่านความถี่หยุดจะลดลงที่ −6 dB ต่ออ็อกเทฟ (นั่นคือ −20 dB ต่อทศวรรษ) เนื่องจากเป็นตัวกรองอันดับหนึ่ง

• เบสแบนด์
• ตัวปรับเรียบ (สถิติ)

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับตัวกรองความถี่ต่ำ (Lowpass filters )

• โปรแกรมจำลองตัวกรองความถี่ต่ำใน Java
• ECE 209: ทบทวนวงจรในฐานะระบบ LTIบทนำสั้น ๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของระบบ LTI (ทางไฟฟ้า)
• ECE 209: แหล่งที่มาของการเลื่อนเฟสคำอธิบายเชิงลึกเกี่ยวกับแหล่งที่มาของการเลื่อนเฟสในตัวกรองความถี่ต่ำ นอกจากนี้ยังตรวจสอบฟังก์ชันถ่ายโอนของ ตัวกรองความถี่ต่ำแบบพาสซีฟอย่างง่าย โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
• โปรแกรมสร้างโค้ดภาษาซีสำหรับการใช้งานตัวกรอง Butterworth, Bessel และ Chebyshev ในรูปแบบดิจิทัล ซึ่งสร้างโดย ดร. โทนี่ ฟิชเชอร์ ผู้ล่วงลับแห่งมหาวิทยาลัยยอร์ก (ยอร์ก ประเทศอังกฤษ)