ในทฤษฎีลำดับทางคณิตศาสตร์ ไอเดียลคือเซตย่อยพิเศษของเซตที่มีลำดับบางส่วน (poset) แม้ว่าในอดีตคำนี้จะมาจากแนวคิดของไอเดียลวงแหวนในพีชคณิตนามธรรม แต่ ต่อมาได้มีการขยายความไปสู่แนวคิดที่แตกต่างออกไป ไอเดียลมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการสร้างหลายอย่างในทฤษฎีลำดับและทฤษฎีแลตทิซ

เซตย่อยIของเซตที่มีลำดับบางส่วนเป็นไอเดียลถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle (P,\leq )}$

1. ฉันไม่ ว่างเปล่า
2. สำหรับทุกxในIและyในPถ้าy ≤ xแสดงว่าyอยู่ในI  ( Iเป็นเซตล่าง )
3. สำหรับทุกxและyในIจะมีสมาชิกz บางตัว ในIซึ่งทำให้x ≤ zและy ≤ z  ( Iเป็นเซตแบบมีทิศทาง )

แม้ว่านี่จะเป็นวิธีทั่วไปที่สุดในการกำหนดอุดมคติสำหรับโพเซตแบบใดก็ได้ แต่เดิมกำหนดไว้สำหรับแลตทิซเท่านั้น ในกรณีนี้ สามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันได้ดังนี้: เซตย่อยIของแลตทิซเป็นอุดมคติ ก็ต่อ เมื่อเป็นเซตล่างที่ปิดภายใต้การเชื่อมต่อ แบบจำกัด ( ซูพรีมา ) กล่าวคือ ไม่ว่างเปล่า และสำหรับx , y ทั้งหมด ในIองค์ประกอบของPก็อยู่ในIด้วย^{[ 3 ]}${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle x\vee y}$

แนวคิดที่อ่อนกว่าของไอเดียลลำดับถูกกำหนดให้เป็นเซตย่อยของโพเซตPที่ตรงตามเงื่อนไข 1 และ 2 ข้างต้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไอเดียลลำดับก็คือเซตล่าง นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน ไอเดียลยังสามารถถูกกำหนดให้เป็น "เซตล่างแบบมีทิศทาง" ได้อีกด้วย

แนวคิดคู่ของอุดมคติ กล่าวคือ แนวคิดที่ได้จากการกลับด้าน ≤ ทั้งหมดและแลกเปลี่ยนกับเป็นตัวกรอง${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge ,}$

ไอเดียลของฟริงค์ ไอ เดียลเทียมและไอเดียลเทียมของดอยล์เป็นการขยายแนวคิดของไอเดียลบนโครงตาข่ายในรูปแบบต่างๆ

อุดมคติหรือตัวกรองจะเรียกว่า^{เหมาะสม}หากไม่เท่ากับเซตทั้งหมดP [ ^{3 ]}

ไอเดียลที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบp ที่กำหนดให้ คือ aอุดมคติหลักและpกล่าวกันว่าเป็น aองค์ประกอบหลักของอุดมคติในสถานการณ์นี้ อุดมคติหลักสำหรับหลักpจึงกำหนดโดย↓p = { x ∈ P | x ≤ p }${\displaystyle \downarrow p}$

คำจำกัดความข้างต้นของ "อุดมคติ" และ "อุดมคติเชิงลำดับ" เป็นคำจำกัดความมาตรฐาน^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}แต่มีความสับสนในคำศัพท์อยู่บ้าง บางครั้งคำและคำจำกัดความ เช่น "อุดมคติ" "อุดมคติเชิงลำดับ" " อุดมคติเชิง Frink " หรือ "อุดมคติเชิงลำดับบางส่วน" มีความหมายเหมือนกัน^{[ 6 ] [ 7 ]}

กรณีพิเศษที่สำคัญของอุดมคติคืออุดมคติเหล่านั้นซึ่งส่วนเติมเต็มเชิงเซตเป็นตัวกรอง กล่าวคืออุดมคติในลำดับผกผัน อุดมคติดังกล่าวเรียกว่าไอเดียลเฉพาะ sนอกจากนี้ โปรดทราบว่า เนื่องจากเราต้องการให้ไอเดียลและตัวกรองไม่ว่างเปล่า ไอเดียลเฉพาะทุกตัวจึงต้องเป็นไอเดียลแท้ สำหรับแลตทิซ ไอเดียลเฉพาะสามารถกำหนดลักษณะได้ดังนี้:

เซตย่อยIของแลตทิซเป็นไอเดียลเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (P,\leq )}$

1. Iเป็นอุดมคติที่เหมาะสมของPและ
2. สำหรับ องค์ประกอบxและyทั้งหมดของPในI หมายความว่าx ∈ Iหรือy ∈ I${\displaystyle x\wedge y}$

สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับการระบุว่าเป็นตัวกรอง (ซึ่งก็เป็นจำนวนเฉพาะในความหมายคู่ขนานเช่นกัน)${\displaystyle P\setminus I}$

สำหรับโครงตาข่ายที่สมบูรณ์แนวคิดเพิ่มเติมของ aอุดมคติเฉพาะที่สมบูรณ์แบบนั้นมีความหมาย มันถูกนิยามว่าเป็นอุดมคติที่เหมาะสมIที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมว่า เมื่อใดก็ตามที่จุดร่วม (infimum) ของเซต A ใดๆ อยู่ใน IสมาชิกบางตัวของAก็จะอยู่ในIดังนั้นนี่จึงเป็นเพียงอุดมคติเฉพาะที่ขยายเงื่อนไขข้างต้นไปยังจุดร่วมอนันต์

โดยทั่วไปแล้ว การมีอยู่ของอุดมคติเฉพาะนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย และบ่อยครั้งที่ไม่สามารถหาอุดมคติเฉพาะในปริมาณที่เพียงพอได้ภายในทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรงเคิล (ZF) โดยปราศจากสัจพจน์ของการเลือกประเด็นนี้ได้รับการกล่าวถึงในทฤษฎีบทเกี่ยวกับอุดมคติเฉพาะ ต่างๆ ซึ่งจำเป็นสำหรับการใช้งานหลายอย่างที่ต้องการอุดมคติเฉพาะ

ตัวตนในอุดมคติคืออุดมคติสูงสุดคืออุดมคติที่เหมาะสม และไม่มีอุดมคติที่เหมาะสมJใดที่เป็นซูเปอร์เซตที่แท้จริงของIในทำนองเดียวกัน ตัวกรองFคือตัวกรองสูงสุดคือตัวกรองที่เหมาะสม และไม่มีตัวกรองที่เหมาะสมใดที่เป็นซูเปอร์เซตที่แท้จริงของ I

เมื่อเซตลำดับบางส่วนเป็นแลตทิซแบบกระจายอุดมคติสูงสุดและตัวกรองจะต้องเป็นจำนวนเฉพาะ ในขณะที่ข้อความผกผันของข้อความนี้เป็นเท็จโดยทั่วไป

ตัวกรองสูงสุดบางครั้งเรียกว่าตัวกรองพิเศษแต่คำศัพท์นี้มักสงวนไว้สำหรับพีชคณิตบูลีน ซึ่งตัวกรองสูงสุด (อุดมคติ) คือตัวกรอง (อุดมคติ) ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ { a , ¬ a } เพียงหนึ่งเดียว สำหรับแต่ละองค์ประกอบaของพีชคณิตบูลีน ในพีชคณิตบูลีน คำว่าอุดมคติเฉพาะและอุดมคติสูงสุดมีความหมายเหมือนกัน เช่นเดียวกับคำว่าตัวกรองเฉพาะและ ตัว กรองสูงสุด

มีแนวคิดที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวกับความเป็นสูงสุดของไอเดียล: พิจารณาไอเดียลIและตัวกรองFโดยที่Iไม่มีส่วนร่วมกับFเราสนใจไอเดียลMที่เป็นไอเดียลสูงสุดในบรรดาไอเดียลทั้งหมดที่ประกอบด้วยIและไม่มีส่วนร่วมกับFในกรณีของแลตทิซแบบกระจาย ไอเดียลM ดังกล่าว จะเป็นไอเดียลเฉพาะเสมอ การพิสูจน์ข้อความนี้มีดังต่อไปนี้

อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วยังไม่ชัดเจนว่ามีอุดมคติM ใด ที่สูงสุดในความหมายนี้หรือไม่ แต่ถ้าเราสมมติสัจพจน์ของการเลือกในทฤษฎีเซตของเราแล้ว การมีอยู่ของMสำหรับทุกคู่ตัวกรอง-อุดมคติที่ไม่ซ้ำกันสามารถแสดงให้เห็นได้ ในกรณีพิเศษที่ลำดับที่พิจารณาเป็นพีชคณิตบูลีนทฤษฎีบทนี้เรียกว่า ทฤษฎีบทอุดมคติเฉพาะของบูลีน มันอ่อนกว่าสัจพจน์ของการเลือกอย่างเคร่งครัด และปรากฏว่าไม่จำเป็นต้องมีอะไรเพิ่มเติมสำหรับแอปพลิเคชันเชิงทฤษฎีลำดับ ของอุดมคติหลายอย่าง

การสร้างอุดมคติและตัวกรองเป็นเครื่องมือสำคัญในหลายๆ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีลำดับ

• ในทฤษฎีบทการแทนของสโตนสำหรับพีชคณิตบูลีนอุดมคติสูงสุด (หรือเทียบเท่าผ่านแผนที่การปฏิเสธ อัลตราฟิลเตอร์) ถูกนำมาใช้เพื่อให้ได้เซตของจุดใน ปริภูมิ เชิงทอพอ โลยี ซึ่งเซตปิดเปิดของจุด เหล่านั้น มีสมมาตรกับพีชคณิตบูลีนดั้งเดิม
• ทฤษฎีลำดับรู้จักกระบวนการเติม เต็มหลายวิธี ในการเปลี่ยนโพเซตให้เป็นโพเซตที่มี คุณสมบัติ ความสมบูรณ์ เพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นการเติมเต็มอุดมคติของลำดับบางส่วนP ที่กำหนด คือเซตของอุดมคติทั้งหมดของPที่เรียงลำดับตามการรวมเซตย่อย การสร้างนี้ทำให้ได้dcpo อิสระ ที่สร้างขึ้นโดยPอุดมคติจะเป็นอุดมคติหลักก็ต่อเมื่อมันกระชับในอุดมคติที่เติมเต็ม ดังนั้นโพเซตดั้งเดิมจึงสามารถกู้คืนได้เป็นโพเซตย่อยที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่กระชับ ยิ่งไปกว่านั้นdcpo พีชคณิต ทุกตัว สามารถสร้างขึ้นใหม่ได้เป็นการเติมเต็มอุดมคติของเซตขององค์ประกอบที่กระชับ

แนวคิด Ideal ได้รับการแนะนำโดยMarshall H. Stoneเป็นครั้งแรกสำหรับพีชคณิตบูลีน [ ^{8 ] โดย}ชื่อนี้ได้มาจากแนวคิด Ring Ideal ของพีชคณิตนามธรรม เขาใช้คำศัพท์นี้เพราะการใช้ไอโซมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ของพีชคณิตบูลีนและวงแหวนบูลีนทำให้แนวคิดทั้งสองตรงกัน

^{การ สรุป}ทั่วไปสำหรับโพเซตใดๆ ทำได้โดยFrink [ ^{9 ]}

• ตัวกรอง (คณิตศาสตร์) – เซตย่อยพิเศษของเซตที่มีลำดับบางส่วน 
• ไอเดียล (ทฤษฎีวงแหวน) – โมดูลย่อยของวงแหวนทางคณิตศาสตร์ 
• อุดมคติบนเซต– กลุ่มของเซตที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งปิดภายใต้การรวมและเซตย่อยแบบจำกัด 
• อุดมคติเซมิกรุ๊ป
• ทฤษฎีบทอุดมคติเฉพาะของบูลีน– อุดมคติในพีชคณิตบูลีนสามารถขยายไปสู่อุดมคติเฉพาะได้