ตัวกรอง Butterworth เป็น ตัวกรองการประมวลผลสัญญาณประเภทหนึ่งที่ออกแบบมาเพื่อให้มีการตอบสนองความถี่ที่ราบเรียบที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในย่านความถี่ผ่านนอกจากนี้ยังเรียกว่าตัวกรองขนาดที่ราบเรียบที่สุด ได้รับการอธิบายครั้งแรกในปี พ.ศ. 2473 โดยวิศวกรและนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษStephen Butterworthในบทความเรื่อง "On the Theory of Filter Amplifiers" ^{[ 1 ]}

บัตเตอร์เวิร์ธมีชื่อเสียงในด้านการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมาก ซึ่งหลายคนคิดว่าเป็นไปไม่ได้ ในขณะนั้นการออกแบบตัวกรองต้องอาศัยประสบการณ์ของนักออกแบบเป็นอย่างมาก เนื่องจากข้อจำกัดของทฤษฎีที่ใช้ในขณะนั้นตัวกรองดังกล่าวไม่ได้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายเป็นเวลากว่า 30 ปีหลังจากที่ตีพิมพ์ บัตเตอร์เวิร์ธกล่าวว่า:

"ตัวกรองไฟฟ้าในอุดมคติไม่เพียงแต่ควรจะกำจัดความถี่ที่ไม่ต้องการออกไปได้อย่างสมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังควรมีความไวที่สม่ำเสมอต่อความถี่ที่ต้องการด้วย"

ตัวกรองในอุดมคติเช่นนั้นเป็นไปไม่ได้ แต่บัตเตอร์เวิร์ธแสดงให้เห็นว่าสามารถได้ค่าประมาณที่ใกล้เคียงมากขึ้นเรื่อยๆ โดยการเพิ่มจำนวนองค์ประกอบตัวกรองที่มีค่าเหมาะสม ในขณะนั้น ตัวกรองสร้างระลอกคลื่นจำนวนมากในย่านความถี่ผ่าน และการเลือกค่าของส่วนประกอบนั้นมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างมาก บัตเตอร์เวิร์ธแสดงให้เห็นว่าสามารถออกแบบตัวกรองความถี่ต่ำ ได้ โดยที่ อัตราขยายเป็นฟังก์ชันของความถี่ (กล่าวคือ ขนาดของการตอบสนองความถี่ ) คือ:

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\omega }^{2n}}}},}$

โดยที่ ω คือความถี่เชิงมุมในหน่วยเรเดียนต่อวินาที และ ω คือจำนวนขั้วในตัวกรอง ซึ่งเท่ากับจำนวนองค์ประกอบรีแอคทีฟในตัวกรองแบบพาสซีฟความถี่ตัด ( จุดครึ่งกำลังประมาณ −3 dBหรืออัตราขยายแรงดัน 1/ √2 ≈  0.7071) ถูกทำให้เป็นมาตรฐานที่ ω = 1 เรเดียนต่อวินาที ในบทความของ Butterworth เขาได้กล่าวถึงเฉพาะตัวกรองที่มีจำนวนขั้วเป็นเลขคู่เท่านั้น แม้ว่าตัวกรองลำดับคี่จะสามารถสร้างได้โดยการเพิ่มตัวกรองแบบขั้วเดียวเข้ากับเอาต์พุตของตัวกรองลำดับคู่ เขาได้สร้างตัวกรองลำดับสูงกว่าจากตัวกรอง 2 ขั้วที่คั่นด้วยแอมพลิฟายเออร์หลอดสุญญากาศ กราฟแสดงการตอบสนองความถี่ของตัวกรอง 2, 4, 6, 8 และ 10 ขั้ว แสดงเป็น A, B, C, D และ E ในกราฟต้นฉบับของเขา ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$

บัตเตอร์เวิร์ธแก้สมการสำหรับตัวกรองสองขั้วและสี่ขั้ว โดยแสดงให้เห็นว่าตัวกรองสี่ขั้วสามารถต่ออนุกรมกันได้เมื่อคั่นด้วยแอมป์หลอดสุญญากาศ ซึ่งทำให้สามารถสร้างตัวกรองลำดับสูงขึ้นได้แม้จะ มีการสูญเสีย ในตัวเหนี่ยวนำ ก็ตาม ในปี 1930 วัสดุแกนที่มีการสูญเสียต่ำ เช่นโมลิเปอร์มัลลอยยังไม่ถูกค้นพบ และตัวเหนี่ยวนำเสียงแบบแกนอากาศค่อนข้างมีการสูญเสียสูง บัตเตอร์เวิร์ธค้นพบว่าสามารถปรับค่าส่วนประกอบของตัวกรองเพื่อชดเชยความต้านทานการพันขดลวดของตัวเหนี่ยวนำได้

เขาใช้ขดลวดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.25 นิ้ว (32 มม.) และยาว 3 นิ้ว (76 มม.) พร้อมขั้วต่อแบบเสียบ ตัวเก็บประจุและตัวต้านทานที่เกี่ยวข้องถูกบรรจุอยู่ภายในขดลวด ขดลวดนี้เป็นส่วนหนึ่งของตัวต้านทานโหลดเพลต ใช้ขั้วสองขั้วต่อหลอดสุญญากาศหนึ่งหลอด และใช้การต่อแบบ RC กับกริดของหลอดถัดไป

นอกจากนี้ บัตเตอร์เวิร์ธยังแสดงให้เห็นว่าตัวกรองความถี่ต่ำพื้นฐานสามารถปรับเปลี่ยนเพื่อให้ได้ฟังก์ชันการทำงานแบบ ความถี่ต่ำผ่านความถี่สูงผ่าน ความถี่ผ่านย่านและความถี่หยุดย่านได้

การตอบสนองความถี่ของตัวกรอง Butterworth มีลักษณะแบนราบที่สุด (กล่าวคือไม่มีระลอกคลื่น ) ในย่านความถี่ผ่าน และค่อยๆ ลดลงจนเข้าใกล้ศูนย์ในย่านความถี่หยุด^{[ 2 ]}เมื่อพิจารณาจากแผนภูมิ Bode แบบลอการิทึม การตอบสนองจะลาดลงเป็นเส้นตรงไปสู่ค่าลบอนันต์ การตอบสนองของตัวกรองอันดับหนึ่งจะลดลงที่ −6 dB ต่ออ็อกเทฟ (−20 dB ต่อทศวรรษ ) (ตัวกรองความถี่ต่ำอันดับหนึ่งทั้งหมดมีการตอบสนองความถี่ปกติเหมือนกัน) ตัวกรองอันดับสองจะลดลงที่ −12 dB ต่ออ็อกเทฟ ตัวกรองอันดับสามที่ −18 dB และอื่นๆ ตัวกรอง Butterworth มีฟังก์ชันขนาดที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ซึ่งแตกต่างจากตัวกรองประเภทอื่นๆ ที่มีระลอกคลื่นที่ไม่ต่อเนื่องในย่านความถี่ผ่านหรือย่านความถี่หยุด ${\displaystyle \omega }$

เมื่อเปรียบเทียบกับ ตัวกรองแบบ Chebyshev Type I/Type II หรือตัวกรองแบบวงรีตัวกรอง Butterworth มีการลดทอน ที่ช้ากว่า ดังนั้นจึงต้องใช้ลำดับที่สูงกว่าในการใช้งานตาม ข้อกำหนดของ แถบหยุด ที่ต้องการ แต่ตัวกรอง Butterworth มี การตอบสนอง เฟสเชิงเส้น มากกว่า ในแถบผ่านเมื่อเทียบกับตัวกรองแบบ Chebyshev Type I/Type II และตัวกรองแบบวงรี

ฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวกรอง Butterworth แบบโลว์พาสอันดับที่สามที่แสดงในรูปด้านขวามีลักษณะดังนี้:

${\displaystyle {\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {R_{4}}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R_{4})+s(L_{1}+L_{3})+R_{4}}}}$

ตัวอย่างง่ายๆ ของตัวกรอง Butterworth คือการออกแบบตัวกรองความถี่ต่ำลำดับที่สามที่แสดงในรูปทางด้านขวา โดยมี = 4/3 F,  = 1 Ω,  = 3/2 H และ = 1/2 H ^{[ 3 ]}เมื่อกำหนดให้ค่าความต้านทานของตัวเก็บประจุเป็นและค่าความต้านทานของตัวเหนี่ยวนำเป็นโดยที่คือความถี่เชิงซ้อน สมการวงจรจะให้ฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับอุปกรณ์นี้: ${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle R_{4}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{3}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 1/(Cs)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle Ls}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}.}$

ขนาดของการตอบสนองความถี่ (อัตราขยาย) กำหนดโดย ${\displaystyle G(\omega )}$

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}},}$

ได้รับจาก

${\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}},}$

และเฟสจะกำหนดโดย

${\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega )).\!}$

ค่าหน่วงเวลาของกลุ่ม (Group Delay)ถูกกำหนดให้เป็นค่าอนุพันธ์ลบของค่าการเลื่อนเฟสเทียบกับความถี่เชิงมุม และเป็นตัววัดความผิดเพี้ยนในสัญญาณที่เกิดจากความแตกต่างของเฟสสำหรับความถี่ต่างๆ ค่าอัตราขยายและค่าหน่วงเวลาสำหรับตัวกรองนี้แสดงอยู่ในกราฟทางด้านซ้าย ไม่มีระลอกคลื่นในเส้นโค้งอัตราขยายทั้งในย่านความถี่ผ่านและย่านความถี่หยุด

กราฟที่สองทางด้านขวาแสดง ค่าลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันถ่าย โอนในระนาบความถี่เชิงซ้อน ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดโดยขั้วทั้งสามในครึ่งซ้ายของระนาบความถี่เชิงซ้อน${\displaystyle H(s)}$

สิ่งเหล่านี้ถูกจัดเรียงอยู่บนวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่งและสมมาตรกับแกนจริงฟังก์ชันอัตราขยายจะมีขั้วอีกสามขั้วบนระนาบครึ่งขวาเพื่อให้วงกลมสมบูรณ์ ${\displaystyle s}$

โดยการแทนที่ตัวเหนี่ยวนำแต่ละตัวด้วยตัวเก็บประจุ และแทนที่ตัวเก็บประจุแต่ละตัวด้วยตัวเหนี่ยวนำ จะได้ตัวกรองความถี่สูงแบบบัตเตอร์เวิร์ธ

ตัวกรองแบบแบนด์พาสบัตเตอร์เวิร์ธได้มาจากการวางตัวเก็บประจุแบบอนุกรมกับตัวเหนี่ยวนำแต่ละตัว และวางตัวเหนี่ยวนำแบบขนานกับตัวเก็บประจุแต่ละตัว เพื่อสร้างวงจรเรโซแนนซ์ ค่าของส่วนประกอบใหม่แต่ละชิ้นจะต้องถูกเลือกให้เกิดเรโซแนนซ์กับส่วนประกอบเดิมที่ความถี่ที่ต้องการ

ตัวกรองแบบบัตเตอร์เวิร์ธชนิดแบนด์สต็อปได้มาจากการวางตัวเก็บประจุขนานกับตัวเหนี่ยวนำแต่ละตัว และวางตัวเหนี่ยวนำอนุกรมกับตัวเก็บประจุแต่ละตัว เพื่อสร้างวงจรเรโซแนนซ์ ค่าของส่วนประกอบใหม่แต่ละชิ้นจะต้องถูกเลือกให้เกิดเรโซแนนซ์กับส่วนประกอบเดิมที่ความถี่ที่ต้องการตัดทิ้ง

เช่นเดียวกับตัวกรองทั้งหมดต้นแบบ ทั่วไป คือตัวกรองความถี่ต่ำ ซึ่งสามารถดัดแปลงเป็นตัวกรองความถี่สูง หรือวางต่ออนุกรมกับตัวกรองอื่นๆ เพื่อสร้างตัวกรองความถี่ผ่านย่านและ ตัวกรอง ความถี่หยุดย่านรวมถึงตัวกรองที่มีลำดับสูงกว่านั้นได้

อัตราขยายของตัวกรองความถี่ต่ำแบบบัตเตอร์เวิร์ธอันดับที่ th จะแสดงในรูปของฟังก์ชันถ่ายโอนดังนี้ ${\displaystyle G(\omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}$

โดยที่คือลำดับของตัวกรองคือความถี่ตัด (ประมาณความถี่ −3 dB) และคืออัตราขยาย DC (อัตราขยายที่ความถี่ศูนย์) ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G_{0}}$

จะเห็นได้ว่าเมื่อเข้าใกล้ค่าอนันต์ อัตราขยายจะกลายเป็นฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้า และความถี่ต่ำกว่าจะถูกส่งผ่านด้วยอัตราขยายในขณะที่ความถี่สูงกว่าจะถูกลดทอน สำหรับค่าที่น้อยกว่านั้นการตัดความถี่จะมีความคมน้อยลง ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle n}$

เราต้องการกำหนดฟังก์ชันถ่ายโอนโดยที่(จากการแปลงลาปลาส ) เนื่องจากและตามคุณสมบัติทั่วไปของการแปลงลาปลาสที่, , ถ้าเราเลือกให้เป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$${\displaystyle \left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}}$${\displaystyle s=j\omega }$${\displaystyle H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},}$

จากนั้น ด้วยค่าดังกล่าวเราจะได้การตอบสนองความถี่ของตัวกรอง Butterworth ${\displaystyle s=j\omega }$

ขั้วของนิพจน์นี้ปรากฏบนวงกลมรัศมีที่จุดซึ่งมีระยะห่างเท่ากัน และสมมาตรกับแกนจริงลบ เพื่อความเสถียร ฟังก์ชันถ่ายโอนจึงถูกเลือกให้มีเฉพาะขั้วในระนาบครึ่งจริงลบของ เท่านั้นขั้วที่ ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

ฟังก์ชันถ่ายโอน (หรือฟังก์ชันระบบ) สามารถเขียนได้ในรูปของขั้วเหล่านี้ดังนี้

${\displaystyle H(s)=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-s_{k}}}=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}}}}$.

โดยที่เป็นผลคูณของตัวดำเนินการลำดับ ตัวส่วนคือพหุนามบัตเตอร์เวิร์ธใน ${\displaystyle \textstyle {\prod }}$${\displaystyle s}$

พหุนามบัตเตอร์เวิร์ธสามารถเขียนในรูปจำนวนเชิงซ้อนได้ดังที่แสดงข้างต้น แต่โดยทั่วไปจะเขียนด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนจริงโดยการคูณคู่ขั้วที่เป็นคู่สังยุคเชิงซ้อน เช่นและพหุนามเหล่านี้จะถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยการกำหนด พหุนามบัตเตอร์เวิร์ธที่เป็นมาตรฐานจะมีรูปแบบผลคูณทั่วไปดังนี้ ${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{even}}}$

${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{odd}}.}$

ตารางต่อไปนี้แสดงตัวประกอบของพหุนามบัตเตอร์เวิร์ธลำดับที่ 1 ถึง 10 (ปัดเศษทศนิยมหกตำแหน่ง)

n ตัวประกอบของพหุนามบัตเตอร์เวิร์ธ${\displaystyle B_{n}(s)}$ 1 ${\displaystyle (s+1)}$ 2 ${\displaystyle (s^{2}+1.414214s+1)}$ 3 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$ 4 ${\displaystyle (s^{2}+0.765367s+1)(s^{2}+1.847759s+1)}$ 5 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.618034s+1)(s^{2}+1.618034s+1)}$ 6 ${\displaystyle (s^{2}+0.517638s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.931852s+1)}$ 7 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.445042s+1)(s^{2}+1.246980s+1)(s^{2}+1.801938s+1)}$ 8 ${\displaystyle (s^{2}+0.390181s+1)(s^{2}+1.111140s+1)(s^{2}+1.662939s+1)(s^{2}+1.961571s+1)}$ 9 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.347296s+1)(s^{2}+s+1)(s^{2}+1.532089s+1)(s^{2}+1.879385s+1)}$ 10 ${\displaystyle (s^{2}+0.312869s+1)(s^{2}+0.907981s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.782013s+1)(s^{2}+1.975377s+1)}$

ตารางต่อไปนี้แสดงตัวประกอบของพหุนามบัตเตอร์เวิร์ธลำดับที่ 1 ถึง 6 (ค่าที่แน่นอน)

n ตัวประกอบของพหุนามบัตเตอร์เวิร์ธ${\displaystyle B_{n}(s)}$ 1 ${\displaystyle (s+1)}$ 2 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)}$ 3 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$ 4 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}s+1)}$ 5 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+\varphi ^{-1}s+1)(s^{2}+\varphi s+1)}$ 6 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}s+1)}$

โดยที่อักษรกรีกฟี ( หรือ) แทนอัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนอตรรกยะที่เป็นคำตอบของสมการกำลังสองที่มีค่าเท่ากับ^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749...}$( OEIS :  A001622 )

พหุนามบัตเตอร์เวิร์ธลำดับ ที่nสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเช่นกัน

${\displaystyle B_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}\,,}$

โดยมีสัมประสิทธิ์ที่กำหนดโดยสูตรเวียนเกิด^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {\cos(k\gamma )}{\sin((k+1)\gamma )}}}$

และโดยสูตรของผลิตภัณฑ์

${\displaystyle a_{k}=\prod _{\mu =1}^{k}{\frac {\cos((\mu -1)\gamma )}{\sin(\mu \gamma )}}\,,}$

ที่ไหน

${\displaystyle a_{0}=1\qquad {\text{and}}\qquad \gamma ={\frac {\pi }{2n}}\,.}$

นอกจากนี้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ปัดเศษแล้วของพหุนามบัตเตอร์เวิร์ธ 10 ตัวแรกมีดังนี้: ${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle B_{n}(s)}$

ค่าสัมประสิทธิ์บัตเตอร์เวิร์ธปัดเศษเป็นทศนิยมสี่ตำแหน่ง ${\displaystyle a_{k}}$

n	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$	${\displaystyle a_{4}}$	${\displaystyle a_{5}}$	${\displaystyle a_{6}}$	${\displaystyle a_{7}}$	${\displaystyle a_{8}}$	${\displaystyle a_{9}}$	${\displaystyle a_{10}}$
1	1	1
2	1	1.4142	1
3	1	2	2	1
4	1	2.6131	3.4142	2.6131	1
5	1	3.2361	5.2361	5.2361	3.2361	1
6	1	3.8637	7.4641	9.1416	7.4641	3.8637	1
7	1	4.4940	10.0978	14.5918	14.5918	10.0978	4.4940	1
8	1	5.1258	13.1371	21.8462	25.6884	21.8462	13.1371	5.1258	1
9	1	5.7588	16.5817	31.1634	41.9864	41.9864	31.1634	16.5817	5.7588	1
10	1	6.3925	20.4317	42.8021	64.8824	74.2334	64.8824	42.8021	20.4317	6.3925	1

สามารถใช้พหุนามบัตเตอร์เวิร์ธแบบนอร์มาไลซ์เพื่อกำหนดฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับความถี่ตัดของตัวกรองความถี่ต่ำใดๆได้ดังนี้ ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}}$, ที่ไหน${\displaystyle a={\frac {s}{\omega _{c}}}.}$

นอกจากนี้ยังสามารถแปลงเป็นรูปแบบแถบความถี่อื่นๆ ได้อีกด้วย โปรดดูตัว กรองต้นแบบ

สมมติว่าและอนุพันธ์ของอัตราขยายเทียบกับความถี่สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \omega _{c}=1}$${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle {\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}}$

ซึ่ง ลดลง อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกค่าเนื่องจากอัตราขยายเป็นบวกเสมอ ดังนั้นฟังก์ชันอัตราขยายของตัวกรอง Butterworth จึงไม่มีระลอกคลื่น การขยายอนุกรมของอัตราขยายแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{2n}+{\frac {3}{8}}\omega ^{4n}+\ldots }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์ทั้งหมดของอัตราขยายจนถึงแต่ไม่รวมอนุพันธ์อันดับที่ 2 จะเป็นศูนย์ที่ซึ่งส่งผลให้ได้ "ความเรียบสูงสุด" หากข้อกำหนดเรื่องความเป็นเอกรูปจำกัดเฉพาะย่านความถี่ผ่านเท่านั้น และอนุญาตให้มีระลอกคลื่นในย่านความถี่หยุด ก็สามารถออกแบบตัวกรองที่มีลำดับเดียวกันได้ เช่นตัวกรองเชบิเชฟผกผันซึ่งมีความเรียบในย่านความถี่ผ่านมากกว่าตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ธที่ "เรียบสูงสุด" ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega =0}$

สมมติอีกครั้งว่า ความชันของลอการิทึมของกำไรสำหรับค่ามากคือ ${\displaystyle \omega _{c}=1}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )}}=-n.}$

ในหน่วยเดซิเบลการลดทอนความถี่สูงจึงเท่ากับ 20  dB/decade หรือ 6  dB/octave (ใช้ตัวประกอบ 20 เนื่องจากกำลังเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของอัตราขยายแรงดันไฟฟ้า ดูหลักการลอการิทึม 20 ) ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ในการออกแบบตัวกรอง Butterworth โดยใช้จำนวนองค์ประกอบขั้นต่ำที่จำเป็น ลำดับขั้นต่ำของตัวกรอง Butterworth สามารถคำนวณได้ดังต่อไปนี้^{[ 8 ]}

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {\log {{\bigr (}{\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}{\bigr )}}{2\log {(\omega _{s}/\omega _{p})}}}\right\rceil }$

ที่ไหน:

${\displaystyle \omega _{p}}$และคือความถี่ผ่านและค่าการลดทอนที่ความถี่นั้นในหน่วยเดซิเบล${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$และคือความถี่ของแถบหยุดและค่าการลดทอนที่ความถี่นั้นในหน่วยเดซิเบล${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$คือจำนวนขั้วขั้นต่ำ ซึ่งเป็นลำดับของตัวกรอง

${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$หมายถึงฟังก์ชันเพดาน

โดยทั่วไปแล้ว ค่าการลดทอนที่ความถี่ตัดของตัวกรอง Butterworth จะถูกกำหนดไว้ที่ −3.01 dB หากต้องการใช้ค่าการลดทอนที่แตกต่างกันที่ความถี่ตัด สามารถใช้ปัจจัยต่อไปนี้กับแต่ละขั้ว ซึ่งจะทำให้ขั้วยังคงอยู่บนวงกลม แต่รัศมีจะไม่ใช่หนึ่งอีกต่อไป^{[ 8 ]}สมการการลดทอนที่ความถี่ตัดสามารถหาได้จากการจัดการทางพีชคณิตของสมการกำหนด Butterworth ที่ระบุไว้ด้านบนของหน้า^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}\times (10^{\alpha /10}-1)^{{-1}/{2n}}&\qquad {\text{For 0}}\leq \alpha <\infty \end{aligned}}}$$

ที่ไหน:

${\displaystyle p_{A}}$เสาที่ย้ายตำแหน่งนั้นถูกจัดวางในตำแหน่งที่สามารถกำหนดค่าการลดทอนสัญญาณที่ต้องการได้หรือไม่

${\displaystyle p_{1}}$เป็นจุดตัดความถี่ −3.01 dB ที่อยู่บนวงกลมหน่วย

${\displaystyle \alpha }$คือค่าการลดทอนที่ต้องการ ณ ความถี่ตัด ในหน่วยเดซิเบล (1 เดซิเบล, 10 เดซิเบล เป็นต้น)

${\displaystyle n}$คือจำนวนขั้ว ซึ่งเป็นลำดับของตัวกรอง

มีโครงสร้างตัวกรอง หลายแบบ ที่สามารถนำมาใช้สร้างตัวกรองอนาล็อก เชิงเส้นได้ โครงสร้างที่ใช้บ่อยที่สุดสำหรับการสร้างแบบพาสซีฟคือโครงสร้างแบบ Cauer และโครงสร้างที่ใช้บ่อยที่สุดสำหรับการสร้างแบบแอคทีฟคือโครงสร้างแบบ Sallen–Key

โทโพโลยี Cauerใช้ส่วนประกอบแบบพาสซีฟ (ตัวเก็บประจุแบบขนานและตัวเหนี่ยวนำแบบอนุกรม) เพื่อสร้างตัวกรองอนาล็อกเชิงเส้น ตัวกรอง Butterworth ที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนที่กำหนดสามารถสร้างได้โดยใช้ฟอร์ม Cauer 1 องค์ประกอบ ที่ kกำหนดโดย^{[ 10 ]}

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{odd}}}$

${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{even}}.}$

หากต้องการ อาจเริ่มต้นด้วยตัวเหนี่ยวนำแบบอนุกรมสำหรับตัวกรอง ซึ่งในกรณีนี้L _kจะเป็นkคี่ และC _kจะเป็นkคู่ สูตรเหล่านี้สามารถนำมาผสมผสานกันได้อย่างมีประโยชน์โดยการทำให้ทั้งL _kและC _kเท่ากับg _kนั่นคือg _kคือค่าอิมมิต แตนซ์ หาร ด้วยs

${\displaystyle g_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

สูตรเหล่านี้ใช้กับตัวกรองแบบต่อปลายสองด้าน (นั่นคือ อิมพีแดนซ์ของแหล่งกำเนิดและโหลดเท่ากับหนึ่งทั้งคู่) โดยที่ ω _c = 1 ตัวกรองต้นแบบ นี้ สามารถปรับขนาดสำหรับค่าอิมพีแดนซ์และความถี่อื่นๆ ได้ สำหรับตัวกรองแบบต่อปลายด้านเดียว (นั่นคือ ตัวกรองที่ขับเคลื่อนด้วยแหล่งจ่ายแรงดันหรือกระแสใน อุดมคติ ) ค่าขององค์ประกอบจะกำหนดโดย^{[ 3 ]}

${\displaystyle g_{j}={\frac {a_{j}a_{j-1}}{c_{j-1}g_{j-1}}}\qquad j=2,3,\ldots ,n}$

ที่ไหน

${\displaystyle g_{1}=a_{1}}$

และ

${\displaystyle a_{j}=\sin \left[{\frac {(2j-1)}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n}$

${\displaystyle c_{j}=\cos ^{2}\left[{\frac {j}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n.}$

ตัวกรองที่ขับเคลื่อนด้วยแรงดันไฟฟ้าต้องเริ่มต้นด้วยองค์ประกอบอนุกรม และตัวกรองที่ขับเคลื่อนด้วยกระแสไฟฟ้าต้องเริ่มต้นด้วยองค์ประกอบขนาน รูปแบบเหล่านี้มีประโยชน์ในการออกแบบไดเพล็กเซอร์และมัลติเพล็กเซอร์^{[ 3 ]}

วงจร Sallen–Keyใช้ส่วนประกอบแบบแอคทีฟและพาสซีฟ (บัฟเฟอร์แบบไม่กลับเฟส ซึ่งโดยทั่วไปคือโอเปอเรชันแอมพลิฟายเออร์ ตัวต้านทาน และตัวเก็บประจุ) เพื่อสร้างตัวกรองอนาล็อกเชิงเส้น แต่ละขั้นของวงจร Sallen–Key จะสร้างคู่ขั้วแบบคอนจูเกต ตัวกรองโดยรวมจะถูกสร้างขึ้นโดยการต่ออนุกรมทุกขั้น หากมีขั้วจริง (ในกรณีที่เป็นจำนวนคี่) จะต้องสร้างแยกต่างหาก โดยปกติจะเป็นวงจร RCและต่ออนุกรมกับขั้นแอคทีฟ ${\displaystyle n}$

สำหรับวงจร Sallen–Key อันดับสองที่แสดงทางด้านขวา ฟังก์ชันถ่ายโอนจะกำหนดโดย

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}.}$

เราต้องการให้ตัวส่วนเป็นหนึ่งในพจน์กำลังสองของพหุนามบัตเตอร์เวิร์ธ สมมติว่านั่นหมายความว่า ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,}$

และ

${\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=-2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right).}$

ซึ่งทำให้เหลือค่าส่วนประกอบที่ไม่ระบุสองค่าที่สามารถเลือกได้ตามต้องการ

ตัวกรองความถี่ต่ำ Butterworth ที่มีโทโพโลยี Sallen–Key ลำดับที่สามและสี่ โดยใช้แอมป์ปฏิบัติการ เพียงตัวเดียว ได้รับการอธิบายโดย Huelsman ^{[ 11 ] [ 12 ]}และตัวกรอง Butterworth แบบแอมป์เดี่ยวที่มีลำดับสูงกว่านั้น ได้รับการอธิบายโดย Jurišić et al. ^{[ 13 ]}

การนำฟิลเตอร์ Butterworth และฟิลเตอร์อื่นๆ มาใช้ในระบบดิจิทัล มักใช้พื้นฐานจาก วิธี การแปลงแบบไบลิเนียร์ (bilinear transform ) หรือวิธีการแปลงแบบแมทช์ Z (matched Z-transform ) ซึ่งเป็นสองวิธีที่แตกต่างกันในการแปลงการออกแบบฟิลเตอร์แบบอนาล็อกให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ในกรณีของฟิลเตอร์แบบออลโพล (all-pole filters) เช่น ฟิลเตอร์ Butterworth วิธีการแปลงแบบแมทช์ Z จะเทียบเท่ากับ วิธี การคงสภาพอิมพัลส์ (impulse invariance method) สำหรับลำดับที่สูงขึ้น ฟิลเตอร์ดิจิทัลจะไวต่อข้อผิดพลาดในการควอนไทเซชัน ดังนั้นจึงมักคำนวณเป็นส่วนไบควอด แบบเรียงต่อกัน บวกกับส่วนลำดับที่หนึ่งหรือลำดับที่สามสำหรับลำดับคี่

คุณสมบัติของตัวกรอง Butterworth มีดังนี้:

• การตอบสนองแอมพลิจูดแบบโมโน โทนิก ทั้งในย่านความถี่ผ่านและย่านความถี่หยุด
• การลดลงอย่างรวดเร็วบริเวณความถี่ตัด ซึ่งจะดีขึ้นเมื่อลำดับเพิ่มขึ้น
• มี การโอเวอร์ชูตและการสั่นไหวอย่างมากในการตอบสนองแบบขั้นบันไดซึ่งจะแย่ลงเมื่อลำดับเพิ่มขึ้น
• การตอบสนองเฟสที่ไม่เป็นเชิงเส้นเล็กน้อย
• ความล่าช้าของกลุ่มส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับความถี่

นี่คือภาพที่แสดงอัตราขยายของตัวกรอง Butterworth แบบเวลาไม่ต่อเนื่องเมื่อเทียบกับตัวกรองประเภทอื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไป ตัวกรองทั้งหมดนี้เป็นตัวกรองอันดับที่ห้า

ตัวกรอง Butterworth ลดทอนความถี่รอบจุดตัดช้ากว่าตัวกรอง Chebyshevหรือตัวกรอง Ellipticแต่ไม่มีระลอกคลื่น

• ตัวกรองเบสเซล
• ตัวกรองเชบิเชฟ
• ตัวกรองแบบหวี
• ตัวกรองวงรี
• การออกแบบตัวกรอง