ในสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าความเบ้แบบไม่ใช้พารามิเตอร์เป็นสถิติที่ใช้กับตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนจริง เป็นครั้งคราว ^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นการวัดความเบ้ ของ การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มกล่าวคือ แนวโน้มของการกระจายตัวที่จะ "เอนเอียง" ไปทางด้านใดด้านหนึ่งของค่าเฉลี่ยการคำนวณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับรูปแบบของการกระจายตัวพื้นฐาน จึงเรียกว่าไม่ใช้พารามิเตอร์มีคุณสมบัติที่น่าสนใจบางประการ ได้แก่ มีค่าเป็นศูนย์สำหรับการกระจายตัวแบบสมมาตรไม่ได้รับผลกระทบจาก การเลื่อน มาตราส่วนและสามารถแสดงความเบ้ซ้ายหรือเบ้ขวาได้ดีเท่ากัน ในตัวอย่างทางสถิติ บางตัวอย่าง พบว่ามีประสิทธิภาพ น้อยกว่า ^{[ 3 ]}การวัดความเบ้แบบปกติในการตรวจจับความเบี่ยงเบนของประชากรจากภาวะปกติ^{[ 4 ]}

ความเบี่ยงเบนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle S={\frac {\mu -\nu }{\sigma }}}$

โดยที่ค่าเฉลี่ย ( μ ) ค่ามัธยฐาน ( ν ) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( σ ) ของประชากรมีความหมายตามปกติ

ค่าความเบี่ยงเบนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์คือหนึ่งในสามของค่าสัมประสิทธิ์ความเบี่ยงเบนของ Pearson 2และอยู่ระหว่าง −1 ถึง +1 สำหรับการแจกแจงใดๆ^{[ 5 ] [ 6 ]}ช่วงนี้บ่งบอกโดยความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยอยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งค่าจากค่ามัธยฐานใดๆ^{[ 7 ]}

ภายใต้การแปลงเชิงเส้นของตัวแปร ( X ) ค่าของSจะไม่เปลี่ยนแปลง ยกเว้นอาจมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย ในเชิงสัญลักษณ์

${\displaystyle S(aX+b)=\operatorname {sign} (a)\,S(X)}$

โดยที่a  ≠ 0 และbเป็นค่าคงที่ และS ( X ) คือค่า เบี่ยง เบนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ของตัวแปรX

ขอบเขตของสถิตินี้ ( ±1 ) ได้รับการปรับให้คมชัดขึ้นโดย Majindar ^{[ 8 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าค่าสัมบูรณ์ ของสถิตินี้ ถูกจำกัดโดย

${\displaystyle {\frac {2(pq)^{1/2}}{(p+q)^{1/2}}}}$

กับ

${\displaystyle p=\Pr(X>\operatorname {E} (X))}$

และ

${\displaystyle q=\Pr(X<\operatorname {E} (X)),}$

โดยที่Xคือตัวแปรสุ่มที่มีความแปรปรวนจำกัดE ( )คือตัวดำเนินการค่าคาดหวัง และPr () คือความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์

เมื่อp = q = 0.5 ค่าสัมบูรณ์ของสถิตินี้จะมีค่าไม่เกิน 1 ส่วนเมื่อp = 0.1 และp = 0.01 ค่าสัมบูรณ์ของสถิตินี้จะมีค่าไม่เกิน 0.6 และ 0.199 ตามลำดับ

เป็นที่ทราบกันดีว่า^{[ 9 ]}

${\displaystyle |\mu -\nu _{0}|\leq \operatorname {E} (|X-\nu _{0}|)\leq \operatorname {E} (|X-\mu |)\leq \sigma ,}$

โดยที่ν คือค่ามัธยฐานใดๆ และE (.) คือตัวดำเนินการความคาดหวัง

ได้มีการแสดงให้เห็นแล้วว่า

${\displaystyle {\frac {|\mu -x_{q}|}{\sigma }}\leq \max \left({\sqrt {\frac {(1-q)}{q}}},{\sqrt {\frac {q}{(1-q)}}}\right)}$

โดยที่x คือค^วอนไทล์ที่ q ^{[ 7 ]}ควอนไทล์อยู่ระหว่าง 0 และ 1: ค่ามัธยฐาน (ควอนไทล์ 0.5) มีq = 0.5 อสมการนี้ยังถูกใช้เพื่อกำหนดมาตรวัดความเบี่ยงเบนอีกด้วย^{[ 10 ]}

ความไม่เท่าเทียมกันหลังนี้ได้รับการทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้น^{[ 11 ]}

${\displaystyle \mu -\sigma {\sqrt {\frac {1-q}{q}}}\leq x_{q}\leq \mu +\sigma {\sqrt {\frac {q}{1-q}}}}$

ส่วนขยายเพิ่มเติมสำหรับการแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยจำกัดได้รับการเผยแพร่แล้ว: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \mu -{\frac {1}{2q}}\operatorname {E} |X-\mu |\leq x_{q}\leq \mu +{\frac {1}{(2-2q)}}\operatorname {E} |X-\mu |}$

ขอบเขตในอสมการคู่สุดท้ายนี้จะเกิดขึ้นเมื่อและสำหรับจำนวนคงที่ a < b${\displaystyle \Pr(X=a)=q}$${\displaystyle \Pr(X=b)=1-q}$

สำหรับตัวอย่างจำกัดที่มีขนาดตัวอย่างn ≥ 2 โดยที่x คือสถิติลำดับที่^r , m คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง และs คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวอย่างที่แก้ไขสำหรับองศาอิสระ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\frac {|m-x_{r}|}{s}}\leq {\text{max}}\left[{\sqrt {\frac {(n-1)(r-1)}{n(n-r+1)}}},{\sqrt {\frac {(n-1)(n-r)}{nr}}}\right]}$

การแทนที่rด้วยn / 2 จะให้ผลลัพธ์ที่เหมาะสมสำหรับค่ามัธยฐานของตัวอย่าง: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\frac {|m-a|}{s}}\leq {\sqrt {\frac {n^{2}-n}{n^{2}}}}={\sqrt {\frac {n-1}{n}}}}$

โดยที่aคือค่ามัธยฐานของกลุ่มตัวอย่าง

Hotelling และ Solomons พิจารณาการกระจายของสถิติการทดสอบ^{[ 5 ]}

${\displaystyle D={\frac {n(m-a)}{s}}}$

โดยที่nคือขนาดของกลุ่มตัวอย่าง, mคือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง, aคือค่ามัธยฐานของกลุ่มตัวอย่าง และsคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

การทดสอบทางสถิติของDถือว่าสมมติฐานว่างที่กำลังทดสอบคือการกระจายตัวนั้นสมมาตร

Gastwirth ประมาณค่าความแปรปรวน แบบอะซิมโทติก ของn ^−1/2 D ^{[ 15} ] หากการกระจายตัวเป็นแบบโมดอลเดียวและสมมาตรเกี่ยวกับ 0 ค่าความแปรปรวน ^แบบอะซิมโทติกจะอยู่ระหว่าง 1/4 และ 1 การสมมติการประมาณค่าแบบอนุรักษ์นิยม (โดยกำหนดให้ความแปรปรวนเท่ากับ 1) อาจนำไปสู่ระดับนัยสำคัญที่แท้จริงที่ต่ำกว่าระดับที่กำหนดไว้มาก

โดยสมมติว่าการแจกแจงพื้นฐานเป็นแบบสมมาตร Cabilio และ Masaro ได้แสดงให้เห็นว่าการแจกแจงของSเป็นแบบปกติเชิงอะซิมโทติก^{[ 16 ]}ความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกขึ้นอยู่กับการแจกแจงพื้นฐาน: สำหรับการแจกแจงแบบปกติ ความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกของS √ nคือ 0.5708...

โดยสมมติว่าการกระจายพื้นฐานมีความสมมาตร โดยพิจารณาการกระจายของค่าที่อยู่เหนือและใต้ค่ามัธยฐาน เจิ้งและแกสท์เวิร์ธได้โต้แย้งว่า^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {m-a}{s}}\right)}$

โดยที่nคือขนาดของกลุ่มตัวอย่าง และมี การ กระจาย แบบ t

Antonietta Miraศึกษาการกระจายของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐาน^{[ 18 ]}

${\displaystyle \gamma _{1}=2(m-a),}$

โดยที่mคือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง และaคือค่ามัธยฐาน หากการแจกแจงพื้นฐานมีความสมมาตรγ เองก็จะมีลักษณะปกติเชิงอะซิมโทติก สถิตินี้ได้รับการเสนอแนะโดย Bonferroni ก่อนหน้านี้^{[ 19 ]}

โดยสมมติว่ามีการกระจายพื้นฐานแบบสมมาตร การปรับเปลี่ยนS ได้ รับการศึกษาโดย Miao, Gelและ Gastwirth ซึ่งปรับเปลี่ยนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อสร้างสถิติของพวกเขา^{[ 20 ]}

${\displaystyle J={\frac {1}{n}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum {|X_{i}-a|}}$

โดยที่X คือค่าตัวอย่าง, || คือค่าสัมบูรณ์และผลรวมจะคำนวณจากค่าตัวอย่าง ทั้ง n ค่า

ค่าสถิติการทดสอบคือ

${\displaystyle T={\frac {m-a}{J}}.}$

สถิติที่ปรับขนาดT √ nเป็นแบบปกติเชิงอะซิมโทติกโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์สำหรับการกระจายแบบสมมาตร ความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกขึ้นอยู่กับการกระจายพื้นฐาน: ค่าจำกัดคือ สำหรับการกระจายแบบปกติvar( T √ n ) = 0.5708... และสำหรับการกระจายแบบ tที่มีสามองศาอิสระvar( T √ n ) = 0.9689... ^{[ 20 ]}

สำหรับการกระจายความน่าจะเป็นแบบสมมาตรค่าความเบ้แบบไม่ใช้พารามิเตอร์จะมีค่าเป็น 0

ค่านี้จะมีผลเป็นบวกสำหรับข้อมูลที่มีการเบี่ยงเบนไปทางขวา และมีผลเป็นลบสำหรับข้อมูลที่มีการเบี่ยงเบนไปทางซ้าย ค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0.2 บ่งชี้ถึงการเบี่ยงเบนที่ชัดเจน

การหาค่า S สำหรับการแจกแจงบางประเภท อาจทำได้ยากโดยปกติแล้วเป็นเพราะไม่ทราบสูตรสำเร็จรูปสำหรับค่ามัธยฐาน ตัวอย่างของการแจกแจงดังกล่าว ได้แก่การแจกแจงแกมมาการแจกแจงไคกำลังสองผกผันการแจกแจงแกมมาผกผันและการแจกแจงไคกำลังสองผกผันแบบปรับขนาด

ค่าต่อไปนี้สำหรับSเป็นค่าที่ทราบแล้ว:

• การแจกแจงเบต้า : 1 < α < βโดยที่αและβเป็นพารามิเตอร์ของการแจกแจง จากนั้นเป็นการประมาณที่ดี^{[ 21 ]}

${\displaystyle S={\frac {1}{3}}{\frac {(\alpha -2\beta )(\alpha +\beta +1)^{1/2}}{(\alpha +\beta -2/3)(\alpha \beta )^{1/2}}}}$

ถ้า 1 < β < αตำแหน่งของαและβในสูตรจะสลับกันSจะน้อยกว่า 0 เสมอ

• การแจกแจงแบบทวินาม : แปรผัน หากค่าเฉลี่ยเป็นจำนวนเต็มS = 0 หากค่าเฉลี่ยไม่ใช่จำนวนเต็มSอาจมีเครื่องหมายบวกหรือลบ หรือเป็นศูนย์ก็ได้^{[ 22 ]}โดยมีขอบเขตจำกัดที่ ±min{ max{  p , 1 −  p  }, log 2 } /  σโดยที่σคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงแบบทวินาม^{[ 23 ]}
• การกระจายตัวของ Burr :
• การแจกแจงแบบ Birnbaum–Saunders :

${\displaystyle S={\frac {2}{\beta ^{2}(4+5\alpha ^{2})}}}$

โดยที่αคือพารามิเตอร์รูปร่าง และβคือพารามิเตอร์ตำแหน่ง

• การแจกแจงแบบแคนเตอร์ : แม้ว่าการแจกแจงจะสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยแต่ค่ามัธยฐานสามารถเป็นค่าใดก็ได้ในช่วงเนื่องจากช่วงกลางนี้มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}\right]}$

${\displaystyle {\frac {-4}{3}}\leq S\leq {\frac {4}{3}}}$

• การแจกแจงไคกำลังสอง : แม้ว่าS ≥ 0 แต่ค่าของมันขึ้นอยู่กับจำนวนองศาอิสระ ( k )

${\displaystyle S\approx {\frac {1-(1-{\frac {2}{k}})^{3}}{2}}}$

• การกระจายตัวของดากุม :
• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล :

${\displaystyle S=1-\log _{e}(2)\approx 0.31}$

• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์สองตัว: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle S=1-\log _{e}(2)\approx 0.31}$

• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล-ลอการิทึม

${\displaystyle S=-{\frac {polylog(2,1-p)+\ln(1+{\sqrt {p}})\ln p}{\sqrt {-[2polylog(3,1-p)+polylog^{2}(2,1-p)]}}}}$

ในกรณีนี้Sจะมีค่ามากกว่า 0 เสมอ

• การแจกแจงแบบเกาส์เซียนที่ปรับเปลี่ยนแบบเลขชี้กำลัง :

${\displaystyle 0\leq S\leq 1-\log _{e}(2)}$

• การแจกแจง Fที่มีองศาอิสระnและn ( n > 4): ^{[ 25 ]}

${\displaystyle S=n^{-3/2}{\sqrt {\frac {n-4}{n-2}}}+O(n^{-5/2})}$

• การแจกแจงแบบ Fréchet : ค่าความแปรปรวนของการแจกแจงนี้จะถูกกำหนดเฉพาะเมื่อα > 2 เท่านั้น

${\displaystyle S={\frac {\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)-{\frac {1}{{\sqrt {\alpha }}\log _{e}(2)}}}{\sqrt {\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}}}}}$

• การแจกแจงแกมมา : ค่ามัธยฐานสามารถกำหนดได้โดยประมาณสำหรับการแจกแจงนี้เท่านั้น^{[ 26 ]}ถ้าพารามิเตอร์รูปร่างα ≥ 1 แล้ว

${\displaystyle S\approx {\frac {\beta }{3\alpha +0.2}}}$

โดยที่β > 0 คือพารามิเตอร์อัตรา ในที่นี้Sจะมากกว่า 0 เสมอ

• การแจกแจงปกติทั่วไปเวอร์ชัน 2

${\displaystyle S=-{\frac {\exp({\frac {-k^{2}}{2}})-1}{\sqrt {\exp({\frac {k^{2}}{2}})-1}}}}$

Sมีค่าน้อยกว่า 0 เสมอ

• การแจกแจงพาเรโตแบบทั่วไป : Sจะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อพารามิเตอร์รูปร่าง ( k ) น้อยกว่า 1/2 เท่านั้น สำหรับการแจกแจงนี้S จะมีค่าน้อยกว่า 0

${\displaystyle S=\left({\frac {2^{k}-1}{k}}-2^{k}\right)(1-2k)^{0.5}}$

• การจัดจำหน่ายกัมเบล :

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}[\gamma +\log _{e}(\log _{e}(2))]}{\pi }}\approx 0.1643}$

โดยที่γคือค่าคงที่ของออยเลอ^ร์ [ ^{27 ]}

• การกระจายแบบครึ่งปกติ : ^{[ 24 ]}

${\displaystyle S\approx {\frac {{\sqrt {2}}-0.6745{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi -2}}}\approx 0.36279}$

• การแจกจ่ายของกุมาราสวามี
• การแจกแจงแบบล็อกโลจิสติก (การแจกแจงแบบฟิสก์): ให้βเป็นพารามิเตอร์รูปร่าง ความแปรปรวนและค่าเฉลี่ยของการแจกแจงนี้จะถูกกำหนดได้ก็ต่อเมื่อβ > 2 เท่านั้น เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน เรา จะใช้สัญลักษณ์b = β / π

${\displaystyle S={\frac {b-\sin(b)}{\sqrt {b\tan(b)-b^{2}}}}}$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่มีอยู่สำหรับค่าb ที่ มากกว่า 4.932 (โดยประมาณ) สำหรับค่าที่สามารถกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ค่า Sจะมากกว่า 0

• การแจกแจงแบบลอการิ ทมิกปกติ : โดยมีค่าเฉลี่ย ( μ ) และความแปรปรวน ( σ² ⁾

${\displaystyle S={\frac {1}{(e^{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+1)(e^{\mu +\sigma ^{2}})}}}$

• การแจกแจง Log-Weibull : ^{[ 24 ]}

${\displaystyle S\approx {\frac {[\log _{e}(\log _{e}(2))-0.5772]{\sqrt {6}}}{\pi }}\approx -0.1643}$

• การแจกแจง Lomax : Sถูกกำหนดเฉพาะเมื่อα > 2 เท่านั้น

${\displaystyle S={\frac {(\alpha -1)(\alpha -2)(1-(\alpha -1)(2^{1/\alpha }-1))}{\alpha ^{1/2}}}}$

• การแจกแจงแบบ Maxwell–Boltzmann : ^{[ 24 ]}

${\displaystyle S\approx {\frac {{\sqrt {2}}-1.5382\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\sqrt {2(\Gamma ({\frac {5}{2}})-\Gamma ({\frac {3}{2}}))}}}\approx 0.0854}$

• จัดจำหน่ายโดยนาคากามิ

${\displaystyle S=-1}$

• การแจกแจงแบบพาเรโต : สำหรับα > 2 โดยที่αคือพารามิเตอร์รูปร่างของการแจกแจง

${\displaystyle S=(\alpha -2^{1/\alpha }[\alpha -1])({\frac {\alpha -2}{\alpha }})^{1/2},}$

และSจะมากกว่า 0 เสมอ

• การแจกแจงปัวซง :

${\displaystyle {\frac {-\log _{e}(2)}{\lambda ^{\frac {1}{2}}}}\leq S\leq {\frac {1}{3\lambda ^{\frac {1}{2}}}}}$

โดยที่λคือพารามิเตอร์ของการกระจาย^{[ 28 ]}

• การแจกแจงแบบเรย์ลี :

${\displaystyle S={\sqrt {\frac {2}{4-\pi }}}[({\frac {\pi }{2}})^{0.5}-\log _{e}(4)]\approx 0.1251}$

• การแจกแจงไวบูล :

${\displaystyle S={\frac {\Gamma (1+1/k)-\log _{e}(2)^{1/k}}{(\Gamma (1+2/k)-\Gamma (1+1/k))^{1/2}}},}$

โดยที่kคือพารามิเตอร์รูปร่างของการแจกแจง ในที่นี้Sจะมากกว่า 0 เสมอ

ในปี พ.ศ. 2438 เพียร์สันเสนอให้วัดความเบี่ยงเบนโดยการกำหนดมาตรฐานความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและค่าฐานนิยม^{[ 29 ]}ซึ่งให้ผลลัพธ์ ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\mu -\theta }{\sigma }},}$

โดยที่μ , θและσคือค่าเฉลี่ย โหมด และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงตามลำดับ การประมาณค่าโหมดของประชากรจากข้อมูลตัวอย่างอาจทำได้ยาก แต่ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและโหมดสำหรับการแจกแจงหลายๆ แบบมีค่าประมาณสามเท่าของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐาน^{[ 30 ]}ซึ่งแนะนำให้เพียร์สันใช้สัมประสิทธิ์ความเบี่ยงเบนตัวที่สอง:

${\displaystyle {\frac {3(\mu -\nu )}{\sigma }},}$

โดยที่νคือค่ามัธยฐานของการแจกแจงโบว์ลีย์ได้ตัดตัวประกอบ 3 ออกจากสูตรนี้ในปี ค.ศ. 1901 ซึ่งนำไปสู่สถิติความเบี่ยงเบนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์

ความสัมพันธ์ระหว่างค่ามัธยฐาน ค่าเฉลี่ย และค่าฐานนิยม ถูกสังเกตครั้งแรกโดยเพียร์สัน ขณะที่เขากำลังศึกษาการแจกแจงแบบที่ 3 ของเขา

สำหรับการกระจายตัวแบบใดๆ ค่าฐานนิยม ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ยอาจปรากฏในลำดับใดก็ได้^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

มีการวิเคราะห์ความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน ค่าฐานนิยม และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน^{[ 34 ]}และความสัมพันธ์เหล่านี้กำหนดข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับเครื่องหมายและขนาดของความเบี่ยงเบนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์

ตัวอย่างง่ายๆ ที่แสดงความสัมพันธ์เหล่านี้คือการแจกแจงแบบทวินามที่มีn = 10 และp = 0.09 ^{[ 35 ]}เมื่อพล็อตการแจกแจงนี้ จะมีหางยาวไปทางขวา ค่าเฉลี่ย (0.9) อยู่ทางซ้ายของค่ามัธยฐาน (1) แต่ค่าความเบี่ยงเบน (0.906) ตามที่กำหนดโดยโมเมนต์มาตรฐานที่สามเป็นค่าบวก ในทางตรงกันข้าม ค่าความเบี่ยงเบนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์คือ -0.110

กฎที่ว่า สำหรับการแจกแจงบางประเภท ผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและค่าฐานนิยมจะเป็นสามเท่าของผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานนั้น เป็นผลงานของเพียร์สัน ซึ่งค้นพบขณะทำการวิจัยเกี่ยวกับการแจกแจงประเภทที่ 3 กฎนี้มักนำไปใช้กับการแจกแจงที่ไม่สมมาตรเล็กน้อยซึ่งคล้ายกับการแจกแจงแบบปกติ แต่ก็ไม่เสมอไป

ในปี พ.ศ. 2438 เพียร์สันตั้งข้อสังเกตว่าสำหรับสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าการแจกแจงแกมมาความสัมพันธ์^{[ 29 ]}

${\displaystyle \nu -\theta =2(\mu -\nu )}$

โดยที่θ , νและμคือค่าฐานนิยม ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ยของการแจกแจงตามลำดับ ซึ่งเป็นความจริงโดยประมาณสำหรับการแจกแจงที่มีพารามิเตอร์รูปร่างขนาดใหญ่

Doodson ในปี พ.ศ. 2460 พิสูจน์ว่าค่ามัธยฐานอยู่ระหว่างค่าฐานนิยมและค่าเฉลี่ยสำหรับการแจกแจงแบบเบ้ปานกลางที่มีโมเมนต์ที่สี่จำกัด^{[ 36 ]}ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้กับการแจกแจงของ Pearson ทั้งหมด และการแจกแจงเหล่านี้ทั้งหมดมีการเบ้แบบไม่พาราเมตริกที่เป็นบวก

นอกจากนี้ Doodson ยังกล่าวอีกว่า สำหรับตระกูลการแจกแจงนี้โดยประมาณแล้ว

${\displaystyle \theta =3\nu -2\mu ,}$

โดยที่θ , νและμคือค่าฐานนิยม ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ยของการแจกแจงตามลำดับ การประมาณค่าของ Doodson ได้รับการตรวจสอบและยืนยันเพิ่มเติมโดยHaldane ^{[ 37 ]} Haldane ตั้งข้อสังเกตว่าตัวอย่างที่มีตัวแปรที่เหมือนกันและเป็นอิสระที่มี คูมูลันต์ที่สามมีค่าเฉลี่ยตัวอย่างที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ของ Pearson สำหรับขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ Haldane ต้องการเงื่อนไขหลายประการเพื่อให้ความสัมพันธ์นี้เป็นจริง รวมถึงการมีอยู่ของการขยาย Edgeworthและความเป็นเอกลักษณ์ของทั้งค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยม ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ เขาพบว่าค่าฐานนิยมและค่ามัธยฐานลู่เข้าสู่ 1/2 และ 1/6 ของโมเมนต์ที่สามตามลำดับ ผลลัพธ์นี้ได้รับการยืนยันโดย Hall ภายใต้เงื่อนไขที่อ่อนกว่าโดยใช้ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ^{[ 38 ]}

ความสัมพันธ์ของ Doodson ได้รับการศึกษาโดย Kendall และ Stuart ในการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติซึ่งพวกเขาพบความสัมพันธ์ที่แม่นยำใกล้เคียงกับการแจกแจงดังกล่าว^{[ 39 ]}

นอกจากนี้ Hall ยังแสดงให้เห็นว่าสำหรับการแจกแจงที่มีหางที่เปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอและเลขชี้กำลังαที่^{[ 38 ]}

${\displaystyle \mu -\theta =\alpha (\mu -\nu )}$

เกาส์แสดงให้เห็นในปี พ.ศ. 2466 ว่าสำหรับการกระจายแบบโมดอลเดียว^{[ 40 ]}

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

และ

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}$

โดยที่ωคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเฉลี่ยจากค่าฐานนิยม

สำหรับกลุ่มใหญ่ของการแจกแจงแบบ unimodal ที่มีการเบี่ยงเบนไปทางบวก ค่าฐานนิยม ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ยจะเรียงตามลำดับนั้น^{[ 41 ]}ในทางกลับกัน สำหรับกลุ่มใหญ่ของการแจกแจงแบบ unimodal ที่มีการเบี่ยงเบนไปทางลบ ค่าเฉลี่ยจะน้อยกว่าค่ามัธยฐาน ซึ่งในทางกลับกันจะน้อยกว่าค่าฐานนิยม ในสัญลักษณ์สำหรับการแจกแจงแบบ unimodal ที่มีการเบี่ยงเบนไปทางบวกเหล่านี้

${\displaystyle \theta \leq \nu \leq \mu }$

และสำหรับการกระจายแบบเอกโมดอลที่เบี่ยงเบนไปทางลบเหล่านี้

${\displaystyle \mu \leq \nu \leq \theta }$

วิชานี้ครอบคลุมการแจกแจงที่สำคัญ ได้แก่ การแจกแจง F, เบต้า และแกมมา

กฎนี้ใช้ไม่ได้กับการกระจาย Weibull แบบ unimodal ^{[ 42 ]}

สำหรับการกระจายแบบโมดอลเดียว ขอบเขตต่อไปนี้เป็นที่ทราบและมีความแม่นยำ: ^{[ 43 ]}

${\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},}$

${\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

โดยที่μ , νและθคือค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และค่าฐานนิยม ตามลำดับ

ขอบเขตตรงกลางจำกัดค่าความเบี่ยงเบนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ของการกระจายแบบยอดเดียวไว้ที่ประมาณ ±0.775

อสมการต่อไปนี้

${\displaystyle \theta \leq \nu \leq \mu ,}$

โดยที่θ , νและμคือค่าฐานนิยม ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ยของการแจกแจงตามลำดับ จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle F(\nu -x)+F(\nu +x)\geq 1{\text{ for all }}x,}$

โดยที่Fคือฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจาย^{[ 44 ]}เงื่อนไขเหล่านี้ได้รับการสรุปทั่วไป^{[ 33 ]}และขยายไปยังการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 45 ]}การกระจายใดๆ ที่เป็นไปตามนี้จะมีค่าความเบ้แบบไม่ใช้พารามิเตอร์เป็นศูนย์หรือเป็นบวก

ในปี พ.ศ. 2507 van Zwet ได้เสนอชุดของสัจพจน์สำหรับการเรียงลำดับการวัดความเบี่ยงเบน^{[ 46 ]}ความเบี่ยงเบนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ไม่เป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

กฎของเบนฟอร์ดเป็นกฎเชิงประจักษ์เกี่ยวกับการกระจายของตัวเลขในรายการตัวเลข มีการเสนอแนะว่าตัวแปรสุ่มจากการกระจายที่มีความเบี่ยงเบนแบบไม่ใช่พาราเมตริกที่เป็นบวกจะปฏิบัติตามกฎนี้^{[ 47 ]}

สถิตินี้คล้ายคลึงกับสัมประสิทธิ์ความเบี่ยงเบนของ Bowley มาก ^{[ 48 ]}

${\displaystyle SK_{2}={\frac {Q_{3}+Q_{1}-2Q_{2}}{Q_{3}-Q_{1}}}}$

โดยที่ Q คือควาร์ไทล์ที่ i ของการแจกแจง

ฮิงค์ลีย์สรุปเรื่องนี้โดยทั่วไป^{[ 49 ]}

${\displaystyle SK={\frac {F^{-1}(1-\alpha )+F^{-1}(\alpha )-2Q_{2}}{Q_{3}-Q_{1}}}}$

โดยที่ค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.5 สัมประสิทธิ์ของโบว์ลีย์เป็นกรณีพิเศษที่มีค่าเท่ากับ 0.25 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Groeneveld และ Meeden ^{[ 50 ]}ขจัดความขึ้นอยู่กับโดยการบูรณาการเหนือมัน ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle SK_{3}={\frac {\mu -Q_{2}}{E|y-Q_{2}|}}}$

ตัวหารเป็นตัววัดการกระจายตัว เมื่อแทนที่ตัวหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราจะได้ค่าความเบ้แบบไม่ใช้พารามิเตอร์