ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกที ฟ PSL(2, 7)ซึ่งสมสัณฐานกับGL(3, 2)เป็นกลุ่มง่ายจำกัด ที่มีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในพีชคณิตเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวนมันเป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิ ซึม ของควอติกไคลน์และกลุ่มสมมาตรของระนาบฟาโนด้วยจำนวนสมาชิก 168 ตัว PSL(2, 7) จึงเป็นกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นอะเบเลียน ที่เล็กที่สุด รองจากกลุ่มสลับ A ที่มีสมาชิก 60 ตัว ซึ่งสมสัณฐานกับPSL(2, 5 )

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปGL(2, 7)ประกอบด้วยเมทริกซ์ 2×2 ที่ผกผันได้ทั้งหมด บนฟิลด์จำกัดF ซึ่ง มีสมาชิก 7 ตัว เมทริกซ์เหล่านี้มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์กลุ่มย่อยSL(2, 7)ประกอบด้วยเมทริกซ์ดังกล่าวทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ 1 ดังนั้นPSL(2, 7)จึงถูกนิยามให้เป็นกลุ่มผลหาร

SL(2, 7) / { I , − I }

ได้มาจากการระบุIและ − Iโดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ในบทความนี้ เราให้Gแทนกลุ่มใดๆ ที่สมสัณฐานกับPSL(2, 7 )

G = PSL(2, 7)มีสมาชิก 168 ตัว สามารถเห็นได้จากการนับจำนวนคอลัมน์ที่เป็นไปได้ มี7² ⁻ 1 = 48ความเป็นไปได้สำหรับคอลัมน์แรก และมี7² − 7 = 42ความเป็นไปได้สำหรับคอลัมน์ที่สอง เราต้องหารด้วย⁷ − 1 = 6เพื่อให้ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง จากนั้นเราต้องหารด้วย 2 เมื่อเราระบุIและ − Iผลลัพธ์คือ(48 × 42) / (6 × 2) = 168

โดยทั่วไปแล้วPSL( n , q )เป็นกลุ่มง่ายสำหรับn , q ≥ 2 ( โดยที่ qเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ) เว้นแต่ว่า( n , q ) = (2, 2)หรือ  (2, 3) PSL (2, 2)สมสัณฐานกับกลุ่มสมมาตร S และPSL(2, 3)สมสัณฐานกับกลุ่มสลับ A อันที่จริงPSL(2, 7)เป็นกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นอะเบเลียนที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสอง รองจาก กลุ่มสลับA 5 PSL(2, 5) = PSL(2, 4)

จำนวนของคลาสการสมมูลและตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้คือ 6 ขนาดของคลาสการสมมูลคือ 1, 21, 42, 56, 24, 24 และมิติของตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้คือ 1, 3, 3, 6, 7, 8

ตารางตัวละคร

${\displaystyle {\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{อาร์เรย์}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.}$

ตารางต่อไปนี้อธิบายชั้นการสมมูลกันในแง่ของลำดับของสมาชิกในชั้น ขนาดของชั้น พหุนามขั้นต่ำของตัวแทนทุกตัวใน GL(3, 2) และสัญกรณ์ฟังก์ชันสำหรับตัวแทนใน PSL(2, 7) โปรดทราบว่าชั้น 7A และ 7B จะถูกสลับกันโดยออโตมอร์ฟิซึม ดังนั้นตัวแทนจาก GL(3, 2) และ PSL(2, 7) สามารถสลับกันได้ตามอำเภอใจ

ลำดับของกลุ่มคือ168 = 3 × 7 × 8ซึ่งหมายความว่ามีกลุ่มย่อยของ Sylowที่มีลำดับ 3, 7 และ 8 กลุ่มย่อยสองกลุ่มแรกนั้นอธิบายได้ง่าย เพราะเป็นกลุ่มวัฏจักร เนื่องจากกลุ่มใดๆ ที่มีลำดับเป็นจำนวนเฉพาะก็เป็น กลุ่ม วัฏจักร สมาชิกใดๆ จากชั้นสมมูล 3 A จะสร้างกลุ่มย่อย Sylow 3 ได้ สมาชิกใดๆ จากชั้นสมมูล 7 A , 7 B จะสร้างกลุ่มย่อย Sylow 7 ได้ กลุ่มย่อย Sylow 2 เป็นกลุ่มไดเฮดรัลที่มีลำดับ 8สามารถอธิบายได้ว่าเป็นตัวรวมศูนย์กลางของสมาชิกใดๆ จากชั้นสมมูล 2 A ใน การแสดงแทน GL(3, 2)กลุ่มย่อย Sylow 2 ประกอบด้วยเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

กลุ่มนี้และกลุ่มย่อย Sylow 2 ของกลุ่มนี้เป็นตัวอย่างค้านสำหรับ ทฤษฎีบท ส่วนเติมเต็ม p ปกติ ต่างๆ สำหรับp = 2

G = PSL(2, 7)กระทำผ่านการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นบนเส้นเชิงโปรเจกทีฟP ¹ (7) เหนือฟิลด์ที่มี 7 องค์ประกอบ:

${\displaystyle {\text{สำหรับ }}\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{PSL}}(2,7){\text{ และ }}x\in \mathbf {P} ^{1}\!(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}.}$

ออโตมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทางทุกตัวของP ¹ (7) เกิดขึ้นในลักษณะนี้ ดังนั้นG = PSL(2, 7)จึงสามารถคิดในเชิงเรขาคณิตได้ว่าเป็นกลุ่มสมมาตรของเส้นโปรเจกทีฟP ¹ (7) กลุ่มทั้งหมดของออโตมอร์ฟิซึมเชิงเส้นโปรเจกทีฟที่อาจกลับทิศทางได้คือส่วนขยายอันดับ 2 PGL(2, 7)และกลุ่มของคอลไลน์เนชันของเส้นโปรเจกทีฟคือกลุ่มสมมาตร ที่สมบูรณ์ ของจุด

อย่างไรก็ตามPSL(2, 7)ยังเป็นไอโซมอร์ฟิกกับPSL(3, 2) ( = SL(3, 2) = GL(3, 2) ) ซึ่งเป็นกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ (ทั่วไป) ของเมทริกซ์ 3×3 เหนือฟิลด์ที่มี 2 สมาชิก ในทำนองเดียวกันG = PSL(3, 2)กระทำบนระนาบเชิงโปรเจกทีฟP ² (2) เหนือฟิลด์ที่มี 2 สมาชิก — หรือที่รู้จักกันในชื่อระนาบฟาโน :

สำหรับและ${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\text{PSL}}(3,2)\ \ }$${\displaystyle \ \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}\!(2),\ \ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}}$

อีกครั้ง ออโตมอร์ฟิซึมทุกตัวของP ² (2) เกิดขึ้นในลักษณะนี้ ดังนั้นG = PSL(3, 2)สามารถคิดในเชิงเรขาคณิตได้ว่าเป็นกลุ่มสมมาตรของระนาบเชิงโปรเจกทีฟนี้ ระนาบฟาโนสามารถใช้เพื่ออธิบายการคูณของอ็อกโทเนียนดังนั้นGจึงกระทำกับเซตของตารางการคูณอ็อกโทเนียน

ควอติกของไคลน์คือวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเหนือจำนวนเชิงซ้อนCซึ่งกำหนดโดยพหุนามควอติก

x³y + y³z + z³x = 0 .^​​​^​

เป็นพื้นผิวรีมันน์ ขนาดกะทัดรัด ที่มีจีนัสg = 3และเป็นพื้นผิวเดียวที่มีขนาดของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบคอนฟอร์มอลถึงค่าสูงสุดที่84( g − 1)ขอบเขตนี้เกิดจากทฤษฎีบทออโตมอร์ฟิซึมของฮูร์วิตซ์ซึ่งใช้ได้กับg > 1 ทุกตัว พื้นผิว " ฮูร์วิตซ์ " ดังกล่าวหายาก จีนัสถัดไปที่มีพื้นผิวแบบนี้คือg = 7และถัดไปหลังจากนั้นคือg = 14

เช่นเดียวกับ พื้นผิว Hurwitzทั้งหมด พื้น ผิว Klein quartic สามารถกำหนดเมตริกที่มีความโค้งลบคงที่ได้จากนั้นจึงปูด้วยรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ (ไฮเปอร์โบลิก) ซึ่งเป็นผลหารของ การปูด้วย รูปเจ็ดเหลี่ยมลำดับที่ 3โดยที่สมมาตรของพื้นผิวในฐานะพื้นผิว Riemannian หรือเส้นโค้งพีชคณิตจะเหมือนกับสมมาตรของการปูทุกประการ สำหรับพื้นผิว Klein quartic นี้จะได้การปูด้วยรูปเจ็ดเหลี่ยม 24 รูป และลำดับของGจึงสัมพันธ์กับข้อเท็จจริงที่ว่า24 × 7 = 168ในทางกลับกัน มันสามารถปูด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 56 รูป โดยมี 24 จุดยอด แต่ละจุดยอดมีดีกรี 7 ซึ่งเป็นผลหารของการปู ด้วย รูปสามเหลี่ยมลำดับที่ 7

ควอติกของไคลน์เกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมถึงทฤษฎีการแทน ทฤษฎีโฮโมโลยี การคูณอ็อกโทเนียนทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และทฤษฎีบทของสตาร์กเกี่ยวกับฟิลด์จำนวนกำลังสองเชิงจินตนาการของคลาสหมายเลข 1

PSL(2, 7)เป็นกลุ่มย่อยสูงสุดของกลุ่ม Mathieu M ; กลุ่ม M และ M สามารถสร้างเป็นส่วนขยายของPSL(2, 7) ได้ ส่วนขยายเหล่านี้สามารถตีความได้ในแง่ของการปูกระเบื้องของ Klein quartic แต่ไม่ได้เกิดขึ้นจากสมมาตรทางเรขาคณิตของการปูกระเบื้อง^{[ 1 ]}

กลุ่มPSL(2, 7)กระทำการกับเซตจำกัดต่างๆ:

• ในการตีความดั้งเดิมในฐานะPSL(2, 7) ซึ่งเป็น ออโตมอร์ฟิซึมเชิงเส้นที่รักษาทิศทางของเส้นโปรเจกทีฟ P ¹ ( F ) นั้น มันกระทำการทรานซิทีฟบนจุด 8 จุด โดยมีตัวรักษาเสถียรภาพลำดับ 21 ที่ตรึงจุดที่กำหนดไว้ นอกจากนี้ยังกระทำการทรานซิทีฟแบบ 2 โดยมีตัวรักษาเสถียรภาพลำดับ 3 บนจุดแต่ละคู่ และมีวงโคจรสองวงบนจุดสามจุด โดยมีตัวรักษาเสถียรภาพแบบไม่สำคัญบนจุดสามจุดแต่ละจุด (กลุ่มที่ใหญ่กว่าPGL(2, 7)กระทำการทรานซิทีฟแบบ 3 อย่างชัดเจน)
• เมื่อตีความว่าเป็นPGL(3, 2)ซึ่งเป็นออโตมอร์ฟิซึมเชิงเส้นของระนาบ Fano P ² ( F ) มันจะกระทำแบบ 2-transitive บนจุด 7 จุด โดยมีตัวรักษาเสถียรภาพลำดับที่ 24 ตรึงแต่ละจุด และตัวรักษาเสถียรภาพลำดับที่ 4 ตรึงแต่ละคู่ของจุด
• เมื่อตีความว่าเป็นออโตมอร์ฟิซึมของการปูพื้นด้วยควอติกของไคลน์ มันจะกระทำแบบทรานซิทีฟบนจุดยอดทั้ง 24 จุด (หรือในทางกลับกัน รูปเจ็ดเหลี่ยมทั้ง 24 รูป) โดยมีตัวรักษาเสถียรภาพลำดับที่ 7 (ซึ่งสอดคล้องกับการหมุนรอบจุดยอด/รูปเจ็ดเหลี่ยม)
• เมื่อตีความว่าเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม Mathieu M กลุ่มย่อยนี้จะกระทำแบบไม่ถ่ายทอดบนจุด 21 จุด

• Brown, Ezra; Loehr, Nicholas (2009). "Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)?" (PDF) . Am. Math. Mon . 116 (8): 727– 732. doi : 10.4169/193009709X460859 . Zbl  1229.20046 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2016-10-09 . สืบค้นเมื่อ2014-09-27 .

• วิถีแปดประการ: ความงดงามของเส้นโค้งควอติกของไคลน์ (ซิลวิโอ เลวี บรรณาธิการ)
• สิ่งน่าสนใจในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ประจำสัปดาห์นี้ - สัปดาห์ที่ 214 (จอห์น เบซ)
• ควาร์ติกของไคลน์ในทฤษฎีจำนวน (โนอัม เอลคีส์)
• กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ: PSL(3, 2)