ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทออโตมอร์ฟิซึมของฮูร์วิ ตซ์ จำกัดลำดับของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ผ่าน การแม ปคอนฟอร์มอลที่รักษา ทิศทาง ของพื้นผิวรีมันน์ แบบกะทัดรัด ที่มีจีนัสg > 1 โดยระบุว่าจำนวนออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าวไม่สามารถเกิน 84( g − 1) ได้ กลุ่มที่ได้ค่าสูงสุดเรียกว่ากลุ่มฮูร์วิตซ์และพื้นผิวรีมันน์ที่สอดคล้องกัน เรียกว่า พื้นผิวฮูร์วิตซ์ เนื่องจากพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดมีความหมายเหมือนกับ เส้นโค้งพีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนที่ไม่เอกฐานพื้นผิวฮูร์วิตซ์จึงสามารถเรียกว่าเส้นโค้งฮูร์วิตซ์ ได้เช่น กัน^{[ 1 ]}ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามอดอล์ฟ ฮูร์วิตซ์ผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ใน( Hurwitz 1893 )

ขอบเขตของ Hurwitz ยังใช้ได้กับเส้นโค้งพีชคณิตเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 0 และเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะบวกp > 0 สำหรับกลุ่มที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับpแต่สามารถล้มเหลวได้เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะบวกp > 0 เมื่อpหารอันดับของกลุ่มลงตัว ตัวอย่างเช่น การคลุมสองชั้นของเส้นตรงเชิงโปรเจกที ฟ y ² = x ^p − xที่แตกแขนงที่ทุกจุดที่กำหนดเหนือฟิลด์จำนวนเฉพาะมีจีนัสg = ( p − 1)/2 แต่ถูกกระทำโดยกลุ่ม PGL ( p ) ที่มีอันดับp ³ − p

หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือการแบ่งสามประเภทระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ที่มีความ โค้งKเป็นบวก เป็นศูนย์ และ เป็นลบ แนวคิด นี้ปรากฏให้เห็นในสถานการณ์ที่หลากหลายและในหลายระดับ ในบริบทของพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดXผ่านทฤษฎีบทการทำให้เป็น แบบเดียวกันของรีมันน์ สามารถมองเห็นความแตกต่างระหว่างพื้นผิวที่มีโทโพโลยีต่างกันได้:

• Xคือทรงกลมซึ่งเป็นพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดที่มีจีนัสเป็นศูนย์และK > 0;
• X คือทอรัสแบนหรือเส้นโค้งวงรีซึ่งเป็นพื้นผิวรีมันน์ที่มีจีนัสหนึ่งและ K = 0;
• และXเป็นพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกซึ่งมีจีนัสมากกว่าหนึ่งและK < 0

ในขณะที่ในสองกรณีแรก พื้นผิวXยอมรับการแปลงอัตโนมัติแบบคอนฟอร์มอลได้เป็นจำนวนอนันต์ (อันที่จริงกลุ่มการแปลงอัตโนมัติ แบบคอนฟอร์มอล เป็นกลุ่มลี เชิงซ้อน ที่มีมิติสามสำหรับทรงกลมและมิติหนึ่งสำหรับทอรัส) แต่พื้นผิวรีมันน์แบบไฮเปอร์โบลิกยอมรับเฉพาะชุดการแปลงอัตโนมัติแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ทฤษฎีบทของฮูร์วิตซ์กล่าวว่า ที่จริงแล้วมีข้อเท็จจริงมากกว่านั้น: มันให้ขอบเขตที่สม่ำเสมอสำหรับลำดับของกลุ่มการแปลงอัตโนมัติเป็นฟังก์ชันของจีนัส และระบุลักษณะของพื้นผิวรีมันน์เหล่านั้นที่ขอบเขตนั้นมีความแม่นยำ

ทฤษฎีบท : ให้${\displaystyle X}$เป็นพื้นผิวรีมันน์ที่เรียบและกะทัดรัดที่มีจีนัส${\displaystyle g\geq 2}$จากนั้นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมัน${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$มีขนาดสูงสุด${\displaystyle 84(g-1)}$.

บทพิสูจน์:สมมติไว้ก่อนว่า${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (X)}$มีค่าจำกัด (ซึ่งจะพิสูจน์ได้ในตอนท้าย)

• พิจารณาแผนที่ผลหาร${\displaystyle X\to X/G}$. เนื่องจาก${\displaystyle G}$กระทำโดยฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ผลหารจะมีรูปแบบเฉพาะที่ดังนี้${\displaystyle z\to z^{n}}$และผลหาร${\displaystyle X/G}$เป็นพื้นผิวรีมันน์เรียบ แผนที่ผลหาร${\displaystyle X\to X/G}$เป็นโครงสร้างแบบแตกแขนง และเราจะเห็นต่อไปว่าจุดแตกแขนงนั้นสอดคล้องกับวงโคจรที่มีตัวรักษาเสถียรภาพที่ไม่ธรรมดา ให้${\displaystyle g_{0}}$เป็นสกุลของ${\displaystyle X/G}$.
• ตามสูตรของรีมันน์-เฮอร์วิตซ์$${\displaystyle 2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)}$$โดยที่ผลรวมอยู่เหนือ${\displaystyle k}$จุดแตกแขนง${\displaystyle p_{i}\in X/G}$สำหรับแผนที่ผลหาร${\displaystyle X\to X/G}$ดัชนีการแตกแขนง${\displaystyle e_{i}}$ที่${\displaystyle p_{i}}$เป็นเพียงลำดับของกลุ่มสารทำให้คงตัวเท่านั้น เนื่องจาก${\displaystyle e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)}$ที่ไหน${\displaystyle f_{i}}$จำนวนภาพก่อนหน้าของ${\displaystyle p_{i}}$(จำนวนจุดในวงโคจร) และ${\displaystyle \deg(X/\,X/G)=|G|}$ตามนิยามของจุดแตกแขนง${\displaystyle e_{i}\geq 2}$สำหรับทุกคน${\displaystyle k}$ดัชนีการแตกแขนง

ทีนี้เรียกฝั่งขวามือ${\displaystyle |G|R}$และตั้งแต่${\displaystyle g\geq 2}$เราต้องมี${\displaystyle R>0}$เมื่อจัดเรียงสมการใหม่ เราจะได้ว่า:

• ถ้า${\displaystyle g_{0}\geq 2}$แล้ว${\displaystyle R\geq 2}$, และ${\displaystyle |G|\leq (g-1)}$
• ถ้า${\displaystyle g_{0}=1}$, แล้ว${\displaystyle k\geq 1}$ และ${\displaystyle R\geq 0+1-1/2=1/2}$ดังนั้น${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$,
• ถ้า${\displaystyle g_{0}=0}$, แล้ว${\displaystyle k\geq 3}$และ
  • ถ้า${\displaystyle k\geq 5}$แล้ว${\displaystyle R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2}$ดังนั้น${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
  • ถ้า${\displaystyle k=4}$แล้ว${\displaystyle R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6}$ดังนั้น${\displaystyle |G|\leq 12(g-1)}$,
  • ถ้า${\displaystyle k=3}$จากนั้นเขียน${\displaystyle e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r}$เราอาจสันนิษฐานได้ว่า${\displaystyle 2\leq p\leq q\ \leq r}$.
    • ถ้า${\displaystyle p\geq 3}$แล้ว${\displaystyle R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12}$ดังนั้น${\displaystyle |G|\leq 24(g-1)}$,
    • ถ้า${\displaystyle p=2}$แล้ว
      • ถ้า${\displaystyle q\geq 4}$แล้ว${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20}$ดังนั้น${\displaystyle |G|\leq 40(g-1)}$,
      • ถ้า${\displaystyle q=3}$แล้ว${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42}$ดังนั้น${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$.

สรุปแล้ว,${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$.

เพื่อแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle G}$มีค่าจำกัด โปรดทราบว่า${\displaystyle G}$กระทำต่อโคฮอโมโลยี${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$รักษาการแยกส่วนของ Hodgeและโครงสร้างแลตทิซไว้${\displaystyle H^{1}(X,\mathbf {Z} )}$.

• โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระทำของมันต่อ${\displaystyle V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )}$ให้โฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$ด้วยภาพแยกส่วน${\displaystyle h(G)}$.
• นอกจากนี้ ภาพดังกล่าว${\displaystyle h(G)}$รักษา ผลคูณภายในแบบเฮอร์มิเชียนตามธรรมชาติที่ไม่เสื่อมสลาย${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$บน${\displaystyle V}$โดยเฉพาะอย่างยิ่งภาพ${\displaystyle h(G)}$อยู่ในกลุ่มเอกภาพ${\displaystyle \operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)}$ซึ่งมีขนาดกะทัดรัดดังนั้นภาพจึงเป็นเช่นนั้น${\displaystyle h(G)}$ไม่เพียงแต่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง แต่ยังเป็นแบบจำกัดด้วย
• ยังคงต้องพิสูจน์ต่อไปว่า${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$มีเคอร์เนลจำกัด อันที่จริง เราจะพิสูจน์${\displaystyle h}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง สมมติว่า${\displaystyle \varphi \in G}$ทำหน้าที่เป็นตัวตนบน${\displaystyle V}$. ถ้า${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ถ้าเป็นจำนวนจำกัดแล้ว ตามทฤษฎีบทจุดตรึงของเลฟเชตซ์$${\displaystyle |\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.}$$

นี่เป็นความขัดแย้ง ดังนั้น${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$มีค่าอนันต์ เนื่องจาก${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$เป็นชนิดย่อยที่ซับซ้อนและปิดสนิทของมิติเชิงบวกและ${\displaystyle X}$เป็นเส้นโค้งที่เชื่อมต่อกันอย่างราบรื่น (เช่น${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }(X)=1}$) เราต้องมี${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )=X}$. ดังนั้น${\displaystyle \varphi }$นั่นคือเอกลักษณ์ และเราสรุปได้ว่า${\displaystyle h}$เป็นการฉีดและ${\displaystyle G\cong h(G)}$มีค่าจำกัด พิสูจน์แล้ว

บทสรุปของการพิสูจน์ : พื้นผิวรีมันน์${\displaystyle X}$ของสกุล${\displaystyle g\geq 2}$มี${\displaystyle 84(g-1)}$ออโตมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อ${\displaystyle X}$เป็นฝาครอบแบบแตกแขนง${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$โดยมีจุดแตกแขนงสาม จุดคือ ดัชนี2 , 3และ7

ตามทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูป พื้นผิวไฮเปอร์โบลิกใดๆ X – กล่าวคือความโค้งเกาส์เซียนของXเท่ากับลบหนึ่งที่ทุกจุด – จะถูกปกคลุมด้วย ระนาบ ไฮเปอร์โบลิก การแปลงคอนฟอร์มอลของพื้นผิวจะสอดคล้องกับการแปลงอัตโนมัติที่รักษาทิศทางของระนาบไฮเปอร์โบลิก ตามทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์พื้นที่ของพื้นผิวคือ

A( X ) = − 2π χ( X ) = 4π( g − 1)

เพื่อให้กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมGของXมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เราต้องการให้พื้นที่ของโดเมนพื้นฐานDสำหรับการกระทำนี้มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ถ้าโดเมนพื้นฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมยอด π/p, π/q และ π/r ซึ่งกำหนดการปูพื้นผิวระนาบไฮเปอร์โบลิกแล้วp , qและrเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่ง และพื้นที่คือ

A( D ) = π(1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r )

ดังนั้นเราจึงต้องการจำนวนเต็มที่ทำให้ได้นิพจน์ดังกล่าว

1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r

ต้องเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัดและน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ค่าต่ำสุดนี้คือ 1/42 และ

1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

ให้ค่าสามตัวที่ไม่ซ้ำกันของจำนวนเต็มดังกล่าว ซึ่งจะบ่งชี้ว่าอันดับ | G | ของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมมีขอบเขตโดย

A( X )/A( D ) ≤ 168( g − 1)

อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลที่ละเอียดอ่อนกว่าแสดงให้เห็นว่านี่เป็นการประมาณค่าที่สูงเกินไปถึงสองเท่า เนื่องจากกลุ่มGสามารถมีการแปลงที่กลับทิศทางได้ สำหรับออโตมอร์ฟิซึมแบบคอนฟอร์มอลที่รักษาทิศทาง ขอบเขตคือ 84( g − 1)

การก่อสร้าง

เพื่อให้ได้ตัวอย่างของกลุ่มฮูร์วิตซ์ เรามาเริ่มต้นด้วยการปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิกแบบ (2,3,7) กลุ่มสมมาตรทั้งหมดของมันคือกลุ่มสามเหลี่ยมแบบ (2,3,7)ที่สร้างขึ้นจากการสะท้อนข้ามด้านของสามเหลี่ยมพื้นฐานเดี่ยวที่มีมุม π/2, π/3 และ π/7 เนื่องจากการสะท้อนจะพลิกสามเหลี่ยมและเปลี่ยนทิศทาง เราจึงสามารถเชื่อมสามเหลี่ยมเป็นคู่ๆ และได้รูปหลายเหลี่ยมที่รักษาทิศทางไว้ พื้นผิวฮูร์วิตซ์ได้มาจากการ 'ปิด' ส่วนหนึ่งของการปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิกแบบอนันต์นี้ไปยังพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดที่มีจีนัสgซึ่งจะต้องใช้กระเบื้องสามเหลี่ยมคู่ จำนวน 84( g − 1) ชิ้นพอดี

การปูพื้นแบบปกติสองแบบต่อไปนี้มีกลุ่มสมมาตรที่ต้องการ กลุ่มการหมุนสอดคล้องกับการหมุนรอบขอบ จุดยอด และหน้า ในขณะที่กลุ่มสมมาตรแบบเต็มจะรวมถึงการสะท้อนด้วย รูปหลายเหลี่ยมในการปูพื้นไม่ใช่โดเมนพื้นฐาน การปูพื้นด้วยสามเหลี่ยม (2,3,7) ปรับปรุงทั้งสองอย่างนี้และไม่ใช่แบบปกติ

การปูพื้นแบบเจ็ดเหลี่ยมลำดับที่ 3

การปูพื้นสามเหลี่ยมลำดับที่ 7

การสร้างแบบ Wythoff ทำให้เกิด การปูพื้นแบบสม่ำเสมอเพิ่มเติมซึ่งให้การปูพื้นแบบสม่ำเสมอแปดแบบรวมทั้งสองแบบปกติที่แสดงไว้ในที่นี้ การปูพื้นเหล่านี้ทั้งหมดจะลดรูปไปเป็นพื้นผิว Hurwitz ซึ่งให้การปูพื้นของพื้นผิวเหล่านั้น (การแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม การปูพื้นด้วยรูปเจ็ดเหลี่ยม เป็นต้น)

จากข้อโต้แย้งข้างต้น สามารถอนุมานได้ว่า กลุ่มฮูร์วิตซ์Gมีลักษณะเฉพาะคือ เป็นผลหารจำกัดของกลุ่มที่มีตัวสร้างสองตัวคือaและbและมีความสัมพันธ์สามประการ

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,}$

ดังนั้นGจึงเป็นกลุ่มจำกัดที่สร้างขึ้นจากสมาชิกสองตัวที่มีอันดับสองและสาม ซึ่งผลคูณของสมาชิกทั้งสองมีอันดับเจ็ด กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น พื้นผิวฮูร์วิตซ์ใดๆ ก็ตาม นั่นคือพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกที่ทำให้กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมมีอันดับสูงสุดสำหรับพื้นผิวที่มีจีนัสที่กำหนด สามารถสร้างขึ้นได้โดยวิธีการสร้างที่กล่าวมาแล้ว นี่คือส่วนสุดท้ายของทฤษฎีบทของฮูร์วิตซ์

กลุ่มฮูร์วิตซ์ที่เล็กที่สุดคือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL(2,7)ซึ่งมีอันดับ 168 และเส้นโค้งที่สอดคล้องกันคือเส้นโค้งควอติกของไคลน์ กลุ่มนี้ยังสมสัณฐานกับPSL(3,2)ด้วย

ถัดมาคือเส้นโค้ง Macbeathซึ่งมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม PSL(2,8) ที่มีอันดับ 504 กลุ่มง่ายจำกัดอีกมากมายเป็นกลุ่ม Hurwitz ตัวอย่างเช่นกลุ่มสลับ ทั้งหมด ยกเว้น 64 กลุ่ม เป็นกลุ่ม Hurwitz โดยกลุ่มที่ไม่ใช่ Hurwitz ที่ใหญ่ที่สุดมีดีกรี 167 กลุ่มสลับที่เล็กที่สุดที่เป็นกลุ่ม Hurwitz คือA

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจคทีฟส่วนใหญ่ที่มีอันดับสูงเป็นกลุ่มฮูร์วิ ตซ์ ( Lucchini, Tamburini & Wilson 2000 )สำหรับอันดับที่ต่ำกว่านั้น กลุ่มฮูร์วิตซ์จะมีจำนวนน้อยลง สำหรับn ซึ่งเป็นอันดับของpมอดูล 7 จะได้ว่า PSL(2, q ) เป็นกลุ่มฮูร์วิตซ์ก็ต่อเมื่อq = 7 หรือq = p ⁿ เท่านั้น ที่จริงแล้ว PSL(3, q ) เป็นกลุ่มฮูร์วิตซ์ก็ต่อเมื่อq = 2 เท่านั้น PSL(4, q ) ไม่เคยเป็นกลุ่มฮูร์วิตซ์ และ PSL(5, q ) เป็นกลุ่มฮู ร์วิตซ์ก็ต่อเมื่อq = 7 ⁴หรือq = p ⁿ เท่านั้น( Tamburini & Vsemirnov 2006 )

ในทำนองเดียวกัน กลุ่มประเภท Lieหลาย กลุ่มก็ เป็นกลุ่ม Hurwitz กลุ่มคลาสสิก จำกัด ที่มีอันดับสูงเป็นกลุ่ม Hurwitz ( Lucchini & Tamburini 1999 )กลุ่มLie พิเศษประเภท G2 และกลุ่ม Reeประเภท 2G2 เกือบทั้งหมดเป็นกลุ่ม Hurwitz ( Malle 1990 )ตระกูลอื่นๆ ของกลุ่ม Lie พิเศษและบิดเบี้ยวที่มีอันดับต่ำแสดงให้เห็นว่าเป็นกลุ่ม Hurwitz ใน( Malle 1995 )

มีกลุ่มสุ่ม 12 กลุ่ม ที่สามารถสร้างขึ้นเป็นกลุ่ม Hurwitz ได้แก่กลุ่ม Janko J , J และ J 4 กลุ่มFischer Fi และ Fi' , กลุ่ม Rudvalis , กลุ่ม Held , กลุ่ม Thompson , กลุ่ม Harada–Norton , กลุ่ม Conwayที่สามCo , กลุ่ม Lyonsและกลุ่มMonster ( Wilson 2001 )

ค่า |Aut( X )| ที่ใหญ่ที่สุด (ลำดับA346293ในOEIS )ที่สามารถหาได้สำหรับพื้นผิวรีมันน์Xที่มีจีนัสgแสดงไว้ด้านล่าง สำหรับ 2 ≤ g ≤ 10 พร้อมกับพื้นผิวX ที่มีค่า |Aut( X )| สูงสุด

ในช่วงนี้ มีเพียงเส้นโค้ง Hurwitz ที่มีจีนัสg = 3 และg = 7 เท่านั้น ( ลำดับA179982ในOEIS )

แนวคิดของพื้นผิวฮูร์วิตซ์สามารถขยายความได้หลายวิธีไปสู่คำจำกัดความที่มีตัวอย่างในเกือบทุกกลุ่ม ยกเว้นเพียงไม่กี่กลุ่ม บางทีวิธีที่ดูเป็นธรรมชาติที่สุดคือพื้นผิวที่มี "สมมาตรสูงสุด" กล่าวคือ พื้นผิวที่ไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้อย่างต่อเนื่องผ่านพื้นผิวที่มีสมมาตรเท่ากันไปเป็นพื้นผิวที่มีสมมาตรซึ่งครอบคลุมสมมาตรของพื้นผิวเดิมอย่างเหมาะสม สิ่งนี้เป็นไปได้สำหรับกลุ่มกระชับที่สามารถกำหนดทิศทางได้ทั้งหมด (ดูส่วน "กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมในกลุ่มที่มีจำนวนน้อย" ด้านบน)

• กลุ่มสามเหลี่ยม (2,3,7)