ในทางเรขาคณิตกลุ่มจุดในสี่มิติคือกลุ่มไอโซเมตรีในสี่มิติที่คงจุดกำเนิดไว้ หรือในทำนองเดียวกันคือกลุ่มไอโซเมตรีของทรงกลม 3มิติ

• พ.ศ. 2432 Édouard Goursat , Sur les substitutions orthogonales et les departments régulières de l'espace , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6, (หน้า 9–102, หน้า 80–81 จัตุรมุข), จัตุรมุข Goursat
• 1951, AC Hurley, กลุ่มการหมุนจำกัดและชั้นผลึกในสี่มิติ , การดำเนินการของสมาคมปรัชญาเคมบริดจ์, เล่มที่ 47, ฉบับที่ 4, หน้า 650 ^{[ 1 ]}
• 1962 AL MacKay Bravais Lattices ในปริภูมิสี่มิติ^{[ 2 ]}
• 1964 แพทริค ดู วาล , โฮโมกราฟี, ควอเทอร์เนียน และการหมุน , กลุ่มจุด 4 มิติแบบควอเทอร์เนียน
• 1975 Jan Mozrzymas, Andrzej Solecki, กลุ่มจุด R4 , รายงานเกี่ยวกับฟิสิกส์คณิตศาสตร์, เล่ม 7, ฉบับที่ 3, หน้า 363-394 ^{[ 3 ]}
• 1978 H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek และ H. Zassenhaus, กลุ่มผลึกศาสตร์ของพื้นที่สี่มิติ^{[ 4 ]}
• 1982 NP Warner, กลุ่มสมมาตรของการปูพื้นปกติของ S2 และ S3 ^{[ 5 ]}
• 1985 EJW Whittaker, แอตลาสของไฮเปอร์สเตอริโอแกรมของกลุ่มผลึกสี่มิติ
• 1985 HSM Coxeter , รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและกึ่งปกติ II , สัญกรณ์ Coxeter สำหรับกลุ่มจุด 4 มิติ
• ปี 2003 จอห์น คอนเวย์ และสมิธ ได้เขียนบทความเรื่อง " เกี่ยวกับควอเทอร์เนียนและอ็อกโทเนียน" ซึ่งกล่าวถึง กลุ่มจุด 4 มิติที่สร้างจากควอเทอร์เนียนเสร็จสมบูรณ์
• หนังสือเรขาคณิตและการแปลงรูปของ NW Johnson ปี 2018 บทที่ 11, 12, 13 กลุ่มโพลีคอริกแบบสมบูรณ์ หน้า 249 กลุ่มดูโอปริซึม หน้า 269

ไอโซเมตรีพื้นฐานสี่แบบของ สมมาตรจุดสี่มิติได้แก่สมมาตรการสะท้อน สมมาตรการหมุน การหมุนสะท้อนและการหมุน สองครั้ง

กลุ่มจุดในบทความนี้แสดงด้วยสัญกรณ์ Coxeterซึ่งอิงตามกลุ่ม Coxeterโดยมีเครื่องหมายสำหรับกลุ่มขยายและกลุ่มย่อย^{[ 6 ]}สัญกรณ์ Coxeter มีความสอดคล้องโดยตรงกับแผนภาพ Coxeter เช่น [3,3,3], [4,3,3], [3 ^1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] และ [p,2,q] กลุ่มเหล่านี้จำกัดทรงกลม3 มิติให้เป็นโดเมนทรงสี่เหลี่ยมไฮเปอร์ทรงกลมที่เหมือนกัน จำนวนโดเมนคืออันดับของกลุ่ม จำนวนกระจกสำหรับกลุ่มที่ไม่สามารถลดรูปได้คือnh/2โดยที่h คือ จำนวน Coxeterของกลุ่ม Coxeter และnคือมิติ (4) ^{[ 7 ]}

สำหรับการอ้างอิงไขว้ ยังมี สัญลักษณ์ตามควอเทอร์ เนียนโดยPatrick du Val (1964) ^{[ 8 ]}และJohn Conway (2003) ^{[ 9 ]}สัญลักษณ์ของ Conway อนุญาตให้คำนวณลำดับของกลุ่มเป็นผลคูณขององค์ประกอบที่มีลำดับกลุ่มโพลีเฮดรัลไครัล: (T=12, O=24, I=60) ในสัญลักษณ์ของ Conway คำนำหน้า (±) หมายถึงการผกผันแบบศูนย์กลางและคำต่อท้าย (.2) หมายถึงสมมาตรแบบกระจกเงา ในทำนองเดียวกัน สัญลักษณ์ของ Du Val มีเครื่องหมายดอกจัน (*) เป็นตัวยกสำหรับสมมาตรแบบกระจกเงา

มี กลุ่ม การผกผัน ห้ากลุ่ม ได้แก่ ไม่มีสมมาตร [ ] ⁺ , สมมาตรการสะท้อน [ ], สมมาตรการหมุน 2 เท่า[2] ^{+ ,} การหมุนสะท้อน 2 เท่า[2 ⁺ ,2 ⁺ ] และสมมาตรจุดศูนย์กลาง [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] เป็นการหมุนคู่ 2 เท่า

กลุ่มโพลีคอริก (Polychoric group)เป็นหนึ่งในห้ากลุ่มสมมาตร ของ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ 4 มิตินอกจากนี้ยังมีกลุ่มปริซึมทรงหลายเหลี่ยม (Polyhedral prismatic group) สามกลุ่ม และกลุ่มปริซึมคู่ (Duoprismatic group) จำนวนอนันต์ แต่ละกลุ่มถูกกำหนดโดยโดเมนพื้นฐานรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ากูร์ซาต์ (Goursat tetrahedron fundamental domain) ที่ล้อมรอบด้วยระนาบ สะท้อน มุมไดเฮดรัลระหว่างระนาบสะท้อนจะเป็นตัวกำหนดลำดับของสมมาตรไดเฮดรัล แผนภาพค็อกเซเตอร์-ไดน์กิน ( Coxeter –Dynkin diagram)เป็นกราฟที่จุดแทนระนาบสะท้อน และขอบเรียกว่ากิ่งก้าน โดยมีป้ายกำกับตามลำดับมุมไดเฮดรัลระหว่างระนาบสะท้อน

คำว่าpolychoron (พหูพจน์polychoraคำคุณศัพท์polychoric ) มาจากรากศัพท์ภาษากรีกpoly ("หลาย") และchoros ("ห้อง" หรือ "พื้นที่") และได้รับการสนับสนุน^{[ 10 ]}โดยNorman Johnsonและ George Olshevsky ในบริบทของpolychora ที่เป็นเอกรูป (4-polytopes) และกลุ่มสมมาตร 4 มิติที่เกี่ยวข้อง^{[ 11 ]}

กลุ่มค็อกซ์เตอร์อันดับ 4 อนุญาตให้ชุดกระจก 4 บานครอบคลุมปริภูมิ 4 มิติ และแบ่งทรงกลม3 มิติออกเป็นโดเมนพื้นฐานแบบทรงสี่หน้า กลุ่มค็อกซ์เตอร์อันดับต่ำกว่าสามารถจำกัดเฉพาะ โดเมนพื้นฐานแบบ ทรงหลายหน้าหรือทรงหลายหน้าบนทรงกลม 3 มิติ เท่านั้น

เช่นเดียวกับกลุ่มโพลีเฮดรั ล 3 มิติ ชื่อของกลุ่มโพลีโครา 4 มิติที่กำหนดนั้นสร้างขึ้นจากคำนำหน้าภาษากรีกของจำนวนเซลล์ของโพลีโทปปกติที่มีหน้าสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน^{[ 12 ]}สมมาตรแบบขยายมีอยู่ในโพลีโคราแบบสม่ำเสมอที่มีรูปแบบวงแหวนสมมาตรภายใน โครงสร้าง แผนภาพ Coxeterสมมาตรไครัลมีอยู่ในโพลีโคราแบบสม่ำเสมอ สลับกัน

เฉพาะกลุ่มที่ไม่สามารถลดรูปได้เท่านั้นที่มีเลขค็อกซีเตอร์ แต่กลุ่มดูโอปริซึม [p,2,p] สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าเป็นp,2,pได้โดยการเพิ่มไจเรชัน 2 เท่าให้กับโดเมนพื้นฐาน และสิ่งนี้จะให้เลขค็อกซีเตอร์ที่มีประสิทธิภาพเท่ากับ 2p ตัวอย่างเช่น [4,2,4] และกลุ่มสมมาตรเต็ม B ₄ , [4,3,3] ที่มีเลขค็อกซีเตอร์เท่ากับ 8

กลุ่มเวล์	คอนเวย์ควอเทอร์เนียน	โครงสร้าง นามธรรม	แผนภาพค็อกซ์เตอร์		สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง	กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์	หมายเลขค็อกซ์เตอร์ (h)	กระจก (ม.)
กลุ่มโพลีคอริกเต็มรูปแบบ
เอ4	+ 1 / 60 [I×I].2 1	เอส5			[3,3,3]	120	[3,3,3] +	5		10
ดี4	±1/3[T×T].2	1/2. 2 S 4			[3 1,1,1 ]	192	[3 1,1,1 ] +	6		12
บี4	±1/6[O×O].2	2 S 4 = S 2 ≀S 4			[4,3,3]	384		8	4	12
เอฟ4	±1/2[O×O].2 3	3. 2 S 4			[3,4,3]	1152	[3 + ,4,3 + ]	12	12	12
เอช4	±[I×I].2	2.(A 5 ×A 5 ).2			[5,3,3]	14400	[5,3,3] +	30		60
กลุ่มปริซึมทรงหลายเหลี่ยมสมบูรณ์
เอ3เอ1	+1/24[O×O].2 3	S 4 ×D 1			[3,3,2] = [3,3]×[ ]	48	[3,3] +	-		6	1
บี3เอ1	±1/24[O×O].2	S 4 ×D 1			[4,3,2] = [4,3]×[ ]	96		-	3	6	1
H 3 A 1	±1/60[I×I].2	A 5 ×D 1			[5,3,2] = [5,3]×[ ]	240	[5,3] +	-		15	1
กลุ่มปริซึมคู่เต็มรูปแบบ
4A 1 = 2D 2	±1/2[D 4 ×D 4 ]	D 1 4 = D 2 2			[2,2,2] = [ ] 4 = [2] 2	16	[ ] +	4	1	1	1	1
ดี2บี2	±1/2[D 4 ×D 8 ]	ดี2 ×ดี4			[2,2,4] = [2]×[4]	32	[2] +	-	1	1	2	2
ดี2เอ2	±1/2[D 4 ×D 6 ]	ดี2 ×ดี3			[2,2,3] = [2]×[3]	24	[3] +	-	1	1	3
ดี2จี2	±1/2[D 4 ×D 12 ]	ดี2 ×ดี6			[2,2,6] = [2]×[6]	48		-	1	1	3	3
ดี2เอช2	±1/2[D 4 ×D 10 ]	ดี2 ×ดี5			[2,2,5] = [2]×[5]	40	[5] +	-	1	1	5
2B 2	±1/2[D 8 ×D 8 ]	ดี4 2			[4,2,4] = [4] 2	64	[2 + ,2,2 + ]	8	2	2	2	2
บี2เอ2	±1/2[D 8 ×D 6 ]	ดี4 ×ดี3			[4,2,3] = [4]×[3]	48	[2 + ,2,3 + ]	-	2	2	3
บี2จี2	±1/2[D 8 ×D 12 ]	ดี4 ×ดี6			[4,2,6] = [4]×[6]	96		-	2	2	3	3
บี2เอช2	±1/2[D 8 ×D 10 ]	ดี4 ×ดี5			[4,2,5] = [4]×[5]	80	[2 + ,2,5 + ]	-	2	2	5
2A 2	±1/2[D 6 ×D 6 ]	ดี3 2			[3,2,3] = [3] 2	36	[3 + ,2,3 + ]	6	3		3
เอ2จี2	±1/2[D 6 ×D 12 ]	ดี3 ×ดี6			[3,2,6] = [3]×[6]	72		-	3		3	3
2G 2	±1/2[D 12 ×D 12 ]	ดี6 2			[6,2,6] = [6] 2	144		12	3	3	3	3
เอ2เอช2	±1/2[D 6 ×D 10 ]	ดี3 ×ดี5			[3,2,5] = [3]×[5]	60	[3 + ,2,5 + ]	-	3		5
จี2เอช2	±1/2[D 12 ×D 10 ]	ดี6 ×ดี5			[6,2,5] = [6]×[5]	120		-	3	3	5
2H 2	±1/2[D 10 ×D 10 ]	ดี5 2			[5,2,5] = [5] 2	100	[5 + ,2,5 + ]	10	5		5
โดยทั่วไป p,q=2,3,4...
2I 2 (2p)	±1/2[D 4p ×D 4p ]	ดี2พี2			[2p,2,2p] = [2p] 2	16 เพนนี2	[p + ,2,p + ]	2p	พี	พี	พี	พี
2I 2 (p)	±1/2[D 2p ×D 2p ]	ดีพี2			[p,2,p] = [p] 2	4p 2		2p	พี		พี
I 2 (p)I 2 (q)	±1/2[D 4p ×D 4q ]	ดี2พี ×ดี2คิว			[2p,2,2q] = [2p]×[2q]	16pq	[p + ,2,q + ]	-	พี	พี	q	q
I 2 (p)I 2 (q)	±1/2[D 2p ×D 2q ]	ดีพี ×ดีคิว			[p,2,q] = [p]×[q]	4pq		-	พี		q

ลำดับสมมาตรเท่ากับจำนวนเซลล์ของโพลีโครอนปกติคูณด้วยสมมาตรของเซลล์เหล่านั้น โพลีโครอนคู่แบบออมนิทรันเคตมีเซลล์ที่ตรงกับโดเมนพื้นฐานของกลุ่มสมมาตร

เน็ตสำหรับโพลีโทป 4 มิติแบบนูนปกติและคู่แบบออมนิตรันเคต

สมมาตร	เอ4	ดี4	บี4	เอฟ4	เอช4
4-โพลีโทป	5 เซลล์	เดมิเทสเซอแร็กต์	เทสเซอแร็กต์	24 เซลล์	120 เซลล์
เซลล์	5 {3,3}	16 {3,3}	8 {4,3}	24 {3,4}	120 {5,3}
สมมาตรของเซลล์	[3,3], ลำดับที่ 24		[4,3], ลำดับที่ 48		[5,3], ลำดับที่ 120
แผนภาพค็อกซ์เตอร์		=
โครงข่าย โพลีโทป 4 รูป
การตัดทอนทั้งหมด	ออมนิ 5 เซลล์	ออมนิ เดมิเทสเซอแร็กต์	ออมนิ เทสเซอแร็กต์	ออมนิ 24 เซลล์	ออมนิ 120 เซลล์
การตัดทอนแบบคู่เน็ต
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
เซลล์	5×24 = 120	(16/2)×24 = 192	8×48 = 384	24×48 = 1152	120×120 = 14400

กลุ่มย่อยโดยตรงของกลุ่มจุด 4 มิติแบบสะท้อน ได้แก่:

สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์		คอนเวย์ควอเทอร์เนียน	โครงสร้าง	คำสั่ง	แกนการหมุน
กลุ่มโพลีคอริก
	[3,3,3] +	+1/60[I× I ]	เอ5	60			10 3	10 2
	3,3,3 +	±1/60[I× I ]	A 5 ×Z 2	120			10 3	(10+?) 2
	[3 1,1,1 ] +	±1/3[T×T]	1/2. 2 A 4	96			16 3	18 2
	[4,3,3] +	±1/6[O×O]	2 A 4 = A 2 ≀A 4	192	6 4		16 3	36 2
	[3,4,3] +	±1/2[O×O]	3. 2 A 4	576	18 4	16 3	16 3	72 2
	[3 + ,4,3 + ]	±[T×T]		288		16 3	16 3	(72+18) 2
	[[3 + ,4,3 + ]]	±[O×T]		576			32 3	(72+18+?) 2
	3,4,3 +	±[O×O]		1152	18 4		32 3	(72+?) 2
	[5,3,3] +	±[I×I]	2.(A 5 ×A 5 )	7200		72 5	200 3	450 2
กลุ่มปริซึมทรงหลายเหลี่ยม
	[3,3,2] +	+ 1 / 24 [O× O ]	4 × Z 2	24		4 3	4 3	(6+6) 2
	[4,3,2] +	±1/24[O×O]	S 4 ×Z 2	48		6 4	8 3	(3+6+12) 2
	[5,3,2] +	±1/60[I×I]	A 5 ×Z 2	120		12 5	20 3	(15+30) 2
กลุ่มปริซึมคู่
	[2,2,2] +	+1/2[D 4 ×D 4 ]		8		1 2	1 2	4 2
	[3,2,3] +	+1/2[D 6 ×D 6 ]		18		1 3	1 3	9 2
	[4,2,4] +	+1/2[D 8 ×D 8 ]		32		1 4	1 4	16 2
(p,q=2,3,4...), gcd(p,q)=1
	[p,2,p] +	+1/2[D 2p ×D 2p ]		2p 2		1 เพนนี	1 เพนนี	(หน้า) 2
	[p,2,q] +	+1/2[D 2p ×D 2q ]		2pq		1 เพนนี	1 q	(pq) 2
	[p + ,2,q + ]	+[C p ×C q ]	Z p ×Z q	พีคิว		1 เพนนี	1 q

• กลุ่มเพนทาโคริก – A ₄ , [3,3,3], (), ลำดับที่ 120, (Du Val #51' (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) ^†* , Conway + ¹ / ₆₀ [I×I].2 ₁ ), ตั้งชื่อตามเซลล์ 5 เซลล์ (pentachoron) ซึ่งกำหนดโดยแผนภาพ Coxeter แบบวงแหวนบางครั้งก็เรียกว่ากลุ่มไฮเปอร์เตตระเฮดรัลสำหรับการขยายกลุ่ม เตตระเฮดรัล [3,3] กลุ่มนี้มีระนาบสะท้อน 10 ระนาบ มันสมมาตรกับกลุ่มสมมาตรนามธรรม S ₅
  • กลุ่ม เพนทาโคริก ที่ขยายAut ( A ₄ ), [[3,3,3]], (การเพิ่มเป็นสองเท่าสามารถบอกใบ้ได้ด้วยแผนภาพที่พับไว้), ลำดับที่ 240, (Du Val #51 (I ^†* /C ₂ ;I/C ₂ ) ^†* , Conway ± ¹ / ₆₀ [I× I ].2) มันมีลักษณะเหมือนกับผลคูณโดยตรงของกลุ่มนามธรรม : S ₅ ×C ₂
    • กลุ่มเพนทาโคริกขยายไครัลคือ [[3,3,3]] ⁺ , (), ลำดับที่ 120, (Du Val #32 (I ^† /C ₂ ;I/C ₂ ) ^† , Conway ± ¹ / ₆₀ [Ix I ]). กลุ่มนี้แสดงถึงการสร้างเซลล์ 5 เซลล์แบบ omnisnub ,แม้ว่าจะไม่สามารถทำให้เป็นเอกรูปได้ก็ตาม มันมีลักษณะสมมาตรกับผลคูณโดยตรงของกลุ่มนามธรรม: A 5 _× C ₂
  • กลุ่มเพนทาโคริกไครัลคือ [3,3,3] ⁺ , (), อันดับ 60, (Du Val #32' (I ^† /C ₁ ;I/C 1 ₎ † ^, Conway + ¹ / ₆₀ [I× I ]) มันมีลักษณะเหมือนกับกลุ่มสลับนามธรรม A ₅
    • กลุ่มเพนทาโคริกไครัลแบบขยายคือ [[3,3,3] ⁺ ], อันดับ 120, (Du Val #51" (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) _– ^†* , Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ ) Coxeter เชื่อมโยงกลุ่มนี้กับกลุ่มนามธรรม (4,6|2,3) ^{[ 13 ]}นอกจากนี้ยังเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มสมมาตรนามธรรม S ₅ด้วย

• กลุ่มเฮกซาเดคาโคริก – B ₄ , [4,3,3], (), ลำดับที่ 384, (Du Val #47 (O/V;O/V) ^* , Conway ± ¹ / ₆ [O×O].2), ตั้งชื่อตามเซลล์ 16 เซลล์ (เฮกซาเดคาโครอน)ในกลุ่มนี้มีระนาบสะท้อน 16 ระนาบ ซึ่งสามารถระบุได้ใน 2 ชุดตั้งฉาก: 12 ระนาบจากกลุ่มย่อย [3 ^1,1,1 ] และ 4 ระนาบจากกลุ่มย่อย [2,2,2] นอกจากนี้ยังเรียกว่ากลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลสำหรับการขยายกลุ่มออกตาเฮดรัล 3 มิติ [4,3] และกลุ่มเทสเซอแร็กต์สำหรับเทสเซอแร็กต์.
  • กลุ่มไครัลเฮกซาเดคาโคริกคือ [4,3,3] ⁺ , (), ลำดับที่ 192, (Du Val #27 (O/V;O/V), Conway ± ¹ / ₆ [O×O]) กลุ่มนี้แสดงถึงการสร้างเทสเซอแร็กต์แบบออมนิสนับแม้ว่าจะไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานเดียวกันได้ก็ตาม
  • กลุ่มเฮกซาเดคาโคริกที่ลดลงแบบไอออนิกคือ [4,(3,3) ⁺ ], (), ลำดับที่ 192, (Du Val #41 (T/V;T/V) ^* , Conway ± ¹ / ₃ [T×T].2) กลุ่มนี้ทำให้เกิดsnub 24-cellที่มีโครงสร้าง.
  • กลุ่มครึ่งเฮกซาเดคาโคริกคือ [1 ⁺ ,4,3,3], (=), ลำดับที่ 192 และเหมือนกับสมมาตร #demitesseractic : [3 ^1,1,1 ] กลุ่มนี้แสดงออกใน โครงสร้าง สลับเทสเซอแร็กต์ ของเซลล์16 เซลล์=.
    • กลุ่ม [1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], (=) ลำดับที่ 96 และเหมือนกับกลุ่มไครัลเดมิเทสเซอแร็กติก [3 ^1,1,1 ] ⁺และยังเป็นกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของ [4,3,3]
  • กลุ่มย่อยสะท้อนดัชนีสูงคือสมมาตรทรงแปดเหลี่ยมปริซึม [4,3,2] (), ลำดับที่ 96, ดัชนีกลุ่มย่อย 4, (Du Val #44 (O/C ₂ ;O/C ₂ ) ^* , Conway ± ¹ / ₂₄ [O×O].2) ปริซึมลูกบาศก์ที่ถูกตัดมีสมมาตรนี้ด้วยแผนภาพ Coxeterและปริซึมทรงลูกบาศก์เป็นโครงสร้างที่มีสมมาตรต่ำกว่าของเทสเซอแร็กต์ดังที่.
    • กลุ่มย่อยไครัลของมันคือ [4,3,2] ⁺ , (), ลำดับที่ 48, (Du Val #26 (O/C ₂ ;O/C ₂ ), Conway ± ¹ / ₂₄ [O×O]) ตัวอย่างหนึ่งคือsnub cubic antiprismแม้ว่าจะไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานเดียวกันได้ก็ตาม
    • กลุ่มย่อยไอออนิก ได้แก่:
      • [(3,4) ⁺ ,2], (), ลำดับที่ 48, (Du Val #44b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O×O].2 ₁ ) ปริซึมลูกบาศก์แบบสนับมีสมมาตรนี้ด้วยแผนภาพ Coxeter.
        • [(3,4) ⁺ ,2 ⁺ ], (), ลำดับที่ 24, (Du Val #44' (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₁ ).
      • [4,3 ⁺ ,2], (), ลำดับที่ 48, (Du Val #39 (T/C ₂ ;T/C ₂ ) _c ^* , Conway ± ¹ / ₁₂ [T×T].2)
        • [4,3 ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3 ⁺ ,1] = [4,3 ⁺ ], (=), ลำดับที่ 24, (Du Val #44" (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₃ ) นี่คือกลุ่มไพริโทเฮดรัล 3 มิติ , [4,3 ⁺ ]
        • [3 ⁺ ,4,2 ⁺ ], (), ลำดับที่ 24, (Du Val #21 (T/C ₂ ;T/C ₂ ), Conway ± ¹ / ₁₂ [T×T])
      • [3,4,2 ⁺ ], (), ลำดับที่ 48, (Du Val #39' (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ₋ ^* , Conway ± ¹ / ₁₂ [T× T ].2).
      • [4,(3,2) ⁺ ], (), ลำดับที่ 48, (Du Val #40b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ].2 ₁ )
    • กลุ่มย่อยครึ่งหนึ่ง [4,3,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] = [4,3], (=), ลำดับที่ 48 (Du Val #44b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) _c ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O×O].2 ₃ ) เรียกว่ากลุ่มพีระมิดทรงแปดเหลี่ยมและมีสมมาตรทรงแปดเหลี่ยม 3 มิติ [4,3] พีระมิดทรงลูกบาศก์สามารถมีสมมาตรนี้ได้ โดยมีสัญลักษณ์ Schläfli : ( ) ∨ {4,3}

      

      • กลุ่มย่อยไครัลครึ่งกลุ่ม [(4,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] ⁺ = [4,3] ⁺ , (=), ลำดับที่ 24 (Du Val #26b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ), Conway + ¹ / ₂₄ [O×O]) นี่คือกลุ่มออกตาเฮดรัลไครัล 3 มิติ , [4,3] ⁺พีระมิดลูกบาศก์แบบสนับสามารถมีสมมาตรนี้ได้ โดยมีสัญลักษณ์ Schläfli: ( ) ∨ sr{4,3}
  • กลุ่มย่อยสะท้อนดัชนีสูงอีกกลุ่มหนึ่งคือสมมาตรทรงสี่เหลี่ยมปริซึม [3,3,2], (), ลำดับ 48, ดัชนีกลุ่มย่อย 8, (Du Val #40b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ].2 ₃ )
    • กลุ่มย่อยไครัลคือ [3,3,2] ⁺ , (), ลำดับที่ 24, (Du Val #26b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ), Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ]). ตัวอย่างคือsnub tetrahedral antiprism ,แม้ว่าจะไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานเดียวกันได้ก็ตาม
    • กลุ่มย่อยไอออนิกคือ [(3,3) ⁺ ,2], (), ลำดับที่ 24, (Du Val #39b' (T/C ₁ ;T/C ₁ ) _c ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T× T ].2 ₃ ) ตัวอย่างหนึ่งคือปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าแบบเฉียง.
    • กลุ่มย่อยครึ่งคือ [3,3,2,1 ⁺ ] = [3,3,1] = [3,3], (=), ลำดับที่ 24, (Du Val #39b" (T/C ₁ ;T/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T× T ].2 ₁ ) เรียกว่ากลุ่มพีระมิดทรงสี่หน้าและเป็นกลุ่มทรงสี่หน้า 3 มิติ [3,3] พีระมิดทรงสี่หน้า ปกติ สามารถมีสมมาตรนี้ได้ โดยมีสัญลักษณ์ Schläfli: ( ) ∨ {3,3}

      

      • กลุ่มย่อยไครัลครึ่ง [(3,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [3,3] ⁺ (=), ลำดับที่ 12, (Du Val #21b' (T/C ₁ ;T/C ₁ ), Conway + ¹ / ₁₂ [T×T]) นี่คือกลุ่มเตตระเฮดรัลไครัล 3 มิติ , [3,3] ⁺พีระมิดเตตระเฮดรัลแบบสนับสามารถมีสมมาตรนี้ได้ โดยมีสัญลักษณ์ Schläfli: ( ) ∨ sr{3,3}
  • กลุ่มย่อยสะท้อนรัศมีดัชนีสูงอีกกลุ่มหนึ่งคือ [4,(3,3) ^* ], ดัชนี 24, กำจัดกระจกที่มีมุมไดเฮดรัลลำดับที่ 3 ทำให้เกิด [2,2,2] (), ลำดับที่ 16 อื่นๆ คือ [4,2,4] (), [4,2,2] () โดยมีดัชนีกลุ่มย่อย 6 และ 12 ลำดับ 64 และ 32 กลุ่มเหล่านี้เป็นสมมาตรที่ต่ำกว่าของเทสเซอแร็กต์ : (), (), และ (กลุ่มเหล่านี้มีสมมาตรแบบปริซึมคู่ (duoprismatic symmetry )

• กลุ่ม Icositetrachoric – F ₄ , [3,4,3], (), ลำดับที่ 1152, (Du Val #45 (O/T;O/T) ^* , Conway ± ¹ / ₂ [OxO].2), ตั้งชื่อตามเซลล์ 24 เซลล์ (icositetrachoron)มีระนาบสะท้อน 24 ระนาบในสมมาตรนี้ ซึ่งสามารถแยกออกเป็นสองชุดตั้งฉากของกระจก 12 บานใน กลุ่มย่อย สมมาตรเดมิเทสเซอแร็กติก [3 ^1,1,1 ] เช่น [3 ^* ,4,3] และ [3,4,3 ^* ] เป็นกลุ่มย่อยดัชนี 6
  • กลุ่มไอโคไซเทตราโคริกที่ขยายAut ( F ₄ ) , [[3,4,3]], () มีคำสั่ง 2304, (Du Val #48 (O/O;O/O) ^* , Conway ±[O×O].2).
    • กลุ่ม ไอโคไซเทตราโคริกขยายไครัล , [[3,4,3]] ⁺ , () มีลำดับที่ 1152 (Du Val #25 (O/O;O/O), Conway ±[OxO]) กลุ่มนี้แสดงถึงการสร้างเซลล์omnisnub 24 เซลล์แม้ว่าจะไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานเดียวกันได้ก็ตาม
  • กลุ่มไอโคไซเตตราคอริกที่ลดลงแบบไอออนิก [3 ⁺ ,4,3] และ [3,4,3 ⁺ ], (หรือ) มีลำดับที่ 576 (Du Val #43 (T/T;T/T) ^* , Conway ±[T×T].2) กลุ่มนี้ทำให้เกิดsnub 24-cellที่มีโครงสร้างหรือ.
    • กลุ่มไอโคไซเทตราโคริกที่ลดลงสองเท่า [3 ⁺ ,4,3 ⁺ ] (การลดลงสองเท่าสามารถแสดงได้ด้วยช่องว่างในแผนภาพสาขา 4:), ลำดับที่ 288, (Du Val #20 (T/T;T/T), Conway ±[T×T]) เป็นกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของ [3,4,3]
      • สามารถขยายได้เป็น [[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]], () ลำดับที่ 576, (Du Val #23 (T/T;O/O), Conway ±[OxT])
  • กลุ่มไครัลไอโคไซเตตราโคริกคือ [3,4,3] ⁺ , (), ลำดับที่ 576, (Du Val #28 (O/T;O/T), Conway ± ¹ / ₂ [O×O])
    • กลุ่มไครัลไอโคไซเตตราโคริกที่ขยายออกไป [[3,4,3] ⁺ ] มีลำดับ 1152 (Du Val #46 (O/T;O/T) ₋ ^* , Conway ± ¹ / ₂ [OxO]. 2 ) Coxeter เชื่อมโยงกลุ่มนี้กับกลุ่มนามธรรม (4,8|2,3) ^{[ 13 ]}

• กลุ่มเดมิเทสเซอแร็กติก – D ₄ , [3 ^1,1,1 ], [3,3 ^1,1 ] หรือ [3,3,4,1 ⁺ ], (=), ลำดับที่ 192, (Du Val #42 (T/V;T/V) ₋ ^* , Conway ± ¹ / ₃ [T× T ].2), ตั้งชื่อตาม โครงสร้าง 4-เดมิ คิวบ์ (เดมิเทสเซอแร็กต์) ของ 16 เซลล์,หรือในกลุ่มสมมาตรนี้มีกระจก 12 บาน
  • มีสมมาตรแบบขยายสองประเภทโดยการเพิ่มกระจก: <[3,3 ^1,1 ]> ซึ่งกลายเป็น [4,3,3] โดยการแบ่งครึ่งโดเมนพื้นฐานด้วยกระจก โดยมีทิศทางที่เป็นไปได้ 3 ทิศทาง และกลุ่มขยายแบบเต็ม [3[3 ^1,1,1 ]] กลายเป็น [3,4,3]
  • กลุ่มไครัลเดมิเทสเซอแร็กติกคือ [3 ^1,1,1 ] ⁺หรือ [1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], (=), ลำดับที่ 96, (Du Val #22 (T/V;T/V), Conway ± ¹ / ₃ [T×T]) กลุ่มนี้ทำให้เกิดsnub 24-cellที่มีโครงสร้าง=.

[5,3,3] +การหมุนวนลำดับที่ 5 จำนวน 72 ครั้ง	[5,3,3] +การหมุนวนลำดับที่ 3 จำนวน 200 ครั้ง
[5,3,3] + 450 ไจเรชันลำดับที่ 2	[5,3,3] +การหมุนทั้งหมด
[5,3]กลุ่มพีระมิดทรงยี่สิบหน้ามีโครงสร้างเหมือนกับสมมาตรทรงยี่สิบหน้า สามมิติ

• กลุ่มเฮกซาโคซิโคริก – H ₄ , [5,3,3], (), ลำดับที่ 14400, (Du Val #50 (I/I;I/I) ^* , Conway ±[I×I].2), ตั้งชื่อตามเซลล์ 600 เซลล์ (hexacosichoron)บางครั้งก็เรียกว่ากลุ่มไฮเปอร์ไอโคซาเฮดรัลสำหรับการขยายกลุ่มไอโคซาเฮดรัล 3 มิติ [5,3] และกลุ่มเฮคาโทนิโคซาโคริกหรือกลุ่มโดเดคาคอนทาโคริกจากเซลล์ 120เซลล์.
  • กลุ่มเฮกซาโคซิโคริกไครัลคือ [5,3,3] ⁺ , (), ลำดับที่ 7200, (Du Val #30 (I/I;I/I), Conway ±[I×I]) กลุ่มนี้แสดงถึงการสร้างsnub 120-cellแม้ว่าจะไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานเดียวกันได้ก็ตาม
  • กลุ่มย่อยสะท้อนดัชนีสูงคือสมมาตรทรงยี่สิบเหลี่ยมปริซึม [5,3,2], (), ลำดับที่ 240, ดัชนีกลุ่มย่อย 60, (Du Val #49 (I/C ₂ ;I/C ₂ ) ^* , Conway ± ¹ / ₆₀ [IxI].2)
    • กลุ่มย่อยไครัลของมันคือ [5,3,2] ⁺ , (), ลำดับที่ 120, (Du Val #31 (I/C ₂ ;I/C ₂ ), Conway ± ¹ / ₆₀ [IxI]) กลุ่มนี้แสดงถึงการสร้างแอนติปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยมแบบสนับแม้ว่าจะไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานเดียวกันได้ก็ตาม
    • กลุ่มย่อยไอออนิกคือ [(5,3) ⁺ ,2], (), ลำดับที่ 120, (Du Val #49' (I/C ₁ ;I/C ₁ ) ^* , Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₁ ) กลุ่มนี้แสดงถึงการสร้างปริซึมทรงสิบสองเหลี่ยมแบบเฉียง.
    • กลุ่มย่อยครึ่งหนึ่งคือ [5,3,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] = [5,3], (=), ลำดับ 120, (Du Val #49" (I/C ₁ ;I/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ ) เรียกว่ากลุ่มพีระมิดไอโคซาเฮดรัลและเป็นกลุ่มไอโคซาเฮดรัล 3 มิติ [5,3] พีระมิดโดเดคาเฮดรัล ปกติ สามารถมีสมมาตรนี้ได้ โดยมีสัญลักษณ์ Schläfli : ( ) ∨ {5,3}
      • กลุ่มย่อยไครัลครึ่งกลุ่มคือ [(5,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] ⁺ = [5,3] ⁺ , (=), ลำดับที่ 60, (Du Val #31' (I/C ₁ ;I/C ₁ ), Conway + ¹ / ₆₀ [IxI]) นี่คือกลุ่มไอโคซาเฮดรัลไครัล 3 มิติ , [5,3] ⁺พีระมิดโดเดคาเฮดรัลแบบสนับสามารถมีสมมาตรนี้ได้ โดยมีสัญลักษณ์ Schläfli : ( ) ∨ sr{5,3}

• กลุ่มดูโอปริซึม – [p,2,q], (), ลำดับ 4 pqมีอยู่สำหรับทุก 2 ≤  p , q  < ∞ มีกระจก p+q ในสมมาตรนี้ ซึ่งสามารถแยกออกเป็นสองเซตเชิงตั้งฉากของกระจก p และ q ของสมมาตรไดเฮดรัล ได้อย่างง่ายดาย : [p] และ [q]
  • กลุ่มย่อยไครัลคือ [p,2,p] ⁺ ,(), ลำดับ 2 pqสามารถคูณสองได้เป็น [[2p,2,2p] ⁺ ]
  • ถ้า p และ q เท่ากัน [p,2,p], () สมมาตรสามารถเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าได้เป็น [[p,2,p]], ()
    • การคูณสอง: [[2 ⁺ ,2,p ⁺ ]], (), [[2p,2 ⁺ ,2p]], [[2p ⁺ ,2 ⁺ ,2p ^​​+ ]]
  • [p,2,∞], () ซึ่งแสดงถึงกลุ่มเส้นในปริภูมิ 3 มิติ
  • [∞,2,∞], () มันแสดงถึงสมมาตรระนาบยูคลิดด้วยชุดกระจกขนานสองชุดและโดเมนสี่เหลี่ยมผืนผ้า ( ออร์บิโฟลด์ *2222)
  • กลุ่มย่อยได้แก่: [p ⁺ ,2,q], (), [p,2,q ⁺ ], (), [p ⁺ ,2,q ⁺ ], ()
  • และสำหรับค่าคู่: [2p,2 ⁺ ,2q], (), [2p,2 ⁺ ,2q ⁺ ], (), [(p,2) ⁺ ,2q], (), [2p,(2,q) ⁺ ], (), [(p,2) ⁺ ,2q ⁺ ], (), [2p ⁺ ,(2,q) ⁺ ], (), [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ], (), และกลุ่มย่อยคอมมิวเนเตอร์ ดัชนี 16, [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ] ⁺ , ()
• กลุ่มปริซึมคู่แนวทแยง – [2,2,2], (), ลำดับที่ 16.
  • กลุ่มย่อยไครัลคือ [2,2,2] ⁺ , (), ลำดับที่ 8.
  • ขยาย [[2,2,2]], (), ลำดับที่ 32. ปริซึมคู่ 4-4มีสมมาตรแบบขยายนี้.
    • กลุ่มขยายไครัลคือ [[2,2,2]] ⁺ลำดับที่ 16
    • กลุ่มย่อยไครัลแบบขยายคือ [[2,2,2] ⁺ ], อันดับ 16 พร้อมด้วย ตัวสร้าง โรเตอร์รีเฟลกชันมันสมมาตรกับกลุ่มนามธรรม (4,4|2,2)
  • สมมาตรแบบขยายอื่นๆ [(3,3)[2,2,2]]=[4,3,3], ลำดับ 384, #สมมาตรเฮกซาเดคาโคริก เทสเซอแร็ กต์มีสมมาตรนี้ เนื่องจากหรือ.
  • กลุ่มย่อยไอออนิกที่ลดลงคือ [2 ⁺ ,2,2] อันดับ 8
    • กลุ่มย่อยที่ลดลงสองเท่าคือ [2 ⁺ ,2,2 ⁺ ], อันดับ 4
      • ขยายเป็น [[2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]], ลำดับที่ 8
    • กลุ่มย่อยการสะท้อนของโรเตอร์คือ [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2], [2,2 ⁺ ,2 ⁺ ], [2 ⁺ ,(2,2) ⁺ ], [(2,2) ⁺ ,2 ⁺ ] ลำดับที่ 4
    • กลุ่มย่อยที่ลดลงสามเท่าคือ [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ], () ลำดับที่ 2 เป็นการหมุนสองเท่า แบบ 2 เท่า และการผกผันศูนย์กลาง แบบ 4 มิติ
  • กลุ่มย่อยครึ่งหนึ่งคือ [1 ⁺ ,2,2,2]=[1,2,2] อันดับ 8
• กลุ่มปริซึมคู่รูปสามเหลี่ยม – [3,2,3]ลำดับที่ 36
  • กลุ่มย่อยไครัลคือ [3,2,3] ⁺ลำดับที่ 18
  • ขยาย [[3,2,3]], ลำดับที่ 72 ปริซึมคู่ 3-3มีสมมาตรแบบขยายนี้.
    • กลุ่มขยายไครัลคือ [[3,2,3]] ⁺ลำดับที่ 36
    • กลุ่มย่อยไครัลแบบขยายคือ [[3,2,3] ⁺ ], อันดับ 36 พร้อมด้วย ตัวสร้าง โรเตอร์รีเฟลกชันมันสมมาตรกับกลุ่มนามธรรม (4,4|2,3)
  • ส่วนขยายอื่นๆ [[3],2,3], [3,2,[3]], ลำดับ 72 และมีความสมมาตรกับ [6,2,3] และ [3,2,6]
  • และ3 ,2, 3ลำดับ 144 และสมมาตรกับ [6,2,6]
  • และ3 ,2,[3]]], ลำดับ 288, ไอโซมอร์ฟิกกับ [[6,2,6]] ปริซึมคู่ 6–6มีสมมาตรนี้ เนื่องจากหรือ.
  • กลุ่มย่อยไอออนิกที่ลดลงคือ [3 ⁺ ,2,3], [3,2,3 ⁺ ], ลำดับที่ 18
    • กลุ่มย่อยที่ลดลงสองเท่าคือ [3 ⁺ ,2,3 ⁺ ], อันดับ 9
      • ขยายเป็น [[3 ⁺ ,2,3 ⁺ ]], ลำดับที่ 18
  • กลุ่มย่อยที่มีดัชนีสูงคือ [3,2] ลำดับที่ 12 ดัชนี 3 ซึ่งสมมาตรกับ กลุ่มสมมาตรไดเฮ ด รัลในสามมิติ [3,2] D _3h
    • [3,2] ⁺ , ลำดับที่ 6
• กลุ่มปริซึมคู่สี่เหลี่ยม – [4,2,4]ลำดับที่ 64
  • กลุ่มย่อยไครัลคือ [4,2,4] ⁺ลำดับที่ 32
  • ขยาย [[4,2,4]], ลำดับที่ 128 ปริซึมคู่ 4–4มีสมมาตรแบบขยายนี้.
    • กลุ่มขยายไครัลคือ [[4,2,4]] ⁺ลำดับที่ 64
    • กลุ่มย่อยไครัลแบบขยายคือ [[4,2,4] ⁺ ], อันดับ 64 พร้อมด้วย ตัวสร้าง โรเตอร์รีเฟลกชันมันสมมาตรกับกลุ่มนามธรรม (4,4|2,4)
  • ส่วนขยายอื่นๆ [[4],2,4], [4,2,[4]], ลำดับ 128 และมีความสมมาตรกับ [8,2,4] และ [4,2,8] ปริซึมคู่ 4–8มีสมมาตรนี้ เนื่องจากหรือ.
  • และ4 ,2, 4 , ลำดับ 256 และสมมาตรกับ [8,2,8]
  • และ [[[4]],2,[4]]] ลำดับ 512 ไอโซมอร์ฟิกกับ [[8,2,8]] ปริซึมคู่ 8–8มีสมมาตรนี้ เนื่องจากหรือ.
  • กลุ่มย่อยไอออนิกที่ลดลงคือ [4 ⁺ ,2,4], [4,2,4 ⁺ ], ลำดับที่ 32
    • กลุ่มย่อยที่ลดลงสองเท่าคือ [4 ⁺ ,2,4 ⁺ ], อันดับ 16
      • ขยายเป็น [[4 ⁺ ,2,4 ⁺ ]], ลำดับที่ 32
    • กลุ่มย่อยการสะท้อนของโรเตอร์คือ [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4], [4,2 ⁺ ,4 ⁺ ], [4 ⁺ ,(2,4) ⁺ ], [(4,2) ⁺ ,4 ⁺ ], (,,,) ลำดับที่ 16.
    • กลุ่มย่อยที่ลดลงสามเท่าคือ [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ], (), ลำดับที่ 8.
  • กลุ่มย่อยครึ่งคือ [1 ⁺ ,4,2,4]=[2,2,4], (), [4,2,4,1 ⁺ ]=[4,2,2], (), ลำดับที่ 32.
    • [1 ⁺ ,4,2,4] ⁺ =[2,2,4] ⁺ , (), [4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ =[4,2,2] ⁺ , (), ลำดับที่ 16.
  • กลุ่มย่อยครึ่งหนึ่งอีกครั้งคือ [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ]=[2,2,2], (), ลำดับที่ 16.
    • [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ = [1 ⁺ ,4,2 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2,2,2] ⁺ , () ลำดับที่ 8