การสลายตัวแบบโพลาร์

ในทางคณิตศาสตร์การแยกตัวประกอบเชิงขั้วของเมทริกซ์ จัตุรัส จริงหรือเชิงซ้อน คือการแยกตัวประกอบในรูปแบบโดยที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์และเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชีย นกึ่งบวก ( เป็น เมท ริกซ์เชิงตั้งฉากและ เป็น เมทริกซ์สมมาตรกึ่งบวกในกรณีจริง) ทั้งสองเป็นเมทริกซ์จัตุรัสและมีขนาดเท่ากัน^[¹^] $A$ $A=UP$ $U$ $P$ $U$ $P$

หาก เมทริกซ์จริงถูกตีความว่าเป็นการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิ n มิติการแยกส่วนเชิงขั้วจะแยกเมทริกซ์นั้นออกเป็นการหมุนหรือการสะท้อนของปริภูมิและการปรับขนาดของปริภูมิตามชุดของแกนตั้งฉาก $n\times n$ $A$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

การแยกส่วนเชิงขั้วของเมทริกซ์จัตุรัสมีอยู่เสมอ ถ้า เมทริกซ์ ผกผันได้การแยกส่วนจะมีเพียงหนึ่งเดียว และตัวประกอบจะเป็นบวกแน่นอนในกรณีนั้น เมทริกซ์สามารถเขียนได้เพียงหนึ่งเดียวในรูปแบบโดยที่เมทริกซ์เอกภาพ และ เป็น ลอการิทึมสมมาตรในตัวเองเพียงหนึ่งเดียวของเมทริกซ์[ ²^]^การแยกส่วนนี้มีประโยชน์ในการคำนวณกลุ่มพื้นฐาน ของ กลุ่มLie (เมทริกซ์) ^[³^] $A$ $A$ $P$ $A$ $A=Ue^{X}$ $U$ $X$ $P$

การแยกส่วนเชิงขั้วสามารถนิยามได้อีกแบบหนึ่งว่าโดยที่เป็นเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอนที่มีค่าลักษณะเฉพาะเหมือนกับแต่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน $A=P'U$ $P'=UPU^{-1}$ $P$

การแยกตัวประกอบเชิงขั้วของเมทริกซ์สามารถมองได้ว่าเป็นเมทริกซ์ที่เทียบเคียงได้กับรูปแบบเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่คือค่าสัมบูรณ์ ของจำนวนเชิงซ้อน ( จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ) และคือจำนวนเชิงซ้อนที่มีขนาดเท่ากับหนึ่ง (สมาชิกของกลุ่มวงกลม ) $z$ $z=ur$ $r$ $u$

นิยามนี้อาจขยายไปถึงเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าได้โดยกำหนดให้เป็น เมทริก ซ์กึ่งเอกภาพและเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนบวกกึ่งกำหนด การแยกส่วนมีอยู่เสมอ และเป็นเอกลักษณ์เสมอ เมทริกซ์จะเป็นเอกลักษณ์ก็ต่อเมื่อมีอันดับเต็ม^[⁴^] $A=UP$ $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ $P$ $U$ $A$

การตีความทางเรขาคณิต

เมทริกซ์จัตุรัสจริงสามารถตีความได้ว่าเป็นการแปลงเชิงเส้นของที่แปลงเวกเตอร์คอลัมน์ไปเป็น จากนั้น ในการแยกส่วนแบบเชิงขั้วตัวประกอบคือเมทริกซ์ตั้งฉากจริง การแยกส่วนแบบเชิงขั้วจึงสามารถมองได้ว่าเป็นการแสดงการแปลงเชิงเส้นที่กำหนดโดย ไปสู่การปรับขนาดของปริภูมิไปตามเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแต่ละตัวของโดยตัวประกอบการปรับขนาด(การกระทำของ) ตามด้วยการหมุนของ(การกระทำของ) $m\times m$ $A$ $\mathbb {R} ^{m}$ $x$ $Ax$ $A=RP$ $R$ $m\times m$ $A$ $\mathbb {R} ^{m}$ $e_{i}$ $P$ $\sigma _{i}$ $P$ $\mathbb {R} ^{m}$ $R$

อีกทางเลือกหนึ่ง การแยกส่วนแสดงการแปลงที่กำหนดโดยเป็นการหมุน ( ) ตามด้วยการปรับขนาด ( ) ตามทิศทางตั้งฉากบางทิศทาง ปัจจัยการปรับขนาดเหมือนกัน แต่ทิศทางต่างกัน $A=PR$ $A$ $R$ $P$

คุณสมบัติ

ให้A เป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนที่มีการแยกส่วนเชิงขั้วการแยกส่วนเชิงขั้วของคู่สังยุคเชิงซ้อนของAจะได้จากโปรดสังเกตว่า จะให้การแยกส่วนเชิงขั้วที่สอดคล้องกันของดีเทอร์มิแนนต์ของ A เนื่องจากและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า A มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 แล้วทั้ง A และ A จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 $A$ $n\times n$ $A=UP.$ $A$ ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ $\det A=\det U\det P=e^{i\theta }r$ $\det U=e^{i\theta },$ $\det P=r=|\det A|.$ $A$ $U$ $P$

เมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดPจะมีเอกลักษณ์เสมอ แม้ว่าAจะเป็นเมทริกซ์เอกฐานและสามารถหาได้จาก โดย ที่แทนการสลับตำแหน่งสังยุคของโดยที่เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนบวกกึ่งกำหนด และด้วยเหตุนี้ จึงมีราก ที่สองของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนบวกกึ่ง กำหนด ที่มีเอกลักษณ์ ^[⁵^]ถ้าAสามารถผกผันได้P ก็ จะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด ดังนั้นจึงสามารถผกผันได้เช่นกัน และเมทริกซ์Uจะถูกกำหนดอย่างมีเอกลักษณ์โดย $P=(A^{*}A)^{1/2},$ $A^{*}$ $A$ $A^{*}A$ $U=AP^{-1}.$

ความสัมพันธ์กับ SVD

ในแง่ของการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ (SVD) ของ, , จะได้ว่า โดยที่, , และเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ( เมทริกซ์ตั้งฉากกันหากฟิลด์เป็นจำนวนจริง) ซึ่งยืนยันว่าเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด และเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้น การมีอยู่ของ SVD จึงเทียบเท่ากับการมีอยู่ของการแยกส่วนเชิงขั้ว $A$ $A=W\Sigma V^{*}$ ${\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*},\\U&=WV^{*},\end{aligned}}$ $U$ $V$ $W$ $\mathbb {R}$ $P$ $U$

นอกจากนี้ยังสามารถแยกส่วนได้ในรูปแบบ ดังนี้ ซึ่งก็เหมือนกับก่อนหน้านี้ และกำหนดโดย นี่เรียกว่าการแยกส่วนแบบขั้วซ้าย ในขณะที่การแยกส่วนแบบก่อนหน้านี้เรียกว่าการแยกส่วนแบบขั้วขวา การแยกส่วนแบบขั้วซ้ายยังเรียกว่าการแยกส่วนแบบขั้วย้อนกลับอีกด้วย $A$ $A=P'U.$ $U$ $P'$ $P'=UPU^{-1}=(AA^{*})^{1/2}=W\Sigma W^{*}.$

การแยกตัวประกอบเชิงขั้วของเมทริกซ์จัตุรัสที่ผกผันได้จริงจะมีรูปแบบดังนี้ โดยที่เป็นเมทริกซ์บวกกำหนดและเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก $A$ $A=[A]R,$ $[A]\equiv \left(AA^{\mathsf {T}}\right)^{1/2}$ $R=[A]^{-1}A$

ความสัมพันธ์กับเมทริกซ์ปกติ

เมทริกซ์ที่มีการแยกส่วนเชิงขั้วจะเป็น เมทริกซ์ ปกติก็ต่อเมื่อและสลับที่ได้ ( ) หรือเทียบเท่ากับเมท ริกซ์ทั้งสอง สามารถ ทำให้ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้พร้อมกัน $A$ $A=UP$ $U$ $P$ $UP=PU$

การก่อสร้างและหลักฐานการมีอยู่

แนวคิดหลักเบื้องหลังการสร้างการแยกส่วนเชิงขั้วนั้นคล้ายคลึงกับแนวคิดที่ใช้ในการคำนวณการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์

การหาอนุพันธ์สำหรับเมทริกซ์ปกติ

ถ้าเมท ริกซ์ ปกติจะเทียบเท่ากับเมทริกซ์ทแยงมุมแบบเอกภาพ: สำหรับเมทริกซ์เอกภาพบางตัวและเมทริกซ์ทแยงมุมบางตัวสิ่งนี้ทำให้การหาการแยกส่วนเชิงขั้วของมันทำได้ง่ายเป็นพิเศษ เนื่องจากเราสามารถเขียนได้ว่า $A$ $A=V\Lambda V^{*}$ $V$ $\Lambda ~.$ $A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},$

โดยที่คือเมทริกซ์ของค่าสัมบูรณ์ในแนวทแยง และคือเมทริกซ์แนวทแยงที่ประกอบด้วยเฟสขององค์ประกอบของนั่นคือเมื่อและเมื่อ $|\Lambda |$ $\Phi _{\Lambda }$ $\Lambda ,$ $(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|$ $\Lambda _{ii}\neq 0,$ $(\Phi _{\Lambda })_{ii}=1$ $\Lambda _{ii}=0~.$

ดังนั้น การแยกส่วนเชิงขั้วจึงเป็นแบบมีและแนวทแยงในฐานค่าลักษณะเฉพาะของและมีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับเฟสและค่าสัมบูรณ์ของค่าลักษณะเฉพาะของตามลำดับ $A=UP,$ $U$ $P$ $A$ $A,$

การหาอนุพันธ์ของเมทริกซ์ผกผัน

จากการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์สามารถแสดงได้ว่าเมทริกซ์สามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อ(เทียบเท่ากับ) เท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะของไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด^[⁶^] $A$ $A^{*}A$ $AA^{*}$ $A^{*}A$

ในกรณีนี้ การแยกส่วนเชิงขั้วได้มาโดยตรงจากการเขียน และสังเกตว่าเป็นเอกภาพ เพื่อให้เห็นเช่นนี้ เราสามารถใช้ประโยชน์จากการแยกส่วนเชิงสเปกตรัมของเพื่อเขียน $A=A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},$ $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$ $A^{*}A$ $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=AVD^{-1/2}V^{*}$

ในนิพจน์นี้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์เพราะเป็นเช่นนั้น เพื่อแสดงว่า ก็เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์เช่นกัน เราสามารถใช้การแยกค่าเอกลักษณ์ (SVD)เพื่อเขียนดังนั้น โดยที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยการสร้าง $V^{*}$ $V$ $AVD^{-1/2}$ $A=WD^{1/2}V^{*}$ $AVD^{-1/2}=WD^{1/2}V^{*}VD^{-1/2}=W,$ $W$

อีกวิธีหนึ่งที่จะแสดงให้เห็นถึงความเป็นเอกภาพของเมทริกซ์โดยตรงคือ การสังเกตว่า เมื่อเขียน การแยกค่าเอกลักษณ์ ของ เมท ริกซ์ในรูปของเมทริกซ์อันดับ 1 เป็น โดยที่คือค่าเอกลักษณ์ของ เมทริกซ์ เราจะได้ ซึ่งบ่งชี้โดยตรงถึงความเป็นเอกภาพของเมทริกซ์ เนื่องจากเมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์เอกภาพก็ต่อเมื่อค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์มีค่าสัมบูรณ์เป็นเอกภาพ $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$ $A$ ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$ $s_{k}$ $A$ $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},$ $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$

โปรดสังเกตว่า จากโครงสร้างข้างต้น จะได้ว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์ในการแยกส่วนเชิงขั้วของเมทริกซ์ผกผันนั้น ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน

การอนุมานทั่วไป

การแยก ค่าเอกลักษณ์ (SVD) ของเมทริกซ์จัตุรัสเขียนได้เป็น โดยที่เมทริกซ์เอกภาพ และเมทริกซ์ทแยงมุมบวกกึ่งกำหนด โดยการแทรกคู่s หรือs เพิ่มเติม เราจะได้รูปแบบการแยกส่วนเชิงขั้วสองรูปแบบของ: โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าการแยกค่าเอกลักษณ์ของมันสามารถเขียนได้เป็น โดยที่และเป็นไอโซเมตรีที่มีมิติและตามลำดับ โดยที่และเป็นเมทริกซ์จัตุรัสบวกกึ่งกำหนดทแยงมุมที่มีมิติเราสามารถใช้เหตุผลเดียวกันกับที่ใช้ในสมการข้างต้นเพื่อเขียน ได้แต่ในที่นี้โดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่เมทริกซ์เอกภาพ อย่างไรก็ตามมีขอบเขตและช่วงเดียวกันกับและเป็นไปตามเงื่อนไขและสิ่งนี้ทำให้เป็นไอโซเมตรีเมื่อการกระทำของมันถูกจำกัดไว้บนขอบเขตของนั่นคือ หมายความว่าเป็น ไอโซเม ตรีบางส่วน $A$ $A=WD^{1/2}V^{*}$ $W,V$ $D$ $W$ $V$ $A$ $A=WD^{1/2}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{1/2}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{1/2}V^{*}\right)} _{P'}.$ $A$ $n\times m$ $A=WD^{1/2}V^{*}$ $W$ $V$ $n\times r$ $m\times r$ $r\equiv \operatorname {rank} (A)$ $D$ $r\times r$ $A=PU=UP'$ $U\equiv WV^{*}$ $U$ $A$ $U^{*}U=VV^{*}$ $UU^{*}=WW^{*}$ $U$ $A$ $U$

เพื่อเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของกรณีทั่วไปนี้ ลองพิจารณาการแยกค่าเอกลักษณ์ (SVD) ของเมทริกซ์ต่อไปนี้: เราจะได้ซึ่งเป็นไอโซเมตรี แต่ไม่ใช่ยูนิแทรี ในทางกลับกัน ถ้าเราพิจารณาการแยกส่วนของเราจะได้ซึ่งเป็นไอโซเมตรีบางส่วน (แต่ไม่ใช่ไอโซเมตรี) $A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.$ $WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$ $A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$ $WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$

ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต

การแยกส่วนเชิงขั้วของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต ใดๆ Aระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ต เชิงซ้อน คือการแยกส่วนแบบแคนอนิก ซึ่งเป็นผลคูณของไอโซเมตรีบางส่วนและตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบ

การแยกส่วนเชิงขั้วสำหรับเมทริกซ์สามารถสรุปได้ดังนี้: ถ้าAเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต จะมีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของAเป็นผลคูณA = UPโดยที่Uเป็นไอโซเมตรีบางส่วนPเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่ไม่เป็นลบ และปริภูมิเริ่มต้นของU คือส่วนปิด ของช่วงของP

ตัวดำเนินการUจะต้องอ่อนตัวลงเป็นไอโซเมตรีบางส่วน แทนที่จะเป็นยูนิแทรี เนื่องจากปัญหาต่อไปนี้ ถ้าAคือการเลื่อนด้านเดียวบนl ² ( N ) แล้ว | A | = { A ^* A } ^1/2 = Iดังนั้น ถ้าA = U | A |, Uจะต้องเป็นAซึ่งไม่ใช่ยูนิแทรี

การมีอยู่ของการแยกส่วนเชิงขั้วเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของดักลาส :

บทตั้ง—ถ้าAและBเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHและA ^* A ≤ B ^* Bแล้วจะมีตัวหดตัวC อยู่จริง ซึ่งทำให้A = CBยิ่งไปกว่านั้นCจะมีเพียงหนึ่งเดียวก็ต่อเมื่อ ker( B ^* ) ⊂ ker( C )

ตัวดำเนินการCสามารถกำหนดได้โดยC ( Bh ) := AhสำหรับทุกhในHซึ่งขยายโดยความต่อเนื่องไปยังการปิดของRan ( B ) และโดยศูนย์บนส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของH ทั้งหมด จากนั้น บทพิสูจน์ย่อยก็เป็นไปตามนั้น เนื่องจากA ^* A ≤ B ^* Bหมายความว่า ker( B ) ⊂ ker( A )

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าA ^* A = B ^* Bแล้วCเป็นไอโซเมตรีบางส่วน ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ก็ต่อเมื่อ ker( B ^* ) ⊂ ker( C ) โดยทั่วไป สำหรับตัวดำเนินการที่มีขอบเขตใดๆA โดย ที่ ( A ^* A ) ^1/2เป็นรากที่สองบวกที่ไม่ซ้ำกันของA ^* Aที่กำหนดโดยแคลคูลัสเชิงฟังก์ชัน ตามปกติ ดังนั้นโดยบทพิสูจน์ เราจึงมี ไอโซเมตรีบางส่วน U บางตัวซึ่งเป็นเอกลักษณ์ก็ต่อเมื่อ ker( A ^* ) ⊂ ker( U ) ให้Pเป็น ( A ^* A ) ^1/2แล้วจะได้การแยกส่วนเชิงขั้วA = UPสังเกตว่าสามารถใช้ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันเพื่อแสดงว่าA = P'U 'โดยที่P'เป็นบวกและU ' เป็น ไอโซเมตรีบางส่วน $A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},$ $A=U\left(A^{*}A\right)^{1/2}$

เมื่อHมีมิติจำกัดUสามารถขยายไปเป็นตัวดำเนินการเอกภาพได้ แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้น (ดูตัวอย่างข้างต้น) หรืออีกทางหนึ่ง สามารถแสดงการแยกส่วนเชิงขั้วได้โดยใช้การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ ในรูปแบบตัวดำเนิน การ

ด้วยคุณสมบัติของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่อง | A | จึงอยู่ในพีชคณิต C*ที่สร้างขึ้นโดยAข้อความที่คล้ายกันแต่มีเนื้อหาอ่อนกว่านั้นใช้ได้กับไอโซเมตรีบางส่วน: Uอยู่ในพีชคณิตฟอนนอยมันน์ที่สร้างขึ้นโดยAถ้าAสามารถผกผันได้ ส่วนขั้วUก็จะอยู่ในพีชคณิต C*เช่นกัน

ตัวดำเนินการไร้ขอบเขต

ถ้าAเป็นตัวดำเนินการแบบ ปิดที่มีขอบเขตจำกัดและกำหนดไว้อย่างหนาแน่น ระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน มันจะยังคงมีการแยกส่วนเชิงขั้ว (ที่ไม่ซ้ำกัน) โดยที่ | A | เป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่ไม่เป็นลบ (อาจไม่มีขอบเขตจำกัด) ที่มีโดเมนเดียวกับAและUเป็นไอโซเมตรีบางส่วนที่หายไปบนส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของช่วง ran(| A |) $A=U|A|,$

การพิสูจน์ใช้บทตั้งเดียวกันกับข้างต้น ซึ่งใช้ได้กับตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดขอบเขตโดยทั่วไป ถ้า dom( A ^*A ) = dom( B ^* B ) และA ^*Ah = B ^*Bhสำหรับทุกh ∈ dom( A ^*A ) แล้วจะมีไอโซเมตรีบางส่วนU อยู่จริง โดยที่A = UB U จะ มีเพียงหนึ่งเดียว ถ้า ran( B ) ^⊥ ⊂ ker( U ) ตัวดำเนินการAเป็นตัวดำเนินการปิดและกำหนดอย่างหนาแน่น ทำให้มั่นใจได้ว่าตัวดำเนินการA ^*Aเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง (มีโดเมนหนาแน่น) และด้วยเหตุนี้จึงอนุญาตให้กำหนด ( A ^*A ) ^1/2ได้ การใช้บทตั้งนี้จะทำให้เกิดการแยกส่วนแบบโพลาร์

ถ้าตัวดำเนินการไร้ขอบเขตAเกี่ยวข้องกับพีชคณิตฟอนนอยมันน์MและA = UPคือการแยกส่วนเชิงขั้วของมัน แล้วUจะอยู่ในMและการฉายภาพสเปกตรัมของP , 1 ( P ) ก็อยู่ใน M เช่นกัน สำหรับเซตบอเรลB ใดๆ ใน $[0, \infty$ )

การสลายตัวของขั้วควอเทอร์เนียน

การแยกส่วนเชิงขั้วของควอเทอร์เนียน ที่มีฐานควอเทอร์ เนียนเชิงตั้งฉาก ขึ้นอยู่กับทรงกลม 2 มิติหน่วยของรากที่สองของลบหนึ่งซึ่งเรียกว่าเวอร์เซอร์ขวาเมื่อกำหนด r ใดๆ บนทรงกลมนี้ และ มุม $-$ $π$ $<$ $a$ $\leq$ $π$ เวอร์เซอร์จะอยู่บนทรงกลม3 มิติ หน่วย ของสำหรับ $a$ $= 0$ และ $a$ $=$ $π$ เวอร์เซอร์จะเป็น 1 หรือ −1 โดยไม่คำนึงว่า r ใดถูก $เลือก$ นอร์มt $ของ$ ควอเทอร์เนียน $q$ คือระยะทางแบบยุคลิดจากจุดกำเนิดไปยัง $q$ เมื่อควอเทอร์เนียนไม่ใช่เพียงจำนวนจริง จะมี การแยกส่วนเชิงขั้ว ที่ไม่ซ้ำกัน : ในที่นี้ $r$ , $a$ , $t$ ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน โดยที่ $r$ เป็นเวอร์เซอร์ขวา( $r²$ $= -1$ ) $a$ สอดคล้องกับ $0$ $<$ $a$ $<$ $π$ และ $t$ > $0$ $\mathbb {H}$ $1,{\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}}$ ${\hat {r}}\in \{x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\in \mathbb {H} \setminus \mathbb {R} :x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$ ${\hat {r}}$ $e^{a{\hat {r}}}=\cos a+{\hat {r}}\sin a$ $\mathbb {H} .$ $q=t\exp(a{\hat {r}}).$

การแยกส่วนระนาบทางเลือก

ในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน การแยก ส่วนวงแหวนระนาบทางเลือกเกิดขึ้นดังต่อไปนี้:

ถ้า $x \neq 0$ , $z = x (1 + ε(y / x))$ คือการแยกส่วนเชิงขั้วของจำนวนคู่ $z = x + yε$ โดยที่ $ε 2 = 0$ กล่าวคือεเป็นจำนวนนิลโพเทนต์ในการแยกส่วนเชิงขั้วนี้ วงกลมหน่วยถูกแทนที่ด้วยเส้นตรง $x = 1$ มุมเชิงขั้วถูกแทนที่ด้วยความชันy / xและรัศมีxเป็นค่าลบในระนาบครึ่งซ้าย
ถ้า $x 2 \neq y 2$ แล้วไฮเปอร์โบลาหน่วย $x 2 - y 2 = 1$ และ ไฮเปอร์โบ ลาคู่ควบ $x 2 - y 2 = -1$ สามารถใช้สร้างการแยกส่วนเชิงขั้วโดยอาศัยสาขาของไฮเปอร์โบลาหน่วยที่ผ่าน $(1, 0)$ สาขานี้กำหนดพารามิเตอร์โดยมุมไฮเปอร์โบลาaและเขียนโดยที่ $j$ $2$ $= +1$ และ ใช้เลขคณิต^[⁷^]ของจำนวนเชิงซ้อนแบบแยก สาขาที่ผ่าน $(-1, 0)$ ถูกลากโดย − e ^ajเนื่องจากการดำเนินการคูณด้วยjสะท้อนจุดข้ามเส้น $y$ $=$ $x$ ไฮเปอร์โบลาคู่ควบจึงมี สาขาที่ลากโดยje ^ajหรือ − je ^ajดังนั้น จุดในหนึ่งในควอดแรนต์จึงมีการแยกส่วนเชิงขั้วในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง: เซต ${1, -1,$ $j$ $, -$ $j$ $}$ มีผลคูณที่ทำให้มันสม isomorphic กับKlein four-groupเห็นได้ชัดว่าการแยกส่วนเชิงขั้วในกรณีนี้เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบจากกลุ่มนั้น $\cosh a+j\sinh a=\exp(aj)=e^{aj},$ $re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0.$

การแยกส่วนเชิงขั้วขององค์ประกอบของพีชคณิต M(2, R) ของเมทริกซ์จริง 2 × 2 ใช้การแยกส่วนระนาบทางเลือกเหล่านี้ เนื่องจากพีชคณิตย่อยระนาบ ใด ๆ ก็ เป็นไอโซมอร์ฟิกกับจำนวนคู่ จำนวนเชิงซ้อนแบบแยก หรือจำนวนเชิงซ้อนธรรมดา

การหาค่าเชิงตัวเลขของการแยกส่วนเชิงขั้วของเมทริกซ์

ในการคำนวณค่าประมาณของการแยกส่วนเชิงขั้วA = UP โดยทั่วไป จะประมาณค่าตัวประกอบเอกภาพU ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}การวนซ้ำจะขึ้นอยู่กับวิธีของ Heronสำหรับรากที่สองของ1และคำนวณลำดับ โดยเริ่มจาก $U_{0}=A$ $U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$

เลือกใช้การผสมผสานระหว่างการผกผันและการผันแบบเฮอร์ไมต์เพื่อให้ในการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ ตัวประกอบเอกภาพยังคงเหมือนเดิม และการวนซ้ำจะลดลงเหลือเพียงวิธีของเฮรอนบนค่าเอกลักษณ์

สามารถปรับปรุงขั้นตอนพื้นฐานนี้เพื่อเพิ่มความเร็วในกระบวนการได้:

ในแต่ละขั้นตอนหรือในช่วงเวลาปกติ จะมีการประมาณช่วงของค่าเอกลักษณ์ของ เมทริกซ์ และจากนั้นจะปรับขนาดเมทริกซ์ใหม่เพื่อให้ค่าเอกลักษณ์อยู่ตรงกลางรอบ1 ตัวประกอบ การปรับขนาดคำนวณโดยใช้ค่ามาตรฐานของเมทริกซ์และเมทริกซ์ผกผัน ตัวอย่างของการประมาณค่าขนาดดังกล่าว ได้แก่ การใช้ ค่ามาตรฐานของผล รวมแถวและผลรวมคอลัมน์หรือ การใช้ค่ามาตรฐานของ Frobeniusเมื่อรวมตัวประกอบการปรับขนาดแล้ว การวนซ้ำจะเป็นดังนี้ $U_{k}$ $\gamma _{k}U_{k}$ $\gamma _{k}$ $\gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}$ $\gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}$ $U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$
การแยกส่วน QRสามารถนำมาใช้ในขั้นตอนการเตรียมการเพื่อลดเมทริกซ์เอกฐานAให้เป็นเมทริกซ์ปกติที่มีขนาดเล็กกว่า และสามารถนำมาใช้ในทุกขั้นตอนเพื่อเร่งความเร็วในการคำนวณเมทริกซ์ผกผันได้
วิธีของเฮรอนในการคำนวณรากของสมการสามารถแทนที่ด้วยวิธีการลำดับสูงกว่าได้ เช่นวิธีของฮัลลีย์ลำดับที่สาม ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ การวนซ้ำนี้สามารถนำไปรวมกับการปรับขนาดได้อีกครั้ง $x^{2}-1=0$ $U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$