ในโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ความเป็นขอบเขตโดยสมบูรณ์ ( totally-boundedness)เป็นการขยายความของความกะทัดรัด (compactness ) สำหรับสถานการณ์ที่เซตไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิดเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์สามารถถูกปกคลุมด้วยเซตย่อยจำนวนจำกัดที่มี "ขนาด" คงที่ทุกค่า (โดยความหมายของ "ขนาด" ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของปริภูมิโดยรอบ )

คำว่าprecompact (หรือpre-compact ) บางครั้งใช้ในความหมายเดียวกัน แต่ precompact ยังใช้ในความหมายว่ากระชับสัมพัทธ์ได้ อีกด้วย คำจำกัดความเหล่านี้ตรงกันสำหรับเซตย่อยของปริภูมิเมตริกสมบูรณ์แต่ไม่ตรงกันโดยทั่วไป

ปริภูมิเมตริก${\displaystyle (M,d)}$มีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน${\displaystyle \varepsilon >0}$มีกลุ่มของทรงกลมเปิดรัศมี ที่มีจำนวนจำกัดอยู่${\displaystyle \varepsilon }$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ในMและผลรวมของจุดศูนย์กลางเหล่านั้นประกอบด้วยMหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ปริภูมิเมตริกMมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆ ${\displaystyle \varepsilon >0}$มีชุดปกคลุมจำกัด อยู่ ชุดหนึ่ง ซึ่งรัศมีของแต่ละองค์ประกอบของชุดปกคลุมนั้นมีค่าไม่เกิน${\displaystyle \varepsilon }$. นี่เทียบเท่ากับการมีอยู่ของ ε-net ที่จำกัด[ 1 ^{]ปริภูมิเมตริก} มีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อลำดับทุกลำดับยอมรับลำดับย่อย โคชี ในปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ เซตจะกระชับก็ต่อเมื่อเซตนั้นปิดและมีขอบเขตโดยสมบูรณ์^{[ 2 ]}

แต่ละปริภูมิที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์จะมีขอบเขต (เช่นเดียวกับการรวมกันของเซตที่มีขอบเขตจำนวนจำกัดที่มีขอบเขต) ในทางกลับกัน เซตย่อยของปริภูมิยุคลิด (ที่มีโทโพโลยีของปริภูมิย่อย ) เป็นจริง แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น เซตอนันต์ที่มีเมตริกแบบ ไม่ต่อเนื่อง จะมีขอบเขตแต่ไม่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์: ^{[ 3 ]}ลูกบอลแบบไม่ต่อเนื่องทุกลูกที่มีรัศมี${\displaystyle \varepsilon =1/2}$หรือน้อยกว่านั้นคือเซตที่มีสมาชิกเดียว และไม่มีการรวมเซตที่มีสมาชิกเดียวจำนวนจำกัดใด ๆ ที่สามารถครอบคลุมเซตอนันต์ได้

• ในปริภูมิเมตริกเซตกระชับ ทุกเซต มีขอบเขตสมบูรณ์
• เซตที่มีขอบเขตทั้งหมดทุกเซตมีขอบเขต^{[ 5 ] [ 3 ]}
• เซตย่อยของเส้นจำนวนจริงหรือโดยทั่วไปแล้วของปริภูมิยูคลิด มิติจำกัด จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นมีขอบเขต
• โดยทั่วไปแล้ว หากปริภูมิเมตริกมีคุณสมบัติไฮน์-โบเรลเซตย่อยจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นมีขอบเขตโดยสมบูรณ์
• ทรงกลมหน่วยในปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือโดยทั่วไปในปริภูมิบานาค จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (ในโทโพโลยีของบรรทัดฐาน ) ก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นมีมิติ จำกัด
• ฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอและมีขอบเขตบนเซตกระชับจะเป็นฟังก์ชันพรีคอมแพ็กต์ในโทโพโลยีเอกรูปนี่คือทฤษฎีบทของอาร์เซลา-อัสโคลี
• ปริภูมิเมตริกสามารถแยกได้ก็ต่อเมื่อปริภูมิเมตริกนั้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิเมตริกที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์^{[ 3 ]}
• การปิดของเซตย่อยที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์อีกครั้ง^{[ 6 ]}

แม้ว่าแนวคิดเรื่องขอบเขตโดยสมบูรณ์จะมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปริภูมิเมตริก แต่โครงสร้างพีชคณิตที่ใหญ่กว่าของกลุ่มโทโพโลยีทำให้สามารถแลกเปลี่ยนคุณสมบัติการแยก บางส่วน ได้ ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิเมตริก เซตจะกระชับก็ต่อเมื่อสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ ภายใต้นิยามด้านล่างนี้ สิ่งเดียวกันนี้ใช้ได้กับปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีใดๆ (ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff หรือสมบูรณ์) ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

รูปแบบ เชิงตรรกะทั่วไปของคำนิยามคือ: เซตย่อย${\displaystyle S}$ของพื้นที่${\displaystyle X}$จะมีขอบเขตอย่างสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อกำหนดขนาด ใดๆ ก็ตาม${\displaystyle E,}$มีการปกคลุมแบบจำกัด อยู่${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$ของ${\displaystyle S}$โดยที่แต่ละองค์ประกอบของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$มีขนาดสูงสุด${\displaystyle E.}$${\displaystyle X}$ดังนั้น เซตนั้นจะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมีขอบเขตโดยสมบูรณ์เมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตย่อยของตัวมันเอง

เรายึดถือธรรมเนียมปฏิบัติที่ว่า สำหรับทุกย่าน${\displaystyle U\subseteq X}$ของเอกลักษณ์ ซึ่งเป็นเซตย่อย${\displaystyle S\subseteq X}$เรียกว่า ( ซ้าย )${\displaystyle U}$-เล็กก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$^{[ 6 ]} ชุดย่อย${\displaystyle S}$ของกลุ่มโทโพโลยี${\displaystyle X}$ถือว่า ( ซ้าย ) มีขอบเขตโดยสมบูรณ์หากตรงตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

1. คำจำกัดความ : สำหรับย่านใดๆ${\displaystyle U}$ของอัตลักษณ์${\displaystyle 0,}$มีอยู่จำนวนจำกัด${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$โดยที่${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right).}$
2. สำหรับทุกย่าน${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle 0,}$มีเซตย่อยจำกัดอยู่${\displaystyle F\subseteq X}$โดยที่${\displaystyle S\subseteq F+U}$(โดยที่ด้านขวามือคือผลรวมมินคอฟสกี)${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$)
3. สำหรับทุกย่าน${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle 0,}$มีเซตย่อยอยู่จำนวนจำกัด${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ของ${\displaystyle X}$โดยที่${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$และแต่ละ${\displaystyle B_{j}}$เป็น${\displaystyle U}$-เล็ก. ^{[ 6 ]}
4. สำหรับซับเบสตัวกรอง ใดๆ ก็ตาม${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ของ ตัวกรองบริเวณใกล้เคียงขององค์ประกอบเอกลักษณ์${\displaystyle {\mathcal {N}}}$(ซึ่งประกอบด้วยย่านต่างๆ ทั้งหมดของ${\displaystyle 0}$ใน${\displaystyle X}$) และสำหรับทุกๆ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$มีปกของ${\displaystyle S}$โดยจำนวนจำกัด${\displaystyle B}$-กลุ่มย่อยขนาดเล็กของ${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
5. ${\displaystyle S}$มีขอบเขตตามแนวคิดของโคชี : สำหรับทุกย่าน${\displaystyle U}$ของเอกลักษณ์และเซตย่อยอนันต์ที่นับได้ ทุกเซต${\displaystyle I}$ของ${\displaystyle S,}$มีอยู่ที่แตกต่างกัน${\displaystyle x,y\in I}$โดยที่${\displaystyle xy\in U.}$^{[ 6 ]} (ถ้า${\displaystyle S}$ถ้าจำนวนเต็มมีค่าจำกัด เงื่อนไขนี้ก็จะเป็นจริงโดยปริยาย )
6. เซตใดเซตหนึ่งในสามเซตต่อไปนี้ตรงตาม (คำจำกัดความใดๆ ข้างต้น) การเป็นเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (ทางซ้าย):
   1. การปิด${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
      • การที่เซตนี้อยู่ในรายการหมายความว่าลักษณะต่อไปนี้เป็นจริง:${\displaystyle S}$(ซ้าย) ถูกจำกัดอย่างสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$(ด้านซ้าย) มีขอบเขตจำกัดโดยสมบูรณ์ (ตามเงื่อนไขที่กำหนดไว้ข้างต้น) ลักษณะเดียวกันนี้ใช้ได้กับเซตอื่นๆ ที่ระบุไว้ด้านล่าง
   2. ภาพของ${\displaystyle S}$ภายใต้ผลหารตามหลักการ${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$ซึ่งกำหนดโดย${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$(ที่ไหน${\displaystyle 0}$คือองค์ประกอบเอกลักษณ์)
   3. ผลรวม${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$^{[ 9 ]}

คำว่าpre-compactมักปรากฏในบริบทของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีของ Hausdorff ^{[ 10 ] [ 11 ]} ในกรณีนั้น เงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดก็เทียบเท่ากับ${\displaystyle S}$ถูกจำกัด (ทางซ้าย) อย่างสมบูรณ์:

7. ในการดำเนินการให้เสร็จสิ้น${\displaystyle {\widehat {X}}}$ของ${\displaystyle X,}$การปิด${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$ของ${\displaystyle S}$มีขนาดกะทัดรัด^{[ 10 ] [ 12 ]}
8. ตัวกรองอัลตร้าฟิลเตอร์ทุกตัวบน${\displaystyle S}$เป็นตัวกรองโคชี (Cauchy filter )

นิยามของขอบเขตที่ถูกต้องโดยสมบูรณ์นั้นคล้ายคลึงกัน กล่าวคือ เพียงแค่สลับลำดับของผลคูณเท่านั้น

เงื่อนไขที่ 4 หมายถึงเซตย่อยใดๆ ของ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$มีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (อันที่จริงคือ เซตกระชับ ดูหัวข้อ§  การเปรียบเทียบกับเซตกระชับด้านบน) ถ้า${\displaystyle X}$ตัวอย่างเช่น ถ้าอย่างนั้น Hausdorff ก็ไม่ใช่ Hausdorff ใช่ไหม${\displaystyle \{0\}}$เป็นชุดที่สมบูรณ์ขนาดกะทัดรัดซึ่งไม่ได้ปิดสนิท^{[ 6 ]}

• พื้นที่ขนาดกะทัดรัด
• พื้นที่ขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
• การวัดความไม่กะทัดรัด
• พื้นที่ออร์โธคอมแพค
• พื้นที่พาราคอมแพ็กต์
• พื้นที่ย่อยที่มีขนาดกะทัดรัดค่อนข้างมาก