ฟังก์ชันเฉพาะเชิงซ้อนของ ระบบ เชิงเส้นคงที่ตาม เวลา (LTI) ใดๆ จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}}$

จากสูตรของออยเลอร์ส่วนจริงของฟังก์ชันเฉพาะเหล่านี้คือไซน์ซอยด์ที่ลดลงแบบเลขชี้กำลัง:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}$

สภาวะคงที่แบบไซน์เป็นกรณีพิเศษที่แรงดันไฟฟ้าขาเข้าประกอบด้วยคลื่นไซน์บริสุทธิ์ (โดยไม่มีการลดลงแบบเอ็กซ์ponential) ดังนั้น

${\displaystyle \sigma =0}$

และการประเมินค่าของsจะกลายเป็น

${\displaystyle s=j\omega \,.}$

กระแสไฟฟ้าในวงจรมีค่าเท่ากันทุกจุด เนื่องจากวงจรต่อแบบอนุกรม:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนไปยังแรงดันเหนี่ยวนำคือ

${\displaystyle H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.}$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันถ่ายโอนไปยังแรงดันตัวต้านทานคือ

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับกระแสไฟฟ้าคือ

${\displaystyle H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}$

ผลต่างระหว่างส่วนประกอบทั้งสองหาได้จากการนำขนาดของนิพจน์ข้างต้นมาคำนวณ:

${\displaystyle G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

และ

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,}$

และมุมเฟสมีดังนี้:

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

และ

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}$

นิพจน์เหล่านี้สามารถแทนที่ลงในนิพจน์ปกติสำหรับเฟเซอร์ที่แสดงถึงเอาต์พุตได้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}}$

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นสำหรับแต่ละแรงดันไฟฟ้าคือการแปลงลาปลาส ผกผัน ของฟังก์ชันถ่ายโอนที่สอดคล้องกัน ซึ่งแสดงถึงการตอบสนองของวงจรต่อแรงดันไฟฟ้าขาเข้าที่ประกอบด้วยแรงกระตุ้นหรือฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของแรงดันไฟฟ้าของตัวเหนี่ยวนำคือ

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

โดยที่u ( t )คือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideและτ = L / Rคือค่าคงที่เวลา

ในทำนองเดียวกัน การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นสำหรับแรงดันไฟฟ้าของตัวต้านทานคือ

${\displaystyle h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}$

การตอบสนองแบบไม่มีอินพุต (Zero-Input Responseหรือ ZIR) หรือที่เรียกว่าการตอบสนองตามธรรมชาติของวงจร RL อธิบายถึงพฤติกรรมของวงจรหลังจากที่แรงดันและกระแสคงที่แล้ว และถูกตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งจ่ายไฟใดๆ เรียกว่าการตอบสนองแบบไม่มีอินพุตเพราะไม่ต้องการอินพุตใดๆ

ค่า ZIR ของวงจร RL คือ:

${\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}$

นี่คือ สมการ ในโดเมนความถี่การวิเคราะห์สมการเหล่านี้จะแสดงให้เห็นว่าวงจร (หรือตัวกรอง) ยอมให้ความถี่ใดบ้างผ่านและปฏิเสธความถี่ใดบ้าง การวิเคราะห์นี้ขึ้นอยู่กับการพิจารณาว่าค่าการขยายเหล่านี้จะเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อความถี่มีค่ามากและน้อยมาก

เมื่อω → ∞ :

${\displaystyle G_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

เมื่อω → 0 :

${\displaystyle G_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

นี่แสดงให้เห็นว่า ถ้าวัดสัญญาณเอาต์พุตผ่านตัวเหนี่ยวนำ ความถี่สูงจะผ่านไปได้ และความถี่ต่ำจะถูกลดทอน (ตัดทิ้ง) ดังนั้น วงจรจึงทำงานเหมือนตัวกรองความถี่สูงแต่ถ้าวัดสัญญาณเอาต์พุตผ่านตัวต้านทาน ความถี่สูงจะถูกตัดทิ้ง และความถี่ต่ำจะผ่านไปได้ ในการกำหนดค่านี้ วงจรจะทำงานเหมือนตัวกรองความถี่ต่ำลองเปรียบเทียบกับพฤติกรรมของเอาต์พุตตัวต้านทานในวงจร RCซึ่งจะเป็นกรณีตรงกันข้าม

ช่วงความถี่ที่ตัวกรองยอมให้ผ่านได้เรียกว่าแบนด์วิดท์จุดที่ตัวกรองลดทอนสัญญาณลงเหลือครึ่งหนึ่งของกำลังก่อนกรองเรียกว่าความถี่ตัดซึ่งจำเป็นต้องลดอัตราขยายของวงจรลง

${\displaystyle G_{L}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

เมื่อแก้สมการข้างต้นจะได้

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,}$

ซึ่งเป็นความถี่ที่ตัวกรองจะลดทอนลงเหลือครึ่งหนึ่งของกำลังเดิม

เห็นได้ชัดว่าเฟสต่างๆ ก็ขึ้นอยู่กับความถี่ด้วยเช่นกัน แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วผลกระทบนี้จะน่าสนใจน้อยกว่าการเปลี่ยนแปลงของอัตราขยายก็ตาม

เมื่อω → 0 :

${\displaystyle \phi _{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

เมื่อω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

ดังนั้นที่กระแสตรง (0 เฮิรตซ์ ) แรงดันตัวต้านทานจะอยู่ในเฟสเดียวกับแรงดันสัญญาณ ในขณะที่แรงดันตัวเหนี่ยวนำจะนำหน้า 90° เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น แรงดันตัวต้านทานจะล้าหลังสัญญาณ 90° และแรงดันตัวเหนี่ยวนำจะอยู่ในเฟสเดียวกับสัญญาณ 

ส่วนนี้อาศัยความรู้เกี่ยวกับeซึ่ง เป็นค่าคงที่ของ ลอการิทึมธรรมชาติ

วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดในการหา พฤติกรรม ในโดเมนเวลาคือการใช้การแปลงลาปลาสของนิพจน์สำหรับV และV ที่ให้ไว้ข้างต้น ซึ่งเป็นการแปลงjω → s อย่างมีประสิทธิภาพ สมมติว่าอินพุตเป็นแบบขั้นบันได (เช่นV = 0ก่อนt = 0และจากนั้นV = Vหลังจากนั้น):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

การกระจาย เศษส่วนย่อยและการแปลงลาปลาส ผกผัน ให้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

ดังนั้น แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำจึงมีแนวโน้มเข้าใกล้ 0 เมื่อเวลาผ่านไป ในขณะที่แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานมีแนวโน้มเข้าใกล้Vดังแสดงในรูป ซึ่งสอดคล้องกับหลักการพื้นฐานที่ว่า ตัวเหนี่ยวนำจะมีแรงดันตกคร่อมอยู่ตราบใดที่กระแสในวงจรมีการเปลี่ยนแปลงเท่านั้นเมื่อวงจรเข้าสู่สภาวะคงที่แล้ว กระแสจะไม่เปลี่ยนแปลงอีกต่อไป และในที่สุดก็จะไม่มีแรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าวงจรอนุกรม RL มีค่าคงที่เวลา ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์τ = ⁠ L / R ⁠โดยเป็นเวลาที่แรงดันไฟฟ้าคร่อมส่วนประกอบจะลดลง (คร่อมตัวเหนี่ยวนำ) หรือเพิ่มขึ้น (คร่อมตัวต้านทาน) จนเข้าใกล้ค่าสุดท้ายภายใน⁠ 1 / e ⁠กล่าวคือτคือเวลาที่V ไปถึงV ( ⁠ 1 / e ⁠ )และV ไปถึงV (1 − ⁠ 1 / e ⁠ )

อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นเศษส่วน1 − 1 / eต่อ τ ดังนั้นในการเปลี่ยนจากt = Nτไปเป็นt = ( N + 1) τ แรงดันไฟฟ้า จะเคลื่อนที่ไปประมาณ 63% จากระดับที่t = Nτ ไปสู่ค่าสุดท้าย ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเหนี่ยว นำจะลดลงเหลือประมาณ 37% หลังจากτและโดยพื้นฐานแล้วเป็นศูนย์ (0.7%) หลังจากประมาณ5τ กฎแรงดันไฟฟ้าของ Kirchhoffบ่งชี้ว่าแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวต้านทานจะเพิ่มขึ้นในอัตราเดียวกัน เมื่อแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าถูกแทนที่ด้วยวงจรลัดแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวต้านทานจะลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลตามtจากV ไปสู่ ​​0ตัวต้านทานจะคายประจุเหลือประมาณ 37% หลังจากτ และโดยพื้นฐานแล้วคายประจุจนหมด (0.7% ) หลังจากประมาณ5τโปรดสังเกตว่ากระแสไฟฟ้าIในวงจรมีพฤติกรรมเช่นเดียวกับแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวต้านทาน ตามกฎของโอห์ม

ในกรณีนี้ ความล่าช้าในการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของวงจรเกิดจากแรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำย้อนกลับ (back-EMF)จากตัวเหนี่ยวนำ ซึ่งเมื่อกระแสที่ไหลผ่านพยายามเปลี่ยนแปลง จะป้องกันไม่ให้กระแส (และด้วยเหตุนี้ แรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวต้านทาน) เพิ่มขึ้นหรือลดลงเร็วกว่าค่าคงที่เวลาของวงจรมากนัก เนื่องจากสายไฟทุกเส้นมีค่าความเหนี่ยวนำและความต้านทานในตัวเอง ดังนั้นวงจรทุกวงจึงมีค่าคงที่เวลา ผลก็คือ เมื่อเปิดแหล่งจ่ายไฟ กระแสจะไม่ถึงค่าคงที่ทันที⁠ V / R ⁠แต่การเพิ่มขึ้นจะใช้เวลาหลายค่าคงที่เวลาจึงจะเสร็จสมบูรณ์ หากไม่เป็นเช่นนั้น และกระแสถึงค่าคงที่ทันที สนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำที่รุนแรงมากจะเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วของสนามแม่เหล็กซึ่งจะนำไปสู่การแตกตัวของอากาศในวงจรและการเกิดประกายไฟซึ่งอาจทำให้ส่วนประกอบ (และผู้ใช้) เสียหายได้

ผลลัพธ์เหล่านี้อาจได้มาจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายวงจรด้วยเช่นกัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}}$

สมการแรกแก้ได้โดยใช้ตัวประกอบการอินทิเกรตและได้ค่ากระแส ซึ่งต้องนำไปหาอนุพันธ์เพื่อให้ได้V ส่วนสมการที่สองนั้นตรงไปตรงมา คำตอบที่ได้นั้นเหมือนกับคำตอบที่ได้จากการแปลงลาปลาสทุกประการ

สำหรับ การประเมิน การลัดวงจรจะพิจารณาวงจร RL โดยสมการทั่วไปจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นดังนี้:

${\displaystyle i(0)=i_{0}}$

ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้การแปลงลาปลาส :

${\displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI}$

ดังนั้น:

${\displaystyle I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}}$

ดังนั้น การแปลงลาปลาสผกผันจะมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle i(t)=i_{s}+i_{t}+i_{ss}}$

ที่ไหน${\displaystyle i_{s}}$คือการตอบสนองจากกระแสเริ่มต้น${\displaystyle i_{0}}$ที่${\displaystyle t=0}$,${\displaystyle i_{t}}$คือการตอบสนองชั่วคราวของวงจร และ${\displaystyle i_{ss}}$คือการตอบสนองในสภาวะคงที่ สำหรับอินพุตทั้งหมด การถ่ายโอนผกผันจะมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]}$

โดยที่การแปลงลาปลาสผกผันแสดงถึงการตอบสนองชั่วคราวและสภาวะคงที่ โดยขึ้นอยู่กับอินพุตที่แตกต่างกัน ในกรณีที่แรงดันแหล่งจ่ายเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside (DC):

${\displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)}$

ผลลัพธ์ของการแปลง:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)}$

ที่ไหน${\displaystyle {\frac {E}{R}}e^{-{\frac {R}{L}}t}}$คือการตอบสนองชั่วคราวและ${\displaystyle {\frac {E}{R}}}$การตอบสนองในสภาวะคงที่

ในกรณีที่แรงดันแหล่งจ่ายเป็นฟังก์ชันไซน์ (กระแสสลับ):

${\displaystyle v_{in}(t)=E\cos(\omega t+\phi )}$

หม้อแปลงไฟฟ้าส่งคืนค่า:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {{\mathcal {L}}{[E\cos {\omega t+\phi }]}}{(sL+R)}}\right]}$

ในทางคณิตศาสตร์ หม้อแปลงนี้มีความซับซ้อน แต่มีรูปแบบพื้นฐานเหมือนกับฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)+|H_{I}(s)|E\cos \left[\omega t+\phi -\angle {H_{I}(s)}\right]}$

ที่ไหน${\displaystyle |H_{I}(s)|}$และ${\displaystyle \angle {H_{I}(s)}}$และขนาดและเฟสชิฟต์ของ${\displaystyle H_{I}(s)}$:

${\displaystyle |H_{I}(s)|={\frac {1}{|R+sL|}}={\frac {1}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}}$ และ ${\displaystyle \angle {H_{I}(s)}=\angle {\frac {1}{|R+sL|}}=\arctan \left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)}$

ส่งคืน:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega t+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

${\displaystyle K_{t}}$จากนั้นจึงสามารถแก้ไขได้โดยใช้ข้อมูลเกี่ยวกับเงื่อนไขเริ่มต้น ในตัวอย่างนี้ ที่${\displaystyle t=0}$,${\displaystyle i(0)=i_{0}}$ลดสมการให้เหลือ:

${\displaystyle i_{o}=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}*0}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}*0}\right)+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega *0+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

${\displaystyle i_{o}=i_{0}+K_{t}+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

${\displaystyle K_{t}=-{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

สร้างสมการสุดท้าย:${\displaystyle i(t)=\left[i_{0}-{\frac {E\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\right]e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega t+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$