• EL Elteตั้งชื่อว่า V (เนื่องจากมีจุดยอด 27 จุด) ในรายการโพลีโทปกึ่งปกติของเขาในปี พ.ศ. 2455 ^{[ 3 ]}
• Icosihepta-heptacontadi-peton - โพลีเพตอนเหลี่ยม 27-72 เหลี่ยม (ชื่อย่อ: jak) (Jonathan Bowers) ^{[ 4 ]}

จุดยอดทั้ง 27 จุดสามารถแสดงในปริภูมิ 8 มิติได้ในรูปขอบของ โพลีโทป 4 :

(−2, 0, 0, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0,−2, 0, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0,−2, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 0,−2,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 0, 0,−2, 0, 0,−2),

( 0, 0, 0, 0, 0,−2,−2, 0)

( 2, 0, 0, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 2, 0, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 2, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 0, 2,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 0, 0,−2, 0, 0, 2)

(−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1),

(−1,−1,−1, 1,−1,−1,−1, 1),

(−1,−1, 1,−1,−1,−1,−1, 1),

(−1,−1, 1, 1,−1,−1,−1,−1),

(−1, 1,−1,−1,−1,−1,−1, 1),

(−1, 1,−1, 1,−1,−1,−1,−1),

(−1, 1, 1,−1,−1,−1,−1,−1),

( 1,−1,−1,−1,−1,−1,−1, 1),

( 1,−1, 1,−1,−1,−1,−1,−1),

( 1,−1,−1, 1,−1,−1,−1,−1),

( 1, 1,−1,−1,−1,−1,−1,−1),

(−1, 1, 1, 1,−1,−1,−1, 1),

( 1,−1, 1, 1,−1,−1,−1, 1),

( 1, 1,−1, 1,−1,−1,−1, 1),

( 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1, 1),

( 1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1)

โครงสร้างของมันอิงตาม กลุ่ม E ข้อมูลเกี่ยวกับเหลี่ยมมุมสามารถดึงออกมาได้จากแผนภาพ Coxeter-Dynkinของ มันการลบโหนดบนกิ่งสั้นออกจะทำให้เหลือ ซิ มเพล็กซ์ 5 ตัวการลบโหนดที่ปลายกิ่งที่มีความยาว 2 จะทำให้ออร์โธเพล็กซ์ 5 ตัว อยู่ ในรูปแบบสลับกัน: ( 2 )ทุกด้านของซิมเพล็กซ์จะสัมผัสกับด้านของออร์โธเพล็กซ์ 5 ด้าน ในขณะที่ด้านสลับกันของออร์โธเพล็กซ์จะสัมผัสกับซิมเพล็กซ์หรือออร์โธเพล็กซ์อื่น

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบโหนดที่มีวงแหวนออกและใส่วงแหวนให้กับโหนดข้างเคียง ซึ่งทำให้ได้ รูปทรง 5-เดมิคิวบ์ (โพลีโทป 1 )รูปทรงขอบเป็นรูปทรงจุดยอดของรูปทรงจุดยอด ซึ่งเป็นโพลีโทป5 เซลล์ที่ปรับแก้แล้ว (0 โพลีโทป).

เมื่อพิจารณาในเมทริกซ์การกำหนดค่า จำนวนองค์ประกอบสามารถหาได้จากลำดับกลุ่ม Coxeter ^{[ 5 ]}

อี		เค -เฟซ	เอฟ	ฟ	ฟ	เอฟ	เอฟ	เอฟ		เอฟ		k -figure	หมายเหตุ
ดี		( )	ฟ	27	16	80	160	80	40	16	10	h{4,3,3,3}	E /D = 51840/1920 = 27
เอเอ		{ }	ฟ	2	216	10	30	20	10	5	5	r{3,3,3}	จ /กก = 51840/120/2 = 216
เอเอเอ		{3}	เอฟ	3	3	720	6	6	3	2	3	{3}x{ }	จ /กกก = 51840/6/6/2 = 720
เอเอ		{3,3}	เอฟ	4	6	4	1080	2	1	1	2	{ }v( )	จ /กก = 51840/24/2 = 1,080
เอ		{3,3,3}	เอฟ	5	10	10	5	432	*	1	1	{ }	E /A = 51840/120 = 432
เอเอ				5	10	10	5	*	216	0	2		จ /กก = 51840/120/2 = 216
เอ		{3,3,3,3}	เอฟ	6	15	20	15	6	0	72	*	( )	E /A = 51840/720 = 72
ดี		{3,3,3,4}		10	40	80	80	16	16	*	27		E /D = 51840/1920 = 27

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม และสีเหลือง จำนวนครั้งที่ปรากฏของจุดยอดแต่ละสีจะระบุไว้ในวงเล็บ

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
(1,3)	(1,3)	(3,9)	(1,3)
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

2 21เกี่ยวข้องกับเซลล์ 24 โดยผ่าน การพับทางเรขาคณิต ของ แผนภาพ Coxeter-Dynkin E6/F4 ซึ่งสามารถเห็นได้จากการฉายภาพบนระนาบ Coxeter จุดยอด 24 จุดของเซลล์ 24 จะถูกฉายลงบนวงแหวนสองวงเดียวกันกับที่ เห็นใน 2

อี	เอฟ
2	24 เซลล์

รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้สามารถปูพื้นผิวของปริภูมิยูคลิด 6 มิติได้ โดยสร้างเป็น รูปทรงรังผึ้ง 2 ตามแผนภาพ Coxeter-Dynkin ดังนี้:.

รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ {3} {3} ,โดยมีรูปแบบการแสดงผลที่แท้จริงคือรูปทรงหลายเหลี่ยม2 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ในปริภูมิ 4 มิติ เรียกว่าทรงหลายเหลี่ยมเฮสเซียนตามชื่อของเอ็ดมันด์ เฮสส์มีจุดยอด 27 จุด ขอบ 3 มิติ 72 เส้น และหน้า 3 มิติ 27 หน้ากลุ่มการสะท้อนเชิงซ้อน ของมัน คือ [3] [3] อันดับ 648

2 เป็นลำดับที่สี่ในชุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติที่มีมิติ รูป ทรงหลายเหลี่ยม สม่ำเสมอแต่ละรูปถูกสร้างขึ้นจากรูปทรงจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมก่อนหน้าThorold Gossetได้ระบุชุดนี้ในปี 1900 ว่าประกอบด้วย ด้านของ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ทั้งหมด รวมถึงซิมเพล็กซ์และออร์โธเพล็กซ์ ทั้งหมด ด้วย

k รูปทรงในมิติ n
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
เอ็น	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E =A A	E =A	E =D	อี	อี	อี	E = = E +${\displaystyle {\tilde {E}__{8}}$	E = = E ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
สมมาตร	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	− 1	0	1	2	3	4	5	6

โพลีโทป 2 เป็น โพลีโทปลำดับที่สี่ในอนุกรมมิติ 2

2k รูปทรงมิติn
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
n	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E =A A	E =A	E =D	อี	อี	อี	E = = E +${\displaystyle {\tilde {E}__{8}}$	E = = E ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
สมมาตร	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	2	2	2	2	2	2	2	2

โพลีโทป 2 เป็นโพลีโทปลำดับที่สองในอนุกรมมิติ2

2 รูปทรงของnมิติ

ช่องว่าง	จำกัด			ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
n	4	5	6	7	8
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	เอเอ	เอ	อี	${\displaystyle {\tilde {E}__{6}}$=E +	อี++
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
กราฟ				∞	∞
ชื่อ	2	2	2	2	2

• icosihepta-heptacontadi-peton ที่ได้รับการแก้ไขเป็น polypeton เหลี่ยม 27-72 ที่ได้รับการแก้ไข (ตัวย่อ: rojak) (Jonathan Bowers) ^{[ 6 ]}

โครงสร้างนี้สร้างขึ้นโดยอิงตาม กลุ่ม E และสามารถดึงข้อมูลได้จากแผนภาพ Coxeter-Dynkin แบบวงแหวน ที่แสดงถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้:การถอดวงแหวนบนกิ่งสั้นออกจะทำให้ได้5-simplex ที่แก้ไขแล้วการถอดวงแหวนที่ปลายกิ่งอีก 2 กิ่งจะทำให้ออร์โธเพล็กซ์ 5 ที่แก้ไขแล้วอยู่ในรูปแบบสลับกัน: t (2 ) ,การถอดวงแหวนที่ปลายกิ่งยาว 2 หน่วยเดียวกันออก จะเหลือลูกบาศก์ 5 ส่วน : (1 ) ,.

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบวงแหวนที่ล้อมรอบออกและล้อมรอบวงแหวนข้างเคียง ซึ่งทำให้ ปริซึม 5 เซลล์ที่ปรับแก้แล้ว t {3,3,3}x{},.

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม สีเหลือง สีเขียว และสีฟ้า

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
(1,2,3)	(1,2,3)	(r,o,y,g)	(1,2,3)
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(r,o,y,g,c)	(1,2,3)	(r,o,y,g,c)

• icosihepta-heptacontadi-peton ที่ถูกตัดทอนเป็น polypeton ที่มีเหลี่ยมมุม 27-72 เหลี่ยมที่ถูกตัดทอน (คำย่อ: tojak) ^{[ 7 ]}

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม สีเหลือง สีเขียว สีฟ้า สีน้ำเงิน และสีม่วง

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
(1,2)	(1,2)	(r,o,y,g)	(1,2)
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(r,o,y,g,c,b,p)	(1,2)	(r,o,y,g,c,b,p)