• EL Elteตั้งชื่อว่า V (เนื่องจากมีจุดยอด 27 จุด) ในรายการโพลีโทปกึ่งปกติของเขาในปี พ.ศ. 2455 ^{[ 3 ]}
• Icosihepta-heptacontadi-peton - โพลีเพตอนเหลี่ยม 27-72 เหลี่ยม (ชื่อย่อ: jak) (Jonathan Bowers) ^{[ 4 ]}

จุดยอดทั้ง 27 จุดสามารถแสดงในปริภูมิ 8 มิติได้ในรูปขอบของ โพลีโทป 4 :

(−2, 0, 0, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0,−2, 0, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0,−2, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 0,−2,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 0, 0,−2, 0, 0,−2),

( 0, 0, 0, 0, 0,−2,−2, 0)

( 2, 0, 0, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 2, 0, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 2, 0,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 0, 2,−2, 0, 0, 0),

( 0, 0, 0, 0,−2, 0, 0, 2)

(−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1),

(−1,−1,−1, 1,−1,−1,−1, 1),

(−1,−1, 1,−1,−1,−1,−1, 1),

(−1,−1, 1, 1,−1,−1,−1,−1),

(−1, 1,−1,−1,−1,−1,−1, 1),

(−1, 1,−1, 1,−1,−1,−1,−1),

(−1, 1, 1,−1,−1,−1,−1,−1),

( 1,−1,−1,−1,−1,−1,−1, 1),

( 1,−1, 1,−1,−1,−1,−1,−1),

( 1,−1,−1, 1,−1,−1,−1,−1),

( 1, 1,−1,−1,−1,−1,−1,−1),

(−1, 1, 1, 1,−1,−1,−1, 1),

( 1,−1, 1, 1,−1,−1,−1, 1),

( 1, 1,−1, 1,−1,−1,−1, 1),

( 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1, 1),

( 1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1)

โครงสร้างนี้อิงตาม กลุ่ม E ข้อมูลด้านต่างๆ สามารถดึงออกมาได้จากแผนภาพCoxeter-Dynkinการลบโหนดบนกิ่งสั้นจะทำให้เหลือ5-simplexการลบโหนดที่ปลายกิ่งยาว 2 จะทำให้เหลือ5-orthoplexในรูปแบบสลับกัน: ( 2 ) ด้านของ simplex ทุกด้านจะสัมผัสกับด้านของ 5-orthoplex ในขณะที่ด้านสลับกันของ orthoplex จะสัมผัสกับ simplex หรือ orthoplex อื่น

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบโหนดที่มีวงแหวนออกและใส่วงแหวนให้กับโหนดข้างเคียง ซึ่งทำให้ได้5-เดมิคิวบ์ (โพลีโทป 1 ) รูปทรงขอบคือรูปทรงจุดยอดของรูปทรงจุดยอด ซึ่งเป็น5- เซลล์แบบปรับแก้ (โพลีโทป 0 )

Seen in a configuration matrix, the element counts can be derived from the Coxeter group orders.^[5]

E		k-face	f	f	f	f	f	f		f		k-figure	Notes
D		( )	f	27	16	80	160	80	40	16	10	h{4,3,3,3}	E/D = 51840/1920 = 27
AA		{ }	f	2	216	10	30	20	10	5	5	r{3,3,3}	E/AA = 51840/120/2 = 216
AAA		{3}	f	3	3	720	6	6	3	2	3	{3}x{ }	E/AAA = 51840/6/6/2 = 720
AA		{3,3}	f	4	6	4	1080	2	1	1	2	{ }v( )	E/AA = 51840/24/2 = 1080
A		{3,3,3}	f	5	10	10	5	432	*	1	1	{ }	E/A = 51840/120 = 432
AA				5	10	10	5	*	216	0	2		E/AA = 51840/120/2 = 216
A		{3,3,3,3}	f	6	15	20	15	6	0	72	*	( )	E/A = 51840/720 = 72
D		{3,3,3,4}		10	40	80	80	16	16	*	27		E/D = 51840/1920 = 27

Vertices are colored by their multiplicity in this projection, in progressive order: red, orange, yellow. The multiplicities of vertices by color are given in parentheses.

Coxeter planeorthographic projections

E6[12]	D5[8]	D4 / A2[6]	B6[12/2]
(1,3)	(1,3)	(3,9)	(1,3)
A5[6]	A4[5]	A3 / D3[4]
(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

The 2 is related to the 24-cell by a geometric folding of the E6/F4 Coxeter-Dynkin diagrams. This can be seen in the Coxeter plane projections. The 24 vertices of the 24-cell are projected in the same two rings as seen in the 2.

E	F
2	24-cell

This polytope can tessellate Euclidean 6-space, forming the 2 honeycomb with this Coxeter-Dynkin diagram: .

The regular complex polygon{3}{3}, , in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$มีการแสดงแทนที่แท้จริงเป็นโพลีโทป2 ในปริภูมิ 4 มิติ เรียกว่าโพลีเฮดรอนเฮสเซียนตามชื่อของเอ็ดมันด์ เฮสส์ มีจุดยอด 27 จุด ขอบ 3 มิติ 72 เส้น และหน้า 3{3}3 27 หน้ากลุ่มการสะท้อนเชิงซ้อน ของมัน คือ [3] [3] อันดับ 648

2 เป็นลำดับที่สี่ในชุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติที่มีมิติ รูป ทรงหลายเหลี่ยม สม่ำเสมอแต่ละรูปถูกสร้างขึ้นจากรูปทรงจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมก่อนหน้าThorold Gossetได้ระบุชุดนี้ในปี 1900 ว่าประกอบด้วย ด้านของ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ทั้งหมด รวมถึงซิมเพล็กซ์และออร์โธเพล็กซ์ ทั้งหมด ด้วย

k รูปทรงในมิติ n
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
เอ็น	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E =A A	E =A	E =D	อี	อี	อี	อี =${\displaystyle {\tilde {E}__{8}}$= E +	อี =${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$= E ++
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
สมมาตร	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	− 1	0	1	2	3	4	5	6

โพลีโทป 2 เป็น โพลีโทปลำดับที่สี่ในอนุกรมมิติ 2

2k รูปในมิติn
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
n	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E =A A	E =A	E =D	อี	อี	อี	อี =${\displaystyle {\tilde {E}__{8}}$= E +	อี =${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$= E ++
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
สมมาตร	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	2	2	2	2	2	2	2	2

โพลีโทป 2 เป็นโพลีโทปลำดับที่สองในอนุกรมมิติ2

2 รูปทรงของnมิติ

ช่องว่าง	จำกัด			ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
n	4	5	6	7	8
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	เอเอ	เอ	อี	${\displaystyle {\tilde {E}__{6}}$=E +	อี++
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
กราฟ				∞	∞
ชื่อ	2	2	2	2	2

• icosihepta-heptacontadi-peton ที่ได้รับการแก้ไขเป็น polypeton เหลี่ยม 27-72 ที่ได้รับการแก้ไข (ตัวย่อ: rojak) (Jonathan Bowers) ^{[ 6 ]}

โครงสร้างนี้อิงตาม กลุ่ม E และสามารถดึงข้อมูลได้จากแผนภาพ Coxeter-Dynkin แบบวงแหวน ที่แสดงถึงโพลีโทปนี้: การเอาวงแหวนบนกิ่งสั้นออกจะทำให้เหลือ5-simplex ที่ปรับแก้แล้วการเอาวงแหวนที่ปลายกิ่งยาว 2 อีกกิ่งออกจะทำให้เหลือ5-orthoplex ที่ปรับแก้แล้วในรูปแบบสลับกัน: t 1 2 ) การ เอาวงแหวนที่ปลายกิ่งยาว 2 เดียวกันออกจะทำให้เหลือ5 -demicube : (1 )

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบวงแหวนที่ล้อมรอบออกและล้อมรอบวงแหวนข้างเคียง ซึ่งทำให้ได้ ปริซึม 5 เซลล์แบบปรับแก้ t {3,3,3}x{}, .

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม สีเหลือง สีเขียว และสีฟ้า

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
(1,2,3)	(1,2,3)	(r,o,y,g)	(1,2,3)
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(r,o,y,g,c)	(1,2,3)	(r,o,y,g,c)

• icosihepta-heptacontadi-peton ที่ถูกตัดทอนเป็น polypeton ที่มีเหลี่ยมมุม 27-72 เหลี่ยมที่ถูกตัดทอน (คำย่อ: tojak) ^{[ 7 ]}

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม สีเหลือง สีเขียว สีฟ้า สีน้ำเงิน และสีม่วง

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
(1,2)	(1,2)	(r,o,y,g)	(1,2)
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(r,o,y,g,c,b,p)	(1,2)	(r,o,y,g,c,b,p)