ในทางคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์คือตัวดำเนินการที่นิยามขึ้นจากฟังก์ชันของ ตัวดำเนินการ หาอนุพันธ์เพื่อความเข้าใจง่ายขึ้น ควรพิจารณาการหาอนุพันธ์เป็นโอเปอเรชันเชิงนามธรรมที่รับฟังก์ชัน หนึ่ง และส่งคืนอีกฟังก์ชันหนึ่ง (ในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันอันดับสูงในวิทยาการคอมพิวเตอร์ )

บทความนี้พิจารณา ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น เป็นหลัก ซึ่งเป็นประเภทที่พบได้บ่อยที่สุด อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นอีกด้วย เช่นอนุพันธ์ชวาร์ซ

กำหนดให้ mเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และมีลำดับดังนี้${\displaystyle m}$ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นคือแผนที่${\displaystyle P}$จากปริภูมิฟังก์ชัน${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$บน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ไปยังพื้นที่ฟังก์ชันอื่น${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$เป็นดัชนีหลายค่า ของ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$และสำหรับแต่ละรายการ${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$เป็นฟังก์ชันบนโดเมนเปิดบางส่วนใน ปริภูมิ nมิติ ตัวดำเนินการ${\displaystyle D^{\alpha }}$ถูกตีความว่า

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

ดังนั้นสำหรับฟังก์ชัน${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$:

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

สัญลักษณ์${\displaystyle D^{\alpha }}$ถือว่าสมเหตุสมผล (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของการหาอนุพันธ์ ) เนื่องจากสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง

พหุนามpที่ได้จากการแทนที่อนุพันธ์ย่อย${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$โดยตัวแปร${\displaystyle \xi _{i}}$ในPเรียกว่าสัญลักษณ์รวมของPกล่าวคือ สัญลักษณ์รวมของPข้างต้นคือ: $${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$ ที่ไหน${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$ส่วนประกอบเอกพันธุ์สูงสุดของสัญลักษณ์นั้นก็คือ

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

เรียกว่าสัญลักษณ์หลักของP [ ^{1 ]}ในขณะที่สัญลักษณ์ทั้งหมดไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเนื้อแท้ แต่สัญลักษณ์หลักถูกกำหนดไว้โดยเนื้อแท้ (กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันบนมัดโคแทนเจนต์^{) [ 2 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ให้EและFเป็นเวกเตอร์บันเดิลบนแมนิโฟลด์Xแล้วตัวดำเนินการเชิงเส้น

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับ${\displaystyle k}$ถ้าในพิกัดท้องถิ่นบนXเรามี

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{พจน์ลำดับต่ำกว่า}}}$

โดยที่สำหรับแต่ละดัชนีหลายตัว α${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$เป็นแผนที่บันเดิลที่สมมาตรบนดัชนี α

สัมประสิทธิ์ ลำดับ^ที่kของ การแปลง Pเป็นเทนเซอร์สมมาตร

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

โดเมนของมันคือผลคูณเทนเซอร์ของกำลังสมมาตรที่^k ของกลุ่มโคแทนเจนต์ของXกับEและโคโดเมนของมันคือFเทนเซอร์สมมาตรนี้เรียกว่าสัญลักษณ์หลัก (หรือเรียกสั้นๆ ว่าสัญลักษณ์ ) ของP

ระบบพิกัดx ⁱอนุญาตให้ทำการทำให้กลุ่มโคแทนเจนต์เป็นแบบง่ายๆ ในระดับท้องถิ่นโดยใช้อนุพันธ์พิกัด d x ⁱซึ่งกำหนดพิกัดไฟเบอร์ ξ ในแง่ของฐานของเฟรมe , f ของEและFตามลำดับ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์Pจะถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

ในแต่ละส่วนuของEโดยที่P คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สเกลาร์ที่กำหนดโดย

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\บางส่วน x^{\alpha }}}.}$

ด้วยการทำให้เรื่องง่ายขึ้นเช่นนี้ สัญลักษณ์หลักจึงสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

ในปริภูมิโคแทนเจนต์เหนือจุดคงที่xของXสัญลักษณ์${\displaystyle \sigma _{P}}$กำหนดพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีkใน${\displaystyle T_{x}^{*}X}$โดยมีค่าอยู่ใน${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$.

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์Pและสัญลักษณ์ของมันปรากฏขึ้นตามธรรมชาติเมื่อเชื่อมโยงกับการแปลงฟูริเยร์ดังต่อไปนี้ ให้ ƒ เป็นฟังก์ชันชวาร์ตซ์จากนั้นโดยการแปลงฟูริเยร์ผกผัน

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าPเป็น ตัว คูณฟูริเยร์ ฟังก์ชัน p ( x , ξ) ทั่วไปที่สอดคล้องกับเงื่อนไขการเติบโตแบบพหุนามใน ξ ซึ่งทำให้ปริพันธ์นี้มีพฤติกรรมที่ดีนั้น ประกอบด้วย ตัวดำเนินการ เชิงอนุพันธ์เทียม

• ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์${\displaystyle P}$เรียกว่าเป็นรูปวงรีถ้าสัญลักษณ์ของมันสามารถผกผันได้ นั่นคือ สำหรับแต่ละค่าที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$แผนที่กลุ่ม${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$สามารถผกผันได้ บนแมนิโฟลด์กระชับจากทฤษฎีวงรี สรุปได้ว่าPเป็นตัวดำเนินการเฟรดโฮล์ม กล่าวคือ มี เคอร์เนลและโคเคอร์เนลที่มีมิติจำกัด
• ในการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไฮเปอร์โบลิกและ พาราโบลิก ค่าศูนย์ของสัญลักษณ์หลักจะสอดคล้องกับลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนั้น
• ในการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์กายภาพ ตัวดำเนินการต่างๆ เช่นตัวดำเนินการลาปลาสมีบทบาทสำคัญในการตั้งและแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
• ในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ ตัวดำเนินการอนุพันธ์ภายนอกและ ตัวดำเนิน การอนุพันธ์ลีมีความหมายในตัวของมันเอง
• ในพีชคณิตนามธรรมแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ช่วยให้สามารถวางนัยทั่วไปของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้แคลคูลัส การวางนัยทั่วไปดังกล่าวถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและพีชคณิตเชิงสลับที่ดูเพิ่มเติมที่Jet (คณิตศาสตร์ )
• ในการพัฒนาฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของตัวแปรเชิงซ้อนz = x + i yบางครั้งฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริงสองตัวxและyโดยจะใช้ตัว ดำเนิน การอนุพันธ์ของเวิร์ตติงเกอร์ซึ่งเป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อย:$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$วิธีการนี้ยังใช้ในการศึกษาหน้าที่ของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวและหน้าที่ของตัวแปรการเคลื่อนไหวอีก ด้วย
• ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เดล (del)หรือเรียกอีกอย่างว่านาบลา (nabla ) เป็น ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เวกเตอร์ ที่สำคัญ ปรากฏบ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์เช่น ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ของสมการของแม็กซ์เวลล์ ใน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติเดลถูกนิยามดังนี้

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del เป็นตัวกำหนดค่าเกรเดียนต์และใช้ในการคำนวณค่าเคิร์ล ค่าไดเวอร์เจนซ์และค่าลาปลาเซียนของวัตถุต่างๆ

• ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ไครัลสำหรับตอนนี้ โปรดดูที่

ขั้นตอนเชิงแนวคิดของการเขียนตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในฐานะสิ่งที่เป็นอิสระนั้นได้รับการยกให้เป็นผลงานของLouis François Antoine Arbogastในปี ค.ศ. 1800 ^{[ 3 ]}

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่พบได้บ่อยที่สุดคือการหา อนุพันธ์ สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการหาอนุพันธ์อันดับแรกเทียบกับตัวแปรxได้แก่:

${\displaystyle {d \over dx}}$,${\displaystyle D}$,${\displaystyle D_{x},}$และ${\displaystyle \partial _{x}}$.

เมื่อทำการหาอนุพันธ์อันดับสูงกว่า คือ อันดับที่ nตัวดำเนินการสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$,${\displaystyle D^{n}}$,${\displaystyle D_{x}^{n}}$, หรือ${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันfที่มีตัวแปรxบางครั้งอาจเขียนได้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

การใช้และการสร้าง สัญลักษณ์Dนั้นเป็นผลงานของOliver Heavisideซึ่งพิจารณาตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

ในการศึกษาเรื่องสมการเชิงอนุพันธ์ ของเขา

หนึ่งในตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่พบเห็นได้บ่อยที่สุดคือตัวดำเนินการลาปลาเซียนซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อีกตัวหนึ่งคือตัวดำเนินการ Θ หรือตัวดำเนินการเธต้าซึ่งกำหนดโดย^{[ 4 ​​]}

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

บางครั้งสิ่งนี้ก็ถูกเรียกว่าตัวดำเนินการเอกพันธุ์ (homogeneity operator ) เนื่องจากฟังก์ชันเฉพาะ ของมัน คือเอกนามในz : $${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

ใน ตัวแปร nตัว ตัวดำเนินการความเป็นเอกรูปจะกำหนดโดย $${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

เช่นเดียวกับกรณีที่มีตัวแปรเดียวปริภูมิไอเกนของ Θ คือปริภูมิของฟังก์ชันเอกพันธุ์ ( ทฤษฎีบทฟังก์ชันเอกพันธุ์ของออยเลอร์ )

ในการเขียนตามหลักการทางคณิตศาสตร์ทั่วไป อาร์กิวเมนต์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์มักจะอยู่ทางด้านขวาของตัวดำเนินการนั้นเอง บางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์อื่น: ผลลัพธ์ของการใช้ตัวดำเนินการกับฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาของตัวดำเนินการ และผลต่างที่ได้จากการใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์กับฟังก์ชันทั้งสองด้าน จะแสดงด้วยลูกศรดังต่อไปนี้:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

สัญลักษณ์ลูกศรสองทิศทางเช่นนี้ มักใช้ในการอธิบายกระแสความน่าจะเป็นในกลศาสตร์ควอนตัม

กำหนดให้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น${\displaystyle T}$$${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$ ตัวผกผันของตัวดำเนินการนี้ถูกกำหนดให้เป็นตัวดำเนินการ${\displaystyle T^{*}}$โดยที่ $${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$ โดยที่สัญลักษณ์นั้น${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ใช้สำหรับผลคูณสเกลาร์หรือผลคูณภายในดังนั้นคำจำกัดความนี้จึงขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของผลคูณสเกลาร์ (หรือผลคูณภายใน)

การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้นกล่าวคือ

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

โดยที่fและgเป็นฟังก์ชัน และaเป็นค่าคงที่

พหุนามใดๆในDที่มีสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชัน ก็เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เช่นกัน เรายังสามารถประกอบตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎ

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องระมัดระวังบางประการ: ประการแรก สัมประสิทธิ์ฟังก์ชันใดๆ ในตัวดำเนินการD จะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้หลายครั้งตามที่การประยุกต์ใช้D ต้องการ เพื่อให้ได้วงแหวนของตัวดำเนินการดังกล่าว เราต้องสมมติอนุพันธ์ของสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในทุกอันดับ ประการที่สอง วงแหวนนี้จะไม่สลับที่ได้ : ตัวดำเนินการgDโดยทั่วไปจะไม่เหมือนกับDgตัวอย่างเช่น เรามีความสัมพันธ์พื้นฐานในกลศาสตร์ควอนตัม :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

ในทางตรงกันข้าม วงแหวนย่อยของตัวดำเนินการที่เป็นพหุนามในDที่มีสัมประสิทธิ์คงที่นั้น มีคุณสมบัติ การสลับที่ได้ สามารถอธิบายได้อีกวิธีหนึ่งคือ ประกอบด้วยตัวดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ยังเป็นไปตามทฤษฎีบทการเลื่อน อีก ด้วย

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมักจะสะดวกที่จะมีคำอธิบายที่ไม่ขึ้นกับพิกัดของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ระหว่างเวกเตอร์บันเดิลสองชุดให้ E และ F เป็นเวกเตอร์บันเดิลสองชุดบน แมนิ โฟลด์เชิงอนุพันธ์M การแมปเชิงเส้น Rของส่วนP  : Γ( E ) → Γ( F )เรียกว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับkถ้ามันแยกตัวประกอบผ่านเจ็ทบันเดิลJ ^k ( E ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีการแมปเชิงเส้นของเวกเตอร์บันเดิลอยู่

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

โดยที่

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

โดยที่j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E ))คือส่วนขยายที่เชื่อมโยงk -jet ของส่วนใดๆ ของE เข้าด้วย กัน

นี่หมายความว่าสำหรับส่วนs ที่กำหนด ของEค่าของP ( s ) ณ จุดx  ∈ Mจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพฤติกรรมอนันต์ลำดับที่k ของ sในxโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นี่หมายความว่าP ( s )( x ) ถูกกำหนดโดยเจิร์มของsในxซึ่งแสดงออกมาโดยการกล่าวว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เป็นตัวดำเนินการเฉพาะที่ ผลลัพธ์พื้นฐานคือทฤษฎีบทของ Peetreที่แสดงให้เห็นว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ตัวดำเนินการเฉพาะที่ (เชิงเส้น) ใดๆ ก็เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ 

• Fedosov, Boris; Schulze, Bert-Wolfgang; Tarkhanov, Nikolai (2002). "สูตรดัชนีเชิงวิเคราะห์สำหรับตัวดำเนินการมุมวงรี" Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899– 982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN 1777-5310 . 
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of-differential-operators

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• "ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]