กลุ่ม Rubik 's Cube แสดงถึงโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของปริศนาเชิงกลRubik's Cubeแต่ละองค์ประกอบของเซตสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ ซึ่งเป็นผลของลำดับการหมุนของหน้าลูกบาศก์ ด้วยการแสดงแบบนี้ ไม่เพียงแต่จะสามารถแสดงการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ใดๆ ได้เท่านั้น แต่ยังสามารถแสดงตำแหน่งใดๆ ของลูกบาศก์ได้ด้วย โดยการระบุรายละเอียดการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ที่จำเป็นในการหมุนลูกบาศก์ที่แก้แล้วไปยังตำแหน่งนั้น อันที่จริง ด้วยตำแหน่งที่แก้แล้วเป็นจุดเริ่มต้น จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างแต่ละตำแหน่งที่ถูกต้องของ Rubik's Cube และองค์ประกอบของ[ ^{1 ] [ 2 ] การ}ดำเนินการของกลุ่มคือการประกอบการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ ซึ่งสอดคล้องกับผลลัพธ์ของการดำเนินการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ทีละครั้ง ${\displaystyle (G,\cdot )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \cdot }$

ลูกบาศก์รูบิกสร้างขึ้นโดยการกำหนดหมายเลขให้กับด้านที่ไม่ใช่ด้านศูนย์กลางทั้ง 48 ด้านด้วยจำนวนเต็ม 1 ถึง 48 แต่ละรูปแบบของลูกบาศก์สามารถแสดงได้ด้วยการเรียงสับเปลี่ยนของหมายเลข 1 ถึง 48 ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของแต่ละด้าน โดยใช้การแสดงแบบนี้ ลูกบาศก์ที่แก้ได้แล้วคือการเรียงสับเปลี่ยนเอกลักษณ์ ซึ่งทำให้ลูกบาศก์ไม่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่การเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ 12 แบบที่หมุนชั้นของลูกบาศก์ 90 องศา จะแสดงด้วยการเรียงสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้อง กลุ่มลูกบาศก์รูบิกเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรที่สร้างขึ้นโดยการเรียงสับเปลี่ยนหกแบบที่สอดคล้องกับการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ตามเข็มนาฬิกาหกแบบ ด้วยโครงสร้างนี้ รูปแบบใดๆ ของลูกบาศก์ที่สามารถเข้าถึงได้ผ่านลำดับการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์จะอยู่ในกลุ่ม การดำเนินการของกลุ่มนี้หมายถึงการประกอบของการเรียงสับเปลี่ยนสองแบบ ภายในลูกบาศก์ หมายถึงการรวมลำดับการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์สองลำดับเข้าด้วยกัน โดยทำทีละลำดับ กลุ่มลูกบาศก์รูบิกเป็นกลุ่มที่ไม่สลับที่เนื่องจาก1การประกอบของการเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ การหมุนลูกบาศก์ในลำดับที่แตกต่างกันอาจส่งผลให้ได้การจัดเรียงที่แตกต่างกัน ${\displaystyle \คณิตศาสตร์ {S} _{48}}$${\displaystyle \cdot }$

ลูกรูบิคประกอบด้วยหน้าต่างๆ แต่ละหน้ามีช่องสี่เหลี่ยมสีต่างๆ เรียกว่าเฟซเล็ตรวมทั้งหมดเป็นเฟซเล็ตจำนวนหนึ่ง ลูกรูบิคที่แก้ได้แล้วจะมีเฟซเล็ตทุกช่องบนแต่ละหน้าเป็นสีเดียวกัน ${\displaystyle 3\times 3\times 3}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle 54}$

การเคลื่อนลูกบาศก์จะหมุน หน้าใด หน้าหนึ่งไปทางใดทางหนึ่ง( หน่วยวัดครึ่งรอบ) ^{[ 3 ]}หน้าตรงกลางจะหมุนรอบแกนของมัน แต่ส่วนอื่นๆ จะยังคงอยู่ในตำแหน่งเดิม^{[ 1 ]}${\displaystyle 6}$${\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ },}$${\displaystyle -90^{\circ }}$

การเคลื่อนที่ของลูกบาศก์อธิบายด้วย สัญลักษณ์ Singmaster : ^{[ 4 ]}

พื้นฐาน 90°	180°	-90°
${\displaystyle F}$หมุนด้านหน้าตามเข็มนาฬิกา	${\displaystyle F^{2}}$หมุนด้านหน้าตามเข็มนาฬิกา 2 รอบ	${\displaystyle F^{\prime }}$หมุนด้านหน้าทวนเข็มนาฬิกา
${\displaystyle B}$หมุนกลับตามเข็มนาฬิกา	${\displaystyle B^{2}}$หมุนกลับตามเข็มนาฬิกา 2 รอบ	${\displaystyle B^{\prime }}$หมุนด้านหลังทวนเข็มนาฬิกา
${\displaystyle U}$หมุนส่วนบนตามเข็มนาฬิกา	${\displaystyle U^{2}}$หมุนส่วนบนตามเข็มนาฬิกา 2 รอบ	${\displaystyle U^{\prime }}$หมุนส่วนบนทวนเข็มนาฬิกา
${\displaystyle D}$หมุนส่วนล่างตามเข็มนาฬิกา	${\displaystyle D^{2}}$หมุนส่วนล่างตามเข็มนาฬิกา 2 รอบ	${\displaystyle D^{\prime }}$หมุนส่วนล่างทวนเข็มนาฬิกา
${\displaystyle L}$หมุนหน้าซ้ายตามเข็มนาฬิกา	${\displaystyle L^{2}}$หมุนหน้าซ้ายตามเข็มนาฬิกา 2 รอบ	${\displaystyle L^{\prime }}$หมุนหน้าด้านซ้ายทวนเข็มนาฬิกา
${\displaystyle R}$หมุนหน้าขวาตามเข็มนาฬิกา	${\displaystyle R^{2}}$หมุนหน้าขวาตามเข็มนาฬิกา 2 รอบ	${\displaystyle R^{\prime }}$หมุนหน้าด้านขวาไปทางทวนเข็มนาฬิกา

การเคลื่อนไหวที่ว่างเปล่าคือ. [ ^{หมายเหตุ 1 ]}การต่อกันนั้นเหมือนกับและเหมือนกับ${\displaystyle E}$${\displaystyle LLLL}$${\displaystyle E}$${\displaystyle RRR}$${\displaystyle R^{\prime }}$

ต่อไปนี้เป็นการใช้สัญลักษณ์ที่อธิบายไว้ในวิธีแก้ลูกรูบิคการวางแนวของหน้าตรงกลางทั้งหกหน้าจะคงที่

เราสามารถระบุการหมุนหน้าทั้งหกแบบเป็นองค์ประกอบในกลุ่มสมมาตรบนเซตของหน้าย่อยที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางได้ กล่าวคือ เราสามารถกำหนดหมายเลขให้กับหน้าย่อยที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางตั้งแต่ 1 ถึง 48 จากนั้นระบุการหมุนหน้าทั้งหกแบบเป็นองค์ประกอบของกลุ่มสมมาตร S ตามวิธีการที่แต่ละการเคลื่อนไหวเปลี่ยนแปลงหน้าย่อยต่างๆ จากนั้นกลุ่มลูกบาศก์รูบิกGจะถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มย่อยของ S ที่สร้างขึ้นโดยการหมุนหน้าทั้ง 6 แบบ ${\displaystyle \{F,B,U,D,L,R\}}$

จำนวนสมาชิกของGกำหนดโดย: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle |G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000}$${\displaystyle {}={\frac {12!\cdot 8!}{2}}\cdot {\frac {2^{12}}{2}}\cdot {\frac {3^{8}}{3}}}$${\displaystyle {}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11}$

แม้จะมีขนาดใหญ่เช่นนี้ แต่จำนวนของพระเจ้าสำหรับลูกบาศก์รูบิกคือ 20 กล่าวคือ ตำแหน่งใดๆ ก็สามารถแก้ได้ใน 20 หรือน้อยกว่าการเคลื่อนไหว^{[ 3 ]} (โดยการหมุนครึ่งรอบนับเป็นการเคลื่อนไหวเดียว หากการหมุนครึ่งรอบนับเป็นการหมุนหนึ่งในสี่รอบสองครั้ง จำนวนของพระเจ้าจะเป็น 26 ^{[ 6 ]} )

อันดับสูงสุดของสมาชิกในGคือ 1260 ตัวอย่างเช่น สมาชิกที่มีอันดับ 1260 ตัวหนึ่งคือ

${\displaystyle (RU^{2}D^{-1}BD^{-1})}$[ ^{1 ]​}

Gเป็นกลุ่มที่ไม่สลับที่ (นั่นคือ การเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ทั้งหมดไม่สามารถสลับกันได้) เนื่องจากตัวอย่างเช่นไม่เหมือนกับ[ ^{2 ] ศูนย์กลาง}ของG ประกอบด้วยองค์ประกอบเพียงสองอย่าง ได้แก่ เอกลักษณ์ (เช่น สถานะที่แก้ไขแล้ว) และซูเปอร์ฟลิป ${\displaystyle FR}$${\displaystyle RF}$

เราพิจารณาสองกลุ่มย่อยของG : กลุ่มแรกคือกลุ่มย่อยของการวางแนวลูกบาศก์ซึ่งเป็นการเคลื่อนไหวที่ทำให้ตำแหน่งของบล็อกทุกบล็อกคงที่ แต่สามารถเปลี่ยนการวางแนวของบล็อกได้ กลุ่มนี้เป็นกลุ่มย่อยปกติของGสามารถแสดงได้ในรูปของการปิดปกติของการเคลื่อนไหวบางอย่างที่พลิกขอบบางส่วนหรือบิดมุมบางส่วน ตัวอย่างเช่น เป็นการปิดปกติของการเคลื่อนไหวสองแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},}$(บิดมุมสองมุม)

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },}$(พลิกขอบสองด้าน)

ประการที่สอง เราพิจารณากลุ่มย่อยของการเรียงสับเปลี่ยนลูกบาศก์ซึ่งเป็นการเคลื่อนย้ายที่สามารถเปลี่ยนตำแหน่งของบล็อกได้ แต่ยังคงทิศทางไว้ สำหรับกลุ่มย่อยนี้ มีตัวเลือกหลายอย่าง ขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนด 'ทิศทาง' อย่างแม่นยำ^{[หมายเหตุ 2 ]}ตัวเลือกหนึ่งคือกลุ่มต่อไปนี้ ซึ่งกำหนดโดยตัวสร้าง (ตัวสร้างสุดท้ายเป็นวัฏจักร 3 บนขอบ): ${\displaystyle C_{\text{p}}}$

${\displaystyle C_{\text{p}}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].}$

เนื่องจากCoเป็นกลุ่มย่อยปกติ และจุดตัดของCo C คือเอกลักษณ์ และผลคูณของทั้งสองกลุ่มคือกลุ่มลูกบาศก์ทั้งหมด จึงสรุปได้ว่ากลุ่มลูกบาศก์G ผลคูณกึ่งตรงของทั้งสองกลุ่มนี้ นั่นคือ

$G = C_{\text{o}}\rtimes C_{\text{p}}.}$

โครงสร้างของCoคือ

${\displaystyle \mathrm {Z} _{3}^{7}\times \mathrm {Z} _{2}^{11},}$

เนื่องจากกลุ่มการหมุนของลูกบาศก์แต่ละมุม (หรือขอบ) คือ(หรือ) และในแต่ละกรณี ทุกมุมยกเว้นมุมสุดท้ายสามารถหมุนได้อย่างอิสระ แต่การหมุนเหล่านี้จะกำหนดทิศทางของมุมสุดท้าย เมื่อสังเกตว่ามี 8 มุมและ 12 ขอบ และกลุ่มการหมุนทั้งหมดเป็นกลุ่มอาเบเลียน จึงได้โครงสร้างข้างต้น ${\displaystyle \คณิตศาสตร์ {Z} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

การเรียงสับเปลี่ยนของลูกบาศก์C นั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ประกอบด้วยกลุ่มย่อยปกติที่ไม่ซ้ำกันสองกลุ่ม ได้แก่ กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนคู่บนมุม A และกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนคู่บนขอบ A การเรียงสับเปลี่ยนที่สลับมุมสองมุมและสลับขอบสองขอบเป็นส่วนเติมเต็มของกลุ่มย่อยทั้งสองนี้ ปรากฏว่าการเรียงสับเปลี่ยนเหล่านี้สร้างการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle C_{\text{p}}=(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {A} _{12})\,\rtimes \mathrm {Z} _{2}.}$

เมื่อนำทุกส่วนมารวมกัน เราจะได้ว่ากลุ่มลูกบาศก์นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ

${\displaystyle (\mathrm {Z} _{3}^{7}\times \mathrm {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {A} _{12})\rtimes \mathrm {Z} _{2}).}$

กลุ่มนี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ทางอ้อม เช่นกัน

${\displaystyle [(\mathrm {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}},}$

ตามสัญลักษณ์ของ Griess

เมื่อพิจารณาสมมาตรของหน้าตัดตรงกลางแล้ว กลุ่มสมมาตรจะเป็นกลุ่มย่อยของ

${\displaystyle [\mathrm {Z} _{4}^{6}\times (\mathrm {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$

(การที่การหมุนของหน้าศูนย์กลางไม่สำคัญนั้น เป็นตัวอย่างโดยนัยของการทำงานของกลุ่มผลหาร ซึ่งช่วยปกปิด กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของวัตถุที่กล่าวถึงจากผู้อ่าน)

กลุ่มสมมาตรของลูกบาศก์รูบิกที่ได้จากการแยกชิ้นส่วนและประกอบใหม่นั้นมีขนาดใหญ่ขึ้นเล็กน้อย กล่าวคือเป็นผลคูณโดยตรง

${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}^{6}\times (\mathrm {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).}$

ปัจจัยแรกอธิบายได้ด้วยการหมุนของชิ้นส่วนตรงกลางเท่านั้น ปัจจัยที่สองอธิบายได้ด้วยสมมาตรของมุมเท่านั้น และปัจจัยที่สามอธิบายได้ด้วยสมมาตรของขอบเท่านั้น ปัจจัยสองข้อหลังนี้เป็นตัวอย่างของกลุ่มสมมาตรทั่วไปซึ่งเป็นตัวอย่างของผลคูณแบบพวงหรีด (ไม่มีปัจจัยสำหรับการจัดเรียงหน้าตรงกลางใหม่ เนื่องจากในลูกบาศก์รูบิกเกือบทุกรุ่น การจัดเรียงหน้าเหล่านี้ใหม่เป็นไปไม่ได้ด้วยการถอดประกอบอย่างง่าย)

กลุ่มอย่างง่ายที่เกิดขึ้นเป็นผลหารในอนุกรมการประกอบของกลุ่มลูกบาศก์มาตรฐาน (กล่าวคือ โดยไม่คำนึงถึงการหมุนของชิ้นส่วนตรงกลาง) ได้แก่, , (7 ครั้ง) และ(12 ครั้ง) ${\displaystyle \mathrm {A} _{8}}$${\displaystyle \mathrm {A} _{12}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

มีรายงานว่ากลุ่มลูกบาศก์รูบิกมีคลาสการสมมูล 81,120 คลาส^{[ 7 ]}จำนวนนี้คำนวณโดยการนับจำนวนคลาสการสมมูลคู่และคี่ในกลุ่มขอบและกลุ่มมุมแยกกัน แล้วคูณกันเพื่อให้แน่ใจว่าผลรวมของความเท่าเทียมกันเป็นเลขคู่เสมอ ต้องระมัดระวังเป็นพิเศษในการนับ คลาสการ สมมูลที่เรียกว่าคลาสการสมมูลที่ไวต่อความเท่าเทียมกันซึ่งองค์ประกอบจะแตกต่างกันเสมอเมื่อสมมูลกับองค์ประกอบคู่ใดๆ เทียบกับองค์ประกอบคี่ใดๆ^{[ 8 ]}