ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข วิธี Runge –Kutta ( อังกฤษ: / ˈ r ʊ ŋ ə ˈ k ʊ t ɑː /^ⓘ RUUNG -ə- KUUT -tah ^{[ 1 ]} ) เป็นกลุ่มของวิธีการวนซ้ำแบบปริยายและชัดเจนซึ่งรวมถึงวิธีออยเลอร์ที่ใช้ในการแบ่งช่วงเวลาสำหรับการหาคำตอบโดยประมาณของสมการไม่เชิงเส้นพร้อมกัน ^{[ 2 ]}วิธีการเหล่านี้ได้รับการพัฒนาขึ้นราวปี 1900 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันคาร์ล รุนและล์ม คุตตา

วิธีการรันเก-กุตตะ (Runge–Kutta) ที่เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายที่สุด มักเรียกกันว่า "RK4" "วิธีการรันเก-กุตตะแบบคลาสสิก" หรือเรียกง่ายๆ ว่า "วิธีการรันเก-กุตตะ"

ให้กำหนด ปัญหาค่าเริ่มต้น ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

นี่คือฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า (สเกลาร์หรือเวกเตอร์) ของเวลาซึ่งเราต้องการประมาณค่า โดยเราได้รับแจ้งว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ เป็นฟังก์ชันของและของตัวมันเอง ณ เวลาเริ่มต้น ค่า ที่สอดคล้องกันคือฟังก์ชันและเงื่อนไขเริ่มต้นถูก กำหนดมาให้แล้ว ${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$

ต่อไปเราจะเลือกขนาดขั้นตอนh > 0 และกำหนดดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}$

สำหรับn = 0, 1, 2, 3, ... โดยใช้^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+k_{1}{\frac {h}{2}}\right),\\k_{3}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+k_{2}{\frac {h}{2}}\right),\\k_{4}&=\ f\!\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right).\end{aligned}}}$

( หมายเหตุ: สมการข้างต้นมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันแต่เทียบเท่ากันในตำราต่าง ๆ^{[ 4 ]} )

นี่คือค่าประมาณ RK4 ของและค่าถัดไป ( ) ถูกกำหนดโดยค่าปัจจุบัน ( ) บวกกับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าเพิ่มขึ้นสี่ค่า โดยแต่ละค่าเพิ่มขึ้นเป็นผลคูณของขนาดของช่วงhและความชันโดยประมาณที่ระบุโดยฟังก์ชันfทางด้านขวามือของสมการเชิงอนุพันธ์ ${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle y(t_{n+1})}$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle y_{n}}$

• ${\displaystyle k_{1}}$คือค่าความชัน ณ จุดเริ่มต้นของช่วง โดยใช้วิธีของออยเลอร์${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle k_{2}}$คือค่าความชัน ณ จุดกึ่งกลางของช่วง โดยใช้และ;${\displaystyle y}$${\displaystyle k_{1}}$
• ${\displaystyle k_{3}}$คือความชันที่จุดกึ่งกลางอีกครั้ง แต่คราวนี้ใช้และ;${\displaystyle y}$${\displaystyle k_{2}}$
• ${\displaystyle k_{4}}$คือค่าความชัน ณ จุดสิ้นสุดของช่วง โดยใช้และ${\displaystyle y}$${\displaystyle k_{3}}$

^{ในการหาค่าเฉลี่ย ของ}ความชันทั้งสี่ จะให้น้ำหนักมากขึ้นกับความชันที่จุดกึ่งกลาง หากเป็นอิสระจากดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์จึงเทียบเท่ากับอินทิกรัลอย่างง่าย RK4 ก็คือกฎของซิมป์สัน [ ^{5 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$

วิธี RK4 เป็นวิธีอันดับสี่ ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดในการตัดทอนเฉพาะจุดมีขนาดประมาณ ในขณะที่ ข้อผิดพลาดสะสมทั้งหมดมีขนาดประมาณ ${\displaystyle O(h^{5})}$${\displaystyle O(h^{4})}$

ในการใช้งานจริงหลายๆ กรณี ฟังก์ชันนี้เป็นอิสระจากระบบ(เรียกว่าระบบอัตโนมัติหรือระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยเฉพาะในทางฟิสิกส์) และจะไม่คำนวณค่าเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันนี้เลย และจะไม่ส่งค่าเหล่านั้นไปยังฟังก์ชันอื่น โดยจะ ใช้ เฉพาะสูตรสุดท้ายสำหรับฟังก์ชันนั้นเท่านั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t_{n+1}}$

กลุ่ม วิธี Runge–Kutta แบบชัดเจน (explicit Runge–Kutta methods) เป็นการขยายความของวิธี RK4 ที่กล่าวถึงข้างต้น โดยกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

โดยที่^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+(a_{21}k_{1})h),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})h),\\&\ \ \vdots \\k_{s}&=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+(a_{s1}k_{1}+a_{s2}k_{2}+\cdots +a_{s,s-1}k_{s-1})h).\end{aligned}}}$

( หมายเหตุ: สมการข้างต้นอาจมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันแต่เทียบเท่ากันในตำราบางเล่ม^{[ 4 ]} )

ในการระบุวิธีการเฉพาะเจาะจง จำเป็นต้องระบุจำนวนเต็มs (จำนวนขั้นตอน) และสัมประสิทธิ์a _ij (สำหรับ 1 ≤ j < i ≤ s ), b _i (สำหรับi = 1, 2, ..., s ) และc _i (สำหรับi = 2, 3, ..., s ) เมทริกซ์ [ a _ij ] เรียกว่าเมทริกซ์ Runge–Kuttaในขณะที่b _iและc _iเรียกว่าน้ำหนักและโหนด^{[ 7 ]}ข้อมูลเหล่านี้มักจะถูกจัดเรียงในอุปกรณ์ช่วยจำที่เรียกว่าตาราง Butcher (ตั้งชื่อตามJohn C. Butcher ):

${\displaystyle 0}$
${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle a_{21}}$
${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{31}}$	${\displaystyle a_{32}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s1}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
	${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$

การขยาย อนุกรมเทย์เลอร์แสดงให้เห็นว่าวิธี Runge–Kutta มีความสอดคล้องก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{s}b_{i}=1.}$

นอกจากนี้ยังมีข้อกำหนดเพิ่มเติมหากต้องการให้วิธีการมีลำดับp ที่แน่นอน ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดในการตัดทอนเฉพาะที่คือ O( h ^{p +1} ) สิ่งเหล่านี้สามารถอนุมานได้จากนิยามของข้อผิดพลาดในการตัดทอนเอง ตัวอย่างเช่น วิธีการสองขั้นตอนมีลำดับ 2 ถ้าb ₁ + b ₂ = 1, b ₂ c ₂ = 1/2 และb ₂ a ₂₁ = 1/2 ^{[ 8 ]}โปรดทราบว่าเงื่อนไขที่นิยมใช้ในการกำหนดสัมประสิทธิ์คือ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}{\text{ for }}i=2,\ldots ,s.}$

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขนี้เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอหรือจำเป็นต่อความสอดคล้อง ^{[ 9 ]}

โดยทั่วไป หากวิธี Runge–Kutta แบบชัดเจนที่มี n ขั้นตอนมีลำดับn ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนขั้นตอนต้องเป็นไปตามเงื่อนไข n และถ้าn แล้ว n ≥ n ^{[ 10 ]} อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าขอบเขตเหล่านี้แม่นยำในทุกกรณีหรือไม่ ในบางกรณี มีการพิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถบรรลุขอบเขตได้ ตัวอย่างเช่น Butcher พิสูจน์ว่าสำหรับ n = n ไม่มีวิธีแบบชัดเจนที่มีn ขั้นตอน^{[ 11 ]} Butcher ยังพิสูจน์ว่าสำหรับn = n ไม่มีวิธี Runge-Kutta แบบชัดเจนที่มีn ขั้นตอน^{[ 12 ]}อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขว่าจำนวนขั้นตอนขั้นต่ำที่แน่นอนสำหรับวิธี Runge–Kutta แบบชัดเจนที่จะมีลำดับ n คือเท่าใดค่าบางค่าที่ทราบคือ: ^{[ 13 ]}${\displaystyle s}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s\geq p}$${\displaystyle p\geq 5}$${\displaystyle s\geq p+1}$${\displaystyle p>6}$${\displaystyle s=p+1}$${\displaystyle p>7}$${\displaystyle p+2}$${\displaystyle s}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccccc}p&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \min s&1&2&3&4&6&7&9&11\end{array}}}$

ขอบเขตที่พิสูจน์ได้ข้างต้นจึงหมายความว่าเราไม่สามารถหาวิธีการลำดับที่ต้องการขั้นตอนน้อยกว่าวิธีการที่เราทราบอยู่แล้วสำหรับลำดับเหล่านี้ได้ งานของ Butcher ยังพิสูจน์ได้ว่าวิธีการลำดับที่ 7 และ 8 มีขั้นตอนขั้นต่ำ 9 และ 11 ขั้นตอนตามลำดับ^{[ 11 ] [ 12 ]}ตัวอย่างของวิธีการที่ชัดเจนลำดับที่ 6 ที่มี 7 ขั้นตอนสามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิง^{[ 14 ]}วิธีการที่ชัดเจนลำดับที่ 7 ที่มี 9 ขั้นตอน^{[ 11 ]}และวิธีการที่ชัดเจนลำดับที่ 8 ที่มี 11 ขั้นตอน^{[ 15 ]}ก็เป็นที่รู้จักเช่นกัน ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 16 ] [ 17 ]}สำหรับบทสรุป ${\displaystyle p=1,2,\ldots ,6}$

วิธีการ RK4 อยู่ในกรอบนี้ ตารางของมันคือ^{[ 18 ]}

0
1/2	1/2
1/2	0	1/2
1	0	0	1
	1/6	1/3	1/3	1/6

วิธีการ Runge–Kutta ที่แตกต่างเล็กน้อยนี้เกิดจาก Kutta ในปี 1901 และเรียกว่ากฎ 3/8 ^{[ 19 ]}ข้อได้เปรียบหลักของวิธีนี้คือค่าสัมประสิทธิ์ข้อผิดพลาดเกือบทั้งหมดมีขนาดเล็กกว่าในวิธีที่นิยม แต่ต้องใช้การดำเนินการจุดลอยตัวมากกว่าเล็กน้อยต่อขั้นตอนเวลา ตาราง Butcher ของวิธีนี้คือ

0
1/3	1/3
2/3	−1/3	1
1	1	−1	1
	1/8	3/8	3/8	1/8

อย่างไรก็ตาม วิธี Runge–Kutta ที่ง่ายที่สุดคือวิธี Euler (แบบไปข้างหน้า) ซึ่งกำหนดโดยสูตรนี่เป็นวิธี Runge–Kutta แบบชัดเจนที่สอดคล้องกันเพียงวิธีเดียวที่มีขั้นตอนเดียว ตารางที่เกี่ยวข้องคือ ${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}$

0
	1

ตัวอย่างหนึ่งของวิธีการอันดับสองที่มีสองขั้นตอน ได้แก่วิธีการจุดกึ่งกลาง แบบชัดเจน :

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {1}{2}}h,y_{n}+{\frac {1}{2}}hf(t_{n},\ y_{n})\right).}$

ตารางที่เกี่ยวข้องคือ

0
1/2	1/2
	0	1

วิธีจุดกึ่งกลางไม่ใช่เพียงวิธี Runge–Kutta อันดับสองที่มีสองขั้นตอนเท่านั้น ยังมีวิธีการดังกล่าวอีกหลายวิธี ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์ด้วย α และกำหนดโดยสูตร^{[ 20 ]}

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h{\bigl (}(1-{\tfrac {1}{2\alpha }})f(t_{n},y_{n})+{\tfrac {1}{2\alpha }}f(t_{n}+\alpha h,y_{n}+\alpha hf(t_{n},y_{n})){\bigr )}.}$

ฉากคนขายเนื้อของมันคือ

0
${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \alpha }$
	${\displaystyle (1-{\tfrac {1}{2\alpha }})}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2\alpha }}}$

ในกลุ่มนี้ วิธี การจุดกึ่งกลางคือ วิธี การของ Heun [ ^{5 ]}และ^วิธีการของ Ralston ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \alpha ={\tfrac {2}{3}}}$

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาวิธี Runge–Kutta อันดับสองแบบสองขั้นตอนที่มี α = 2/3 หรือที่รู้จักกันในชื่อวิธี Ralstonซึ่งแสดงโดยตาราง

พร้อมด้วยสมการที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},\ y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{n}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1}),\\y_{n+1}&=y_{n}+h\left({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2}\right).\end{aligned}}}$

วิธีนี้ใช้ในการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\tan(y)+1,\quad y_{0}=1,\ t\in [1,1.1]}$

โดยมีขนาดขั้นตอนh = 0.025 ดังนั้นวิธีการนี้จึงต้องใช้สี่ขั้นตอน

วิธีการดำเนินการมีดังนี้:

${\displaystyle t_{0}=1\colon }$
	${\displaystyle y_{0}=1}$
${\displaystyle t_{1}=1.025\colon }$
	${\displaystyle y_{0}=1}$	${\displaystyle k_{1}=2.557407725}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{0}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{0}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})=2.7138981400}$
	${\displaystyle y_{1}=y_{0}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.066869388}}}$
${\displaystyle t_{2}=1.05\colon }$
	${\displaystyle y_{1}=1.066869388}$	${\displaystyle k_{1}=2.813524695}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{1}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{1}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{2}=y_{1}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.141332181}}}$
${\displaystyle t_{3}=1.075\colon }$
	${\displaystyle y_{2}=1.141332181}$	${\displaystyle k_{1}=3.183536647}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{2}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{2}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{3}=y_{2}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.227417567}}}$
${\displaystyle t_{4}=1.1\colon }$
	${\displaystyle y_{3}=1.227417567}$	${\displaystyle k_{1}=3.796866512}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{3}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{3}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{4}=y_{3}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.335079087}}.}$

ค่าที่ขีดเส้นใต้แสดงถึงคำตอบเชิงตัวเลข

โดยทั่วไปแล้ว วิธี Runge–Kutta แบบชัดเจนไม่เหมาะสำหรับการแก้สมการแข็งเนื่องจากขอบเขตของเสถียรภาพสัมบูรณ์มีขนาดเล็ก โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีขอบเขตจำกัด^{[ 21 ]} ปัญหานี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการแก้สมการ เชิงอนุพันธ์ย่อย

ความไม่เสถียรของวิธีการรันเก-คุตตะแบบชัดแจ้งเป็นแรงผลักดันให้เกิดการพัฒนาวิธีการรันเก-คุตตะแบบไม่ชัดแจ้ง วิธีการรันเก-คุตตะแบบไม่ชัดแจ้งมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

ที่ไหน

${\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,\ y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}$^{[ 22 ]}

ความแตกต่างกับวิธีการที่ชัดเจนคือ ในวิธีการที่ชัดเจน ผลรวมเหนือjจะมีค่าถึงi − 1 เท่านั้น ^{[ 23 ]}สิ่งนี้ยังปรากฏให้เห็นในตาราง Butcher ด้วย: เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของวิธีการที่ชัดเจนจะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง ในวิธีการที่ไม่ชัดเจน ผลรวมเหนือjจะมีค่าถึงsและเมทริกซ์สัมประสิทธิ์จะไม่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมอย่างแท้จริง ทำให้ได้ตาราง Butcher ในรูปแบบ^{[ 18 ]}${\displaystyle a_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}$

ผลที่ตามมาของความแตกต่างนี้คือ ในแต่ละขั้นตอน จะต้องแก้ระบบสมการพีชคณิต ซึ่งจะเพิ่มต้นทุนการคำนวณอย่างมาก หากใช้ วิธีที่มี s ขั้นตอนในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มี mส่วนประกอบ ระบบสมการพีชคณิตจะมีmsส่วนประกอบ ซึ่งสามารถเปรียบเทียบได้กับวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้น แบบปริยาย (ซึ่งเป็นอีกกลุ่มใหญ่ของวิธีการสำหรับ ODE): วิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นแบบปริยายsขั้นตอนจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตที่มีเพียงmส่วนประกอบเท่านั้น ดังนั้นขนาดของระบบจึงไม่เพิ่มขึ้นเมื่อจำนวนขั้นตอนเพิ่มขึ้น^{[ 24 ]}

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของวิธีการ Runge–Kutta แบบไม่ชัดเจนคือวิธีการ Euler แบบย้อนกลับ :

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n}+h,\ y_{n+1}).\,}$

ภาพประกอบสำหรับเรื่องนี้โดยสรุปก็คือ:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

ตารางแสดงภาพคนขายเนื้อนี้สอดคล้องกับสูตรต่างๆ

${\displaystyle k_{1}=f(t_{n}+h,\ y_{n}+hk_{1})\quad {\text{and}}\quad y_{n+1}=y_{n}+hk_{1},}$

ซึ่งสามารถนำมาจัดเรียงใหม่เพื่อให้ได้สูตรสำหรับวิธีการออยเลอร์แบบย้อนกลับที่ระบุไว้ข้างต้น

อีกตัวอย่างหนึ่งของวิธีการ Runge–Kutta แบบไม่ชัดเจนคือกฎสี่เหลี่ยมคางหมูตาราง Butcher ของกฎนี้คือ:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&1&0\\\end{array}}}$

กฎสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นวิธีการจัดเรียง (ตามที่ได้กล่าวไว้ในบทความนั้น) วิธีการจัดเรียงทั้งหมดเป็นวิธีการ Runge–Kutta โดยปริยาย แต่ไม่ใช่ว่าวิธีการ Runge–Kutta โดยปริยายทั้งหมดจะเป็นวิธีการจัดเรียง^{[ 25 ]}

วิธีการ Gauss –Legendreเป็นกลุ่มของวิธีการจัดเรียงตามGauss quadratureวิธีการ Gauss–Legendre ที่มีsขั้นตอนจะมีลำดับ 2s (ดังนั้น วิธีการที่มีลำดับสูงตามอำเภอใจจึงสามารถสร้างได้) ^{[ 26 ]}วิธีการที่มีสองขั้นตอน (และดังนั้นลำดับสี่) มีตาราง Butcher:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\end{array}}}$^{[ 24 ]}

ข้อดีของวิธีการรันเก-คุตตาแบบไม่ชัดแจ้งเมื่อเทียบกับแบบชัดแจ้งคือความเสถียรที่มากกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนำไปใช้กับสมการที่ซับซ้อนพิจารณาสมการทดสอบเชิงเส้นวิธีการรันเก-คุตตาที่ใช้กับสมการนี้จะลดลงเหลือการวนซ้ำโดยที่rกำหนดโดย ${\displaystyle y'=\lambda y}$${\displaystyle y_{n+1}=r(h\lambda )\,y_{n}}$

${\displaystyle r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}},}$^{[ 27 ]}

โดยที่eหมายถึงเวกเตอร์ของเลขหนึ่ง ฟังก์ชันrเรียกว่าฟังก์ชันเสถียรภาพ^{[ 28 ]}จากสูตรนี้rจะเป็นผลหารของพหุนามสองตัวที่มีดีกรีsหากวิธีการมีsขั้นตอน วิธีการที่ชัดเจนจะมีเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างA อย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่า det( I − zA ) = 1 และฟังก์ชันเสถียรภาพเป็นพหุนาม^{[ 29 ]}

วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการทดสอบเชิงเส้นจะลดลงเหลือศูนย์หาก | r ( z ) | < 1 โดยที่z = h λ เซตของz ดัง กล่าวเรียกว่าโดเมนของความเสถียรสัมบูรณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีการนี้กล่าวได้ว่ามีความเสถียรสัมบูรณ์ หาก zทั้งหมดที่มี Re( z ) < 0 อยู่ในโดเมนของความเสถียรสัมบูรณ์ ฟังก์ชันความเสถียรของวิธีการ Runge–Kutta แบบชัดเจนเป็นพหุนาม ดังนั้นวิธีการ Runge–Kutta แบบชัดเจนจึงไม่มีทางมีความเสถียรแบบ A ได้^{[ 29 ]}

ถ้าวิธีมีลำดับpฟังก์ชันเสถียรภาพจะสอดคล้องกับดังนั้น การศึกษาผลหารของพหุนามที่มีดีกรีที่กำหนดซึ่งประมาณฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้ดีที่สุดจึงน่าสนใจ สิ่งเหล่านี้เรียกว่า ตัวประมาณ Padéตัวประมาณ Padé ที่มีตัวเศษดีกรีmและตัวส่วนดีกรีnจะมีเสถียรภาพแบบ A ก็ต่อเมื่อm ≤ n ≤ m + 2 ^{[ 30 ]}${\displaystyle r(z)={\textrm {e}}^{z}+O(z^{p+1})}$${\displaystyle z\to 0}$

วิธี Gauss–Legendre ที่มีsขั้นตอนมีลำดับ 2s ดังนั้นฟังก์ชันเสถียรภาพของมันจึงเป็นตัวประมาณ Padé ที่มีm = n = sซึ่งแสดงให้เห็นว่าวิธีนี้มีเสถียรภาพแบบ A ^{[ 31 ]} สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า Runge–Kutta ที่มีเสถียรภาพแบบ A สามารถมีลำดับสูงได้ตามอำเภอใจ ในทางตรงกันข้าม ลำดับของ วิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นที่มีเสถียรภาพแบบ A ไม่สามารถเกินสองได้^{[ 32 ]}

วิธีการปรับตัวถูกออกแบบมาเพื่อประมาณค่าความคลาดเคลื่อนจากการตัดทอนเฉพาะที่ของขั้นตอน Runge–Kutta เดียว โดยใช้วิธีการสองวิธี วิธีหนึ่งมีลำดับและอีกวิธีหนึ่งมีลำดับวิธีการทั้งสองนี้ถูกผสานเข้าด้วยกัน กล่าวคือ มีขั้นตอนกลางร่วมกัน ด้วยเหตุนี้ การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนจึงมีต้นทุนการคำนวณน้อยหรือแทบไม่มีเลย เมื่อเทียบกับขั้นตอนที่ใช้วิธีการที่มีลำดับสูงกว่า ${\displaystyle p}$${\displaystyle p-1}$

ในระหว่างการคำนวณแบบอินทิเกรต ขนาดของขั้นตอนจะถูกปรับเพื่อให้ค่าความคลาดเคลื่อนที่คาดการณ์ไว้ต่ำกว่าเกณฑ์ที่ผู้ใช้กำหนด: หากค่าความคลาดเคลื่อนสูงเกินไป ขั้นตอนจะถูกทำซ้ำด้วยขนาดขั้นตอนที่เล็กลง หากค่าความคลาดเคลื่อนน้อยลงมาก ขนาดของขั้นตอนจะถูกเพิ่มขึ้นเพื่อประหยัดเวลา วิธีนี้ส่งผลให้ได้ขนาดขั้นตอนที่เหมาะสมที่สุด (เกือบจะ) ซึ่งช่วยประหยัดเวลาในการคำนวณ นอกจากนี้ ผู้ใช้ไม่จำเป็นต้องเสียเวลาในการค้นหาขนาดขั้นตอนที่เหมาะสมอีกด้วย

ขั้นตอนลำดับต่ำกว่ากำหนดโดย

${\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}$

ซึ่งเหมือนกับวิธีการลำดับสูงกว่า ดังนั้นข้อผิดพลาดคือ ${\displaystyle k_{i}}$

${\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}$

ซึ่งก็คือตาราง Butcher สำหรับวิธีการประเภทนี้ได้รับการขยายเพื่อให้ได้ค่าดังต่อไปนี้: ${\displaystyle O(h^{p})}$${\displaystyle b_{i}^{*}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}$

วิธี Runge –Kutta–Fehlbergมีสองวิธี คือ วิธีลำดับที่ 5 และวิธีลำดับที่ 4 ตาราง Butcher ที่ขยายแล้วมีดังนี้:

อย่างไรก็ตาม วิธี Runge–Kutta แบบปรับตัวที่ง่ายที่สุดนั้นเกี่ยวข้องกับการรวมวิธีของ Heunซึ่งมีลำดับที่ 2 เข้ากับวิธีของ Eulerซึ่งมีลำดับที่ 1 ตาราง Butcher ที่ขยายแล้วมีดังนี้:

วิธีการ Runge–Kutta แบบปรับตัวได้อื่นๆ ได้แก่วิธี Bogacki–Shampine (ลำดับที่ 3 และ 2), วิธี Cash–Karpและวิธี Dormand–Prince (ทั้งสองวิธีมีลำดับที่ 5 และ 4)

กล่าวกันว่าวิธี Runge–Kutta ไม่มีการบรรจบกัน^{[ 33 ]}หากทั้งหมดแตกต่างกัน ${\displaystyle c_{i},\,i=1,2,\ldots ,s}$

วิธีการ Runge–Kutta–Nyström (RKN) เป็นกลุ่มของวิธีการที่ใช้หลักการเดียวกันกับวิธีการ Runge–Kutta แต่สำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นอันดับสอง^{[ 34 ] [ 35 ]}ดังนั้นปัญหาในรูปแบบ:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=f(t,{\frac {dy}{dt}},y),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad {\frac {dy}{dt}}(t_{0})=y'_{0}.}$

มีอนุพันธ์สองตัวและค่าประมาณสองค่า วิธี Runge-Kutta-Nyström จึงใช้เมทริกซ์ Runge-Kutta สองเมทริกซ์และชุดน้ำหนักสองชุดแต่ยังคงต้องการเพียงชุดโหนดเดียวเท่านั้นซึ่งจะได้ตาราง Butcher ในรูปแบบ: ${\displaystyle a_{ij},a'_{ij}}$${\displaystyle b_{i},b'_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &a'_{11}&a'_{12}&\dots &a'_{1s}\\&a'_{21}&a'_{22}&\dots &a'_{2s}\\&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\&a'_{s1}&a'_{s2}&\dots &a'_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b'_{1}&b'_{2}&\dots &b'_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {A'} \\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\\&\mathbf {b'} ^{\top }\end{array}}}$$

สมมติว่าได้ทำการประมาณค่าจนถึงจุดโดยใช้การประมาณค่าที่และการประมาณค่าที่ การประมาณค่าที่คือคำตอบของระบบสมการต่อไปนี้: ${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t_{n})}$${\displaystyle y'_{n}}$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}(t_{n})}$${\displaystyle y_{n+1},y'_{n+1}}$${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$

$${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}=y_{n}+c_{i}hy'_{n}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}a_{ij}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j}),&i=1,2,\ldots ,s\\g'_{i}=y'_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a'_{ij}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j}),&i=1,2,\ldots ,s\\\\y_{n+1}=y_{n}+hy'_{n}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}b_{j}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})\\y'_{n+1}=y'_{n}+h\sum _{j=1}^{s}b'_{j}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})\end{cases}}}$$

ค่าประมาณระดับกลางของและ อยู่ ที่ไหน การทำงานกับค่า ที่แทนที่ ด้วยสูตรของมัน แทนที่จะทำงานกับ นั้นเทียบเท่า กับการทำงาน โดยตรงกับ เหมือนกับที่เราเคยทำกับวิธีการ Runge-Kutta แต่ระบบนี้เขียนได้ง่ายกว่าด้วยวิธีนี้ ${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$${\displaystyle k_{j}=f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})}$${\displaystyle g_{j},g'_{j}}$${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$

กล่าวได้ว่าวิธี Runge-Kutta-Nyström เป็นแบบชัดเจนหากทั้งสองเป็นแบบสามเหลี่ยมล่างอย่างเคร่งครัด และในกรณีนี้ ผลรวมในนิพจน์ของอาจถูกแทนที่ด้วย^{[ 36 ]}นอกจากนี้ กล่าวได้ว่าวิธี Runge-Kutta-Nyström มีลำดับหาก ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ของทั้งสองคือ${\displaystyle A,A'}$${\textstyle \sum _{j=1}^{s}}$${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$${\textstyle \sum _{j=1}^{i-1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle y_{n+1},y'_{n+1}}$${\displaystyle O(h^{p+1})}$

หากฟังก์ชันของปัญหาค่าเริ่มต้นที่พิจารณาเป็นอิสระจากก็ไม่จำเป็นต้องประมาณค่าตัวกลางเพื่อคำนวณค่าประมาณ น้ำหนักจึงไม่มีประโยชน์ และเราจะเขียนวิธีการที่สร้างขึ้นสำหรับกรณีพิเศษนี้เท่านั้นโดยใช้ตารางในรูปแบบ: ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$${\displaystyle g'_{i}}$${\displaystyle a'_{ij}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b'_{1}&b'_{2}&\dots &b'_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\\&\mathbf {b'} ^{\top }\end{array}}}$$

กรณีพิเศษนี้มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เนื่องจากช่วยให้ได้ลำดับที่สูงกว่าที่วิธีการ Runge-Kutta-Nyström ทั่วไปสามารถทำได้ ตัวอย่างเช่น วิธีการ RKN ลำดับที่สี่แบบชัดเจนสองวิธีแสดงอยู่ในตาราง Butcher ต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2-{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline b_{i}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}\\\hline b'_{i}&{\frac {5-3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3+{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1+{\sqrt {3}}}{24}}\\\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2+{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline b_{i}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}\\\hline b'_{i}&{\frac {5+3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3-{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1-{\sqrt {3}}}{24}}\\\end{array}}}$$

แผนการทั้งสองนี้ยังมีคุณสมบัติในการรักษาสภาพเชิงซิมเพล็กติกเมื่อสมการดั้งเดิมได้มาจากระบบกลศาสตร์คลาสสิกแบบอนุรักษ์ กล่าวคือเมื่อ

$${\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

สำหรับฟังก์ชันสเกลาร์บางฟังก์ชัน^{[ 37 ]}${\displaystyle V}$

แนวคิด เรื่อง เสถียรภาพแบบ Aสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นั้นเกี่ยวข้องกับสมการเชิงเส้นแบบอิสระDahlquist (1963)เสนอให้ศึกษาเสถียรภาพของวิธีการเชิงตัวเลขเมื่อนำไปใช้กับระบบไม่เชิงเส้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความเป็นเอกรูป แนวคิดที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดให้เป็นเสถียรภาพแบบ Gสำหรับวิธีการหลายขั้นตอน (และวิธีการขาเดียวที่เกี่ยวข้อง) และเสถียรภาพแบบ B (Butcher, 1975) สำหรับวิธีการ Runge–Kutta วิธีการ Runge–Kutta ที่นำไปใช้กับระบบไม่เชิงเส้นซึ่งตรวจสอบเงื่อนไขดังกล่าว เรียกว่ามีเสถียรภาพแบบ Bหากเงื่อนไขนี้หมายถึงคำตอบเชิงตัวเลขสองคำตอบ ${\displaystyle y'=\lambda y}$${\displaystyle y'=f(y)}$${\displaystyle \langle f(y)-f(z),\ y-z\rangle \leq 0}$${\displaystyle \|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|}$

ให้, และเป็นเมทริกซ์สามเมทริกซ์ที่กำหนดโดย วิธี Runge–Kutta กล่าวได้ว่ามีเสถียรภาพทางพีชคณิต^{[ 38 ]}หากเมทริกซ์และเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนทั้งคู่ เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับเสถียรภาพ B ^{[ 39 ]}คือ: และเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle s\times s}$$${\displaystyle {\begin{aligned}B&=\operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}),\\[4pt]M&=BA+A^{T}B-bb^{T},\\[4pt]Q&=BA^{-1}+A^{-T}B-A^{-T}bb^{T}A^{-1}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Q}$

โดยทั่วไป วิธีการจัดลำดับแบบ Runge–Kutta สามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle y_{t+h}=y_{t}+h\cdot \sum _{i=1}^{s}a_{i}k_{i}+{\mathcal {O}}(h^{s+1}),}$

ที่ไหน:

${\displaystyle k_{i}=\sum _{j=1}^{s}\beta _{ij}f(k_{j},\ t_{n}+\alpha _{i}h)}$

คือค่าเพิ่มขึ้นที่ได้จากการประเมินอนุพันธ์ของที่ลำดับที่ ${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle i}$

เราพัฒนาการคำนวณ^{[ 40 ]}สำหรับวิธีการ Runge–Kutta อันดับสี่โดยใช้สูตรทั่วไปที่ประเมินค่าตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ณ จุดเริ่มต้น จุดกึ่งกลาง และจุดสิ้นสุดของช่วงใดๆดังนั้นเราจึงเลือก: ${\displaystyle s=4}$${\displaystyle (t,\ t+h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha _{i}&&\beta _{ij}\\\alpha _{1}&=0&\beta _{21}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{2}&={\frac {1}{2}}&\beta _{32}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{3}&={\frac {1}{2}}&\beta _{43}&=1\\\alpha _{4}&=1&&\\\end{aligned}}}$

และอื่นๆ เราเริ่มต้นด้วยการกำหนดปริมาณต่อไปนี้: ${\displaystyle \beta _{ij}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}^{1}&=y_{t}+hf\left(y_{t},\ t\right)\\y_{t+h}^{2}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\y_{t+h}^{3}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\end{aligned}}}$

โดยที่และ ถ้าเรากำหนด: ${\displaystyle y_{t+h/2}^{1}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{1}}{2}}}$${\displaystyle y_{t+h/2}^{2}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{2}}{2}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(y_{t},\ t)\\k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hk_{3},\ t+h\right)\end{aligned}}}$

และสำหรับความสัมพันธ์ก่อนหน้านี้ เราสามารถแสดงให้เห็นว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริงจนถึง: โดยที่ : คืออนุพันธ์รวมของเทียบกับเวลา ${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t},\ t\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+h{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\right]\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)={\frac {\partial }{\partial y}}f(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}f(y_{t},\ t)=f_{y}(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+f_{t}(y_{t},\ t):={\ddot {y}}_{t}}$$${\displaystyle f}$

ถ้าเราแสดงสูตรทั่วไปโดยใช้สิ่งที่เราเพิ่งได้มา เราจะได้:$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}={}&y_{t}+h\left\lbrace a\cdot f(y_{t},\ t)+b\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right.+\\&{}+c\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]+\\&{}+d\cdot \left[f(y_{t},\ t)+h{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+\left.{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]\right]\right\rbrace +{\mathcal {O}}(h^{5})\\={}&y_{t}+a\cdot hf_{t}+b\cdot hf_{t}+b\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+c\cdot hf_{t}+c\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+\\&{}+c\cdot {\frac {h^{3}}{4}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot hf_{t}+d\cdot h^{2}{\frac {df_{t}}{dt}}+d\cdot {\frac {h^{3}}{2}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot {\frac {h^{4}}{4}}{\frac {d^{3}f_{t}}{dt^{3}}}+{\mathcal {O}}(h^{5})\end{aligned}}}$$

และเมื่อเปรียบเทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์ที่มีค่าประมาณ:${\displaystyle y_{t+h}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}&=y_{t}+h{\dot {y}}_{t}+{\frac {h^{2}}{2}}{\ddot {y}}_{t}+{\frac {h^{3}}{6}}y_{t}^{(3)}+{\frac {h^{4}}{24}}y_{t}^{(4)}+{\mathcal {O}}(h^{5})=\\&=y_{t}+hf(y_{t},\ t)+{\frac {h^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{3}}{6}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{4}}{24}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}f(y_{t},\ t)\end{aligned}}}$$