ในทางคณิตศาสตร์SO(8)คือกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษที่กระทำบนปริภูมิยุคลิดแปด มิติ ซึ่งอาจเป็นกลุ่มลีแบบ ง่ายจริงหรือเชิงซ้อน ที่มีอันดับ 4 และมิติ 28 ก็ได้

เช่นเดียวกับกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ SO(n) ทั้งหมดที่มี n ≥ 2, SO(8) ไม่ใช่กลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายและเช่นเดียวกับ SO(n) ทั้งหมดที่มี n > 2 กลุ่มพื้นฐานของ SO(8) นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับZ ₂การปกคลุมสากลของ SO(8) คือกลุ่มสปินSpin(8 )

ศูนย์กลางของ SO(8) คือZ _{2 ซึ่ง} เป็นเมทริกซ์แนวทแยง {±I} (เช่นเดียวกับ SO(2 n ) ทั้งหมดที่มี 2 n ≥ 4) ในขณะที่ศูนย์กลางของ Spin(8) คือZ ₂ × Z ₂ (เช่นเดียวกับ Spin(4 n ) ทั้งหมดที่มี 4 n ≥ 4)

SO(8) มีเอกลักษณ์เฉพาะในกลุ่ม Lie ที่เรียบง่ายในแง่ที่ว่าไดอะแกรม Dynkin ของ มัน( D ₄ ภายใต้การจำแนกประเภทของ Dynkin) มี สมมาตรสามเท่าสิ่งนี้ทำให้เกิดคุณลักษณะเฉพาะของ Spin(8) ที่เรียกว่าไตรภาวะที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้คือข้อเท็จจริงที่ว่าการแสดงสปินเนอร์ ทั้งสองแบบ รวมถึง การแสดงเวกเตอร์ พื้นฐานของ Spin(8) ล้วนมีมิติแปด (สำหรับกลุ่มสปินอื่นๆ การแสดงสปินเนอร์จะมีขนาดเล็กกว่าหรือใหญ่กว่าการแสดงเวกเตอร์) ออโตมอร์ ฟิซึมไตรภาวะ ของ Spin(8) อยู่ในกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของ Spin(8) ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มสมมาตร S ₃ที่สลับการแสดงทั้งสามนี้ กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมกระทำบนศูนย์กลางZ ₂ x Z ₂ (ซึ่งมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่สมมาตรกับS ₃ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์จำกัดที่มีสององค์ประกอบ S ₃ ≅GL(2,2)) เมื่อหาร Spin(8) ด้วยZ ₂ ตรงกลางหนึ่ง ตัว ทำลายสมมาตรนี้และได้ SO(8) กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก ที่เหลืออยู่ คือZ ₂ เท่านั้น สมมาตรไตรภาคจะกระทำอีกครั้งกับผลหารเพิ่มเติม SO ( 8)/ Z ₂

บางครั้ง Spin(8) ปรากฏตามธรรมชาติในรูปแบบ "ขยาย" เช่น กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ Spin(8) ซึ่งแตกออกเป็นผลคูณกึ่งตรง : Aut(Spin(8)) ≅ PSO (8) ⋊ S ₃

องค์ประกอบของ SO(8) สามารถอธิบายได้ด้วยอ็อกโทเนียน หน่วย ในทำนองเดียวกับที่องค์ประกอบของ SO(2) สามารถอธิบายได้ด้วยจำนวนเชิงซ้อนหน่วยและองค์ประกอบของSO(4)สามารถอธิบายได้ด้วยควอเทอร์เนียนหน่วยอย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์นั้นซับซ้อนกว่า ส่วนหนึ่งเนื่องมาจาก อ็อกโทเนียน ไม่มีสมบัติการสลับที่ องค์ประกอบทั่วไปใน SO(8) สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลคูณของการคูณทางซ้าย 7 ครั้ง การคูณทางขวา 7 ครั้ง และการคูณสองครั้ง 7 ครั้งด้วยอ็อกโทเนียนหน่วย (การคูณสองครั้งคือการประกอบของการคูณทางซ้ายและการคูณทางขวาด้วยอ็อกโทเนียนตัวเดียวกัน และถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนเนื่องจากอ็อกโทเนียนเป็นไปตามเอกลักษณ์ของ Moufang )

สามารถแสดงได้ว่าองค์ประกอบของ SO(8) สามารถสร้างได้ด้วยการคูณสอง โดยแสดงก่อนว่าคู่ของการสะท้อนผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิ 8 มิติ สอดคล้องกับคู่ของการคูณสองโดยอ็อกโทเนียนหน่วย ออโตมอร์ฟิซึมไตรเอตีของ Spin(8) ที่อธิบายไว้ด้านล่างให้การสร้างที่คล้ายกันด้วยการคูณซ้ายและการคูณขวา^{[ 1 ]}

ถ้าและจะแสดงได้ว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับหมายความว่าโดยไม่มีความกำกวม ชุดแผนที่สามชุดที่รักษาเอกลักษณ์นี้ไว้ เรียกว่าไอโซโทปีถ้าแผนที่ทั้งสามของไอโซโทปีอยู่ในไอโซโทปีนั้นเรียกว่า ไอโซโทปีเชิงตั้งฉาก ถ้าแล้วตามข้างต้นสามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลคูณของการคูณสองครั้งของอ็อกโทเนียนหน่วย เช่นให้เป็นผลคูณที่สอดคล้องกันของการคูณซ้ายและขวาด้วยตัวผกผันการคูณ (เช่น ตัวผกผันการคูณ) ของอ็อกโทเนียนหน่วยเดียวกัน ดังนั้นการคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าเป็นไอโซโทปี เนื่องจากการไม่เข้าสมาคมของอ็อกโทเนียน ไอโซโทปีเชิงตั้งฉากอื่น ๆ สำหรับคือเนื่องจากเซตของไอโซโทปีเชิงตั้งฉากสร้างการครอบคลุม 2 ต่อ 1 ของดังนั้นจึงต้องเป็น ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {O} }$${\displaystyle (xy)z=1}$${\displaystyle x(yz)=1}$${\displaystyle xyz=1}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle x^{\alpha }y^{\beta }z^{\gamma }=1}$${\displaystyle \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \gamma \in \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =B_{u_{1}}...B_{u_{n}}}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \alpha =L_{\overline {u_{1}}}...L_{\overline {u_{n}}}}$${\displaystyle \beta =R_{\overline {u_{1}}}...R_{\overline {u_{n}}}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (-\alpha ,-\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$

ตัวผกผันการคูณของอ็อกโทเนียนเป็นแบบสองด้าน ซึ่งหมายความว่าเทียบเท่ากับนั่นหมายความว่าไอโซโทปีที่กำหนดสามารถสลับตำแหน่งเป็นวัฏจักรเพื่อให้ได้ไอโซโทปีเพิ่มเติมอีกสองไอโซโทปี คือ และ ซึ่งจะสร้าง ออโตมอร์ฟิซึมภายนอกลำดับที่ 3 ของออโตมอร์ฟิซึม "ไตรภาค" นี้เป็นข้อยกเว้นในกลุ่มสปินไม่มีออโตมอร์ฟิซึมไตรภาคของเนื่องจากสำหรับที่กำหนดแผนที่ที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงเครื่องหมายเท่านั้น^{[ 1 ]}${\displaystyle xyz=1}$${\displaystyle yzx=1}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\alpha )}$${\displaystyle (\gamma ,\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \อัลฟา ,\เบต้า }$

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$

${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1,0)}$

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$

${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$

${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$

กลุ่ม Weyl / Coxeterของ กลุ่มนี้ มีสมาชิก 4! × 8 = 192 ตัว

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\-1&0&2&0\\-1&0&0&2\end{pmatrix}}}$

• หัวหอมแปดหัว
• พีชคณิตคลิฟฟอร์ด
• จี₂