ในคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันและสาขาที่เกี่ยวข้อง ปริภูมิของลำดับคือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นลำดับ อนันต์ ของ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ปริภูมิ ของฟังก์ชันที่มีสมาชิกเป็นฟังก์ชันจากจำนวนธรรมชาติไปยังฟิลด์ ของ จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน เซตของฟังก์ชันดังกล่าวทั้งหมดสามารถระบุได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นเซตของลำดับอนันต์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีสมาชิกอยู่ในและสามารถเปลี่ยนเป็นปริภูมิเวกเตอร์ได้ภายใต้การดำเนินการ บวก ฟังก์ชันแบบจุดต่อจุด และการคูณสเกลาร์แบบจุดต่อจุด ปริภูมิของลำดับทั้งหมดเป็น ปริภูมิย่อยเชิงเส้นของปริภูมินี้ โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิของลำดับจะมีนอร์มหรืออย่างน้อยก็มีโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$

ปริภูมิของลำดับที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์คือ ปริภูมิ ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ซึ่งประกอบด้วย ลำดับที่หาผลรวมกำลัง ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ได้ โดยมี นอร์ม ⁠ ⁠${\displaystyle p}$เหล่านี้เป็นกรณีพิเศษของปริภูมิ⁠ ⁠${\displaystyle L^{p}}$สำหรับการวัดการนับบนเซตของจำนวนธรรมชาติ ลำดับประเภทสำคัญอื่นๆ เช่นลำดับลู่เข้าหรือลำดับศูนย์ก่อให้เกิดปริภูมิของลำดับ ซึ่งแสดงด้วย⁠ ⁠${\displaystyle c}$และ⁠ ⁠${\displaystyle c_{0}}$ ตามลำดับ โดยมีนอร์มสูงสุดปริภูมิของลำดับใดๆ ก็สามารถมีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด ได้ ซึ่งภายใต้โทโพโลยีนี้ ปริภูมิดังกล่าวจะกลายเป็น ปริภูมิ Fréchetชนิดพิเศษที่เรียกว่าปริภูมิ FK

ลำดับในเซตคือ ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นโดยค่าที่จะถูกแทนด้วยแทนที่จะใช้สัญลักษณ์วงเล็บ ตามปกติ${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x(n)}$

ให้⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {K} }$แทนฟิลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน เซต⁠ ⁠ ของ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ลำดับทั้งหมดของสมาชิกใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {K} }$เป็นปริภูมิเวกเตอร์สำหรับการบวก แบบแยกส่วน และการคูณสเกลาร์ แบบแยกส่วน$${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },}$$$${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$$

ปริภูมิ ของลำดับคือปริภูมิย่อยเชิงเส้น ใดๆ ของ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ .

ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$มีคุณสมบัติตามธรรมชาติของทอ พอโลยีผล คูณ ภายใต้ทอพอโลยีนี้⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ที่ สมบูรณ์วัดได้และนูนเฉพาะที่ อย่างไรก็ตาม ทอพอโลยีนี้ค่อนข้างผิดปกติ: ไม่มี บรรทัดฐาน ต่อเนื่องบน⁠ ⁠ (และดังนั้นทอพอโลยีผลคูณจึงไม่สามารถกำหนดได้ด้วยบรรทัดฐาน ใดๆ ) ^{[ 1 ]} ในบรรดาปริภูมิ Fréchet ⁠ ⁠เป็นปริภูมิที่เล็กที่สุดที่ไม่มีบรรทัดฐานต่อเนื่อง: ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

แต่โทโพโลยีของผลิตภัณฑ์ก็หลีกเลี่ยงไม่ได้เช่นกัน: ไม่${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ยอมรับ โทโพโลยี Hausdorff ที่หยาบกว่าอย่างเคร่งครัดและนูนเฉพาะที่^{[ 1 ]} ด้วยเหตุ นี้ การศึกษาลำดับจึงเริ่มต้นด้วยการค้นหาซับสเปซเชิงเส้นที่ เข้มงวด ที่น่าสนใจ และมอบโทโพโลยีที่แตกต่างจากโทโพโลยีซับสเปซให้ กับมัน

สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle 0<p<\infty }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$คือปริภูมิย่อยของ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ที่ประกอบด้วยลำดับทั้งหมดที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle p\geq 1}$แล้วฟังก์ชันค่าจริงบน⁠ ⁠ที่กำหนดโดย จะกำหนดนอร์มบน⁠ ⁠ในความเป็นจริง⁠ ⁠เป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์โดยสัมพันธ์กับนอร์มนี้ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นปริภูมิบานาค ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$$${\displaystyle \|x\|_{p}~=~{\Bigl (}\sum _{n}|x_{n}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\qquad {\text{ สำหรับทุก }}x\in \ell ^{p}}$$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle p=2}$ก็เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตเช่นกันเมื่อกำหนด${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$ผลคูณภายใน แบบแคนอนิกให้ ซึ่งเรียกว่าผลคูณภายในแบบยุคลิดถูก กำหนดสำหรับทุก⁠⁠${\displaystyle \textstyle x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}}$โดย บรรทัดฐานมาตรฐานที่เกิดจากผลคูณภายในนี้คือ⁠⁠ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุก⁠⁠$${\displaystyle \langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}\!}}\,y_{n}.}$$${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {x} \in \ell ^{p}}$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle p=\infty }$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$ถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิของลำดับที่มีขอบเขต ทั้งหมด ซึ่งมีค่าบรรทัดฐาน ⁠ ⁠ก็เป็นปริภูมิบานาคเช่นกัน $${\displaystyle \|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,}$$${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle 0<p<1}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$จะไม่มีค่ามาตรฐาน แต่จะมีเมตริกที่กำหนดโดย $${\displaystyle d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.}$$

ลำดับลู่เข้าคือ ลำดับใดๆ ที่มี คุณสมบัติว่ามีอยู่จริง เซต${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ของ ลำดับลู่เข้าทั้งหมดคือ ปริภูมิ${\displaystyle c}$ย่อยเวกเตอร์ของเรียกว่า${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ปริภูมิของลำดับลู่เข้าเนื่องจากลำดับลู่เข้าทุกตัวมีขอบเขตดังนั้นจึง${\displaystyle c}$เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของยิ่งไป${\displaystyle \ell ^{\infty }}$กว่านั้น ปริภูมิของลำดับนี้เป็นปริภูมิย่อยปิดของโดยสัมพันธ์กับนอร์ม${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$สูงสุดและดังนั้นจึงเป็นปริภูมิบานาคโดยสัมพันธ์กับนอร์มนี้

ลำดับที่ลู่เข้าสู่⁠ ⁠${\displaystyle 0}$เรียกว่าลำดับศูนย์และกล่าวได้ว่าหายไปเซตของลำดับทั้งหมดที่ลู่เข้าสู่⁠⁠${\displaystyle 0}$คือปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของ⁠⁠${\displaystyle c}$ซึ่งเมื่อกำหนดด้วยนอร์มสูงสุดแล้วจะกลายเป็นปริภูมิบานาคซึ่งแสดงด้วยและเรียก${\displaystyle c_{0}}$ว่าพื้นที่ของลำดับว่างหรือพื้นที่ของลำดับที่หายไป

เดอะพื้นที่ของลำดับที่เป็นศูนย์ในที่สุด⁠ ⁠${\displaystyle c_{00}}$คือปริภูมิย่อยของ⁠⁠${\displaystyle c_{0}}$ที่ประกอบด้วยลำดับทั้งหมดที่มีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ปริภูมิย่อยนี้ไม่ใช่ปริภูมิปิด และดังนั้นจึงไม่ใช่ปริภูมิบานาคเมื่อเทียบกับนอร์มอนันต์ ตัวอย่างเช่น ลำดับที่สำหรับสมาชิกตัวแรก (สำหรับ) และเป็นศูนย์ทุกที่อื่น (นั่นคือ) เป็นลำดับโคชีแต่ไม่ลู่เข้าสู่ลำดับใน${\displaystyle \textstyle (x_{nk})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{nk}=1/k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \textstyle (x_{nk})_{k\in \mathbb {N} }={}\!}$${\displaystyle {\bigl (}1,{\tfrac {1}{2}},\ldots ,{}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n-1}},{\tfrac {1}{n}},{}}$${\displaystyle 0,0,\ldots {\bigr )}}$${\displaystyle c_{00}.}$

อนุญาต $${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$$

แทนปริภูมิของลำดับจำกัดเหนือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {K} }$ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เท่ากับ⁠ ⁠แต่⁠ ⁠มีโทโพโลยีที่แตกต่างกัน ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติ ทุกจำนวน ⁠ ⁠${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ให้​​⁠ ⁠ แทนปริภูมิ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$ยุคลิดปกติที่มีโทโพโลยีแบบยุคลิดและให้แทนการรวมแบบแคนอนิก ภาพ ของการรวมแต่ละครั้งคือ และด้วยเหตุนี้ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }}$$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right).}$$$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).}$$

กลุ่มของการรวมนี้ให้โทโพ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$โลยีสุดท้ายซึ่งนิยามว่าเป็นโทโพโลยีที่ละเอียดที่สุดบนโดยที่การรวมทั้งหมดมีความต่อเนื่อง (ตัวอย่างของโทโพโลยีที่สอดคล้องกัน ) ด้วยโทโพโลยีนี้จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีที่สมบูรณ์เป็นแบบเฮาส์ดอร์ ฟ นูนเฉพาะที่เป็นลำดับและไม่ใช่แบบเฟรเชต์-อูรีโซห์นโทโพโลยีนี้ยังละเอียดกว่าโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำบนโดยอย่างเคร่งครัด อีกด้วย${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

การ ลู่${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$เข้าในมีคำอธิบายตามธรรมชาติ: ถ้าและเป็นลำดับในแล้วในก็ต่อเมื่อใน ที่สุด จะ ถูกบรรจุ อยู่ในภาพเดียวและอยู่ภายใต้โทโพโลยีตามธรรมชาติ ของภาพนั้น${\displaystyle \textstyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$

โดยทั่วไปแล้ว แต่ละภาพจะถูกระบุด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน กล่าวคือองค์ประกอบและจะถูกระบุอย่างชัดเจนซึ่งทำได้ง่ายขึ้นเนื่องจากโทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนโทโพโลยีผลหารจากแผนที่และโทโพโลยีแบบยุคลิดบนล้วนตรงกันด้วยการระบุนี้จึงเป็นลิมิตโดยตรงของระบบทิศทางที่การรวมทุกครั้งจะเพิ่มศูนย์ต่อท้าย ซึ่งแสดงให้เห็นว่า เป็นปริภูมิ LB${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$${\displaystyle \textstyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right).}$$${\displaystyle \textstyle \left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$

ปริภูมิของอนุกรม ที่มีขอบเขต ซึ่ง แทนด้วยbsคือปริภูมิของลำดับ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ซึ่ง $${\displaystyle \sup _{n}{\biggl \vert }\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr \vert }<\infty .}$$

พื้นที่นี้ เมื่อติดตั้งอุปกรณ์ตามมาตรฐานแล้ว $${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}{\biggl \vert }\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr \vert },}$$

เป็นปริภูมิบานาคที่สมมาตรกับผ่านการแมปเชิงเส้น${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty },}$$${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr )}_{n\in \mathbb {N} }.}$$

ปริภูมิย่อยที่ประกอบด้วยอนุกรมลู่เข้าทั้งหมดเป็นปริภูมิย่อยที่เปลี่ยนไปเป็นปริภูมิภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ ${\displaystyle cs}$${\displaystyle c}$

ปริภูมิ⁠ ⁠${\displaystyle \Phi }$หรือ ⁿ ถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิของลำดับอนันต์ทั้งหมดที่มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัด (ลำดับที่มีขอบเขตจำกัด ) เซตนี้มีความหนาแน่นในปริภูมิของลำดับหลายๆ ปริภูมิ ${\displaystyle c_{00}}$

ปริภูมิ⁠ ⁠ เป็น ${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$ปริภูมิ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$เดียวที่เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตเนื่องจากนอร์มใดๆ ที่เกิดจากผลคูณภายในจะต้องสอดคล้องกับกฎของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

$${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.}$$

การ แทนที่ เวกเตอร์หน่วยที่แตกต่างกันสองตัวด้วย⁠ ⁠${\displaystyle x}$และ⁠ ⁠${\displaystyle y}$โดยตรงแสดงให้เห็นว่าเอกลักษณ์นี้ไม่เป็นจริงเว้นแต่⁠ ⁠${\displaystyle p=2}$

แต่ละเซตย่อย⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$แตกต่างกันตรงที่⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$เป็นเซตย่อย แบบเข้มงวด ของ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{s}}$เมื่อใดก็ตามที่⁠ ⁠${\displaystyle p<s}$ ; ยิ่งไปกว่านั้น⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ไม่เป็นไอโซมอร์ ฟิกเชิงเส้น กับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{s}}$เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle p\neq s}$ . อันที่จริง ตามทฤษฎีบทของพิตต์ ( Pitt 1936 ) ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตทุกตัวจาก⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{s}}$ไปยัง⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$จะเป็นคอมแพ็กต์เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle p<s}$ . ไม่มีตัวดำเนินการดังกล่าวใดสามารถเป็นไอโซมอร์ฟิซึมได้ และยิ่งไปกว่านั้น มันไม่สามารถเป็นไอโซมอร์ฟิซึมบนปริภูมิย่อยมิติอนันต์ใด ๆ ของ⁠ ⁠ ได้${\displaystyle \ell ^{s}}$ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าเป็นเอกฐานแบบเข้มงวด

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle 1<p<\infty }$แล้วปริภูมิคู่ (ต่อเนื่อง)ของ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$จะสมมาตรกับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle q}$คือคอนจูเกตโฮลเดอร์ของ ⁠ ⁠ :${\displaystyle p}$ ⁠ ⁠ การ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$สมมาตรเฉพาะนี้เชื่อมโยงฟังก์ชัน สำหรับ⁠ ⁠ใน⁠ ⁠ เข้ากับองค์ประกอบ ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ของ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$⁠ อสมการของ Hölderบ่งชี้ว่า⁠ ⁠เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตบน⁠ ⁠และในความเป็นจริง แล้วบรรทัดฐานของตัวดำเนินการเป็นไปตามเงื่อนไข ในความเป็นจริง การเลือก⁠ ⁠ให้เป็นองค์ประกอบของ⁠ ⁠ที่มี จะ ได้ดังนั้นในความเป็นจริง ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขต⁠ ⁠บน⁠ ⁠ลำดับที่กำหนดโดย⁠ ⁠จะอยู่ใน⁠ ⁠ดังนั้นการแมป⁠ ⁠ จึงให้ไอโซเมตรี $${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$$${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$$$${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}\mathrel {\stackrel {\rm {def}}{=}} \sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$$${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle L_{x}(y)=\|x\|_{q}}$$${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$${\displaystyle x_{n}=L(e_{n})}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$$${\displaystyle \kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.}$$

แผนที่ ที่ได้จากการประกอบ⁠ ⁠กับผกผันของทรานสโพส ของมัน สอดคล้องกับการฉีดแบบแคนอนิกของ ⁠ ⁠ เข้าไปในคู่คู่ ของมัน ผลที่ตามมา คือ ⁠ ⁠เป็นปริภูมิสะท้อนกลับ โดย ทั่วไปแล้ว มักจะระบุ⁠ ⁠กับคู่ของ⁠ ⁠ : ⁠ ⁠ จากนั้น การสะท้อนกลับจะเข้าใจ ได้ จากลำดับของการระบุ⁠ ⁠$${\displaystyle \ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}} (\ell ^{q})^{**}}$$${\displaystyle \kappa _{p}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \textstyle (\ell ^{p})^{*}=\ell ^{q}}$${\displaystyle \textstyle (\ell ^{p})^{**}=(\ell ^{q})^{*}=\ell ^{p}}$

ปริภูมิ⁠ ⁠${\displaystyle c_{0}}$ถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิของลำดับทั้งหมดที่ลู่เข้าสู่ศูนย์ โดยมีนอร์มเท่ากับ เป็นปริภูมิย่อยปิดของ⁠ ⁠ดังนั้นจึงเป็นปริภูมิบานาค ปริภูมิ คู่ของ⁠ ⁠คือ⁠ ⁠ ; ปริภูมิคู่ของ⁠ ⁠คือ⁠ ⁠สำหรับกรณีที่เซตดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติ⁠ ⁠ และ ⁠ ⁠ สามารถแยกออกจากกันได้ยกเว้นเพียง⁠ ⁠ เท่านั้น ปริภูมิคู่ของ⁠ ⁠คือปริภูมิ ba${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$

ปริภูมิ⁠ ⁠${\displaystyle c_{0}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ (สำหรับ⁠ ⁠ ) มี ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ฐาน Schauder แบบไม่มีเงื่อนไขมาตรฐาน⁠ ⁠${\displaystyle \{e_{i}:i=1,2,\ldots \}}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle e_{i}}$คือลำดับที่เป็นศูนย์ยกเว้น a ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ในรายการ ⁠ ⁠ ที่${\displaystyle i}$

ปริภูมิ ℓ ¹มีคุณสมบัติ Schur กล่าว คือ ใน ℓ ¹ลำดับใดๆ ที่ลู่เข้าอย่างอ่อนก็จะลู่เข้าอย่างแข็ง ด้วยเช่นกัน ( Schur 1921 ) อย่างไรก็ตาม เนื่องจากโทโพโลยีแบบอ่อนในปริภูมิอนันต์มิติอ่อนกว่าโทโพโลยีแบบแข็ง อย่างเคร่งครัด จึง มีเน็ตใน ℓ ¹ที่ลู่เข้าอย่างอ่อนแต่ไม่ลู่เข้าอย่างแข็ง

ปริภูมิ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$สามารถฝังตัวอยู่ในปริภูมิบานาค หลายๆ ปริภูมิ ได้ คำถามที่ว่าปริภูมิบานาคที่มีมิติอนันต์ทุกปริภูมิมีไอโซมอร์ฟของ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$หรือของ⁠ ⁠${\displaystyle c_{0}}$ บางปริภูมิ หรือไม่นั้น ได้รับคำตอบในเชิงลบจาก การสร้าง ปริภูมิ TsirelsonของBS Tsirelsonในปี 1974 ข้อความคู่ขนานที่ว่าปริภูมิบานาคที่แยกได้ทุกปริภูมิเป็นไอโซเมตริกเชิงเส้นกับปริภูมิผลหารของ⁠ ⁠ นั้น ได้รับคำตอบในเชิงบวกโดยBanach & Mazur (1933)นั่นคือ สำหรับปริภูมิบานาคที่แยกได้ทุกปริภูมิ⁠ ⁠จะมีแผนที่ผลหาร⁠ ⁠ อยู่ ซึ่งทำให้⁠ ⁠ เป็นไอโซมอ ร์ฟกับ⁠ ⁠โดยทั่วไป⁠ ⁠จะไม่มีส่วนเติมเต็มใน⁠ ⁠นั่นคือ ไม่มีปริภูมิย่อย⁠ ⁠ของ⁠ ⁠ที่ทำให้⁠ ⁠เป็นจริง อันที่จริง⁠ ⁠มีปริภูมิย่อยที่ไม่มีส่วนเติมเต็มซึ่งไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกันเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน (ตัวอย่างเช่น พิจารณา⁠ ⁠เนื่องจากมี⁠ ⁠ ดัง กล่าวเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน และเนื่องจากไม่มี⁠ ⁠ ใด ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกับปริภูมิอื่น ดังนั้นจึงมี ker Q เป็นจำนวนนับไม่ถ้วน ) ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \textstyle Q:\ell ^{1}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}/\ker Q}$${\displaystyle \operatorname {ker} Q}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \textstyle X=\ell ^{p}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$

นอกเหนือจากกรณีมิติจำกัดที่ไม่สำคัญแล้ว คุณสมบัติที่ผิดปกติอย่างหนึ่งของ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$คือมันไม่สะท้อนกลับแบบพหุนาม

สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$พื้นที่⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$เพิ่มขึ้นตาม⁠ ⁠${\displaystyle p}$โดยที่ตัวดำเนินการการรวมมีความต่อเนื่อง: สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$จะได้แท้จริงแล้ว อสมการนี้เป็นเอกพันธุ์ใน⁠ ⁠ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ภายใต้สมมติฐานที่ว่าในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องแสดงเพียงว่าสำหรับ⁠ ⁠แต่ถ้าแล้วสำหรับทุก⁠ ⁠และจากนั้น${\displaystyle \|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1}$${\displaystyle q>p}$${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq {}\!}$${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1}$

ให้⁠ ⁠${\displaystyle H}$เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้เซตเชิงตั้งฉากทุกเซตใน⁠ ⁠${\displaystyle H}$ มีค่า สูงสุดเป็นเซตที่นับได้ (กล่าวคือมี มิติจำกัดหรือ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$ ) ^{[ 2 ]} รายการสองรายการต่อไปนี้มีความสัมพันธ์กัน:

• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle H}$มีมิติอนันต์ แล้วมันจะมีสมบัติสมมาตรกับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$ ,
• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {dim} (H)=N}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle H}$ จะ สมสัณฐานกับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{N}}$

ลำดับขององค์ประกอบใน⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$ลู่เข้าในปริภูมิของลำดับเชิงซ้อน⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$ก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าอย่างอ่อนในปริภูมินี้^{[ 3 ]} ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle K}$เป็นเซตย่อยของปริภูมินี้แล้ว สิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^{[ 3 ]}

1. มีขนาด${\displaystyle K}$กะทัดรัด;
2. มีความ${\displaystyle K}$กะทัดรัดแบบอ่อน
3. มีขอบเขต${\displaystyle K}$ปิด และเล็กเท่ากันที่อนันต์

ในที่นี้⁠ ⁠${\displaystyle K}$มีค่าเล็กเท่ากันที่อนันต์หมายความว่า สำหรับทุก⁠ ⁠${\displaystyle \varepsilon >0}$จะมีจำนวนธรรมชาติ อยู่จำนวนหนึ่งซึ่ง สำหรับทุก⁠ ⁠${\displaystyle n_{\varepsilon }\geq 0}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$${\displaystyle \textstyle s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K}$

• พื้นที่L ^p
• พื้นที่ Tsirelson
• พื้นที่เบต้า-คู่
• พื้นที่ลำดับของออร์ลิซ
• พื้นที่ฮิลเบิร์ต

• บานาช, สเตฟาน; Mazur, S. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica , 4 : 100– 112, ดอย : 10.4064/sm-4-1-100-112.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), ตัวดำเนินการเชิงเส้น เล่ม 1 , Wiley-Interscience.
• จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Pitt, HR (1936), "A note on bilinear forms", J. London Math. Soc. , 11 (3): 174– 180, doi : 10.1112/jlms/s1-11.3.174.
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 : 79– 111, doi : 10.1515/crll.1921.151.79.
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .