ทฤษฎีบทของสโตกส์

ทฤษฎีบทของสโตกส์ [ ^{1 ] หรือ}ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทเคลวิน-สโตกส์^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}ตามชื่อของลอร์ดเคลวินและจอร์จ สโตกส์ทฤษฎีบทพื้นฐานสำหรับเคิร์ลหรือเรียกง่ายๆ ว่าทฤษฎีบทเคิร์ล [ ^{4 ] หรือ}ทฤษฎีบทโรเตอร์เป็นทฤษฎีบทในแคลคูลัสเวกเตอร์ บนปริภูมิ ยูคลิดสามมิติและปริภูมิพิกัดจริง^[^{หมายเหตุ 1}^]เมื่อกำหนดสนามเวกเตอร์ทฤษฎีบทนี้เชื่อมโยงปริพันธ์ของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์บนพื้นผิวบางอย่าง กับปริพันธ์เส้นของสนามเวกเตอร์รอบขอบของพื้นผิว ทฤษฎีบทคลาสสิกของสโตกส์สามารถกล่าวได้ในประโยคเดียว: $\mathbb {R} ^{3}$

อินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์เหนือวงปิดเท่ากับอินทิกรัลตามพื้นผิวของการหมุน วนของสนามเวกเตอร์ เหนือพื้นผิวที่ล้อมรอบวงปิดนั้น

ทฤษฎีบทของ Stokes เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทStokes แบบทั่วไป^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟิลด์เวกเตอร์บนสามารถพิจารณาได้ว่าเป็น1-ฟอร์มซึ่งในกรณีนี้ เคิร์ลของมันคืออนุพันธ์ภายนอกซึ่งเป็น 2-ฟอร์ม $\mathbb {R} ^{3}$

ทฤษฎีบท

ให้เป็นพื้นผิวเรียบที่มีทิศทางใน ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์โดย โดยมีขอบเขตซึ่งกำหนดพารามิเตอร์โดยถ้าสนามเวกเตอร์ $\Sigma$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbf {\Sigma } (u,v)$ $\partial \Sigma \equiv \Gamma$ $\mathbf {\Gamma } (t)$

\mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))

มีอนุพันธ์ย่อยอันดับ แรกต่อเนื่อง ในจากนั้น ใช้สัญลักษณ์ย่อสำหรับองค์ประกอบเส้นและองค์ประกอบพื้นผิว โดยที่ คือเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้น ผิวที่จุด $\Sigma$ $\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\บางส่วน \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Gamma }$ $d\mathbf {\Gamma } ={\frac {d\mathbf {\Gamma } }{dt}}dt$ $d\mathbf {\Sigma } =\mathbf {n} d\Sigma =\left({\frac {\partial \mathbf {\Sigma } }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {\Sigma } }{\partial v}}\right)dudv$ $\mathbf {n} (u,v)$ $\mathbf {\Sigma } (u,v)$

ความเท่าเทียมกันสามารถแสดงได้ในรูปของรูปแบบเชิงอนุพันธ์โดยที่เป็นผลคูณลิ่มและ เป็น อนุพันธ์ภายนอก : $\wedge$ ${\text{d}}$ ${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}$

ความท้าทายหลักในการกล่าวถึงทฤษฎีบทของสโตกส์อย่างแม่นยำนั้นอยู่ที่การนิยามแนวคิดของขอบเขต พื้นผิวอย่างเช่นเกล็ดหิมะของโคช (Koch snowflake ) เป็นที่ทราบกันดีว่าไม่มีขอบเขตที่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ และแนวคิดของการวัดพื้นผิวในทฤษฎีเลเบส (Lebesgue theory)ก็ไม่สามารถนิยามได้สำหรับพื้นผิวที่ไม่เป็นแบบลิปชิตซ์ (non-Lipschitz surface) เทคนิคหนึ่ง (ขั้นสูง) คือการเปลี่ยนไปใช้สูตรแบบอ่อน (weak formulation ) แล้วจึงใช้กลไกของทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตสำหรับแนวทางนั้น โปรดดูสูตรโคแอเรีย (coarea formula ) ในบทความนี้ เราใช้คำนิยามที่ง่ายกว่า โดยอิงจากข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถแยกแยะขอบเขตได้สำหรับเซตย่อยที่มีมิติเต็มของ $\mathbb {R} ^{2}$

จะมีการอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อถัดไป ให้เป็นเส้นโค้งระนาบจอร์แดนที่เรียบเป็นช่วงๆ : เป็นเส้นโค้งปิดแบบง่ายในระนาบทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนบ่งชี้ว่าแบ่งออกเป็นสองส่วน คือ ส่วน ที่กระชับและส่วนที่ไม่กระชับ ให้แทนส่วนที่กระชับ แล้วจะถูกจำกัดด้วยตอนนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะถ่ายทอดแนวคิดเรื่องขอบเขตนี้ไปตามแผนที่ต่อเนื่องไปยังพื้นผิวของเราในแต่เรามีแผนที่ดังกล่าวอยู่แล้ว นั่นคือ การกำหนดพารามิเตอร์ของ ${\displaystyle \gamma$ $\gamma$ $\mathbb {R} ^{2}$ $D$ $D$ $\gamma$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\Sigma$

สมมติว่าเป็น พื้นผิวเรียบ เป็นช่วงๆในบริเวณใกล้เคียงของ^[^{หมายเหตุ 2}^] โดยที่[ ^{หมายเหตุ}³^]ถ้าเป็นเส้นโค้งในปริภูมิที่กำหนดโดย^[^{หมายเหตุ 4}^]แล้วเราเรียกขอบเขตของว่า^[^{หมายเหตุ 5}^] $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ $D$ $\Sigma =\psi (D)$ $\Gamma$ $\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))$ $\Gamma$ $\Sigma$ $\partial \Sigma$

ด้วยสัญลักษณ์ข้างต้น ถ้าเป็นสนามเวกเตอร์เรียบใดๆ บนแล้ว^[⁷^]^[⁸^] $\mathbf {F}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,d\mathbf {\Sigma } .$

ในที่นี้ " " แทนผลคูณดอทใน. $\cdot$ $\mathbb {R} ^{3}$

กรณีพิเศษของทฤษฎีบททั่วไป

ทฤษฎีบทของ Stokes สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์ต่อไปนี้: ^{[ 9 ]} โดยที่เป็นเวกเตอร์เรียบหรือฟิลด์สเกลาร์ใดๆ ในเมื่อเป็นฟิลด์สเกลาร์สม่ำเสมอ จะได้ทฤษฎีบทของ Stokes มาตรฐานกลับคืนมา $\oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } })\,\mathbf {g} =\iint _{\Sigma }\left[d\mathbf {\Sigma } \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} -\mathbf {F} \times \nabla \right)\right]\mathbf {g} ,$ $\mathbf {g}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbf {g}$

การพิสูจน์

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ประกอบด้วย 4 ขั้นตอน เราถือว่าทฤษฎีบทของกรีนเป็นจริง ดังนั้นสิ่งที่น่าสนใจคือวิธีการย่อปัญหาที่ซับซ้อนสามมิติ (ทฤษฎีบทของสโตกส์) ให้เหลือปัญหาพื้นฐานสองมิติ (ทฤษฎีบทของกรีน) ^{[ 10 ]} เมื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ นักคณิตศาสตร์มักจะอนุมานว่าเป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์ทั่วไปที่มากกว่าซึ่งระบุไว้ในรูปของรูปแบบเชิงอนุพันธ์และพิสูจน์โดยใช้เครื่องมือที่ซับซ้อนกว่า แม้ว่าเทคนิคเหล่านี้จะมีประสิทธิภาพ แต่ก็ต้องการพื้นฐานความรู้ที่สำคัญ ดังนั้นการพิสูจน์ด้านล่างจึงหลีกเลี่ยงเทคนิคเหล่านั้น และไม่ได้ตั้งสมมติฐานความรู้ใดๆ นอกเหนือจากความคุ้นเคยกับแคลคูลัสเวกเตอร์พื้นฐานและพีชคณิตเชิงเส้น^{[ 8 ]}ในตอนท้ายของส่วนนี้ มีการพิสูจน์ทางเลือกสั้นๆ ของทฤษฎีบทของสโตกส์ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของทฤษฎีบทของสโตกส์แบบทั่วไป

การพิสูจน์เบื้องต้น

ขั้นตอนแรกของการพิสูจน์เบื้องต้น (การกำหนดพารามิเตอร์ของอินทิกรัล)

เช่นเดียวกับใน§ ทฤษฎีบทเราลดมิติโดยใช้การกำหนดพารามิเตอร์ตามธรรมชาติของพื้นผิว ให้ $ψ$ และ $γ$ เป็นดังในส่วนนั้น และสังเกตว่าโดยการ เปลี่ยนตัวแปร โดยที่ $J$ $ψ$ หมายถึงเมทริกซ์จาโคเบียนของ $ψ$ ที่ $y$ $=$ $γ$ $($ $t$ $)$ $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }$

ตอนนี้ให้ ${e, e}$ เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติในทิศทางพิกัดของR $2 [$ ^{หมายเหตุ 6 ]}

เมื่อพิจารณาว่าคอลัมน์ของ $J ψ$ คืออนุพันธ์ย่อยของ $ψ$ ที่ $y$ อย่างแม่นยำ เราสามารถขยายสมการก่อนหน้านี้ในพิกัดได้ดังนี้ ${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}$

ขั้นตอนที่สองในการพิสูจน์เบื้องต้น (การกำหนดพูลแบ็ก)

ขั้นตอนก่อนหน้านี้แนะนำให้เรากำหนดฟังก์ชัน $\mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}$

ทีนี้ ถ้าฟังก์ชันค่าสเกลาร์และถูกกำหนดดังต่อไปนี้ แล้ว $P_{u}$ $P_{v}$ ${P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)$ ${P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)$ $\mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.$

นี่คือการดึงกลับของ $F$ ตามแนว $ψ$ และจากข้างต้น มันจึงสอดคล้องกับ $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }$

เราได้ลดด้านหนึ่งของทฤษฎีบทของสโตกส์ให้เป็นสูตร 2 มิติได้สำเร็จแล้ว ต่อไปเราจะมาดูอีกด้านหนึ่งกัน

ขั้นตอนที่สามของการพิสูจน์เบื้องต้น (สมการที่สอง)

ขั้นแรก คำนวณอนุพันธ์ย่อยที่ปรากฏในทฤษฎีบทของกรีนโดยใช้กฎผลคูณ : ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}$

โดยสะดวก พจน์ที่สองจะหายไปในผลต่าง เนื่องจากความเท่าเทียมกันของผลย่อยแบบผสมดังนั้น^{[หมายเหตุ 7 ]} ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}$

แต่ตอนนี้ลองพิจารณาเมทริกซ์ในรูปแบบกำลังสองนั้น นั่นคือเราอ้างว่าเมทริกซ์นี้แท้จริงแล้วอธิบายถึงผลคูณไขว้ โดยที่ตัวยก " " แทนการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ ${}^{\mathsf {T}}$

กล่าวโดยละเอียด ให้ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3 \times 3$ ใดๆและให้ $A=(A_{ij})_{ij}$ $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}$

โปรดทราบว่า $x \mapsto a \times x$ เป็นเชิงเส้น ดังนั้นจึงถูกกำหนดโดยการกระทำต่อองค์ประกอบพื้นฐาน แต่โดยการคำนวณโดยตรง ที่นี่ ${$ $e$ $,$ $e$ $,$ $e$ $}$ แทนฐานออร์โทนอร์มอลในทิศทางพิกัดของ[ ^{หมายเหตุ}⁸^] ${\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$ $\mathbb {R} ^{3}$

ดังนั้น $(A - A T) x = a \times x$ สำหรับ $x$ ใด ๆ

เมื่อแทนค่า $A$ เราจะได้ ${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ $\left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$

ตอนนี้เราสามารถรับรู้ความแตกต่างของอนุพันธ์ย่อยเป็นผลคูณสามเท่า (เชิงสเกลาร์) ได้แล้ว : ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}$

ในทางกลับกัน นิยามของปริพันธ์พื้นผิวยังรวมถึงผลคูณสามตัวด้วย ซึ่งก็คือตัวเดียวกันนั่นเอง! ${\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}$

ดังนั้น เราจึงได้ $\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

ขั้นตอนที่สี่ของการพิสูจน์เบื้องต้น (การลดรูปเป็นทฤษฎีบทของกรีน)

การรวมขั้นตอนที่สองและสามเข้าด้วยกัน แล้วนำทฤษฎีบทของกรีน มาใช้ จะทำให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ ทฤษฎีบทของกรีนกล่าวไว้ดังนี้: สำหรับบริเวณ D ใดๆ ที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิดของจอร์แดน γ และฟังก์ชันเรียบสองฟังก์ชันที่มีค่าเป็นสเกลาร์ซึ่งกำหนดไว้บน D; $P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)$

$\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

เราสามารถแทนข้อสรุปของขั้นตอนที่ 2 ลงในด้านซ้ายของทฤษฎีบทของกรีนข้างต้น และแทนข้อสรุปของขั้นตอนที่ 3 ลงในด้านขวาได้ จบ การพิสูจน์

การพิสูจน์โดยใช้รูปแบบเชิงอนุพันธ์

ฟังก์ชันต่างๆสามารถระบุได้ด้วยรูปแบบ 1-เชิงอนุพันธ์ผ่านทางแผนที่ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.$

เขียนรูปแบบ 1-ฟอร์มเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน $F$ เป็น $ω$ จากนั้นสามารถคำนวณได้ว่า โดยที่ $★$ คือดาว Hodgeและคืออนุพันธ์ภายนอกดังนั้น ตามทฤษฎีบท Stokes ทั่วไป^[¹¹^] $\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} },$ $\mathrm {d}$ $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

แอปพลิเคชัน

สนามไร้การหมุน

ในส่วนนี้ เราจะกล่าวถึงสนามไร้การหมุน ( สนามเวกเตอร์แบบแผ่นบาง ) โดยอาศัยทฤษฎีบทของสโตกส์

นิยาม 2-1 (สนามไร้การหมุน)สนามเวกเตอร์เรียบ $F$ บนเซตเปิด จะเป็นสนามไร้การหมุน ( สนามเวกเตอร์แบบแผ่น ) ถ้า $\nabla \times$ $F$ $=$ 0 $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$

แนวคิดนี้เป็นพื้นฐานอย่างมากในกลศาสตร์ ดังที่เราจะพิสูจน์ในภายหลัง หาก $F$ เป็นเวกเตอร์ไร้การหมุนและโดเมนของ $F$ เป็นเวกเตอร์เชื่อมต่อเชิงเดียวแล้ว $F$ จะเป็นเวกเตอร์อนุรักษ์

ทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์

ในส่วนนี้ เราจะนำเสนอทฤษฎีบทหนึ่งที่ได้มาจากทฤษฎีบทของสโตกส์ ซึ่งใช้อธิบายลักษณะของสนามเวกเตอร์ที่ปราศจากกระแสน้ำวน ในกลศาสตร์คลาสสิกและพลศาสตร์ของไหล ทฤษฎีบทนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์

ทฤษฎีบท 2-1 (ทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์ในพลศาสตร์ของไหล) ^{[ 5 ]}^{[ 3 ]}^{: 142} ให้ $U$ เป็นเซตย่อย เปิดที่มีเวกเตอร์ฟิลด์แบบลามิลลาร์ $F$ และให้ $c$ $,$ $c$ $: [0, 1] \to$ U เป็นลูปเรียบเป็นช่วงๆ ถ้ามีฟังก์ชัน $H$ $: [0, 1] \times [0, 1] \to$ $U$ เช่นนั้น $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$

[TLH0] $H$ มีความเรียบเป็นช่วงๆ
[TLH1] $H (t, 0) = c (t)$ สำหรับทุก $t \in [0, 1]$ ,
[TLH2] $H (t, 1) = c (t)$ สำหรับทุก $t \in [0, 1]$ ,
[TLH3] $H (0, s) = H (1, s)$ สำหรับทุก $s \in [0, 1$ ]

แล้ว, $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}$

ตำราเรียนบางเล่ม เช่น Lawrence ^{[ 5 ]}เรียกความสัมพันธ์ระหว่าง $c$ และ $c$ ที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท 2-1 ว่า "homotopic" และฟังก์ชัน $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ ว่า "homotopy ระหว่าง $c$ และ $c$ " อย่างไรก็ตาม "homotopic" หรือ "homotopy" ในความหมายข้างต้นนั้นแตกต่างกัน (แข็งแกร่งกว่า) คำจำกัดความทั่วไปของ "homotopic" หรือ "homotopy" ซึ่งคำจำกัดความหลังนี้ละเว้นเงื่อนไข [TLH3] ดังนั้นจากนี้ไปเราจะเรียก homotopy (homotope) ในความหมายของทฤษฎีบท 2-1 ว่าtubular homotopy (หรือ tubular-homotopic) ^{[หมายเหตุ 9 ]}

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์

ต่อไปนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ถูกต้องและใช้ " " แทนการต่อเส้นทางในกรุปอยด์พื้นฐานและใช้ " " แทนการกลับทิศทางของเส้นทาง $\oplus$ $\ominus$

ให้ $D = [0, 1] \times [0, 1]$ และแบ่ง $\partial D$ ออกเป็นสี่ส่วนของเส้นตรง $γ$ โดย ที่ ${\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}$ $\partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}$

จากสมมติฐานของเราที่ว่า $c$ และ $c$ เป็นโฮโมโทปีแบบเรียบเป็นช่วงๆ จึงมีโฮโมโทปีแบบเรียบเป็นช่วงๆ $H : D \to M$ ${\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}$

ให้ $S$ เป็นภาพของ $D$ ภายใต้ $H$ ซึ่ง เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของสโตกส์โดยตรง $F$ เป็นลามิลลาร์ ดังนั้นด้านซ้ายจึงเป็นศูนย์ นั่นคือ $\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$ $0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$

เนื่องจาก $H$ เป็นทรงกระบอก (สอดคล้องกับ [TLH3]) และ. ดังนั้นปริพันธ์ตามเส้น $Γ$ $($ $s$ $)$ และ $Γ$ $($ $s$ $)$ จะหักล้างกัน เหลือเพียง $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ $0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$

ในทางกลับกัน $c = Γ$ , , ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่ต้องการจึงเกิดขึ้นเกือบจะในทันที $c_{3}=\ominus \Gamma _{3}$

กองกำลังอนุรักษ์นิยม

ทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์ข้างต้นอธิบายว่าเหตุใดงานที่ทำโดยแรงอนุรักษ์ในการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจึงไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทาง ก่อนอื่น เราจะแนะนำเลมมา 2-2 ซึ่งเป็นบทสรุปและกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์

บทตั้ง 2-2. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}ให้เป็นเซต ย่อยเปิดโดยมีฟิลด์เวกเตอร์ลามิลลาร์ $F$ และลูปเรียบเป็นช่วงๆ $c$ $: [0, 1] \to$ $U$ กำหนดจุด $p$ $\in$ $U$ ถ้ามีโฮโมโทปี $H$ $: [0, 1] \times [0, 1] \to$ $U$ เช่นนั้น $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$

[SC0] $H$ มีความเรียบเป็นช่วงๆ
[SC1] $H (t, 0) = c (t)$ สำหรับทุก $t \in [0, 1]$ ,
[SC2] $H (t, 1) = p$ สำหรับทุก $t \in [0, 1]$ ,
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = p$ สำหรับทุก $s \in [0, 1$ ]

แล้ว, $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$

บทพิสูจน์ย่อย 2-2 ข้างต้นเป็นผลมาจากทฤษฎีบท 2–1 ในบทพิสูจน์ย่อย 2-2 การมีอยู่ของ $H$ ที่สอดคล้องกับ [SC0] ถึง [SC3] เป็นสิ่งสำคัญ คำถามคือว่าโฮโมโทปีดังกล่าวสามารถนำมาใช้กับลูปใดๆ ได้หรือไม่ ถ้า $U$ เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย $H$ ดังกล่าวก็ จะมีอยู่จริง นิยามของปริภูมิที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายมีดังนี้:

นิยาม 2-2 (ปริภูมิที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย) ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}ให้ M ไม่ว่างเปล่าและ เชื่อมต่อกัน ด้วย เส้นทาง $M$ เรียกว่าเชื่อมต่อกันอย่างง่ายก็ต่อเมื่อสำหรับลูปต่อเนื่องใดๆ $c$ $: [0, 1] \to$ $M$ จะมีโฮโมโทปีท่อต่อเนื่อง $H$ $: [0, 1] \times [0, 1] \to$ $M$ จาก $c$ ไปยังจุดคงที่ $p$ $\in$ $c$ นั่นคือ $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

[SC0'] $H$ เป็นแบบต่อเนื่อง
[SC1] $H (t, 0) = c (t)$ สำหรับทุก $t \in [0, 1]$ ,
[SC2] $H (t, 1) = p$ สำหรับทุก $t \in [0, 1]$ ,
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = p$ สำหรับทุก $s \in [0, 1$ ]

ข้ออ้างที่ว่า "สำหรับแรงอนุรักษ์ งานที่ทำในการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจะไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทาง" อาจดูเหมือนเป็นไปตามนั้นทันทีหาก M เป็นเส้นเชื่อมต่อแบบง่าย อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่าการเชื่อมต่อแบบง่ายรับประกันเฉพาะการมีอยู่ของ โฮโมโทปี ต่อเนื่องที่สอดคล้องกับ [SC1-3] เท่านั้น เราต้องการโฮโมโทปีเรียบเป็นช่วงๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเหล่านั้นแทน

โชคดีที่ช่องว่างในความสม่ำเสมอได้รับการแก้ไขโดยทฤษฎีบทการประมาณค่าของ Whitney ^{[ 6 ]}^{: 136, 421}^{[ 12 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเป็นไปได้ของการค้นหาโฮโมโทปีต่อเนื่อง แต่ไม่สามารถอินทิเกรตเหนือมันได้นั้นถูกกำจัดออกไปโดยอาศัยประโยชน์ของคณิตศาสตร์ขั้นสูง ดังนั้นเราจึงได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2-2. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}ให้เป็นเซตเปิดและเชื่อมต่อกันอย่างง่ายด้วยเวกเตอร์ฟิลด์ไร้การหมุน $F$ สำหรับลูปเรียบเป็นช่วงๆ ทั้งหมด $c$ $: [0, 1] \to$ $U$ $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$

สมการของแม็กซ์เวลล์

ในฟิสิกส์แม่เหล็กไฟฟ้าทฤษฎีบทของสโตกส์ให้เหตุผลสำหรับการเทียบเท่ากันของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ของสมการแม็กซ์เวลล์-ฟาราเดย์และสมการแม็กซ์เวลล์-แอมแปร์กับรูปแบบเชิงปริพันธ์ของสมการเหล่านี้ สำหรับกฎของฟาราเดย์ ทฤษฎีบทของสโตกส์ถูกนำไปใช้กับสนามไฟฟ้า: $\mathbf {E}$ $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

สำหรับกฎของแอมแปร์ จะใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์กับสนามแม่เหล็ก ดังนี้: $\mathbf {B}$ $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

หมายเหตุ

↑ (โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ) คือเซตของลำดับ n-tuple ของจำนวนจริงทั้งหมด ซึ่งถือว่าเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ โดยการกำหนดการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์แบบแยกส่วน จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีการดำเนินการตามปกติของพีชคณิตเชิงเส้น จากมุมมองของการดำเนินการเมทริกซ์สามารถระบุได้ว่าเป็น ซึ่งเป็นเซตของเมทริกซ์จริง ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแอฟฟินใดๆ บนสามารถเขียนได้ในรูปแบบโดยที่ A เป็นเมทริกซ์และ b เป็นเวกเตอร์คงที่ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathcal {M}}(n,1,\mathbb {R} )$ $n\times 1$ $\mathbb {R} ^{n}$ $Ax+b$
↑จากนิยามของ เห็นได้ชัดว่า เป็นเซตปิดที่มีขอบเขตใน"ย่านใกล้เคียงของ D" หมายถึง "เซตเปิดในที่ประกอบด้วย D" $D$ $D$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$
↑แสดงถึงชุดภาพของโดย $\Sigma =\psi (D)$ $D$ $\psi$
↑อาจไม่ใช่เส้นโค้งจอร์แดนหากลูปมีปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ดีกับอย่างไรก็ตาม จะเป็น ลูป หรือหลายลูป เสมอและในทางโทโพโลยีคือผลรวมที่เชื่อมต่อกันของ เส้นโค้งจอร์แดน จำนวนนับได้ดังนั้นปริพันธ์จึงมีความหมายที่ชัดเจน $\Gamma$ $\gamma$ $\psi$ $\Gamma$
แม้ว่าเราจะพิจารณาพิกัดเชิงขั้วสองมิติก็ตาม หากเรากำหนดให้ ∂Σ = Γ แล้ว ∂Σ ก็สามารถบรรจุจุดภายในเชิงโทโพโลยีของ Σ ได้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม ในแมนิโฟลด์เชิงคอมบินา ทอริก ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ ปัญหานี้ไม่ร้ายแรงนัก เนื่องจากปริพันธ์เส้นเหนือจุดภายในจะหักล้างกัน ในแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ ปริพันธ์เส้นเหนือ ∂Σ จะตรงกับปริพันธ์เส้นเหนือขอบเขตที่แท้จริง ตัวอย่างที่สำคัญยิ่งกว่านั้นคือ ทฤษฎีบทนี้ยังใช้ได้กับแมนิโฟลด์ที่ไม่มีขอบเขตเชิงโทโพโลยี เช่น ทรงกลมหรือทอรัส ในกรณีเช่นนี้ หาก ∂Σ = Γ แล้ว ∂Σ จะบรรจุอยู่ภายใน Σ อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีเช่นนี้ ปริพันธ์เส้นเหนือ Γ ที่ได้จะหักล้างกันอย่างสมบูรณ์ ทำให้เราสามารถยืนยันได้ว่าปริพันธ์พื้นผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์บนแมนิโฟลด์ที่ไม่มีขอบเขตเป็นศูนย์
↑ในบทความนี้ โปรดทราบว่า ในตำราเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์เวกเตอร์บางเล่ม สัญลักษณ์เหล่านี้ถูกกำหนดให้มีความหมายแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในสัญลักษณ์ของตำราเรียนบางเล่ม ${$ $e$ $,$ $e$ $}$ อาจหมายถึง ${$ $t$ $,$ $t$ $}$ ตามลำดับ อย่างไรก็ตาม ในบทความนี้ สัญลักษณ์เหล่านี้มีความหมายแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ในที่นี้ และ "" แทนค่าบรรทัดฐานยุคลิด $\mathbf {e} _{u}=(1,0),\ \mathbf {e} _{v}=(0,1).$ $\mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.$ $h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,$ $\|\cdot \|$
↑สำหรับ ทุกเมทริกซ์จัตุรัสและด้วยเหตุนี้ ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $A;n\times n$ ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}$
↑ในบทความนี้ โปรดทราบว่า ในตำราเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์เวกเตอร์บางเล่ม สิ่งเหล่านี้ถูกกำหนดให้กับสิ่งต่างๆ ที่แตกต่างกัน $\mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{3}=(0,0,1).$
↑มีตำราเรียนที่ใช้คำว่า "homotopy" และ "homotopic" ในความหมายของทฤษฎีบท 2-1^{[ 5 ]} อันที่จริงแล้ว วิธีนี้สะดวกมากสำหรับปัญหาเฉพาะของแรงอนุรักษ์ อย่างไรก็ตาม การใช้คำว่า homotopy ทั้งสองแบบปรากฏบ่อยครั้งพอสมควร จึงจำเป็นต้องมีคำศัพท์เฉพาะเพื่อแยกความหมาย และคำว่า "tubular homotopy" ที่นำมาใช้ในที่นี้ก็ใช้ได้ดีพอสำหรับจุดประสงค์นั้น

[R3-5] (โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ) คือเซตของลำดับ n-tuple ของจำนวนจริงทั้งหมด ซึ่งถือว่าเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ โดยการกำหนดการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์แบบแยกส่วน จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีการดำเนินการตามปกติของพีชคณิตเชิงเส้น จากมุมมองของการดำเนินการเมทริกซ์สามารถระบุได้ว่าเป็น ซึ่งเป็นเซตของเมทริกซ์จริง ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแอฟฟินใดๆ บนสามารถเขียนได้ในรูปแบบโดยที่ A เป็นเมทริกซ์และ b เป็นเวกเตอร์คงที่ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathcal {M}}(n,1,\mathbb {R} )$ $n\times 1$ $\mathbb {R} ^{n}$ $Ax+b$

[NeighbourhoodofD-8] จากนิยามของ เห็นได้ชัดว่า เป็นเซตปิดที่มีขอบเขตใน"ย่านใกล้เคียงของ D" หมายถึง "เซตเปิดในที่ประกอบด้วย D" $D$ $D$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$

[imgg-9] แสดงถึงชุดภาพของโดย $\Sigma =\psi (D)$ $D$ $\psi$

[cgamma-10] อาจไม่ใช่เส้นโค้งจอร์แดนหากลูปมีปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ดีกับอย่างไรก็ตาม จะเป็น ลูป หรือหลายลูป เสมอและในทางโทโพโลยีคือผลรวมที่เชื่อมต่อกันของ เส้นโค้งจอร์แดน จำนวนนับได้ดังนั้นปริพันธ์จึงมีความหมายที่ชัดเจน $\Gamma$ $\gamma$ $\psi$ $\Gamma$

[boundery-11] แม้ว่าเราจะพิจารณาพิกัดเชิงขั้วสองมิติก็ตาม หากเรากำหนดให้ ∂Σ = Γ แล้ว ∂Σ ก็สามารถบรรจุจุดภายในเชิงโทโพโลยีของ Σ ได้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม ในแมนิโฟลด์เชิงคอมบินา ทอริก ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ ปัญหานี้ไม่ร้ายแรงนัก เนื่องจากปริพันธ์เส้นเหนือจุดภายในจะหักล้างกัน ในแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ ปริพันธ์เส้นเหนือ ∂Σ จะตรงกับปริพันธ์เส้นเหนือขอบเขตที่แท้จริง ตัวอย่างที่สำคัญยิ่งกว่านั้นคือ ทฤษฎีบทนี้ยังใช้ได้กับแมนิโฟลด์ที่ไม่มีขอบเขตเชิงโทโพโลยี เช่น ทรงกลมหรือทอรัส ในกรณีเช่นนี้ หาก ∂Σ = Γ แล้ว ∂Σ จะบรรจุอยู่ภายใน Σ อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีเช่นนี้ ปริพันธ์เส้นเหนือ Γ ที่ได้จะหักล้างกันอย่างสมบูรณ์ ทำให้เราสามารถยืนยันได้ว่าปริพันธ์พื้นผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์บนแมนิโฟลด์ที่ไม่มีขอบเขตเป็นศูนย์

[orf2-16] ในบทความนี้ โปรดทราบว่า ในตำราเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์เวกเตอร์บางเล่ม สัญลักษณ์เหล่านี้ถูกกำหนดให้มีความหมายแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในสัญลักษณ์ของตำราเรียนบางเล่ม ${$ $e$ $,$ $e$ $}$ อาจหมายถึง ${$ $t$ $,$ $t$ $}$ ตามลำดับ อย่างไรก็ตาม ในบทความนี้ สัญลักษณ์เหล่านี้มีความหมายแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ในที่นี้ และ "" แทนค่าบรรทัดฐานยุคลิด $\mathbf {e} _{u}=(1,0),\ \mathbf {e} _{v}=(0,1).$ $\mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.$ $h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,$ $\|\cdot \|$

[naiseki-17] สำหรับ ทุกเมทริกซ์จัตุรัสและด้วยเหตุนี้ ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $A;n\times n$ ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}$

[orf3-18] ในบทความนี้ โปรดทราบว่า ในตำราเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์เวกเตอร์บางเล่ม สิ่งเหล่านี้ถูกกำหนดให้กับสิ่งต่างๆ ที่แตกต่างกัน $\mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{3}=(0,0,1).$

[TLH-20] มีตำราเรียนที่ใช้คำว่า "homotopy" และ "homotopic" ในความหมายของทฤษฎีบท 2-1^{[ 5 ]} อันที่จริงแล้ว วิธีนี้สะดวกมากสำหรับปัญหาเฉพาะของแรงอนุรักษ์ อย่างไรก็ตาม การใช้คำว่า homotopy ทั้งสองแบบปรากฏบ่อยครั้งพอสมควร จึงจำเป็นต้องมีคำศัพท์เฉพาะเพื่อแยกความหมาย และคำว่า "tubular homotopy" ที่นำมาใช้ในที่นี้ก็ใช้ได้ดีพอสำหรับจุดประสงค์นั้น

1 ] หรือ

[ 2 ]

[ 3 ]

4 ] หรือ

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[

หมายเหตุ

[

[

[

[

[ 9 ]

[ 10 ]

หมายเหตุ 6 ]

[หมายเหตุ 7 ]

หมายเหตุ

[

[หมายเหตุ 9 ]

[ 12 ]