ปัญหาสำคัญในทางโทโพโลยีคือวิธีการขยายปริภูมิโดยการเพิ่มจุดเพื่อให้ลิมิต บางประเภท มีอยู่จริงการทำให้ปริภูมิเป็นแบบกระชับของสโตน-เช็กให้การขยายที่ครอบคลุมมากที่สุด: มันเพิ่มจุดมากพอที่จะรับประกันการมีอยู่ของลิมิตทั่วไปทั้งหมด รวมถึงลิมิตที่ตรวจพบโดยเน็ตหรืออัลตราฟิลเตอร์แทนที่จะเป็นลำดับ ธรรมดา การสร้างนี้ได้รับการแนะนำโดยปริยายโดยอันเดรย์ นิโคลาเยวิช ทิโคนอฟ (1930) และอธิบายอย่างชัดเจนโดยมาร์แชล สโตน (1937) และเอ็ดเวิร์ด เช็ก (1937)

โดยละเอียดแล้ว การทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบสโตน-เช็ก (Stone–Čech compactification) เป็นเทคนิคในการสร้าง แผนที่ สากลจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีXไปยัง ปริภูมิ เฮา ส์ดอร์ฟ กระชับ ( compact Hausdorff space ) การทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบสโตน-เช็กเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับที่ "ทั่วไปที่สุด" เพียงหนึ่งเดียวที่สร้างขึ้นโดยXในแง่ที่ว่าแผนที่ต่อเนื่องใดๆ จากXไปยังปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับอื่นๆ จะแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันผ่านถ้าปริภูมิXเป็นปริภูมิไทโคนอฟ (Tychonoff space ) แผนที่จากXไปยัง เป็นการฝังตัว (embedding ) และXสามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิย่อยหนาแน่น (dense subspace ) ของสำหรับปริภูมิไทโคนอฟคือการทำให้เป็นปริภูมิกระชับ ที่ใหญ่ที่สุด ของX : การทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบเฮาส์ดอร์ฟอื่นๆ ของXเป็นปริภูมิผลหารของสำหรับปริภูมิอนันต์ โครงสร้างของมักจะซับซ้อนอย่างยิ่ง และการพิสูจน์การมีอยู่ของมันโดยทั่วไปต้องใช้สัจพจน์ของการเลือก (axiom of choice ) ${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$

เป้าหมายของ การทำให้เป็นพื้นที่ กระชับคือการ "ขยาย" พื้นที่โดยการเพิ่มจุดจำกัดในอุดมคติเพื่อเติมเต็ม "ช่องว่าง" หรือขอบเขตที่ขาดหายไป เนื่องจากพื้นที่กระชับนั้นมีพฤติกรรมทางคณิตศาสตร์ที่ดี จึงมักเป็นประโยชน์ที่จะฝังพื้นที่ที่ไม่กระชับเข้าไปในพื้นที่กระชับ โดยมักจะมีหลายวิธีในการเพิ่มจุดเหล่านี้ ขึ้นอยู่กับว่าพื้นที่เดิมถูกฝังเข้าไปในกรอบที่ใหญ่กว่าอย่างไร

แรงจูงใจหลักสำหรับการสร้างพื้นที่กระชับแบบสโตน-เช็กคือเพื่อให้แน่ใจว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่มีขอบเขตใดๆ บนพื้นที่เดิมสามารถขยายไปยังพื้นที่กระชับได้ ตัวอย่างเช่น ช่วงเปิดมักจะถูกทำให้กระชับเป็นช่วงปิดโดยการเพิ่มจุดปลายสองจุด อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันต่อเนื่องบนอาจไม่สามารถขยายไปยัง ได้หากช่วงถูกฝังลงในระนาบโดยการแมปไปยัง(" เส้นโค้งไซน์ของนักทอพอโลยี ") การปิดจะเพิ่มส่วนของเส้นตรงแนวตั้งทั้งหมดของจุดลิมิตแทนที่จะเป็นจุดเดียว ในการฝังนั้น ค่าของสามารถกู้คืนได้ง่ายๆ โดยใช้การฉายภาพลงบนพิกัดที่สอง ซึ่งขยายไปยังการปิดโดยธรรมชาติ^{[ 1 ]} ข้อสังเกตนี้ทำให้เกิดการสร้างพื้นที่ผลคูณของพื้นที่กระชับแบบสโตน-เช็ก หากการเพิ่มฟังก์ชันหนึ่งเป็นพิกัดทำให้ฟังก์ชันเฉพาะนั้นสามารถขยายได้อย่างต่อเนื่อง การฝังพื้นที่ลงในพื้นที่ผลคูณ มิติสูง —โดยมีพิกัดหนึ่งสำหรับ ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขตที่เป็นไปได้ ทุกฟังก์ชัน—ทำให้ ฟังก์ชันดังกล่าว ทั้งหมด สามารถ ขยายได้ การทำให้กระชับของสโตน-เช็ก ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์คือการปิดของพื้นที่Xภายในพื้นที่ผลคูณสูงสุดนี้ เนื่องจากถูกสร้างขึ้นเพื่อรองรับการขยายต่อเนื่องที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากล : ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขตทุก ฟังก์ชัน บนXขยายได้อย่างไม่ซ้ำกันไปยังฟังก์ชันต่อเนื่องบน^{[ 1 ]}${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,\sin(1/x))}$${\displaystyle \sin(1/x)}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle \beta X}$

แรงจูงใจอีกประการหนึ่งคือการหลีกเลี่ยงข้อจำกัดของการทำให้กระชับที่เล็กกว่า สำหรับปริภูมิแบบไม่ ต่อเนื่องที่นับไม่ได้ D การทำให้กระชับ แบบจุดเดียว ส่งผลให้เกิดปริภูมิที่ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นคงที่ทุกที่ยกเว้นบนเซตย่อยที่นับได้ของDในปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องดั้งเดิม ฟังก์ชัน ทุกฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง การทำให้กระชับแบบจุดเดียว "ทำลาย" ความต่อเนื่องของฟังก์ชันส่วนใหญ่^{[ 2 ]} ในทางตรงกันข้าม การทำให้กระชับแบบสโตน-เช็กคือการทำให้กระชับที่ฟังก์ชันที่มีขอบเขตทั้งหมดขยายไปเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าการทำให้กระชับแบบจุดเดียวมาก ในขณะที่เพิ่มเพียงจุดเดียว แต่เพิ่มจำนวนนับไม่ได้^{[ 2 ]}${\displaystyle D^{*}=D\คัพ {\infty }}$${\displaystyle f:D^{*}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \beta D}$${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \beta D}$${\displaystyle D^{*}}$${\displaystyle \beta D}$

Andrey Nikolayevich Tikhonovได้แนะนำพื้นที่ปกติโดยสมบูรณ์ในปี พ.ศ. 2473 เพื่อหลีกเลี่ยงสถานการณ์ที่ผิดปกติของพื้นที่ Hausdorffซึ่งฟังก์ชันค่าจริง ต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวคือแผนที่คงที่ ^{[ 3 ]}

ในบทความปี 1930 เดียวกันกับที่ Tychonoff นิยามปริภูมิปกติสมบูรณ์ เขายังพิสูจน์ด้วยว่าปริภูมิ Tychonoff ทุกปริภูมิ (เช่นปริภูมิปกติสมบูรณ์ของ Hausdorff ) มี การทำให้เป็นปริภูมิกระชับ ของ Hausdorff (ในบทความเดียวกันนี้ เขายังพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Tychonoff ด้วย ) ในปี 1937 Čech ได้ขยายเทคนิคของ Tychonoff และแนะนำสัญลักษณ์βXสำหรับการทำให้เป็นปริภูมิกระชับนี้ Stone ก็สร้างβXในบทความปี 1937 เช่นกัน แม้ว่าจะใช้วิธีการที่แตกต่างกันมากก็ตาม แม้ว่าบทความของ Tychonoff จะเป็นงานชิ้นแรกในหัวข้อของการทำให้เป็นปริภูมิกระชับของ Stone–Čech และแม้ว่าบทความของ Tychonoff จะถูกอ้างอิงโดยทั้ง Stone และ Čech แต่ชื่อของ Tychonoff ก็แทบจะไม่เกี่ยวข้องกับβXเลย^{[ 4 ​​]}

การทำให้กระชับของ Stone–Čech ของปริภูมิโทโพโลยีXคือปริภูมิ Hausdorff กระชับ βXพร้อมกับแผนที่ต่อเนื่องi  : X → βXที่มีคุณสมบัติสากล ดังต่อไปนี้ : แผนที่ต่อเนื่อง ใดๆ f  : X → Kโดยที่Kเป็นปริภูมิ Hausdorff กระชับ จะขยายไปยังแผนที่ต่อเนื่องβf  : βX → K ได้อย่างไม่ซ้ำกัน ^{กล่าว}คือ ( βf ) i = f [ ^{5 ]}

โดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติสากลนี้จะบ่งบอกลักษณะของ βX ในระดับโฮมีโอเมอร์ฟิซึม

ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อ § การสร้างด้านล่าง เราสามารถพิสูจน์ได้ (โดยใช้สัจพจน์ของการเลือก) ว่าการทำให้เป็นกระชับแบบสโตน-เช็กi  : X → βX ดังกล่าว มีอยู่สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีX ทุก ปริภูมิ ยิ่งไปกว่านั้น ภาพi ( X ) มีความหนาแน่นในβX

ผู้เขียนบางท่านได้เพิ่มข้อสมมติฐานว่าปริภูมิเริ่มต้นXเป็นปริภูมิไทโคนอฟ (หรือแม้แต่ ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ แบบกระชับเฉพาะที่ ) ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

• แผนที่จากX ไปยังภาพของมันใน βXเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อXเป็นไทโคนอฟ เท่านั้น
• แผนที่จากXไปยังภาพของมันในβXเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยังปริภูมิย่อยเปิดก็ต่อเมื่อXเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่

การสร้างแบบสโตน-เช็กสามารถทำได้สำหรับปริภูมิX ที่ทั่วไปกว่า แต่ในกรณีนั้น แผนที่X → βXไม่จำเป็นต้องเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยังภาพของX (และบางครั้งก็ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ)

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับโครงสร้างสากลแบบนี้ คุณสมบัติการขยายทำให้βเป็นฟังก์ชันจากTop ( หมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ) ไปยังCHaus (หมวดหมู่ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ) ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเราให้Uเป็นฟังก์ชันการรวมจากCHausไปยังTopแผนที่จากβXไปยังK (สำหรับKในCHaus ) จะสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับแผนที่จากXไปยังUK (โดยพิจารณาข้อจำกัด ของแผนที่เหล่านั้น บนXและใช้คุณสมบัติสากลของβX ) กล่าวคือ

Hom( βX , K ) ≅ Hom( X , UK ),

ซึ่งหมายความว่าβเป็นตัวผกผันซ้ายของUนี่แสดงว่าCHausเป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนของTop โดย มี ตัวสะท้อนβ

ถ้าXเป็นปริภูมิ Hausdorff ขนาดกะทัดรัด ก็จะสอดคล้องกับการทำให้เป็นขนาดกะทัดรัดแบบ Stone–Čech ^{[ 6 ]}

การทำให้กระชับแบบสโตน-เช็กของลำดับที่นับไม่ได้แรก ที่มีโทโพโลยีลำดับคือลำดับการทำให้กระชับแบบสโตน-เช็กของแผ่นไทโคนอฟที่ถูกลบคือแผ่นไทโคนอฟ^{[ 7 ]}ตัวอย่างเหล่านี้ไม่ต้องการสัจพจน์ของการเลือก ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}+1}$

ความพยายามอย่างหนึ่งในการสร้างการบีบอัดแบบสโตน-เช็กของXคือการหาการปิดของภาพของXใน

${\displaystyle \prod \nolimits _{f:X\to K}K}$

โดยที่ผลคูณนั้นครอบคลุมแผนที่ทั้งหมดจากXไปยังปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับK (หรือเทียบเท่ากับภาพของX โดย ส่วนขยาย Kanทางขวาของฟังก์ชันเอกลักษณ์ของหมวดหมู่CHausของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับตามฟังก์ชันการรวมของCHausเข้าสู่หมวดหมู่Topของปริภูมิเชิงทอพอโลยีทั่วไป) ^{[หมายเหตุ 1 ]}ตามทฤษฎีบทของไทโคนอฟผลคูณของปริภูมิแบบกระชับนี้เป็นแบบกระชับ และการปิดของXในปริภูมินี้จึงกระชับด้วยเช่นกัน แนวคิดนี้ใช้ได้ผลในเชิงสัญชาตญาณ แต่ล้มเหลวด้วยเหตุผลทางเทคนิคที่ว่าการรวบรวมแผนที่ดังกล่าวทั้งหมดเป็นคลาสที่เหมาะสมมากกว่าเซต มีหลายวิธีในการปรับเปลี่ยนแนวคิดนี้เพื่อให้ใช้งานได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถจำกัดปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับKให้มีเซตพื้นฐานP ( P ( X )) ( เซตกำลังของเซตกำลังของX ) ซึ่งมีขนาดใหญ่พอที่จะมีจำนวนสมาชิกอย่างน้อยเท่ากับจำนวนสมาชิกของทุกปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับที่Xสามารถแมปไปพร้อมกับภาพที่หนาแน่นได้

วิธีหนึ่งในการสร้างβXคือให้Cเป็นเซตของฟังก์ชันต่อเนื่อง ทั้งหมด จากXไปยัง [0, 1] และพิจารณาแผนที่ที่ ${\displaystyle e:X\to [0,1]^{C}}$

${\displaystyle e(x):f\mapsto f(x)}$

อาจมองได้ว่าเป็นแผนที่ต่อเนื่องไปยังภาพของมัน หาก [0, 1] ^Cมีโทโพโลยีแบบผล คูณ ตามทฤษฎีบทของไทโคนอฟเราจะได้ว่า [0, 1] ^Cเป็นเซตกระชับ เนื่องจาก [0, 1] เป็นเซตกระชับ ดังนั้น ส่วนปิดของXใน [0, 1] ^Cจึงเป็นการทำให้X เป็นเซต กระชับ

อันที่จริง การปิดนี้คือการทำให้กระชับแบบสโตน-เช็ก (Stone–Čech compactification) เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ เราเพียงแค่ต้องตรวจสอบว่าการปิดนั้นเป็นไปตามคุณสมบัติสากลที่เหมาะสม เราจะทำเช่นนี้ก่อนสำหรับK = [0, 1] โดยที่ส่วนขยายที่ต้องการของf  : X → [0, 1] คือการฉายภาพลงบน พิกัด fใน [0, 1] ^Cเพื่อให้ได้สิ่งนี้สำหรับเฮาส์ดอร์ฟกระชับทั่วไปKเราใช้สิ่งที่กล่าวมาข้างต้นเพื่อสังเกตว่าKสามารถฝังอยู่ในลูกบาศก์บางลูก ขยายฟังก์ชันพิกัดแต่ละฟังก์ชัน แล้วนำผลคูณของส่วนขยายเหล่านี้มา

คุณสมบัติพิเศษของช่วงหน่วยที่จำเป็นสำหรับการสร้างนี้คือ มันเป็นตัวสร้างร่วมของหมวดหมู่ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ: ซึ่งหมายความว่า ถ้าAและBเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ และfและgเป็นแผนที่ที่แตกต่างกันจากAไปยังBแล้วจะมีแผนที่h  : B → [0, 1] ที่ทำให้hfและhgแตกต่างกัน ตัวสร้างร่วม (หรือเซตตัวสร้างร่วม) อื่นๆ สามารถนำมาใช้ในการสร้างนี้ได้

อีกทางเลือกหนึ่ง หากXเป็นจำนวนไม่ต่อเนื่องก็สามารถสร้างเซตของอัลตราฟิลเตอร์ ทั้งหมด บนX ได้ โดยที่องค์ประกอบของXสอดคล้องกับอัลตราฟิลเตอร์หลักโทโพโลยีบนเซตของอัลตราฟิลเตอร์ เรียกว่า${\displaystyle \beta X}$โทโพโล ยี ของหินถูกสร้างขึ้นโดยเซตที่มีรูปแบบโดยที่Uเป็นเซตย่อยของX${\displaystyle \{F:U\in F\}}$

เราตรวจสอบคุณสมบัติสากลอีกครั้ง: สำหรับK ที่ เป็น Hausdorff กระชับ และFเป็นอัลตราฟิลเตอร์บนXเราจะมีฐานอัลตราฟิลเตอร์บนKซึ่งเป็นการส่งต่อของFสิ่งนี้มีลิมิต ที่ไม่ซ้ำกัน เนื่องจากKเป็น Hausdorff กระชับ เช่นxและเรากำหนดสิ่งนี้ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นส่วนขยายต่อเนื่องของ f${\displaystyle f:X\to K}$${\displaystyle f(F)}$${\displaystyle \beta f(F)=x.}$

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถใช้ปริภูมิสโตนของพีชคณิตบูลีนสมบูรณ์ของเซตย่อยทั้งหมดของXเป็นการทำให้กระชับแบบสโตน-เช็กได้ นี่เป็นการสร้างแบบเดียวกันจริงๆ เนื่องจากปริภูมิสโตนของพีชคณิตบูลีนนี้คือเซตของอัลตราฟิลเตอร์ (หรือเทียบเท่ากับอุดมคติ เฉพาะ หรือโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังพีชคณิตบูลีน 2 องค์ประกอบ) ของพีชคณิตบูลีน ซึ่งก็คือเซตของอัลตราฟิลเตอร์บนXนั่นเอง

โครงสร้างนี้สามารถขยายไปสู่ปริภูมิ Tychonoff ใดๆ ได้โดยใช้ตัวกรองสูงสุดของเซตศูนย์แทนตัวกรองพิเศษ^{[ 8 ]} (ตัวกรองของเซตปิดก็เพียงพอแล้วหากปริภูมิเป็นปกติ )

การทำให้กระชับของ Stone–Čech นั้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกตามธรรมชาติกับสเปกตรัมของ C ( X ) ^{[ 9 ]}ในที่นี้ C ( X ) หมายถึงพีชคณิต C* ของ ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่มีขอบเขตต่อเนื่องทั้งหมดบนXที่มีนอร์มสูงสุดสังเกตว่า C ( X ) เป็นไอโซมอร์ฟิกตามหลักการกับพีชคณิตตัวคูณของ C ( X )

ในกรณีที่Xเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่เช่นNหรือRภาพของXจะเป็นเซตย่อยเปิดของβXหรือของปริภูมิกระชับใดๆ ก็ได้ (นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นเช่นกัน เนื่องจากเซตย่อยเปิดของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับจะเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่) ในกรณีนี้ เรามักจะศึกษาปริภูมิส่วนที่เหลือβX ∖ Xซึ่งเป็นเซตย่อยปิดของβXดังนั้นจึงเป็นปริภูมิกระชับ เราพิจารณาNด้วยโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องและเขียนβ N ∖ N = N * (แต่ดูเหมือนว่านี่จะไม่ใช่สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับX ทั่วไป )

ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น เราสามารถมองβ Nว่าเป็นเซตของอัลตราฟิลเตอร์บนNโดยมีโทโพโลยีที่สร้างขึ้นจากเซตในรูปแบบที่Uเป็นเซตย่อยของNเซตNสอดคล้องกับเซตของอัลตราฟิลเตอร์หลักและเซตN * สอดคล้องกับเซตของ อัลตราฟิล เตอร์ อิสระ${\displaystyle \{F:U\in F\}}$

การศึกษาβ Nและโดยเฉพาะอย่างยิ่งN * เป็นสาขาสำคัญของทฤษฎีเซตเชิงทอพอโลยี สมัยใหม่ ผลลัพธ์หลักที่กระตุ้นให้เกิดการศึกษานี้คือทฤษฎีบทของ Parovicenkoซึ่งโดยพื้นฐานแล้วอธิบายลักษณะพฤติกรรมของมันภายใต้สมมติฐานของ สมมติฐาน ความ ต่อเนื่อง

รัฐเหล่านี้:

• ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟขนาดกะทัดรัดทุกปริภูมิที่มีน้ำหนักไม่เกิน(ดูเลขอะเลฟ ) คือภาพต่อเนื่องของN * (สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องใช้สมมติฐานความต่อเนื่อง แต่จะน่าสนใจน้อยลงหากไม่มีสมมติฐานดังกล่าว)${\displaystyle \aleph _{1}}$
• ถ้าสมมติฐานความต่อเนื่องเป็นจริงN * จะเป็นปริภูมิ Parovicenko ที่ไม่ซ้ำกัน โดยพิจารณาจากความเหมือนกันทางไอโซมอร์ฟิซึม

เดิมทีข้อพิสูจน์เหล่านี้ได้มาจากการพิจารณาพีชคณิตบูลีนและการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทคู่ของสโตน

Jan van Mill ได้อธิบายβ Nว่าเป็น "สัตว์ประหลาดสามหัว" โดยหัวทั้งสามนั้นได้แก่ หัวที่ยิ้มแย้มและเป็นมิตร (พฤติกรรมภายใต้สมมติฐานของสมมติฐานความต่อเนื่อง) หัวที่น่าเกลียดของความเป็นอิสระซึ่งพยายามทำให้คุณสับสนอยู่ตลอดเวลา (การกำหนดว่าพฤติกรรมใดเป็นไปได้ในแบบจำลองต่างๆ ของทฤษฎีเซต) และหัวที่สามนั้นเล็กที่สุด (สิ่งที่คุณสามารถพิสูจน์ได้เกี่ยวกับมันในZFC ) ^{[ 10 ]}เมื่อไม่นานมานี้ได้มีการสังเกตว่าลักษณะเฉพาะนี้ไม่ถูกต้องนัก อันที่จริงแล้วมีหัวที่สี่ของβ Nซึ่งสัจพจน์บังคับและสัจพจน์ประเภท Ramsey ให้คุณสมบัติของβ Nที่ตรงกันข้ามกับคุณสมบัติภายใต้สมมติฐานความต่อเนื่องเกือบทั้งหมด ทำให้มีแผนที่จากN * น้อยมาก ตัวอย่างของสัจพจน์เหล่านี้ได้แก่ การรวมกันของสัจพจน์ของ Martinและสัจพจน์การระบายสีแบบเปิดซึ่งพิสูจน์ได้ว่า ( N *) ² ≠ N * ในขณะที่สมมติฐานความต่อเนื่องบ่งชี้ถึงสิ่งที่ตรงกันข้าม

การทำให้กระชับแบบสโตน-เช็กβ Nสามารถใช้เพื่อกำหนดลักษณะเฉพาะของ( ปริภูมิบานาคของลำดับที่มีขอบเขตทั้งหมดในฟิลด์ สเกลาร์ RหรือCที่มีบรรทัดฐานสูงสุด ) และปริภูมิคู่ ของมันได้${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

กำหนดให้ลำดับที่มีขอบเขตจะมีทรงกลมปิดBในฟิลด์สเกลาร์ที่บรรจุภาพของa อยู่ a จึง เป็นฟังก์ชันจากNไปยังBเนื่องจากNเป็นเซตไม่ต่อเนื่องและBเป็นเซตกระชับและมีคุณสมบัติเฮาส์ดอร์ฟ ดังนั้นaจึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ตามคุณสมบัติสากล จะมีส่วนขยายβa  : β N → B ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ส่วนขยายนี้ไม่ขึ้นอยู่กับทรงกลมBที่เราพิจารณา ${\displaystyle a\in \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

เราได้กำหนดแผนที่ส่วนขยายจากปริภูมิของลำดับค่าสเกลาร์ที่มีขอบเขตไปยังปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องเหนือ β N

${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )\to C(\beta \mathbf {N} )}$

แผนที่นี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เนื่องจากทุกฟังก์ชันในC ( β N ) จะต้องมีขอบเขต และสามารถจำกัดให้เป็นลำดับสเกลาร์ที่มีขอบเขตได้

หากเราพิจารณาทั้งสองปริภูมิด้วยนอร์มสูงสุด แผนที่การขยายจะกลายเป็นไอโซเมตรีอันที่จริง หากในการสร้างข้างต้นเราเลือกทรงกลมB ที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เราจะเห็นว่านอร์มสูงสุดของลำดับที่ขยายแล้วจะไม่เพิ่มขึ้น (แม้ว่าภาพของฟังก์ชันที่ขยายแล้วอาจมีขนาดใหญ่ขึ้นก็ตาม)

ดังนั้น จึงสามารถระบุได้ด้วยC ( β N ) ซึ่งทำให้เราสามารถใช้ ทฤษฎีบทการแสดงแทน ของ Rieszและพบว่าปริภูมิคู่ของสามารถระบุได้ด้วยปริภูมิของการวัด Borel จำกัด บนβ N${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

สุดท้ายนี้ ควรสังเกตว่าเทคนิคนี้สามารถขยายไปสู่ ปริภูมิ L ^∞ของปริภูมิการวัดX ใดๆ ได้ อย่างไรก็ตาม แทนที่จะพิจารณาเพียงปริภูมิβXของอัลตราฟิลเตอร์บนXวิธีที่ถูกต้องในการขยายการสร้างนี้คือการพิจารณาปริภูมิสโตนYของพีชคณิตการวัดของX : ปริภูมิC ( Y ) และL ^∞ ( X ) เป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะพีชคณิต C* ตราบใดที่Xเป็นไปตามเงื่อนไขความจำกัดที่สมเหตุสมผล (นั่นคือเซตใดๆ ที่มีการวัดเป็นบวกจะมีเซตย่อยที่มีการวัดเป็นบวกจำกัด)

จำนวนธรรมชาติก่อให้เกิดโมโนอิดภายใต้การบวกปรากฏว่าการดำเนินการนี้สามารถขยาย (โดยทั่วไปในหลายวิธี แต่มีเพียงวิธีเดียวภายใต้เงื่อนไขเพิ่มเติม) ไปยังβ Nทำให้ปริภูมินี้กลายเป็นโมโนอิดเช่นกัน แม้ว่าจะเป็นโมโนอิดที่ไม่สลับที่กันก็ตาม

สำหรับเซตย่อยA ใดๆ ของNและจำนวนเต็มบวกnในNเรากำหนด

${\displaystyle An=\{k\in \mathbf {N} \mid k+n\in A\}.}$

กำหนดให้มีอัลตราฟิลเตอร์สองตัวคือFและGบนNเราจะนิยามผลรวมของอัลตราฟิลเตอร์ทั้งสองโดย

${\displaystyle F+G={\Big \{}A\subseteq \mathbf {N} \mid \{n\in \mathbf {N} \mid An\in F\}\in G{\Big \}};}$

สามารถตรวจสอบได้ว่านี่คืออัลตราฟิลเตอร์อีกครั้ง และการดำเนินการ + เป็นแบบสมาคม (แต่ไม่ใช่แบบสลับที่ได้) บน β NและขยายการบวกบนNโดยที่ 0 ทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการดำเนินการ + บนβ Nการดำเนินการนี้ยังต่อเนื่องทางขวา ในแง่ที่ว่าสำหรับอัลตราฟิลเตอร์F ทุกตัว แผนที่

${\displaystyle {\begin{cases}\beta \mathbf {N} \to \beta \mathbf {N} \\G\mapsto F+G\end{cases}}}$

เป็นค่าต่อเนื่อง

โดยทั่วไป หากSเป็นเซมิกรุปที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง การดำเนินการของSสามารถขยายไปยังβSได้ ทำให้ได้การดำเนินการแบบเชื่อมโยงที่ต่อเนื่องทางขวา^{[ 11 ]}

การทำให้เป็นคอมแพ็กต์ของสโตน-เช็กมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎีแรมซีย์และพีชคณิตเชิงทอพอโลยี ในขณะที่ถูกสร้างขึ้นเป็นวัตถุเชิงทอพอโลยี หากปริภูมิพื้นฐานSเป็นเซมิกรุปแบบ ไม่ต่อเนื่อง (เช่น จำนวนธรรมชาติภายใต้การบวก) การดำเนินการทางพีชคณิตบนSสามารถขยายไปยังได้ซึ่งจะกลายเป็นเซมิกรุปเชิงทอพอโลยีขวาแบบคอมแพ็กต์ โครงสร้างทางพีชคณิตของ—โดยเฉพาะคุณสมบัติของ องค์ประกอบ เอกลักษณ์และ โครงสร้าง อุดมคติ — สามารถนำมาใช้พิสูจน์ผลลัพธ์เชิงการจัดเรียงที่ลึกซึ้งเกี่ยวกับ เซต Sดั้งเดิมได้${\displaystyle \beta S}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \beta S}$${\displaystyle \beta S}$${\displaystyle \beta S}$

ตัวอย่างที่โดดเด่นของประโยชน์นี้คือทฤษฎีบทเซตกลาง ในการศึกษาการทำให้เป็นคอมแพ็กต์ของสโตน-เช็ก เซตย่อยAของเซมิกรุปSถูกนิยามว่าเป็นเซตกลางหากเป็นสมาชิกของอัลตราฟิลเตอร์แบบเอกลักษณ์ในอุดมคติขั้นต่ำทฤษฎีบทเซตกลาง (ซึ่งเชื่อกันว่าเป็นผลงานของเฟอร์สเตนเบิร์ก และต่อมาได้รับการขยายความโดยฮินด์แมนและสเตราส) รับประกันว่าเซตกลางเหล่านี้มีความอุดมสมบูรณ์ในเชิงการจัดเรียง ${\displaystyle K(\beta S)}$

สำหรับเซมิกรุปสลับ ที่ Sทฤษฎีบทเซตกลางระบุว่า ถ้าAเป็นเซตย่อยกลางของSแล้ว สำหรับข้อกำหนดใดๆ ของลำดับในSจะมีลำดับในSและเซตย่อยจำกัดที่ตรงตามเงื่อนไขเซตผลรวมเฉพาะที่บรรจุอยู่ภายในA ทั้งหมด ความสำคัญของการทำให้กระชับของ Stone–Čech ในบริบทนี้คือการให้กลไกในการพิสูจน์การมีอยู่ของรูปแบบปกติเหล่านี้ การพิสูจน์อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นปริภูมิกระชับ ทำให้สามารถใช้เลมมาของ Zornเพื่อค้นหาอุดมคติขั้นต่ำและตัวผกผัน ซึ่งในทางกลับกันสอดคล้องกับการมีอยู่ของโครงสร้างเชิงคอมบินาทอริกที่ต้องการในจำนวนเต็ม แนวทางทางโทโพโลยีนี้ให้การพิสูจน์สำหรับผลลัพธ์เช่นทฤษฎีบทของ Van der WaerdenและทฤษฎีบทHales–Jewett ^{[ 12 ]}${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (H_{n})}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \beta S}$

การประยุกต์ใช้การทำให้กระชับของ Stone–Čech ขยายออกไปนอกเหนือจากความสม่ำเสมอของการแบ่งส่วนไปสู่ทฤษฎี Ramsey ความหนาแน่นและทฤษฎีเออร์โกดิก ในขณะที่ทฤษฎี Ramsey แบบคลาสสิกถามว่าเซลล์ใดของการแบ่งส่วนมีโครงสร้าง ทฤษฎี Ramsey ความหนาแน่นยืนยันว่าเซตย่อย "ขนาดใหญ่" ใด ๆ ของจำนวนธรรมชาติ (โดยเฉพาะเซตที่มีความหนาแน่น Banach ด้านบนเป็นบวก) จะต้องมีรูปแบบที่มีโครงสร้าง เช่น ลำดับเลขคณิตที่ยาวตามอำเภอใจ ( ทฤษฎีบทของ Szemerédi ) ^{[ 13 ]}

การทำให้กระชับของ Stone–Čech เป็นสะพานเชื่อมระหว่างปัญหาเชิงจำนวนและระบบพลวัตเหล่านี้ผ่านหลักการสอดคล้องกันของ Furstenberg หลักการนี้อนุญาตให้แปลปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเซตของความหนาแน่นบวกในจำนวนเต็มไปเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระบบที่รักษาการวัด ในกรอบนี้ ตัวกรองพิเศษในถูกใช้เพื่อกำหนดขีดจำกัดของลำดับการแกว่งอย่างเข้มงวด ทำให้สามารถสร้างการวัดความน่าจะเป็นเฉพาะบนพื้นที่พลวัตที่เกี่ยวข้องได้ นอกจากนี้ โครงสร้างพีชคณิตของ(โดยเฉพาะคุณสมบัติของเซตของตัวกรองพิเศษที่มีสมาชิกทั้งหมดมีความหนาแน่น Banach เป็นบวก) ช่วยให้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทเชิงการจัดเรียงแบบ "ความหนาแน่นที่แข็งแกร่ง" ซึ่งยากที่จะพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการพื้นฐาน^{[ 14 ]}${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$${\displaystyle \Delta ^{*}}$

การทำให้เซตไม่ต่อเนื่องเป็นปริภูมิกระชับแบบสโตน-เช็กแสดงให้เห็นว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับทุกปริภูมิมีการปกคลุมโดยเซตโปรไฟไนต์ที่ไม่เชื่อมต่อกันอย่างสุดขั้ว สิ่งนี้ถูกนำไปใช้ในคณิตศาสตร์แบบย่อเพื่อแสดงให้เห็นว่าเซตแบบย่อสามารถอธิบายได้ว่าเป็นฟังก์ชันจากเซตโปรไฟไนต์ที่ไม่เชื่อมต่อกันอย่างสุดขั้วไปยังเซตที่ส่งผลคูณร่วมจำกัดไปยังผลคูณ

• การทำให้เป็นปริภูมิกระชับ (คณิตศาสตร์)  – การฝังปริภูมิเชิงทอพอโลยีลงในปริภูมิกระชับในรูปของเซตย่อยหนาแน่น
• ตัวกรองในทางโทโพโลยี  – การใช้ตัวกรองเพื่ออธิบายและจำแนกลักษณะแนวคิดและผลลัพธ์พื้นฐานทางโทโพโลยีทั้งหมด
• การทำให้กระชับด้วยจุดเดียว  – วิธีการขยายปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ไม่กระชับหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• การทำให้กระชับแบบวอลล์แมน – การทำให้กระชับของ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี T

• การบีอัดข้อมูลแบบ Stone-Čech ที่ Planet Math
• Dror Bar-Natan, ตัวกรองอัลตร้าฟิลเตอร์, ความกะทัดรัด และการอัดแน่นแบบสโตน-เช็ก