2 ประเภท

Q: การแบ่งประเภทอย่างเข้มงวด 2 ประเภท

ตามคำจำกัดความ C ประเภท 2 ที่เข้มงวดประกอบด้วยข้อมูล: [ 3 ]

Q: ในฐานะหมวดหมู่ที่เสริมด้วย Cat

เมื่อกำหนด หมวดหมู่โมโนอิดัล V แล้ว หมวดหมู่ C ที่เสริม ด้วย V นั้นเป็นเวอร์ชันนามธรรมของหมวดหมู่ กล่าวคือ ประกอบด้วยข้อมูล

ในทฤษฎีหมวดหมู่ทางคณิตศาสตร์หมวดหมู่ 2คือหมวดหมู่ที่มี " มอร์ฟิซึมระหว่างมอร์ฟิซึม" ซึ่งเรียกว่ามอร์ฟิซึม 2ตัวอย่างพื้นฐานคือหมวดหมู่Catของหมวดหมู่ทั้งหมด ( ขนาดเล็ก ) ซึ่งมอ ร์ฟิซึม 2 คือการแปลงตามธรรมชาติระหว่างฟังก์ชัน

แนวคิดของ 2-category ที่เข้มงวดได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยCharles Ehresmannในงานของเขาเกี่ยวกับหมวดหมู่ที่เสริมในปี 1965 ^{[ 1 ]} แนวคิดทั่วไปของbicategory (หรือweak 2-category ) ซึ่งการประกอบของมอร์ฟิซึมเป็นแบบสมาคมเฉพาะจนถึง 2-isomorphism ได้รับการแนะนำในปี 1967 โดยJean Bénabou ^{[ 2 ]}

(2, 1)-categoryคือ2-category ที่ 2-morphism แต่ละตัวสามารถผกผันได้

คำจำกัดความ

การแบ่งประเภทอย่างเข้มงวด 2 ประเภท

ตามคำจำกัดความ Cประเภท 2 ที่เข้มงวดประกอบด้วยข้อมูล: ^[³^]

กลุ่มเซลล์ 0- ,
สำหรับแต่ละคู่ของเซลล์ 0 จะ มีเซตที่เรียกว่าเซตของเซลล์ 1 ตั้งแต่ถึง $a,b$ $\operatorname {Hom} (a,b)$ $a$ $b$
สำหรับแต่ละคู่ของเซลล์ 1 ตัวในเซตโฮมเดียวกัน เซต ที่เรียก ว่าเซตของเซลล์ 2 ตัว จากถึง $f,g$ $\operatorname {2Mor} (f,g)$ $f$ $g$
องค์ประกอบทั่วไป : แผนที่, ${\displaystyle \circ$
องค์ประกอบแนวตั้ง : แผนที่ซึ่งอยู่ในเซตโฮมเดียวกัน ${\displaystyle \circ$ $f,g,h$
องค์ประกอบแนวนอน : แผนที่สำหรับและ $*:\operatorname {2Mor} (u,v)\times \operatorname {2Mor} (f,g)\to \operatorname {2Mor} (u\circ f,v\circ g)$ $f,g:a\to b$ $u,v:b\to c$

ซึ่งอยู่ภายใต้เงื่อนไขดังต่อไปนี้

เซลล์ 0 ที่มีเซลล์ 1 คั่นอยู่ระหว่างกันนั้น จัดเป็นหมวดหมู่ภายใต้องค์ประกอบทั่วไป
สำหรับเซลล์ 0 แต่ละเซลล์และเซลล์ 1 จากถึง โดยมีเซลล์ 2 เซลล์คั่นอยู่ระหว่างกัน จะก่อให้เกิดหมวดหมู่ภายใต้องค์ประกอบแนวตั้ง $a$ $b$ $a$ $b$
เซลล์ 0 ที่มีเซลล์ 2 อยู่ระหว่างกลาง และมีเซลล์ 1 อยู่ระหว่างกลางนั้น ก่อให้เกิดหมวดหมู่ภายใต้การประกอบแนวนอน กล่าวคือ วัตถุหนึ่งเป็นเซลล์ 0 และเซตโฮมจากถึงคือเซตของเซลล์ 2 ทั้งหมดในรูปแบบสำหรับบางค่า $a$ $b$ $\alpha :f\Rightarrow g$ $f,g:a\to b$
กฎการแลกเปลี่ยน : เมื่อกำหนดแล้ว จะเหมือนกับ $(\delta *\beta )\circ (\gamma *\alpha )$ $(\delta \circ \gamma )*(\beta \circ \alpha )$

คำ ศัพท์ 0-cells , 1-cellsและ2-cellsถูกแทนที่ด้วย0-morphisms , 1-morphismsและ2-morphismsในแหล่งข้อมูลบางแห่ง^{[ 4 ]} (ดูทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง ด้วย ) การประกอบแนวตั้งและการประกอบแนวนอนยังเขียนเป็น. $\circ _{1},\circ _{0}$

กฎการแลกเปลี่ยนสามารถแสดงเป็นแผนภาพได้ดังนี้:

	=	=	$\circ _{0}$
$\circ _{1}$

ในแผนภาพด้านซ้าย แสดงถึงองค์ประกอบแนวตั้งขององค์ประกอบแนวนอน แผนภาพด้านขวาแสดงถึงองค์ประกอบแนวนอนขององค์ประกอบแนวตั้ง และแผนภาพตรงกลางเป็นการแสดงภาพรวมของทั้งสองแบบช่อง 2 ช่องวาดด้วยลูกศรคู่ ⇒ ช่อง 1 ช่อง วาด ด้วยลูกศรเดี่ยว → และช่อง 0 ช่องวาดด้วยจุด

เนื่องจากนิยามดังกล่าวไม่สั้นนัก ดังที่เห็นได้ ในทางปฏิบัติจึงมักใช้ทฤษฎีหมวดหมู่แบบทั่วไป เช่น ทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง (ดูด้านล่าง) หรือทฤษฎีหมวดหมู่เสริม เพื่อกำหนดหมวดหมู่ 2 แบบเข้มงวด แนวคิดของหมวดหมู่ 2 แบบเข้มงวดแตกต่างจากแนวคิดทั่วไปของหมวดหมู่ 2 แบบอ่อนที่กำหนดไว้ด้านล่างตรงที่การประกอบเซลล์ 1 (การประกอบแนวนอน) จำเป็นต้องมีความสัมพันธ์แบบเข้มงวด ในขณะที่ในเวอร์ชันอ่อนนั้น จำเป็นต้องมีความสัมพันธ์เพียงแค่ถึงไอโซมอร์ฟิซึม 2 ที่สอดคล้องกันเท่านั้น

ในฐานะหมวดหมู่ที่เสริมด้วย Cat

เมื่อกำหนดหมวดหมู่โมโนอิดัลVแล้ว หมวดหมู่C ที่เสริมด้วยVนั้นเป็นเวอร์ชันนามธรรมของหมวดหมู่ กล่าวคือ ประกอบด้วยข้อมูล

กลุ่มของวัตถุ
สำหรับวัตถุแต่ละคู่วัตถุ hom ใน $a,b$ $\operatorname {Hom} (a,b)$ $V$
องค์ประกอบ : มอร์ฟิซึมใน, $\operatorname {Hom} (b,c)\otimes \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)$ $V$
เอกลักษณ์ : มอร์ฟิซึมใน $1\to \operatorname {Hom} (a,a)$ $V$

ซึ่งอยู่ภายใต้สัจพจน์การสลับที่และสัจพจน์หน่วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นหมวดหมู่ของเซตที่มีผลคูณคาร์ทีเซียนแล้ว หมวดหมู่ที่เสริมด้วยเซตนั้นจะเป็นหมวดหมู่ธรรมดา $V={\textbf {ตั้งค่า}}$ $\otimes$

ถ้าเป็นหมวดหมู่ของหมวดหมู่ขนาดเล็กที่มีผลคูณของหมวดหมู่แล้วหมวดหมู่ที่เสริมด้วยหมวดหมู่นั้นจะเป็นหมวดหมู่ 2 ที่เข้มงวดอย่างแท้จริง อันที่จริงมีโครงสร้างของหมวดหมู่ ดังนั้นจึงให้เซลล์ 2 และองค์ประกอบแนวตั้ง นอกจากนี้ องค์ประกอบแต่ละอย่างยังเป็นฟังก์ชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันส่งเซลล์ 2 ไปยังเซลล์ 2 และนั่นทำให้เกิดองค์ประกอบแนวนอน กฎการสลับเปลี่ยนเป็นผลมาจากความเป็นฟังก์ชันขององค์ประกอบเหล่านั้น $V={\textbf {แมว}}$ $\otimes$ $\operatorname {Hom} (a,b)$

กระบวนการที่คล้ายกันสำหรับ 3-categories นำไปสู่tricategoriesและโดยทั่วไปแล้วจะนำไปสู่weak n- categoriesสำหรับn -categoriesแม้ว่าวิธีการอุปนัยเช่นนี้อาจไม่เป็นที่นิยมในปัจจุบันก็ตาม

2 ประเภทที่อ่อนแอ

หมวดหมู่ 2 แบบอ่อนหรือไบแคตทอรีสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกับที่กำหนดหมวดหมู่ 2 แบบเข้มงวด ยกเว้นว่าการประกอบแนวนอนจะต้องเป็นการเชื่อมโยงจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันเงื่อนไขที่สอดคล้องกันในที่นี้คล้ายกับเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับหมวดหมู่โมโนอิดัลดังนั้น ตัวอย่างเช่น หมวดหมู่โมโนอิดัลจึงเหมือนกับหมวดหมู่ 2 แบบอ่อนที่มีเซลล์ 0 เซลล์หนึ่งเซลล์^{[ 5 ]}

ในทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง ถ้าCเป็น∞-หมวดหมู่ ( คอมเพล็กซ์ Kan แบบอ่อน ) ที่โครงสร้างถูกกำหนดโดย 0-ซิมเพล็กซ์ 1-ซิมเพล็กซ์ และ 2-ซิมเพล็กซ์ เท่านั้น แล้ว C จะเป็น ∞-หมวดหมู่ (2, 1) แบบอ่อน กล่าวคือ ∞-หมวดหมู่ 2 แบบอ่อน ซึ่งทุก 2-มอร์ฟิซึมสามารถผกผันได้ ดังนั้น ∞-หมวดหมู่ 2 แบบอ่อน คือ ∞- หมวดหมู่ (2)ที่โครงสร้างถูกกำหนดโดย 0, 1, 2-ซิมเพล็กซ์ เท่านั้น

ตัวอย่าง

หมวดหมู่ของหมวดหมู่ย่อย

2-category ต้นแบบคือหมวดหมู่ของหมวดหมู่ขนาดเล็กโดยมีการแปลงธรรมชาติทำหน้าที่เป็น 2-morphism ^{[ 6 ]}วัตถุ ( 0-cells ) ทั้งหมดเป็นหมวดหมู่ขนาดเล็ก และสำหรับวัตถุ $a$ และ $b$ hom-set จะได้รับโครงสร้างของหมวดหมู่เป็นหมวดหมู่ฟังก์ชันการประกอบแนวตั้งคือ^[⁷^]การประกอบของการแปลงธรรมชาติ $\operatorname {Hom} (a,b)$

ในทำนองเดียวกัน เมื่อกำหนดหมวดหมู่โมโนอิดัลVหมวดหมู่ของหมวดหมู่ (ขนาดเล็ก) ที่เสริมด้วยVจะเป็นหมวดหมู่ 2 นอกจากนี้ หากเป็นหมวดหมู่หมวดหมู่คอม มา จะเป็นหมวดหมู่ 2 ที่มีการแปลงตามธรรมชาติที่แมปไปยังเอกลักษณ์^[⁶^] $A$ $\mathbf {Cat} \downarrow A$

กราฟด์

เช่นเดียวกับCat กลุ่มกรุปอยด์ ( หมวดหมู่ที่มอร์ฟิซึมสามารถผกผันได้) ก่อให้เกิด 2-หมวดหมู่ โดยที่ 2-มอร์ฟิซึมเป็นการแปลงธรรมชาติ บ่อยครั้งที่เราพิจารณาGrpdซึ่ง 2-มอร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นการแปลงที่ผกผันได้ ในกรณีหลังนี้ มันคือ (2, 1)-หมวดหมู่

ออร์ด

หมวดหมู่Ordของเซตที่มีลำดับก่อนหลังเป็นหมวดหมู่ 2 เนื่องจากเซตโฮมแต่ละเซตมีโครงสร้างที่มีลำดับก่อนหลังตามธรรมชาติ ดังนั้นจึงมีโครงสร้างหมวดหมู่โดยสำหรับแต่ละองค์ประกอบx $f\leq g\Leftrightarrow f(x)\leq g(x)$

โดยทั่วไปแล้ว หมวดหมู่ของวัตถุเรียงลำดับในบางหมวดหมู่คือหมวดหมู่ 2 ^{[ 6 ]}

หมวดหมู่โมโนอิดัลบูลีน

พิจารณาหมวดหมู่โมโนอิดัล แบบง่ายๆ เช่น ลำดับก่อนโมโนอิดัลBool ^{[ 8 ]}ซึ่งอิงตามโมโนอิด M = ({T, F}, ∧ , T) ในฐานะหมวดหมู่นี้ จะถูกนำเสนอด้วยวัตถุสองรายการ {T, F} และมอร์ฟิซึมเดียวg : F → T

เราสามารถตีความโมโนอิดนี้ใหม่ได้ว่าเป็นไบแคตทอรีที่มีวัตถุเดียวx (เซลล์ 0 เซลล์หนึ่งเซลล์) การสร้างนี้คล้ายคลึงกับการสร้างแคตทอรีขนาดเล็กจากโมโนอิด วัตถุ {T, F} กลายเป็นมอร์ฟิซึม และมอร์ฟิซึมgกลายเป็นการแปลงธรรมชาติ (ก่อให้เกิดแคตทอรีฟังก์ชันสำหรับแคตทอรี hom เดียวB ( x , x ))

ทฤษฎีความสอดคล้อง

ทุกไบแคตทอรีเป็น "ไบเอควิเวก" ^{[ 9 ]}กับ 2-แคตทอรี^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}นี่เป็นตัวอย่างของการทำให้เข้มงวด (กระบวนการแทนที่ไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันด้วยความเท่าเทียมกัน)

เส้นประสาทดัสกิน

เส้นประสาท Duskin ของ 2-category Cคือเซตซิมพลิเชียลที่แต่ละn-ซิมเพล็กซ์ถูกกำหนดโดยข้อมูลต่อไปนี้: วัตถุn ชิ้น , มอร์ฟิซึมและ 2-มอร์ฟิซึมที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขความเข้ากันได้ (ที่เห็นได้ชัด) ^[¹³^]จากนั้นสิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^[¹⁴^] $N^{hc}(C)$ $x_{1},\dots ,x_{n}$ $f_{ij}:x_{i}\to x_{j},\,i<j$ $\mu _{ijk}:f_{jk}\circ f_{ij}\rightarrow f_{ik},\,i<j<k$

$C$ เป็น (2, 1)-category กล่าวคือ 2-morphism แต่ละตัวสามารถผกผันได้
$N^{hc}(C)$ เป็นคอมเพล็กซ์ Kan ที่อ่อนแอ (กล่าวคือ หมวดหมู่อนันต์)

เส้นประสาทดัสกินเป็นตัวอย่างหนึ่งของเส้นประสาทที่สอดคล้องกันแบบโฮโมโทปี (homotopy coherent nerve )

ฟังก์ชันและการแปลงธรรมชาติ

ตามคำจำกัดความ ฟังก์ชันเตอร์เป็นเพียงแผนที่ที่รักษาโครงสร้าง กล่าวคือ วัตถุจะแมปไปยังวัตถุ มอร์ฟิซึมไปยังมอร์ฟิซึม เป็นต้น ดังนั้นฟังก์ชันเตอร์ 2ระหว่าง 2-หมวดหมู่สามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกัน^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ แนวคิดของฟังก์ชันเตอร์ 2 นี้ไม่ค่อยได้ใช้กันมากนัก การใช้ อนาล็อก แบบยืดหยุ่น (เช่นเดียวกับการใช้ 2-หมวดหมู่แบบอ่อน) เป็นเรื่องที่พบได้บ่อยกว่ามาก

ให้C และ Dเป็นไบแคตเทกอรี่ เราใช้สัญลักษณ์การประกอบใน "ลำดับไดอะแกรม" ^{[ 17 ]}ฟังก์ชันแล็กซ์ P จาก C ไปยัง Dซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ประกอบด้วยข้อมูลต่อไปนี้: $P:C\to D$

สำหรับแต่ละวัตถุxในCวัตถุหนึ่งๆ; $P_{x}\in D$
สำหรับวัตถุแต่ละคู่x,y ∈ Cฟังก์ชันบนหมวดหมู่มอร์ฟิซึม; $P_{x,y}:C(x,y)\to D(P_{x},P_{y})$
สำหรับวัตถุx∈C แต่ละตัว จะมี 2-morphism ในD $P_{{\text{id}}_{x}}:{\text{id}}_{P_{x}}\to P_{x,x}({\text{id}}_{x})$
สำหรับแต่ละสามวัตถุx,y,z ∈Cจะมี 2-morphism ในDที่เป็นธรรมชาติในf: x→yและg: y→ z $P_{x,y,z}(f,g):P_{x,y}(f);P_{y,z}(g)\to P_{x,z}(f;g)$

สิ่งเหล่านี้ต้องสอดคล้องกับแผนภาพการสลับเปลี่ยนสามแบบ ซึ่งบันทึกปฏิสัมพันธ์ระหว่างเอกภาพด้านซ้าย เอกภาพด้านขวา และการเชื่อมโยง^{ระหว่าง} CและD ^[¹⁸ ]

ฟังก์ชันแบบยืดหยุ่น (lax functor) ที่โครงสร้าง 2-morphism ทั้งหมด เช่นและข้างต้น สามารถผกผันได้ เรียกว่าฟังก์ชันเทียม (pseudofunctor ) $P_{{\text{id}}_{x}}$ $P_{x,y,z}$

นอกจากนี้ยังมีรูปแบบการแปลงธรรมชาติแบบยืดหยุ่นอีกด้วย ให้CและDเป็น 2-categories และให้เป็น 2-functors การแปลงธรรมชาติแบบยืดหยุ่นระหว่างพวกมันประกอบด้วย $F,G\colon C\to D$ $\alpha \colon F\to G$

มอร์ฟิซึมในDสำหรับทุกวัตถุและ $\alpha _{c}\colon F(c)\to G(c)$ $c\in C$
มอร์ฟิซึม 2 ตัวสำหรับทุกมอร์ฟิซึมในC $\alpha _{f}\colon G(f)\circ \alpha _{c}\to \alpha _{c'}\circ F(f)$ $f\colon c\to c'$

เป็นไปตามสมการบางอย่าง (ดู^{[ 19 ]}หรือ^{[ 20 ]} )

แนวคิดที่เกี่ยวข้อง: หมวดหมู่คู่

ในขณะที่ 2-category ที่เข้มงวดคือ category ที่ได้รับการเสริมด้วยCat นั้น category ภายใน Cat เรียกว่าdouble category

ดูเพิ่มเติม

เชิงอรรถ

↑เอเรสแมนน์ 1965
↑เบนาบู 1967
↑ Kelly & Street 1974 , § 1.2.
↑ 2 หมวดหมู่ใน nLab
↑ Jurčo, Sämann & Wolf 2015 , คำจำกัดความ 2.6.
1 2 3เคลลี่แอนด์สตรีท 1974 , § 1.3.
↑การจัดองค์ประกอบแนวตั้งใน nLab
↑ฟงและสปิวัก 2018
↑ Leinster 1998 , 2.2 Biequivalence
↑ Leinster 1998 , 2.3 ทฤษฎีบทความสอดคล้อง
↑ Gurski 2013 , 2.2 ความสอดคล้องสำหรับสองหมวดหมู่
↑ Johnson & Yau 2021 , ทฤษฎีบท 8.4.1
↑ข่าน 2023 , การก่อสร้าง 1.5.1.
↑ข่าน 2023 ทฤษฎีบท 1.5.2
↑ Kelly & Street 1974 , § 1.4.
↑ 2-ฟังก์ชันใน nLab
↑การเขียนโค้ดใน nLab
↑ฟังก์ชันเทียมใน nLab
↑การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติของ Lax ใน nLab
↑เกรย์ 1974

อ่านเพิ่มเติม

แล็ค, สตีเฟน (2010). "คู่มือ 2 หมวดหมู่"สู่หมวดหมู่ที่สูงขึ้นชุดหนังสือคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ของ IMA เล่มที่152 หน้า105–191 arXiv : math/0702535 Bibcode : 2007math ......2535L doi : 10.1007 / 978-1-4419-1524-5_4 ISBN 978-1-4419-1523-8.
MacLane, Saunders ; Paré, Robert (1985). "ความสอดคล้องสำหรับไบแคตทอรีและแคตทอรีที่มีดัชนี". Journal of Pure and Applied Algebra . 37 : 59– 80. doi : 10.1016/0022-4049(85)90087-8 .
"2.2 ทฤษฎี 2 หมวดหมู่" . Kerodon .
https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/12/bicat_is_not_triequivalent_to.html

ลิงก์ภายนอก

สื่อที่เกี่ยวข้องกับหมวดหมู่ Strict 2 ใน Wikimedia Commons
"การจัดเรียงองค์ประกอบแนวตั้งใน nLab" . ncatlab.org .
เลนสเตอร์, ทอม (9 มกราคม 2550). การสำรวจทฤษฎีของไบแคตทอรี (PDF) . แคตทอรีระดับสูงและการประยุกต์ใช้. สถาบันฟิลด์ส, โทรอนโต.
"2-category ใน nLab" . ncatlab.org .
"2-ฟังก์ชันใน nLab" . ncatlab.org .
"Bicategory ใน nLab" . ncatlab.org .
"องค์ประกอบใน nLab" . ncatlab.org
“หละหลวมการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติใน nLab ” ncatlab.org
“ฟังก์ชันเทียมใน nLab” . ncatlab.org

[1] เอเรสแมนน์ 1965

[2] เบนาบู 1967

[3] Kelly & Street 1974 , § 1.2.

[4] 2 หมวดหมู่ใน nLab

[5] Jurčo, Sämann & Wolf 2015 , คำจำกัดความ 2.6.

[examples-6] 1 2 3เคลลี่แอนด์สตรีท 1974 , § 1.3.

[7] การจัดองค์ประกอบแนวตั้งใน nLab

[8] ฟงและสปิวัก 2018

[9] Leinster 1998 , 2.2 Biequivalence

[10] Leinster 1998 , 2.3 ทฤษฎีบทความสอดคล้อง

[11] Gurski 2013 , 2.2 ความสอดคล้องสำหรับสองหมวดหมู่

[12] Johnson & Yau 2021 , ทฤษฎีบท 8.4.1

[13] ข่าน 2023 , การก่อสร้าง 1.5.1.

[14] ข่าน 2023 ทฤษฎีบท 1.5.2

[15] Kelly & Street 1974 , § 1.4.

[16] 2-ฟังก์ชันใน nLab

[17] การเขียนโค้ดใน nLab

[18] ฟังก์ชันเทียมใน nLab

[19] การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติของ Lax ใน nLab

[20] เกรย์ 1974

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

ระหว่าง

[ 19 ]

[ 20 ]