ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันค่าจริงเรียกว่าฟังก์ชันนูนถ้าส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดที่แตกต่างกันบนกราฟของฟังก์ชันนั้นอยู่เหนือหรือบนกราฟของฟังก์ชันระหว่างจุดสองจุดนั้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันนูนถ้าเอพิกราฟ (เซตของจุดที่อยู่บนหรือเหนือกราฟของฟังก์ชัน) เป็นเซตนูนกล่าวโดยง่าย กราฟของฟังก์ชันนูนจะมีรูปร่างคล้ายถ้วย(หรือเส้นตรงเหมือนฟังก์ชันเชิงเส้น) ในขณะที่ กราฟของ ฟังก์ชัน เว้าจะมีรูปร่างคล้ายหมวก${\displaystyle \cup }$${\displaystyle \cap }$

ฟังก์ชัน ที่มีอนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรเดียวเป็นฟังก์ชันนูนก็ต่อเมื่ออนุพันธ์อันดับสอง ของฟังก์ชัน นั้นไม่เป็นลบตลอดโดเมน^{[ 1 ]}ตัวอย่างที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันนูนของตัวแปรเดียว ได้แก่ฟังก์ชันเชิงเส้น (โดยที่เป็นจำนวนจริง ) ฟังก์ชันกำลังสอง ( โดยที่ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ) และฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ( โดยที่ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ) ${\displaystyle f(x)=cx}$${\displaystyle c}$${\displaystyle cx^{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle ce^{x}}$${\displaystyle c}$

ฟังก์ชันนูนมีบทบาทสำคัญในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษา ปัญหา การหาค่าเหมาะสมที่สุดซึ่งมีคุณสมบัติที่สะดวกหลายประการ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดบนเซตเปิด จะมี ค่าต่ำสุดเพียงค่าเดียวเท่านั้นแม้ในปริภูมิที่มีมิติอนันต์ ภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมที่เหมาะสม ฟังก์ชันนูนก็ยังคงมีคุณสมบัติดังกล่าว และเป็นผลให้ฟังก์ชันนูนเป็นฟังก์ชันที่เข้าใจได้ง่ายที่สุดในแคลคูลัสของการแปรผันในทฤษฎีความน่าจะเป็น ฟังก์ชันนูนที่ใช้กับค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มจะมีค่าสูงสุดจำกัดโดยค่าคาดหวังของฟังก์ชันนูนของตัวแปรสุ่มเสมอ ผลลัพธ์นี้เรียกว่าอสมการของเจนเซนสามารถนำมาใช้เพื่ออนุมานอสมการต่างๆเช่นอสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตและอสมการของโฮลเดอร์

ให้เป็นเซตย่อยนูนของปริภูมิเวกเตอร์ จริง และให้เป็นฟังก์ชัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

จะเรียกว่าเป็นรูปทรงนูนก็ต่อเมื่อเงื่อนไขสมมูลต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง: ${\displaystyle f}$

1. สำหรับทั้งหมดและทั้งหมด: ด้านขวามือแสดงถึงเส้นตรงระหว่างและในกราฟของเป็นฟังก์ชันของที่เพิ่มขึ้นจากถึงหรือลดลงจากถึงกวาดเส้นนี้ ในทำนองเดียวกัน อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันในด้านซ้ายมือแสดงถึงเส้นตรงระหว่างและในหรือแกน - ของกราฟของดังนั้นเงื่อนไขนี้กำหนดให้เส้นตรงระหว่างจุดคู่ใด ๆ บนเส้นโค้งของต้องอยู่เหนือหรือตัดกับกราฟพอดี^{[ 2 ]}${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$${\displaystyle \left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)}$${\displaystyle \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t;}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$
2. สำหรับทุกๆและทุกๆที่: ความแตกต่างของเงื่อนไขที่สองนี้เมื่อเทียบกับเงื่อนไขแรกข้างต้นคือ เงื่อนไขนี้ไม่รวมจุดตัด (ตัวอย่างเช่นและ) ระหว่างเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดบนเส้นโค้งของ(เส้นตรงแสดงด้วยด้านขวามือของเงื่อนไขนี้) และเส้นโค้งของเงื่อนไขแรกจะรวมจุดตัดไว้ด้วย เนื่องจากเส้นโค้งจะกลายเป็นหรือที่หรือหรือในความเป็นจริง ไม่จำเป็นต้องพิจารณาจุดตัดในเงื่อนไขของความนูนโดยใช้เพราะและเป็นจริงเสมอ (ดังนั้นจึงไม่เป็นประโยชน์ที่จะเป็นส่วนหนึ่งของเงื่อนไข) ${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$${\displaystyle \left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)}$${\displaystyle \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f;}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}.}$$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)}$

ข้อความที่สองที่อธิบายลักษณะของฟังก์ชันนูนซึ่งมีค่าอยู่ในเส้นจำนวนจริงนั้น ยังเป็นข้อความที่ใช้ในการกำหนดฟังก์ชันนูนซึ่งมีค่าอยู่ในเส้นจำนวนจริงแบบขยายซึ่งฟังก์ชันดังกล่าวสามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียว ข้อความแรกไม่ได้ถูกนำมาใช้ เนื่องจากอนุญาตให้รับค่าเป็นหรือ ซึ่งในกรณีนี้ ถ้า หรือตามลำดับ แล้วจะไม่มีค่า (เนื่องจากการคูณและไม่มีค่า) ผลรวมก็ไม่มีค่าเช่นกัน ดังนั้นโดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันนูนที่มีค่าอยู่ในเส้นจำนวนจริงแบบขยายจึงสามารถรับค่าได้เพียงค่า เดียวจาก และ เท่านั้น${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=\pm \infty }$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)=\pm \infty ,}$${\displaystyle tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle 0\cdot \infty }$${\displaystyle 0\cdot (-\infty )}$${\displaystyle -\infty +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$

ข้อความที่สองสามารถปรับเปลี่ยนเพื่อให้ได้นิยามของความนูนอย่างเข้มงวดได้ เช่นกัน โดยนิยามหลังได้มาจากการแทนที่ด้วยอสมการอย่างเข้มงวด กล่าวคือ แผนที่เรียกว่านูนอย่างเข้มงวดก็ต่อเมื่อสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดและทุก ค่าที่สอดคล้องกับ เงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,<.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)<tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$

ฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดคือ ฟังก์ชันที่เส้นตรงระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนเส้นโค้งจะอยู่เหนือเส้นโค้งยกเว้นจุดตัดระหว่างเส้นตรงและเส้นโค้ง ตัวอย่างของฟังก์ชันที่เป็นนูนแต่ไม่นูนอย่างเคร่งครัดคือฟังก์ชันนี้ไม่นูนอย่างเคร่งครัดเพราะจุดสองจุดใดๆ ที่มีพิกัด x ร่วมกันจะมีเส้นตรงเชื่อมระหว่างกัน ในขณะที่จุดสองจุดใดๆ ที่ไม่มีพิกัด x ร่วมกันจะมีค่าของฟังก์ชันมากกว่าจุดทั้งสองระหว่างกัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y}$

กล่าวได้ว่าฟังก์ชัน เป็น ฟังก์ชันเว้า (หรือเว้าอย่างเคร่งครัด ) ถ้า( คูณด้วย −1) เป็นฟังก์ชันนูน (หรือนูนอย่างเคร่งครัด) ${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$${\displaystyle f}$

คำว่านูนมักหมายถึงนูนลงหรือเว้าขึ้นและคำว่าเว้ามักหมายถึงเว้าลงหรือนูนขึ้น [ ^{3 ] [ 4 ] [ 5 ] หาก}ใช้คำว่า "นูน" โดยไม่มีคำว่า "ขึ้น" หรือ "ลง" กำกับไว้ จะหมายถึงกราฟรูปถ้วยโดยเฉพาะตัวอย่างเช่นอสมการของเจนเซนหมายถึงอสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันนูนหรือฟังก์ชันนูน (ลง) ^{[ 6 ]}${\displaystyle \cup }$

คุณสมบัติหลายอย่างของฟังก์ชันนูนมีสูตรที่เรียบง่ายเหมือนกันสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นเดียวกับฟังก์ชันตัวแปรเดียว โปรดดูคุณสมบัติสำหรับกรณีหลายตัวแปรด้านล่าง เนื่องจากบางคุณสมบัติไม่ได้ระบุไว้สำหรับฟังก์ชันตัวแปรเดียว

• สมมติว่าเป็นฟังก์ชันของ ตัวแปร จริง หนึ่งตัว ที่กำหนดบนช่วง และให้(โปรดสังเกตว่าคือความชันของเส้นสีม่วงในภาพวาดแรก ฟังก์ชันสมมาตรในหมายความว่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อสลับและ) จะเป็นฟังก์ชันนูนก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันไม่ลดลงอย่างต่อเนื่องในสำหรับทุกค่าคงที่(หรือในทางกลับกัน) ลักษณะเฉพาะของความเป็นฟังก์ชันนูนนี้มีประโยชน์มากในการพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้${\displaystyle f}$$${\displaystyle R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$$${\displaystyle R(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (x_{1},x_{2}),}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{2}}$
• ฟังก์ชันนูนของตัวแปรจริงหนึ่งตัวที่กำหนดบนช่วงเปิด บางช่วง จะต่อเนื่องบน ช่วงนั้น นอกจากนี้ ฟังก์ชัน ยังยอมรับอนุพันธ์ซ้ายและอนุพันธ์ขวาและอนุพันธ์เหล่านี้ไม่ลดลงแบบโมโนโทนิกยิ่งไปกว่านั้น อนุพันธ์ซ้ายมีความต่อเนื่องทางซ้าย และอนุพันธ์ขวามีความต่อเนื่องทางขวา ดังนั้น ฟังก์ชันจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุด ยกเว้น จุด จำนวนนับได้ เท่านั้น อย่างไรก็ตาม เซตที่ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ไม่ได้นั้นยังคงเป็นเซตหนาแน่นได้ ถ้าช่วงนั้นปิด ฟังก์ชันอาจไม่ต่อเนื่องที่จุดปลายของช่วงนั้น(ตัวอย่างแสดงอยู่ในส่วนตัวอย่าง )${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$
• ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของตัวแปรเดียวจะเป็นฟังก์ชันนูนบนช่วงหนึ่งก็ต่อเมื่อ อนุพันธ์ของ ฟังก์ชัน นั้น ไม่ลดลงอย่างต่อเนื่องบนช่วงนั้น ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และเป็นฟังก์ชันนูนแล้ว ฟังก์ชันนั้นก็จะ หาอนุพันธ์ ได้อย่างต่อเนื่องด้วย
• ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของตัวแปรเดียวเป็นฟังก์ชันนูนบนช่วงหนึ่งก็ต่อเมื่อกราฟของมันอยู่เหนือ เส้นสัมผัสทั้งหมด: ^{[ 7 ] : 69} สำหรับทุกและในช่วง$${\displaystyle f(x)\geq f(y)+f'(y)(xy)}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• ฟังก์ชันของตัวแปรเดียวที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้ จะเป็นฟังก์ชันนูนบนช่วงหนึ่งก็ต่อเมื่ออนุพันธ์อันดับสอง ของฟังก์ชันนั้น มีค่าไม่เป็นลบ ณ จุดนั้น ซึ่งเป็นวิธีทดสอบความนูนที่ใช้ได้จริง ในทางสายตา ฟังก์ชันนูนที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้จะ "โค้งขึ้น" โดยไม่มีการโค้งงอไปในทิศทางตรงกันข้าม ( จุดเปลี่ยนเว้า ) ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันนั้นมีค่าเป็นบวกที่ทุกจุด ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของคือซึ่งมีค่าเป็นศูนย์สำหรับแต่เป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle x^{4}}$
  • คุณสมบัตินี้และคุณสมบัติข้างต้นในแง่ที่ว่า "...อนุพันธ์ของมันเป็นฟังก์ชันไม่ลดลงแบบโมโนโทนิก..." ไม่เท่ากัน เนื่องจากถ้ามีค่าไม่เป็นลบในช่วงหนึ่งแล้วจะเป็นฟังก์ชันไม่ลดลงแบบโมโนโทนิกในช่วงนั้น ในขณะที่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นจะเป็นฟังก์ชันไม่ลดลงแบบโมโนโทนิกในช่วงหนึ่ง ในขณะที่อนุพันธ์ของมันไม่นิยามไว้ที่บางจุดในช่วงนั้น${\displaystyle f''}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นฟังก์ชันนูนของตัวแปรจริงตัวเดียว และแล้วจะเป็นฟังก์ชันเสริมบนจำนวนจริงบวก นั่นคือสำหรับจำนวนจริงบวกและ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)\leq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a+b)\geq f(a)+f(b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• ฟังก์ชันจะมีความนูนที่จุดกึ่งกลางบนช่วงหนึ่งก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเงื่อนไขนี้อ่อนกว่าความนูนเพียงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันที่วัดได้แบบเลเบสที่ มีค่าจริงซึ่งมีความนูนที่จุดกึ่งกลางจะเป็นฟังก์ชันนูน : นี่คือทฤษฎีบทของSierpiński ^{[ 8 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีความนูนที่จุดกึ่งกลางจะเป็นฟังก์ชันนูน${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in C}$$${\displaystyle f\!\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}.}$$

• ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันนูนแบบมาร์จินัลในแต่ละตัวแปรนั้น ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันนูนแบบร่วมกันเสมอไป ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชัน เชิงเส้นแบบมาร์จินัล และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันนูนแบบมาร์จินัลในแต่ละตัวแปร แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนแบบร่วมกัน${\displaystyle f(x,y)=xy}$
• ฟังก์ชันที่มีค่าอยู่ในจำนวนจริงขยายจะเป็นฟังก์ชันนูนก็ต่อเมื่อกราฟแสดงค่าฟังก์ชัน นั้น เป็นเซตแบบนูน${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$$${\displaystyle \{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}}$$
• ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งกำหนดบนโดเมนแบบนูน จะเป็นฟังก์ชันแบบนูนก็ต่อเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกค่าในโดเมน${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\geq f(y)+\nabla f(y)^{T}\cdot (x-y)}$${\displaystyle x,y}$
• ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวที่สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ จะเป็นฟังก์ชันนูนบนเซตแบบนูนก็ต่อเมื่อเมทริกซ์เฮสเซียน ของ อนุพันธ์ย่อยอันดับสองของ ฟังก์ชันนั้น เป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดบนส่วนภายในของเซตแบบนูน
• สำหรับฟังก์ชันนูนเซตย่อยระดับและที่มีเป็นเซตนูน ฟังก์ชันที่ตรงตามคุณสมบัตินี้เรียกว่าฟังก์ชันกึ่งนูนและอาจไม่ใช่ฟังก์ชันนูนก็ได้${\displaystyle f,}$${\displaystyle \{x:f(x)<a\}}$${\displaystyle \{x:f(x)\leq a\}}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ดังนั้น เซตของค่าต่ำสุดทั่วโลกของฟังก์ชันนูนจึงเป็นเซตนูน: - นูน${\displaystyle f}$${\displaystyle {\operatorname {argmin} }\,f}$
• ค่าต่ำสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชันนูนใดๆ ก็ตามจะเป็น ค่าต่ำสุดทั่วโลก ด้วย ฟังก์ชัน นูน อย่างเคร่งครัดจะมีค่าต่ำสุดทั่วโลกได้มากที่สุดเพียงค่าเดียว^{[ 9 ]}
• อสมการของเจนเซ่นใช้ได้กับฟังก์ชันนูนทุกฟังก์ชันถ้าเป็นตัวแปรสุ่มที่รับค่าในโดเมนของแล้วโดยที่แทนค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่จริงแล้ว ฟังก์ชันนูนก็คือฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานของอสมการของเจนเซ่นนั่นเอง${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {E} (f(X))\geq f(\operatorname {E} (X)),}$${\displaystyle \operatorname {E} }$
• ฟังก์ชันเอกพันธุ์อันดับแรกของตัวแปรบวกสองตัวและ(นั่นคือ ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสำหรับจำนวนจริงบวกทั้งหมด) ที่เป็นนูนในตัวแปรหนึ่งจะต้องเป็นนูนในตัวแปรอื่นด้วย^{[ 10 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle f(ax,ay)=af(x,y)}$${\displaystyle a,x,y>0}$

• ${\displaystyle -f}$จะเป็นเว้าก็ต่อเมื่อเป็นนูน${\displaystyle f}$
• ถ้าเป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วจะเป็นเมทริกซ์นูนก็ต่อเมื่อเป็นเมทริกซ์นูน${\displaystyle r}$${\displaystyle r+f}$${\displaystyle f}$
• ผลรวมถ่วงน้ำหนักที่ไม่เป็นลบ:
  • ถ้าและเป็นฟังก์ชันนูนทั้งหมด แล้ว ก็เป็นฟังก์ชันนูนเช่นกันโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมของฟังก์ชันนูนสองฟังก์ชันก็จะเป็นฟังก์ชันนูนด้วย${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}\geq 0}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle w_{1}f_{1}+\cdots +w_{n}f_{n}.}$
  • คุณสมบัตินี้ยังขยายไปถึงผลรวมอนันต์ อินทิกรัล และค่าคาดหวังด้วย (หากมีอยู่จริง)
• ค่าสูงสุดแบบทีละองค์ประกอบ: ให้เป็นกลุ่มของฟังก์ชันนูน แล้ว ก็เป็นฟังก์ชันนูนเช่นกัน โดเมนของคือกลุ่มของจุดที่นิพจน์มีค่าจำกัด กรณีพิเศษที่สำคัญ: ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle g(x)=\sup \nolimits _{i\in I}f_{i}(x)}$${\displaystyle g(x)}$
  • ถ้าฟังก์ชันทั้งสองเป็นฟังก์ชันนูน ฟังก์ชันทั้งสองก็จะเป็นฟังก์ชันนูนเช่นกัน${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle g(x)=\max \left\{f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)\right\}.}$
  • ทฤษฎีบทของแดนสกิน : ถ้าเซตเว้าในเซตเว้าแล้วเซตเว้าในเซตเว้าด้วยแม้ว่าเซตเว้าจะไม่ใช่เซตเว้าก็ตาม${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)=\sup \nolimits _{y\in C}f(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$
• องค์ประกอบ:
  • ถ้าและเป็นฟังก์ชันนูน และเป็นฟังก์ชันไม่ลดลงในโดเมนตัวแปรเดียว แล้ว ก็เป็นฟังก์ชันนูนเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นฟังก์ชันนูน แล้ว ก็จะเป็นฟังก์ชันนูนด้วยเพราะเป็นฟังก์ชันนูนและเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle e^{f(x)}}$${\displaystyle e^{x}}$
  • ถ้าเป็นฟังก์ชันเว้า และเป็นฟังก์ชันนูนและไม่เพิ่มขึ้นในโดเมนตัวแปรเดียว แล้วจะเป็นฟังก์ชันนูน${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$
  • ความนูนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้นตรง กล่าวคือ ถ้าเป็นความนูนที่มีโดเมนแล้ว ก็เป็นความนูนเช่นกันโดยที่มีโดเมน${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{f}\subseteq \mathbf {R} ^{m}}$${\displaystyle g(x)=f(Ax+b)}$${\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n},b\in \mathbf {R} ^{m}}$${\displaystyle D_{g}\subseteq \mathbf {R} ^{n}.}$
• การหาค่าต่ำสุด: ถ้าเป็นเซตแบบนูนในแล้วก็เป็นเซตแบบนูนในโดยมีเงื่อนไขว่าเป็นเซตแบบนูน และ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle g(x)=\inf \nolimits _{y\in C}f(x,y)}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g(x)\neq -\infty .}$
• ถ้าเป็นรูปทรงนูน มุมมองของมันกับโดเมน ก็ จะเป็นรูปทรงนูนเช่นกัน${\displaystyle f}$${\displaystyle g(x,t)=tf\left({\tfrac {x}{t}}\right)}$${\displaystyle \left\{(x,t):{\tfrac {x}{t}}\in \operatorname {Dom} (f),t>0\right\}}$
• ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมาณเวกเตอร์นูนและสอดคล้องกับก็ต่อเมื่อสำหรับใดๆและจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบใดๆที่สอดคล้องกับ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbf {R} }$${\displaystyle f(0)\leq 0}$${\displaystyle f(ax+by)\leq af(x)+bf(y)}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a+b\leq 1.}$

แนวคิดเรื่องความนูนที่แข็งแกร่งขยายและกำหนดพารามิเตอร์ของแนวคิดเรื่องความนูนที่เข้มงวด ตามสัญชาตญาณ ฟังก์ชันที่นูนอย่างแข็งแกร่งคือฟังก์ชันที่เติบโตเร็วเท่ากับฟังก์ชันกำลังสอง^{[ 11 ]}ฟังก์ชันที่นูนอย่างแข็งแกร่งยังเป็นฟังก์ชันที่นูนอย่างเข้มงวดด้วย แต่ในทางกลับกันไม่เป็นเช่นนั้น หากฟังก์ชันหนึ่งมิติสามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้งอย่างต่อเนื่องและโดเมนคือเส้นจำนวนจริง เราสามารถกำหนดลักษณะเฉพาะได้ดังนี้: ${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f}$นูนก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆ${\displaystyle f''(x)\geq 0}$${\displaystyle x.}$
• ${\displaystyle f}$นูนอย่างเคร่งครัดหากสำหรับทุก(หมายเหตุ: นี่เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอ แต่ไม่จำเป็น)${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle f}$นูนอย่างแรงก็ต่อเมื่อสำหรับทุก${\displaystyle f''(x)\geq m>0}$${\displaystyle x.}$

ตัวอย่างเช่น ให้เป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด และสมมติว่ามีลำดับของจุดที่ทำให้. แม้ว่า. ฟังก์ชัน ก็ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด เพราะจะมีค่าเล็กมากจนแทบไม่มีค่า ${\displaystyle f}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle f''(x_{n})={\tfrac {1}{n}}}$${\displaystyle f''(x_{n})>0}$${\displaystyle f''(x)}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เรียกว่าฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้นที่มีพารามิเตอร์ถ้าความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกจุดในโดเมน: ^{[ 12 ]} หรือโดยทั่วไปแล้ว โดยที่เป็นผลคูณภายใน ใดๆ และเป็นบรรทัดฐาน ที่สอดคล้องกัน ผู้เขียนบางคน เช่น^{[ 13 ]}เรียกฟังก์ชันที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันนี้ว่าฟังก์ชัน เชิงวงรี${\displaystyle f}$${\displaystyle m>0}$${\displaystyle x,y}$$${\displaystyle (\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y)\geq m\|x-y\|_{2}^{2}}$$$${\displaystyle \langle \nabla f(x)-\nabla f(y),x-y\rangle \geq m\|x-y\|^{2}}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \|\cdot \|}$

เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันมีดังต่อไปนี้: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {m}{2}}\|y-x\|_{2}^{2}}$$

ฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้จึงจะเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้น นิยามที่สาม^{[ 14 ]}สำหรับฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้นที่มีพารามิเตอร์คือ สำหรับทุก ๆในโดเมนและ${\displaystyle m,}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle t\in [0,1],}$$${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-{\frac {1}{2}}mt(1-t)\|x-y\|_{2}^{2}}$$

โปรดสังเกตว่าคำจำกัดความนี้เข้าใกล้คำจำกัดความของความนูนอย่างเข้มงวดเมื่อและเหมือนกับคำจำกัดความของฟังก์ชันนูนเมื่ออย่างไรก็ตาม ยังมีฟังก์ชันที่นูนอย่างเข้มงวดแต่ไม่นูนอย่างเข้มข้นสำหรับทุกค่า(ดูตัวอย่างด้านล่าง) ${\displaystyle m\to 0,}$${\displaystyle m=0.}$${\displaystyle m>0}$

ถ้าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่อง ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้น (strongly convex) ที่มีพารามิเตอร์ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าในโดเมน โดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ และคือเมทริกซ์เฮสเซียนและอสมการหมายความว่าเป็น เมทริกซ์กึ่งบวก (positive semi-definite ) ซึ่งเทียบเท่ากับการกำหนดให้ค่าไอเกน ต่ำสุด ของต้องมีอย่างน้อยสำหรับทุกค่าถ้าโดเมนเป็นเพียงเส้นจำนวนจริง ก็คืออนุพันธ์อันดับสองดังนั้นเงื่อนไขจึงกลายเป็นถ้าแสดงว่าเมทริกซ์เฮสเซียนเป็นเมทริกซ์กึ่งบวก (หรือถ้าโดเมนเป็นเส้นจำนวนจริง แสดงว่า) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูน และอาจเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด (strictly convex) แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้น ${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)\succeq mI}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \nabla ^{2}f}$${\displaystyle \succeq }$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)-mI}$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$${\displaystyle f''(x),}$${\displaystyle f''(x)\geq m}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle f''(x)\geq 0}$

โดยยังคงสมมติว่าฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่อง เราสามารถแสดงได้ว่าขอบล่างของบ่งชี้ว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้น โดยใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์จะมีอยู่จริง ที่ทำให้ จากนั้น โดยสมมติฐานเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะ และด้วยเหตุนี้เราจึงได้สมการความนูนอย่างเข้มข้นข้อที่สองข้างต้นกลับคืนมา ${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$$${\displaystyle z\in \{tx+(1-t)y:t\in [0,1]\}}$$$${\displaystyle f(y)=f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {1}{2}}(y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)}$$$${\displaystyle (y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)\geq m(y-x)^{T}(y-x)}$$

ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้นที่มีพารามิเตอร์mก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้น เป็นฟังก์ชันนูน ${\displaystyle f}$$${\displaystyle x\mapsto f(x)-{\frac {m}{2}}\|x\|^{2}}$$

ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องบนโดเมนกระชับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกค่านั้นเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้น การพิสูจน์ข้อความนี้ได้มาจากทฤษฎีบทค่าสุดขีดซึ่งกล่าวว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตกระชับจะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle x\in X}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้นจะใช้งานง่ายกว่าฟังก์ชันนูนหรือฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด เนื่องจากเป็นกลุ่มฟังก์ชันที่เล็กกว่า เช่นเดียวกับฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด ฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้นจะมีค่าต่ำสุดที่ไม่ซ้ำกันบนเซตกระชับ

ถ้าfเป็นฟังก์ชันนูนอย่างแรงที่มีพารามิเตอร์mแล้ว: ^{[ 15 ] : Prop.6.1.4}

• สำหรับจำนวนจริงr ทุกตัว เซตระดับ { x | f ( x ) ≤ r } เป็นเซตกระชับ (compact set )
• ฟังก์ชันfมี ค่า ต่ำสุดทั่วโลก เพียงค่าเดียว บนR ⁿ

ฟังก์ชันนูนสม่ำเสมอ^{[ 16 ] [ 17 ]}ที่มีโมดูลัสคือฟังก์ชันที่สำหรับทุกในโดเมน และเป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่เป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบและมีค่าเป็นศูนย์เฉพาะที่ 0 เท่านั้น นี่เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดของฟังก์ชันนูนอย่างเข้มแข็ง โดยการใช้เราจะได้นิยามของความนูนอย่างเข้มแข็งกลับคืนมา ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle t\in [0,1],}$$${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-t(1-t)\phi (\|x-y\|)}$$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (\alpha )={\tfrac {m}{2}}\alpha ^{2}}$

เป็นที่น่าสังเกตว่าผู้เขียนบางคนกำหนดให้โมดูลัสเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น^{[ 17 ]}แต่เงื่อนไขนี้ไม่ได้จำเป็นสำหรับผู้เขียนทุกคน^{[ 16 ]}${\displaystyle \phi }$

• ฟังก์ชันนี้มีคุณสมบัติดังกล่าว ดังนั้นfจึงเป็นฟังก์ชันนูน นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้น (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดด้วย) โดยมีค่าคงที่ความนูนอย่างเข้มข้นเท่ากับ 2${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle f''(x)=2>0}$
• ฟังก์ชันนี้มีเงื่อนไขว่าfเป็นฟังก์ชันนูน และเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองจะไม่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดที่ทุกจุดก็ตาม แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้น${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle f''(x)=12x^{2}\geq 0}$
• ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชันนูน (ดังที่สะท้อนในอสมการสามเหลี่ยม ) แม้ว่าจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดนั้นก็ตาม อย่างไรก็ตามมัน ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนอย่างแท้จริง${\displaystyle f(x)=|x|}$${\displaystyle x=0.}$
• ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันนูน${\displaystyle f(x)=|x|^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เป็นฟังก์ชันนูน นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดด้วย เนื่องจากแต่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนอย่างเข้มข้น เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองสามารถเข้าใกล้ศูนย์ได้ตามอำเภอใจ โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันนูนเชิงลอการิทึมถ้าเป็นฟังก์ชันนูน บางครั้งมีการใช้คำว่า "ซูเปอร์นูน" แทน^{[ 18 ]}${\displaystyle f(x)=e^{x}}$${\displaystyle f''(x)=e^{x}>0}$${\displaystyle g(x)=e^{f(x)}}$${\displaystyle f}$
• ฟังก์ชันที่มีโดเมน [0,1] ซึ่งกำหนดโดย เป็น ฟังก์ชันนูน ต่อเนื่องบนช่วงเปิดแต่ไม่ต่อเนื่องที่ 0 และ 1${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)=f(1)=1,f(x)=0}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle (0,1),}$
• ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์อันดับสองดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันนูนบนเซตที่และเป็นฟังก์ชันเว้าบนเซตที่${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle 6x}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle x\leq 0.}$
• ตัวอย่างของ ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องแต่ไม่เป็นฟังก์ชันนูน ได้แก่และ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle g(x)=\log x}$
• ตัวอย่างของ ฟังก์ชันที่เป็นนูนแต่ไม่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องได้แก่และ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$${\displaystyle k(x)=-x}$
• ฟังก์ชันมีค่ามากกว่า 0 ถ้าเป็นเช่นนั้นฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันนูนบนช่วงและเป็นฟังก์ชันเว้าบนช่วง${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$${\displaystyle f''(x)={\tfrac {2}{x^{3}}}}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,0)}$
• ฟังก์ชันที่มี เป็นฟังก์ชันนูนบนช่วงและเป็นฟังก์ชันนูนบนช่วงแต่ไม่เป็นฟังก์ชันนูนบนช่วงเนื่องจากมีจุดเอกฐานที่${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}}$${\displaystyle f(0)=\infty }$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,0)}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle x=0.}$

• ฟังก์ชัน LogSumExpหรือที่เรียกว่าฟังก์ชัน softmax เป็นฟังก์ชันนูน (convex function)
• ฟังก์ชันบนโดเมนของเมทริกซ์บวกกำหนดเป็นฟังก์ชันนูน^{[ 7 ] : 74} ${\displaystyle -\log \det(X)}$
• การแปลงเชิงเส้นที่มีค่าเป็นจำนวนจริงทุกรูปแบบเป็นฟังก์ชันนูน แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด เนื่องจากถ้าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแล้วข้อความนี้ยังคงเป็นจริงแม้ว่าเราจะแทนคำว่า "นูน" ด้วย "เว้า" ก็ตาม${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
• ฟังก์ชันเชิงเส้นตรงที่มีค่าเป็นจำนวนจริงทุก ฟังก์ชัน กล่าวคือ ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่มีรูปแบบดังกล่าว จะเป็นทั้งฟังก์ชันนูนและฟังก์ชันเว้าในเวลาเดียวกัน${\displaystyle f(x)=a^{T}x+b,}$
• ทุกค่ามาตรฐานเป็นฟังก์ชันนูน โดยอาศัยอสมการสามเหลี่ยมและความเป็นเอกพันธุ์เชิงบวก
• รัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบเป็นฟังก์ชันนูนขององค์ประกอบแนวทแยงมุม^{[ 19 ]}

• "ฟังก์ชันนูน (ของตัวแปรจริง)" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• "ฟังก์ชันนูน (ของตัวแปรเชิงซ้อน)" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]