การแจกแจงแบบ tของนักเรียน มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ดังนี้ $${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \nu }$คือจำนวนองศาอิสระและ${\displaystyle \Gamma }$คือฟังก์ชันแกมมาซึ่งอาจเขียนได้อีกแบบว่า $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} {\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {B} }$คือฟังก์ชันเบตาโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าระดับความเป็นอิสระที่เป็นจำนวนเต็มบวก ν > 1เราจะได้ว่า:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &\in \mathbb {N} \geq 2\\k&={\begin{cases}2,&\nu {\text{ even}}\\\pi ,&\nu {\text{ odd}}\\\end{cases}}\\{\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}&={\frac {(\nu -1)!!}{k{\sqrt {\nu }}(\nu -2)!!}}\\\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นมีความสมมาตรและรูปร่างโดยรวมคล้ายกับรูปทรงระฆังของตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 ยกเว้นว่าจะต่ำกว่าและกว้างกว่าเล็กน้อย เมื่อจำนวนองศาอิสระเพิ่มขึ้น การแจกแจง แบบ t จะเข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 ด้วยเหตุนี้${\displaystyle {\nu }}$เรียกอีกอย่างว่าพารามิเตอร์ความปกติ^{[ 2 ]}

ภาพต่อไปนี้แสดงความหนาแน่นของ การแจกแจง t สำหรับค่าที่เพิ่มขึ้นของ${\displaystyle \nu .}$เส้นสีน้ำเงินแสดงถึงการแจกแจงแบบปกติเพื่อใช้ในการเปรียบเทียบ โปรดสังเกตว่า การแจกแจง แบบ t  (เส้นสีแดง) จะเข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติมากขึ้นเมื่อ...${\displaystyle \nu }$เพิ่มขึ้น

ความหนาแน่นของ การแจกแจงแบบ t  (สีแดง) สำหรับระดับความเป็นอิสระ 1, 2, 3, 5, 10 และ 30 เมื่อเทียบกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (สีน้ำเงิน) กราฟก่อนหน้าแสดงด้วยสีเขียว

1 องศาอิสระ

2 องศาอิสระ

3 องศาอิสระ

5 องศาอิสระ

10 องศาอิสระ

30 องศาอิสระ

ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) สามารถเขียนได้ในรูปของIซึ่งเป็น ฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์แบบ ปรับค่า สำหรับt > 0

$${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}{\left({\frac {\nu }{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)},}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}\,.}$$

ค่าอื่นๆ จะได้มาจากสมมาตร สูตรทางเลือกที่ใช้ได้สำหรับ${\displaystyle t^{2}<\nu \,,}$เป็น

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\frac {1}{2}}+t\,{\frac {\Gamma \!\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\;{}_{2}F_{1}\!\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};\,{\frac {3}{2}};\,-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right),}$$

ที่ไหน${\displaystyle {}_{2}F_{1}(\ ,\$ ;\  ;\ )} เป็นตัวอย่างเฉพาะของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก

สำหรับข้อมูลเกี่ยวกับฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผัน โปรดดูที่ฟังก์ชันควอนไทล์ §  การกระจายแบบทีของสตูเดนต์

ค่าบางอย่างของ${\displaystyle \ \nu \ }$จงให้รูปแบบง่ายๆ ของการแจกแจงแบบ t ของนักเรียน

${\displaystyle \ \nu \ }$	พีดี	ซีดีเอฟ	หมายเหตุ
1	${\displaystyle {\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t)}$	ดูการกระจายแบบคอชี
2	${\displaystyle {\frac {1}{2\,{\sqrt {2}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}\,{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}}$
3	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {\frac {t}{\sqrt {3}}}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan {\frac {t}{\sqrt {3}}}\right]}$
4	${\displaystyle {\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{5/2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}\left[{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}\right]\left[1-{\frac {t^{2}}{12\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)}}\right]}$
5	${\displaystyle {\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan {\frac {t}{\sqrt {5}}}\right]}$
${\displaystyle \ \infty \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-t^{2}/2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$	ดูการแจกแจงแบบปกติ , ฟังก์ชันข้อผิดพลาด

สำหรับ${\displaystyle \nu >1}$ค่าโมเมนต์ดิบของ การแจกแจง t คือ

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \,,\\[2ex]{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left[\Gamma \!\left({\frac {k+1}{2}}\right)\,\Gamma \!\left({\frac {\nu -k}{2}}\right)\,\nu ^{\frac {k}{2}}\right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu \,.\end{cases}}}$$

ช่วงเวลาแห่งความสงบเรียบร้อย${\displaystyle \ \nu \ }$หรือสูงกว่านั้นไม่มีอยู่จริง^{[ 3 ]}

คำศัพท์สำหรับ${\displaystyle 0<k<\nu }$โดย ที่ kเป็นจำนวนคู่ สามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันแกมมา

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}=\nu ^{\frac {k}{2}}\,\prod _{j=1}^{k/2}{\frac {2j-1}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.}$$

สำหรับ การแจกแจง t ที่มี${\displaystyle \nu }$จำนวนองศาอิสระค่าที่คาดหวังคือ${\displaystyle 0}$ถ้า${\displaystyle \nu >1\,,}$และความแปรปรวน ของมัน คือ${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ถ้า${\displaystyle \nu >2\,.}$ค่าความเบี่ยงเบนจะเป็น 0 ถ้า${\displaystyle \nu >3}$และค่าเคอร์โทซิสส่วนเกินคือ${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ถ้า${\displaystyle \nu >4\,.}$

ฟังก์ชันA ( t | ν )คือปริพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของ Student, f ( t )ระหว่าง-tและtสำหรับt ≥ 0ดังนั้นจึงให้ความน่าจะเป็นที่ค่าtที่น้อยกว่าค่าที่คำนวณได้จากข้อมูลที่สังเกตได้จะเกิดขึ้นโดยบังเอิญ ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันA ( t | ν )จึงสามารถใช้ในการทดสอบว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลสองชุดมีความสำคัญทางสถิติหรือไม่ โดยการคำนวณค่าt ที่สอดคล้องกัน และความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นหากชุดข้อมูลทั้งสองชุดถูกสุ่มมาจากประชากรเดียวกัน สิ่งนี้ถูกนำไปใช้ในสถานการณ์ต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการทดสอบtสำหรับสถิติtที่มีνองศาอิสระA ( t | ν )คือความน่าจะเป็นที่tจะน้อยกว่าค่าที่สังเกตได้หากค่าเฉลี่ยทั้งสองเท่ากัน (โดยที่ค่าเฉลี่ยที่น้อยกว่าถูกลบออกจากค่าเฉลี่ยที่มากกว่า ดังนั้นt ≥ 0 )สามารถคำนวณได้ง่ายๆ จากฟังก์ชันการกระจายสะสมF ( t )ของ การกระจาย t :   

$${\displaystyle A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

โดยที่I ( a , b )คือฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์แบบ ปรับค่า แล้ว

ฟังก์ชันนี้ใช้สำหรับการทดสอบสมมติฐานทางสถิติเพื่อสร้างค่าp

• การแจกแจง t แบบไม่ศูนย์กลาง (noncentral t  distribution) เป็นการขยายความของ การแจกแจง t โดยรวมพารามิเตอร์ความไม่ศูนย์กลางเข้าไปด้วย แตกต่างจากการแจกแจง t แบบไม่มาตรฐาน (nonstandardized t  distributions) ตรงที่ การแจกแจงแบบไม่ศูนย์กลางนั้นไม่สมมาตร (ค่ามัธยฐานไม่เท่ากับค่าฐานนิยม)
• การแจกแจงtของนักเรียนแบบไม่ต่อเนื่อง ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันมวลความน่าจะ เป็น ที่rเป็นสัดส่วนกับ: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.}$$ในที่นี้a , bและkเป็นพารามิเตอร์ การแจกแจงนี้เกิดขึ้นจากการสร้างระบบการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่คล้ายกับการแจกแจงของ Pearsonสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง^{[ 11 ]}
• เราสามารถสร้างตัวอย่าง Student A ( t | ν ) ได้ โดยการนำอัตราส่วนของตัวแปรจาก1การแจกแจงปกติและรากที่สองของการแจกแจงχ²มาใช้ หากเราใช้การแจกแจงแบบอื่นแทนการแจกแจงปกติ เช่นการแจกแจง Irwin–Hallเราจะได้การแจกแจงแบบสมมาตร 4 พารามิเตอร์ ซึ่งรวมถึงการแจกแจงปกติ การแจกแจงเอกรูป การ แจกแจงสามเหลี่ยม การแจกแจง Student tและการแจกแจง Cauchyนอกจากนี้ยังมีความยืดหยุ่นมากกว่าการแจกแจงแบบสมมาตรอื่นๆ ของการแจกแจงปกติด้วย  
• การแจกแจงแบบ t เป็นตัวอย่างหนึ่งของ การ แจกแจงแบบอัตราส่วน
• กำลังสองของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ t จะมี การ แจกแจงแบบ F ของ Snedecor คือ F

การแจกแจงแบบ tของนักเรียน เกิดขึ้นในปัญหาการประมาณค่าทางสถิติหลายประเภท โดยมีเป้าหมายคือการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า เช่น ค่าเฉลี่ย ในสถานการณ์ที่ข้อมูลถูกสังเกตโดยมีข้อผิดพลาด แบบบวก หาก (เช่นเดียวกับงานทางสถิติเชิงปฏิบัติเกือบทั้งหมด) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของประชากร ของข้อผิดพลาดเหล่านี้ไม่ทราบค่าและต้องประมาณค่าจากข้อมูล การแจกแจง แบบ t มักถูกใช้เพื่อพิจารณาความไม่แน่นอนเพิ่มเติมที่เกิดจากการประมาณค่านี้ ในปัญหาดังกล่าวส่วนใหญ่ หากทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อผิดพลาด การแจกแจงแบบปกติจะถูกนำมาใช้แทนการแจกแจงแบบt 

ช่วงความเชื่อมั่นและการทดสอบสมมติฐานเป็นกระบวนการทางสถิติสองอย่างที่ต้องใช้ควอนไทล์ของการแจกแจงตัวอย่างของสถิติเฉพาะ (เช่นคะแนนมาตรฐาน ) ในสถานการณ์ใดก็ตามที่สถิตินี้เป็น ฟังก์ชันเชิงเส้นของข้อมูล เมื่อหารด้วยค่าประมาณปกติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้ว ปริมาณที่ได้สามารถปรับขนาดและจัดให้อยู่กึ่งกลางเพื่อให้เป็นไปตามการแจกแจงแบบ tของนักเรียน การวิเคราะห์ทางสถิติที่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก และสัมประสิทธิ์การถดถอย ล้วนนำไปสู่สถิติที่มีรูปแบบนี้

บ่อยครั้งที่โจทย์ในตำราจะถือว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็นที่ทราบแล้ว และหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการใช้ การแจกแจง t  ของนักเรียน โจทย์เหล่านี้โดยทั่วไปมีสองประเภท: (1) โจทย์ที่ขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่มากจนสามารถประมาณค่าความแปรปรวน จากข้อมูล ได้ราวกับว่าเป็นค่าที่แน่นอน และ (2) โจทย์ที่แสดงให้เห็นถึงการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ซึ่งปัญหาการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกละเลยชั่วคราว เพราะไม่ใช่ประเด็นที่ผู้เขียนหรือผู้สอนกำลังอธิบายในขณะนั้น

การแจกแจงแบบ tของนักเรียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปแบบสามพารามิเตอร์ (ตำแหน่ง-มาตราส่วน) เกิดขึ้นบ่อยครั้งในสถิติแบบเบย์เซียนอันเป็นผลมาจากการเชื่อมโยงกับการแจกแจงแบบปกติ เมื่อใดก็ตามที่ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่ มีการแจกแจงแบบปกติ ไม่เป็นที่ทราบ และ มี การกำหนดค่าก่อนหน้าแบบสังยุคที่ตามการแจกแจงแบบแกมมา ผกผันไว้ การแจกแจงส่วนย่อยของตัวแปรที่ได้ จะตามการแจกแจง แบบ t  ของนักเรียน การสร้างที่เทียบเท่ากันซึ่งให้ผลลัพธ์เดียวกันนั้นเกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบไคกำลังสองผกผันแบบปรับขนาดแบบสังยุคเหนือความแปรปรวน หรือการแจกแจงแบบแกมมาแบบสังยุคเหนือความแม่นยำหากมีการ กำหนดค่า ก่อนหน้าแบบไม่เหมาะสม ที่ได้ สัดส่วนกับ1 / σ²ไว้เหนือความแปรปรวน การแจกแจงแบบ t ก็จะเกิดขึ้นเช่น กัน กรณีนี้เป็นเช่นนั้นไม่ว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบปกติจะเป็นที่ทราบหรือไม่ ไม่ทราบการแจกแจงตามค่า ก่อนหน้าแบบปกติแบบ สังยุคหรือไม่ทราบการแจกแจงตามค่าก่อนหน้าแบบคงที่ที่ไม่เหมาะสมก็ตาม

สถานการณ์ที่เกี่ยวข้องซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นการแจกแจงแบบt ได้แก่:

• การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังแบบมาร์จินัล ของค่าเฉลี่ยที่ไม่ทราบค่าของตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยก่อนหน้าและความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่าตามแบบจำลองข้างต้น
• การแจกแจงการทำนายก่อนหน้าและการแจกแจงการทำนายภายหลังของจุดข้อมูลใหม่ที่มีการแจกแจงแบบปกติ เมื่อ มีการสังเกตจุดข้อมูลที่ มีการแจกแจงแบบปกติที่เหมือนกันและ เป็นอิสระต่อกัน หลายจุด โดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนก่อนหน้าตามแบบจำลองข้างต้น

การ แจกแจง t มักใช้เป็นทางเลือกแทนการแจกแจงปกติเป็นแบบจำลองสำหรับข้อมูล ซึ่งมักมีหางที่หนักกว่าที่การแจกแจงปกติอนุญาต ดูเช่น Lange et al. ^{[ 13 ]}แนวทางแบบดั้งเดิมคือการระบุค่าผิด ปกติ (เช่น การใช้การทดสอบของ Grubbs ) และยกเว้นหรือลดน้ำหนักค่าผิดปกติเหล่านั้นในบางวิธี อย่างไรก็ตาม การระบุค่าผิดปกติไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป (โดยเฉพาะในมิติสูง ) และ การแจกแจง t เป็นทางเลือกตามธรรมชาติของแบบจำลองสำหรับข้อมูลดังกล่าว และให้แนวทางเชิงพารามิเตอร์สำหรับสถิติที่แข็งแกร่ง

บัญชีแบบเบย์เซียนสามารถพบได้ใน Gelman et al. ^{[ 14 ]}พารามิเตอร์องศาอิสระควบคุมความโค้งของการกระจายและมีความสัมพันธ์กับพารามิเตอร์มาตราส่วน ความน่าจะเป็นสามารถมีค่าสูงสุดเฉพาะที่หลายค่า และด้วยเหตุนี้จึงมักจำเป็นต้องกำหนดองศาอิสระไว้ที่ค่าต่ำพอสมควรและประมาณค่าพารามิเตอร์อื่นๆ โดยถือว่าค่านี้เป็นค่าคงที่ ผู้เขียนบางคนรายงานว่าค่าระหว่าง 3 ถึง 9 มักเป็นตัวเลือกที่ดี Venables และ Ripley แนะนำว่าค่า 5 มักเป็นตัวเลือกที่ดี

สำหรับการใช้งานจริงในด้านการถดถอยและการทำนาย ได้มีการนำกระบวนการtของนักเรียน (Student's t processes) มาใช้ ซึ่งเป็นการขยายความของ ฟังก์ชันการแจกแจงt ของนักเรียน กระบวนการt ของนักเรียนถูกสร้างขึ้นจากการแจกแจง t ของนักเรียน เช่นเดียวกับที่กระบวนการเกาส์เซียนถูกสร้างขึ้นจากการแจกแจงเกาส์เซียนสำหรับกระบวนการเกาส์เซียนชุดค่าทั้งหมดจะมีการแจกแจงเกาส์เซียนแบบหลายมิติ ในทำนองเดียวกัน    ${\displaystyle X(t)}$เป็นกระบวนการ tของนักเรียน ในช่วงเวลาหนึ่ง${\displaystyle I=[a,b]}$ถ้าค่าที่สอดคล้องกันของกระบวนการ${\displaystyle \ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\ }$(${\displaystyle t_{i}\in I}$) มีการแจกแจง Student t แบบหลายตัวแปรร่วมกัน[ 15 ] กระบวนการ ^{เหล่านี้ใช้}สำหรับการถดถอย การทำนาย การเพิ่มประสิทธิภาพแบบเบย์เซียน และปัญหาที่เกี่ยวข้อง สำหรับการถดถอยแบบหลายตัวแปรและการทำนายผลลัพธ์หลายรายการจะมีการแนะนำและใช้กระบวนการ Student t แบบหลายตัวแปร ^{[ 16 ]} 

ตารางต่อไปนี้แสดงค่าของการแจกแจงt ที่มีองศาอิสระ νสำหรับช่วงของบริเวณวิกฤตแบบด้านเดียวหรือสองด้าน คอลัมน์แรกคือνและเปอร์เซ็นต์ด้านบนคือระดับความเชื่อมั่น ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$และตัวเลขในส่วนเนื้อหาของตารางคือ${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$ปัจจัยต่างๆ ที่อธิบายไว้ในหัวข้อเกี่ยวกับช่วงความเชื่อมั่น

แถวสุดท้ายที่มีค่าν เป็นอนันต์ จะให้จุดวิกฤตสำหรับการแจกแจงแบบปกติ เนื่องจาก การแจกแจงแบบ t ที่มีองศาอิสระเป็นอนันต์นั้นเป็นการแจกแจงแบบปกติ (ดูหัวข้อการแจกแจงที่เกี่ยวข้องด้านบน)

การคำนวณช่วงความเชื่อมั่น

สมมติว่าเรามีกลุ่มตัวอย่างขนาด 11 ค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่าง 10 และความแปรปรวนกลุ่มตัวอย่าง 2 สำหรับระดับความเชื่อมั่น 90% ที่มีองศาอิสระ 10 ค่า t แบบด้านเดียวจากตารางคือ 1.372 จากนั้นช่วงความเชื่อมั่นที่คำนวณจาก  

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\,{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\,,}$$

เราสรุปด้วยความมั่นใจ 90% ว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริงอยู่ต่ำกว่า

$${\displaystyle 10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.585\,.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 90% ของกรณีที่คำนวณค่าขีดจำกัดบนโดยใช้วิธีนี้จากตัวอย่างเฉพาะ ค่าขีดจำกัดบนนี้จะสูงกว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริง

และด้วยความมั่นใจ 90% เราจึงมั่นใจได้ว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริงอยู่ด้านบน

$${\displaystyle \ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 90% ของกรณีที่คำนวณค่าเกณฑ์ล่างโดยใช้วิธีนี้จากตัวอย่างเฉพาะ ค่าเกณฑ์ล่างนี้จะต่ำกว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริง

ดังนั้นที่ระดับความเชื่อมั่น 80% (คำนวณจาก 100%  −  2  ×  (1  −  90%) = 80%) ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงจึงอยู่ในช่วงดังกล่าว

$${\displaystyle \left(10-1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},\,10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\right)=(9.414,\,10.585)\,.}$$

การกล่าวว่า 80% ของกรณีที่คำนวณค่าขีดจำกัดบนและล่างด้วยวิธีนี้จากตัวอย่างที่กำหนด ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงจะอยู่ต่ำกว่าค่าขีดจำกัดบนและสูงกว่าค่าขีดจำกัดล่างพร้อมกันนั้น ไม่เหมือนกับการกล่าวว่ามีความน่าจะเป็น 80% ที่ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงจะอยู่ระหว่างค่าขีดจำกัดบนและล่างคู่ใดคู่หนึ่งที่คำนวณด้วยวิธีนี้ โปรดดูช่วงความเชื่อมั่นและข้อผิดพลาดของอัยการ

ในปัจจุบัน ซอฟต์แวร์ทางสถิติ เช่นภาษาโปรแกรม Rและฟังก์ชันต่างๆ ในโปรแกรมสเปรดชีต หลายโปรแกรม สามารถคำนวณค่าของ การแจกแจง t และค่าผกผันของการแจกแจง t ได้โดยไม่ต้องใช้ตาราง

มีแนวทางต่างๆ ในการสร้างตัวอย่างสุ่มจากการกระจายแบบ Student's t ขึ้นอยู่กับว่าต้องการตัวอย่างแบบแยกเดี่ยว หรือต้องสร้างโดยการใช้ฟังก์ชันควอนไทล์กับ ตัวอย่าง แบบสม่ำเสมอเช่น ในการประยุกต์ใช้แบบหลายมิติบนพื้นฐานของการพึ่งพาโคปูลาในกรณีของการสุ่มตัวอย่างแบบแยกเดี่ยว การขยายวิธี Box–Mullerและรูปแบบเชิงขั้ว ของมัน สามารถนำมาใช้ได้อย่างง่ายดาย^{[ 17 ]}ข้อดีคือมันใช้ได้ดีกับระดับความเป็นอิสระที่ เป็นบวกจริงทั้งหมด νในขณะที่วิธีการอื่นๆ ที่เป็นไปได้หลายวิธีล้มเหลวหากνใกล้เคียงกับศูนย์^{[ 17 ]}