สัจพจน์ของ Giraud สำหรับหมวดหมู่${\displaystyle C}$เป็น:

• ${\displaystyle C}$มีชุดตัวสร้าง ขนาดเล็ก และยอมรับโคลิมิต ขนาดเล็กทั้งหมด ยิ่งไปกว่านั้น ผลคูณไฟเบอร์กระจายตัวเหนือผลคูณร่วม กล่าวคือ เมื่อกำหนดชุดหนึ่งแล้ว${\displaystyle I}$, หนึ่ง${\displaystyle I}$การแมปผลรวมดัชนีไปยัง${\displaystyle A}$และมอร์ฟิซึม${\displaystyle A'\to A}$การดึงกลับนั้นเป็น${\displaystyle I}$-ผลคูณร่วมที่จัดทำดัชนีของการดึงกลับ:$${\displaystyle \left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A').}$$
• ผลรวมใน${\displaystyle C}$แยกออกจากกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ผลิตภัณฑ์เส้นใยของ${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ผลรวมของพวกมันคือวัตถุเริ่มต้นใน${\displaystyle C}$.
• ความสัมพันธ์สมมูลทั้งหมดใน${\displaystyle C}$มีประสิทธิภาพ​

สัจพจน์สุดท้ายต้องการคำอธิบายมากที่สุด ถ้าXเป็นวัตถุของCความสัมพันธ์สมมูลRบนXคือแผนที่R → X × XในC โดยที่สำหรับวัตถุY ใดๆ ในCแผนที่เหนี่ยวนำ Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) จะให้ความสัมพันธ์สมมูลแบบธรรมดาบนเซต Hom( Y , X ) เนื่องจาก C มีโคลิมิต เราจึงสามารถสร้าง โค อีควอไลเซอร์ของแผนที่R → X ทั้งสอง ได้ เรียกสิ่งนี้ว่าX / Rความสัมพันธ์สมมูลนั้น "มีประสิทธิภาพ" ถ้าแผนที่แคนอนิก

${\displaystyle R\to X\times _{X/R}X\,\!}$

เป็นไอโซมอร์ฟิซึม

หมวดหมู่ของเซตเป็นกรณีพิเศษที่สำคัญ: มันมีบทบาทเป็นจุดในทฤษฎีโทโพส อันที่จริง เซตอาจถูกมองว่าเป็นชีฟบนจุด เนื่องจากฟังก์ชันบนหมวดหมู่เอกพจน์ที่มีวัตถุเดียวและมีเพียงมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์เท่านั้นก็คือเซตเฉพาะในหมวดหมู่ของเซต

ในทำนองเดียวกัน ก็มีโทโพสอยู่ด้วย${\displaystyle BG}$สำหรับกลุ่ม ใด ๆ${\displaystyle G}$ซึ่งเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของ${\displaystyle G}$-เซต เราสร้างสิ่งนี้ขึ้นมาเป็นหมวดหมู่ของพรีชีฟบนหมวดหมู่ที่มีวัตถุหนึ่งชิ้น แต่ตอนนี้เซตของมอร์ฟิซึมนั้นกำหนดโดยกลุ่ม${\displaystyle G}$เนื่องจากฟังก์ชันใดๆ ก็ตามจะต้องให้ค่า a${\displaystyle G}$-การกระทำต่อเป้าหมาย ซึ่งทำให้ได้หมวดหมู่ของ${\displaystyle G}$-เซต ในทำนองเดียวกัน สำหรับกรุปอยด์${\displaystyle {\mathcal {G}}}$หมวดหมู่ของรวงข้าวที่เตรียมไว้ล่วงหน้าบน${\displaystyle {\mathcal {G}}}$นำเสนอชุดของเซตที่จัดทำดัชนีโดยเซตของวัตถุใน${\displaystyle {\mathcal {G}}}$และออโตมอร์ฟิซึมของวัตถุใน${\displaystyle {\mathcal {G}}}$มีการกระทำต่อเป้าหมายของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่แปลกใหม่กว่า และเหตุผลหลักของทฤษฎีโทโพส มาจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ตัวอย่างพื้นฐานของโทโพสมาจากโทโพสแบบซาริสกีของสกีมสำหรับแต่ละสกีม${\displaystyle X}$มีเว็บไซต์หนึ่ง${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$(ของวัตถุที่กำหนดโดยเซตย่อยเปิดและมอร์ฟิซึมที่กำหนดโดยการรวม) ซึ่งหมวดหมู่ของพรีชีฟก่อตัวเป็นโทโพสของซาริสกี${\displaystyle (X)_{Zar}}$แต่เมื่อพิจารณาถึงกลุ่มของมอร์ฟิซึมที่แตกต่างกันแล้ว จะมีการวางนัยทั่วไปหลายประการซึ่งนำไปสู่คณิตศาสตร์ที่ไม่ธรรมดา ยิ่งไปกว่านั้น โทโปอิยังเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาสกีมในฐานะฟังก์ชันบนหมวดหมู่ของพีชคณิตอีกด้วย

เราอาจเชื่อมโยงโครงร่างหรือแม้แต่กองซ้อน เข้ากับ โทโพสแบบเอทาล โทโพสแบบ fppfหรือ โทโพส แบบนิสเนวิชอีกตัวอย่างที่สำคัญของโทโพสคือจากไซต์ผลึกในกรณีของโทโพสแบบเอทาล โทโพสเหล่านี้เป็นพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตแบบอนาเบเลียนซึ่งศึกษาวัตถุในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่ถูกกำหนดโดยโครงสร้างของกลุ่มพื้นฐานแบบเอทาลอย่าง สมบูรณ์

ทฤษฎีโทโพสในแง่หนึ่งคือการขยายความของโทโพสแบบเซตจุดคลาสสิก ดังนั้นจึงควรคาดหวังว่าจะได้เห็นตัวอย่าง พฤติกรรม ที่ผิดปกติ ทั้งแบบเก่าและแบบใหม่ ตัวอย่างเช่น มีตัวอย่างหนึ่งจากปิแอร์ เดลิญ์เกี่ยวกับโทโพสที่ไม่ธรรมดาซึ่งไม่มีจุด (ดูคำจำกัดความของจุดในโทโพสด้านล่าง)

จุดหนึ่งของโทโพส${\displaystyle X}$ถูกกำหนดให้เป็นมอร์ฟิซึมเชิงเรขาคณิตจากโทโพสของเซตไปยัง${\displaystyle X}$.

ถ้าXเป็นปริภูมิธรรมดาและxเป็นจุดในXแล้วฟังก์ชันที่แปลงชีฟFไปยังสตอล์กF จะมีแอดจอยต์ขวา (ฟังก์ชัน "ชีฟตึกระฟ้า") ดังนั้นจุดธรรมดาในX จึงกำหนดจุดในทฤษฎีโทโพสได้ด้วย จุดเหล่านี้สามารถสร้าง ขึ้นได้โดยใช้การดึงกลับและการผลักไปข้างหน้าตามแผนที่ต่อเนื่องx : 1 → X 

สำหรับโทโปสเอตาเล${\displaystyle (X)_{et}}$ของพื้นที่${\displaystyle X}$จุดนั้นเป็นวัตถุที่มีความละเอียดกว่าเล็กน้อย เมื่อพิจารณาจากจุดหนึ่งจุด${\displaystyle x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X}$ของแผนการพื้นฐาน${\displaystyle X}$จุดหนึ่ง${\displaystyle x'}$ของภูมิประเทศ${\displaystyle (X)_{et}}$จากนั้นจึงกำหนดโดยส่วนขยายฟิลด์ที่แยกได้${\displaystyle k}$ของ${\displaystyle \kappa (x)}$โดยที่แผนที่ที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle x':{\text{Spec}}(k)\to X}$ปัจจัยต่างๆ ผ่านจุดเริ่มต้น${\displaystyle x}$จากนั้น แผนที่การแยกตัวประกอบ$${\displaystyle {\text{Spec}}(k)\to {\text{Spec}}(\kappa (x))}$$เป็นการแปลงแบบ etaleของสกีม

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น จุดเหล่านั้นคือ จุด สากลจุดเหล่านั้นไม่เพียงพอในตัวเองสำหรับการแสดงลักษณะเชิงพื้นที่ของโทโพส เพราะโทโพสที่ไม่ธรรมดาอาจไม่มีจุดใดๆ เลย จุด ทั่วไปคือการแปลงทางเรขาคณิตจากโทโพสY ( ขั้นตอนของการกำหนด ) ไปยังXมีจุดเหล่านี้มากพอที่จะแสดงลักษณะเชิงพื้นที่ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าXคือโทโพสจำแนกS [ T ] สำหรับทฤษฎีเรขาคณิตTแล้วคุณสมบัติสากลกล่าวว่าจุดของมันคือแบบจำลองของT (ในขั้นตอนใดๆ ของการกำหนดY )

การแปลงเชิงเรขาคณิต ( u ^∗ , u ) เป็นสิ่งจำเป็นก็ต่อเมื่อu ^∗มีตัวผกผันซ้ายเพิ่มเติมคือu หรือเทียบเท่า (ตามทฤษฎีบทตัวผกผัน) ก็ต่อเมื่อu ^∗รักษาไม่เพียงแต่ลิมิตจำกัดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลิมิตเล็กทั้งหมดด้วย