ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มโปรไฟไนต์ (Profinite group)คือกลุ่มเชิงทอพอโลยี (Topological group ) ที่ประกอบขึ้นจากระบบของกลุ่มจำกัด (finite groups ) ในแง่หนึ่ง

แนวคิดของการใช้กลุ่มโปรไฟไนต์คือการให้มุมมองแบบ "เอกภาพ" หรือ "ภาพรวม" ของระบบกลุ่มจำกัดทั้งหมด คุณสมบัติของกลุ่มโปรไฟไนต์โดยทั่วไปแล้วเป็นคุณสมบัติเอกภาพของระบบ ตัวอย่างเช่น กลุ่มโปรไฟไนต์ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด (ในฐานะกลุ่มทางทอพอโลยี) ก็ต่อเมื่อมีอยู่${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$เพื่อให้ทุกกลุ่มในระบบสามารถสร้างขึ้นได้โดย${\displaystyle d}$องค์ประกอบ^{[ 1 ]}ทฤษฎีบทเกี่ยวกับกลุ่มจำกัดจำนวนมากสามารถสรุปทั่วไปเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทของลากรองจ์และทฤษฎีบทของไซโลว์^{[ 2 ]}

ในการสร้างกลุ่มโปรไฟไนต์ จำเป็นต้องมีระบบของกลุ่มจำกัดและฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มเหล่านั้น โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสมมติให้ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมเหล่านี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึงได้ซึ่งในกรณีนี้ กลุ่มจำกัดจะปรากฏเป็นกลุ่มผลหารของกลุ่มโปรไฟไนต์ที่ได้ ในแง่หนึ่ง กลุ่มผลหารเหล่านี้เป็นการประมาณค่ากลุ่มโปรไฟไนต์

ตัวอย่างที่สำคัญของกลุ่มโปรไฟไนต์ ได้แก่กลุ่มการบวกของ${\displaystyle p}$จำนวนเต็ม -adicและกลุ่ม Galois ของ ส่วนขยายฟิลด์ดีกรีอนันต์

กลุ่มโปรไฟไนต์ทุกกลุ่มเป็นกลุ่มกระชับและไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์การขยายแนวคิดนี้ในรูปแบบที่ไม่กระชับคือกลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่ และกลุ่มที่ไม่เชื่อมต่อกัน โดยสมบูรณ์ นั้นมีความทั่วไปยิ่งกว่า

กลุ่มพหุนามสามารถนิยามได้ในสองวิธีที่เทียบเท่ากัน

• กลุ่มจำกัดจะเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ หากกำหนดโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องให้
• กลุ่มของ${\displaystyle p}$จำนวนเต็ม -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ under addition is profinite (in fact procyclic). It is the inverse limit of the finite groups ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ where ${\displaystyle n}$ ranges over all natural numbers and the natural maps ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ for ${\displaystyle n\geq m.}$ The topology on this profinite group is the same as the topology arising from the ${\displaystyle p}$-adic valuation on ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• The group of profinite integers${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ is the profinite completion of ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ In detail, it is the inverse limit of the finite groups ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ where ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ with the modulo maps ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ for ${\displaystyle m\,|\,n.}$ This group is the product of all the groups ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ and it is the absolute Galois group of any finite field.
• The Galois theory of field extensions of infinite degree gives rise naturally to Galois groups that are profinite. Specifically, if ${\displaystyle L/K}$ is a Galois extension, consider the group ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ consisting of all field automorphisms of ${\displaystyle L}$ that keep all elements of ${\displaystyle K}$ fixed. This group is the inverse limit of the finite groups ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$ where ${\displaystyle F}$ ranges over all intermediate fields such that ${\displaystyle F/K}$ is a finite Galois extension. For the limit process, the restriction homomorphisms ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$ are used, where ${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$ The topology obtained on ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ is known as the Krull topology after Wolfgang Krull. Waterhouse (1974) showed that every profinite group is isomorphic to one arising from the Galois theory of some field ${\displaystyle K,}$ but one cannot (yet) control which field ${\displaystyle K}$ will be in this case. In fact, for many fields ${\displaystyle K}$ one does not know in general precisely which finite groups occur as Galois groups over ${\displaystyle K.}$ This is the inverse Galois problem for a field ${\displaystyle K.}$ (For some fields ${\displaystyle K}$ the inverse Galois problem is settled, such as the field of rational functions in one variable over the complex numbers.) Not every profinite group occurs as an absolute Galois group of a field.^[6]
• The étale fundamental groups considered in algebraic geometry are also profinite groups, roughly speaking because the algebra can only 'see' finite coverings of an algebraic variety. The fundamental groups of algebraic topology, however, are in general not profinite: for any prescribed group, there is a 2-dimensional CW complex whose fundamental group equals it.
• The automorphism group of a locally finite rooted tree is profinite.

• ผลคูณทุกตัวของกลุ่มโปรไฟไนต์ (จำนวนเท่าใดก็ได้) ล้วนเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ โทโพโลยีที่เกิดขึ้นจากความเป็นโปรไฟไนต์นั้นสอดคล้องกับโทโพโลยีของผลคูณลิมิตผกผันของระบบผกผันของกลุ่มโปรไฟไนต์ที่มีแผนที่การเปลี่ยนผ่านแบบต่อเนื่องก็เป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ และฟังก์ชันลิมิตผกผันเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำบนหมวดหมู่ของกลุ่มโปรไฟไนต์ ยิ่งไปกว่านั้น การเป็นโปรไฟไนต์ยังเป็นสมบัติของการขยายอีกด้วย
• ทุก กลุ่ม ย่อยปิดของกลุ่มโปรไฟไนต์นั้นเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ด้วยเช่นกัน โครงสร้างทางโทโพโลยีที่เกิดขึ้นจากความเป็นโปรไฟไนต์นั้นสอดคล้องกับโครงสร้างทางโทโพโลยีของปริภูมิย่อยถ้า${\displaystyle N}$เป็นกลุ่มย่อยปกติปิดของกลุ่มโปรไฟไนต์${\displaystyle G,}$จากนั้นกลุ่มปัจจัย${\displaystyle G/N}$เป็นจำนวนจำกัดเชิงโปรไฟไนต์; โทโพโลยีที่เกิดขึ้นจากความเป็นจำนวนจำกัดเชิงโปรไฟไนต์นั้นสอดคล้องกับโทโพโลยีเชิงผลหาร
• เนื่องจากกลุ่มจำกัดทุกกลุ่ม${\displaystyle G}$เป็น Hausdorff ขนาดกะทัดรัด มีการวัด Haar อยู่ บน${\displaystyle G,}$ซึ่งทำให้เราสามารถวัด "ขนาด" ของเซตย่อยได้${\displaystyle G,}$คำนวณความน่าจะเป็น บางอย่าง และอินทิเกรตฟังก์ชันบน${\displaystyle G.}$
• กลุ่มย่อยของกลุ่มโปรไฟไนต์จะเป็นกลุ่มเปิดก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยนั้นเป็นกลุ่มปิดและมีดัชนีจำกัด
• ตามทฤษฎีบทของNikolay NikolovและDan Segalในกลุ่มโปรไฟไนต์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทางโทโพโลยี (กล่าวคือ กลุ่มโปรไฟไนต์ที่มีกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่าง จำกัดและ หนาแน่น ) กลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัดจะเป็นกลุ่มเปิด นี่เป็นการขยายผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันก่อนหน้านี้ของ Jean-Pierre Serre สำหรับ กลุ่มโปร ไฟไนต์ ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทางโทโพโล ยี${\displaystyle p}$กลุ่มต่างๆการพิสูจน์ใช้การ จำแนกประเภทของ กลุ่มง่ายจำกัด
• จากผลลัพธ์ของ Nikolov–Segal ข้างต้น ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่เป็นฟังก์ชันทั่วถึงใดๆ ก็ตาม${\displaystyle \varphi :G\to H}$ระหว่างกลุ่มจำกัด${\displaystyle G}$และ${\displaystyle H}$ต่อเนื่องตราบเท่าที่${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มย่อยเปิดที่สร้างขึ้นโดยมีจำนวนจำกัดในเชิงโทโพโลยี แท้จริงแล้ว กลุ่มย่อยเปิดใดๆ ของ${\displaystyle H}$มีดัชนีจำกัด ดังนั้นภาพผกผันของมันใน${\displaystyle G}$นอกจากนี้ ยังเป็นเซตที่มีดัชนีจำกัด ดังนั้นจึงต้องเป็นเซตเปิด
• สมมติ${\displaystyle G}$และ${\displaystyle H}$กลุ่มโปรไฟไนต์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดในเชิงทอพอโลยี ซึ่งสมมาตรกันในฐานะกลุ่มดิสครีตโดยสมมาตร${\displaystyle \iota .}$แล้ว${\displaystyle \iota }$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงและต่อเนื่องตามผลลัพธ์ข้างต้น นอกจากนี้${\displaystyle \iota ^{-1}}$นอกจากนี้ยังต่อเนื่องด้วย ดังนั้น${\displaystyle \iota }$เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมดังนั้น โทโพโลยีบนกลุ่มโปรไฟไนต์ที่สร้างขึ้นโดยโทโพโลยีแบบจำกัด จึงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยโครงสร้างทางพีชคณิต ของมัน

มีแนวคิดเรื่องกลุ่มอินดิไฟไนต์ซึ่งเป็นแนวคิดคู่ขนานกับกลุ่มโปรไฟไนต์ กล่าวคือ กลุ่มอินดิไฟไนต์${\displaystyle G}$กลุ่มอินดีแฟกต์ (ind-finite group) คือกลุ่มที่เป็นลิมิตโดยตรงของระบบอุปนัยของกลุ่มจำกัด (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคืออินดีกรุ๊ป ) แต่โดยทั่วไปแล้วจะใช้ศัพท์ที่แตกต่างออกไป คือ กลุ่ม${\displaystyle G}$เรียกว่าเป็นกลุ่มจำกัดเฉพาะที่ (locally finite)ถ้ากลุ่มย่อย ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดทุกกลุ่ม เป็นกลุ่มจำกัด ซึ่งในความเป็นจริงแล้วเทียบเท่ากับการเป็นกลุ่ม 'จำกัดโดยตัวดำเนินการ' (ind-finite)

โดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีทวิภาวะของปอนทรียาจินจะเห็นได้ว่า กลุ่มโปรไฟไนต์ แบบอาเบเลียนมีความสัมพันธ์แบบทวิภาวะกับกลุ่มอาเบเลียนแบบไม่ต่อเนื่องที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่ ซึ่งกลุ่มหลังนี้ก็คือกลุ่มทอร์ชั่น แบบอาเบเลียน นั่นเอง

กลุ่มโปรไฟไนต์คือเป็นแบบโปรเจคทีฟหากมีคุณสมบัติการยกสำหรับทุกส่วนขยาย นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่า${\displaystyle G}$เป็นแบบโปรเจคทีฟ ถ้าสำหรับทุกมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงจากโปรไฟไนต์${\displaystyle H\to G}$มีส่วนหนึ่ง${\displaystyle G\to H.}$^{[ 7 ] [ 8 ]}

คุณสมบัติการฉายภาพสำหรับกลุ่มโปรไฟไนต์${\displaystyle G}$เทียบเท่ากับคุณสมบัติทั้งสองอย่าง: ^{[ 7 ]}

• มิติโคโฮโมโลจี${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• สำหรับจำนวนเฉพาะทุกตัว${\displaystyle p}$ไซโลว์${\displaystyle p}$-กลุ่มย่อยของ${\displaystyle G}$เป็นโปรฟรี-${\displaystyle p}$-กลุ่ม

กลุ่มโปรไฟไนต์เชิงโปรเจกทีฟทุกกลุ่มสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ของฟิลด์ปิดพีชคณิตเทียมผลลัพธ์นี้เป็นผลงานของAlexander LubotzkyและLou van den Dries ^{[ 9 ]}

กลุ่มจำกัด${\displaystyle G}$เป็นเป็นแบบโปรไซคลิกหากถูกสร้างขึ้นในเชิงโทโพโลยีโดยองค์ประกอบเดียว${\displaystyle \sigma$ นั่น คือ ถ้า${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$การปิดกลุ่มย่อย${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$^{[ 10 ]}

กลุ่มโทโพโลยี${\displaystyle G}$เป็นไปตามวัฏจักรก็ต่อเมื่อ${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$ที่ไหน${\displaystyle p}$ครอบคลุมเซตของจำนวน เฉพาะบางเซต${\displaystyle S}$และ${\displaystyle G_{p}}$มีโครงสร้างเหมือนกับอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$หรือ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$^{[ 11 ]}

• เสร็จสมบูรณ์แบบเฮาส์ดอร์ฟ
• กลุ่มวัฏจักรท้องถิ่น
• กลุ่มโปร- พี
• จำนวนเต็มจำกัด– แนวคิดทางทฤษฎีจำนวน 
• สมบัติส่วนเหลือ (คณิตศาสตร์)
• กลุ่มจำกัดที่เหลืออยู่– ประเภทหนึ่งของกลุ่มทางคณิตศาสตร์