ในศัพท์เฉพาะของบทความนี้ วงแหวน (ring) ถูกนิยามว่ามีเอกลักษณ์การคูณในขณะที่โครงสร้างที่มีนิยามเชิงสัจพจน์เดียวกันแต่ไม่มีข้อกำหนดเรื่องเอกลักษณ์การคูณ จะเรียกว่า" rng " (IPA: / r ʊ ŋ / ) โดยที่ "i" หายไปหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มคู่ที่มีเครื่องหมาย + และ ⋅ ตามปกติ เป็น rng แต่ไม่ใช่วงแหวน ดังที่อธิบายไว้ในหัวข้อ §  ประวัติด้านล่าง ผู้เขียนหลายคนใช้คำว่า "วงแหวน" โดยไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์การคูณ

แม้ว่าการบวกในริงจะเป็นการสลับที่ได้แต่การคูณในริงไม่จำเป็นต้องเป็นการสลับที่ได้เสมอไป กล่าวคือabไม่จำเป็นต้องเท่ากับbaเสมอไป ริงที่สอดคล้องกับการสลับที่สำหรับการคูณด้วย (เช่น ริงของจำนวนเต็ม) เรียกว่าริงสลับที่ได้หนังสือเกี่ยวกับพีชคณิตสลับที่ได้หรือเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมักใช้คำว่าริง ในที่นี้ หมายถึงริงสลับที่ได้เพื่อให้ง่ายต่อการใช้คำศัพท์

ในริงนั้น ไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันการคูณเสมอไป ริง ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งทุกสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์มีตัวผกผันการคูณเรียกว่าริงหารและริงหารสลับที่เรียกว่าฟิลด์

กลุ่มการบวกของวงแหวนคือเซตพื้นฐานที่มีเฉพาะการดำเนินการบวกเท่านั้น แม้ว่าคำจำกัดความจะกำหนดให้กลุ่มการบวกต้องเป็นอะเบเลียน แต่สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์วงแหวนอื่นๆ^{[ 4 ]}การพิสูจน์ใช้ " 1 " และใช้ไม่ได้ใน rng (สำหรับ rng การละเว้นสัจพจน์การสลับที่ของการบวกทำให้สามารถอนุมานได้จากสมมติฐาน rng ที่เหลือสำหรับองค์ประกอบที่เป็นผลคูณเท่านั้น: ab + cd = cd + ab )

ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "ring" เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ไม่มีข้อกำหนดให้การคูณเป็นแบบสมาคม ดู ส่วนย่อย ของ ring ที่ไม่เป็นแบบสมาคมด้านล่าง^{[ 5 ]} สำหรับผู้เขียนเหล่านี้ พีชคณิตทุก รูปแบบ เป็น "ring"

คุณสมบัติพื้นฐานบางประการของวงแหวนนั้นได้มาโดยตรงจากสัจพจน์:

• เอกลักษณ์ของสารเติมแต่งนั้นไม่เหมือนใคร
• ตัวผกผันการบวกของแต่ละองค์ประกอบนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว
• เอกลักษณ์การคูณนั้นมีเพียงหนึ่งเดียว
• สำหรับองค์ประกอบx ใดๆ ในริงRจะมีx 0 = 0 = 0 x (ศูนย์เป็นองค์ประกอบดูดซับเมื่อเทียบกับการคูณ) และ( –1) x = – x
• ถ้า0 = 1ในริงR (หรือโดยทั่วไปแล้ว0เป็นสมาชิกเอกลักษณ์) แล้วRจะมีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว และเรียกว่า ริ งศูนย์
• ถ้าวงแหวนRประกอบด้วยวงแหวนศูนย์เป็นวงแหวนย่อย แสดงว่าRเองก็คือวงแหวนศูนย์^{[ 6 ]}
• สูตรทวินามนี้ใช้ได้กับค่า x และ y ใดๆที่สอดคล้องกับสมการxy = yx

จัดเตรียมอุปกรณ์ให้พร้อม${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$โดยมีขั้นตอนการดำเนินการดังต่อไปนี้:

• ผลรวม${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$ใน​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$⁠คือเศษเหลือจากการหารจำนวนเต็ม x + yด้วย 4 (เนื่องจาก x + yมีค่าน้อยกว่า 8 เสมอ เศษเหลือนี้จึงเป็น x + yหรือ x + y − 4 ) ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$และ${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• ผลิตภัณฑ์${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$ใน​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$⁠คือเศษเหลือเมื่อจำนวนเต็ม xyหารด้วย 4ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$และ${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

จากนั้น${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$เป็น วงแหวน : แต่ละสัจพจน์เป็นผลมาจากสัจพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ถ้า xเป็นจำนวนเต็ม เศษที่เหลือจากการหาร x ด้วย 4อาจถือได้ว่าเป็นสมาชิกของ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$และองค์ประกอบนี้มักจะแสดงด้วย " x mod 4 " หรือ${\displaystyle {\overline {x}},}$ซึ่งสอดคล้องกับสัญลักษณ์สำหรับ0, 1, 2, 3ตัวผกผันการบวกของใดๆ${\displaystyle {\overline {x}}}$ใน​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$คือ​${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

เซตของ เมทริกซ์จัตุรัส 2x2 ที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์Fคือ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

โดยใช้การดำเนินการบวกเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$สอดคล้องกับสัจพจน์ของวงแหวนข้างต้น องค์ประกอบ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$คือเอกลักษณ์การคูณของวงแหวน ถ้า${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$และ${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$แล้ว${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ในขณะที่${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าวงแหวนนั้นไม่ใช่วงแหวนสลับที่ได้

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับริงR ใดๆ ไม่ว่าจะเป็นริงสลับที่ได้หรือไม่ได้ และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn ใดๆ เมทริกซ์ จัตุรัสn × nที่มีสมาชิกอยู่ในRจะก่อให้เกิดริง ดูที่ริงเมทริกซ์

การศึกษาเรื่องวงแหวนมีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีวงแหวนพหุนามและทฤษฎีจำนวนเต็มพีชคณิต [ ^{11 ] ใน}ปี พ.ศ. 2414 ริชาร์ด เดเดคินด์ ได้นิยามแนวคิดของวงแหวนจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวน^{[ 12 ]}ในบริบทนี้ เขาได้แนะนำคำว่า "อุดมคติ" (ได้รับแรงบันดาลใจจาก แนวคิดเรื่องจำนวนอุดมคติของ เอิร์นส์ คุมเมอร์ ) และ "โมดูล" และศึกษาคุณสมบัติของคำเหล่านั้น เดเดคินด์ไม่ได้ใช้คำว่า "วงแหวน" และไม่ได้นิยามแนวคิดของวงแหวนในบริบททั่วไป

คำว่า "Zahlring" (วงแหวนจำนวน) ถูกบัญญัติโดยDavid Hilbertในปี 1892 และตีพิมพ์ในปี 1897 ^{[ 13 ]}ตามที่ Harvey Cohn กล่าว Hilbert ใช้คำนี้สำหรับวงแหวนที่มีคุณสมบัติ "วนกลับมาโดยตรง" สู่องค์ประกอบของตัวมันเอง (ในแง่ของความเท่าเทียมกัน ) ^{[ 14 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต กำลังสูงทั้งหมดของจำนวนเต็มพีชคณิตสามารถเขียนได้เป็นผลรวมเชิงอินทิกรัลของชุดกำลังที่ต่ำกว่าที่กำหนดไว้ และด้วยเหตุนี้กำลังจึง "วนกลับมา" ตัวอย่างเช่น ถ้าa ³ − 4 a + 1 = 0แล้ว:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

และอื่นๆ โดยทั่วไปแล้วⁿจะเป็นผลรวมเชิงเส้น^{จำนวนเต็ม}ของ1 , aและa2

นิยามเชิงสัจพจน์แรกของวงแหวนถูกกำหนดโดยAbraham Fraenkelในปี 1915 ^{[ 15 ] [ 16 ]}แต่สัจพจน์ของเขานั้นเข้มงวดกว่าในนิยามสมัยใหม่ ตัวอย่างเช่น เขาต้องการให้ตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ ทุกตัว มีตัวผกผันการคูณ [ ^{17 ] ใน}ปี 1921 Emmy Noetherได้ให้นิยามเชิงสัจพจน์สมัยใหม่ของวงแหวนสลับที่ (ทั้งแบบมีและไม่มี 1) และพัฒนาพื้นฐานของทฤษฎีวงแหวนสลับที่ในบทความ Idealtheorie in Ringbereichen ของเธอ ^{[ 18 ]}

Fraenkel ใช้คำว่า "วงแหวน" กับโครงสร้างที่มีสัจพจน์ซึ่งรวมถึงเอกลักษณ์การคูณ^{[ 19 ]}ในขณะที่ Noether ใช้กับโครงสร้างที่ไม่มีสัจพจน์ดังกล่าว^{[ 18 ]}

หนังสือส่วนใหญ่หรือทั้งหมดเกี่ยวกับพีชคณิต^{[ 20 ] [ 21 ]}จนถึงราวปี 1960 ปฏิบัติตามธรรมเนียมของ Noether ที่ไม่กำหนดให้ต้องมี1สำหรับ "ริง" เริ่มตั้งแต่ช่วงปี 1960 เป็นต้นมา การที่หนังสือต่างๆ ระบุถึงการมีอยู่ของ1ในนิยามของ "ริง" กลายเป็นเรื่องปกติมากขึ้น โดยเฉพาะในหนังสือขั้นสูงจากผู้เขียนที่มีชื่อเสียง เช่น Artin ^{[ 22 ]} Bourbaki ^{[ 23 ]} Eisenbud ^{[ 24 ]}และ Lang ^{[ 3 ]}นอกจากนี้ยังมีหนังสือที่ตีพิมพ์จนถึงปี 2022 ที่ใช้คำนี้โดยไม่ต้องกำหนดให้ต้องมี1 [ ^{25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] ใน} ทำนอง เดียวกันสารานุกรมคณิตศาสตร์ก็ไม่กำหนดให้ต้องมีองค์ประกอบหน่วยในริง^{[ 29 ]}ในบทความวิจัย ผู้เขียนมักจะระบุนิยามของริงที่พวกเขาใช้ในตอนต้นของบทความนั้น

การ์ดเนอร์และวีแกนด์ยืนยันว่า เมื่อจัดการกับวัตถุหลายชิ้นในหมวดหมู่ของวงแหวน (ตรงข้ามกับการทำงานกับวงแหวนคงที่) หากต้องการให้วงแหวนทั้งหมดมี1ผลที่ตามมาบางประการ ได้แก่ การไม่มีอยู่ของผลรวมโดยตรงอนันต์ของวงแหวน และผลรวมโดยตรงที่เหมาะสมของวงแหวนไม่ใช่ซับริง พวกเขาสรุปว่า "ในหลายสาขา อาจจะส่วนใหญ่ ของทฤษฎีวงแหวน ข้อกำหนดของการมีอยู่ขององค์ประกอบเอกลักษณ์นั้นไม่สมเหตุสมผล และดังนั้นจึงยอมรับไม่ได้" ^{[ 30 ]}ปูเนนโต้แย้งว่าแนวคิดที่เป็นธรรมชาติสำหรับวงแหวนจะเป็นผลคูณโดยตรงมากกว่าผลรวมโดยตรง อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งหลักของเขาคือวงแหวนที่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณนั้นไม่สามารถเชื่อมโยงได้อย่างสมบูรณ์ ในแง่ที่ว่าวงแหวนเหล่านั้นไม่มีผลคูณของลำดับจำกัดใด ๆ ขององค์ประกอบวงแหวน รวมถึงลำดับว่าง^{[ c ] [ 31 ]}

ผู้เขียนที่ปฏิบัติตามธรรมเนียมใดธรรมเนียมหนึ่งในการใช้คำว่า "แหวน" อาจใช้คำใดคำหนึ่งต่อไปนี้เพื่ออ้างถึงวัตถุที่ตรงตามธรรมเนียมอีกแบบหนึ่ง:

• เพื่อรวมข้อกำหนดสำหรับเอกลักษณ์การคูณ: "วงแหวนเอกลักษณ์", "วงแหวนหน่วย", "วงแหวนหน่วย", "วงแหวนที่มีเอกลักษณ์", "วงแหวนที่มีเอกลักษณ์", "วงแหวนที่มีหน่วย", ^{[ 32 ]}หรือ "วงแหวนที่มี 1" ^{[ 33 ]}
• เพื่อละเว้นข้อกำหนดสำหรับเอกลักษณ์การคูณ: "rng" ^{[ 34 ]}หรือ "วงแหวนเทียม" ^{[ 35 ]}แม้ว่าอย่างหลังอาจทำให้สับสนได้เพราะมันมีความหมายอื่นอีกด้วย

• ตัวอย่างต้นแบบคือวงแหวนของจำนวนเต็มที่มีการดำเนินการสองอย่างคือการบวกและการคูณ
• จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน เป็นวงแหวนสลับที่ประเภทหนึ่งที่เรียกว่าฟิลด์
• พีชคณิต สมาคมเอกลักษณ์เหนือวงแหวนสลับที่Rนั้นเป็นทั้งวงแหวนและโมดูลRด้วย ตัวอย่างบางส่วน:
  • พีชคณิตR [ X ]ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในR
  • พีชคณิต${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$ของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมที่มีสัมประสิทธิ์ในR
  • เซตของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง ทั้งหมด ที่นิยามบนเส้นจำนวนจริงนั้นก่อให้เกิดเซตสลับที่ได้${\displaystyle \mathbb {R} }$-พีชคณิต การดำเนินการคือการบวกและการคูณฟังก์ชันแบบจุดต่อจุด
  • ให้Xเป็นเซต และให้Rเป็นริง เซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากXไปยังRจะประกอบกันเป็นริง ซึ่งจะเป็นริงสลับที่ได้ ถ้าRเป็นริงสลับที่ได้
• วงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองการปิดเชิงอินทิกรัลของ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ในส่วนขยายกำลังสองของ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$มันเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตทั้งหมด
• วงแหวนของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ผล คูณ (อนันต์) ของวงแหวนของจำนวนเต็ม p - adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$เหนือจำนวนเฉพาะ pทั้งหมด
• วงแหวนเฮคเค (Hecke ring ) คือวงแหวนที่สร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการเฮคเค (Hecke operators)
• ถ้าSเป็นเซตเซตกำลังของSจะกลายเป็นริง ถ้าเรากำหนดให้การบวกเป็นการลบสมมาตรของเซต และการคูณเป็นการหาจุดตัดนี่คือตัวอย่างหนึ่งของริงบูลีน

• สำหรับริงR ใดๆ และจำนวนธรรมชาติn ใดๆ เซตของเมทริกซ์ จัตุรัสขนาด n x n ทั้งหมด ที่มีสมาชิกอยู่ในRจะก่อให้เกิดริงที่มีการบวกเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์เป็นตัวดำเนินการ สำหรับn = 1ริงเมทริกซ์นี้จะสมสัณฐานกับRเอง สำหรับn > 1 (และRไม่ใช่ริงศูนย์) ริงเมทริกซ์นี้จะไม่สลับที่กัน
• ถ้าGเป็นกลุ่มอาเบเลียนแล้วเอนโดมอร์ฟิ ซึม ของGจะก่อตัวเป็นวงแหวน ซึ่งเรียกว่าวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมEnd( G )ของGการดำเนินการในวงแหวนนี้คือการบวกและการประกอบของเอนโดมอร์ฟิซึม โดยทั่วไปแล้ว ถ้าVเป็นโมดูลซ้ายเหนือวงแหวนRแล้ว เซตของ แผนที่เชิงเส้น R ทั้งหมดจะก่อตัว เป็นวงแหวนเช่นกัน เรียกว่าวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม และเขียนแทนด้วยEndR ( ) 
• วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งวงรีจะเป็นวงแหวนสลับที่ได้ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งวงรีนั้นถูกนิยามบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์
• ถ้าGเป็นกลุ่มและRเป็นวงแหวนกลุ่มวงแหวนของGเหนือRคือโมดูลอิสระเหนือRโดยมีGเป็นฐาน การคูณถูกกำหนดโดยกฎที่ว่า สมาชิกของGสลับที่กับสมาชิกของR และคูณกันได้เหมือนกับที่เกิดขึ้น ในกลุ่มG
• วงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (ขึ้นอยู่กับบริบท) อันที่จริง วงแหวนหลายวงที่ปรากฏในวิเคราะห์นั้นเป็นแบบไม่สลับที่ ตัวอย่างเช่นพีชคณิตบานาค ส่วนใหญ่ เป็นแบบไม่สลับที่

• เซตของจำนวนธรรมชาติ${\displaystyle \mathbb {N} }$ด้วยการดำเนินการตามปกติ จึงไม่ใช่วงแหวนเนื่องจาก${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$มันไม่ใช่กลุ่ม ด้วยซ้ำ (ไม่ใช่ทุกสมาชิกจะผกผันได้เมื่อบวกกัน – ตัวอย่างเช่น ไม่มีจำนวนธรรมชาติใดที่บวกกับ 3แล้วได้ ผลลัพธ์เป็น 0 ) มีวิธีธรรมชาติที่จะขยายมันให้เป็นวงแหวนได้ โดยการรวมจำนวนลบเข้าไปเพื่อสร้างวงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} .}$จำนวนธรรมชาติ (รวมถึง 0 )ก่อให้เกิดโครงสร้างทางพีชคณิตที่เรียกว่าเซมิริง (ซึ่งมีสัจพจน์ทั้งหมดของริง ยกเว้นสัจพจน์ของตัวผกผันการบวก)
• ให้Rเป็นเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดบนเส้นจำนวนจริงที่หายไปนอกช่วงจำกัดที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันนั้น โดยใช้การบวกตามปกติ แต่การคูณถูกกำหนดให้เป็นการสังเคราะห์(convolution )$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$ดังนั้นRจึงเป็น rng แต่ไม่ใช่ริง: ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกมีคุณสมบัติของเอกลักษณ์การคูณ แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่สมาชิกของR 

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn แต่ละจำนวน เมื่อกำหนดลำดับ⁠${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$สำหรับ องค์ประกอบ nตัวของ Rเราสามารถกำหนดผลคูณได้ดังนี้${\displaystyle \textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$⁠แบบเรียกซ้ำ: ให้ P = 1และให้P m P m m 1 ≤ m ≤ n

ในกรณีพิเศษ เราสามารถกำหนดกำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของสมาชิกaในริงได้ดังนี้: a ⁰ = 1และa ⁿ = a ^{n −1} aสำหรับn ≥ 1จากนั้นa ^{m + n} = a ^m a ⁿสำหรับทุกm , n ≥ 0

ตัวหารศูนย์ซ้ายของริงRคือสมาชิกaในริงซึ่งมีสมาชิกb ที่ไม่ใช่ศูนย์ ของR อยู่จริง โดยที่ab = 0 [ ^{d ] ตัว}หารศูนย์ขวาถูกนิยามในทำนองเดียวกัน

สมาชิกนิลโพเทนต์คือสมาชิกaที่มีคุณสมบัติว่าa ⁿ = 0สำหรับบางค่าn > 0ตัวอย่างหนึ่งของสมาชิกนิลโพเทนต์คือเมทริกซ์นิลโพ เทน ต์ สมาชิกนิลโพเทนต์ในริงที่ไม่เป็นศูนย์จะต้องเป็นตัวหารศูนย์เสมอ

ไอเดมโพเทนต์${\displaystyle e}$^e²คือองค์ประกอบที่e² = eตัวอย่างหนึ่งขององค์ประกอบเอกลักษณ์คือการฉายภาพในพีชคณิตเชิงเส้น

หน่วย ( unit)คือสมาชิกaที่มีตัวผกผันการคูณในกรณีนี้ ตัวผกผันมีเพียงตัวเดียว และใช้สัญลักษณ์a ^–1 แทน เซตของหน่วยในริงเรียกว่ากลุ่มภายใต้การคูณริง กลุ่มนี้ใช้สัญลักษณ์R ^×หรือR *หรือU ( R )แทน ตัวอย่างเช่น ถ้าRคือริงของเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn ทั้งหมด เหนือฟิลด์หนึ่งR ^×จะประกอบด้วยเซตของเมทริกซ์ผกผันได้ขนาดn ทั้งหมด และเรียกว่ากลุ่มเชิงเส้นทั่วไป (general linear group )

เซตย่อยSของRเรียกว่าซับริงถ้าเงื่อนไขสมมูลอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

• การบวกและการคูณของR จำกัดให้เหลือเพียงการดำเนินการS × S → S ทำให้ S เป็นริงที่มีเอกลักษณ์การคูณเช่นเดียวกับR 
• 1 ∈ S ; และสำหรับทุกx, yในS สมาชิก xy , x + y และ −x อยู่ในS 
• Sสามารถถูกกำหนดให้มีการดำเนินการที่ทำให้มันเป็นริงได้ โดยที่แผนที่การรวมS → Rเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง

ตัวอย่างเช่น แหวน${\displaystyle \mathbb {Z} }$ของ จำนวนเต็มเป็นวงแหวนย่อยของฟิลด์จำนวนจริง และยังเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนพหุนามด้วย${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$(ในทั้งสองกรณี )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ประกอบด้วย  1 ซึ่งเป็นเอกลักษณ์การคูณของวงแหวนขนาดใหญ่กว่า) ในทางกลับกัน เซตย่อยของจำนวนเต็มคู่${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ไม่ประกอบด้วยองค์ประกอบเอกลักษณ์ 1ดังนั้นจึงไม่เข้าเกณฑ์เป็นวงแหวนย่อยของ ${\displaystyle \mathbb {Z}$ ;} ⁠อาจเรียกได้ว่า ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$อย่างไรก็ตามเป็นซับริง ( subrng

จุดตัดของวงย่อยต่างๆ เรียกว่า วงย่อย เมื่อกำหนดเซตย่อยE ของ R วงย่อยที่เล็กที่สุดของRที่บรรจุEคือ จุดตัดของวงย่อยทั้งหมดของRที่บรรจุEและเรียกว่าวงย่อยที่สร้างขึ้นโดยE  

สำหรับริงRซับริงที่เล็กที่สุดของRเรียกว่าซับริงลักษณะเฉพาะของRสามารถสร้างได้โดยการบวกเลข1และ−1 ซ้ำกัน เป็นไปได้ที่n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( nครั้ง) จะเป็นศูนย์ ถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดที่ทำให้เกิดกรณีนี้ได้nจะเรียกว่าลักษณะเฉพาะของRในบางริงn · 1จะไม่เป็นศูนย์สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ และริงเหล่านั้นจะมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์  

กำหนดให้ริงR หนึ่งๆ ให้Z( R )แทนเซตของสมาชิกx ทั้งหมด ในRซึ่งxสลับที่ได้กับสมาชิกทุกตัวในRกล่าวคือxy = yxสำหรับy ใดๆ ในRแล้วZ( R )เป็นซับริงของRเรียกว่าเซ็นเตอร์ของRโดยทั่วไปแล้ว กำหนดให้เซตย่อยXของRให้Sเป็นเซตของสมาชิกทั้งหมดในRที่สลับที่ได้กับสมาชิกทุกตัวในXแล้วSเป็นซับริงของRเรียกว่าเซนทริไลเซอร์ (หรือคอมมิวแทนต์) ของXเซ็นเตอร์เป็นเซนทริไลเซอร์ของริงR ทั้งหมด สมาชิกหรือเซตย่อยของเซ็นเตอร์เรียกว่าเซ็นทรัลในRพวกมัน (แต่ละตัว) สร้างซับริงของเซ็นเตอร์ได้         

ให้Rเป็นริงไอเดียลซ้ายของRคือเซตย่อยI ที่ไม่ว่าง ของRโดยที่สำหรับx, y ใดๆ ในIและr ใดๆ ในRสมาชิกx + yและrxจะอยู่ในIให้RIแทนR -span ของIนั่นคือเซตของผลรวมจำกัด

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I;}$

ดังนั้นIจึงเป็นไอเดียลซ้ายถ้าRI ⊆ Iในทำนองเดียวกันไอเดียลขวาคือเซตย่อยIที่IR ⊆ Iเซตย่อยIเรียกว่าไอเดียลสองด้านหรือไอเดีย ลธรรมดา ถ้ามันเป็นทั้งไอเดียลซ้ายและไอเดียลขวา ไอเดียลด้านเดียวหรือสองด้านจึงเป็นกลุ่มย่อยแบบบวกของRถ้าEเป็นเซตย่อยของRแล้วREเป็นไอเดียลซ้าย เรียกว่าไอเดียลซ้ายที่สร้างโดยEมันเป็นไอเดียลซ้ายที่เล็กที่สุดที่บรรจุEในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาไอเดียลขวาหรือไอเดียลสองด้านที่สร้างโดยเซตย่อยของRได้

ถ้าxอยู่ในRแล้วRxเป็นไอเดียลซ้าย และxRเป็นไอเดียลขวา ไอเดียลเหล่านี้เรียกว่าไอเดียลซ้ายและไอเดียลขวาหลัก ที่สร้างโดย xไอเดียลหลักRxRเขียนได้เป็น( x )ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนบวกและลบทั้งหมดที่เป็นผลคูณของ2พร้อมกับ0ก่อให้เกิดไอเดียลของจำนวนเต็ม และไอเดียลนี้สร้างขึ้นโดยจำนวนเต็ม2ในความเป็นจริง ไอเดียลทุกอันของวงแหวนของจำนวนเต็มเป็นไอเดียลหลัก 

ริงเรียกว่าริงเรียบง่าย (simple ring ) ถ้าเป็นริงที่ไม่ใช่ศูนย์และไม่มีไอเดียลสองด้านที่ไม่ใช่ศูนย์ที่แท้จริง ริงเรียบง่ายแบบสลับที่ได้ (commutative simple ring) ก็คือฟิลด์ (field) นั่นเอง

โดยทั่วไปแล้ว เรามักศึกษาเรื่องวงแหวนโดยกำหนดเงื่อนไขพิเศษให้กับไอเดียลของวงแหวนนั้น ตัวอย่างเช่น วงแหวนที่ไม่มีลำดับอนันต์ที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดของไอเดียลซ้ายเรียกว่าวงแหวนโนเธอร์เรียนซ้าย ส่วนวงแหวนที่ไม่มีลำดับอนันต์ที่ลดลงอย่างเคร่งครัดของไอเดียลซ้ายเรียกว่าวงแหวนอาร์ทิเนียน ซ้าย เป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจอยู่บ้างที่วงแหวนอาร์ทิเนียนซ้ายเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนซ้ายด้วย ( ทฤษฎีบทฮอปกินส์-เลวิตซ์กี้ ) อย่างไรก็ตาม จำนวนเต็มนั้นก่อให้เกิดวงแหวนโนเธอร์เรียนซึ่งไม่ใช่วงแหวนอาร์ทิเนียน

สำหรับริงสลับที่ ไอเดียลจะขยายแนวคิดคลาสสิกเรื่องการหารลงตัวและการแยกจำนวนเต็มออกเป็นจำนวนเฉพาะในพีชคณิต ไอเดียลแท้PของRเรียกว่าไอเดียลเฉพาะถ้าสำหรับสมาชิกใดๆ${\displaystyle x,y\in R}$เรามีสิ่งนั้น${\displaystyle xy\in P}$หมายความว่าอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle x\in P}$หรือ${\displaystyle y\in P.}$ในทำนองเดียวกันPเป็นจำนวนเฉพาะ ถ้าสำหรับไอเดียล IและJ ใดๆ เรามีว่าIJ ⊆ Pหมายความว่าI ⊆ PหรือJ ⊆ Pสูตรหลังนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิดของไอเดียลในฐานะที่เป็นการวางนัยทั่วไปขององค์ประกอบต่างๆ

โฮโมมอร์ฟิซึมจากริง( R , +, ⋅ )ไปยังริง( S , ‡, ∗)คือฟังก์ชันfจากRไปยังSที่รักษาการดำเนินการของริงไว้ กล่าวคือ สำหรับทุกa , bในRเอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง: 

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

หากทำงานกับตัวสร้างเลขสุ่ม (RNG)เงื่อนไขข้อที่สามจะถูกละทิ้งไป

กล่าวได้ว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของริงf เป็น ไอโซมอร์ฟิซึมถ้ามีโฮโมมอร์ฟิซึมผกผันของf (นั่นคือ โฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่เป็นฟังก์ชันผกผัน ) หรือเทียบเท่ากับถ้าเป็น ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ตัวอย่าง:

• ฟังก์ชันที่แปลงจำนวนเต็มx แต่ละตัว ให้เป็นเศษเหลือมอดูล4 (ซึ่งเป็นจำนวนใน{0, 1, 2, 3} ) เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากริง⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ไปยังวงแหวนผลหาร${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$( "วงแหวนผลหาร" มีคำจำกัดความอยู่ด้านล่าง)
• ถ้าuเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ในริงRแล้ว${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน ซึ่งเรียกว่าออโตมอร์ฟิซึมภายในของR
• ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะpแล้วx ↦ x ^pเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของวงแหวนRซึ่งเรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุส
• กลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายฟิลด์L / Kคือเซตของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของLซึ่งการจำกัดของพวกมันบนKคือเอกลักษณ์
• สำหรับวงแหวนR ใดๆ จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$และมีโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว${\displaystyle R\to 0}$⁠ .
• โฮโมมอร์ฟิซึม ของพีชคณิตจาก พีชคณิต kไปยังพีชคณิตเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เหนือkเรียกว่าการแทนของพีชคณิต

กำหนดให้f  : R → Sเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง เซตของสมาชิกทั้งหมดที่ถูกแมปไปยัง 0 โดยfเรียกว่าเคอร์เนลของfเคอร์เนลเป็นไอเดียลสองด้านของR ในทางกลับกัน ภาพของfไม่จำเป็นต้องเป็นไอเดียลเสมอไป แต่จะเป็นซับริงของS เสมอ    

การให้โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากวงแหวนสลับที่RไปยังวงแหวนAที่มีภาพบรรจุอยู่ในศูนย์กลางของAนั้นเหมือนกับการให้โครงสร้างของพีชคณิตเหนือRไปยังA (ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะให้โครงสร้างของA-โมดูล) 

แนวคิดของวงแหวนผลหารนั้นคล้ายคลึงกับแนวคิดของกลุ่มผลหารกำหนดให้วงแหวน( R , +, ⋅ ) และ อุดมคติ สองด้านIของ( R , +, ⋅ )ให้มองIเป็นกลุ่มย่อยของ( R , +)แล้ววงแหวนผลหารR / IคือเซตของโคเซตของIพร้อมด้วยการดำเนินการ

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

สำหรับทุกค่าaและbในRวงแหวนR / Iยังเรียกว่าวงแหวนแฟกเตอร์ด้วย

เช่นเดียวกับกลุ่มผลหาร มีฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกp  : R → R / Iซึ่งกำหนดโดยx ↦ x + Iฟังก์ชันนี้เป็นการส่งทั่วถึงและมีคุณสมบัติสากลดังต่อไปนี้:

• ถ้าf  : R → Sเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง โดยที่f ( I ) = 0แล้วจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมเพียงหนึ่งเดียว${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$โดยที่${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

สำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมของริงใดๆf  : R → Sการใช้คุณสมบัติสากลด้วยI = ker fจะสร้างโฮโมมอร์ฟิซึมขึ้นมา${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$ซึ่งให้ไอโซมอร์ฟิซึมจากR / ker fไปยังภาพของf

Let R and S be rings. Then the productR × S can be equipped with the following natural ring structure:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

for all r, r in R and s, s in S. The ring R × S with the above operations of addition and multiplication and the multiplicative identity (1, 1) is called the direct product of R with S. The same construction also works for an arbitrary family of rings: if R are rings indexed by a set I, then ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$ is a ring with componentwise addition and multiplication.

Let R be a commutative ring and ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$ be ideals such that ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$ whenever i ≠ j. Then the Chinese remainder theorem says there is a canonical ring isomorphism: $${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

A "finite" direct product may also be viewed as a direct sum of ideals.^[36] Namely, let ${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$ be rings, ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ the inclusions with the images ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ (in particular ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ are rings though not subrings). Then ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ are ideals of R and $${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$ as a direct sum of abelian groups (because for abelian groups finite products are the same as direct sums). Clearly the direct sum of such ideals also defines a product of rings that is isomorphic to R. Equivalently, the above can be done through central idempotents. Assume that R has the above decomposition. Then we can write $${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$ By the conditions on ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$มีว่าe เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ส่วนกลาง และe e = 0 , i ≠ j (ตั้งฉากกัน) อีกครั้ง เราสามารถย้อนกลับการสร้างได้ กล่าวคือ ถ้าเราได้รับพาร์ทิชันของ 1 ในตัวประกอบเอกลักษณ์ส่วนกลางที่ตั้งฉากกัน แล้วให้${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$ซึ่งเป็นอุดมคติสองด้าน ถ้าe แต่ละอัน ไม่ใช่ผลรวมของตัวประกอบเอกลักษณ์กลางเชิงตั้งฉาก^{[ e ]} แล้วผล รวมโดยตรงของพวกมันจะสมสัณฐานกับR 

การประยุกต์ใช้ที่สำคัญอย่างหนึ่งของผลคูณโดยตรงอนันต์คือการสร้างลิมิตเชิงโปรเจคทีฟของวงแหวน (ดูด้านล่าง) การประยุกต์ใช้อีกอย่างหนึ่งคือผลคูณแบบจำกัดของตระกูลวงแหวน (ดูวงแหวนอะเดล )

กำหนดให้สัญลักษณ์t (เรียกว่าตัวแปร) และวงแหวนสลับที่Rเซตของพหุนาม 

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

ก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ที่มีการบวกและการคูณตามปกติ โดยมีRเป็นวงแหวนย่อย เรียกว่าวงแหวนพหุนามเหนือRโดยทั่วไปแล้ว เซต ${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$ของพหุนามทั้งหมดในตัวแปร${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ซึ่งประกอบด้วย${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$ในฐานะซับริง

ถ้าRเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลแล้วR [ t ]ก็เป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลเช่นกัน ฟิลด์เศษส่วนของมันคือฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะถ้าRเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนแล้วR [ t ]ก็เป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน ถ้าRเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะแล้วR [ t ]ก็เป็นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะเช่นกัน สุดท้ายRเป็นฟิลด์ก็ต่อเมื่อR [ t ]เป็นโดเมนอุดมคติหลัก

อนุญาต${\displaystyle R\subseteq S}$เป็นวงแหวนสลับที่ได้ เมื่อกำหนดสมาชิกxของSแล้ว เราสามารถพิจารณาโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนได้ 

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(นั่นคือการแทนที่ ) ถ้าS = R [ t ]และx = tแล้วf ( t ) = fเนื่องจากเหตุนี้ พหุนามfจึงมักถูกแทนด้วยf ( t ) เช่นกัน ภาพของแผนที่⁠${\displaystyle f\mapsto f(x)}$⁠ถูกกำหนดโดย R [ x ] ; ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกันกับวงแหวนย่อยของ S ที่สร้าง ขึ้นโดย Rและ x 

ตัวอย่าง:${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$ denotes the image of the homomorphism

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

In other words, it is the subalgebra of k[t] generated by t² and t³.

Example: let f be a polynomial in one variable, that is, an element in a polynomial ring R. Then f(x + h) is an element in R[h] and f(x + h) – f(x) is divisible by h in that ring. The result of substituting zero to h in (f(x + h) – f(x)) / h is f' (x), the derivative of f at x.

The substitution is a special case of the universal property of a polynomial ring. The property states: given a ring homomorphism ${\displaystyle \phi :R\to S}$ and an element x in S there exists a unique ring homomorphism ${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$ such that ${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$ and ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$ restricts to ϕ.^[37] For example, choosing a basis, a symmetric algebra satisfies the universal property and so is a polynomial ring.

To give an example, let S be the ring of all functions from R to itself; the addition and the multiplication are those of functions. Let x be the identity function. Each r in R defines a constant function, giving rise to the homomorphism R → S. The universal property says that this map extends uniquely to

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

(t maps to x) where ${\displaystyle {\overline {f}}}$ is the polynomial function defined by f. The resulting map is injective if and only if R is infinite.

Given a non-constant monic polynomial f in R[t], there exists a ring S containing R such that f is a product of linear factors in S[t].^[38]

ให้kเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตทฤษฎีบทนัลส์เทลเลนแซทซ์ของฮิลเบิร์ต (ทฤษฎีบทของศูนย์) กล่าวว่า มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติระหว่างเซตของอุดมคติเฉพาะทั้งหมดใน${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$และเซตของส่วนย่อยปิดของk ⁿโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัญหาเฉพาะที่หลายอย่างในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอาจแก้ไขได้โดยการศึกษาตัวสร้างของไอเดียลในวงแหวนพหุนาม (ดูฐานของ Gröbner )

นอกจากนี้ยังมีโครงสร้างอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องอีก เช่นวงแหวนอนุกรมกำลังแบบเป็นทางการ${\displaystyle R[\![t]\!]}$ประกอบด้วยอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

พร้อมกับการคูณและการบวกที่เลียนแบบการคูณและการบวกสำหรับอนุกรมลู่เข้า มันมีR [ t ]เป็นวงแหวนย่อย วงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมไม่มีคุณสมบัติสากลของวงแหวนพหุนาม อนุกรมอาจไม่ลู่เข้าหลังจากการแทนที่ ข้อได้เปรียบที่สำคัญของวงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมเหนือวงแหวนพหุนามคือมันเป็นวงแหวนเฉพาะที่ (อันที่จริงคือสมบูรณ์ )

ให้Rเป็นริง (ไม่จำเป็นต้องเป็นริงสลับที่) เซตของเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn ทั้งหมด ที่มีสมาชิกอยู่ในRจะก่อให้เกิดริงที่มีการบวกแบบสมาชิกต่อสมาชิกและการคูณเมทริกซ์ตามปกติ เรียกว่าริงเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยM ( R ) เมื่อกำหนด โมดูลขวาU ใน R แล้ว เซตของ แผนที่เชิงเส้น ใน R ทั้งหมด จากUไปยังตัวมันเองจะก่อให้เกิดริงที่มีการบวกที่เป็นฟังก์ชันและการคูณที่เป็นการประกอบฟังก์ชันเรียกว่าริงเอนโดมอร์ฟิซึมของUและเขียนแทนด้วยEnd ( U )

เช่นเดียวกับในพีชคณิตเชิงเส้น วงแหวนเมทริกซ์สามารถตีความได้อย่างเป็นทางการว่าเป็นวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม:${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$นี่เป็นกรณีพิเศษของข้อเท็จจริงต่อไปนี้: ถ้า${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$ถ้า f เป็น แผนที่เชิงเส้น Rแล้วfอาจเขียนได้เป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิกf ในS = End ( U )ซึ่งส่งผลให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวน:

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

โฮโม มอร์ฟิซึมของวงแหวนใดๆR → Sเหนี่ยวนำให้เกิดM ( R ) → M ( S ) ^{[ 39 ]}

ทฤษฎีบทของ Schurกล่าวว่า ถ้าUเป็นโมดูลR ขวาแบบง่าย End ( U )จะเป็นวงแหวนหาร^{[ 40 ]}ถ้า${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$เป็นผลรวมโดยตรงของ สำเนา m ชุดของโมดูลR แบบง่าย${\displaystyle U_{i},}$แล้ว

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

ทฤษฎีบท Artin –Wedderburnกล่าวว่าวงแหวนกึ่งง่าย ใดๆ (ดูด้านล่าง) จะมีรูปแบบนี้

วงแหวนRและวงแหวนเมทริกซ์M ( R )เหนือวงแหวนR นั้น เทียบเท่ากับโมริตะ : หมวดหมู่ของโมดูลขวาของRเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของโมดูลขวาเหนือM ( R ) ^{[ 39 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อุดมคติสองด้านในR สอดคล้องกัน แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับอุดมคติสองด้านในM ( R )

ให้R เป็นลำดับของวงแหวน โดยที่R เป็นวงแหวนย่อยของR สำหรับทุกiแล้วการรวมกัน (หรือลิมิตร่วมแบบกรอง ) ของR คือวงแหวน${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$นิยามไว้ดังนี้: คือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของR ทั้งหมด โดยพิจารณาความสัมพันธ์สมมูลx ~ yก็ต่อเมื่อx = yในR สำหรับi ที่มีค่ามาก พอ

ตัวอย่างของโคลิมิต:

• วงแหวนพหุนามในตัวแปรจำนวนอนันต์:${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• การปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์จำกัดที่มีลักษณะเฉพาะเดียวกัน${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• ฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิตเหนือฟิลด์kคือ${\displaystyle \varinjlim k[U]}$โดยที่ลิมิตจะครอบคลุมวงแหวนพิกัดk [ U ] ทั้งหมด ของเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างU (กล่าวโดยย่อคือก้านของชีฟโครงสร้างที่จุดทั่วไป )

วงแหวนใดๆ ก็ตาม คือโคลิมิต (การรวมกัน) ที่ผ่านการกรองแล้วของวงแหวนย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด

ลิมิตเชิงโปรเจคทีฟ (หรือลิมิตแบบกรอง ) ของริงส์ถูกนิยามดังนี้ สมมติว่าเรามีกลุ่มของริงส์R , iที่ครอบคลุมจำนวนเต็มบวก และโฮโมมอร์ฟิซึมของริงส์R → R , j ≥ iโดยที่R → R เป็นเอกลักษณ์ทั้งหมด และR → R → R คือR → R เมื่อใดก็ตามที่k ≥ j ≥ iแล้ว${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$คือวงแหวนย่อยของ${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$ประกอบด้วย( x )โดยที่x แม ปไปยังx ภายใต้R → R , j ≥ i

สำหรับตัวอย่างของลิมิตเชิงโปรเจคทีฟ โปรดดู ที่ หัวข้อ §  การทำให้สมบูรณ์

การกำหนดตำแหน่งนี้เป็นการขยายการสร้างฟิลด์เศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็มไปยังวงแหวนและโมดูลใดๆ เมื่อกำหนดวงแหวนR (ไม่จำเป็นต้องเป็นวงแหวนสลับที่) และเซตย่อยSของR แล้ว จะมีวงแหวนอยู่${\displaystyle R[S^{-1}]}$พร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$ที่ "กลับด้าน" Sกล่าวคือ โฮโมมอร์ฟิซึมจะแมปองค์ประกอบในSไปยังองค์ประกอบเอกลักษณ์ใน${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$และยิ่งไปกว่านั้น โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนใดๆ จากRที่ "ผกผัน" Sจะสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันผ่านทาง${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$^{[ 41 ]}แหวน${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$เรียกว่าการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของRเทียบกับSตัวอย่างเช่น ถ้าRเป็นวงแหวนสลับที่ และfเป็นสมาชิกในRการหาตำแหน่งเฉพาะที่ก็คือ${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$ประกอบด้วยองค์ประกอบในรูปแบบ${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$(กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น)${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$) ^{[ 42 ]}

การหาตำแหน่งเฉพาะที่มักนำไปใช้กับวงแหวนสลับที่Rโดยสัมพันธ์กับส่วนเติมเต็มของอุดมคติเฉพาะ (หรือการรวมกันของอุดมคติเฉพาะ) ในRในกรณีนั้น ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$คนหนึ่งมักเขียน${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$สำหรับ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ดังนั้นจึงเป็นวงแหวนท้องถิ่นที่มีอุดมคติสูงสุด${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$นี่คือเหตุผลของการใช้ศัพท์เฉพาะว่า "การหาตำแหน่งเฉพาะที่" (localization) ฟิลด์ของเศษส่วนของโดเมนเชิงปริพันธ์Rคือการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของRณ จุดศูนย์ของอุดมคติเฉพาะ ถ้า${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ถ้า เป็นอุดมคติเฉพาะของวงแหวนสลับที่Rแล้ว ฟิลด์เศษส่วนของ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$เหมือนกับสนามตกค้างของวงแหวนเฉพาะที่${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$และมีสัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

ถ้าMเป็น โมดูล R ซ้าย การหาโลคัลไลเซชันของMเทียบกับSจะได้จากการเปลี่ยนวงแหวน${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของการหาตำแหน่งที่แน่นอนมีดังต่อไปนี้: เมื่อRเป็นวงแหวนสลับที่ และSเป็นเซตย่อยที่ปิดแบบทวีคูณ

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตของไอเดียลเฉพาะทั้งหมดในRที่ไม่ซ้อนทับกับSและเซตของไอเดียลเฉพาะทั้งหมดใน${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$^{[ 43 ]}
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$fวิ่งผ่านองค์ประกอบในSโดยมีลำดับบางส่วนที่กำหนดโดยการหารลงตัว^{[ 44 ]}
• ตำแหน่งที่ตั้งถูกต้องแม่นยำ:$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$แม่นยำกว่า${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$แม่นยำเหนือR 
• ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$แม่นยำสำหรับอุดมคติสูงสุดใดๆ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$แล้ว${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ถูกต้องแม่นยำ
• ข้อสังเกต: การกำหนดตำแหน่งเฉพาะที่ไม่ได้ช่วยในการพิสูจน์การมีอยู่ทั่วโลก ตัวอย่างหนึ่งคือ ถ้าโมดูลสองโมดูลสมมาตรกันที่อุดมคติเฉพาะทั้งหมด ก็ไม่ได้หมายความว่าโมดูลทั้งสองจะสมมาตรกันเสมอไป (วิธีหนึ่งที่จะอธิบายเรื่องนี้คือ การกำหนดตำแหน่งเฉพาะที่ทำให้เรามองโมดูลเป็นชีฟเหนืออุดมคติเฉพาะ และชีฟเป็นแนวคิดเฉพาะที่โดยเนื้อแท้)

ในทฤษฎีหมวดหมู่ การ ทำให้หมวดหมู่เป็นแบบโลคัลไลเซชันหมายถึงการทำให้มอร์ฟิซึมบางตัวเป็นไอโซมอร์ฟิซึม สมาชิกในวงแหวนสลับที่Rอาจถูกมองว่าเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของ โมดูล R ใดๆ ดังนั้น ในเชิงหมวดหมู่ การทำให้R เป็นแบบโลคัลไลเซชัน โดยสัมพันธ์กับเซตย่อยSของRคือฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของ โมดูล Rไปยังตัวมันเอง ซึ่งส่งสมาชิกของSที่มองว่าเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมไปยังออโตมอร์ฟิซึม และเป็นสากลโดยสัมพันธ์กับคุณสมบัตินี้ (แน่นอนว่าRจะถูกแมปไปยัง S ด้วยเช่นกัน)${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$และโมดูลR แมปไปยัง${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$-โมดูล)

ให้Rเป็นริงสลับที่ และให้Iเป็นไอเดียลของRการเติมเต็มของRที่Iคือลิมิตเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$เป็นวงแหวนสลับที่ได้ โฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกจากRไปยังผลหาร${\displaystyle R/I^{n}}$เหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$โฮโมมอร์ฟิซึมตัวหลังนี้เป็นแบบฉีดได้ ถ้าRเป็นโดเมนอินทิกรัลแบบโนเธอร์เรียน และIเป็นอุดมคติที่เหมาะสม หรือถ้าRเป็นวงแหวนเฉพาะที่แบบโนเธอร์เรียนที่มีอุดมคติสูงสุดIตามทฤษฎีบทการตัดกันของ Krull ^{[ 45 ]}การสร้างนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อIเป็นอุดมคติสูงสุด

ตัวอย่างพื้นฐานคือการทำให้เสร็จสมบูรณ์ของ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ที่อุดมคติหลัก ( p )ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนเฉพาะ pเรียกว่าวงแหวนของจำนวนเต็มp -adic และใช้สัญลักษณ์ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ในกรณีนี้ ความสมบูรณ์สามารถสร้างขึ้นได้จากค่าสัมบูรณ์ p- adic บน${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ค่าสัมบูรณ์ p - adic บน${\displaystyle \mathbb {Q} }$เป็นแผนที่${\displaystyle x\mapsto |x|}$จาก⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ถึง​​${\displaystyle \mathbb {R} }$มอบให้โดย${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$ที่ไหน${\displaystyle v_{p}(n)}$หมายถึงเลขชี้กำลังของpในการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์nออกเป็นจำนวนเฉพาะ (เรายังใส่ อีกด้วย)${\displaystyle |0|_{p}=0}$และ${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$) มันกำหนดฟังก์ชันระยะทางบน⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$และการเสร็จสิ้นของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$เนื่องจากปริภูมิเมตริกถูกแสดงด้วย⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$นับเป็นพื้นที่ปฏิบัติงานอีกครั้ง เนื่องจากกระบวนการปฏิบัติงานภาคสนามขยายไปจนถึงการเสร็จสิ้น วงแหวนย่อยของ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$โครงสร้างที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ xโดยที่ | x | ≤ 1นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$⁠

ในทำนองเดียวกัน วงแหวนอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการR [{[ t ]}]คือการเติมเต็มของR [ t ]ที่( t ) (ดูทฤษฎีบทของเฮนเซล ด้วย )

วงแหวนสมบูรณ์มีโครงสร้างที่เรียบง่ายกว่าวงแหวนสลับที่มาก นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทโครงสร้างของโคเฮนซึ่งกล่าวโดยคร่าว ๆ ว่า วงแหวนเฉพาะที่สมบูรณ์มักจะมีลักษณะคล้ายกับวงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม หรือผลหารของวงแหวนนั้น ในทางกลับกัน ปฏิสัมพันธ์ระหว่างการปิดเชิงปริพันธ์และการทำให้สมบูรณ์เป็นหนึ่งในแง่มุมที่สำคัญที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีวงแหวนสลับที่สมัยใหม่แตกต่างจากทฤษฎีคลาสสิกที่พัฒนาโดยนักวิทยาศาสตร์อย่างโนเธอร์ ตัวอย่างที่ผิดปกติที่พบโดยนากาตะนำไปสู่การทบทวนบทบาทของวงแหวนแบบโนเธอร์ และเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการนิยามวงแหวนที่ยอดเยี่ยม เป็นต้น

วิธีทั่วไปที่สุดในการสร้างวงแหวนคือการระบุตัวสร้างและความสัมพันธ์ ให้Fเป็นวงแหวนอิสระ (นั่นคือพีชคณิตอิสระเหนือจำนวนเต็ม) โดยมีเซตXของสัญลักษณ์ นั่นคือFประกอบด้วยพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในตัวแปรที่ไม่สลับที่กันซึ่งเป็นองค์ประกอบของXวงแหวนอิสระมีคุณสมบัติสากล: ฟังก์ชันใดๆ จากเซตXไปยังวงแหวนRสามารถแยกตัวประกอบผ่านF ได้ ดังนั้นF → Rจึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่ไม่ซ้ำกัน เช่นเดียวกับในกรณีของกลุ่ม ทุกวงแหวนสามารถแสดงเป็นผลหารของวงแหวนอิสระได้^{[ 46 ]}

ตอนนี้ เราสามารถกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างสัญลักษณ์ในX ได้ โดยการหาร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าEเป็นเซตย่อยของFแล้ว วงแหวนผลหารของFโดยอุดมคติที่สร้างโดยEเรียกว่าวงแหวนที่มีตัวสร้างXและความสัมพันธ์Eถ้าเราใช้วงแหวน เช่นAเป็นวงแหวนฐานแทน⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ดังนั้นวงแหวนที่ได้จะอยู่เหนือ Aตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$ดังนั้นวงแหวนที่ได้จะเป็นวงแหวนพหุนามปกติที่มีสัมประสิทธิ์ในAในตัวแปรที่เป็นองค์ประกอบของX (ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกันกับพีชคณิตสมมาตรเหนือAที่มีสัญลักษณ์Xนั่นเอง)

ในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่ การก่อตัว${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$คือฟังก์ชันผกผันซ้ายของฟังก์ชันลืมจากหมวดหมู่ของริงไปยังเซต (และมักเรียกว่าฟังก์ชันริงอิสระ)

ให้AและBเป็นพีชคณิตเหนือวงแหวนสลับที่Rแล้วผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลR${\displaystyle A\otimes _{R}B}$เป็น พีชคณิต Rที่มีการคูณซึ่งมีลักษณะเฉพาะโดย${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

วงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งไม่มีตัวหารศูนย์ ที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกว่าโดเมนโดเมนสลับที่ได้ เรียกว่า โดเมนเชิงปริพันธ์โดเมนเชิงปริพันธ์ที่สำคัญที่สุดคือ โดเมนอุดมคติหลัก หรือ PID (Principal Ideal Domain) และฟิลด์ โดเมนอุดมคติหลักคือโดเมนเชิงปริพันธ์ที่อุดมคติทุกตัวเป็นอุดมคติหลัก กลุ่มสำคัญของโดเมนเชิงปริพันธ์ที่ประกอบด้วย PID คือโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ (UFD) ซึ่งเป็นโดเมนเชิงปริพันธ์ที่สมาชิกที่ไม่ใช่หน่วยทุกตัวเป็นผลคูณของสมาชิกเฉพาะ (สมาชิกเป็นเฉพาะถ้ามันสร้างอุดมคติเฉพาะ ) คำถามพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตคือ ขอบเขตที่วงแหวนของจำนวนเต็ม (ทั่วไป)ในฟิลด์จำนวนซึ่ง "อุดมคติ" ยอมรับการแยกตัวประกอบเฉพาะ ล้มเหลวที่จะเป็น PID หรือไม่

ในบรรดาทฤษฎีบทเกี่ยวกับ PID ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดคือทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลักทฤษฎีบทนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยการประยุกต์ใช้กับพีชคณิตเชิงเส้นดังต่อไปนี้^{[ 47 ]}ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์kและf  : V → V เป็น แผนที่เชิงเส้นที่มีพหุนามขั้นต่ำqจากนั้น เนื่องจากk [ t ]เป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันqจึงแยกตัวประกอบเป็นกำลังของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ที่แตกต่างกัน (นั่นคือ องค์ประกอบเฉพาะ): $${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

ให้เช่า${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$เราสร้างVเป็นk [ t ] -โมดูล ทฤษฎีบทโครงสร้างกล่าวว่าVเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลวัฏจักรซึ่งแต่ละโมดูลนั้นสม isomorphic กับโมดูลในรูปแบบ${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$ทีนี้ ถ้า${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$ดังนั้น โมดูลวัฏจักรดังกล่าว (สำหรับp ) จะมีฐานซึ่งการจำกัดของfจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์จอร์แดนดังนั้น หากkเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิตแล้วp ทั้งหมด จะมีรูปแบบt – λ และการแยกส่วนข้างต้นจะสอดคล้องกับ รูป แบบมาตรฐานจอร์แดนของf

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต UFD เกิดขึ้นเนื่องจากความเรียบ กล่าวคือ จุดในวาไรตี้ (เหนือฟิลด์สมบูรณ์) จะเรียบหากวงแหวนเฉพาะที่ ณ จุดนั้นเป็นวงแหวนเฉพาะที่ปกติวงแหวนเฉพาะที่ปกติเป็น UFD ^{[ 48 ]}

ต่อไปนี้คือลำดับการรวมคลาสที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างวงแหวน โดเมน และฟิลด์:

rngs ⊃วงแหวน ⊃วงแหวนสลับที่ ⊃ โดเมนจำนวนเต็ม ⊃โดเมนปิดจำนวนเต็ม ⊃โดเมน GCD ⊃โดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ ⊃โดเมนอุดมคติหลัก ⊃โดเมนยุคลิด ⊃ฟิลด์ ⊃ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต

วงแหวนหารคือวงแหวนที่สมาชิกทุกตัวที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นหน่วย วงแหวนหารสลับที่ได้คือฟิลด์ตัวอย่างที่โดดเด่นของวงแหวนหารที่ไม่ใช่ฟิลด์คือวงแหวนของควอเทอร์เนียน ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางใดๆ ในวงแหวนหารก็เป็นวงแหวนหารด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ศูนย์กลางของวงแหวนหารเป็นฟิลด์ ปรากฏว่า โดเมน จำกัด ทุก โดเมน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งวงแหวนหารจำกัด) เป็นฟิลด์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นฟิลด์สลับที่ได้ ( ทฤษฎีบทเล็กของเวดเดอร์เบิร์น )

ทุกโมดูลบนวงแหวนหารเป็นโมดูลอิสระ (มีฐาน) ดังนั้น พีชคณิตเชิงเส้นส่วนใหญ่จึงสามารถดำเนินการได้บนวงแหวนหารแทนที่จะเป็นฟิลด์

การศึกษาเกี่ยวกับชั้นสมมูลกันมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีวงแหวนหารแบบคลาสสิก ดูตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทคาร์ตัน-บราวเออร์-ฮัว

พีชคณิตวัฏจักร (Cyclic algebra ) ซึ่งริเริ่มโดยแอล.อี. ดิกสัน (LE Dickson ) เป็นการขยายความของพีชคณิตควอเทอร์เนียน (Quaternion algebra )

โมดูลกึ่งง่าย (semisimple module)คือผลรวมโดยตรงของโมดูลง่าย (simple module) วงแหวนกึ่งง่าย (semisimple ring ) คือวงแหวนที่เป็นกึ่งง่ายในฐานะโมดูลซ้าย (หรือโมดูลขวา) เหนือตัวมันเอง

สำหรับฟิลด์kพีชคณิตkเรียกว่าพีชคณิตศูนย์กลาง ถ้าศูนย์กลางของมันคือkและเรียกว่าพีชคณิตเชิงเดี่ยว ถ้ามันเป็นวงแหวนเชิงเดี่ยวเนื่องจากศูนย์กลางของ พีชคณิต k เชิงเดี่ยว เป็นฟิลด์ ดังนั้น พีชคณิต k เชิงเดี่ยวใดๆ ก็เป็นพีชคณิตเชิงเดี่ยวศูนย์กลางเหนือศูนย์กลางของมัน ในส่วนนี้ พีชคณิตเชิงเดี่ยวศูนย์กลางจะถือว่ามีมิติจำกัด นอกจากนี้ เราส่วนใหญ่จะกำหนดฟิลด์ฐาน ดังนั้น พีชคณิตจึง หมายถึง พีชคณิต kวงแหวนเมทริกซ์ขนาดnเหนือวงแหวนRจะถูกแทนด้วยR

ทฤษฎีบท Skolem –Noetherกล่าวว่า ออโตมอร์ฟิซึมใดๆ ของพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางนั้นเป็นออโตมอร์ฟิซึมภายใน

กล่าวได้ว่าพีชคณิตเชิงเดี่ยวพื้นฐานสองชุดAและB คล้ายคลึงกันถ้ามีจำนวนเต็มnและmที่ทำให้${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$^{[ 49 ]}ตั้งแต่${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$ความคล้ายคลึงกันเป็นความสัมพันธ์สมมูล คลาสความคล้ายคลึงกัน[ A ]ด้วยการคูณ${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$ก่อให้เกิดกลุ่มอาเบเลียนที่เรียกว่ากลุ่มบราวเออร์ของkและใช้สัญลักษณ์Br( k )แทน ตามทฤษฎีบทอาร์ติน-เวดเดอร์เบิร์นพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางคือวงแหวนเมทริกซ์ของวงแหวนหาร ดังนั้นแต่ละชั้นความคล้ายคลึงจึงถูกแทนด้วยวงแหวนหารที่ไม่ซ้ำกัน

ตัวอย่างเช่นBr( k )จะเป็นจำนวนที่ไม่สำคัญหากkเป็นฟิลด์จำกัดหรือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (โดยทั่วไปแล้วเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต กึ่งสมบูรณ์ ดูทฤษฎีบทของ Tsen ประกอบ )${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$มีอันดับ 2 (กรณีพิเศษของทฤษฎีบทของ Frobenius ) สุดท้าย ถ้าkเป็นฟิลด์เฉพาะที่ ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน (ตัวอย่างเช่น⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$)จากนั้น${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ผ่านแผนที่ไม่เปลี่ยนแปลง

ถ้าFเป็นส่วนขยายฟิลด์ของkแล้วส่วนขยายฐาน${\displaystyle -\otimes _{k}F}$เหนี่ยวนำให้เกิดBr( k ) → Br( F )เคอร์เนลของมันถูกแทนด้วยBr( F / k )มันประกอบด้วย[ A ]เช่นนั้น${\displaystyle A\otimes _{k}F}$เป็นริงเมทริกซ์เหนือF (นั่นคือAถูกแยกโดยF ) ถ้าส่วนขยายเป็นแบบจำกัดและกาโลอิสแล้วBr( F / k )จะสมสัณฐานกับแบบแคนอนิก${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$^{[ 50 ]}

พีชคณิตอะซูมายะเป็นการขยายแนวคิดของพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางไปสู่ริงเฉพาะที่แบบสลับที่ได้

ถ้าKเป็นฟิลด์ค่าประเมินvคือโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มจากกลุ่มทวีคูณK ^∗ไปยังกลุ่มอาเบเลียนที่มีลำดับสมบูรณ์Gโดยที่สำหรับf , g ใดๆ ในKที่f + gไม่เป็นศูนย์v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )}วงแหวนประเมินของvคือวงแหวนย่อยของKที่ประกอบด้วยศูนย์และf ที่ไม่ศูนย์ทั้งหมด โดยที่v ( f ) ≥ 0

ตัวอย่าง:

• สาขาชุดลอเรนท์อย่างเป็นทางการ${\displaystyle k(\!(t)\!)}$เหนือฟิลด์kมาพร้อมกับการประเมินค่าvโดยที่v ( f )คือดีกรีต่ำสุดของเทอมที่ไม่เป็นศูนย์ในf ; วงแหวนการประเมินค่าของvคือวงแหวนอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดฟิลด์kและกลุ่มอาเบเลียนG ที่เรียงลำดับอย่างสมบูรณ์แล้ว ให้${\displaystyle k(\!(G)\!)}$ให้ เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากGไปยังkซึ่งส่วนรองรับ (เซตของจุดที่ฟังก์ชันมีค่าไม่เป็นศูนย์) มี ลำดับ ที่ดีเป็นฟิลด์ที่มีการคูณโดยใช้การสังเคราะห์ (convolution )$${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$นอกจากนี้ยังมาพร้อมกับการประเมินค่าvโดยที่v ( f )เป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในส่วนรองรับของfวงแหวนย่อยที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่มีส่วนรองรับจำกัดเรียกว่าวงแหวนกลุ่มของG (ซึ่งมีความหมายแม้ว่าGจะไม่ใช่วงแหวนสลับที่) ถ้าGเป็นวงแหวนของจำนวนเต็ม เราจะได้ตัวอย่างก่อนหน้านี้กลับคืนมา (โดยการระบุfกับอนุกรมที่มี สัมประสิทธิ์ลำดับที่ nคือf ( n ) ) 

สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีX ใดๆ เราสามารถเชื่อมโยงวงแหวนโคฮอโมโลยีเชิง อินทิกรัลของปริภูมินั้นได้

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

วงแหวนแบบไล่ระดับนอกจากนี้ยังมีกลุ่มโฮโมโลยี ด้วย${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$กลุ่มโคฮอโมโลยีถูกกำหนดขึ้นในภายหลังโดยใช้กลุ่มโฮโมโลยีเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการแยกแยะความแตกต่างระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีบางคู่ เช่นทรงกลมและทอรัสซึ่งวิธีการของทอพอโลยีเซตจุดไม่เหมาะสม กลุ่มโคฮอโมโลยี ถูกกำหนดขึ้นในภายหลังโดยใช้กลุ่มโฮโมโลยีในลักษณะที่คล้ายคลึงกับปริภูมิคู่ของปริภูมิเวกเตอร์การรู้จักกลุ่มโฮโมโลยีเชิงอินทิกรัลแต่ละกลุ่มนั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับการรู้จักกลุ่มโคฮอโมโลยีเชิงอินทิกรัลแต่ละกลุ่ม เนื่องจากทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากลอย่างไรก็ตาม ข้อดีของกลุ่มโคฮอโมโลยีคือมีผลคูณตามธรรมชาติซึ่งคล้ายคลึงกับการสังเกตว่าเราสามารถคูณแบบจุดต่อจุดของรูปแบบหลายเชิงเส้น k และรูป แบบหลายเชิงเส้น lเพื่อให้ได้รูปแบบหลายเชิงเส้น ( k + l )

โครงสร้างวงแหวนในโคฮอโมโลยีเป็นรากฐานสำหรับชั้นลักษณะเฉพาะของไฟเบอร์บันเดิล ทฤษฎีการตัดกันบนแมนิโฟลด์และวาไรตีพีชคณิตแคลคูลัสของชูเบิร์ตและอีกมากมาย

กลุ่มใดๆ ก็ตาม จะมี วงแหวนเบิร์นไซด์ (Burnside ring ) ที่เกี่ยวข้องซึ่งใช้วงแหวนในการอธิบายวิธีการต่างๆ ที่กลุ่มนั้นสามารถกระทำต่อเซตจำกัดได้ กลุ่มบวกของวงแหวนเบิร์นไซด์คือกลุ่มอาเบเลียนอิสระ (free abelian group)ซึ่งมีฐานเป็นเซตของการกระทำแบบทรานซิทีฟ (transitive actions) ของกลุ่ม และผลบวกของกลุ่มคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกัน (disjoint union) ของการกระทำ การแสดงการกระทำในรูปของฐานคือการแยกการกระทำออกเป็นส่วนประกอบแบบทรานซิทีฟ การคูณสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายในรูปของวงแหวนการแทน (representation ring ) กล่าวคือ การคูณในวงแหวนเบิร์นไซด์เกิดขึ้นจากการเขียนผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลการเรียงสับเปลี่ยนสองโมดูลเป็นโมดูลการเรียงสับเปลี่ยน โครงสร้างของวงแหวนช่วยให้สามารถลบการกระทำหนึ่งออกจากการกระทำอื่นได้ในรูปแบบที่เป็นทางการ เนื่องจากวงแหวนเบิร์นไซด์บรรจุอยู่ในวงแหวนย่อยที่มีดัชนีจำกัดของวงแหวนการแทน จึงสามารถเปลี่ยนจากวงแหวนหนึ่งไปยังอีกวงแหวนหนึ่งได้อย่างง่ายดายโดยการขยายสัมประสิทธิ์จากจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ

วงแหวนกลุ่มหรือพีชคณิตฮอปฟ์ใดๆ จะมี วงแหวนแทน หรือ "วงแหวนกรีน" ที่เกี่ยวข้องอยู่ด้วยกลุ่มบวกของวงแหวนแทนคือกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่มีฐานเป็นโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ และการบวกของกลุ่มนี้สอดคล้องกับผลรวมโดยตรง การแสดงโมดูลในรูปของฐานคือการหาการแยกส่วนที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ของโมดูล การคูณคือผลคูณเทนเซอร์ เมื่อพีชคณิตเป็นแบบกึ่งง่าย วงแหวนแทนก็คือวงแหวนอักขระจากทฤษฎีอักขระซึ่งก็คือกลุ่มโกรเทนดีคที่มีโครงสร้างเป็นวงแหวน นั่นเอง

วา ไรตี้พีชคณิตที่ไม่สามารถลดทอนได้ใดๆจะมีฟิลด์ฟังก์ชัน ที่เกี่ยวข้องอยู่ด้วย จุดต่างๆ ของวาไรตี้พีชคณิตจะสอดคล้องกับวงแหวนการประเมินค่าที่บรรจุอยู่ในฟิลด์ฟังก์ชันและบรรจุวงแหวนพิกัด ไว้ด้วย การศึกษา เรขาคณิต เชิงพีชคณิตใช้พีชคณิตเชิงสลับ อย่างมาก ในการศึกษาแนวคิดทางเรขาคณิตในแง่ของคุณสมบัติเชิงวงแหวน เรขาคณิตแบบไบราชันแนลศึกษาแผนที่ระหว่างวงแหวนย่อยของฟิลด์ฟังก์ชัน

ซิ มพลิเชียลคอมเพล็กซ์ทุกตัวจะมีวงแหวนหน้า (face ring) ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวงแหวนสแตนลีย์-ไรส์เนอร์ (Stanley–Reisner ring ) วงแหวนนี้สะท้อนคุณสมบัติเชิงการจัดเรียง (combinatorial properties) หลายประการของซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ ดังนั้นจึงมีความน่าสนใจเป็นพิเศษในพีชคณิตเชิงการจัดเรียงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรขาคณิตเชิงพีชคณิตของวงแหวนสแตนลีย์-ไรส์เนอร์ถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดลักษณะเฉพาะของจำนวนหน้าในแต่ละมิติของโพลีโทปซิมพลิเชียล

rng เหมือนกับริง ยกเว้นว่าไม่ได้ถือว่ามีเอกลักษณ์การคูณ^{[ 52 ]}

วงแหวนที่ไม่สัมพันธ์กัน (nonassociative ring ) คือโครงสร้างทางพีชคณิตที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของวงแหวนทั้งหมด ยกเว้นคุณสมบัติการสัมพันธ์กันและการมีอยู่ของเอกลักษณ์การคูณ ตัวอย่างที่โดดเด่นคือพีชคณิตลี (Lie algebra ) มีทฤษฎีโครงสร้างบางอย่างสำหรับพีชคณิตดังกล่าวที่สรุปผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับพีชคณิตลีและพีชคณิตสัมพันธ์กัน

เซมิริง (บางครั้ง เรียกว่า rig ) ได้มาจากการลดข้อสมมติที่ว่า( R , +)เป็นกลุ่มอาเบเลียน ลงเหลือเพียงข้อสมมติที่ว่า( R , +)เป็นโมโนอิดสลับที่ได้ และเพิ่มสัจพจน์ที่ว่า0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0สำหรับทุกaในR (เนื่องจากสัจพจน์นี้ไม่เป็นไปตามสัจพจน์อื่นๆ อีกต่อไป)

ตัวอย่าง:

• จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$โดยใช้การบวกและการคูณแบบธรรมดา
• วงแหวนเขตร้อน

ให้Cเป็นหมวดหมู่ที่มีผล คูณจำกัด ให้ pt แทนวัตถุปลายทางของC (ผลคูณว่าง) วัตถุวงแหวนในCคือวัตถุRที่มีมอร์ฟิซึม${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$(ส่วนที่เพิ่มเข้าไป),${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$(การคูณ)${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$(เอกลักษณ์การบวก)${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$(ตัวผกผันการบวก) และ${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$(เอกลักษณ์การคูณ) ที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของวงแหวนตามปกติ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง วัตถุวงแหวนคือวัตถุRที่มีตัวประกอบของฟังก์ชันของจุด${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$ผ่านหมวดหมู่ของแหวน:${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตวงแหวนสกีมเหนือสกีม ฐาน Sคือวัตถุวงแหวนในหมวดหมู่ของ สกีม Sตัวอย่างหนึ่งคือวงแหวนสกีมW เหนือ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ซึ่งสำหรับวงแหวนสลับที่ใดๆ Aจะส่งคืนวงแหวน W ( A )ของเวกเตอร์ Witt ^แบบ p -isotypicที่มีความยาว nเหนือ A ^{[ 53} ]

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตสเปกตรัมของวงแหวนคือสเปกตรัมX รวมกับผลคูณ${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$และแผนที่หน่วยS → XจากสเปกตรัมทรงกลมSโดยที่แผนภาพสัจพจน์ของวงแหวนสามารถสลับตำแหน่งได้จนถึงระดับโฮโมโทปี ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดสเปกตรัมของวงแหวนเป็นวัตถุโมโนอิดในหมวดหมู่สเปกตรัมที่ดี เช่น หมวดหมู่สเปกตรัมสมมาตร