ในทฤษฎีริง^{ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ สมาชิกเอกลักษณ์หรือเรียกง่ายๆ ว่าสมาชิกเอกลักษณ์ของริง คือ สมาชิก a ที่ a² = a [ 1} ] [ a ] ​​นั่นคือสมาชิกนั้นมีเอกลักษณ์ภายใต้การคูณของ^{ริงจากนั้นโดยอุปนัย}เราสามารถสรุปได้ว่าa = a² = ^a³ = a⁴ = ^... = aⁿสำหรับจำนวนเต็ม บวก ⁿ ใด ๆตัวอย่างเช่น สมาชิกเอกลักษณ์ของ ริงเมท ริกซ์^ก็คือเมทริกซ์เอกลักษณ์นั่นเอง

สำหรับริงทั่วไป สมาชิกที่เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ภายใต้การคูณนั้นเกี่ยวข้องกับการแยกส่วนของโมดูลและเชื่อมโยงกับ คุณสมบัติ ทางโฮโมโลจีของริง ในพีชคณิตบูลีนวัตถุหลักในการศึกษาคือริงที่สมาชิกทุกตัวเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ทั้งภายใต้การบวกและการคูณ

ตัวอย่างบางส่วนของประเภทตัวดำเนินการเอกลักษณ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลง (idempotent) ที่สำคัญ ได้แก่:

• ตัวประกอบเอกลักษณ์สองตัวaและbเรียกว่าตั้งฉากกันถ้าab = ba = 0ถ้าaเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ในริงR (ที่มีเอกลักษณ์ ) แล้วb = 1 − a ก็จะเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์เช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้นaและbตั้งฉากกัน
• ตัวประกอบเอกลักษณ์aในRเรียกว่าตัวประกอบเอกลักษณ์ศูนย์กลางถ้าax = xaสำหรับทุกxในRนั่นคือ ถ้าaอยู่ที่ศูนย์กลางของR
• ตัวประกอบเอกลักษณ์ที่ไม่ก่อให้เกิดผลซ้ำซ้อนหมายถึง0และ1ซึ่งเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ที่ไม่ก่อให้เกิดผลซ้ำซ้อนเสมอ
• ตัวประกอบเอกลักษณ์ดั้งเดิมของริงRคือตัวประกอบเอกลักษณ์ที่ไม่เป็นศูนย์aซึ่ง ทำให้ aRไม่สามารถแยกส่วนได้เป็นโมดูลขวาของ Rกล่าวคือaRไม่ใช่ผลรวมโดยตรงของโมดูลย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ สองตัว หรือกล่าวอีกนัย หนึ่ง aเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ดั้งเดิมหากไม่สามารถเขียนได้ในรูปa = e + fโดยที่eและf เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์เชิงตั้งฉาก ที่ไม่เป็นศูนย์ในR
• ตัวประกอบเอกลักษณ์เฉพาะที่ (local idempotent)คือตัวประกอบเอกลักษณ์aที่ทำให้aRaเป็นริงเฉพาะที่ (local ring ) ซึ่งหมายความว่าaRไม่สามารถแยกส่วนได้โดยตรง ดังนั้นตัวประกอบเอกลักษณ์เฉพาะที่จึงเป็นตัวประกอบดั้งเดิม (primitive) ด้วย
• ตัวประกอบเอกลักษณ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทางขวาคือ ตัวประกอบเอกลักษณ์aที่ทำให้aRเป็นโมดูลเชิงเดี่ยวตามทฤษฎีบทของ Schur End ( aR ) = aRaเป็นวงแหวนหารและด้วยเหตุนี้จึงเป็นวงแหวนเฉพาะที่ ดังนั้น ตัวประกอบเอกลักษณ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทางขวา (และทางซ้าย) จึงเป็นตัวประกอบเฉพาะที่
• ตัวประกอบ เอกลักษณ์ แบบศูนย์กลางดั้งเดิมคือ ตัวประกอบเอกลักษณ์แบบศูนย์กลางaที่ไม่สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของตัวประกอบเอกลักษณ์แบบศูนย์กลางเชิงตั้งฉากที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว
• An idempotent a + I in the quotient ring R / I is said to lift modulo I if there is an idempotent b in R such that b + I = a + I.
• An idempotent a of R is called a full idempotent if RaR = R.
• A separability idempotent; see Separable algebra.

Any non-trivial idempotent a is a zero divisor (because ab = 0 with neither a nor b being zero, where b = 1 − a). This shows that integral domains and division rings do not have such idempotents. Local rings also do not have such idempotents, but for a different reason. The only idempotent contained in the Jacobson radical of a ring is 0.

• A ring in which all elements are idempotent is called a Boolean ring. Some authors use the term "idempotent ring" for this type of ring. In such a ring, multiplication is commutative and every element is its own additive inverse.
• A ring is semisimple if and only if every right (or every left) ideal is generated by an idempotent.
• A ring is von Neumann regular if and only if every finitely generated right (or every finitely generated left) ideal is generated by an idempotent.
• A ring for which the annihilatorr.Ann(S) every subset S of R is generated by an idempotent is called a Baer ring. If the condition only holds for all singleton subsets of R, then the ring is a right Rickart ring. Both of these types of rings are interesting even when they lack a multiplicative identity.
• A ring in which all idempotents are central is called an abelian ring. Such rings need not be commutative.
• A ring is directly irreducible if and only if 0 and 1 are the only central idempotents.
• วงแหวนRสามารถเขียนได้เป็นe R ⊕ e R ⊕ ... ⊕ e Rโดยที่e แต่ละตัว เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์เฉพาะที่ ก็ต่อเมื่อRเป็นวงแหวนกึ่งสมบูรณ์
• วงแหวนหนึ่งเรียกว่าวงแหวน SBIหรือ วงแหวน Lift/radถ้าไอเดมโพเทนต์ทั้งหมดของRยกกำลังโมดู ลัส ของราดิคัลของเจคอบสัน
• วงแหวนจะสอดคล้องกับเงื่อนไขลำดับขึ้นบนของผลบวกทางขวา ก็ต่อเมื่อวงแหวนนั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขลำดับลงบนผลบวกทางซ้าย ก็ต่อเมื่อเซตของตัวประกอบเอกลักษณ์ตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ ทุกเซตมีจำนวนจำกัด
• ถ้าaเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ในริงRแล้วaRaก็จะเป็นริงอีกตัวหนึ่งที่มีเอกลักษณ์การคูณaริงaRaมักถูกเรียกว่าริงมุมของRริงมุมเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติเนื่องจากริงของเอนโดมอร์ฟิซึม End R aR ) ≅ aRa

ตัวประกอบเอกลักษณ์ของRมีความเชื่อมโยงที่สำคัญกับการแยกส่วนของโมดูล R ถ้า M เป็นโมดูลRและE = End ( M )เป็นวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึม ของมัน แล้วA ⊕ B = Mก็ต่อเมื่อมีตัวประกอบเอกลักษณ์e ที่ไม่ซ้ำกัน ในEซึ่งA = eMและB = (1 − e ) Mเห็นได้ชัดว่าM ไม่สามารถแยก ^ส่วนได้โดยตรงก็ต่อเมื่อ0และ1เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์เพียงสองตัวในE [ ^{2 ]}

ในกรณีที่M = R (ถือว่ามีเอกลักษณ์) วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมEnd ( R ) = R โดยที่ เอนโดมอร์ฟิซึมแต่ละตัวเกิดขึ้นจากการคูณทางซ้ายด้วยสมาชิกวงแหวนที่กำหนดไว้ ด้วยการปรับเปลี่ยนสัญลักษณ์นี้A ⊕ B = Rเป็นโมดูลทางขวา ก็ต่อเมื่อมีตัวผกผันเอกลักษณ์e เพียงหนึ่งเดียว ที่ทำให้eR = Aและ(1 − e ) R = Bดังนั้นทุกพจน์โดยตรงของRจึงถูกสร้างขึ้นโดยตัวผกผันเอกลักษณ์

ถ้าaเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์กลาง (central idempotent) แล้ว วงแหวนมุมaRa = Raจะเป็นวงแหวนที่มีเอกลักษณ์การคูณaเช่นเดียวกับที่ตัวประกอบเอกลักษณ์กำหนดการแยกส่วนโดยตรงของRในฐานะโมดูล ตัวประกอบเอกลักษณ์กลางของRจะกำหนดการแยกส่วนของRในฐานะผลรวมโดยตรงของวงแหวน ถ้าRเป็นผลรวมโดยตรงของวงแหวนR , ..., R แล้ว สมาชิกเอกลักษณ์ของวงแหวนR จะเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์กลางในRตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ และผลรวมของพวกมันคือ1ในทางกลับกัน ถ้ากำหนดตัวประกอบเอกลักษณ์กลางa , ..., a ในRที่ตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ และมีผลรวมเป็น1 แล้ว R จะเป็นผลรวมโดยตรงของวงแหวนRa , ..., Ra ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวประกอบเอกลักษณ์กลางทุกตัวaในRจะทำให้เกิดการแยกส่วนของRเป็นผลรวมโดยตรงของวงแหวนมุมaRaและ(1 − a ) R (1 − a )ผลลัพธ์คือ วงแหวนRจะไม่สามารถแยกส่วนได้โดยตรงในฐานะวงแหวนก็ต่อเมื่อเอกลักษณ์1เป็นตัวประกอบดั้งเดิมแบบศูนย์กลาง

โดยวิธีการอุปนัย เราสามารถพยายามแยก1 ออก เป็นผลรวมขององค์ประกอบดั้งเดิมที่ศูนย์กลาง หาก1เป็นองค์ประกอบดั้งเดิมที่ศูนย์กลาง เราก็เสร็จสิ้นแล้ว หากไม่ใช่ มันจะเป็นผลรวมขององค์ประกอบเอกลักษณ์เชิงตั้งฉากที่ศูนย์กลาง ซึ่งในทางกลับกันก็เป็นองค์ประกอบดั้งเดิม หรือผลรวมขององค์ประกอบเอกลักษณ์ที่ศูนย์กลางเพิ่มเติม และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป ปัญหาที่อาจเกิดขึ้นคือ กระบวนการนี้อาจดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ทำให้เกิดตระกูลอนันต์ขององค์ประกอบเอกลักษณ์เชิงตั้งฉากที่ศูนย์กลาง เงื่อนไข " Rไม่ประกอบด้วยเซตอนันต์ขององค์ประกอบเอกลักษณ์เชิงตั้งฉากที่ศูนย์กลาง " เป็นเงื่อนไขความจำกัดประเภทหนึ่งของริง ซึ่งสามารถบรรลุได้หลายวิธี เช่น การกำหนดให้ริงเป็นริงโนเธอร์เรียนขวา ถ้าการแยกส่วนR = c R ⊕ c R ⊕ ... ⊕ c Rมีอยู่ โดยที่c แต่ละตัว เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์แบบศูนย์กลางดั้งเดิม แล้วRจะเป็นผลรวมโดยตรงของวงแหวนมุมc Rc ซึ่งแต่ละวงไม่สามารถแยกส่วนได้^{[ 3 ]}

สำหรับพีชคณิตแบบสมาคมหรือพีชคณิตจอร์แดนเหนือฟิลด์การแยกส่วนแบบเพียร์ซเป็นการแยกส่วนของพีชคณิตออกเป็นผลรวมของปริภูมิไอเกนขององค์ประกอบเอกลักษณ์ที่สลับที่กันได้

ถ้าaเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ของริงRแล้วกำลังสองของf = 1 − 2a จะเท่ากับ 1 ดังนั้น สำหรับทุกโมดูลซ้ายของRการคูณด้วยfเป็นการผกผันของMกล่าวคือ เป็น โฮโมมอร์ฟิซึม ของโมดูลRโดยที่f² เป็นเอนโดมอ ร์ ฟิซึม ^{เอกลักษณ์}ของM

ถ้า​${\displaystyle M}$เป็น​​${\displaystyle R}$-ไบโมดูลและโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า${\displaystyle M=R}$การคูณ ทางซ้ายและทางขวาด้วย${\displaystyle f}$ก่อให้เกิดการผกผันสองครั้งของโมดูล

ในทางกลับกัน ถ้าbเป็นสมาชิกของ⁠${\displaystyle R}$โดยที่​${\displaystyle b^{2}=1}$แล้ว​​${\displaystyle (1-b)^{2}=2(1-b)}$และถ้า 2เป็นสมาชิกที่ผกผันได้ใน Rแล้ว a=2 ⁻¹ (1 − b )จะเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ที่ b = 1 − 2 aดังนั้น สำหรับริงที่ 2ผกผันได้ สมาชิกเอกลักษณ์จะมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสมาชิกที่มีกำลังสองเท่ากับ 1

การยกไอเดมโพเทนต์ยังมีผลสำคัญต่อหมวดหมู่ของโมดูลRด้วย ไอเดมโพเทนต์ทั้งหมดจะยกโมดูลIก็ต่อเมื่อผลรวมโดยตรงของR ทุกตัวของ R / Iมีการครอบคลุมเชิงโปรเจก ทีฟ เป็นโมดูลR ^{[ 4 ]} ไอเดมโพเทนต์จะยกโมดูลอุดมคติ และวงแหวนที่ เป็น ศูนย์เสมอ ซึ่งRสมบูรณ์แบบในเชิงI

การยกมีความสำคัญที่สุดเมื่อI = J( R )ซึ่งเป็นรากของ JacobsonของRลักษณะเฉพาะอีกประการหนึ่งของวงแหวนกึ่งสมบูรณ์คือวงแหวนเหล่านี้เป็นวงแหวนกึ่งโลคัลที่มีตัวประกอบเอกลักษณ์ยกโมดูลJ( R ) ^{[ 5 ]}

อาจกำหนดลำดับบางส่วนบนตัวประกอบเอกลักษณ์ของวงแหวนได้ดังนี้: ถ้าaและbเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ เราจะเขียนa ≤ bก็ต่อเมื่อab = ba = a เท่านั้น เมื่อเทียบกับลำดับนี้0เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ที่เล็กที่สุด และ1 เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ ที่ใหญ่ที่สุด สำหรับตัวประกอบเอกลักษณ์ตั้งฉากaและbนั้นa + bก็เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์เช่นกัน และเรามีa ≤ a + bและb ≤ a + bอะตอมของลำดับบางส่วนนี้คือตัวประกอบเอกลักษณ์ดั้งเดิมอย่างแม่นยำ^{[ 6 ]}

เมื่อจำกัดลำดับบางส่วนข้างต้นไว้ที่ตัวเอกลักษณ์กลางของR โครงสร้าง แลตทิซหรือแม้แต่ โครงสร้าง พีชคณิตบูลีนก็สามารถกำหนดได้ สำหรับตัวเอกลักษณ์กลางสองตัวeและfส่วนเติมเต็มจะกำหนดโดย

¬ e = 1 − e ,

the meet is given by

e ∧ f = ef.

and the join is given by

e ∨ f = ¬(¬e ∧ ¬f) = e + f − ef

The ordering now becomes simply e ≤ f if and only if eR ⊆ fR, and the join and meet satisfy (e ∨ f)R = eR + fR and (e ∧ f)R = eR ∩ fR = (eR)(fR). It is shown in Goodearl 1991, p. 99 that if R is von Neumann regular and right self-injective, then the lattice is a complete lattice.