การอนุมาน${\textstyle \partial }$บนแหวน${\textstyle R}$เป็นฟังก์ชัน${\displaystyle \partial :R\to R\,}$ โดยที่ $${\displaystyle \partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}}$$ และ

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad }$( กฎผลคูณของไลบ์นิซ )

สำหรับทุกๆ${\displaystyle r_{1}}$และ${\displaystyle r_{2}}$ใน${\displaystyle R.}$

การพิสูจน์นั้นเป็นเชิงเส้นเหนือจำนวนเต็ม เนื่องจากเอกลักษณ์เหล่านี้บ่งชี้ว่า${\displaystyle \partial (0)=\partial (1)=0}$และ${\displaystyle \partial (-r)=-\partial (r).}$

วงแหวนเชิงอนุพันธ์เป็นวงแหวนสลับที่ได้${\displaystyle R}$ประกอบด้วยอนุพันธ์อย่างน้อยหนึ่งรายการที่สลับที่กันได้เป็นคู่ๆ กล่าวคือ$${\displaystyle \partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))}$$สำหรับทุกคู่ของการอนุมานและทุกๆ${\displaystyle r\in R.}$^{[ 7 ]}เมื่อมีการอนุมานเพียงรายการเดียว มักจะเรียกว่าวงแหวนเชิงอนุพันธ์ธรรมดามิฉะนั้น จะเรียกว่าวงแหวนเชิงอนุพันธ์บางส่วน

ฟิลด์เชิงอนุพันธ์คือวงแหวนเชิงอนุพันธ์ที่เป็นฟิลด์ด้วยเช่นกันพีชคณิตเชิงอนุพันธ์${\displaystyle A}$เหนือสนามเชิงอนุพันธ์${\displaystyle K}$เป็นวงแหวนดิฟเฟอเรนเชียลที่ประกอบด้วย${\displaystyle K}$ในฐานะวงแหวนย่อยซึ่งมีข้อจำกัดต่อ${\displaystyle K}$ของการอนุพันธ์ของ${\displaystyle A}$เท่ากับอนุพันธ์ของ${\displaystyle K.}$(คำจำกัดความที่ครอบคลุมกว่านี้มีดังต่อไปนี้ ซึ่งครอบคลุมกรณีที่)${\displaystyle K}$ไม่ใช่สาขา และโดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากันเมื่อ${\displaystyle K}$(เป็นสาขา)

พีชคณิตวิทท์ (Witt algebra)คือวงแหวนเชิงอนุพันธ์ที่ประกอบด้วยฟิลด์${\displaystyle \mathbb {Q} }$ของจำนวนตรรกยะ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือพีชคณิตเชิงอนุพันธ์เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$เนื่องจาก${\displaystyle \mathbb {Q} }$สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นสนามเชิงอนุพันธ์ซึ่งอนุพันธ์ทุกตัวเป็นฟังก์ชันศูนย์

ค่าคงที่ของวงแหวนเชิงอนุพันธ์คือองค์ประกอบต่างๆ${\displaystyle r}$โดยที่${\displaystyle \partial r=0}$สำหรับการอนุมานทุกครั้ง${\displaystyle \partial .}$ค่าคงที่ของวงแหวนเชิงอนุพันธ์ก่อให้เกิดวงแหวนย่อยและค่าคงที่ของฟิลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ก่อให้เกิดฟิลด์ย่อย^{[ 8 ]}ความหมายของ "ค่าคงที่" นี้เป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันคงที่และไม่ควรสับสนกับความหมายทั่วไปของค่าคงที่

ในเอกลักษณ์ ต่อไป นี้${\displaystyle \delta }$เป็นอนุพันธ์ของวงแหวนเชิงอนุพันธ์${\displaystyle R.}$^{[ 9 ]}

• ถ้า${\displaystyle r\in R}$และ${\displaystyle c}$เป็นค่าคงที่ใน${\displaystyle R}$(นั่นคือ${\displaystyle \delta c=0}$), แล้ว$${\displaystyle \delta (cr)=c\delta (r).}$$
• ถ้า${\displaystyle r\in R}$และ${\displaystyle u}$เป็นหน่วย หนึ่ง ใน${\displaystyle R,}$แล้ว $${\displaystyle \delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)u-r\delta (u)}{u^{2}}}}$$
• ถ้า${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และ${\displaystyle r\in R}$แล้ว$${\displaystyle \delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)}$$
• ถ้า${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$หน่วยใน${\displaystyle R,}$และ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ถ้าจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ เอกลักษณ์ อนุพันธ์ลอการิทึม :$${\displaystyle {\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.}$$

ตัวดำเนินการอนุพันธ์หรืออนุพันธ์ลำดับสูงคือการประกอบกันของอนุพันธ์หลายๆ ตัว เนื่องจากอนุพันธ์ของวงแหวนเชิงอนุพันธ์ถือว่าสลับที่กันได้ ลำดับของอนุพันธ์จึงไม่สำคัญ และตัวดำเนินการอนุพันธ์อาจเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}}$อนุพันธ์ที่กำลังพิจารณาอยู่นั้นคืออะไร${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และเลขชี้กำลังของการอนุพันธ์แสดงถึงจำนวนครั้งที่การอนุพันธ์นี้ถูกประกอบในตัวดำเนินการ

ผลรวม${\displaystyle o=e_{1}+\cdots +e_{n}}$เรียกว่าลำดับการพิสูจน์ ถ้า${\displaystyle o=1}$ตัวดำเนินการอนุพันธ์เป็นหนึ่งในอนุพันธ์ดั้งเดิม ถ้า${\displaystyle o=0}$โดยมีฟังก์ชันเอกลักษณ์ซึ่งโดยทั่วไปถือว่าเป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์อันดับศูนย์เพียงหนึ่งเดียว ด้วยข้อตกลงเหล่านี้ ตัวดำเนินการอนุพันธ์จึงก่อให้เกิดโมโนอิดสลับที่อิสระบนเซตของอนุพันธ์ที่กำลังพิจารณา

อนุพันธ์ของธาตุ${\displaystyle x}$ของวงแหวนเชิงอนุพันธ์คือการประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์กับ${\displaystyle x,}$นั่นคือ โดยใช้สัญลักษณ์ข้างต้น${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).}$อนุพันธ์ที่เหมาะสมคืออนุพันธ์อันดับบวก^{[ 7 ]}

อุดมคติเชิงอนุพันธ์${\displaystyle I}$ของวงแหวนดิฟเฟอเรนเชียล${\displaystyle R}$เป็นอุดมคติของแหวน${\displaystyle R}$ซึ่งปิด (เสถียร) ภายใต้การอนุพันธ์ของวงแหวน กล่าวคือ${\textstyle \partial x\in I,}$สำหรับการอนุมานทุกครั้ง${\displaystyle \partial }$และทุกๆ${\displaystyle x\in I.}$กล่าวได้ว่าไอเดียลเชิงอนุพันธ์เป็นไอเดียลที่เหมาะสมถ้ามันไม่ใช่ริงทั้งหมด เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน บางครั้งไอเดียลที่ไม่ใช่ไอเดียลเชิงอนุพันธ์ก็เรียกว่า ไอเดีย ลเชิงพีชคณิต

ราก ของ อุดมคติเชิงอนุพันธ์นั้นเหมือนกับราก ของมัน ในฐานะอุดมคติเชิงพีชคณิต นั่นคือ เซตขององค์ประกอบวงแหวนที่มีกำลังในอุดมคติ รากของอุดมคติเชิงอนุพันธ์ก็เป็นอุดมคติเชิงอนุพันธ์เช่นกัน อุดมคติเชิงอนุพันธ์รากหรือ อุดมคติเชิงอนุพันธ์ สมบูรณ์คืออุดมคติเชิงอนุพันธ์ที่เท่ากับรากของมัน^{[ 10 ]}อุดมคติเชิงอนุพันธ์เฉพาะคืออุดมคติเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเฉพาะในความหมายปกติ นั่นคือ ถ้าผลคูณเป็นของอุดมคติ อย่างน้อยหนึ่งตัวประกอบก็เป็นของอุดมคติ อุดมคติเชิงอนุพันธ์เฉพาะเป็นอุดมคติเชิงอนุพันธ์รากเสมอ

การค้นพบของริทท์คือ แม้ว่าทฤษฎีคลาสสิกของอุดมคติพีชคณิตจะไม่สามารถใช้ได้กับอุดมคติเชิงอนุพันธ์ แต่ส่วนใหญ่ของทฤษฎีนั้นสามารถขยายไปใช้กับอุดมคติเชิงอนุพันธ์แบบราดิคัลได้ และนี่ทำให้อุดมคติเชิงอนุพันธ์แบบราดิคัลมีความสำคัญอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงอนุพันธ์

จุดตัดของตระกูลอุดมคติเชิงอนุพันธ์ใดๆ ก็คืออุดมคติเชิงอนุพันธ์ และจุดตัดของตระกูลอุดมคติเชิงอนุพันธ์รากใดๆ ก็คืออุดมคติเชิงอนุพันธ์ราก^{[ 11 ]} เป็นผลให้ เมื่อกำหนดเซตย่อย${\displaystyle S}$ของวงแหวนเชิงอนุพันธ์ มีอุดมคติสามอย่างที่สร้างขึ้นโดยวงแหวนนั้น ซึ่งเป็นการตัดกันของอุดมคติพีชคณิตทั้งหมด อุดมคติเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด และอุดมคติเชิงอนุพันธ์รากทั้งหมดที่บรรจุวงแหวนนั้น ตามลำดับ^{[ 11 ] [ 12 ]}

อุดมคติพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle S}$คือเซตของการรวมเชิงเส้นจำกัดขององค์ประกอบของ${\displaystyle S,}$และโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ว่า${\displaystyle (S)}$หรือ${\displaystyle \langle S\rangle .}$

อุดมคติเชิงอนุพันธ์ที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle S}$คือเซตของการรวมเชิงเส้นจำกัดขององค์ประกอบของ${\displaystyle S}$และอนุพันธ์อันดับใด ๆ ขององค์ประกอบเหล่านี้ โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ว่า${\displaystyle [S].}$เมื่อไร${\displaystyle S}$มีค่าจำกัด${\displaystyle [S]}$โดยทั่วไปแล้วไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะอุดมคติเชิงพีชคณิต

อุดมคติเชิงอนุพันธ์แบบหัวรุนแรงที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle S}$โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ว่า${\displaystyle \{S\}.}$ยังไม่มีวิธีใดที่จะระบุลักษณะขององค์ประกอบต่างๆ ในลักษณะเดียวกับกรณีอีกสองกรณีได้

การจัดอันดับของอนุพันธ์เป็นลำดับทั้งหมดและลำดับที่ยอมรับได้ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta$ :\theta _{\mu }p>p.}

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

อนุพันธ์แต่ละตัวมีทูเปิลจำนวนเต็ม และลำดับเอกนามจะจัดอันดับอนุพันธ์โดยการจัดอันดับทูเปิลจำนวนเต็มของอนุพันธ์ ทูเปิลจำนวนเต็มระบุค่าที่ไม่แน่นอนของอนุพันธ์ ดัชนีหลายตัวของอนุพันธ์ และอาจระบุลำดับของอนุพันธ์ ประเภทของการจัดอันดับ ได้แก่: ^{[ 27 ]}

• การจัดอันดับอย่างเป็นระเบียบ :${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \$ :\ \operatorname {ord} (\theta _{\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _{\nu })\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}
• อันดับการคัดออก :${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \$ :\ y_{i}\geq y_{j}\ลูกศรขวา \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}

ในตัวอย่างนี้ ทูเปิลจำนวนเต็มระบุค่าที่ไม่แน่นอนเชิงอนุพันธ์และดัชนีหลายตัวของอนุพันธ์ รวมถึงลำดับเอกนามแบบพจนานุกรม${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$กำหนดอันดับของอนุพันธ์^{[ 28 ]}

${\displaystyle \eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})}$.

${\displaystyle \eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.}$

นี่คือรูปแบบพหุนามมาตรฐาน:${\displaystyle p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}}$[ ^{24 ] [ 28 ]​}

• อนุพันธ์ นำ ( Leader derivative)คืออนุพันธ์ที่มีอันดับสูงสุดของพหุนาม:${\displaystyle u_{p}}$.
• สัมประสิทธิ์${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{0}}$ไม่มีอนุพันธ์นำหน้า${\textstyle u_{p}}$.
• ดีกรีของพหุนามคือเลขชี้กำลังที่มากที่สุดของอนุพันธ์นำหน้า:${\displaystyle \deg _{u_{p}}(p)=d}$.
• ค่าเริ่มต้นคือค่าสัมประสิทธิ์:${\displaystyle I_{p}=a_{d}}$.
• อันดับ (Rank)คืออนุพันธ์อันดับหนึ่งยกกำลังด้วยดีกรีของพหุนาม:${\displaystyle u_{p}^{d}}$.
• ตัวคั่นคืออนุพันธ์:${\displaystyle S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}}$.

ชุดตัวคั่นคือ${\displaystyle S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}}$ชุดเริ่มต้นคือ${\displaystyle I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}}$และชุดที่รวมกันคือ${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$[ ^{29 ]​}

พหุนาม ที่ลดรูปบางส่วน ( รูปแบบปกติบางส่วน )${\textstyle q}$เมื่อเทียบกับพหุนาม${\textstyle p}$แสดงว่าพหุนามเหล่านี้ไม่ใช่ส่วนประกอบของสนามภาคพื้นดิน${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$, และ${\displaystyle q}$ไม่มีอนุพันธ์ที่เหมาะสมของ${\displaystyle u_{p}}$[ ^{30 ] [ 31 ] [ 29 ]​}

พหุนามที่ลดรูปบางส่วน${\textstyle q}$เมื่อเทียบกับพหุนาม${\textstyle p}$กลายเป็น พหุนาม ลดรูป ( รูปแบบปกติ )${\textstyle q}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\textstyle p}$หากระดับของ${\textstyle u_{p}}$ใน${\textstyle q}$น้อยกว่าระดับของ${\textstyle u_{p}}$ใน${\textstyle p}$[ ^{30 ] [ 31 ] [ 29 ]​}

ชุด พหุนาม ลด รูปอัตโนมัติ จะมีพหุนามทุกตัวที่ลดรูปแล้วเมื่อเทียบกับพหุนามอื่น ๆ ทุกตัวในชุดนั้น ชุดลดรูปอัตโนมัติทุกชุดจะมีจำนวนจำกัด ชุดลดรูปอัตโนมัติเป็นรูปสามเหลี่ยมหมายความว่าองค์ประกอบพหุนามแต่ละตัวมีอนุพันธ์นำที่แตกต่างกัน^{[ 32 ] [ 30 ]}

อัลกอริทึมการลดรูปของ Rittระบุจำนวนเต็ม${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$และแปลงพหุนามเชิงอนุพันธ์${\textstyle f}$โดยใช้การหารเทียมกับพหุนามเศษเหลือที่มีอันดับต่ำกว่าหรือเท่ากัน${\textstyle f_{red}}$ซึ่งลดลงเมื่อเทียบกับเซตพหุนามที่ลดรูปอัตโนมัติ${\textstyle A}$ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมจะลดพหุนามอินพุตบางส่วน และขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึมจะลดพหุนามทั้งหมด สูตรสำหรับการลดคือ: ^{[ 30 ]}

${\displaystyle f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .}$

ชุด${\textstyle A}$เรียกว่าลำดับอนุพันธ์ถ้าอันดับของอนุพันธ์นำคือ${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$และ${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$ลดลงเมื่อเทียบกับ${\textstyle A_{i+1}}$^{[ 33 ]}

ชุดที่ลดขนาดอัตโนมัติ${\textstyle A}$และ${\textstyle B}$แต่ละชุดประกอบด้วยองค์ประกอบพหุนามที่จัดอันดับ ขั้นตอนนี้จะจัดอันดับชุดที่ลดขนาดอัตโนมัติสองชุดโดยการเปรียบเทียบพหุนามที่มีดัชนีเหมือนกันเป็นคู่ๆ จากชุดที่ลดขนาดอัตโนมัติทั้งสองชุด^{[ 34 ]}

• ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}\in A}$และ${\displaystyle B_{1}<\cdots <B_{n}\in B}$และ${\displaystyle i,j,k\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle {\text{rank }}A<{\text{rank }}B}$ถ้ามี${\displaystyle k\leq \operatorname {minimum} (m,n)}$โดยที่${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$สำหรับ${\textstyle 1\leq i<k}$และ${\displaystyle A_{k}<B_{k}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B}$ถ้า${\displaystyle n<m}$และ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$สำหรับ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B}$ถ้า${\displaystyle n=m}$และ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$สำหรับ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

ชุดลักษณะเฉพาะ${\textstyle C}$คือ เซตย่อยลดรูปอัตโนมัติที่ มีอันดับต่ำที่สุดในบรรดาเซตย่อยลดรูปอัตโนมัติทั้งหมดของอุดมคติ ซึ่งพหุนามคั่นของเซตย่อยนั้นไม่ใช่สมาชิกของอุดมคติ${\textstyle {\mathcal {I}}}$[ ^{35 ]​}

พหุนามเดลต้าใช้ได้กับคู่พหุนาม${\textstyle p,q}$ซึ่งผู้นำเหล่านั้นมีรากฐานร่วมกัน${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$ตัวดำเนินการอนุพันธ์ร่วมที่น้อยที่สุดสำหรับอนุพันธ์นำของคู่พหุนามคือ${\textstyle \theta _{pq}}$และพหุนามเดลต้าคือ: ^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle \operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}}$

เซตที่สอดคล้องกันคือเซตพหุนามที่ลดคู่พหุนามเดลต้าให้เป็นศูนย์^{[ 36 ] [ 37 ]}

ระบบปกติ${\textstyle \Omega }$ประกอบด้วยชุดสมการเชิงอนุพันธ์ที่ลดรูปอัตโนมัติและสอดคล้องกัน${\textstyle A}$และชุดอสมการ${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$พร้อมชุด${\textstyle H_{\Omega }}$ลดลงเมื่อเทียบกับชุดสมการ^{[ 37 ]}

ความแตกต่างปกติในอุดมคติ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$และอุดมคติพีชคณิตปกติ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$เป็นอุดมคติอิ่มตัวที่เกิดขึ้นจากระบบปกติ^{[ 37 ]}ทฤษฎีบทของ Lazardระบุว่าอุดมคติเชิงอนุพันธ์ปกติและอุดมคติเชิงพีชคณิตปกติเป็นอุดมคติเชิงราก^{[ 38 ]}

• ความแตกต่างปกติในอุดมคติ :${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• ไอเดียลพีชคณิตปกติ :${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

อัลกอริทึม Rosenfeld–Gröbnerแยกองค์ประกอบของอุดมคติเชิงอนุพันธ์แบบราดิคัลออกเป็นส่วนตัดกันแบบจำกัดของอุดมคติเชิงอนุพันธ์แบบราดิคัลปกติ อุดมคติเชิงอนุพันธ์แบบราดิคัลปกติเหล่านี้ ซึ่งแสดงโดยเซตลักษณะเฉพาะ ไม่จำเป็นต้องเป็นอุดมคติเฉพาะ และการแสดงแทนนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นแบบน้อยที่สุด^{[ 39 ]}

ปัญหาการเป็นสมาชิกคือการพิจารณาว่าพหุนามเชิงอนุพันธ์นั้นเป็นพหุนามเชิงอนุพันธ์หรือไม่${\textstyle p}$เป็นสมาชิกของอุดมคติที่สร้างขึ้นจากชุดของพหุนามเชิงอนุพันธ์${\textstyle S}$อัลกอริทึม Rosenfeld–Gröbner สร้างชุดฐาน Gröbner อัลกอริทึมจะพิจารณาว่าพหุนามเป็นสมาชิกของอุดมคติก็ต่อเมื่อพหุนามเศษเหลือที่ลดลงบางส่วนเป็นสมาชิกของอุดมคติพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยฐาน Gröbner ^{[ 40 ]}

อัลกอริทึม Rosenfeld–Gröbner ช่วยให้สามารถสร้าง การขยาย อนุกรมเทย์เลอร์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ได้ ^{[ 41 ]}

ตัวอย่างที่ 1:${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y}))}$คือ ฟิลด์ ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกเชิงอนุพันธ์ ที่มี อนุพันธ์มาตรฐานเดียว

ตัวอย่างที่ 2:${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},p(y)\cdot \partial _{y})}$เป็นฟิลด์เชิงอนุพันธ์ที่มีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเป็นอนุพันธ์ สำหรับพหุนามใดๆ${\displaystyle p(y)}$.

กำหนด${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$ในฐานะผู้ปฏิบัติงานกะ${\textstyle E^{a}}$สำหรับพหุนาม${\textstyle p(y)}$.

ตัวดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน${\textstyle T}$การเดินทางไปทำงานพร้อมกับพนักงานควบคุมกะ:${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$.

อนุพันธ์ ของพินเชอร์เล (Pincherle derivative)คือ อนุพันธ์ของตัวดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน (shift-invariant operator)${\textstyle T}$, เป็น${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$[ ^{42 ]​}

วงแหวนของจำนวนเต็มคือ${\displaystyle (\mathbb {Z} .\delta )}$และจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นค่าคงที่

• อนุพันธ์ของ 1 คือศูนย์${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$.
• อีกด้วย,${\displaystyle \delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)}$.
• โดยการอุปมาน${\displaystyle \delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0}$.

ขอบเขตของจำนวนตรรกยะคือ${\displaystyle (\mathbb {Q} .\delta )}$และจำนวนตรรกยะ ทุกจำนวน เป็นค่าคงที่

• จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นผลหารของจำนวนเต็ม

  ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}}$

• ใช้สูตรการหาอนุพันธ์สำหรับผลหาร โดยตระหนักว่าอนุพันธ์ของจำนวนเต็มมีค่าเป็นศูนย์:

  ${\displaystyle \delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0}$.

ค่าคงที่ก่อตัวเป็นวงแหวนย่อยของค่าคงที่${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$[ ^{43 ]​}

องค์ประกอบ${\textstyle \exp(y)}$สร้างอุดมคติเชิงอนุพันธ์ขึ้นมาอย่างง่ายๆ${\textstyle [\exp(y)]}$ในวงแหวนดิฟเฟอเรนเชียล${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$[ ^{44 ]​}

แหวนที่มีสัญลักษณ์บ่งบอกตัวตนนั้นถือเป็นแหวนที่มีสัญลักษณ์ดังกล่าว${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$พีชคณิต^{[ 45 ]} ดังนั้นวงแหวนเชิงอนุพันธ์จึงเป็น${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$พีชคณิต.

ถ้าแหวน${\textstyle {\mathcal {R}}}$เป็นวงแหวนย่อยของจุดศูนย์กลางของวงแหวนเอกภาพ${\textstyle {\mathcal {M}}}$, แล้ว${\textstyle {\mathcal {M}}}$เป็น${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$พีชคณิต^{[ 45 ]} ดังนั้น วงแหวนเชิงอนุพันธ์จึงเป็นพีชคณิตเหนือวงแหวนย่อยเชิงอนุพันธ์ นี่คือโครงสร้างตามธรรมชาติของพีชคณิตเหนือวงแหวนย่อย^{[ 30 ]}

แหวน${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$มีพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้${\textstyle p}$(ปกติ, ไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และ${\textstyle q}$(เครื่องกำเนิดไฟฟ้าพิเศษในอุดมคติ)

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

การบูรณาการเชิงสัญลักษณ์ใช้อัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องกับพหุนามและอนุพันธ์ของพหุนาม เช่น การลด Hermite, อัลกอริธึม Czichowski, อัลกอริธึม Lazard-Rioboo-Trager, อัลกอริธึม Horowitz-Ostrogradsky, การแยกตัวประกอบแบบไม่มีกำลังสอง และการแยกตัวประกอบแบบแยกส่วนสำหรับพหุนามพิเศษและพหุนามปกติ^{[ 46 ]}

พีชคณิตเชิงอนุพันธ์สามารถระบุได้ว่าชุดสมการพหุนามเชิงอนุพันธ์มีคำตอบหรือไม่ การจัดอันดับลำดับทั้งหมดอาจระบุข้อจำกัดทางพีชคณิต การจัดอันดับการกำจัดอาจระบุได้ว่าตัวแปรอิสระหนึ่งตัวหรือกลุ่มที่เลือกสามารถแสดงสมการเชิงอนุพันธ์ได้หรือไม่ การใช้การแยกส่วนสามเหลี่ยมและลำดับการกำจัด อาจเป็นไปได้ที่จะแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทีละตัวแปรที่ไม่กำหนดเชิงอนุพันธ์ในวิธีการทีละขั้นตอน อีกแนวทางหนึ่งคือการสร้างคลาสของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีรูปแบบคำตอบที่ทราบ การจับคู่สมการเชิงอนุพันธ์กับคลาสของมันจะระบุคำตอบของสมการ มีวิธีการต่างๆ เพื่ออำนวยความสะดวกในการบูรณาการเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงอนุพันธ์พีชคณิต^{[ 47 ]}

ในการศึกษาระบบพลวัตที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่มีความโกลาหลนักวิจัยได้ใช้การกำจัดเชิงอนุพันธ์เพื่อลดสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสถานะเดียว พวกเขาประสบความสำเร็จในกรณีส่วนใหญ่ และสิ่งนี้อำนวยความสะดวกในการพัฒนาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ การประเมินความโกลาหลอย่างมีประสิทธิภาพ และการสร้างฟังก์ชัน Lyapunov [ ^{48 ] นัก} วิจัยได้ประยุกต์ใช้การกำจัดเชิงอนุพันธ์เพื่อทำความเข้าใจชีววิทยาของเซลล์แบบจำลองทางชีวเคมีแบบแบ่งส่วน การประมาณค่าพารามิเตอร์และ การประมาณ สถานะกึ่งคงที่ (QSSA) สำหรับปฏิกิริยาทางชีวเคมี^{[ 49 ] [ 50 ]} โดยใช้ฐาน Gröbner เชิงอนุพันธ์ นักวิจัยได้ตรวจสอบ คุณสมบัติ สมมาตร ที่ไม่เป็นแบบคลาสสิก ของ สมการเชิงอนุพันธ์ ที่ไม่เป็นเชิงเส้น^{[ 51 ]} การประยุกต์ใช้อื่นๆ ได้แก่ ทฤษฎีการควบคุมทฤษฎีแบบจำลองและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต [ ^{52 ] [ 16 ] [ 53 ] พีชคณิต} เชิงอนุพันธ์ยังใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์-ผลต่างด้วย^{[ 54 ]}

เอ${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$ปริภูมิเวกเตอร์${\textstyle V_{\bullet }}$คือกลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์${\textstyle V_{m}}$ด้วยดีกรี จำนวนเต็ม${\textstyle |v|=m}$สำหรับ${\textstyle v\in V_{m}}$ผลรวมโดยตรงสามารถแสดงปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับนี้ได้: ^{[ 55 ]}

${\displaystyle V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}}$

ปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับเชิงอนุพันธ์หรือคอมเพล็กซ์ลูกโซ่คือ ปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับ${\textstyle V_{\bullet }}$โดยใช้แผนที่แสดงความแตกต่างหรือแผนที่แสดงขอบเขต${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$กับ${\displaystyle d_{m}\circ d_{m+1}=0}$[ ^{56 ]​}

คอมเพล็กซ์โคเชนคือปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับ${\textstyle V^{\bullet }}$ด้วยแผนที่ความแตกต่างหรือแผนที่ขอบเขต${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$กับ${\displaystyle d_{m+1}\circ d_{m}=0}$[ ^{56 ]​}

พีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบมีระดับชั้นคือ พีชคณิตแบบมีระดับชั้น${\textstyle A}$ด้วยการอนุพันธ์เชิงเส้น${\textstyle d:A\to A}$กับ${\displaystyle d\circ d=0}$ซึ่งเป็นไปตามกฎผลคูณไลบ์นิซแบบไล่ระดับ^{[ 57 ]}

• กฎผลคูณไลบ์นิซแบบมีระดับ:${\displaystyle \forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)}$กับ${\displaystyle |a|}$ระดับของเวกเตอร์${\displaystyle a}$.

พีชคณิตลี (Lie algebra)คือปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนที่มีมิติจำกัด${\textstyle {\mathcal {g}}}$ด้วยตัวดำเนินการวงเล็บแบบสองเส้น${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$ด้วยสมมาตรแบบเฉียงและคุณสมบัติเอกลักษณ์ของจาโคบี^{[ 58 ]}

• สมมาตรแบบเฉียง:${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• คุณสมบัติเอกลักษณ์ของจาโคบี:${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {g}}}$.

ตัวดำเนินการผกผัน${\textstyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[Y,X]}$เป็นการอนุมานของวงเล็บเนื่องจากผลของตัวผกผันต่อการดำเนินการวงเล็บทวิภาคมีลักษณะคล้ายคลึงกับผลของการอนุมานต่อการดำเนินการผลคูณทวิภาค นี่คือการอนุมานภายในที่กำหนดโดย${\textstyle X}$[ ^{59 ] [ 60 ]​}

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]}$

พีชคณิต ห่อหุ้มสากล${\textstyle U({\mathcal {g}})}$ของพีชคณิตลี${\textstyle {\mathcal {g}}}$เป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยง สูงสุด ที่มีเอกลักษณ์ ซึ่งสร้างขึ้นจากองค์ประกอบของพีชคณิตลี${\textstyle {\mathcal {g}}}$และมีผลิตภัณฑ์ที่กำหนดโดยการดำเนินการวงเล็บ สูงสุดหมายความว่าโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้นจะแมปพีชคณิตสากลไปยังพีชคณิตอื่นใดที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ ตัวดำเนินการผกผันคืออนุพันธ์ตามกฎผลคูณของไลบ์นิซ^{[ 61 ]}

• ผลิตภัณฑ์ใน${\displaystyle U({\mathcal {g}})}$ :${\displaystyle X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]}$
• กฎผลคูณของไลบ์นิซ:${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})}$.

พีชคณิตเวล์ (Weyl algebra)เป็นพีชคณิตชนิดหนึ่ง${\textstyle A_{n}(K)}$ เหนือแหวน${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$ด้วยผลคูณที่ไม่สลับที่กันโดยเฉพาะ: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\$ :\ i\in \{1,\dots ,n\}} .

ผลคูณที่ไม่แน่นอนอื่นๆ ทั้งหมดเป็นแบบสลับที่ได้สำหรับ${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$:

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0}$.

พีชคณิตเวล์ (Weyl algebra) สามารถใช้แทนอนุพันธ์ของพหุนามในวงแหวนสลับที่ได้${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$องค์ประกอบของพีชคณิตเวล์ (Weyl algebra) คือเอนโดมอร์ฟิซึม (endomorphism ) ซึ่งก็คือองค์ประกอบต่างๆ${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ทำหน้าที่เป็นอนุพันธ์มาตรฐาน และองค์ประกอบแผนที่สร้าง ตัวดำเนิน การเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นโมดูล Dเป็นแนวทางที่เกี่ยวข้องสำหรับการทำความเข้าใจตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เอนโดมอร์ฟิซึมคือ: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K}$

วงแหวนแบบสมาคม ซึ่งอาจจะไม่สลับที่ได้${\textstyle A}$มีที่มา${\textstyle d:A\to A}$[ ^{63 ]​}

วงแหวนตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียม${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$เป็นด้านซ้าย${\textstyle \operatorname {A-module} }$ ประกอบด้วยองค์ประกอบวงแหวน${\textstyle L}$: ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

${\displaystyle a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\$ :\ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}}

ตัวดำเนินการอนุพันธ์คือ${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$[ ^{63 ]​}

สัมประสิทธิ์ทวินามคือ${\displaystyle {\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}}$.

การคูณตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมคือ: ^{[ 63 ]}

${\displaystyle \sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}}$