ในโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ความเป็นขอบเขตโดยสมบูรณ์ ( totally-boundedness)เป็นการขยายความของความกะทัดรัด (compactness ) สำหรับสถานการณ์ที่เซตไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิดเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์สามารถถูกปกคลุมด้วยเซตย่อยจำนวนจำกัดที่มี "ขนาด" คงที่ทุกค่า (โดยความหมายของ "ขนาด" ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของปริภูมิโดยรอบ )

คำว่าprecompact (หรือpre-compact ) บางครั้งใช้ในความหมายเดียวกัน แต่ precompact ยังใช้ในความหมายว่ากระชับสัมพัทธ์ได้ อีกด้วย คำจำกัดความเหล่านี้ตรงกันสำหรับเซตย่อยของปริภูมิเมตริกสมบูรณ์แต่ไม่ตรงกันโดยทั่วไป

ปริภูมิเมตริก จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสำหรับจำนวนจริงทุกจำนวนจะมีชุดลูกบอลเปิดรัศมี จำกัดจำนวนหนึ่ง ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ในMและผลรวมของลูกบอลเปิดเหล่านั้นประกอบด้วย  Mหรือเทียบเท่ากัน ปริภูมิเมตริกMจะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆจะมีชุดคลุมจำกัดจำนวนหนึ่งซึ่งรัศมีของแต่ละองค์ประกอบของชุดคลุมนั้นมีค่าไม่เกินซึ่งเทียบเท่ากับการมีอยู่ของε-netจำกัด^{[ 1 ]} ปริภูมิเมตริกจะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อลำดับทุกลำดับยอมรับลำดับย่อย โคชี ในปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ เซตจะกระชับก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขตโดยสมบูรณ์^{[ 2 ]}${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$

แต่ละพื้นที่ที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์จะมีขอบเขต (เช่นเดียวกับการรวมกันของเซตที่มีขอบเขตจำนวนจำกัดที่มีขอบเขต) ในทางกลับกันเป็นจริงสำหรับเซตย่อยของพื้นที่ยุคลิด (ที่มีโทโพโลยีของพื้นที่ย่อย ) แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น เซตอนันต์ที่มีเมตริกแบบ ไม่ต่อเนื่อง จะมีขอบเขตแต่ไม่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์: ^{[ 3 ]}ลูกบอลแบบไม่ต่อเนื่องทุกลูกที่มีรัศมีหรือน้อยกว่าจะเป็นเซตที่มีสมาชิกเดียว และไม่มีการรวมกันแบบจำกัดของเซตที่มีสมาชิกเดียวที่สามารถครอบคลุมเซตอนันต์ได้ ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$

เมตริกปรากฏในคำจำกัดความของขอบเขตทั้งหมดเพื่อให้แน่ใจว่าแต่ละองค์ประกอบของการปกคลุมแบบจำกัดมีขนาดที่เทียบเคียงได้ และสามารถลดทอนให้เหลือขนาดโครงสร้างสม่ำเสมอได้เซตย่อยSของปริภูมิสม่ำเสมอXมีขอบเขตทั้งหมดก็ต่อเมื่อสำหรับกลุ่มE ใดๆ มีการปกคลุมแบบจำกัดของSโดยเซตย่อยของXแต่ละเซตย่อยที่ มีกำลัง สองคาร์ทีเซียนเป็นเซตย่อยของE (กล่าวอีกนัยหนึ่งEแทนที่ "ขนาด" εและเซตย่อยมีขนาดEถ้ากำลังสองคาร์ทีเซียนของมันเป็นเซตย่อยของE ) ^{[ 4 ]}

นิยามนี้สามารถขยายออกไปได้อีก ครอบคลุมถึงพื้นที่ทุกประเภทที่มีแนวคิดเรื่องความกะทัดรัดและการเติมเต็มแบบโคชี กล่าวคือ พื้นที่จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อการเติมเต็ม (แบบโคชี) ของพื้นที่นั้นมีความกะทัดรัด

• ในปริภูมิเมตริกเซตกระชับ ทุกเซต มีขอบเขตสมบูรณ์
• เซตที่มีขอบเขตทั้งหมดทุกเซตมีขอบเขต^{[ 5 ] [ 3 ]}
• เซตย่อยของเส้นจำนวนจริงหรือโดยทั่วไปแล้วของปริภูมิยูคลิด มิติจำกัด จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นมีขอบเขต
• โดยทั่วไปแล้ว หากปริภูมิเมตริกมีคุณสมบัติไฮน์-โบเรลเซตย่อยจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นมีขอบเขตโดยสมบูรณ์
• ทรงกลมหน่วยในปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือโดยทั่วไปในปริภูมิบานาค จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (ในโทโพโลยีของบรรทัดฐาน ) ก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นมีมิติ จำกัด
• ฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอและมีขอบเขตบนเซตกระชับจะเป็นฟังก์ชันพรีคอมแพ็กต์ในโทโพโลยีเอกรูปนี่คือทฤษฎีบทของอาร์เซลา-อัสโคลี
• ปริภูมิเมตริกสามารถแยกได้ก็ต่อเมื่อปริภูมิเมตริกนั้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิเมตริกที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์^{[ 3 ]}
• การปิดของเซตย่อยที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์อีกครั้ง^{[ 6 ]}

ในปริภูมิเมตริก เซตจะกระชับก็ต่อเมื่อสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์^{[ 5 ]} หาก ไม่มีสัจพจน์ของการเลือกจะมีเพียงทิศทางไปข้างหน้าเท่านั้นที่เป็นจริง เซตพรีคอมแพ็กต์มีคุณสมบัติร่วมกันหลายประการกับเซตคอมแพ็กต์

• เช่นเดียวกับเซตกระชับ การรวมกันของเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์จำนวนจำกัดก็จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์เช่นกัน
• ต่างจากเซตกระชับ (compact sets) ตรงที่เซตย่อยทุกเซตของเซตที่มีขอบเขตสมบูรณ์ (totally bounded set) ก็มีขอบเขตสมบูรณ์เช่นกัน
• ภาพต่อเนื่องของเซตกระชับก็คือเซตกระชับ ภาพ ต่อเนื่องสม่ำเสมอของเซตก่อนกระชับก็คือเซตก่อนกระชับ

แม้ว่าแนวคิดเรื่องขอบเขตโดยสมบูรณ์จะมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปริภูมิเมตริก แต่โครงสร้างพีชคณิตที่ใหญ่กว่าของกลุ่มโทโพโลยีทำให้สามารถแลกเปลี่ยนคุณสมบัติการแยก บางส่วน ได้ ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิเมตริก เซตจะกระชับก็ต่อเมื่อสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ ภายใต้นิยามด้านล่างนี้ สิ่งเดียวกันนี้ใช้ได้กับปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีใดๆ (ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff หรือสมบูรณ์) ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

รูปแบบ เชิงตรรกะทั่วไปของนิยาม นี้ คือ: เซตย่อยของปริภูมิหนึ่งจะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเมื่อกำหนดขนาด ใดๆ แล้ว จะมีเซตคลุมจำกัดของเซตย่อยนั้นอยู่ ซึ่งแต่ละสมาชิกของเซต คลุม จะมีขนาดไม่เกิน และเซตย่อยนั้นจะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมันมีขอบเขตโดยสมบูรณ์เมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตย่อยของตัวมันเอง ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle X}$

เราใช้ข้อตกลงว่าสำหรับย่านใกล้เคียงใดๆของเอกลักษณ์ เซตย่อยเรียกว่า ( ซ้าย ) -เล็กก็ต่อเมื่อ^{[ 6 ]} เซตย่อยของกลุ่มโทโพโลยีเป็น ( ซ้าย ) ที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์หากเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้ ${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

1. นิยาม : สำหรับย่านใกล้เคียงใดๆของเอกลักษณ์จะมีจำนวนจำกัดของ ที่ทำให้${\displaystyle U}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right).}$
2. สำหรับย่านใดๆของจะมีเซตย่อยจำกัดอยู่เซตหนึ่งซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข(โดยที่ด้านขวามือคือผลรวมมินคอฟสกี )${\displaystyle U}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle F\subseteq X}$${\displaystyle S\subseteq F+U}$${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$
3. สำหรับย่านใกล้เคียงใดๆของจะมีเซตย่อยจำนวนจำกัดของซึ่งแต่ละเซตย่อยมีขนาดเล็ก^{[ 6 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle U}$
4. สำหรับซับเบสตัวกรอง ที่กำหนดของ ตัวกรองย่านใกล้เคียงขององค์ประกอบเอกลักษณ์(ซึ่งประกอบด้วยย่านใกล้เคียงทั้งหมดของใน) และสำหรับทุกๆจะมีการครอบคลุมของโดยเซตย่อยขนาดเล็กจำนวนจำกัดของ^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$
5. ${\displaystyle S}$มีขอบเขตโคชี : สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของเอกลักษณ์และทุกเซตย่อยอนันต์ที่นับได้ของจะมี ที่แตกต่างกันอยู่เช่นนั้น^{[ 6 ]} (ถ้าเป็นเซตจำกัด เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงโดยปริยาย )${\displaystyle U}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle x,y\in I}$${\displaystyle xy\in U.}$${\displaystyle S}$
6. เซตใดเซตหนึ่งในสามเซตต่อไปนี้ตรงตาม (คำจำกัดความใดๆ ข้างต้น) การเป็นเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (ทางซ้าย):
   1. การปิด ใน^{[ 6 ]}​${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$
      • การที่เซตนี้อยู่ในรายการหมายความว่าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: เซตนั้นมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (ทางซ้าย) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (ทางซ้าย) (ตามเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งที่กล่าวถึงข้างต้น) เงื่อนไขเดียวกันนี้ใช้ได้กับเซตอื่นๆ ที่ระบุไว้ด้านล่างด้วย${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$
   2. ภาพของภายใต้ผลหารมาตรฐานซึ่งกำหนดโดย(โดยที่คือองค์ประกอบเอกลักษณ์)${\displaystyle S}$${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$${\displaystyle 0}$
   3. ผลรวม^{[ 9 ]}${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

คำว่าpre-compactมักปรากฏในบริบทของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีของ Hausdorff ^{[ 10 ] [ 11 ]} ในกรณีนั้น เงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดก็เทียบเท่ากับการมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (ทางซ้าย) เช่นกัน: ${\displaystyle S}$

7. ในการปิดให้เสร็จสมบูรณ์ นั้นกระชับ^{[ 10 ] [ 12 ]}${\displaystyle {\widehat {X}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$${\displaystyle S}$
8. ตัวกรองละเอียดพิเศษทุกตัวเป็นตัวกรองแบบคอชี (Cauchy filter )${\displaystyle S}$

นิยามของขอบเขตที่ถูกต้องโดยสมบูรณ์นั้นคล้ายคลึงกัน กล่าวคือ เพียงแค่สลับลำดับของผลคูณเท่านั้น

เงื่อนไขที่ 4 บ่งชี้ว่าเซตย่อยใด ๆ ของ นั้นมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (อันที่จริงคือ กระชับ ดู§ การเปรียบเทียบกับเซตกระชับด้านบน) ถ้าไม่ใช่ Hausdorff แล้ว ตัวอย่างเช่นเป็นเซตกระชับสมบูรณ์ที่ไม่ปิด^{[ 6 ]}${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีใดๆ เป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีแบบอาเบลภายใต้การบวก ดังนั้นเงื่อนไขข้างต้นจึงใช้ได้ ในทางประวัติศาสตร์ ข้อความ 6(a) เป็นการกำหนดใหม่ครั้งแรกของขอบเขตทั้งหมดสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งมีที่มาจากบทความของJohn von Neumann ในปี 1935 ^{[ 13 ]}

นิยามนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือ ในปริภูมิเว้าเฉพาะที่ซึ่งมีโทโพโลยีแบบอ่อนเซตพรีคอมแพ็กต์ก็คือเซตที่มีขอบเขตนั่นเอง

สำหรับปริภูมิ Banach ที่แยกได้ มีการกำหนดลักษณะที่ดีของเซตพรีคอมแพ็กต์ (ในโทโพโลยีบรรทัดฐาน) ในแง่ของลำดับฟังก์ชันที่ลู่เข้าอย่างอ่อน: ถ้าเป็นปริภูมิ Banach ที่แยกได้ จะเป็นพรีคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่อลำดับฟังก์ชันที่ลู่เข้าอย่างอ่อน ทุกลำดับลู่เข้า อย่างสม่ำเสมอบน^{[ 14 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S.}$

• ขอบเขตสมดุลของเซตย่อยที่มีขอบเขตทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะมีขอบเขตทั้งหมดอีกครั้ง^{[ 6 ] [ 15 ]}
• ผลรวมมินคอฟสกีของเซตกระชับ (มีขอบเขตโดยสมบูรณ์) สองเซต ก็เป็นเซตกระชับ (หรือมีขอบเขตโดยสมบูรณ์) เช่นกัน
• ในพื้นที่นูนเฉพาะที่ (Hausdorff) ขอบเขตนูนและขอบเขตวงกลมของเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสมบูรณ์^{[ 16 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

• พื้นที่ขนาดกะทัดรัด
• พื้นที่ขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
• การวัดความไม่กะทัดรัด
• พื้นที่ออร์โธคอมแพค
• พื้นที่พาราคอมแพ็กต์
• พื้นที่ย่อยที่มีขนาดกะทัดรัดค่อนข้างมาก