ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของวัตถุXคือกลุ่มที่ประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมของXภายใต้การประกอบของมอร์ฟิซึมตัวอย่างเช่น ถ้าXเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของXคือกลุ่มของการแปลงเชิงเส้น ผกผันได้ จากXไปยังตัวมันเอง ( กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของX ) แต่ถ้าXเป็นกลุ่ม กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือ ...${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$คือกลุ่มที่ประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมกลุ่ม ทั้งหมด ของX

โดยเฉพาะในบริบททางเรขาคณิต กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมยังถูกเรียกว่ากลุ่มสมมาตรด้วย กลุ่มย่อยของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมบางครั้งเรียกว่ากลุ่มการแปลง

กลุ่มออโตมอ ร์ฟิซึมได้รับการศึกษาในภาพรวมในสาขาทฤษฎีหมวดหมู่

ถ้าXเป็นเซตที่ไม่มีโครงสร้างเพิ่มเติม การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากXไปยังตัวมันเองจะเป็นออโตมอร์ฟิซึม ดังนั้นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของXในกรณีนี้ก็คือกลุ่มสมมาตรของX นั่นเอง แต่ ถ้าเซตXมีโครงสร้างเพิ่มเติม อาจเป็นไปได้ว่าการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงบนเซตนั้นไม่ได้รักษาโครงสร้างนี้ไว้ทั้งหมด ในกรณีเช่นนั้น กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจะเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรบนXตัวอย่างบางส่วนของกรณีนี้ได้แก่:

• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของส่วนขยายฟิลด์${\displaystyle L/K}$กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์Lที่ตรึงK ไว้ ถ้าส่วนขยายของฟิลด์เป็นกลุ่มกาโลอิสกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมนั้นจะเรียกว่ากลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายของฟิลด์
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงโปรเจก ทีฟ nมิติเหนือฟิลด์kคือกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$^{[ 1 ]}
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึม${\displaystyle G}$ของกลุ่มวัฏจักร จำกัด อันดับnนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$กลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูลnโดยมีไอโซมอร์ฟิซึมที่กำหนดโดย${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$[ ^{2 ]}โดยเฉพาะอย่าง^ยิ่ง${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มอาเบเลียน
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี จริงมิติจำกัด${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$มีโครงสร้างเป็นกลุ่มลี (จริง) (อันที่จริง มันเป็นกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น ด้วย ซ้ำ ดูด้านล่าง ) ถ้าGเป็นกลุ่มลีที่มีพีชคณิตลี${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ดังนั้น กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของGจึงมีโครงสร้างเป็นกลุ่มลีที่เหนี่ยวนำมาจากกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{3 ] [ 4 ] [ a ]​}

ถ้าGเป็นกลุ่มที่กระทำต่อเซตXการกระทำนั้นจะเทียบเท่ากับการส่งแบบโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากGไปยังกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของXและในทางกลับกัน ที่จริงแล้ว การกระทำทางซ้ายของG แต่ละครั้ง บนเซตXจะกำหนด${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$และในทางกลับกัน โฮโมมอร์ฟิซึมแต่ละตัว${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$กำหนดการกระทำโดย${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$แนวคิดนี้ขยายไปถึงกรณีที่เซตXมีโครงสร้างมากกว่าแค่เซต ตัวอย่างเช่น ถ้าXเป็นปริภูมิเวกเตอร์ การกระทำของกลุ่มGบนXจะเป็นการแทนกลุ่มGโดยแทนGในรูปของกลุ่มการแปลงเชิงเส้น (ออโตมอร์ฟิซึม) ของXการแทนเหล่านี้เป็นหัวข้อหลักของการศึกษาในสาขาทฤษฎีการแทน

ต่อไปนี้เป็นข้อเท็จจริงเพิ่มเติมเกี่ยวกับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม:

• อนุญาต${\displaystyle A,B}$เป็นเซตจำกัดสองเซตที่มีจำนวนสมาชิก เท่ากัน และ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$เซตของการจับคู่แบบหนึ่ง ต่อหนึ่งทั้งหมด${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$. แล้ว${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตร (ดูด้านบน) กระทำต่อ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$จากทางซ้ายอย่างอิสระและโดยนัยกล่าวคือ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$เป็นทอร์เซอร์สำหรับ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$(ดูเพิ่มเติมที่#ในทฤษฎีหมวดหมู่ )
• ให้Pเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด เหนือริงRแล้วจะมีembedding${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึง ออโตมอร์ฟิ ซึมภายใน^{[ 5 ]}

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมปรากฏขึ้นอย่างเป็นธรรมชาติในทฤษฎีหมวดหมู่

ถ้าXเป็นวัตถุในหมวดหมู่หนึ่ง กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของXคือกลุ่มที่ประกอบด้วยมอร์ฟิ ซึมผกผันได้ทั้งหมด จากXไปยังตัวมันเอง มันคือกลุ่มเอกลักษณ์ของโมโนอิดเอนโดมอร์ฟิซึมของX (ดูตัวอย่างได้ใน PROP )

ถ้า${\displaystyle A,B}$หากวัตถุอยู่ในหมวดหมู่ใดหมวดหมู่หนึ่ง เซตนั้นก็จะเป็นเช่นนั้น${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ของทั้งหมด${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$เป็นด้านซ้าย${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$- ทอร์เซอร์ในทางปฏิบัติ หมายความว่า การเลือกจุดฐานที่แตกต่างกันของ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$แตกต่างกันอย่างชัดเจนด้วยองค์ประกอบหนึ่ง${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง การเลือกจุดฐานแต่ละครั้งนั้นก็คือการเลือกการลดทอนความซับซ้อนของทอร์เซอร์นั่นเอง

ถ้า${\displaystyle X_{1}}$และ${\displaystyle X_{2}}$วัตถุอยู่ในหมวดหมู่${\displaystyle C_{1}}$และ${\displaystyle C_{2}}$และถ้า${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$เป็นการแมปฟังก์ชัน${\displaystyle X_{1}}$ถึง${\displaystyle X_{2}}$, แล้ว${\displaystyle F}$ชักนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$เนื่องจากมันแปลงมอร์ฟิซึมที่ผกผันได้ไปเป็นมอร์ฟิซึมที่ผกผันได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าGเป็นกลุ่มที่มองว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเดียว * หรือโดยทั่วไปแล้ว ถ้าGเป็นกรุปอยด์แล้วฟังก์ชันแต่ละตัว${\displaystyle F:G\to C}$Cซึ่งเป็นหมวดหมู่ เรียกว่า การกระทำหรือการแสดงแทนของGบนวัตถุ${\displaystyle F(*)}$หรือวัตถุเหล่านั้น${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$วัตถุเหล่านั้นจึงถูกเรียกว่า${\displaystyle G}$-วัตถุ (ตามที่กระทำโดย)${\displaystyle G}$); เปรียบเทียบ${\displaystyle \mathbb {S} }$-วัตถุถ้า${\displaystyle C}$ถ้าเป็นหมวดหมู่โมดูล เช่น หมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด แล้ว${\displaystyle G}$-วัตถุต่างๆ เรียกอีกอย่างว่า${\displaystyle G}$-โมดูล

อนุญาต${\displaystyle M}$M คือปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์kที่มีโครงสร้างทางพีชคณิตบางอย่าง (กล่าวคือM เป็น พีชคณิตมิติจำกัดเหนือk ) ตัวอย่างเช่น อาจเป็นพีชคณิตแบบสมาคมหรือพีชคณิตลีก็ได้

ทีนี้ ลองพิจารณาแผนที่เชิงเส้นkกัน${\displaystyle M\to M}$ซึ่งรักษาโครงสร้างทางพีชคณิตไว้ กล่าวคือ พวกมันก่อตัวเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ของ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$กลุ่มหน่วยของ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$เมื่อ เลือกฐานบนM แล้ว${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$คือปริภูมิของเมทริกซ์จัตุรัสและ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$คือเซตศูนย์ของสมการพหุนาม บางสมการ และความสามารถในการผกผันนั้นอธิบายได้ด้วยพหุนามอีกครั้ง ดังนั้น${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$เป็นกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นเหนือk

ตอนนี้ส่วนขยายฐานที่ใช้กับการอภิปรายข้างต้นจะกำหนดฟังก์ชัน: ^{[ 6 ]}กล่าวคือ สำหรับแต่ละวงแหวนสลับที่Rเหนือkให้พิจารณาแผนที่เชิงเส้นR${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$รักษาโครงสร้างทางพีชคณิตไว้: ให้ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$จากนั้นกลุ่มหน่วยของวงแหวนเมทริกซ์${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมเหนือR${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$และ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$คือฟังก์ชันกลุ่ม (group functor ) : ฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่เหนือkไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันกลุ่มนี้สามารถแทนด้วยสกีม (scheme) (เนื่องจากกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมถูกกำหนดโดยพหุนาม) สกีมนี้เรียกว่าสกีมกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมและใช้สัญลักษณ์ แทน${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$.

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมอาจไม่สามารถแทนด้วยสกีมได้

• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก
• โครงสร้างระดับ (Level structure ) เทคนิคในการกำจัดกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม (Automorphism group)
• กลุ่มโฮโลโนมี

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme