ตาข่าย${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$กล่าวกันว่าในที่สุดหรือโดยส่วนที่เหลืออยู่ในชุด${\displaystyle S}$ถ้ามีอยู่จริง${\displaystyle a\in A}$โดยที่สำหรับทุกๆ${\displaystyle b\in A}$กับ${\displaystyle b\geq a,}$ประเด็น${\displaystyle x_{b}\in S.}$จุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X}$เรียกว่าจุดจำกัดหรือขีดจำกัดของเครือข่าย${\displaystyle x_{\bullet }}$ใน${\displaystyle X}$เมื่อใดก็ตามที่:

สำหรับทุกย่านที่ เปิดโล่ง${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle x,}$ตาข่าย${\displaystyle x_{\bullet }}$ในที่สุดก็อยู่ใน${\displaystyle U}$,

แสดงออกมาในรูปแบบที่เทียบเท่ากันได้ดังนี้: สุทธิบรรจบกันที่/มุ่งไปยัง${\displaystyle x}$หรือมี${\displaystyle x}$ในฐานะขีดจำกัดและมีการแสดงความหมายต่างๆ ดังนี้:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ ใน }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ ใน }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ ใน }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ ใน }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ ใน }}X.\end{alignedat}}}$$ถ้า${\displaystyle X}$หากบริบทชัดเจนอยู่แล้ว อาจละเว้นจากการเขียนได้

ถ้า${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$และขีดจำกัดนี้เป็นเอกลักษณ์ (เช่น${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$สำหรับเท่านั้น${\displaystyle x=y}$) จากนั้นจึงเขียนว่า:$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ หรือ }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ หรือ }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$โดยใช้เครื่องหมายเท่ากับแทนลูกศร${\displaystyle \to .}$^{[ 4 ]}ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ ลิมิตของเน็ตที่ลู่เข้าจะมีเอกลักษณ์ ^{[ 4 ]} ผู้เขียนบางคนไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างสัญลักษณ์${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$และ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$แต่สิ่งนี้อาจนำไปสู่ความคลุมเครือได้หากพื้นที่โดยรอบ${\displaystyle X}$ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ

ตาข่าย${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$กล่าวกันว่าบ่อยครั้งหรือในที่สุดใน${\displaystyle S}$ถ้าสำหรับทุกๆ${\displaystyle a\in A}$มีอยู่บ้าง${\displaystyle b\in A}$โดยที่${\displaystyle b\geq a}$และ${\displaystyle x_{b}\in S.}$^{[ 5 ]}จุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X}$กล่าวกันว่าเป็นจุดสะสมหรือจุดรวมกลุ่มของเครือข่าย หากเป็นสำหรับทุกย่าน${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle x,}$อินเทอร์เน็ตมักจะ/ในที่สุดก็อยู่ใน${\displaystyle U.}$^{[ 5 ]}ในความเป็นจริง${\displaystyle x\in X}$จะเป็นจุดคลัสเตอร์ก็ต่อเมื่อมีซับเน็ตที่บรรจบกันที่จุดนั้น${\displaystyle x.}$^{[ 6 ]}ชุด${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$ของจุดคลัสเตอร์ทั้งหมดของ${\displaystyle x_{\bullet }}$ใน${\displaystyle X}$เท่ากับ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle a\in A}$, ที่ไหน${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$.

แนวคิดที่เทียบเคียงได้กับ " ลำดับย่อย " สำหรับเน็ตคือแนวคิดของ "ซับเน็ต" มีคำจำกัดความของ "ซับเน็ต" ที่แตกต่างกันหลายแบบซึ่งไม่เทียบเท่ากัน และบทความนี้จะใช้คำจำกัดความที่ Stephen Willard นำเสนอในปี 1970 ^{[ 7 ]}ซึ่งมีดังนี้: ถ้า${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$และ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$แล้วตาข่ายล่ะ${\displaystyle s_{\bullet }}$เรียกว่าซับเน็ตหรือวิลลาร์ดซับเน็ต^{[ 7 ]}ของ${\displaystyle x_{\bullet }}$หากมีแผนที่ที่รักษาลำดับไว้${\displaystyle h:I\to A}$โดยที่${\displaystyle h(I)}$เป็น เซตย่อย ร่วมสุดท้ายของ${\displaystyle A}$และ $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ สำหรับทุก }}i\in I.}$$ แผนที่${\displaystyle h:I\to A}$เรียกว่าการรักษาลำดับและโฮโมมอร์ฟิซึมลำดับถ้าเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle i\leq j}$แล้ว${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ ชุด${\displaystyle h(I)}$เป็นรอบชิงชนะเลิศร่วมใน${\displaystyle A}$หมายความว่าสำหรับทุกๆ${\displaystyle a\in A,}$มีอยู่บ้าง${\displaystyle b\in h(I)}$โดยที่${\displaystyle b\geq a.}$

ถ้า${\displaystyle x\in X}$เป็นจุดรวมกลุ่มของเครือข่ายย่อยบางส่วนของ${\displaystyle x_{\bullet }}$แล้ว${\displaystyle x}$นอกจากนี้ยังเป็นจุดรวมของ${\displaystyle x_{\bullet }.}$^{[ 6 ]}

ตาข่าย${\displaystyle x_{\bullet }}$ในชุด${\displaystyle X}$เรียกว่าอินเทอร์เน็ตสากลหรืออัลตร้าเน็ตถ้าสำหรับทุกชุดย่อย${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$ในที่สุดก็อยู่ใน${\displaystyle S}$หรือ${\displaystyle x_{\bullet }}$ในที่สุดก็อยู่ในส่วนเติมเต็ม${\displaystyle X\setminus S.}$^{[ 5 ]}

ทุกเน็ตคงที่คืออัลตราเน็ต (แบบไม่สำคัญ) ทุกซับเน็ตของอัลตราเน็ตคืออัลตราเน็ต^{[ 8 ]}สมมติว่าสัจพจน์ของการเลือกทุกเน็ตมีซับเน็ตบางส่วนที่เป็นอัลตราเน็ต แต่ไม่เคยมีการสร้างอัลตราเน็ตที่ไม่สำคัญอย่างชัดเจน^{[ 5 ]} ถ้า${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$เป็นอัลตร้าเน็ตใน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นฟังก์ชันแล้ว${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$เป็นอัลตร้าเน็ตใน${\displaystyle Y.}$^{[ 5 ]}

ที่ให้ไว้${\displaystyle x\in X,}$กลุ่มอัลตร้าเน็ตที่${\displaystyle x}$ก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าสู่${\displaystyle x.}$^{[ 5 ]}

เครือข่ายโคชีขยายแนวคิดของลำดับโคชีไปยังเครือข่ายที่กำหนดบนพื้นที่สม่ำเสมอ^{[ 9 ]}

ตาข่าย${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$เป็นตาข่ายคอชีหากใช้กับผู้ติดตาม${\displaystyle V}$มีอยู่จริง${\displaystyle c\in A}$โดยที่สำหรับทั้งหมด${\displaystyle a,b\geq c,}$${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$เป็นสมาชิกของ${\displaystyle V.}$^{[ 9 ] [ 10 ]}โดยทั่วไปแล้ว ในปริภูมิโคชีเน็ต${\displaystyle x_{\bullet }}$เรียกว่าเป็นตัวกรองโคชี (Cauchy filter ) ถ้าตัวกรองที่สร้างโดยโครงข่ายนั้นเป็นตัวกรองโคชี

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) เรียกว่าสมบูรณ์ถ้าทุกเครือข่ายโคชีลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่งปริภูมิบรรทัดฐานซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีชนิดพิเศษ จะเป็น TVS ที่สมบูรณ์ (หรือเทียบเท่ากับปริภูมิบานาค ) ก็ต่อเมื่อทุกลำดับโคชีลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่ง (คุณสมบัตินี้เรียกว่าความสมบูรณ์เชิงลำดับ ) แม้ว่าเครือข่ายโคชีจะไม่จำเป็นสำหรับการอธิบายความสมบูรณ์ของปริภูมิบรรทัดฐาน แต่จำเป็นสำหรับการอธิบายความสมบูรณ์ของ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่ทั่วไปกว่า (อาจไม่มีบรรทัดฐาน )

เซตย่อย${\displaystyle S\subseteq X}$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อทุกจุดจำกัดใน${\displaystyle X}$ของตาข่ายใน${\displaystyle S}$จำเป็นต้องอยู่ใน${\displaystyle S}$กล่าวโดยชัดเจน หมายความว่า ถ้า${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$เป็นตาข่ายที่มี${\displaystyle s_{a}\in S}$สำหรับทุกคน${\displaystyle a\in A}$, และ${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle x\in S.}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้า${\displaystyle S\subseteq X}$คือเซตย่อยใดๆการปิดของ${\displaystyle S}$คือเซตของจุด${\displaystyle x\in X}$กับ${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$สำหรับเน็ตบางส่วน${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ใน${\displaystyle S}$[ ^{6 ]​}

เซตย่อย${\displaystyle S\subseteq X}$จะเปิดได้ก็ต่อเมื่อไม่มีตาข่ายกั้นเท่านั้น${\displaystyle X\setminus S}$บรรจบกันที่จุดหนึ่ง${\displaystyle S.}$^{[ 11 ]}นอกจากนี้ เซตย่อย${\displaystyle S\subseteq X}$จะเปิดได้ก็ต่อเมื่อเน็ตทุกตัวที่ลู่เข้าสู่องค์ประกอบของ${\displaystyle S}$ในที่สุดก็ถูกบรรจุไว้ใน${\displaystyle S.}$ ลักษณะเฉพาะของ " เซตย่อยเปิด " เหล่านี้เองที่ทำให้เน็ตสามารถใช้ในการกำหนดลักษณะของโทโพโลยีได้โทโพโลยีสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยเซตย่อยปิดเช่นกัน เนื่องจากเซตจะเป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อเซตส่วนเติมเต็มของมันเป็นเซตปิด ดังนั้นลักษณะเฉพาะของ " เซตปิด " ในแง่ของเน็ตจึงสามารถนำมาใช้ในการกำหนดลักษณะของโทโพโลยีได้เช่นกัน

ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to Y}$ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีมีความต่อเนื่องณ จุดหนึ่ง${\displaystyle x}$ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเน็ตเท่านั้น${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ในโดเมน${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle X}$หมายความว่า${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ใน${\displaystyle Y.}$^{[ 6 ]} โดยสรุป ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to Y}$ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle X}$หมายความว่า${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ใน${\displaystyle Y.}$ โดยทั่วไปแล้ว ข้อความนี้จะไม่เป็นความจริงหากคำว่า "เน็ต" ถูกแทนที่ด้วยคำว่า "ลำดับ" กล่าวคือ จำเป็นต้องอนุญาตให้มีเซตแบบมีทิศทางอื่นนอกเหนือจากจำนวนธรรมชาติด้วย${\displaystyle X}$ไม่ใช่ปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรก (หรือไม่ใช่ปริภูมิแบบลำดับ )

พื้นที่${\displaystyle X}$จะมีขนาดกะทัดรัดก็ต่อเมื่อทุกเน็ต${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ใน${\displaystyle X}$มีซับเน็ตที่มีข้อจำกัดใน${\displaystyle X.}$สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตรัสและทฤษฎีบทไฮเน-โบเรล

เซตของจุดรวมกลุ่มของโครงข่ายเท่ากับเซตของขอบเขตของโครงข่ายย่อย ที่ลู่เข้าของโครงข่าย นั้น

เครือข่ายจะมีขีดจำกัดก็ต่อเมื่อเครือข่ายย่อยทั้งหมดของเครือข่ายนั้นมีขีดจำกัดเช่นกัน ในกรณีนั้น ขีดจำกัดทุกอย่างของเครือข่ายก็จะเป็นขีดจำกัดของเครือข่ายย่อยทุกเครือข่ายด้วย

โดยทั่วไปแล้ว ตาข่ายในอวกาศ${\displaystyle X}$อาจมีข้อจำกัดมากกว่าหนึ่งข้อ แต่ถ้า${\displaystyle X}$หากเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟลิมิตของเน็ต หากมีอยู่ จะมีเพียงหนึ่งเดียว ในทางกลับกัน หาก${\displaystyle X}$ถ้าไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ ก็แสดงว่ามีโครงข่ายอยู่บน${\displaystyle X}$โดยมีขีดจำกัดที่แตกต่างกันสองจุด ดังนั้น ความไม่ซ้ำกันของขีดจำกัดจึงเทียบเท่ากับเงื่อนไขเฮาส์ดอร์ฟในปริภูมิ และในความเป็นจริงแล้ว สิ่งนี้อาจถือได้ว่าเป็นนิยาม ผลลัพธ์นี้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขทิศทาง เซตที่จัดทำดัชนีโดยลำดับก่อนหน้า ทั่วไป หรือลำดับบางส่วนอาจมีจุดขีดจำกัดที่แตกต่างกันแม้ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ

ถ้าชุดนั้น${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$ได้รับคุณสมบัติทางโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำโดย${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle S.}$ด้วยวิธีนี้ คำถามที่ว่าตาข่ายนั้นมีอยู่จริงหรือไม่${\displaystyle x_{\bullet }}$ลู่เข้าสู่จุดที่กำหนด${\displaystyle x}$ขึ้นอยู่กับปริภูมิย่อยเชิงทอพอโลยีนี้เพียงอย่างเดียว${\displaystyle S}$ประกอบด้วย${\displaystyle x}$และภาพของ (นั่นคือ จุดต่างๆ ของ) ตาข่าย${\displaystyle x_{\bullet }.}$

โดยสัญชาตญาณ การบรรจบกันของเครือข่าย${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$หมายความว่าค่าต่างๆ${\displaystyle x_{a}}$มาอยู่ใกล้ๆ กับเราได้เลยตามที่เราต้องการ${\displaystyle x}$สำหรับขนาดใหญ่พอ${\displaystyle a.}$เมื่อกำหนดจุดหนึ่งแล้ว${\displaystyle x}$ในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ให้${\displaystyle N_{x}}$แทนเซตของย่านใกล้เคียง ทั้งหมด ที่ประกอบด้วย${\displaystyle x.}$แล้ว${\displaystyle N_{x}}$เป็นเซตที่มีทิศทาง โดยทิศทางกำหนดโดยการรวมแบบย้อนกลับ ดังนั้น${\displaystyle S\geq T}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle S}$บรรจุอยู่ใน${\displaystyle T.}$สำหรับ${\displaystyle S\in N_{x},}$อนุญาต${\displaystyle x_{S}}$เป็นจุดหนึ่งใน${\displaystyle S.}$แล้ว${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$เป็นตาข่าย${\displaystyle S}$เพิ่มขึ้นเมื่อเทียบกับ${\displaystyle \,\geq ,}$คะแนน${\displaystyle x_{S}}$ในเครือข่ายนั้นถูกจำกัดให้อยู่ในบริเวณใกล้เคียงที่มีขนาดลดลงเรื่อยๆ${\displaystyle x,}$ดังนั้น ในระบบบริเวณใกล้เคียงของจุดหนึ่ง${\displaystyle x}$,${\displaystyle x_{S}}$บรรจบกันอย่างแท้จริง${\displaystyle x}$ตามนิยามของการบรรจบกันสุทธิ

เมื่อกำหนดฐานย่อยแล้ว${\displaystyle {\mathcal {B}}}$สำหรับโทโพโลยีบน${\displaystyle X}$(โดยโปรดทราบว่า ฐานทุก ฐาน สำหรับโทโพโลยีก็เป็นฐานย่อยด้วย) และกำหนดจุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X,}$ตาข่าย${\displaystyle x_{\bullet }}$ใน${\displaystyle X}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle x}$ก็ต่อเมื่อมันมีอยู่ในทุกย่านในที่สุดเท่านั้น${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ของ${\displaystyle x.}$ลักษณะเฉพาะนี้ขยายไปถึงฐานย่อยในบริเวณใกล้เคียง (และรวมถึงฐานในบริเวณใกล้เคียง ด้วย ) ของจุดที่กำหนด${\displaystyle x.}$

เครือข่ายในพื้นที่ผลิตภัณฑ์จะมีขีดจำกัดก็ต่อเมื่อการฉายภาพแต่ละครั้งมีขีดจำกัดเท่านั้น

กล่าวอย่างชัดเจน ให้${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี กำหนดค่า ผลคูณ คาร์ทีเซียนให้กับปริภูมิ เหล่านั้น$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$ ด้วยโครงสร้างผลิตภัณฑ์และสำหรับทุกดัชนี${\displaystyle l\in I,}$แสดงถึงการฉายภาพแบบแคนอนิกไปยัง${\displaystyle X_{l}}$โดย $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

อนุญาต${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$เป็นตาข่ายใน${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$กำกับโดย${\displaystyle A}$และสำหรับทุกดัชนี${\displaystyle i\in I,}$อนุญาต $${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$ แสดงถึงผลลัพธ์ของการ "เสียบปลั๊ก"${\displaystyle f_{\bullet }}$เข้าไปข้างใน${\displaystyle \pi _{i}}$ซึ่งส่งผลให้ได้ผลลัพธ์สุทธิ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$ บางครั้ง การคิดถึงคำจำกัดความนี้ในแง่ของการประกอบฟังก์ชัน ก็มีประโยชน์ เช่น เครือข่าย${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$เท่ากับองค์ประกอบของตาข่าย${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ด้วยการฉายภาพ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$นั่นคือ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

สำหรับจุดใดจุดหนึ่ง${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ตาข่าย${\displaystyle f_{\bullet }}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle L}$ในพื้นที่ผลิตภัณฑ์${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกดัชนี${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle L_{i}}$ใน${\displaystyle X_{i}.}$^{[ 15 ]} และเมื่อใดก็ตามที่เครือข่าย${\displaystyle f_{\bullet }}$กลุ่มที่${\displaystyle L}$ใน${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$แล้ว${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$กลุ่มที่${\displaystyle L_{i}}$สำหรับทุกดัชนี${\displaystyle i\in I.}$^{[ 8 ]}อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงโดยทั่วไป ^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่น สมมติว่า${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$และปล่อยให้${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$แสดงถึงลำดับ${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$ที่สลับกันระหว่าง${\displaystyle (1,1)}$และ${\displaystyle (0,0).}$แล้ว${\displaystyle L_{1}:=0}$และ${\displaystyle L_{2}:=1}$เป็นจุดรวมของทั้งสอง${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$และ${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$ใน${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$แต่${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$ไม่ใช่จุดรวมของ${\displaystyle f_{\bullet }}$เนื่องจากลูกบอลเปิดที่มีรัศมี${\displaystyle 1}$อยู่ตรงกลางที่${\displaystyle (0,1)}$ไม่มีแม้แต่จุดเดียว${\displaystyle f_{\bullet }}$

ถ้าไม่${\displaystyle L\in X}$ได้รับแล้ว แต่สำหรับทุกๆ${\displaystyle i\in I,}$มีอยู่บ้าง${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$โดยที่${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$ใน${\displaystyle X_{i}}$จากนั้นทูเปิลที่กำหนดโดย${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$จะเป็นขีดจำกัดของ${\displaystyle f_{\bullet }}$ใน${\displaystyle X.}$ อย่างไรก็ตามอาจจำเป็นต้องตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับสัจพจน์ของการเลือก เพื่อสรุปว่าคู่ลำดับนี้เป็นเช่นนั้น${\displaystyle L}$มีอยู่จริง; หลักการพื้นฐานของการเลือกไม่จำเป็นต้องใช้ในบางสถานการณ์ เช่น เมื่อ${\displaystyle I}$มีค่าจำกัด หรือเมื่อทุกๆ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$คือ ขีดจำกัด เฉพาะของเครือข่าย${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$(เพราะในกรณีนั้นจะไม่มีอะไรให้เลือก) ซึ่งเกิดขึ้นตัวอย่างเช่น เมื่อทุกๆ${\displaystyle X_{i}}$เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟถ้า${\displaystyle I}$เป็นอนันต์และ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$หากไม่ว่างเปล่า ในกรณีนั้น สัจพจน์ของการเลือก (โดยทั่วไป) ก็ยังคงจำเป็นอยู่เพื่อสรุปว่าการฉายภาพนั้น${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$เป็นแผนที่แบบทั่วถึง (surjective maps )

สัจพจน์ของการเลือกนั้นเทียบเท่ากับทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์ซึ่งกล่าวว่า ผลคูณของกลุ่มของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบกระชับใดๆ ก็ตามจะเป็นปริภูมิแบบกระชับ แต่ถ้าปริภูมิแบบกระชับทุกปริภูมิเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟด้วยแล้ว ทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับก็สามารถนำมาใช้แทนได้ ซึ่งเทียบเท่ากับบทตั้งอัลตราฟิลเตอร์และอ่อนกว่าสัจพจน์ของการเลือก อย่างเคร่งครัด สามารถใช้เน็ตเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์ทั้งสองเวอร์ชันได้อย่างสั้นๆ โดยใช้ลักษณะเฉพาะของการลู่เข้าของเน็ตที่กล่าวไว้ข้างต้น ร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิจะเป็นแบบกระชับก็ต่อเมื่อทุกเน็ตมีซับเน็ตที่ ลู่เข้า

ขีดจำกัดบนและขีดจำกัดล่างของเน็ตของจำนวนจริงสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกับลำดับ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}ผู้เขียนบางคนทำงานกับโครงสร้างทั่วไปมากกว่าเส้นจำนวนจริง เช่น แลตทิ ซที่สมบูรณ์^{[ 19 ]}

สำหรับตาข่าย${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$ใส่ $${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

ลิมิตสูงสุดของเน็ตของจำนวนจริงมีคุณสมบัติหลายอย่างที่คล้ายคลึงกับกรณีของลำดับ ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$ โดยความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่เน็ตใดเน็ตหนึ่งลู่เข้า

นิยามของค่าอินทิกรัลรีมันน์สามารถตีความได้ว่าเป็นลิมิตของเน็ตของผลรวมรีมันน์โดยที่เซตทิศทางของเน็ตคือเซตของการแบ่งช่วงทั้งหมดของช่วงการอินทิเกรต ซึ่งเรียงลำดับบางส่วนตามการรวม

สมมติ${\displaystyle (M,d)}$เป็นปริภูมิเมตริก (หรือปริภูมิเสมือนเมตริก ) และ${\displaystyle M}$มีคุณสมบัติทางโทโพโลยีแบบเมตริกถ้า${\displaystyle m\in M}$เป็นจุดและ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$เป็นตาข่าย งั้น${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ใน${\displaystyle (M,d)}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ที่ไหน${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$เป็นตาข่ายของจำนวนจริงในภาษาที่เข้าใจง่ายลักษณะเฉพาะนี้กล่าวว่า ตาข่ายลู่เข้าสู่จุดหนึ่งในปริภูมิเมตริกก็ต่อเมื่อระยะห่างระหว่างตาข่ายกับจุดนั้นลู่เข้าสู่ศูนย์ ถ้า${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ถ้าเป็นปริภูมิบรรทัดฐาน (หรือปริภูมิกึ่งบรรทัดฐาน ) แล้ว${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ใน${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ที่ไหน${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

ถ้า${\displaystyle (M,d)}$หากมีอย่างน้อยสองจุด เราก็สามารถกำหนดจุดได้${\displaystyle c\in M}$(เช่น${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$ด้วยเมตริกแบบยุคลิด${\displaystyle c:=0}$เช่น จุดเริ่มต้น) และกำหนดทิศทางของชุด${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ในทางกลับกันตามระยะทางจาก${\displaystyle c}$โดยการประกาศว่า${\displaystyle i\leq j}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์คือ "มีระยะห่างอย่างน้อยเท่ากันกับ"${\displaystyle c}$ดังนั้น "ใหญ่พอ" เมื่อเทียบกับความสัมพันธ์นี้จึงหมายถึง "ใกล้พอ"${\displaystyle c}$"กำหนดฟังก์ชันใดๆ ที่มีโดเมน${\displaystyle M,}$ข้อจำกัดของมันต่อ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$สามารถตีความตามหลักการได้ว่าเป็นโครงข่ายที่กำกับโดย${\displaystyle (I,\leq ).}$^{[ 8 ]}

ตาข่าย${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ในที่สุดก็อยู่ในกลุ่มย่อย${\displaystyle S}$ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงเท่านั้น${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$โดยที่สำหรับทุกๆ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$น่าพอใจ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$ประเด็น${\displaystyle f(m)}$อยู่ใน${\displaystyle S.}$ ตาข่ายแบบนั้น${\displaystyle f}$บรรจบกันใน${\displaystyle X}$ไปยังจุดที่กำหนด${\displaystyle L\in X}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$ในความหมายปกติ (หมายความว่าสำหรับทุกย่าน)${\displaystyle V}$ของ${\displaystyle L,}$${\displaystyle f}$ในที่สุดก็อยู่ใน${\displaystyle V}$). ^{[ 8 ]}