ทฤษฎีบทของเวลเลอร์^{[ 1 ]}เป็นทฤษฎีบทในเศรษฐศาสตร์ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าทรัพยากรที่ไม่เหมือนกัน ("เค้ก") สามารถแบ่งให้กับ หุ้นส่วน nรายที่มีมูลค่าต่างกันได้ในลักษณะที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต (PE) และปราศจากความอิจฉา (EF) ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแบ่งเค้กอย่างยุติธรรมโดยไม่กระทบต่อประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจ

นอกจากนี้ ทฤษฎีบทของเวลเลอร์ยังกล่าวว่า มีราคาอยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้การจัดสรรและราคานั้นเป็นดุลยภาพในการแข่งขัน (CE) ที่มีรายได้เท่ากัน (EI) ดังนั้นจึงเชื่อมโยงสองสาขาการวิจัยที่ก่อนหน้านี้ไม่เกี่ยวข้องกัน ได้แก่การแบ่งเค้กอย่างเป็นธรรมและดุลยภาพทั่วไป

การแบ่งเค้กอย่างยุติธรรมได้รับการศึกษามาตั้งแต่ทศวรรษ 1940 มีทรัพยากรที่แบ่งได้หลากหลาย เช่น เค้กหรือที่ดิน มีหุ้นส่วนnคน แต่ละคนมีฟังก์ชันความหนาแน่นของมูลค่าส่วนตัวเหนือเค้ก มูลค่าของชิ้นส่วนสำหรับหุ้นส่วนแต่ละคนคือปริพันธ์ของความหนาแน่นของมูลค่าของหุ้นส่วนนั้นเหนือชิ้นส่วนนั้น (ซึ่งหมายความว่ามูลค่าเป็นการวัดที่ไม่ใช่เชิงกายวิภาคของเค้ก) ปัญหา การแบ่งเค้กที่ปราศจากความอิจฉาคือการแบ่งเค้กออกเป็นnชิ้นที่ไม่ซ้ำกัน ชิ้นละหนึ่งชิ้นต่อหุ้นส่วน โดยที่สำหรับหุ้นส่วนแต่ละคน มูลค่าของชิ้นส่วนของตนจะมากกว่ามูลค่าของชิ้นส่วนอื่นๆ เล็กน้อย (ดังนั้นจึงไม่มีหุ้นส่วนใดอิจฉาส่วนแบ่งของหุ้นส่วนอื่น)

ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีความนูนของดูบินส์-สแปเนียร์ (1961) คือ จะมี "การแบ่งส่วนตามฉันทามติ" อยู่เสมอ นั่นคือ การแบ่งเค้กออกเป็นnชิ้น โดยที่ตัวแทนทุกคนให้คุณค่ากับแต่ละชิ้นเท่ากับ อย่างแน่นอน${\displaystyle 1/n}$การแบ่งส่วนตามฉันทามติเป็น EF อย่างแน่นอน แต่ไม่ใช่ PE ยิ่งไปกว่านั้น ผลลัพธ์อีกประการหนึ่งของทฤษฎีความนูนของ Dubins–Spanierคือ เมื่อตัวแทนอย่างน้อยสองคนมีมาตรวัดคุณค่าที่แตกต่างกัน จะมีการแบ่งส่วนที่ให้ตัวแทนแต่ละคนมากกว่าที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน${\displaystyle 1/n}$นั่นหมายความว่าการแบ่งส่วนฉันทามติไม่ได้เป็น PE อย่างอ่อนด้วยซ้ำ

แนวคิดเรื่องความปราศจากความอิจฉา ในฐานะเกณฑ์สำหรับการจัดสรรที่เป็นธรรม ถูกนำมาใช้ในเศรษฐศาสตร์ในช่วงทศวรรษ 1960 และได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้นในช่วงทศวรรษ 1970 ทฤษฎีบทของวาเรียนศึกษาแนวคิดนี้ในบริบทของการแบ่งสินค้า ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ภายใต้ข้อจำกัดเล็กน้อยเกี่ยวกับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของตัวแทน จะมีการจัดสรรที่ทั้งปราศจากความอิจฉาและปราศจากความอิจฉา การพิสูจน์ใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการมีอยู่ของดุลยภาพการแข่งขันจากรายได้ที่เท่ากัน (CEEI) เดวิด เกล ได้พิสูจน์ผลลัพธ์การมีอยู่ที่คล้ายกันสำหรับตัวแทนที่มีอรรถประโยชน์เชิงเส้น

การแบ่งเค้กนั้นมีความท้าทายมากกว่าการจัดสรรสินค้าประเภทเดียวกัน เนื่องจากเค้กนั้นประกอบด้วยสินค้าหลายประเภท ในแง่หนึ่ง เค้กเปรียบเสมือนสินค้าที่ต่อเนื่องกัน กล่าวคือ แต่ละจุดบนเค้กเป็นสินค้าที่แตกต่างกัน นี่คือหัวข้อของทฤษฎีบทของเวลเลอร์

เค้กนั้นมีลักษณะดังนี้${\displaystyle C}$จำนวนหุ้นส่วนจะถูกระบุด้วย${\displaystyle n}$.

ส่วนแบ่งเค้กซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle X}$เป็นn -tuple${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ของเซตย่อยของ${\displaystyle C}$;${\displaystyle X_{i}}$ชิ้นส่วนที่มอบให้แก่คู่ค้า${\displaystyle i}$.

พาร์ติชั่นจะเรียกว่าPEEF ก็ต่อเมื่อตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

• ประสิทธิภาพแบบพาเรโต : ไม่มีวิธีการแบ่งส่วนอื่นใดที่ดีกว่าอย่างอ่อนๆ สำหรับหุ้นส่วนทุกราย และดีกว่าอย่างชัดเจนสำหรับหุ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งราย
• ปราศจากความอิจฉา : ไม่มีหุ้นส่วนคนใดคนหนึ่งชอบชิ้นงานที่จัดสรรให้กับตัวแทนคนอื่นเป็นพิเศษ

พาร์ติชั่น${\displaystyle X}$และการวัดราคา${\displaystyle P}$บน${\displaystyle C}$เรียกว่าCEEIหากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้ (โดยที่${\displaystyle V_{i}}$เป็นตัวแทน${\displaystyle i}$การวัดค่าและ${\displaystyle P}$(คือการวัดราคา):

• สมดุลการแข่งขัน : สำหรับตัวแทนทุกรายiทุกส่วนแบ่งที่เป็นบวก${\displaystyle Z_{i}\subseteq X_{i}}$และทุกๆ ส่วนที่เป็นบวก${\displaystyle Z\subseteq C}$:${\displaystyle V_{i}(Z_{i})/P(Z_{i})\geq V_{i}(Z)/P(Z)}$.
• รายได้เท่าเทียมกัน: สำหรับตัวแทนทุกราย i:${\displaystyle P(X_{i})=1}$.

CEEI มีประสิทธิภาพมากกว่า PEEF มาก: การจัดสรร CEEI ทุกรายการเป็นการจัดสรร PEEF แต่มีการจัดสรร PEEF จำนวนมากที่ไม่ใช่ CEEI

ทฤษฎีบทของเวลเลอร์พิสูจน์การมีอยู่ของการจัดสรร CEEI ซึ่งหมายความว่าการจัดสรร PEEF ก็มีอยู่ด้วยเช่นกัน

การนำเสนอด้านล่างนี้มีพื้นฐานมาจากบทความของ Weller และบางส่วนมาจาก^{[ 2 ] : 341–351}

การพิสูจน์ของเวลเลอร์อาศัยการแบ่งเค้กแบบถ่วงน้ำหนักตามประโยชน์สูงสุด (Weighted-Ulitarian-Maximal หรือ WUM)การแบ่งแบบ WUM คือการแบ่งที่ทำให้ฟังก์ชันในรูปแบบต่อไปนี้มีค่าสูงสุด:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{V_{i}(X_{i}) \over w_{i}}}$

ที่ไหน${\displaystyle i}$เป็นดัชนีของตัวแทน${\displaystyle V_{i}}$เป็นตัวแทน${\displaystyle i}$การวัดค่าของ${\displaystyle X_{i}}$ชิ้นส่วนที่มอบให้${\displaystyle i}$, และ${\displaystyle w_{i}}$เป็นน้ำหนักบวก

บทสรุปหนึ่งของทฤษฎีบทความกะทัดรัดของ Dubins–Spanierคือ สำหรับเวกเตอร์น้ำหนักทุกตัว${\displaystyle w}$การจัดสรร WUM มีอยู่จริง โดยสัญชาตญาณแล้ว เค้กแต่ละชิ้นเล็กๆ นั้น...${\displaystyle Z}$ควรให้แก่บุคคลนั้น${\displaystyle i}$เพื่อใคร${\displaystyle {V_{i}(Z) \over w_{i}}}$มีค่ามากที่สุด หากมีบุคคลสองคนขึ้นไปที่มีค่านี้เท่ากัน การแบ่งส่วนนั้นโดยพลการระหว่างบุคคลเหล่านั้นจะส่งผลให้เกิดการแบ่งส่วน WUM (การจัดสรร WUM สามารถกำหนดได้โดยใช้เซต Radon–Nikodym เช่นกัน ) เวกเตอร์น้ำหนักแต่ละตัว${\displaystyle w}$เป็นจุดหนึ่งในนั้น${\displaystyle (n-1)}$ซิ มเพล็กซ์หน่วยมิติ- กำหนดการแบ่งส่วนของซิมเพล็กซ์นั้น การแบ่งส่วนนี้ก่อให้เกิดการจัดสรรเซต Radon–Nikodym ของเค้ก ซึ่งก่อให้เกิดการจัดสรรเค้กหนึ่งรายการหรือมากกว่านั้น

การแบ่งกลุ่ม WUM ทุกกลุ่มนั้นเห็นได้ชัดว่าเป็น PE (พลศึกษา) อย่างไรก็ตาม การแบ่งกลุ่ม WUM อาจไม่ยุติธรรมมากนัก ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle w_{i}}$มีขนาดใหญ่มาก จากนั้นตัวแทน${\displaystyle i}$อาจได้รับเค้กเพียงเศษเสี้ยวเล็กๆ เท่านั้น(เวกเตอร์น้ำหนัก)${\displaystyle w}$อยู่ใกล้กับตัวแทนมาก${\displaystyle i}$จุดยอดของซิมเพล็กซ์หน่วย ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle i}$จะได้รับเฉพาะจุดของเซต Radon–Nikodym ที่อยู่ใกล้จุดยอดมากเท่านั้นในทางตรงกันข้าม ถ้า${\displaystyle w_{i}}$เล็กมาก จากนั้นตัวแทน${\displaystyle i}$อาจจะได้เค้กทั้งก้อนเลยก็ได้

เวลเลอร์พิสูจน์ว่ามีเวกเตอร์ของน้ำหนักอยู่ ซึ่งการหาร WUM ก็เป็น EF ด้วยเช่นกัน โดยทำได้โดยการกำหนดฟังก์ชันหลายฟังก์ชัน:

1. ฟังก์ชัน${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {พาร์} }$: สำหรับเวกเตอร์น้ำหนักบวกทุกตัว${\displaystyle w=[w_{1},\dots ,w_{n}]}$,${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {พาร์} (w)}$คือเซตของพาร์ติชัน WUM ที่มีน้ำหนัก${\displaystyle w}$ฟังก์ชัน${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {พาร์} }$เป็นฟังก์ชันค่าเซตจากส่วนภายในซิมเพล็กซ์หน่วยไปยังปริภูมิของเซตของพาร์ทิชันเค้ก PE

2. ฟังก์ชัน${\displaystyle \operatorname {Val} }$: สำหรับทุกพาร์ติชัน${\displaystyle X=X_{1},\dots ,X_{n}}$,${\displaystyle \operatorname {Val} (X)}$เป็นเวกเตอร์ที่มีสัดส่วนกับค่าของคู่ค้า:${\displaystyle \operatorname {Val} (X)={\frac {[V_{1}(X_{1}),\dots ,V_{n}(X_{n})]}{V_{1}(X_{1})+\cdots +V_{n}(X_{n})}}}$ฟังก์ชัน${\displaystyle \operatorname {Val} }$แปลงพื้นที่ของส่วนแบ่งเค้กให้เป็นซิมเพล็กซ์หน่วย

3. ฟังก์ชัน${\displaystyle \operatorname {Wel} =\operatorname {Val} \circ \operatorname {Par} }$: สำหรับเวกเตอร์น้ำหนักบวกทุกตัว${\displaystyle w}$,${\displaystyle \operatorname {Wel} (w)}$เป็นเซตของเวกเตอร์น้ำหนักใหม่ นี่คือฟังก์ชันค่าเซตจากส่วนภายในของซิมเพล็กซ์หน่วยไปยังเซตของเซตย่อยของซิมเพล็กซ์หน่วย เวกเตอร์ใน${\displaystyle \operatorname {Wel} (w)}$ในแง่หนึ่งแล้ว ตรงกันข้ามกับ${\displaystyle w}$: ถ้า${\displaystyle w_{i}}$ถ้ามีขนาดเล็ก พาร์ติชั่นในนั้นก็จะมีขนาดเล็ก${\displaystyle \operatorname {Par} (w)}$มอบตัวแทน${\displaystyle i}$ค่ามากและน้ำหนักของมันใน${\displaystyle \operatorname {Wel} (w)}$มีขนาดใหญ่ ในทางตรงกันข้าม ถ้า${\displaystyle w_{i}}$มีขนาดใหญ่กว่าพาร์ติชันใน${\displaystyle \operatorname {Par} (w)}$มอบตัวแทน${\displaystyle i}$ค่าเล็กน้อยและน้ำหนักของมันใน${\displaystyle \operatorname {Wel} (w)}$มีขนาดใหญ่ นี่แสดงให้เห็นว่า ถ้า${\displaystyle \operatorname {Wel} }$ถ้าจุดคงที่นั้นเป็นจุดคงที่จริง จุดคงที่นั้นจะสอดคล้องกับพาร์ติชัน PEEF ที่เรากำลังมองหา

เพื่อพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน${\displaystyle \operatorname {Wel} }$หากฟังก์ชันมีจุดตรึง เราต้องการใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Kakutaniอย่างไรก็ตาม มีปัญหาทางเทคนิคที่ต้องจัดการคือ ฟังก์ชัน${\displaystyle \operatorname {Wel} }$ถูกกำหนดไว้เฉพาะภายในซิมเพล็กซ์หน่วยเท่านั้น ในขณะที่ช่วงของมันครอบคลุมซิมเพล็กซ์หน่วยทั้งหมด โชคดีที่สามารถขยายได้${\displaystyle \operatorname {Wel} }$ ไปยังขอบเขตของซิมเพล็กซ์หน่วย ในลักษณะที่จะรับประกันว่าจุดคงที่ใดๆ จะไม่อยู่บนขอบเขต^{[ 2 ] : 343–344}ฟังก์ชันขยาย${\displaystyle \operatorname {Wel} '}$แท้จริงแล้วคือฟังก์ชันจากซิมเพล็กซ์หน่วยไปยังเซตย่อยของซิมเพล็กซ์หน่วย${\displaystyle \operatorname {Wel} '}$ตรงตามข้อกำหนดของทฤษฎีบทจุดตรึงของ Kakutani เนื่องจาก: ^{[ 2 ] : 345–349}

• เป็นแผนที่แบบจุดต่อเซตของซิมเพล็กซ์หน่วย ซึ่งเป็นเซตย่อยแบบกะทัดรัดและนูนของปริภูมิยุคลิด
• เป็นเส้นโค้งกึ่งต่อเนื่องด้านบน
• สำหรับทุกๆ${\displaystyle w}$ในหน่วยซิมเพล็กซ์${\displaystyle \operatorname {Wel} '(w)}$เป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า ปิด และนูน

ดังนั้น,${\displaystyle \operatorname {Wel} '}$มีจุดคงที่ – เวกเตอร์${\displaystyle W}$ในซิมเพล็กซ์หน่วยเช่นนั้น${\displaystyle W\in \operatorname {Wel} '(W)}$โดยการก่อสร้าง${\displaystyle \operatorname {Wel} '}$สามารถแสดงได้ว่าจุดตรึง${\displaystyle W}$จะต้องอยู่ในหน่วยซิมเพล็กซ์ภายใน ซึ่ง${\displaystyle \operatorname {Wel} '\equiv \operatorname {Wel} }$. เพราะฉะนั้น:

${\displaystyle W\in \operatorname {Wel} (W)}$

ตามคำจำกัดความของ${\displaystyle \operatorname {Wel} }$,${\displaystyle W\in \operatorname {Val} (\operatorname {Par} (W))}$ดังนั้นจึงมีการแบ่งส่วนอยู่${\displaystyle X}$โดยที่:

• ${\displaystyle X\in \operatorname {Par} (W)}$
• ${\displaystyle W=\operatorname {Val} (X)}$

${\displaystyle X}$ชัดเจนว่าเป็น PE เนื่องจากเป็น WUM (ที่มีเวกเตอร์น้ำหนัก W) และยังเป็น EF ด้วย เนื่องจาก:

• ${\displaystyle X\in \operatorname {Par} (W)}$หมายความว่า X ทำให้ผลรวมถ่วงน้ำหนักมีค่าสูงสุด โดยมีน้ำหนักดังนี้${\displaystyle W=[W_{1},\dots ,W_{n}]}$นั่นหมายความว่า เค้กแต่ละส่วนจะถูกมอบให้กับตัวแทนที่มีความหนาแน่นของมูลค่าถ่วงน้ำหนักสูงสุด ดังนั้น สำหรับตัวแทนสองคนขึ้นไป${\displaystyle i,j}$:

${\displaystyle {\frac {V_{j}(X_{j})}{w_{j}}}\geq {\frac {V_{i}(X_{j})}{w_{i}}}\implies {\frac {V_{j}(X_{j})}{V_{i}(X_{j})}}\geq {\frac {w_{j}}{w_{i}}}.}$

• ${\displaystyle W=\operatorname {Val} (X)}$หมายความว่าอัตราส่วนระหว่างค่าของตัวแทนสองตัวใดๆ${\displaystyle i,j}$เท่ากับอัตราส่วนของน้ำหนักของพวกมัน:

${\displaystyle {\frac {V_{j}(X_{j})}{V_{i}(X_{i})}}={\frac {w_{j}}{w_{i}}}.}$

เมื่อรวมอสมการสองข้อสุดท้ายเข้าด้วยกัน จะได้ว่า สำหรับตัวแทนทุกๆ สองคน${\displaystyle i,j}$:

${\displaystyle {\frac {V_{j}(X_{j})}{V_{i}(X_{j})}}\geq {\frac {V_{j}(X_{j})}{V_{i}(X_{i})}}\implies V_{i}(X_{j})\leq V_{i}(X_{i})}$

ซึ่งนั่นคือความหมายที่แท้จริงของการปราศจากความอิจฉา

เพื่อเป็นตัวอย่าง ลองพิจารณาเค้กสองส่วน คือ ช็อกโกแลตและวานิลลา และหุ้นส่วนสองคน คือ อลิซและจอร์จ โดยมีมูลค่าดังต่อไปนี้:

เนื่องจากมีตัวแทนสองตัว เวกเตอร์${\displaystyle w}$สามารถแสดงได้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว นั่นคือ อัตราส่วนของน้ำหนักของอลิซต่อน้ำหนักของจอร์จ:

• ถ้าอัตราส่วนน้อยกว่า 1:4 การแบ่งแบบ WUM ควรให้เค้กทั้งหมดแก่อลิซ อัตราส่วนของมูลค่าที่ผู้คนได้รับจะเป็นอนันต์ (หรือ 1:0) ดังนั้นจึงไม่มีจุดคงที่ใดๆ ในช่วงนี้
• ถ้าอัตราส่วนเป็น 1:4 พอดี ช็อกโกแลตทั้งหมดควรตกเป็นของอลิซ แต่วานิลลาสามารถแบ่งให้ระหว่างอลิซและจอร์จได้ตามอำเภอใจ อัตราส่วนของค่าที่แบ่งตาม WUM อยู่ในช่วงระหว่าง 1:0 ถึง 9:4 ช่วงนี้ไม่รวมอัตราส่วน 1:4 ดังนั้นจุดคงที่จึงไม่ได้อยู่ที่นี่
• ถ้าอัตราส่วนอยู่ระหว่าง 1:4 และ 9:6 วานิลลาทั้งหมดควรตกเป็นของจอร์จ และช็อกโกแลตทั้งหมดควรตกเป็นของอลิซ อัตราส่วนของค่าคือ 9:4 ซึ่งอยู่นอกช่วงที่กำหนด ดังนั้นจึงยังไม่พบจุดสมดุล
• ถ้าอัตราส่วนเป็น 9:6 พอดี วานิลลาทั้งหมดควรตกเป็นของจอร์จ แต่ช็อกโกแลตสามารถแบ่งให้แอลลิสและจอร์จได้ตามอำเภอใจ อัตราส่วนของค่าในการแบ่ง WUM อยู่ระหว่าง 9:4 และ 0:1 เราเห็นว่า 9:6 อยู่ในช่วงนี้ ดังนั้นเราจึงได้จุดคงที่ ซึ่งสามารถทำได้โดยการให้วานิลลาทั้งหมดและช็อกโกแลต 1/6 ส่วนแก่จอร์จ (มูลค่ารวม 5) และให้ช็อกโกแลตที่เหลือ 5/6 ส่วนแก่แอลลิส (มูลค่ารวม 7.5) การแบ่งแบบนี้คือ PEEF

Berliant, Thomson และ Dunz ^{[ 3 ]}ได้นำเสนอเกณฑ์การปราศจากความอิจฉาของกลุ่มซึ่งเป็นการขยายทั้งประสิทธิภาพแบบพาเรโตและการปราศจากความอิจฉา พวกเขาพิสูจน์ให้เห็นถึงการมีอยู่ของการจัดสรรที่ปราศจากความอิจฉาของกลุ่มด้วยอรรถประโยชน์แบบบวกต่อมา Berliant และ Dunz ^{[ 4 ]}ได้ศึกษาฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่ไม่ใช่แบบบวกตามธรรมชาติบางอย่าง โดยได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาการแบ่งที่ดิน เมื่ออรรถประโยชน์ไม่ใช่แบบบวก การจัดสรร CEEI จะไม่รับประกันว่าจะมีอยู่จริงอีกต่อไป แต่จะมีอยู่ภายใต้ข้อจำกัดบางประการ

สามารถดูผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติมได้ในการตัดเค้กอย่างมีประสิทธิภาพและการตัดเค้กแบบเน้นประโยชน์ใช้สอย

ทฤษฎีบทของเวลเลอร์เป็นทฤษฎีบทเชิงการมีอยู่โดยแท้จริง งานวิจัยในภายหลังบางชิ้นศึกษาแง่มุมเชิงอัลกอริทึมของการค้นหาการแบ่งส่วน CEEI งานวิจัยเหล่านี้มักจะสมมติว่ามาตรวัดค่าเป็นค่าคงที่แบบเป็นช่วงๆ กล่าวคือ เค้กสามารถแบ่งออกเป็นภูมิภาคที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งความหนาแน่นของค่าของแต่ละตัวแทนมีความสม่ำเสมอ

อัลกอริทึมแรกสำหรับการค้นหาพาร์ติชัน CEEI ในกรณีนี้ได้รับการพัฒนาโดย Reijnierse และ Potters ^{[ 5 ]}

Aziz และ Ye ได้พัฒนาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณมากขึ้น^{[ 6 ]}

ในความเป็นจริง การแบ่งเค้ก CEEI ทุกแบบจะทำให้ผลคูณของอรรถประโยชน์สูงสุด และในทางกลับกัน การแบ่งทุกแบบที่ทำให้ผลคูณของอรรถประโยชน์สูงสุดก็คือ CEEI ^{[ 7 ]}ดังนั้น สามารถหา CEEI ได้โดยการแก้โปรแกรมแบบนูนที่ทำให้ผลรวมของลอการิทึมของอรรถประโยชน์สูงสุด

สำหรับตัวแทนสองราย สามารถใช้ ขั้นตอนการปรับปรุงผู้ชนะเพื่อค้นหาการจัดสรร PEEF ที่เป็นธรรม (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น CEEI)

อัลกอริทึมทั้งหมดข้างต้นสามารถขยายไปสู่การวัดค่าที่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ได้ เนื่องจากฟังก์ชันดังกล่าวสามารถประมาณได้เป็นฟังก์ชันคงที่แบบเป็นช่วงๆ "ได้ใกล้เคียงเท่าที่เราต้องการ" อัลกอริทึมข้างต้นจึงสามารถประมาณการจัดสรร PEEF ได้ "ใกล้เคียงเท่าที่เราต้องการ" เช่นกัน^{[ 5 ]}

ในการแบ่งส่วนแบบ CEEI ที่รับประกันโดย Weller ชิ้นส่วนที่จัดสรรให้กับหุ้นส่วนแต่ละคนอาจไม่เชื่อมต่อกัน แทนที่จะเป็นชิ้นส่วนเดียวที่ต่อเนื่องกัน หุ้นส่วนแต่ละคนอาจได้รับเศษชิ้นส่วนเล็กๆ อันที่จริง เมื่อชิ้นส่วนต้องเชื่อมต่อกัน การแบ่งส่วนแบบ CEEI อาจไม่มีอยู่จริง พิจารณาการประเมินค่าคงที่แบบเป็นช่วงๆ ต่อไปนี้:

เงื่อนไข CE หมายความว่าชิ้นส่วนรอบนอกทั้งหมดต้องมีราคาเท่ากัน (สมมติว่าp ) และชิ้นส่วนตรงกลางทั้งสองชิ้นต้องมีราคาเท่ากัน (สมมติว่าq ) เงื่อนไข EI หมายความว่าราคารวมของเค้กควรเป็น 2 ดังนั้น${\displaystyle q+2p=1}$เงื่อนไข EI บ่งชี้อีกครั้งว่า ในการแบ่ง CEEI ที่เชื่อมต่อกันใดๆ เค้กจะถูกตัดตรงกลาง ทั้งอลิซและจอร์จจะได้รับเค้กสองชิ้นรอบนอกและหนึ่งชิ้นตรงกลาง เงื่อนไข CE สำหรับอลิซบ่งชี้ว่า${\displaystyle q=p}$แต่เงื่อนไข CE ของจอร์จบ่งชี้ว่า${\displaystyle q=4p}$ซึ่งเป็นความขัดแย้งกัน

แม้ว่าเงื่อนไข CEEI อาจไม่สามารถบรรลุได้ด้วยชิ้นส่วนที่เชื่อมต่อกัน แต่เงื่อนไข PEEF ที่อ่อนกว่านั้นสามารถบรรลุได้เสมอเมื่อมีหุ้นส่วนสองคน นี่เป็นเพราะเมื่อมีหุ้นส่วนสองคน ความปราศจากความอิจฉาเทียบเท่ากับสัดส่วน และสัดส่วนจะได้รับการรักษาไว้ภายใต้การปรับปรุงแบบพาเรโต อย่างไรก็ตาม เมื่อมีหุ้นส่วนสามคนขึ้นไป แม้แต่เงื่อนไข PEEF ที่อ่อนกว่าก็อาจไม่สามารถบรรลุได้ พิจารณาการประเมินค่าคงที่แบบเป็นช่วงต่อไปนี้: ^{[ 8 ] :ตัวอย่าง 5.1}

EF หมายความว่าบ็อบจะได้รับส่วนแบ่ง 7 ค่าของเขาอย่างน้อยบางส่วน (ส่วน PE หมายความว่าเขาจะได้รับทั้งหมด)

ในด้านการเชื่อมต่อ มีตัวเลือกอยู่ 3 แบบ:

• ชิ้นของคาร์ลอยู่ทางขวาของชิ้นของบ็อบ ดังนั้นคาร์ลจึงได้ชิ้นขวาสุดและมีมูลค่า 3 ส่วนหลักการของ PE บอกว่าอลิซได้ชิ้นทั้งห้าชิ้นทางซ้ายของชิ้นของบ็อบ ซึ่งมีมูลค่า 4 สำหรับคาร์ล ดังนั้นคาร์ลจึงอิจฉาอลิซ
• หมากของคาร์ลอยู่ทางซ้ายของหมากของบ็อบ และเขาได้หมากที่มีค่า 2 สองชิ้น ส่วนหมากของอลิซมีค่าอย่างมากที่สุดแค่ 2 และหมากของคาร์ลมีค่า 3 สำหรับอลิซ ดังนั้นอลิซจึงอิจฉาคาร์ล
• หมากของคาร์ลอยู่ทางซ้ายของหมากของบ็อบ และเขาจะได้หมากที่มีค่า 2 มากที่สุดหนึ่งชิ้น ดังนั้น การจัดสรรนี้จึงไม่ใช่ PE (Peak Value) เพราะคาร์ลสามารถเพิ่มค่าของเขาเป็น 3 ได้โดยการย้ายไปทางขวาของบ็อบโดยไม่ทำให้ใครเสียเปรียบ

ดังนั้น การจัดสรรใดๆ ก็ตามจึงไม่ใช่ PEEF (Performance, Effectiveness, and Effectiveness)

ในตัวอย่างข้างต้น หากเราพิจารณาเค้กเป็น "พาย" (กล่าวคือ หากอนุญาตให้ชิ้นส่วนเคลื่อนที่ไปรอบขอบเค้กไปยังขอบอีกด้านหนึ่ง) การจัดสรร PEEF ก็จะเกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม Stromquist ^{[ 9 ]}ได้แสดงตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าซึ่งการจัดสรร PEEF ไม่มีอยู่แม้ในพาย

• การแบ่งปันที่ปราศจากความอิจฉาซึ่งมีประสิทธิภาพแบบพาเรโต – ปัญหาที่คล้ายคลึงกันสำหรับสินค้าที่แบ่งปันได้ซึ่งเป็นเนื้อเดียวกัน