ซิมเพล็กซ์

Q: ประวัติศาสตร์

แนวคิดของซิมเพล็กซ์เป็นที่รู้จักของ วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด ผู้ซึ่งแนะนำคำว่า "ขอบเขตเฉพาะ" สำหรับรูปทรงเหล่านี้ในปี พ.ศ. 2409 ขณะแก้ปัญหาในความน่าจะเป็นเชิงเรขาคณิต [ 3 ] อองรี ปวงกาเร เขียนเกี่ยวกับ โทโพโล ยีเชิงพีชคณิตในปี พ.ศ.

จากซ้ายไปขวา: จุด (หมายเลข 0), เส้นตรง (หมายเลข 1), สามเหลี่ยม (หมายเลข 2) และทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว (หมายเลข 3) — ซิมเพล็กซ์ทั้งสี่ที่สามารถแสดงได้อย่างสมบูรณ์ในพื้นที่สามมิติ

ในทางเรขาคณิตซิมเพล็กซ์ (พหูพจน์: ซิมเพล็กซ์หรือซิมเพล็กซ์ ) คือการขยายแนวคิดของรูปสามเหลี่ยมหรือทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดไปสู่มิติ ใดๆ ซิมเพล็กซ์ได้ชื่อเช่นนี้เพราะมันแสดงถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม ที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในมิติใดๆ ตัวอย่างเช่น

ซิ ม เพ ล็กซ์มิติศูนย์คือจุดหนึ่ง
ซิ ม เพล็ก ซ์ 1 มิติคือส่วนของเส้นตรง
ซิ ม เพล็ก ซ์ 2 มิติคือรูปสามเหลี่ยม
ซิ ม เพล็ก ซ์สามมิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า และ
ซิ มเพล็ก ซ์ 4 มิติคือ5เซลล์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $k-$ ซิมเพล็กซ์คือโพลีโทปมิติ $k$ ที่เป็นส่วนนูนของจุดยอด $k$ $+ 1$ จุดกล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น สมมติว่ามี จุด $k$ $+ 1$ จุด $u_{0},\dots ,u_{k}$ $เวกเตอร์ k$ เป็นอิสระเชิงเส้นซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ k เป็นอิสระเชิงเส้น $u_{1}-u_{0},\จุด ,u_{k}-u_{0}$ เป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้น ซิมเพล็กซ์ที่กำหนดโดยจุดเหล่านั้นคือเซตของจุด $C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ และ }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ สำหรับ }}i=0,\dots ,k\right\}.$

ซิมเพล็กซ์ปกติ^{[ 1 ]}คือซิมเพล็กซ์ที่เป็นโพลีโทปปกติ ด้วย ซิมเพล็กซ์ $k$ ปกติอาจสร้างขึ้นจาก ซิมเพล็กซ์ $(k - 1)$ ปกติ โดยการเชื่อมต่อจุดยอดใหม่กับจุดยอดเดิมทั้งหมดด้วยความยาวขอบร่วมกัน

ซิมเพล็กซ์มาตรฐานหรือซิมเพล็กซ์ความน่าจะเป็น^{[ 2 ]}คือ ซิมเพล็กซ์ $k$ มิติที่มีจุดยอดเป็นเวกเตอร์หน่วยมาตรฐาน $k + 1$ ใน $\mathbf {R} ^{k+1}$ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ $\left\{{\vec {x}}\in \mathbf {R} ^{k+1}:x_{0}+\dots +x_{k}=1,x_{i}\geq 0{\text{ สำหรับ }}i=0,\dots ,k\right\}.$

ในวิชาโทโพโลยีและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง เป็นเรื่องปกติที่จะ "เชื่อมต่อ" ซิมเพล็กซ์เข้าด้วยกันเพื่อสร้างซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์

ไม่ควรสับสนระหว่างซิมเพล็กซ์เชิงเรขาคณิตและคอมเพล็กซ์เชิงซิมเพล็กซ์กับคอมเพล็กซ์เชิงซิมเพล็กซ์นามธรรมซึ่งซิมเพล็กซ์เป็นเพียงเซตจำกัดและคอมเพล็กซ์เป็นกลุ่มของเซตดังกล่าวที่มีคุณสมบัติปิดเมื่อเลือกเซตย่อย

ประวัติศาสตร์

แนวคิดของซิมเพล็กซ์เป็นที่รู้จักของวิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดผู้ซึ่งแนะนำคำว่า "ขอบเขตเฉพาะ" สำหรับรูปทรงเหล่านี้ในปี พ.ศ. 2409 ขณะแก้ปัญหาในความน่าจะเป็นเชิงเรขาคณิต^{[ 3 ]}อองรี ปวงกาเรเขียนเกี่ยวกับโทโพโลยีเชิงพีชคณิตในปี พ.ศ. 2443 เรียกรูปทรงเหล่านี้ว่า "เตตระเฮดราทั่วไป" ในปี พ.ศ. 2445 ปีเตอร์ เฮนดริก สเคาต์อธิบายแนวคิดนี้เป็นครั้งแรกด้วย คำคุณศัพท์ ภาษาละตินขั้นสูงสุดsimplicissimum ("ง่ายที่สุด") จากนั้นจึงใช้คำคุณศัพท์ภาษาละตินเดียวกันในรูปแบบปกติsimplex ("ง่าย") ^{[ 4 ]}

ตระกูลซิมเพล็กซ์ปกติ เป็นตระกูล โพลีโทปปกติ ตระกูล แรกจากสามตระกูล ซึ่งโดนัลด์ ค็อกซ์เตอร์ ตั้ง ชื่อว่า $α$ โดยอีกสองตระกูลคือตระกูลครอสโพลี โทป ซึ่งตั้งชื่อว่า $β$ และไฮเปอร์คิวบ์ซึ่งตั้งชื่อว่า $γ$ ตระกูลที่สี่คือการปู พื้นที่ $n$ มิติด้วยไฮเปอร์คิวบ์จำนวนอนันต์ซึ่งเขาตั้งชื่อว่า $δ$ ^{[ 5 ]}

องค์ประกอบ

ส่วนนูน ของ เซตย่อย ที่ไม่ว่างเปล่า ใดๆของจุด $n$ $+ 1$ จุดที่กำหนด ซิมเพล็กซ์ $n$ ตัว เรียก ว่า หน้าของซิมเพล็กซ์ หน้าเหล่านั้นเป็นซิมเพล็กซ์เอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ส่วนนูนของเซตย่อยขนาด $m$ $+ 1$ (ของจุดกำหนด $n$ $+ 1$ จุด) คือ ซิมเพล็ก ซ์ $m ตัว เรียกว่า$ หน้า $m$ ของซิ มเพล็กซ์ $n$ ตัว หน้า 0 (เช่น จุดกำหนดเองเป็นเซตขนาด 1) เรียกว่า จุดยอด (เอกพจน์: vertex) หน้า 1 เรียกว่า ขอบ หน้า ( $n$ $- 1$ ) เรียกว่า หน้าเหลี่ยมและ หน้า $n$ เพียงหน้าเดียว คือ ซิมเพล็กซ์ $n$ ตัวทั้งหมด โดยทั่วไป จำนวน หน้า $m$ จะเท่ากับสัมประสิทธิ์ทวินาม ${\tbinom {n+1}{m+1}}$ [ ⁶^]ดังนั้น จำนวน $m$ หน้าของซิ มเพล็กซ์ $n$ หน้าสามารถพบได้ในคอลัมน์ ( $m$ $+ 1$ ) ของแถว ( $n$ $+ 1$ ) ของสามเหลี่ยมปาสคาล ซิม^เพล็กซ์ $A$ เป็นโคเฟซของซิมเพล็กซ์ $B$ ถ้า $B$ เป็นเฟซของ $A$ เฟซและเฟซ สามารถมีความหมายที่แตกต่างกันเมื่ออธิบายประเภทของซิ มเพล็กซ์ในคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล

เวกเตอร์ fที่ขยายสำหรับ ซิมเพล็กซ์ $n$ สามารถคำนวณได้โดย $(1, 1) n +1$ เช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์ของผลคูณพหุนามตัวอย่างเช่นซิมเพล็กซ์ 7คือ ( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1 ,2, 1 ) ⁴ = ( 1 ,4,6,4, 1 ) ² = ( 1 ,8,28,56,70,56,28,8, 1 )

จำนวนหน้า (ขอบ) 1 ด้านของซิ มเพล็กซ์ $n$ ด้าน คือจำนวนสามเหลี่ยมลำดับที่ $n$ จำนวนหน้า 2 ด้านของ ซิมเพล็กซ์ $n$ ด้าน คือจำนวนทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลำดับที่ $($ $n$ $- 1)$ จำนวนหน้า 3 ด้านของซิ มเพล็กซ์ $n$ ด้าน คือ จำนวนเซลล์ 5 ด้านลำดับที่ $($ $n$ $- 2)$ และอื่นๆ

องค์ประกอบ $n- ซิมเพล็กซ์$ ^{[ 7 ]}
$Δ n$	ชื่อ	Schläfli Coxeter	0 หน้า(จุดยอด)	1- หน้า(ขอบ)	2- หน้า(ใบหน้า)	3- หน้า(เซลล์)	4 หน้า	5 หน้า	6 หน้า	7 หน้า	8 หน้า	9 หน้า	10 หน้า	ผลรวม = 2 ^{n +1} − 1
Δ ⁰	0-ซิมเพล็กซ์( จุด )	( )	1											1
Δ ¹	1-ซิมเพล็กซ์( ส่วนของเส้นตรง )	{ } = ( ) ∨ ( ) = 2⋅( )	2	1										3
Δ ²	2-ซิมเพล็กซ์( สามเหลี่ยม )	{3} = 3⋅( )	3	3	1									7
Δ ³	3-ซิมเพล็กซ์( ทรงสี่หน้า )	{3,3} = 4⋅( )	4	6	4	1								15
Δ ⁴	4-ซิมเพล็กซ์( 5 เซลล์ )	{3 ³ } = 5⋅( )	5	10	10	5	1							31
Δ ⁵	5-ซิมเพล็กซ์	{3 ⁴ } = 6⋅( )	6	15	20	15	6	1						63
Δ ⁶	6-ซิมเพล็กซ์	{3 ⁵ } = 7⋅( )	7	21	35	35	21	7	1					127
Δ ⁷	7-ซิมเพล็กซ์	{3 ⁶ } = 8⋅( )	8	28	56	70	56	28	8	1				255
Δ ⁸	8-ซิมเพล็กซ์	{3 ⁷ } = 9⋅( )	9	36	84	126	126	84	36	9	1			511
Δ ⁹	9-ซิมเพล็กซ์	{3 ⁸ } = 10⋅( )	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1		1023
Δ ¹⁰	10-ซิมเพล็กซ์	{3 ⁹ } = 11⋅( )	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1	2047

n- ซิม เพล็กซ์คือ รูปทรงหลาย $เหลี่ยม$ ที่มีจำนวนจุดยอดน้อยที่สุดที่ต้องใช้ $n$ มิติ ลองพิจารณาส่วนของเส้นตรงABเป็นรูปทรงในปริภูมิ 1 มิติ (ปริภูมิ 1 มิติ คือเส้นตรงที่ส่วนของเส้นตรงนั้นอยู่) เราสามารถวางจุดใหม่ $C$ ไว้ ที่ใดก็ได้นอกเส้นตรงนั้น รูปทรงใหม่คือสามเหลี่ยมABCซึ่งต้องใช้ 2 มิติ มันไม่สามารถพอดีกับปริภูมิ 1 มิติเดิมได้ สามเหลี่ยมนี้คือ 2-ซิมเพล็กซ์ ซึ่งเป็นรูปทรงอย่างง่ายที่ต้องใช้ 2 มิติ ลองพิจารณาสามเหลี่ยมABCซึ่งเป็นรูปทรงในปริภูมิ 2 มิติ (ระนาบที่สามเหลี่ยมนั้นอยู่) เราสามารถวางจุดใหม่ $D$ ไว้ ที่ใดก็ได้นอกระนาบ รูปทรงใหม่คือทรงสี่หน้าABCDซึ่งต้องใช้ 3 มิติ มันไม่สามารถพอดีกับปริภูมิ 2 มิติเดิมได้ ทรงสี่หน้า ABCD คือ 3-ซิมเพล็กซ์ ซึ่งเป็นรูปทรงอย่างง่ายที่ต้องใช้ 3 มิติ ลองพิจารณาทรงสี่หน้าABCDซึ่งเป็นรูปทรงในปริภูมิ 3 มิติ (ปริภูมิ 3 มิติที่ทรงสี่หน้าอยู่) เราสามารถวางจุดใหม่ $E$ ไว้ ที่ใดก็ได้นอกพื้นที่ 3 มิติ รูปทรงใหม่ABCDEที่เรียกว่า 5-cell นั้นต้องการ 4 มิติ และเรียกว่า 4-simplex มันไม่สามารถพอดีกับพื้นที่ 3 มิติเดิมได้ (และไม่สามารถมองเห็นได้ง่าย) แนวคิดนี้สามารถขยายได้ กล่าวคือ การเพิ่มจุดใหม่เพียงจุดเดียวนอกพื้นที่ที่ถูกครอบครองอยู่ ซึ่งต้องไปยังมิติที่สูงขึ้นเพื่อรองรับรูปทรงใหม่ แนวคิดนี้ยังสามารถย้อนกลับได้อีกด้วย: ส่วนของเส้นตรงที่เราเริ่มต้นด้วยนั้นเป็นรูปทรงที่เรียบง่ายซึ่งต้องการพื้นที่ 1 มิติในการรองรับ ส่วนของเส้นตรงนั้นคือ 1-simplex ส่วนของเส้นตรงนั้นถูกสร้างขึ้นโดยเริ่มจากจุดเดียวในพื้นที่ 0 มิติ (จุดเริ่มต้นนี้คือ 0-simplex) และเพิ่มจุดที่สอง ซึ่งต้องเพิ่มเป็นพื้นที่ 1 มิติ

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ซิมเพล็กซ์ $(n + 1)$ สามารถสร้างได้จากการเชื่อม (ตัวดำเนินการ ∨) ของ ซิมเพล็กซ์ $n$ และจุด $( ) ซิ$ $มเพล็กซ์ ($ m $+$ $n$ $+$ $1)$ สามารถสร้างได้จากการเชื่อมของ ซิมเพล็กซ์ $m$ และ ซิมเพล็กซ์ $n$ ซิมเพล็กซ์ทั้งสองวางตัวให้ตั้งฉากกันโดยสมบูรณ์ โดยมีการเลื่อนในทิศทางตั้งฉากกับทั้งสอง ซิมเพล็กซ์ 1 คือการเชื่อมของสองจุด: ( $) \lor ( ) = 2 \cdot ( )$ ซิมเพล็กซ์ 2 ทั่วไป (สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า) คือการเชื่อมของสามจุด: $( ) \lor ( ) \lor ( )$ สามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือการเชื่อมของซิม เพล็กซ์ 1 และจุด: ${ } \lor ( )$ สามเหลี่ยมด้านเท่าคือ 3 ⋅ ( ) หรือ{3} ซิมเพล็กซ์ 3 ทั่วไปคือการเชื่อมต่อของ 4 จุด: $( ) \lor ( ) \lor ( ) \lor ( )$ ซิมเพล็กซ์ 3 ที่มีสมมาตรแบบกระจกเงาสามารถแสดงได้ด้วยการเชื่อมต่อของขอบและสองจุด: ${ } \lor ( ) \lor ( )$ ซิมเพล็กซ์ 3 ที่มีสมมาตรแบบสามเหลี่ยมสามารถแสดงได้ด้วยการเชื่อมต่อของสามเหลี่ยมด้านเท่าและ 1 จุด: $3.( )\lor( )$ หรือ ${3}\lor( )$ ทรงสี่หน้าปกติคือ $4 \cdot ( )$ หรือ{3,3}และอื่นๆ

ในบางธรรมเนียม^{[ 8 ]}เซตว่างจะถูกกำหนดให้เป็นซิมเพล็กซ์ (−1) คำจำกัดความของซิมเพล็กซ์ข้างต้นยังคงสมเหตุสมผลหาก $n = -1$ ธรรมเนียมนี้พบได้บ่อยกว่าในการประยุกต์ใช้กับโทโพโลยีเชิงพีชคณิต (เช่นโฮโมโลยีเชิงซิมพลิเชียล ) มากกว่าการศึกษาโพลีโทป

กราฟสมมาตรของซิมเพล็กซ์ปกติ

รูปหลายเหลี่ยมเพทรี (การฉายภาพเชิงตั้งฉากแบบเฉียง) เหล่านี้แสดงจุดยอดทั้งหมดของซิมเพล็กซ์ปกติบนวงกลมและคู่จุดยอดทั้งหมดที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นขอบ

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20

ซิมเพล็กซ์มาตรฐาน

$n$ -simplex มาตรฐาน ( หรือ $n$ -simplex หน่วย ) คือเซตย่อยของ $R n +1$ ที่กำหนดโดย

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ และ }}t_{i}\geq 0{\text{ สำหรับ }}i=0,\ldots ,n\right\}

.

ซิมเพล็ก $ซ์$ $Δn$ อยู่ในระนาบเชิงเส้นตรงที่ได้จากการลบข้อจำกัด $t \geq 0$ ในนิยามข้างต้น

จุด ยอด $n + 1$ ของ ซิมเพล็กซ์ $n$ มาตรฐาน คือจุด $e \in R n +1$ โดยที่

e = (1, 0, 0, ..., 0),

e = (0, 1, 0, ..., 0)

⋮

e = (0, 0, 0, ..., 1)

.

ซิมเพล็กซ์มาตรฐานเป็นตัวอย่างของโพลีโทป 0/1โดยที่พิกัดทั้งหมดเป็น 0 หรือ 1 นอกจากนี้ยังสามารถมองได้ว่าเป็นด้าน หนึ่ง ของ ออ ร์โธเพล็กซ์ปกติ $(n + 1)$

มีแผนที่มาตรฐานจาก ซิมเพล็กซ์ $n$ มาตรฐานไปยัง ซิมเพล็ $ซ์ n$ ใดๆ ที่มีจุดยอด ( $v0$ ..., $vn$ ) กำหนดโดย

(t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}

สัมประสิทธิ์ $t$ เรียกว่าพิกัดแบรีเซนทริกของจุดใน $n- ซิมเพล็กซ์ ซิม$ เพล็กซ์ทั่วไปดังกล่าว มักเรียกว่า $n-$ ซิมเพล็กซ์เชิงแอฟฟิน เพื่อเน้นว่าแผนที่แคนอนิกเป็นการแปลงเชิงแอฟฟินบางครั้งก็เรียกว่า $n-$ ซิมเพล็กซ์เชิงแอ ฟฟินแบบมีทิศทางเพื่อเน้นว่าแผนที่แคนอนิกอาจรักษาทิศทางหรือกลับทิศทางก็ได้

โดยทั่วไปแล้ว จะมีแผนที่มาตรฐานจากมาตรฐานหลักอยู่ $(n-1)$ -ซิมเพล็กซ์ (ที่มี $n$ จุดยอด) บนโพลีโทป ใดๆ ที่มี $n$ จุดยอด ซึ่งกำหนดโดยสมการเดียวกัน (โดยปรับเปลี่ยนดัชนี):

(t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}

พิกัด เหล่านี้เรียกว่าพิกัดแบรีเซนทริกทั่วไปและแสดงรูปทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปเป็นภาพของซิมเพล็กซ์: $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$

ฟังก์ชันที่ใช้กันทั่วไปจาก $R n$ ไปยังส่วนภายในของมาตรฐาน $(n-1)$ -simplex คือฟังก์ชัน softmaxหรือฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบนอร์มาไลซ์ ซึ่งเป็นการขยายความ ของฟังก์ชันโลจิสติ กมาตรฐาน

ตัวอย่าง

Δ ⁰คือจุดที่ $1$ ใน $R 1$
Δ ¹คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุด( $1, 0)$ และ $(0, 1)$ ใน $R 2$
Δ ²คือสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอด $(1, 0, 0)$ , (0, 1 $, 0)$ และ $(0, 0, 1)$ ใน $R 3$
Δ ³คือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติที่มีจุดยอด $(1, 0, 0, 0)$ , $(0, 1, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 0)$ และ $(0, 0, 0, 1$ ) ใน $R 4$
Δ ⁴คือเซลล์ปกติ5 เซลล์ที่มีจุดยอด $(1, 0, 0, 0, 0)$ , $(0, 1, 0, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 0, 0)$ , ( $0, 0, 0, 1, 0)$ และ $(0, 0, 0, 0, 1)$ ใน $R 5$

พิกัดที่เพิ่มขึ้น

ระบบพิกัดทางเลือกได้มาจากการใช้ผลรวมที่ไม่แน่นอน :

{\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}

วิธีนี้ทำให้ได้การนำเสนออีกรูปแบบหนึ่งตามลำดับกล่าวคือ เป็น $n$ -tuple ที่ไม่ลดลงระหว่าง 0 และ 1:

\Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.

ในทางเรขาคณิต นี่คือ เซตย่อย $n$ มิติของ $\mathbf {R} ^{n}$ (มิติสูงสุด มิติร่วม 0) แทนที่จะเป็นของ $\mathbf {R} ^{n+1}$ (มิติร่วม 1) ด้านต่างๆ ซึ่งบนซิมเพล็กซ์มาตรฐานจะสอดคล้องกับพิกัดหนึ่งที่หายไป $t_{i}=0,$ ในที่นี้ พิกัดที่ต่อเนื่องกันจะมีค่าเท่ากัน $s_{i}=s_{i+1},$ ในขณะที่ส่วนภายในสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด มากขึ้น (ลำดับที่เพิ่มขึ้น)

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการนำเสนอเหล่านี้คือพฤติกรรมภายใต้การสลับพิกัด – ซิมเพล็กซ์มาตรฐานจะคงตัวเมื่อสลับพิกัด ในขณะที่การสลับองค์ประกอบของ "ซิมเพล็กซ์เรียงลำดับ" จะไม่ทำให้มันคงสภาพเดิม เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วการสลับลำดับจะทำให้ลำดับนั้นไม่เรียงลำดับ อันที่จริง ซิมเพล็กซ์เรียงลำดับเป็นโดเมนพื้นฐาน (ปิด) สำหรับการกระทำของกลุ่มสมมาตรบน ลูกบาศก์ $n$ มิติ ซึ่งหมายความว่าวงโคจรของซิมเพล็กซ์เรียงลำดับภายใต้องค์ประกอบ $n$ ! ของกลุ่มสมมาตรจะแบ่ง ลูกบาศก์ $n$ มิติออกเป็นส่วนๆ $n!$ ซิมเพล็กซ์ส่วนใหญ่แยกจากกัน (แยกจากกันยกเว้นขอบเขต) แสดงให้เห็นว่าซิมเพล็กซ์นี้มีปริมาตร $1/ n!$ หรืออีกวิธีหนึ่ง ปริมาตรสามารถคำนวณได้โดยใช้อินทิกรัลแบบวนซ้ำ โดยที่ตัวถูกอินทิเกรตตามลำดับคือ 1, $x$ $,$ x² $/ 2,$ x³ $/ 3!,$ ... , $xn / n!$

คุณสมบัติเพิ่มเติมของการนำเสนอแบบนี้คือ มันใช้ลำดับแต่ไม่ใช้การบวก ดังนั้นจึงสามารถกำหนดได้ในมิติใดก็ได้บนเซตที่มีลำดับใดๆ และตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อกำหนดซิมเพล็กซ์มิติอนันต์ได้โดยไม่มีปัญหาเรื่องการลู่เข้าของผลรวม

การฉายภาพลงบนซิมเพล็กซ์มาตรฐาน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิง ตัวเลข การฉายภาพลงบนซิมเพล็กซ์มาตรฐานนั้นมีความน่าสนใจ เมื่อกำหนดให้⁠ $p$ โดยอาจมีพิกัดที่เป็นลบหรือมากกว่า 1 จุดที่ใกล้ที่สุด $t$ บนซิมเพล็กซ์มีพิกัด

t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},

ที่ไหน $\Delta$ ถูกเลือกในลักษณะที่ว่า ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

$\Delta$ สามารถคำนวณได้ง่ายๆ จากการเรียงลำดับพิกัดของ⁠ $p$ [ ⁹^] วิธีการเรียงลำดับ^ใช้ $O(n\log n)$ ความซับซ้อน ซึ่งสามารถปรับปรุงให้มี ความซับซ้อน $O($ $n$ $)$ ได้ โดยใช้อัลกอริธึมการค้นหาค่ามัธยฐาน^[¹⁰^]การฉายภาพลงบนซิมเพล็กซ์นั้นคล้ายกับการฉายภาพลงบน $\ell _{1}$ ลูกบอล ดูเพิ่มเติมที่ การ เขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม

มุมของลูกบาศก์

สุดท้ายนี้ วิธีการที่ง่ายกว่าคือการแทนที่ "ผลรวมเท่ากับ 1" ด้วย "ผลรวมไม่เกิน 1" ซึ่งจะเพิ่มมิติขึ้นอีก 1 ดังนั้นเพื่อให้ง่ายต่อการเขียน จึงต้องเปลี่ยนการกำหนดดัชนี:

\Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.

ผลลัพธ์ที่ได้คือ $n-$ ซิมเพล็กซ์ ซึ่งเป็นมุมหนึ่งของ $n-$ คิวบ์ และเป็นซิมเพล็กซ์เชิงตั้งฉากมาตรฐาน นี่คือซิมเพล็กซ์ที่ใช้ในวิธีซิมเพล็กซ์ซึ่งมีจุดกำเนิดเป็นฐาน และจำลองจุดยอดบนโพลีโทปที่มี $n$ ด้าน ในระดับท้องถิ่น

พิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับซิมเพล็กซ์ปกติ $n$ มิติในR ⁿ

วิธีหนึ่งในการเขียนซิมเพล็กซ์ปกติ $n$ มิติ ใน $R n$ คือการเลือกจุดสองจุดแรกเป็นจุดยอดสองจุดแรก เลือกจุดที่สามเพื่อสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า เลือกจุดที่สี่เพื่อสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ และอื่นๆ แต่ละขั้นตอนต้องใช้สมการที่ทำให้มั่นใจได้ว่าจุดยอดที่เลือกใหม่แต่ละจุด เมื่อรวมกับจุดยอดที่เลือกไว้ก่อนหน้านี้ จะก่อให้เกิดซิมเพล็กซ์ปกติ มีชุดสมการหลายชุดที่สามารถเขียนและใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ได้ ซึ่งรวมถึงความเท่ากันของระยะทางทั้งหมดระหว่างจุดยอด ความเท่ากันของระยะทางทั้งหมดจากจุดยอดไปยังจุดศูนย์กลางของซิมเพล็กซ์ และข้อเท็จจริงที่ว่ามุมที่จุดยอดใหม่รองรับโดยจุดยอดสองจุดใดๆ ที่เลือกไว้ก่อนหน้านี้มีค่าเท่ากับ $\pi /3$ และข้อเท็จจริงที่ว่ามุมที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของซิมเพล็กซ์โดยจุดยอดสองจุดใดๆ คือ $\arccos(-1/n)$ .

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนซิมเพล็กซ์ปกติ $n$ มิติเฉพาะลง ใน $R n$ ได้โดยตรง ซึ่งสามารถแปล หมุน และปรับขนาดได้ตามต้องการ วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือดังต่อไปนี้ กำหนดให้เวกเตอร์ฐานของ $R n$ เป็น $e$ ถึง $e$ เริ่มต้นด้วยซิมเพล็กซ์มาตรฐาน $(n - 1)$ ซึ่งเป็นส่วนนูนของเวกเตอร์ฐาน โดยการเพิ่มจุดยอดเพิ่มเติม จุดยอดเหล่านี้จะกลายเป็นหน้าของซิมเพล็กซ์ปกติ $n$ มิติ จุดยอดเพิ่มเติมจะต้องอยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับจุดศูนย์กลางมวลของซิมเพล็กซ์มาตรฐาน ดังนั้นจึงมีรูปแบบ $(α / n, ..., α / n)$ สำหรับจำนวนจริง $α$ บางค่า เนื่องจากระยะทางกำลังสองระหว่างเวกเตอร์ฐานสองตัวคือ 2 ดังนั้นเพื่อให้จุดยอดเพิ่มเติมสร้างซิมเพล็กซ์ปกติn $มิติ$ ระยะทางกำลังสองระหว่างจุดยอดนั้นกับเวกเตอร์ฐานใดๆ ก็ต้องเป็น 2 เช่นกัน ซึ่งจะได้สมการกำลังสองสำหรับ $α$ เมื่อแก้สมการนี้ จะได้ว่ามีจุดยอดเพิ่มเติมให้เลือกสองจุด:

{\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).

เวกเตอร์ใดเวกเตอร์หนึ่งเหล่านี้ เมื่อรวมกับเวกเตอร์ฐานมาตรฐาน จะทำให้ได้ซิม เพล็กซ์ $n$ มิติ แบบปกติ

ซิมเพล็กซ์ ปกติ $n$ ด้านข้างต้น ไม่ได้อยู่ตรงจุดกำเนิด สามารถย้ายให้มาอยู่ตรงจุดกำเนิดได้โดยการลบค่าเฉลี่ยของจุดยอดออก เมื่อปรับขนาดแล้ว สามารถกำหนดให้มีความยาวด้านละหนึ่งหน่วยได้ ซึ่งจะได้ซิมเพล็กซ์ที่มีจุดยอดดังนี้:

{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),

สำหรับ $1\leq i\leq n$ , และ

\pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).

โปรดทราบว่ามีการอธิบายชุดจุดยอดสองชุด ชุดหนึ่งใช้ $+$ ในการคำนวณแต่ละครั้ง ชุดอื่นใช้ $-$ ในการคำนวณแต่ละครั้ง

ซิมเพล็กซ์นี้ถูกจารึกไว้ในไฮเปอร์สเฟียร์ที่มีรัศมี ${\sqrt {n/(2(n+1))}}$ .

การปรับขนาดที่แตกต่างกันจะสร้างซิมเพล็กซ์ที่บรรจุอยู่ในไฮเปอร์สเฟียร์หน่วย เมื่อทำเช่นนี้แล้ว จุดยอดของซิมเพล็กซ์จะเป็น...

{\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),

ที่ไหน $1\leq i\leq n$ , และ

\pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).

ความยาวด้านของซิมเพล็กซ์นี้คือ ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$ .

วิธีการสร้าง ซิมเพล็กซ์ $n$ ปกติที่มีความสมมาตรสูง คือการใช้การแสดงแทนของกลุ่มวัฏจักร $Z$ ด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากซึ่งก็คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก $n \times n$ $ชื่อ Q$ โดยที่ $Q n +1 = I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์แต่กำลังที่ต่ำกว่าของ $Q ไม่มีเมทริกซ์เอกลักษณ์ การใช้กำลังของ$ เมทริกซ์นี้กับเวกเตอร์ $v$ ที่เหมาะสม จะสร้างจุดยอดของ ซิมเพล็กซ์ $n$ ปกติ ในการดำเนินการนี้ ขั้นแรกให้สังเกตว่าสำหรับเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก $Q$ ใดๆ จะมีฐานให้เลือกซึ่ง $Q$ เป็นเมทริกซ์บล็อกแนวทแยง

Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),

โดยที่แต่ละ $Q$ เป็นเมทริกซ์ตั้งฉากและมีขนาด $2 \times 2$ หรือ $1 \times 1$ เพื่อให้ $Q$ มีอันดับ $n + 1$ เมทริกซ์ทั้งหมดเหล่านี้ต้องมีอันดับหาร $n + 1$ ลงตัว ดังนั้นแต่ละ $Q$ จึงเป็น เมทริกซ์ $1 \times 1$ ที่มีค่าเพียงค่าเดียวคือ $1$ หรือถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ก็จะ เป็น $-1$ หรือเป็น เมทริกซ์ $2 \times 2$ ในรูปแบบ

{\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},

$โดยที่ ω$ แต่ละค่าเป็นจำนวนเต็มระหว่างศูนย์ถึง $n$ รวมทั้งสองค่าด้วย เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับวงโคจรของจุดที่จะเป็นซิมเพล็กซ์ปกติคือ เมทริกซ์ $Q$ ก่อให้เกิดฐานสำหรับตัวแทนจริงที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ของ $Z$ และเวกเตอร์ที่กำลังหมุนนั้นไม่ได้ถูกทำให้เสถียรโดยเมทริกซ์ใดๆ เหล่านั้น

ในทางปฏิบัติ สำหรับ $n$ ที่เป็นจำนวนคู่ หมายความว่าเมทริกซ์ $Q$ ทุกตัว มีขนาด $2 \times 2$ ซึ่งแสดงว่ามีความเท่าเทียมกันของเซต

\{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},

และสำหรับทุก $Q$ ค่าในเมทริกซ์ $v$ ที่ $Q$ กระทำนั้นจะไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ ตัวอย่างเช่น เมื่อ $n = 4$ เมทริกซ์ที่เป็นไปได้เมทริกซ์หนึ่งคือ

{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.

เมื่อนำสิ่งนี้ไปใช้กับเวกเตอร์ $(1, 0, 1, 0)$ จะได้ซิมเพล็กซ์ที่มีจุดยอดเป็น

{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},

แต่ละเซตมีระยะห่าง √5 จากเซตอื่น ๆ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่ เงื่อนไขนี้หมายความว่ามีเพียงบล็อกแนวทแยงมุมหนึ่งบล็อกเท่านั้นที่มีขนาด $1 \times 1$ เท่ากับ $-1$ และกระทำกับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ของ $v$ ในขณะที่บล็อกแนวทแยงมุมที่เหลือ เช่น $Q, ..., Q$ มี $ขนาด 2 \times 2$ ดังนั้นจึงมีความเท่าเทียมกันของเซต

\left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{(n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},

และแต่ละบล็อกแนวทแยงจะกระทำกับคู่ของสมาชิกในเมทริกซ์ $v$ ซึ่งทั้งสองค่าต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เมื่อ $n = 3$ เมทริกซ์จะเป็นดังนี้

{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.

สำหรับเวกเตอร์ $(1, 0, 1/ \sqrt2)$ ซิมเพล็กซ์ที่ได้จะมีจุด $ยอด$

{\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},

แต่ละอันอยู่ห่างจากอันอื่น ๆ เป็นระยะ 2 หน่วย

คุณสมบัติทางเรขาคณิต

ปริมาณ

ปริมาตรของม เพล็ $ซ์ n$ มิติในปริภูมิ $n มิติที่มีจุดยอด$ $(v₀, ..., vn)$ คือ

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|

โดยที่แต่ละคอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์ $n \times n$ เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จากจุดยอด $v$ ไป ยังจุดยอด $v$ ^[¹¹^]สูตรนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อ $v_{0}$ คือจุดเริ่มต้น

การแสดงออก

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}

ใช้ตัวกำหนดแกรม (Gram determinant)และใช้งานได้แม้ว่า จุดยอดของซิมเพล็กซ์ $n$ ตัวจะอยู่ในปริภูมิยุคลิดที่มีมิติมากกว่า $n$ เช่น สามเหลี่ยมใน $\mathbf {R} ^{3}$ .

วิธีสมมาตรมากขึ้นในการคำนวณปริมาตรของ $n-$ ซิมเพล็กซ์ใน $\mathbf {R} ^{n}$ คือ^{[ 12 ]}

\mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|,

และสามารถขยายไปถึง จุดยอด $n + 1$ จุดได้ใน $\mathbf {R} ^{m}$ สำหรับ $m > n$ โดยที่ $1/ n!$ คูณด้วยรากที่สองของผลต่างของ ตัว กำหนดแกรม สองตัว

อีกวิธีหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปในการคำนวณปริมาตรของซิมเพล็กซ์คือการใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของ Cayley–Mengerซึ่งใช้งานได้แม้ว่าจุดยอดของซิมเพล็กซ์ n จะอยู่ในปริภูมิยุคลิดที่มีมิติมากกว่า n ก็ตาม^{[ 13 ]}

หากไม่มี $1/ n!$ มันคือสูตรสำหรับปริมาตรของ $n$ - parallelotopeซึ่งสามารถเข้าใจได้ดังนี้: สมมติว่า $P$ เป็น $n$ -parallelotope ที่สร้างขึ้นบนฐาน $(v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})$ ของ $\mathbf {R} ^{n}$ กำหนดให้มีการเรียงสับเปลี่ยน $\sigma$ ของ $\{1,2,\ldots ,n\}$ เรียกรายการจุดยอดว่า $v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}$ เส้นทาง $n$ ถ้า

v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}

(ดังนั้นจึงมี $n!$ $n-$ เส้นทาง และ $v_{n}$ (ไม่ขึ้นอยู่กับการเรียงสับเปลี่ยน) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้า $P$ คือไฮเปอร์คิวบ์ $n$ หน่วย การรวมกันของซิมเพล็ก ซ์ $n$ หน่วยที่เกิดจากส่วนนูนของ เส้นทาง $n$ หน่วยแต่ละเส้นคือ $P$ และซิมเพล็กซ์เหล่านี้มีความสอดคล้องกันและไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ^{[ 14 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริมาตรของซิมเพล็กซ์ดังกล่าวคือ

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.

ถ้า $P$ เป็นพาราเลโลโทปทั่วไป ข้อความเดิมก็ยังคงเป็นจริง ยกเว้นว่าในมิติ > 2 นั้น ซิมเพล็กซ์จะต้องสมมาตรกันเป็นคู่ๆ แต่ปริมาตรของพวกมันยังคงเท่ากัน เพราะพารา เลโลโทป $n$ มิติเป็นภาพของไฮ เปอร์คิวบ์ $n$ มิติหน่วยโดยไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นที่ส่งฐานแคนอนิกของ $\mathbf {R} ^{n}$ ถึง $e_{1},\ldots ,e_{n}$ เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้วข้างต้น นั่นหมายความว่าปริมาตรของซิมเพล็กซ์ที่มาจาก เส้นทาง $n$ คือ:

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนด $n-$ ซิมเพล็กซ์ $(v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})$ ของ $\mathbf {R} ^{n}$ จึงอาจสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์เหล่านั้น $e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}$ สร้างพื้นฐานของ $\mathbf {R} ^{n}$ พิจารณาถึงรูปทรงขนานที่สร้างขึ้นจาก $v_{0}$ และ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ จะเห็นได้ว่าสูตรก่อนหน้านี้ใช้ได้กับซิมเพล็กซ์ทุกแบบ

สุดท้ายนี้ สูตรที่กล่าวไว้ในตอนต้นของหัวข้อนี้ได้มาจากการสังเกตว่า

\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).

จากสูตรนี้ จึงสรุปได้ทันทีว่าปริมาตรใต้ซิมเพล็กซ์มาตรฐาน $n$ ตัว (กล่าวคือ ระหว่างจุดกำเนิดและซิมเพล็กซ์ใน $R n +1$ ) คือ

{1 \over (n+1)!}

ปริมาตรของซิมเพล็กซ์ปกติ $n$ ด้านที่มีความยาวด้านหนึ่งหน่วยคือ

{\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}

ดังที่เห็นได้จากการคูณสูตรก่อนหน้าด้วย $x n +1$ เพื่อให้ได้ปริมาตรใต้ซิมเพ ล็กซ์ $n$ ตัวเป็นฟังก์ชันของระยะห่างของจุดยอด $x$ จากจุดกำเนิด โดยทำการหาอนุพันธ์เทียบกับ $x$ ที่ $x=1/{\sqrt {2}}$ (โดยที่ ความยาวด้านของซิมเพล็กซ์ $n$ เท่ากับ 1) และทำให้เป็นมาตรฐานโดยความยาว $dx/{\sqrt {n+1}}$ ของการเพิ่มขึ้น $(dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))$ ตามแนวเวกเตอร์ปกติ

มุมไดเฮดรัลของซิมเพ ล็กซ์nปกติ

หน้า สองหน้าใดๆ ของซิ $ม$ เพล็กซ์ปกติ $n มิติ จะเป็นซิ$ $มเพล็กซ์ปกติ ($ $n - 1$ $)$ มิติเช่นกัน และจะมีมุมไดเฮดรัลเท่ากับ $cos$ $-1$ $(1/$ $n$ $)$ เท่า กัน ^[¹⁵^]^[¹⁶^]

สามารถสังเกตได้จากจุดศูนย์กลางของซิมเพล็กซ์มาตรฐานคือ ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ และจุดศูนย์กลางของหน้าต่างๆ คือการเรียงสับเปลี่ยนพิกัดของ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ จากนั้น ด้วยสมมาตร เวกเตอร์ที่ชี้จาก ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ถึง ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ตั้งฉากกับหน้า ดังนั้นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับหน้าจึงเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ $(-n,1,\dots ,1)$ ซึ่งใช้ในการคำนวณมุมไดเฮดรัล

ซิมเพล็กซ์ที่มี "มุมฉาก"

"มุมตั้งฉาก" ในที่นี้หมายถึงจุดยอดที่ขอบที่อยู่ติดกันทุกด้านตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ ซึ่งจะส่งผลให้หน้า ทุกด้านที่อยู่ติดกัน ตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ รูปทรงเรขาคณิตแบบซิมเพล็กซ์เหล่านี้เป็นการขยายความของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และสำหรับรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้มีทฤษฎีบทพีทา โกรัสในมิติ $n$ อยู่ กล่าวคือ ผลรวมของปริมาตรกำลังสองของมิติ $($ $n$ $- 1)$ ของหน้าด้านที่อยู่ติดกับมุมตั้งฉากเท่ากับปริมาตรกำลังสองของมิติ $($ $n$ $- 1)$ ของหน้าด้านตรงข้ามกับมุมตั้งฉาก

\sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}

ที่ไหน $A_{1}\ldots A_{n}$ ด้านต่างๆ ตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ แต่ไม่ตั้งฉากกับด้านอื่น $A_{0}$ ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามกับมุมฉาก^{[ 17 ]}

สำหรับซิมเพล็กซ์ 2 ด้าน ทฤษฎีบทที่ใช้คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก และสำหรับซิมเพล็กซ์ 3 ด้าน คือทฤษฎีบทของเดอ กัวสำหรับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีมุมตั้งฉาก

ความสัมพันธ์กับไฮเปอร์คิวบ์ ( n + 1)

แผนภาพHasseของโครงข่ายหน้าของซิมเพล็ กซ์ $n$ มิติ มีความสมมาตรกับกราฟ ของขอบ ของไฮเปอร์คิวบ์ $(n + 1)$ โดยที่จุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์จะแมปไปยังแต่ละองค์ประกอบของซิมเพล็กซ์ $n$ มิติ รวมถึงซิมเพล็กซ์ทั้งหมดและโพลีโทปว่างเป็นจุดสุดขั้วของโครงข่าย (แมปไปยังจุดยอดสองจุดตรงข้ามบนไฮเปอร์คิวบ์) ข้อเท็จจริงนี้สามารถนำมาใช้ในการแจงนับโครงข่ายหน้าของซิมเพล็กซ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เนื่องจากอัลกอริธึมการแจงนับโครงข่ายหน้าทั่วไปนั้นมีค่าใช้จ่ายในการคำนวณสูงกว่า

n- ซิมเพล็กซ์ยังเป็นรูปทรงจุดยอดของ $($ $n$ $+ 1)-$ $ไฮ$ เปอร์คิวบ์ และยังเป็นหน้าตัดของ $($ $n$ $+ 1)$ - ออร์โธเพล็กซ์อีก ด้วย

โทโพโลยี

ในทางทอพอโลยี n- $ซิ$ มเพล็กซ์เทียบเท่ากับ $n-$ บอล $n-$ ซิมเพล็กซ์ทุกอันเป็น แมนิโฟลด์ $n$ มิติที่มีมุม

ความน่าจะเป็น

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น จุดของซิมเพล็กซ์มาตรฐาน $n$ ตัวใน ปริภูมิ $(n + 1)$ จะก่อให้เกิดปริภูมิของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้บนเซตจำกัดซึ่งประกอบด้วย ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ $n + 1$ แบบ ความสัมพันธ์มีดังนี้: สำหรับการแจกแจงแต่ละแบบที่อธิบายเป็นทูเปิล $(n + 1)$ ที่เรียงลำดับของความน่าจะเป็นซึ่งผลรวม (จำเป็น) คือ 1 เราจะเชื่อมโยงจุดของซิมเพล็กซ์ที่มีพิกัดแบรีเซนทริกเป็นความน่าจะเป็นเหล่านั้นอย่างแม่นยำ กล่าวคือ จุดยอดที่ $k$ ของซิมเพล็กซ์จะถูกกำหนดให้มี ความน่าจะเป็นที่ $k$ ของ ทูเปิล $(n + 1)$ เป็นสัมประสิทธิ์แบรีเซนทริก ความสัมพันธ์นี้เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเชิงเส้นตรง

เรขาคณิตของเอทชิสัน

เรขาคณิตของ Aitchinson เป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติในการสร้างปริภูมิผลคูณภายในจากซิมเพล็กซ์มาตรฐาน $\Delta ^{D-1}$ โดยจะกำหนดการดำเนินการต่อไปนี้บนซิมเพล็กซ์และจำนวนจริง:

การรบกวน (การบวก)

x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}

การยกกำลัง (การคูณสเกลาร์)

\alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]\qquad \forall x\in \Delta ^{D-1},\;\alpha \in \mathbb {R}

ผลิตภัณฑ์ภายใน

\langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}

สารประกอบ

เนื่องจากซิมเพล็กซ์ทั้งหมดเป็นแบบทวิภาวะในตัวเอง จึงสามารถสร้างคอมพลีเมนต์ได้หลายแบบ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปประกอบกันเป็นรูปหกเหลี่ยม {6/2}
รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองรูปจะรวมกันเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองรูปหรือรูปทรงแปดเหลี่ยม
เซลล์ 5 สองเซลล์รวมกันเป็นสารประกอบของเซลล์ 5 สองเซลล์ในสี่มิติ

โทโพโลยีเชิงพีชคณิต

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตซิมเพล็กซ์ถูกใช้เป็นหน่วยพื้นฐานในการสร้าง ปริภูมิ โทโพโลยีประเภทหนึ่งที่น่าสนใจ เรียกว่า ซิมพลิ เชียล คอมเพล็กซ์ ปริภูมิเหล่านี้สร้างขึ้นจากซิมเพล็กซ์ที่เชื่อมต่อกันใน ลักษณะ เชิงการจัดเรียง ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดนิยามของ โฮโมโลยีชนิดหนึ่งที่เรียกว่าโฮโมโลยีเชิงซิมพลิเชียล

เซตจำกัดของ $k-$ ซิมเพล็กซ์ที่ฝังอยู่ในเซตย่อยเปิดของ $R n$ เรียกว่า $k-$ เชนเชิงเส้น (affine k - chain ) ซิมเพล็กซ์ในเชนไม่จำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียว อาจปรากฏซ้ำกันได้แทนที่จะใช้สัญลักษณ์เซตมาตรฐานในการแสดงเชนเชิงเส้น โดยทั่วไปจะใช้เครื่องหมายบวกเพื่อแยกสมาชิกแต่ละตัวในเซต หากซิมเพล็กซ์บางตัวมีทิศทาง ตรงกันข้าม จะมีเครื่องหมายลบนำหน้า หากซิมเพล็กซ์บางตัวปรากฏในเซตมากกว่าหนึ่งครั้ง จะมีตัวเลขจำนวนเต็มนำหน้า ดังนั้น เชนเชิงเส้นจึงมีรูปแบบเชิงสัญลักษณ์เป็นผลรวมที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

โปรดทราบว่าแต่ละด้านของ $n-$ ซิมเพล็กซ์เป็นแอฟฟิน $(n - 1)$ -ซิมเพล็กซ์ และดังนั้นขอบเขตของ $n-$ ซิมเพล็กซ์จึงเป็นแอฟฟิน $(n - 1)$ -เชน ดังนั้น ถ้าเรากำหนดแอฟฟินซิมเพล็กซ์ที่มีทิศทางบวกหนึ่งตัวเป็น

\sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]

ด้วย $v_{j}$ โดยระบุจุดยอด จากนั้นจึงระบุขอบเขต $\partial \sigma$ ของ $σ$ คือโซ่

\partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].

จากนิพจน์นี้และความเป็นเชิงเส้นของตัวดำเนินการขอบเขต จึงสรุปได้ว่าขอบเขตของขอบเขตของซิมเพล็กซ์มีค่าเป็นศูนย์:

\partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.

ในทำนองเดียวกัน ขอบเขตของขอบเขตของโซ่ก็คือศูนย์: $\partial ^{2}\rho =0$ .

โดยทั่วไปแล้ว ซิมเพล็กซ์ (และเชน) สามารถฝังลงในแมนิโฟลด์ได้โดยใช้แผนที่เรียบและหาอนุพันธ์ได้ $f:\mathbf {R} ^{n}\to M$ ในกรณีนี้ ทั้งข้อตกลงการบวกเพื่อระบุเซตและการดำเนินการขอบเขตจะสอดคล้องกับการฝังตัวนั่นคือ

f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})

ที่ซึ่ง $a_{i}$ เป็นจำนวนเต็มที่แสดงถึงทิศทางและความหลากหลาย สำหรับตัวดำเนินการขอบเขต $\partial$ หนึ่งในนั้นคือ:

\partial f(\rho )=f(\partial \rho )

โดยที่ $ρ$ คือโซ่ การดำเนินการที่ขอบเขตจะสลับที่ได้กับการแมป เพราะในท้ายที่สุด โซ่ถูกนิยามว่าเป็นเซตและไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น และการดำเนินการกับเซตจะสลับที่ได้กับการดำเนินการกับแมป เสมอ (ตามนิยามของแมป)

แผนที่ต่อเนื่อง $f:\sigma \to X$ ไปยังปริภูมิโทโพโลยี $X$ มักเรียกว่าซิมเพล็กซ์ $n$ เอกลักษณ์ (โดยทั่วไปแล้ว แผนที่จะถูกเรียกว่า "เอกลักษณ์" หากแผนที่นั้นไม่มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์บางอย่าง เช่น ความต่อเนื่อง และในกรณีนี้ คำนี้หมายถึงการสะท้อนให้เห็นว่าแผนที่ต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องเป็นการฝังตัว) ^{[ 18 ]}

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เนื่องจากเรขาคณิตพีชคณิต แบบคลาสสิก อนุญาตให้พูดถึงสมการพหุนามได้ แต่ไม่สามารถพูดถึงอสมการได้ ดังนั้น ซิมเพล็ กซ์ n มิติมาตรฐานทางพีชคณิตจึงมักถูกนิยามว่าเป็นเซตย่อยของปริภูมิเชิงเส้น $(n + 1)$ มิติ โดยที่พิกัดทั้งหมดรวมกันได้เท่ากับ 1 (จึงละเว้นส่วนที่เป็นอสมการ) คำอธิบายทางพีชคณิตของเซตนี้คือ $\Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},$ ซึ่งเท่ากับคำอธิบายเชิงทฤษฎีของโครงร่าง $\Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])$ กับ $R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.$ วงแหวนของฟังก์ชันปกติบนซิมเพล็กซ์ $n$ ทางพีชคณิต (สำหรับวงแหวน ใดๆ) $R$ )

โดยใช้คำจำกัดความเดียวกันกับซิมเพล็กซ์ $n แบบคลาสสิก ซิมเพล็กซ์$ $n$ สำหรับมิติ $n$ ที่แตกต่างกัน จะประกอบกันเป็นวัตถุซิมพลิเชียล หนึ่งเดียว ในขณะที่วงแหวน $R[\Delta ^{n}]$ ประกอบเข้าเป็นวัตถุโคซิมพลิเชียลหนึ่งเดียว $R[\Delta ^{\bullet }]$ (อยู่ในหมวดหมู่ของโครงร่างหรือวงแหวน เนื่องจากแผนที่หน้าและแผนที่ความเสื่อมทั้งหมดเป็นพหุนาม)

ซิมเพล็กซ์เชิงพีชคณิต $n$ ถูกนำมาใช้ในทฤษฎี K ระดับสูง และในการกำหนดกลุ่ม Chow ระดับ สูง

แอปพลิเคชัน

ในทางสถิติซิมเพล็กซ์คือปริภูมิตัวอย่างของข้อมูลเชิงองค์ประกอบและยังใช้ในการพล็อตปริมาณที่รวมกันได้เท่ากับ 1 เช่น สัดส่วนของประชากรย่อย ดังเช่นในแผนภาพสามเหลี่ยม
ในทฤษฎีความน่าจะเป็นพื้นที่ซิมเพล็กซ์มักถูกใช้เพื่อแทนพื้นที่ของการแจกแจงความน่าจะเป็นตัวอย่างเช่นการแจกแจงแบบดิริชเลต์ ถูกกำหนดขึ้นบนซิมเพล็กซ์
ในสถิติอุตสาหกรรมซิมเพล็กซ์เกิดขึ้นในการกำหนดปัญหาและในการแก้ปัญหาเชิงอัลกอริทึม ในการออกแบบขนมปัง ผู้ผลิตต้องผสมยีสต์ แป้ง น้ำ น้ำตาล ฯลฯ ในส่วนผสม ดังกล่าว มีเพียงสัดส่วนสัมพัทธ์ของส่วนผสมเท่านั้นที่มีความสำคัญ: สำหรับส่วนผสมขนมปังที่เหมาะสมที่สุด หากแป้งเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ยีสต์ก็ควรเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าเช่นกัน ปัญหาการผสมดังกล่าว มักถูกกำหนดด้วยข้อจำกัดแบบนอร์มาไลซ์ เพื่อให้ส่วนประกอบที่ไม่เป็นลบรวมกันได้หนึ่ง ซึ่งในกรณีนี้ พื้นที่ที่เป็นไปได้จะก่อตัวเป็นซิมเพล็กซ์ คุณภาพของส่วนผสมขนมปังสามารถประเมินได้โดยใช้วิธีพื้นผิวตอบสนองจากนั้นสามารถคำนวณค่าสูงสุดเฉพาะที่ได้โดยใช้ วิธี การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเช่น การ เขียนโปรแกรมกำลังสองแบบลำดับ^{[ 19 ]}
ในการวิจัยเชิงปฏิบัติการ ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึมซิมเพล็กซ์ของจอร์จ แดนท์ซิก
ในทฤษฎีเกมกลยุทธ์ต่างๆ สามารถแสดงได้ด้วยจุดภายในซิมเพล็กซ์ การแสดงแบบนี้ช่วยให้การวิเคราะห์กลยุทธ์แบบผสมง่ายขึ้น
ในการออกแบบทางเรขาคณิตและกราฟิกคอมพิวเตอร์วิธีการหลายวิธีจะทำการสร้างสามเหลี่ยมซิมพลิเชียลของโดเมนก่อน จากนั้นจึงปรับพหุ นาม การสอดแทรกให้ เข้ากับซิมเพล็กซ์แต่ละอัน^{[ 20 ]}
ในวิชาเคมีไฮไดรด์ของธาตุส่วนใหญ่ในกลุ่มพี (p-block)สามารถมีโครงสร้างคล้ายซิมเพล็กซ์ได้ หากเราเชื่อมต่ออะตอมแต่ละตัวเข้าด้วย กัน นีออนไม่ทำปฏิกิริยากับไฮโดรเจน ดังนั้นจึงเป็นจุดฟลูออรีนสร้างพันธะกับอะตอมไฮโดรเจนหนึ่งอะตอมและเกิดเป็นส่วนของเส้นตรงออกซิเจนสร้างพันธะกับอะตอมไฮโดรเจนสองอะตอมใน ลักษณะ โค้งงอคล้ายรูปสามเหลี่ยมไนโตรเจนทำปฏิกิริยาแล้วเกิดเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและคาร์บอนสร้างโครงสร้างที่คล้ายแผนภาพชเลเกลของเซลล์ 5 เซลล์ แนวโน้มนี้ยังคงดำเนินต่อไปสำหรับธาตุที่มีมวลมากกว่าของแต่ละธาตุ รวมถึงกรณีที่อะตอมไฮโดรเจนถูกแทนที่ด้วยอะตอมฮาโลเจน ด้วย
ในบางแนวทางของทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมเช่นแคลคูลัสของเร็กเกและการแบ่งสามเหลี่ยมเชิงพลวัตแบบเป็นเหตุเป็นผล ซิมเพล็กซ์ถูกใช้เป็นส่วนประกอบพื้นฐานในการแบ่งส่วนปริภูมิเวลา กล่าวคือ ใช้ในการสร้างแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กซ์

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ Elte, EL (2006) [1912]. "IV. โพลีโทปกึ่งปกติห้ามิติ" โพลีโทปกึ่งปกติของไฮเปอร์สเปซ Simon & Schuster. ISBN 978-1-4181-7968-7.
↑บอยด์และแวนเดนเบิร์ก 2004
↑ Clifford, WK (1866). "ปัญหา 1878 (เสนอและแก้ไขโดยผู้เสนอ)" ใน Miller, WJC (บรรณาธิการ). คำถามทางคณิตศาสตร์พร้อมคำตอบจากยุคการศึกษาเล่มที่ 6. ลอนดอน: CF Hodgson & Son. หน้า83–87 . สืบค้นเมื่อ4 มีนาคม 2026 .
↑ Miller, Jeff, "Simplex" , การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ, สืบค้นเมื่อ 2018-01-08
↑ Coxeter 1973 , หน้า 120–124, §7.2.
↑ค็อกซ์เตอร์ 1973หน้า 120
↑ Sloane, N. J. A. (บรรณาธิการ). "ลำดับA135278 (สามเหลี่ยมปาสคาลที่ตัดขอบด้านซ้ายออก)"สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์มูลนิธิ OEIS
↑ Kozlov, Dimitry, Combinatorial Algebraic Topology , 2008, Springer-Verlag (ชุด: Algorithms and Computation in Mathematics)
↑หยุนเหม่ย เฉิน; เสี่ยวจิง เย่ (2011) "การฉายภาพลงบนซิมเพล็กซ์" arXiv : 1101.6081 [ math.OC ].
↑ MacUlan, N.; De Paula, GG (1989). "อัลกอริทึมการหาค่ามัธยฐานแบบเชิงเส้นสำหรับการฉายเวกเตอร์บนซิมเพล็กซ์ของ n" Operations Research Letters . 8 (4): 219. doi : 10.1016/0167-6377(89)90064-3 .
↑การหาที่มาของสูตรที่คล้ายกันมากสามารถพบได้ใน Stein, P. (1966). "A Note on the Volume of a Simplex". American Mathematical Monthly . 73 (3): 299– 301. doi : 10.2307/2315353 . JSTOR 2315353 .
↑ Stein, P. (1966). "หมายเหตุเกี่ยวกับปริมาตรของซิมเพล็กซ์" The American Mathematical Monthly . 73 (3): 299– 301. doi : 10.2307/2315353 . ISSN 0002-9890 .
↑ คอลินส์, คาเรน ดี. "เคย์ลีย์-เม็นเจอร์ ดีเทอร์มิแนนต์" . แมทเวิลด์ .
↑ $เส้นทาง n$ ทุกเส้นที่สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยน $\scriptstyle \sigma$ คือภาพของเส้นทาง $n$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}$ โดยไอโซเมตรีเชิงเส้นที่ส่ง $\scriptstyle v_{0}$ ถึง $\scriptstyle v_{0}$ และส่วนที่เป็นเส้นตรงนั้นตรงกัน $\scriptstyle e_{i}$ ถึง $\scriptstyle e_{\sigma (i)}$ สำหรับทุก $i$ ดังนั้น เส้นทาง $n$ สองเส้นใดๆ ก็ตาม จะเป็นไอโซเมตริก และส่วนนูนของเส้นทางเหล่านั้นก็เป็นไอโซเมตริกเช่นกัน ซึ่งอธิบายถึงความสอดคล้องกันของซิมเพล็กซ์ เพื่อแสดงข้อความอื่นๆ ก็เพียงพอที่จะสังเกตว่าส่วนภายในของซิมเพล็กซ์ที่กำหนดโดยเส้นทางn $นั้น$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}$ คือเซตของจุด $\scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}$ , กับ $\scriptstyle 0<x_{i}<1$ และ $\scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.$ ดังนั้น ส่วนประกอบของจุดเหล่านี้เมื่อเทียบกับฐานที่เรียงสับเปลี่ยนที่สอดคล้องกันแต่ละฐานจึงเรียงลำดับอย่างเคร่งครัดจากมากไปน้อย นั่นอธิบายได้ว่าทำไมซิมเพล็กซ์จึงไม่ทับซ้อนกัน ข้อเท็จจริงที่ว่าการรวมกันของซิมเพล็กซ์คือ ไฮเปอร์คิวบ์ $n$ มิติหน่วยทั้งหมด ก็เป็นไปตามนั้นเช่นกัน โดยแทนที่อสมการที่เข้มงวดข้างต้นด้วย " $\scriptstyle \leq$ "ข้อโต้แย้งเดียวกันนี้ยังใช้ได้กับรูปทรงขนานทั่วไป ยกเว้นความสมมาตรระหว่างซิมเพล็กซ์"
↑ Parks, Harold R. ; Wills, Dean C. (ตุลาคม 2545). "การคำนวณเบื้องต้นของมุมไดเฮดรัลของซิม เพล็กซ์ $n$ ปกติ " American Mathematical Monthly . 109 (8): 756– 8. doi : 10.2307/3072403 . JSTOR 3072403 .
↑ Wills, Harold R.; Parks, Dean C. (มิถุนายน 2009). ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของการเรียงสับเปลี่ยนและอัลกอริทึมกับเรขาคณิต (ปริญญาเอก). มหาวิทยาลัยโอเรกอนสเตท. hdl : 1957/11929 .
↑ Donchian, PS; Coxeter, HSM (กรกฎาคม 1935). "1142. การขยายทฤษฎีบทพีทาโกรัสในมิติ n" The Mathematical Gazette . 19 (234): 206. doi : 10.2307/3605876 . JSTOR 3605876 . S2CID 125391795 .
↑ Lee, John M. (2006). Introduction to Topological Manifolds . Springer. หน้า292–293 . ISBN 978-0-387-22727-6.
↑คอร์เนลล์, จอห์น (2002). การทดลองกับสารผสม: การออกแบบ แบบจำลอง และการวิเคราะห์ข้อมูลสารผสม ( ฉบับที่สาม). ไวลีย์. ISBN 0-471-07916-2.
↑ Vondran, Gary L. (เมษายน 1998). "เทคนิคการแทรกสอดแบบรัศมีและแบบทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตัดแต่ง" (PDF) . รายงานทางเทคนิคของ HP . HPL-98-95: 1– 32. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2011-06-07 . สืบค้นเมื่อ2009-11-11 .

[1] Elte, EL (2006) [1912]. "IV. โพลีโทปกึ่งปกติห้ามิติ" โพลีโทปกึ่งปกติของไฮเปอร์สเปซ Simon & Schuster. ISBN 978-1-4181-7968-7.

[Boyd-2] บอยด์และแวนเดนเบิร์ก 2004

[3] Clifford, WK (1866). "ปัญหา 1878 (เสนอและแก้ไขโดยผู้เสนอ)" ใน Miller, WJC (บรรณาธิการ). คำถามทางคณิตศาสตร์พร้อมคำตอบจากยุคการศึกษาเล่มที่ 6. ลอนดอน: CF Hodgson & Son. หน้า83–87 . สืบค้นเมื่อ4 มีนาคม 2026 .

[4] Miller, Jeff, "Simplex" , การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ, สืบค้นเมื่อ 2018-01-08

[FOOTNOTECoxeter1973120–124§7.2-5] Coxeter 1973 , หน้า 120–124, §7.2.

[FOOTNOTECoxeter1973120-6] ค็อกซ์เตอร์ 1973หน้า 120

[7] Sloane, N. J. A. (บรรณาธิการ). "ลำดับA135278 (สามเหลี่ยมปาสคาลที่ตัดขอบด้านซ้ายออก)"สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์มูลนิธิ OEIS

[8] Kozlov, Dimitry, Combinatorial Algebraic Topology , 2008, Springer-Verlag (ชุด: Algorithms and Computation in Mathematics)

[9] หยุนเหม่ย เฉิน; เสี่ยวจิง เย่ (2011) "การฉายภาพลงบนซิมเพล็กซ์" arXiv : 1101.6081 [ math.OC ].

[10] MacUlan, N.; De Paula, GG (1989). "อัลกอริทึมการหาค่ามัธยฐานแบบเชิงเส้นสำหรับการฉายเวกเตอร์บนซิมเพล็กซ์ของ n" Operations Research Letters . 8 (4): 219. doi : 10.1016/0167-6377(89)90064-3 .

[11] การหาที่มาของสูตรที่คล้ายกันมากสามารถพบได้ใน Stein, P. (1966). "A Note on the Volume of a Simplex". American Mathematical Monthly . 73 (3): 299– 301. doi : 10.2307/2315353 . JSTOR 2315353 .

[12] Stein, P. (1966). "หมายเหตุเกี่ยวกับปริมาตรของซิมเพล็กซ์" The American Mathematical Monthly . 73 (3): 299– 301. doi : 10.2307/2315353 . ISSN 0002-9890 .

[13] คอลินส์, คาเรน ดี. "เคย์ลีย์-เม็นเจอร์ ดีเทอร์มิแนนต์" . แมทเวิลด์ .

[14] $เส้นทาง n$ ทุกเส้นที่สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยน $\scriptstyle \sigma$ คือภาพของเส้นทาง $n$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}$ โดยไอโซเมตรีเชิงเส้นที่ส่ง $\scriptstyle v_{0}$ ถึง $\scriptstyle v_{0}$ และส่วนที่เป็นเส้นตรงนั้นตรงกัน $\scriptstyle e_{i}$ ถึง $\scriptstyle e_{\sigma (i)}$ สำหรับทุก $i$ ดังนั้น เส้นทาง $n$ สองเส้นใดๆ ก็ตาม จะเป็นไอโซเมตริก และส่วนนูนของเส้นทางเหล่านั้นก็เป็นไอโซเมตริกเช่นกัน ซึ่งอธิบายถึงความสอดคล้องกันของซิมเพล็กซ์ เพื่อแสดงข้อความอื่นๆ ก็เพียงพอที่จะสังเกตว่าส่วนภายในของซิมเพล็กซ์ที่กำหนดโดยเส้นทางn $นั้น$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}$ คือเซตของจุด $\scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}$ , กับ $\scriptstyle 0<x_{i}<1$ และ $\scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.$ ดังนั้น ส่วนประกอบของจุดเหล่านี้เมื่อเทียบกับฐานที่เรียงสับเปลี่ยนที่สอดคล้องกันแต่ละฐานจึงเรียงลำดับอย่างเคร่งครัดจากมากไปน้อย นั่นอธิบายได้ว่าทำไมซิมเพล็กซ์จึงไม่ทับซ้อนกัน ข้อเท็จจริงที่ว่าการรวมกันของซิมเพล็กซ์คือ ไฮเปอร์คิวบ์ $n$ มิติหน่วยทั้งหมด ก็เป็นไปตามนั้นเช่นกัน โดยแทนที่อสมการที่เข้มงวดข้างต้นด้วย " $\scriptstyle \leq$ "ข้อโต้แย้งเดียวกันนี้ยังใช้ได้กับรูปทรงขนานทั่วไป ยกเว้นความสมมาตรระหว่างซิมเพล็กซ์"

[15] Parks, Harold R. ; Wills, Dean C. (ตุลาคม 2545). "การคำนวณเบื้องต้นของมุมไดเฮดรัลของซิม เพล็กซ์ $n$ ปกติ " American Mathematical Monthly . 109 (8): 756– 8. doi : 10.2307/3072403 . JSTOR 3072403 .

[16] Wills, Harold R.; Parks, Dean C. (มิถุนายน 2009). ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของการเรียงสับเปลี่ยนและอัลกอริทึมกับเรขาคณิต (ปริญญาเอก). มหาวิทยาลัยโอเรกอนสเตท. hdl : 1957/11929 .

[17] Donchian, PS; Coxeter, HSM (กรกฎาคม 1935). "1142. การขยายทฤษฎีบทพีทาโกรัสในมิติ n" The Mathematical Gazette . 19 (234): 206. doi : 10.2307/3605876 . JSTOR 3605876 . S2CID 125391795 .

[18] Lee, John M. (2006). Introduction to Topological Manifolds . Springer. หน้า292–293 . ISBN 978-0-387-22727-6.

[19] คอร์เนลล์, จอห์น (2002). การทดลองกับสารผสม: การออกแบบ แบบจำลอง และการวิเคราะห์ข้อมูลสารผสม ( ฉบับที่สาม). ไวลีย์. ISBN 0-471-07916-2.

[20] Vondran, Gary L. (เมษายน 1998). "เทคนิคการแทรกสอดแบบรัศมีและแบบทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตัดแต่ง" (PDF) . รายงานทางเทคนิคของ HP . HPL-98-95: 1– 32. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2011-06-07 . สืบค้นเมื่อ2009-11-11 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

6

[ 7 ]

[ 8 ]

9

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[

[

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

ไม่มีชื่อบทความ

ซิมเพล็กซ์

ประวัติศาสตร์

องค์ประกอบ

กราฟสมมาตรของซิมเพล็กซ์ปกติ

ซิมเพล็กซ์มาตรฐาน

ตัวอย่าง

พิกัดที่เพิ่มขึ้น

การฉายภาพลงบนซิมเพล็กซ์มาตรฐาน

มุมของลูกบาศก์

พิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับซิมเพล็กซ์ปกติ $n$ มิติในR ⁿ

คุณสมบัติทางเรขาคณิต

ปริมาณ

มุมไดเฮดรัลของซิมเพ ล็กซ์nปกติ

ซิมเพล็กซ์ที่มี "มุมฉาก"

ความสัมพันธ์กับไฮเปอร์คิวบ์ ( n + 1)

โทโพโลยี

ความน่าจะเป็น

เรขาคณิตของเอทชิสัน

สารประกอบ

โทโพโลยีเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

แอปพลิเคชัน

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ซิมเพล็กซ์

ประวัติศาสตร์

องค์ประกอบ

กราฟสมมาตรของซิมเพล็กซ์ปกติ

ซิมเพล็กซ์มาตรฐาน

ตัวอย่าง

พิกัดที่เพิ่มขึ้น

การฉายภาพลงบนซิมเพล็กซ์มาตรฐาน

มุมของลูกบาศก์

พิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับซิมเพล็กซ์ปกติnมิติในR n

คุณสมบัติทางเรขาคณิต

ปริมาณ

มุมไดเฮดรัลของซิมเพ ล็กซ์nปกติ

ซิมเพล็กซ์ที่มี "มุมฉาก"

ความสัมพันธ์กับไฮเปอร์คิวบ์ ( n + 1)

โทโพโลยี

ความน่าจะเป็น

เรขาคณิตของเอทชิสัน

สารประกอบ

โทโพโลยีเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

แอปพลิเคชัน

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

พิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับซิมเพล็กซ์ปกติ $n$ มิติในR ⁿ