ในแคลคูลัสอนุพันธ์อันดับสองหรืออนุพันธ์ลำดับที่สองของฟังก์ชันfคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์ของfโดยทั่วไปแล้ว อาจกล่าวได้ว่าอนุพันธ์อันดับสองคือ "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลา คือความเร่งทันทีของวัตถุ หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วของวัตถุเทียบกับเวลา ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ : $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$$ โดยที่aคือความเร่ง, vคือความเร็ว, tคือเวลา, xคือตำแหน่ง และ d คือ "เดลต้า" หรือการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะนั้น นิพจน์สุดท้าย${\displaystyle {\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$คืออนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง ( x ) เทียบกับเวลา

ในกราฟของฟังก์ชันเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองมีความสัมพันธ์กับความโค้งของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกจะโค้งขึ้น ในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งไปในทิศทางตรงกันข้าม

หากนำ กฎกำลังของอนุพันธ์อันดับแรกมาใช้สองครั้ง จะได้กฎกำลังของอนุพันธ์อันดับสองดังนี้: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.}$$

อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน${\displaystyle f(x)}$โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์${\displaystyle f''(x)}$[ ^{1 ]}นั่นคือ ^:$${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$$ เมื่อใช้สัญลักษณ์ของไลบ์นิซสำหรับการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตามyเทียบกับตัวแปรอิสระxจะเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$ สัญลักษณ์นี้ได้มาจากสูตรต่อไปนี้: $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$$

กำหนดฟังก์ชัน $${\displaystyle f(x)=x^{3},}$$ อนุพันธ์ของfคือฟังก์ชัน $${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$$ อนุพันธ์อันดับสองของfคืออนุพันธ์ของ${\displaystyle f'}$กล่าวคือ $${\displaystyle f''(x)=6x.}$$

สามารถเขียนลิมิต เดียว สำหรับอนุพันธ์อันดับสองได้: $${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$$

ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง^{[ 2 ] [ 3 ]}อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจมีอยู่แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสอง (ปกติ) จะไม่มีอยู่ก็ตาม

นิพจน์ทางด้านขวาสามารถเขียนได้ในรูปผลหารต่างของผลหารต่าง: $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$$ ขีดจำกัดนี้สามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองสำหรับลำดับต่างๆ

อย่างไรก็ตาม การมีอยู่ของขีดจำกัดข้างต้นไม่ได้หมายความว่าฟังก์ชันนั้น${\displaystyle f}$มีอนุพันธ์อันดับสอง ขีดจำกัดข้างต้นเป็นเพียงความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสองเท่านั้น แต่ไม่ได้ให้คำจำกัดความ ตัวอย่างค้านคือฟังก์ชันเครื่องหมาย${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ซึ่งนิยามได้ดังนี้: $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองสำหรับ${\displaystyle x=0}$ไม่มีอยู่จริง แต่ขีดจำกัดข้างต้นมีอยู่สำหรับ${\displaystyle x=0}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$$

เช่นเดียวกับที่อนุพันธ์อันดับแรกเกี่ยวข้องกับการประมาณเชิงเส้นอนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสอง ที่ดีที่สุด สำหรับฟังก์ชันfซึ่งก็คือฟังก์ชันกำลังสองที่มีอนุพันธ์อันดับแรกและอันดับสองเหมือนกับอนุพันธ์อันดับแรกและอันดับสองของfที่จุดที่กำหนด สูตรสำหรับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชันfรอบจุดx = aคือ $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$$การ ประมาณ ค่ากำลังสองนี้คือ พหุนามเทย์เลอร์ อันดับสองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่x = a

สำหรับเงื่อนไขขอบเขต หลายรูปแบบ สามารถหาได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง ตัวอย่างเช่น สมมติว่า${\displaystyle x\in [0,L]}$และเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่เป็นเนื้อเดียวกัน (เช่น${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$โดยที่vคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะค่าลักษณะเฉพาะคือ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ) คือ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$.ที่นี่,${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$,สำหรับ${\displaystyle j=1,\ldots ,\infty }$.

สำหรับกรณีอื่นๆ ที่เป็นที่รู้จักกันดี โปรดดู ที่ ค่าลักษณะเฉพาะและเวก เตอร์ลักษณะเฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

• ความร่าเริงสดใสอนุพันธ์อันดับสองของเฟสทันที
• วิธีผลต่างจำกัดใช้ในการประมาณค่าอนุพันธ์อันดับสอง
• การทดสอบอนุพันธ์ย่อยลำดับที่สอง
• สมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง

• อนุพันธ์อันดับสองแบบไม่ต่อเนื่องจากจุดที่เว้นระยะห่างไม่เท่ากัน