ในทฤษฎีกราฟค่าความเป็นศูนย์กลางของ Katzหรือค่าความเป็นศูนย์กลางอัลฟาของโหนด เป็นการวัดความเป็นศูนย์กลางในเครือข่ายLeo Katzเป็นผู้ริเริ่มใช้ค่านี้ในปี 1953 และใช้ในการวัดระดับอิทธิพลสัมพัทธ์ของตัวแสดง (หรือโหนด) ภายในเครือข่ายสังคม^{[ 1 ]}แตกต่างจากการวัดความเป็นศูนย์กลางทั่วไปที่พิจารณาเฉพาะเส้นทางที่สั้นที่สุด (เส้นทางจีโอเดสิก ) ระหว่างตัวแสดงสองตัว ค่าความเป็นศูนย์กลางของ Katz วัดอิทธิพลโดยคำนึงถึงจำนวนเส้นทาง ทั้งหมด ระหว่างตัวแสดงสองตัว^{[ 2 ]}

มีลักษณะคล้ายกับ^PageRankของ Google และค่าeigenvector centrality [ ^{3 ]}

ค่าศูนย์กลางของ Katz คำนวณอิทธิพลสัมพัทธ์ของโหนดภายในเครือข่ายโดยการวัดจำนวนเพื่อนบ้านโดยตรง (โหนดระดับแรก) และโหนดอื่นๆ ทั้งหมดในเครือข่ายที่เชื่อมต่อกับโหนดที่กำลังพิจารณาผ่านเพื่อนบ้านโดยตรงเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม การเชื่อมต่อกับเพื่อนบ้านที่อยู่ห่างไกลจะถูกลงโทษด้วยปัจจัยการลดทอน[ ^{4 ] แต่ละ}เส้นทางหรือการเชื่อมต่อระหว่างโหนดคู่หนึ่งจะได้รับน้ำหนักที่กำหนดโดยและระยะห่างระหว่างโหนดเป็น ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ^{d}}$

ตัวอย่างเช่น ในรูปทางด้านขวา สมมติว่ากำลังวัดค่าความเป็นศูนย์กลางของจอห์น และน้ำหนักที่กำหนดให้กับแต่ละลิงก์ที่เชื่อมจอห์นกับเพื่อนบ้านโดยตรงอย่างเจนและบ็อบจะเป็นเนื่องจากโฮเซ่เชื่อมต่อกับจอห์นโดยอ้อมผ่านบ็อบ น้ำหนักที่กำหนดให้กับการเชื่อมต่อนี้ (ซึ่งประกอบด้วยสองลิงก์) จะเป็นในทำนองเดียวกัน น้ำหนักที่กำหนดให้กับการเชื่อมต่อระหว่างอักเนตาและจอห์นผ่านอาซิซและเจนจะเป็นและน้ำหนักที่กำหนดให้กับการเชื่อมต่อระหว่างอักเนตาและจอห์นผ่านดิเอโก โฮเซ่ และบ็อบจะเป็น ${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle (0.5)^{1}=0.5}$${\displaystyle (0.5)^{2}=0.25}$${\displaystyle (0.5)^{3}=0.125}$${\displaystyle (0.5)^{4}=0.0625}$

ให้Aเป็นเมทริกซ์ประชิดของเครือข่ายที่กำลังพิจารณา องค์ประกอบของAคือตัวแปรที่มีค่าเป็น 1 ถ้าโหนดiเชื่อมต่อกับโหนดjและ 0 ถ้าไม่ใช่ กำลังของAบ่งบอกถึงการมีอยู่ (หรือไม่มีอยู่) ของลิงก์ระหว่างสองโหนดผ่านตัวกลาง ตัวอย่างเช่น ในเมทริกซ์ถ้าองค์ประกอบแสดงว่าโหนด 2 และโหนด 12 เชื่อมต่อกันผ่านเส้นทางเดินที่มีความยาว 3 ถ้าแทนค่าความเป็นศูนย์กลางแบบ Katz ของโหนด  iแล้ว เมื่อกำหนดค่า แล้วจะคำนวณได้ดังนี้: ${\displaystyle (a_{ij})}$${\displaystyle A^{3}}$${\displaystyle (a_{2,12})=1}$${\displaystyle C_{\mathrm {Katz} }(i)}$${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

${\displaystyle C_{\mathrm {Katz} }(i)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{n}\alpha ^{k}(A^{k})_{ji}}$

โปรดทราบว่าคำจำกัดความข้างต้นใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าองค์ประกอบที่ตำแหน่งสะท้อนถึงจำนวนการเชื่อมต่อระดับทั้งหมดระหว่างโหนดและค่าของปัจจัยการลดทอนจะต้องถูกเลือกให้มีค่าน้อยกว่าส่วนกลับของค่าสัมบูรณ์ของค่าไอเกน ที่ใหญ่ที่สุด ของA ^{[ 5 ]} ในกรณีนี้สามารถใช้การแสดงออกต่อไปนี้ในการคำนวณค่าศูนย์กลางของ Katz ได้: ${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle A^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\overrightarrow {C}}_{\mathrm {Katz} }=((I-\alpha A^{T})^{-1}-I){\overrightarrow {I}}}$

นี่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งเป็นเวกเตอร์ขนาดn ( nคือจำนวนโหนด) ที่ประกอบด้วยเลขหนึ่งแสดงถึง เมทริก ^ซ์สลับตำแหน่งของ A และแสดงถึงเมทริกซ์ผกผันของเทอม^{[ 5} ]${\displaystyle I}$${\displaystyle {\overrightarrow {I}}}$${\displaystyle A^{T}}$${\displaystyle (I-\alpha A^{T})^{-1}}$${\displaystyle (I-\alpha A^{T})}$

การขยายกรอบงานนี้ทำให้สามารถคำนวณการเดินในสภาพแวดล้อมแบบไดนามิกได้^{[ 6 ] [ 7 ]}โดยการใช้ชุดสแนปช็อตความสัมพันธ์เครือข่ายที่ขึ้นอยู่กับเวลาของขอบชั่วคราว ความสัมพันธ์ของการเดินที่จะมีส่วนช่วยต่อผลสะสมจะถูกนำเสนอ ลูกศรของเวลาจะถูกรักษาไว้เพื่อให้การมีส่วนร่วมของกิจกรรมไม่สมมาตรในทิศทางของการแพร่กระจายข้อมูล

เครือข่ายที่สร้างข้อมูลในรูปแบบ:

${\displaystyle \left\{A^{[k]}\in \mathbb {R} ^{N\times N}\right\}\qquad {\text{สำหรับ}}\quad k=0,1,2,\ldots ,M,}$

ซึ่งแสดงถึงเมทริกซ์ความประชิดในแต่ละช่วงเวลาดังนั้น: ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \left(A^{[k]}\right)_{ij}={\begin{cases}1&{\text{มีเส้นเชื่อมจากโหนด }}i{\text{ ไปยังโหนด }}j{\text{ ในเวลา }}t_{k}\\0&{\text{ในกรณีอื่น ๆ}}\end{cases}}}$

จุดเวลาเรียงลำดับแล้ว แต่ไม่จำเป็นต้องเว้นระยะห่างเท่ากันซึ่งเป็นการนับแบบถ่วงน้ำหนักของจำนวนการเดินแบบไดนามิกที่มีความยาวจากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่งรูปแบบของการสื่อสารแบบไดนามิกระหว่างโหนดที่เข้าร่วมมีดังนี้: ${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{M}}$${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{N\times N}}$${\displaystyle (Q)_{ij}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\left(I-\alpha A^{[0]}\right)^{-1}\cdots \left(I-\alpha A^{[M]}\right)^{-1}.}$

สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้โดยใช้:

${\displaystyle {\hat {\mathcal {Q}}}^{[k]}={\frac {{\hat {\mathcal {Q}}}^{[k-1]}\left(I-\alpha A^{[k]}\right)^{-1}}{\left\|{\hat {\mathcal {Q}}}^{[k-1]}\left(I-\alpha A^{[k]}\right)^{-1}\right\|}}.}$

ดังนั้น มาตรวัดความเป็นศูนย์กลางที่วัดประสิทธิภาพในการ "กระจาย" และ "รับ" ข้อความแบบไดนามิกทั่วทั้งเครือข่ายจึงมีความสำคัญ: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C_{n}^{\mathrm {broadcast} }:=\sum _{k=1}^{N}{\mathcal {Q}__{nk}\quad \mathrm {and} \quad C_{n}^{\mathrm {receive} }:=\sum _{k=1}^{N}{\mathcal {Q}__{kn}}$.

เมื่อกำหนดกราฟที่มีเมทริกซ์ประชิดแล้ว ค่าศูนย์กลางแบบ Katz จะถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle A_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {x}}=(I-\alpha A^{T})^{-1}{\vec {e}}-{\vec {e}}\,}$

โดยที่ความสำคัญภายนอกที่กำหนดให้กับโหนดและเป็นปัจจัยการลดทอนที่ไม่เป็นลบซึ่งต้องน้อยกว่าค่าผกผันของรัศมีสเปกตรัมของคำจำกัดความดั้งเดิมโดย Katz ^{[ 8 ]} ใช้เวกเตอร์คงที่Hubbell ^{[ 9 ]} ได้แนะนำการใช้ทั่วไป ${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {e}}}$${\displaystyle {\vec {e}}}$

ครึ่งศตวรรษต่อมา Bonacich และ Lloyd ^{[ 10 ]}ได้กำหนดความหมายของอัลฟาเซ็นทรัลลิตี้ไว้ดังนี้:

${\displaystyle {\vec {x}}=(I-\alpha A^{T})^{-1}{\vec {e}}\,}$

ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับค่าความเป็นศูนย์กลางของ Katz กล่าวคือ คะแนนของโหนดจะแตกต่างกันเพียงดังนั้นหากคงที่ ลำดับที่เกิดขึ้นบนโหนดต่างๆ ก็จะเหมือนกัน ${\displaystyle j}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle {\vec {e}}}$

สามารถใช้ค่าศูนย์กลางของ Katz ในการคำนวณค่าศูนย์กลางในเครือข่ายแบบมีทิศทาง เช่น เครือข่ายการอ้างอิงและเวิลด์ไวด์เว็บ^{[ 11 ]}

ความเป็นศูนย์กลางของ Katz เหมาะสมกว่าในการวิเคราะห์กราฟแบบไม่มีวงจรที่มีทิศทาง ซึ่งมาตรวัดที่ใช้กันทั่วไป เช่นความเป็นศูนย์กลางของเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ จะใช้ไม่ได้ผล^{[ 11 ]}

ศูนย์กลางของ Katz ยังสามารถใช้ในการประเมินสถานะหรืออิทธิพลสัมพัทธ์ของผู้แสดงในเครือข่ายสังคมได้อีกด้วย งานที่นำเสนอใน^{[ 12 ]}แสดงกรณีศึกษาของการประยุกต์ใช้ศูนย์กลางของ Katz เวอร์ชันไดนามิกกับข้อมูลจาก Twitter และมุ่งเน้นไปที่แบรนด์เฉพาะที่มีผู้นำการสนทนาที่คงที่ การประยุกต์ใช้นี้ช่วยให้สามารถเปรียบเทียบวิธีการกับผู้เชี่ยวชาญในสาขา และผลลัพธ์ที่ได้สอดคล้องกับคณะผู้เชี่ยวชาญด้านสื่อสังคมออนไลน์

ในสาขาประสาทวิทยาศาสตร์พบว่าค่าความเป็นศูนย์กลางของ Katz มีความสัมพันธ์กับอัตราการยิงสัมพัทธ์ของเซลล์ประสาทในเครือข่ายประสาท^{[ 13 ]}การขยายค่าความเป็นศูนย์กลางของ Katz ในเชิงเวลาถูกนำไปใช้กับข้อมูล fMRI ที่ได้จากการทดลองการเรียนรู้ดนตรีใน^{[ 14 ]}ซึ่งมีการเก็บรวบรวมข้อมูลจากผู้ถูกทดลองก่อนและหลังกระบวนการเรียนรู้ ผลลัพธ์แสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างเครือข่ายในช่วงเวลาที่ได้รับฟังดนตรีในแต่ละเซสชันทำให้เกิดการวัดปริมาณการสื่อสารข้ามกลุ่มที่สอดคล้องกับความสำเร็จในการเรียนรู้

^{รูปแบบทั่วไปของศูนย์กลาง Katz สามารถใช้เป็นระบบการ จัด}อันดับที่ใช้งานง่ายสำหรับทีมกีฬา เช่น ในฟุตบอลระดับวิทยาลัย^[ 15 ^]

อัลฟาเซ็นทรัลลิตี้ถูกนำมาใช้ในไลบรารี igraph สำหรับการวิเคราะห์และแสดงภาพเครือข่าย^{[ 16 ]}