โมเมนตัมเชิงมุมเป็น ปริมาณ เวกเตอร์ (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือเวกเตอร์เทียม ) ที่แสดงถึงผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยในการหมุนและความเร็วเชิงมุมในการหมุน ของวัตถุ (ในหน่วยเรเดียน/วินาที) รอบแกนใดแกนหนึ่ง อย่างไรก็ตาม หากวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคอยู่ในระนาบ เดียว ก็เพียงพอที่จะละทิ้งลักษณะเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุม และถือว่ามันเป็นปริมาณสเกลาร์ (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือสเกลาร์เทียม ) ^{[ 5 ]}โมเมนตัมเชิงมุมสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นอนาล็อกเชิงการหมุนของโมเมนตัมเชิงเส้น ดังนั้น เมื่อโมเมนตัมเชิงเส้นpเป็นสัดส่วนกับมวลmและความเร็วเชิงเส้นv$${\displaystyle p=mv,}$$ โมเมนตัมเชิงมุมLเป็นสัดส่วนกับโมเมนต์ความเฉื่อยIและความเร็วเชิงมุมωที่วัดเป็นเรเดียนต่อวินาที^{[ 6 ]}$${\displaystyle L=I\omega .}$$

ต่างจากมวลซึ่งขึ้นอยู่กับปริมาณของสสารเท่านั้น โมเมนต์ความเฉื่อยยังขึ้นอยู่กับตำแหน่งของแกนหมุนและการกระจายตัวของสสารด้วย ต่างจากความเร็วเชิงเส้นซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดกำเนิด ความเร็วเชิงมุมของวงโคจรจะวัดโดยสัมพันธ์กับจุดกำเนิดคงที่เสมอ ดังนั้น ตามหลักการแล้วLควรถูกเรียกว่าโมเมนตัมเชิงมุม ที่สัมพันธ์กับ จุดศูนย์กลางนั้น^{[ 7 ]}

ในกรณีของการเคลื่อนที่แบบวงกลมของอนุภาคเดี่ยว เราสามารถใช้${\displaystyle I=r^{2}m}$และ${\displaystyle \omega ={v}/{r}}$เพื่อขยายโมเมนตัมเชิงมุมเป็น${\displaystyle L=r^{2}m\cdot {v}/{r},}$ลดเหลือ: $${\displaystyle L=rmv,}$$

ผลคูณของรัศมีของการหมุนrและโมเมนตัมเชิงเส้นของอนุภาค${\displaystyle p=mv}$, ที่ไหน${\displaystyle v=r\omega }$คือความเร็วเชิงเส้น (สัมผัส)

การวิเคราะห์อย่างง่ายนี้สามารถนำไปใช้กับการเคลื่อนที่ที่ไม่เป็นวงกลมได้เช่นกัน หากใช้ส่วนประกอบของการเคลื่อนที่ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์รัศมี : $${\displaystyle L=rmv_{\perp },}$$ ที่ไหน${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$คือส่วนประกอบตั้งฉากของการเคลื่อนที่ เมื่อขยายความ${\displaystyle L=rmv\sin(\theta ),}$การจัดเรียงใหม่${\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}$และเมื่อลดโมเมนตัมเชิงมุมลง ก็สามารถแสดงออกมาได้เช่นกัน $${\displaystyle L=r_{\perp }mv,}$$ ที่ไหน${\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}$คือความยาวของแขนโมเมนต์ซึ่งเป็นเส้นที่ลากตั้งฉากจากจุดกำเนิดไปยังเส้นทางของอนุภาค คำจำกัดความนี้(ความยาวของแขนโมเมนต์) × (โมเมนตัมเชิงเส้น)คือสิ่งที่คำว่าโมเมนต์ของโมเมนตัมหมายถึง^{[ 8 ]}

อีกแนวทางหนึ่งคือการกำหนดโมเมนตัมเชิงมุมให้เป็นโมเมนตัมคู่ควบ (หรือเรียกว่าโมเมนตัมเชิงแคนอนิก ) ของพิกัดเชิงมุม${\displaystyle \phi }$แสดงออกมาในรูปของลากรางเจียนของระบบกลไก พิจารณาระบบกลไกที่มีมวล${\displaystyle m}$ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่ในวงกลมที่มีรัศมี${\displaystyle r}$ในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทำ พลังงานจลน์ของระบบคือ $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

และพลังงานศักยภาพคือ $${\displaystyle U=0.}$$

ดังนั้นลากรางเจียนคือ $${\displaystyle {\mathcal {L}}{\left(\phi ,{\dot {\phi }}\right)}=TU={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

โมเมนตัมทั่วไป "สัมพันธ์เชิงแคนอนิกกับ" พิกัด${\displaystyle \phi }$ถูกกำหนดโดย $${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}=I\omega =L.}$$

ในการกำหนดโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรในสามมิติ อย่างสมบูรณ์ จำเป็นต้องทราบอัตราที่เวกเตอร์ตำแหน่งกวาดมุม ทิศทางตั้งฉากกับระนาบการกระจัดเชิงมุม ทันที และมวลที่เกี่ยวข้อง รวมถึงวิธีการกระจายมวลนี้ในอวกาศ^{[ 9 ]}ด้วยการคงไว้ซึ่ง ลักษณะ เวกเตอร์ ของโมเมนตัมเชิงมุม ลักษณะทั่วไปของสมการจึงยังคงอยู่ และสามารถอธิบาย การเคลื่อนที่สามมิติใดๆรอบศูนย์กลางการหมุนได้ ไม่ว่าจะ เป็นแบบวงกลม แบบเส้นตรงหรือแบบอื่นๆ ในสัญกรณ์เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรของอนุภาคจุดที่เคลื่อนที่รอบจุดกำเนิดสามารถแสดงได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$ ที่ไหน

• ${\displaystyle I=r^{2}m}$คือโมเมนต์ความเฉื่อยของมวลจุด
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}$คือความเร็วเชิงมุมวง โคจร ของอนุภาค รอบจุดกำเนิด
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$คือเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคเทียบกับจุดกำเนิด และ${\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }$,
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$คือความเร็วเชิงเส้นของอนุภาคเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด และ
• ${\displaystyle m}$คือมวลของอนุภาค

สิ่งนี้สามารถขยาย ลดขนาด และจัดเรียงใหม่ได้โดยใช้กฎของพีชคณิตเวกเตอร์ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$ ซึ่งก็คือผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ตำแหน่ง${\displaystyle \mathbf {r} }$และโมเมนตัมเชิงเส้น${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ของอนุภาค ตามนิยามของผลคูณไขว้${\displaystyle \mathbf {L} }$เวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้งสอง${\displaystyle \mathbf {r} }$และ${\displaystyle \mathbf {p} }$เวกเตอร์นี้มีทิศทางตั้งฉากกับระนาบของการกระจัดเชิงมุม ดังที่แสดงโดยกฎมือขวา – ดังนั้นความเร็วเชิงมุมจึงปรากฏเป็นทิศทางทวนเข็มนาฬิกาจากหัวของเวกเตอร์ ในทางกลับกัน${\displaystyle \mathbf {L} }$เวกเตอร์กำหนดระนาบซึ่ง${\displaystyle \mathbf {r} }$และ${\displaystyle \mathbf {p} }$โกหก.

โดยการกำหนดเวกเตอร์หน่วย${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ตั้งฉากกับระนาบของการกระจัดเชิงมุมความเร็วเชิงมุมแบบสเกลาร์${\displaystyle \omega }$ผลลัพธ์ที่ $${\displaystyle \omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},}$$และ $${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$$ที่ไหน${\displaystyle v_{\perp }}$คือส่วนประกอบตั้งฉากของการเคลื่อนที่ ดังที่กล่าวมาข้างต้น

ดังนั้น สมการสเกลาร์สองมิติในส่วนก่อนหน้านี้จึงสามารถกำหนดทิศทางได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\left(r^{2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\hat {u}} ,\end{aligned}}}$$ และ${\displaystyle \mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}} }$สำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลม ซึ่งการเคลื่อนที่ทั้งหมดตั้งฉากกับรัศมี${\displaystyle r}$.

ในระบบพิกัดทรงกลม เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).}$

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันสามารถแสดงออกมาในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ได้ $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ หรือแรง = มวล × ความเร่งค่าเทียบเท่าการหมุนสำหรับอนุภาคจุดสามารถหาได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$$ ซึ่งหมายความว่าแรงบิด (กล่าวคืออนุพันธ์ของโมเมนตัมเชิงมุมเทียบกับเวลา) คือ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.}$$

เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยคือ${\displaystyle mr^{2}}$ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$, และ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}$ซึ่งลดทอนเหลือ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}$$ นี่คือหลักการหมุนที่เทียบได้กับกฎข้อที่สองของนิวตัน โปรดสังเกตว่าแรงบิดไม่จำเป็นต้องเป็นสัดส่วนหรือขนานกับความเร่งเชิงมุม (อย่างที่หลายคนอาจคาดหวัง) เหตุผลก็คือโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามเวลา ซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่อาจเกิดขึ้นได้กับมวลธรรมดา

อาจเขียนกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สามของนิวตันในรูปแบบการหมุน ได้ว่า "ใน ระบบที่แยกตัวออกไปจะไม่มีแรงบิดใดๆ กระทำต่อสสารใดๆ โดยปราศจากแรงบิดที่เท่ากันและตรงข้ามกันกระทำต่อสสารอื่นรอบแกนเดียวกัน" ^{[ 20 ]}ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมสามารถแลกเปลี่ยนกันได้ระหว่างวัตถุในระบบที่แยกตัวออกไป แต่โมเมนตัมเชิงมุมรวมก่อนและหลังการแลกเปลี่ยนยังคงที่ (อนุรักษ์ไว้ ) ^{[ 21 ]}

มองอีกมุมหนึ่ง การเปรียบเทียบเชิงการหมุนของกฎการเคลื่อนที่ข้อแรกของนิวตันอาจเขียนได้ว่า "วัตถุแข็งเกร็งจะคงอยู่ในสถานะการหมุนสม่ำเสมอ เว้นแต่จะมีอิทธิพลภายนอกมากระทำ" ^{[ 20 ]}ดังนั้นหากไม่มีอิทธิพลภายนอกมากระทำ โมเมนตัมเชิงมุมดั้งเดิมของระบบจึงคงที่^{[ 22 ]}

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบแรงสู่ศูนย์กลางถ้าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุใดๆ มีทิศทางพุ่งไปยังจุดศูนย์กลางเสมอก็จะไม่มีแรงบิดเกิดขึ้นกับวัตถุนั้นเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลาง เนื่องจากแรงทั้งหมดมีทิศทางไปตามเวกเตอร์รัศมีและไม่มี แรงใดตั้ง ฉากกับรัศมี ในทางคณิตศาสตร์ แรงบิด = ...${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$เพราะในกรณีนี้${\displaystyle \mathbf {r} }$และ${\displaystyle \mathbf {F} }$เวกเตอร์ทั้งสองขนานกัน ดังนั้น โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุรอบจุดศูนย์กลางจึงคงที่ นี่คือกรณีของแรงดึงดูดในวงโคจรของดาวเคราะห์และดาวบริวารซึ่งแรงโน้มถ่วงจะพุ่งเข้าหาวัตถุหลักเสมอ และวัตถุที่โคจรจะรักษาโมเมนตัมเชิงมุมไว้โดยการแลกเปลี่ยนระยะทางและความเร็วขณะเคลื่อนที่รอบวัตถุหลัก การเคลื่อนที่โดยใช้แรงสู่ศูนย์กลางยังถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์แบบจำลองอะตอมของ บอ ร์ ด้วย

สำหรับดาวเคราะห์ โมเมนตัมเชิงมุมจะกระจายระหว่างการหมุนของดาวเคราะห์และการโคจรในวงโคจร และสิ่งเหล่านี้มักจะถูกแลกเปลี่ยนโดยกลไกต่างๆ การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมในระบบโลก-ดวงจันทร์ส่งผลให้มีการถ่ายโอนโมเมนตัมเชิงมุมจากโลกไปยังดวงจันทร์ เนื่องมาจากแรงบิดจากกระแสน้ำขึ้นน้ำลงที่ดวงจันทร์กระทำต่อโลก ซึ่งส่งผลให้ความเร็วในการหมุนของโลกช้าลงประมาณ 65.7 นาโนวินาทีต่อวัน^{[ 23 ]}และรัศมีวงโคจรของดวงจันทร์เพิ่มขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไปประมาณ 3.82  เซนติเมตรต่อปี^{[ 24 ]}

หลักการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมอธิบายถึงความเร่งเชิงมุมของนักสเก็ตน้ำแข็งขณะที่พวกเขานำแขนและขาเข้าใกล้แกนหมุนในแนวตั้ง การนำมวลส่วนหนึ่งของร่างกายเข้าใกล้แกนหมุนจะทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายลดลง เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมเป็นผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุมดังนั้นหากโมเมนตัมเชิงมุมคงที่ (ได้รับการอนุรักษ์) ความเร็วเชิงมุม (ความเร็วในการหมุน) ของนักสเก็ตจะต้องเพิ่มขึ้น

ปรากฏการณ์เดียวกันนี้ส่งผลให้ดาวฤกษ์ขนาดเล็ก (เช่น ดาว แคระขาวดาวนิวตรอนและหลุมดำ ) หมุนเร็วมากเมื่อพวกมันก่อตัวขึ้นจากดาวฤกษ์ขนาดใหญ่และหมุนช้ากว่ามาก

การอนุรักษ์ไม่ได้เป็นคำอธิบายที่สมบูรณ์เสมอไปสำหรับพลวัตของระบบ แต่เป็นข้อจำกัดที่สำคัญ ตัวอย่างเช่นลูกข่างที่กำลังหมุนอยู่จะอยู่ภายใต้แรงบิดจากแรงโน้มถ่วงทำให้มันเอียงและเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุมรอบ แกน การหมุนแต่หากไม่พิจารณาแรงเสียดทาน ณ จุดสัมผัสการหมุน โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนการหมุนและรอบ แกน การคืบ ของมันจะยังคงได้รับการอนุรักษ์ไว้ นอกจากนี้ ในระบบดาวเคราะห์ ใดๆ ดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ ดาวหาง และดาวเคราะห์น้อย สามารถเคลื่อนที่ได้หลายวิธีที่ซับซ้อน แต่จะเคลื่อนที่ได้ก็ต่อเมื่อโมเมนตัมเชิงมุมของระบบยังคงได้รับการอนุรักษ์ไว้เท่านั้น

ทฤษฎีบทของ Noetherระบุว่ากฎการอนุรักษ์ ทุกข้อ เกี่ยวข้องกับสมมาตร (ตัวแปรคงที่) ของฟิสิกส์พื้นฐาน สมมาตรที่เกี่ยวข้องกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมคือความไม่แปรเปลี่ยนของการหมุนข้อเท็จจริงที่ว่าฟิสิกส์ของระบบไม่เปลี่ยนแปลงหากหมุนด้วยมุมใดๆ รอบแกน แสดงว่าโมเมนตัมเชิงมุมได้รับการอนุรักษ์^{[ 25 ]}

ในขณะที่การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมโดยรวมสามารถเข้าใจแยกจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันได้ เนื่องจากมาจากทฤษฎีบทของ Noetherในระบบสมมาตรภายใต้การหมุน ก็สามารถเข้าใจได้ง่ายๆ ว่าเป็นวิธีการคำนวณผลลัพธ์ที่มีประสิทธิภาพ ซึ่งสามารถได้มาโดยตรงจากกฎข้อที่สองของนิวตัน พร้อมกับกฎที่ควบคุมแรงของธรรมชาติ (เช่น กฎข้อที่สามของนิวตันสมการของแม็กซ์เวลล์และแรงลอเรนซ์ ) อันที่จริง เมื่อกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นของตำแหน่งและความเร็วสำหรับทุกจุด และแรง ณ เงื่อนไขดังกล่าว เราสามารถใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง และการแก้สมการนี้จะให้ข้อมูลที่สมบูรณ์เกี่ยวกับการพัฒนาของระบบทางกายภาพตามเวลา^{[ 26 ]}อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่เป็นจริงอีกต่อไปในกลศาสตร์ควอนตัมเนื่องจากการมีอยู่ของสปินของอนุภาคซึ่งเป็นโมเมนตัมเชิงมุมที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยผลสะสมของการเคลื่อนที่แบบจุดในอวกาศ

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาการลดลงของโมเมนต์ความเฉื่อยเช่น เมื่อนักสเก็ตลีลาดึงมือเข้าหาตัว ทำให้การเคลื่อนที่แบบวงกลมเร็วขึ้น ในแง่ของการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม เราจะได้ว่า โมเมนตัมเชิงมุมLโมเมนต์ความเฉื่อยIและความเร็วเชิงมุมωคือ: $${\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }$$

จากข้อมูลนี้ เราจะเห็นว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวต้องใช้พลังงานเท่ากับ: $${\displaystyle dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ ดังนั้น การลดโมเมนต์ความเฉื่อยจึงต้องใช้พลังงานในการดำเนินการ

สามารถเปรียบเทียบได้กับงานที่ทำซึ่งคำนวณโดยใช้กฎของนิวตัน แต่ละจุดในวัตถุที่หมุนอยู่จะมีความเร่ง ณ แต่ละช่วงเวลา โดยมีความเร่งในแนวรัศมีดังนี้: $${\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}$$

ให้เราพิจารณาจุดมวลmซึ่งเวกเตอร์ตำแหน่งของมันเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางการเคลื่อนที่ตั้งฉากกับแกน z ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง และอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะzแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อจุดนี้ ซึ่งทำให้การเคลื่อนที่ยังคงเป็นวงกลม คือ: $${\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}$$

ดังนั้น งานที่ต้องใช้ในการเคลื่อนจุดนี้ไปยังระยะdzที่ห่างจากจุดศูนย์กลางการเคลื่อนที่คือ: $${\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^{2}\right)}$$

สำหรับวัตถุที่ไม่ใช่จุด เราต้องทำการอินทิเกรตเหนือค่านี้ โดย แทน ค่า mด้วยความหนาแน่นมวลต่อหน่วยzซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ ซึ่งเป็นพลังงานที่จำเป็นอย่างยิ่งสำหรับการรักษาโมเมนตัมเชิงมุมให้คงที่

โปรดทราบว่า การคำนวณข้างต้นสามารถทำได้ต่อมวล โดยใช้ เพียง หลักจลศาสตร์เท่านั้น ดังนั้น ปรากฏการณ์ที่นักสเก็ตลีลาเร่งความเร็วสัมผัสขณะดึงมือเข้าหาลำตัว สามารถเข้าใจได้ดังนี้ในภาษาที่คนทั่วไปเข้าใจ: ฝ่ามือของนักสเก็ตไม่ได้เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงเร่งความเร็วเข้าด้านในอย่างต่อเนื่อง แต่ไม่ได้เพิ่มความเร็วเพิ่มเติม เพราะการเร่งความเร็วจะเกิดขึ้นเมื่อการเคลื่อนที่เข้าด้านในเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จะแตกต่างออกไปเมื่อดึงฝ่ามือเข้าใกล้ลำตัวมากขึ้น: การเร่งความเร็วเนื่องจากการหมุนจะเพิ่มความเร็ว แต่เนื่องจากการหมุน การเพิ่มขึ้นของความเร็วไม่ได้แปลงเป็นความเร็วเข้าด้านในอย่างมีนัยสำคัญ แต่เป็นการเพิ่มขึ้นของความเร็วในการหมุน

ในกลศาสตร์คลาสสิก สามารถแสดงได้ว่าการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนของฟังก์ชันการกระทำนั้นหมายถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ฟังก์ชันการกระทำในฟิสิกส์คลาสสิกถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันของตำแหน่ง${\displaystyle x_{i}(t)}$โดยทั่วไปจะแสดงด้วยการใช้เครื่องหมายวงเล็บเหลี่ยม และเวลาเริ่มต้นและเวลาสิ้นสุด จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้ในพิกัดคาร์ทีเซียน:$${\displaystyle S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)\equiv \int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {dx_{i}}{dt}}\ {\frac {dx_{i}}{dt}}-V(x_{i})\right)}$$โดยดัชนีที่ซ้ำกันแสดงถึงผลรวมเหนือดัชนีนั้น หากการกระทำไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบอนันต์เล็ก ๆ ก็สามารถระบุทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:${\textstyle \delta S=S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)-S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=0}$.

ภายใต้การเปลี่ยนแปลง${\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}+\delta x_{i}}$ดังนั้น การกระทำจึงเป็นดังนี้: $${\displaystyle S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=\!\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}-V(x_{i}+\delta x_{i})\right)}$$ ซึ่งเราสามารถใช้การขยายเงื่อนไขจนถึงอันดับแรกได้ใน${\textstyle \delta x_{i}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}&\simeq {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dx_{i}}{dt}}-2{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\delta x_{i}+2{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)\\V(x_{i}+\delta x_{i})&\simeq V(x_{i})+\delta x_{i}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}\\\end{aligned}}}$$ส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงการกระทำดังต่อไปนี้: $${\displaystyle S[x_{i}+\delta x_{i}]\simeq S[x_{i}]+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\delta x_{i}\left(-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}-m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right).}$$

เนื่องจากการหมุนทั้งหมดสามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์สมมาตรเฉียง กล่าวคือ${\displaystyle R({\hat {n}},\theta )=e^{M\theta }}$ที่ไหน${\displaystyle M}$เป็นเมทริกซ์สมมาตรเฉียง และ${\displaystyle \theta }$คือมุมของการหมุน ซึ่งเราสามารถแสดงการเปลี่ยนแปลงของพิกัดเนื่องจากการหมุนได้${\displaystyle R({\hat {n}},\delta \theta )}$จนถึงลำดับแรกของมุมการหมุนที่เล็กมาก${\displaystyle \delta \theta }$เช่น: $${\displaystyle \delta x_{i}=M_{ij}x_{j}\delta \theta .}$$

เมื่อรวมสมการการเคลื่อนที่และความไม่แปรเปลี่ยนเชิงการหมุนของการกระทำเราจะได้จากสมการข้างต้นว่า:$${\displaystyle 0=\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=M_{ij}\,\delta \theta \,m\,x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\Bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}}$$เนื่องจากสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์ใดๆ${\displaystyle M_{ij}}$ที่ทำให้พึงพอใจ${\displaystyle M_{ij}=-M_{ji},}$ซึ่งส่งผลให้ปริมาณต่อไปนี้ได้รับการอนุรักษ์ไว้: $${\displaystyle \ell _{ij}(t):=m\left(x_{i}{\frac {dx_{j}}{dt}}-x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right),}$$ เช่น${\displaystyle \ell _{ij}(t_{1})=\ell _{ij}(t_{2})}$สิ่งนี้สอดคล้องกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมตลอดการเคลื่อนที่^{[ 27 ]}

ในกลศาสตร์ลากรางจ์โมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการหมุนรอบแกนที่กำหนด คือโมเมนตัมสังยุคของพิกัดทั่วไปของมุมรอบแกนเดียวกัน ตัวอย่างเช่น${\displaystyle L_{z}}$โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกน z คือ: $${\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\cal {L}}}$คือลากรางเจียนและ${\displaystyle \theta _{z}}$คือมุมรอบแกน z

โปรดทราบว่า${\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}$อนุพันธ์ของมุมเทียบกับเวลา คือความเร็วเชิงมุม${\displaystyle \omega _{z}}$โดยปกติแล้ว ลากรางเจียนจะขึ้นอยู่กับความเร็วเชิงมุมผ่านทางพลังงานจลน์ ซึ่งสามารถเขียนได้โดยการแยกความเร็วออกเป็นส่วนรัศมีและส่วนสัมผัส โดยส่วนสัมผัสที่ระนาบ xy รอบแกน z จะมีค่าเท่ากับ: $${\displaystyle \sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$ โดยที่ตัวห้อย i หมายถึงวัตถุลำดับที่ i และ${\displaystyle m}$,${\displaystyle v_{T}}$และ${\displaystyle \omega _{z}}$โดยที่ หมายถึง มวล ความเร็วสัมผัสรอบแกน z และความเร็วเชิงมุมรอบแกนนั้น ตามลำดับ

สำหรับวัตถุที่ไม่ใช่จุดที่มีความหนาแน่นρเราจะได้ดังนี้: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$ โดยที่การอินทิเกรตจะครอบคลุมพื้นที่ของร่างกาย^{[ 28 ]}และI คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน z

ดังนั้น หากสมมติว่าพลังงานศักย์ไม่ขึ้นอยู่กับ ωz (สมมติฐานนี้อาจใช้ไม่ได้กับระบบแม่เหล็กไฟฟ้า) เรา ได้โมเมนตัมเชิงมุมของ วัตถุที่ iดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}$$

จนถึงตอนนี้ เราได้หมุนวัตถุแต่ละชิ้นด้วยมุมที่แตกต่างกันไปแล้ว เราอาจกำหนดมุมโดยรวมθz ซึ่งเราจะใช้หมุนระบบทั้งหมด ส่ง ให้วัตถุแต่ละชิ้นหมุนรอบแกน z ด้วย และได้โมเมนตัมเชิงมุมโดยรวม: $${\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

จากสมการออยเลอร์-ลากรางจ์จึงสรุปได้ว่า: $${\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$$

เนื่องจากลากรางเจียนขึ้นอยู่กับมุมของวัตถุผ่านทางศักย์เท่านั้น เราจึงได้ว่า: $${\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}$$ ซึ่งก็คือแรงบิดที่กระทำต่อวัตถุที่i

สมมติว่าระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามการหมุน ดังนั้นศักยภาพจึงไม่ขึ้นอยู่กับการหมุนโดยรวมด้วยมุมθz (ดังนั้นอาจขึ้นอยู่กับมุมของวัตถุผ่านความแตกต่างของมุมเหล่านั้นเท่านั้น ในรูปแบบ${\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}$). ดังนั้นเราจึงได้โมเมนตัมเชิงมุมรวมดังนี้: $${\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}$$ ดังนั้น โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกน z จึงได้รับการอนุรักษ์ไว้

การวิเคราะห์นี้สามารถทำซ้ำแยกกันสำหรับแต่ละแกนได้ ซึ่งจะทำให้เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมคงตัว อย่างไรก็ตาม มุมรอบแกนทั้งสามไม่สามารถพิจารณาพร้อมกันได้ว่าเป็นพิกัดทั่วไป เนื่องจากมุมเหล่านั้นไม่เป็นอิสระต่อกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมสองมุมต่อจุดก็เพียงพอที่จะกำหนดตำแหน่งของจุดนั้นได้ แม้ว่าในกรณีของวัตถุแข็งเกร็ง การอธิบายอย่างสมบูรณ์นั้น นอกเหนือจาก องศาอิสระของ การเคลื่อนที่เชิงเส้น สาม องศาแล้ว ยังต้องระบุองศาอิสระของการหมุนสามองศาด้วย แต่องศาอิสระเหล่านี้ไม่สามารถกำหนดได้ว่าเป็นการหมุนรอบแกนคาร์ทีเซียน (ดูมุมออยเลอร์ ) ข้อจำกัดนี้สะท้อนให้เห็นในกลศาสตร์ควอนตัมใน ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งที่ไม่ธรรมดาของส่วนประกอบต่างๆ ของ ตัวดำเนิน การโมเมนตัมเชิงมุม

ในทำนองเดียวกัน ในกลศาสตร์แฮมิลตันแฮมิลตันสามารถอธิบายได้ว่าเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมเชิงมุม เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว ส่วนของพลังงานจลน์ที่เกี่ยวข้องกับการหมุนรอบแกน z สำหรับ วัตถุที่ iคือ: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$$ ซึ่งคล้ายคลึงกับการที่พลังงานขึ้นอยู่กับโมเมนตัมตามแนวแกน z${\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$.

สมการของแฮมิลตันเชื่อมโยงมุมรอบแกน z กับโมเมนตัมคู่ควบ ซึ่งก็คือโมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนเดียวกัน: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{aligned}}}$$

สมการแรกให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับในรูปแบบลากรางจ์

โปรดทราบว่า ในการรวมแกนทั้งหมดเข้าด้วยกัน เราจะเขียนพลังงานจลน์ได้ดังนี้: $${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|\mathbf {p} _{i}|^{2}}{2m_{i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{p_{r}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}{\mathbf {L} _{i}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}\mathbf {L} _{i}\right)}$$ โดยที่p คือโมเมนตัมในทิศทางรัศมี และโมเมนต์ความเฉื่อยคือเมทริกซ์ 3 มิติ ตัวอักษรตัวหนาแทนเวกเตอร์ 3 มิติ

สำหรับวัตถุที่มีลักษณะเป็นจุด เรามี: $${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{p_{r}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {|{\mathbf {L} _{i}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}$$

รูปแบบของพลังงานจลน์ส่วนนี้ในแฮมิลโทเนียนมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ ปัญหา ศักย์ศูนย์กลางและสามารถแปลงเป็น กรอบการทำงาน ทางกลศาสตร์ควอนตัม ได้อย่างง่ายดาย (เช่น ใน ปัญหา อะตอมไฮโดรเจน )

สำหรับกลุ่มอนุภาคที่เคลื่อนที่รอบจุดกำเนิดใดๆ จะเป็นประโยชน์อย่างยิ่งในการพัฒนาสมการโมเมนตัมเชิงมุมโดยแยกการเคลื่อนที่ของอนุภาคเหล่านั้นออกเป็นส่วนประกอบรอบศูนย์กลางมวลของอนุภาคเองและรอบจุดกำเนิด กำหนดให้

• ${\displaystyle m_{i}}$คือมวลของอนุภาค${\displaystyle i}$,
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$คือเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาค${\displaystyle i}$เกี่ยวกับต้นกำเนิด
• ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$คือความเร็วของอนุภาค${\displaystyle i}$เกี่ยวกับต้นกำเนิด
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$คือเวกเตอร์แสดงตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลเทียบกับจุดกำเนิด
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$คือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลเทียบกับจุดกำเนิด
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$คือเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาค${\displaystyle i}$เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$คือความเร็วของอนุภาค${\displaystyle i}$เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล

มวลรวมของอนุภาคทั้งหมดก็คือผลรวมของมวลเหล่านั้นนั่นเอง $${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.}$$

เวกเตอร์ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลถูกกำหนดโดย^{[ 30 ]}$${\displaystyle M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.}$$

จากการตรวจสอบ

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$และ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.}$

โมเมนตัมเชิงมุมรวมของกลุ่มอนุภาคคือผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของแต่ละอนุภาค

การขยายตัว${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{aligned}}}$

การขยายตัว${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\end{aligned}}}$

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า (ดูในแถบด้านข้าง)

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$และ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

ดังนั้นพจน์ที่สองและพจน์ที่สามจึงหายไป

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

พจน์แรกสามารถเรียงลำดับใหม่ได้

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,}$

และโมเมนตัมเชิงมุมรวมสำหรับการรวบรวมอนุภาคในที่สุดก็คือ^{[ 31 ]}

พจน์แรกคือโมเมนตัมเชิงมุมของจุดศูนย์กลางมวลเทียบกับจุดกำเนิด คล้ายกับหัวข้อ§  อนุภาคเดี่ยวด้านล่าง มันคือโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคหนึ่งตัวที่มีมวลMณ จุดศูนย์กลางมวลซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วVพจน์ที่สองคือโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคที่เคลื่อนที่เทียบกับจุดศูนย์กลางมวล คล้ายกับหัวข้อ§  จุดศูนย์กลางมวลคงที่ ด้านล่าง ผลลัพธ์นี้เป็นแบบทั่วไป กล่าวคือ การเคลื่อนที่ของอนุภาคไม่ได้จำกัดอยู่เพียงการหมุนหรือการโคจรไปรอบจุดกำเนิดหรือจุดศูนย์กลางมวล อนุภาคไม่จำเป็นต้องเป็นมวลแต่ละตัว แต่สามารถเป็นองค์ประกอบของการกระจายตัวอย่างต่อเนื่อง เช่น วัตถุแข็ง

จัดเรียงสมการ ( 2 ) ใหม่โดยใช้เอกลักษณ์เวกเตอร์ คูณทั้งสองพจน์ด้วย "หนึ่ง" และจัดกลุ่มอย่างเหมาะสม $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left(\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left({\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{aligned}}}$$ แสดงโมเมนตัมเชิงมุมรวมของระบบอนุภาคในรูปของโมเมนต์ความเฉื่อย${\displaystyle I}$และความเร็วเชิงมุม${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$,

นิยามดั้งเดิมของโมเมนตัมเชิงมุมคือ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$สามารถนำไปใช้กับกลศาสตร์ควอนตัมได้ โดยการตีความr ใหม่เป็นตัว ดำเนินการตำแหน่งควอนตัมและpเป็นตัวดำเนินการโมเมนตัมค วอนตัม Lจึงเป็นตัวดำเนินการซึ่งเรียกอย่างเฉพาะเจาะจงว่าตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรส่วนประกอบของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมเป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งของพีชคณิต Lie SO(3) [ ^{37 ] อัน}ที่จริง ตัวดำเนินการเหล่านี้คือการกระทำอนันต์ของกลุ่มการหมุนบนปริภูมิฮิลเบิร์ตควอน ตั ม อย่างแม่นยำ ^{[ 38 ]} (ดูการอภิปรายด้านล่างเกี่ยวกับตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมในฐานะตัวสร้างการหมุนด้วย)

อย่างไรก็ตาม ในฟิสิกส์ควอนตัม มีโมเมนตัมเชิงมุมอีกประเภทหนึ่ง เรียกว่าโมเมนตัมเชิงมุมสปินซึ่งแสดงโดยตัวดำเนินการสปินSสปินมักถูกแสดงเป็นอนุภาคที่หมุนรอบแกน แต่ภาพนี้เป็นภาพที่ทำให้เข้าใจผิดและไม่ถูกต้อง สปินเป็นคุณสมบัติที่แท้จริงของอนุภาค ไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ใดๆ ในอวกาศ และแตกต่างจากโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรโดยพื้นฐานอนุภาคพื้นฐาน ทั้งหมด มีสปินลักษณะเฉพาะ^{[ 39 ]}ซึ่งไม่เป็นศูนย์สำหรับอนุภาคพื้นฐานทั้งหมด ยกเว้นโบซอนฮิกส์ (ซึ่งมีสปิน 0 ทำให้เป็นโบซอนสเกลาร์ พื้นฐานเพียงตัวเดียวที่รู้จัก ) ^{[ 40 ]}ตัวอย่างเช่นอิเล็กตรอนมี "สปิน 1/2" (ซึ่งจริงๆ แล้วหมายถึง "สปินħ /2") โฟตอนมี "สปิน 1" (ซึ่งจริงๆ แล้วหมายถึง "สปิน ħ") และไพเมซอนมีสปิน 0 ^{[ 41 ]}

สุดท้ายนี้ ยังมีโมเมนตัมเชิงมุมรวมJซึ่งรวมทั้งโมเมนตัมเชิงมุมสปินและโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรของอนุภาคและสนามทั้งหมด (สำหรับอนุภาคหนึ่งตัวJ = L + S ) การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมใช้ได้กับJแต่ไม่ใช้กับLหรือSตัวอย่างเช่นปฏิสัมพันธ์สปิน-วงโคจรทำให้โมเมนตัมเชิงมุมสามารถถ่ายโอนไปมาระหว่างLและSได้ โดยที่ผลรวมยังคงที่ อิเล็กตรอนและโฟตอนไม่จำเป็นต้องมีค่าโมเมนตัมเชิงมุมรวมเป็นจำนวนเต็ม แต่สามารถมีค่าเป็นครึ่งจำนวนเต็มได้เช่นกัน^{[ 42 ]}

ในโมเลกุล โมเมนตัมเชิงมุมรวมFคือผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมโรวิบรอนิก (วงโคจร) Nโมเมนตัมเชิงมุมสปินอิเล็กตรอนSและโมเมนตัมเชิงมุมสปินนิวเคลียร์Iสำหรับสถานะอิเล็กตรอนซิงเกล็ต โมเมนตัมเชิงมุมโรวิบรอนิกจะถูกแทนด้วยJแทนที่จะเป็นNดังที่ Van Vleck อธิบายไว้^{[ 43 ]}ส่วนประกอบของโมเมนตัมเชิงมุมโรวิบรอนิกของโมเลกุลที่อ้างอิงถึงแกนคงที่ของโมเลกุลจะมีความสัมพันธ์การสลับที่แตกต่างจากส่วนประกอบเกี่ยวกับแกนคงที่ของพื้นที่

ในกลศาสตร์ควอนตัม โมเมนตัมเชิงมุมมีค่าเป็นควอนตัมกล่าวคือ ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่อง แต่จะเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะในลักษณะ " การกระโดดควอนตัม " ระหว่างค่าที่อนุญาตบางค่าเท่านั้น สำหรับระบบใดๆ ข้อจำกัดต่อไปนี้เกี่ยวกับผลการวัดจะมีผลบังคับใช้ โดยที่${\displaystyle \hbar }$คือค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลงและ${\displaystyle {\hat {n}}}$คือเวกเตอร์แบบยุคลิด ใดๆ เช่น x, y หรือ z:

ถ้าคุณวัด ...	ผลลัพธ์อาจเป็น...
${\displaystyle L_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-2\hbar ,-\hbar ,0,\hbar ,2\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle S_{\hat {n}}}$หรือ${\displaystyle J_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-{\frac {3}{2}}\hbar ,-\hbar ,-{\frac {1}{2}}\hbar ,0,{\frac {1}{2}}\hbar ,\hbar ,{\frac {3}{2}}\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle {\begin{aligned}&L^{2}\\={}&L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$, ที่ไหน${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$
${\displaystyle S^{2}}$หรือ${\displaystyle J^{2}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$, ที่ไหน${\displaystyle n=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$

ค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลง${\displaystyle \hbar }$ค่านี้เล็กมากเมื่อเทียบกับมาตรฐานทั่วไป ประมาณ 10 ⁻³⁴ J sดังนั้นการควอนตัมนี้จึงไม่ส่งผลกระทบต่อโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุขนาดใหญ่มากนัก อย่างไรก็ตาม มันมีความสำคัญมากในโลกจุลภาค ตัวอย่างเช่น โครงสร้างของเปลือกอิเล็กตรอนและเปลือกย่อยในวิชาเคมีได้รับผลกระทบอย่างมากจากการควอนตัมของโมเมนตัมเชิงมุม

แนวคิดเรื่องการควอนตัมของโมเมนตัมเชิงมุมนั้นถูกเสนอขึ้นครั้งแรกโดยนีลส์ โบห์รใน แบบจำลอง อะตอมของเขา และต่อมาได้รับการทำนายโดย เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ใน สมการชโร ดิงเกอร์ ของเขา

ในคำจำกัดความ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$มีผู้ปฏิบัติงานทั้งหมดหกคน ได้แก่ผู้ควบคุมตำแหน่ง${\displaystyle r_{x}}$,${\displaystyle r_{y}}$,${\displaystyle r_{z}}$และตัวดำเนินการโมเมนตัม${\displaystyle p_{x}}$,${\displaystyle p_{y}}$,${\displaystyle p_{z}}$อย่างไรก็ตามหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กบอกเราว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะทราบปริมาณทั้งหกนี้พร้อมกันด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจ ดังนั้นจึงมีข้อจำกัดเกี่ยวกับสิ่งที่สามารถทราบหรือวัดได้เกี่ยวกับโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค ปรากฏว่าสิ่งที่ดีที่สุดที่สามารถทำได้คือการวัดทั้งขนาด ของเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม และส่วนประกอบของมันตามแกนเดียว พร้อมกัน

ความไม่แน่นอนนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนประกอบต่างๆ ของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมไม่สามารถสลับลำดับกันได้ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}$(สำหรับความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง ที่แม่นยำ โปรดดูที่ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม )

ดังที่กล่าวมาข้างต้น โมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรLถูกกำหนดไว้ในกลศาสตร์คลาสสิกดังนี้:${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$แต่โมเมนตัมเชิงมุมรวมJถูกกำหนดในรูปแบบที่แตกต่างและพื้นฐานกว่า: Jถูกกำหนดให้เป็น "ตัวสร้างการหมุน" ^{[ 44 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งJถูกกำหนดเพื่อให้ตัวดำเนินการ $${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$ เป็นตัวดำเนินการหมุนที่รับระบบใดๆ และหมุนระบบนั้นด้วยมุมที่กำหนด${\displaystyle \phi }$เกี่ยวกับแกน${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$("exp" ในสูตรหมายถึงตัวดำเนินการเลขชี้กำลัง ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่ว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตควอนตัมของเราจะเป็นอย่างไร เราคาดหวังว่ากลุ่มการหมุน SO(3)จะกระทำต่อมัน จากนั้นจะมีการกระทำที่เกี่ยวข้องของพีชคณิตลี so(3) ของ SO(3) ตัวดำเนินการที่อธิบายการกระทำของ so(3) บนปริภูมิฮิลเบิร์ตของเราคือตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม (ทั้งหมด)

ความสัมพันธ์ระหว่างตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมและตัวดำเนินการการหมุนนั้นเหมือนกับความสัมพันธ์ระหว่างพีชคณิตลีและกลุ่มลีในทางคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมและการหมุนสะท้อนให้เห็นในทฤษฎีบทของโนเธอร์ซึ่งพิสูจน์ว่าโมเมนตัมเชิงมุมจะได้รับการอนุรักษ์เมื่อใดก็ตามที่กฎทางฟิสิกส์ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน

Leonhard Euler , Daniel BernoulliและPatrick d'Arcyต่างเข้าใจโมเมนตัมเชิงมุมในแง่ของการอนุรักษ์ความเร็วเชิงพื้นที่ซึ่งเป็นผลมาจากการวิเคราะห์กฎข้อที่สองของเคปเลอร์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ เป็นไปได้ยากที่พวกเขาจะตระหนักถึงนัยสำคัญของสสารที่หมุนทั่วไป^{[ 51 ]}

ในปี ค.ศ. 1736 ออยเลอร์ เช่นเดียวกับนิวตัน ได้กล่าวถึงสมการโมเมนตัมเชิงมุมบางส่วนในหนังสือ Mechanica ของเขา โดยไม่ได้พัฒนาต่อยอด^{[ 52 ]}

เบอร์นูลลีเขียนไว้ในจดหมายฉบับหนึ่งเมื่อปี ค.ศ. 1744 ว่า "โมเมนต์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน" ซึ่งอาจเป็นแนวคิดแรกเกี่ยวกับโมเมนตัมเชิงมุมอย่างที่เราเข้าใจกันในปัจจุบัน^{[ 53 ]}

ในปี ค.ศ. 1799 ปิแอร์-ซีมอง ลาปลาซ เป็นคนแรกที่ตระหนักว่าระนาบคงที่นั้นเกี่ยวข้องกับการหมุน ซึ่งก็คือระนาบไม่เปลี่ยนแปลง ของเขา

ในปี ค.ศ. 1803 หลุยส์ ปวงโซต์เริ่มแสดงการหมุนด้วยเส้นตรงที่ตั้งฉากกับการหมุน และได้อธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับ "การอนุรักษ์โมเมนต์"

ในปี ค.ศ. 1852 เลออน ฟูโกต์ใช้ไจโรสโคปในการทดลองเพื่อแสดงให้เห็นการหมุนของโลก

หนังสือ Manual of Applied Mechanics ของ William JM Rankine ที่ ตีพิมพ์ ในปี 1858 ได้ให้คำจำกัดความของโมเมนตัมเชิงมุมในความหมายสมัยใหม่เป็นครั้งแรก:

...  เส้นตรงที่มีความยาวแปรผันตรงกับขนาดของโมเมนตัมเชิงมุม และมีทิศทางตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ของวัตถุและจุดคงที่ และเมื่อมองการเคลื่อนที่ของวัตถุจากปลายสุดของเส้นตรง เวกเตอร์รัศมีของวัตถุจะดูเหมือนหมุนขวา

ในหนังสือเล่มเดียวกันฉบับปี 1872 Rankine ระบุว่า "คำว่าโมเมนตัมเชิงมุมได้รับการแนะนำโดยคุณ Hayward" ^{[ 54 ]}ซึ่งอาจหมายถึงบทความของ RB Hayward เรื่องOn a Direct Method of estimating Velocitys, Accelerations, and all similar Quantities with respect to Axes moveable in any manner in Space with Applications ^{[ 55 ]}ซึ่งได้รับการแนะนำในปี 1856 และตีพิมพ์ในปี 1864 Rankine เข้าใจผิด เนื่องจากมีสิ่งพิมพ์จำนวนมากที่ใช้คำนี้ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 18 ถึงต้นศตวรรษที่ 19 ^{[ 56 ]}อย่างไรก็ตาม บทความของ Hayward ดูเหมือนจะเป็นการใช้คำและแนวคิดนี้เป็นครั้งแรกที่ผู้คนในโลกที่พูดภาษาอังกฤษส่วนใหญ่รู้จัก ก่อนหน้านี้ โมเมนตัมเชิงมุมมักถูกเรียกว่า "โมเมนตัมของการหมุน" ในภาษาอังกฤษ^{[ 57 ]}