ทฤษฎีบทอาร์เซลา-อัสโคลีใช้ได้โดยทั่วไป หากฟังก์ชันf มีค่าอยู่ในปริภูมิยุคลิดมิติd R ^dและการพิสูจน์นั้นง่ายมาก เพียงแค่ใช้ทฤษฎีบทอาร์เซลา-อัสโคลีเวอร์ชันที่มีค่าอยู่ในR dครั้ง เพื่อแยกส่วนลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในพิกัดแรก จากนั้นแยกส่วนลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในสองพิกัดแรก และต่อไปเรื่อยๆ ตัวอย่างข้างต้นสามารถขยายไปสู่กรณีของฟังก์ชันที่มีค่าอยู่ในปริภูมิยุคลิดได้อย่างง่ายดาย

นิยามของขอบเขตและความต่อเนื่องสม่ำเสมอสามารถขยายไปสู่บริบทของปริภูมิX ใดๆ ได้ ให้C ( X , Y ) เป็นปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่อง ทั้งหมด จากXไปยังYถ้าYเป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกdแล้วเซตย่อยF ⊂ C ( X , Y )จะเรียกว่ามีความต่อเนื่องสม่ำเสมอถ้าสำหรับทุกx  ∈ Xและทุกε > 0 x มีบริเวณใกล้เคียงU เช่นนั้น 

${\displaystyle \forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F}$ :\qquad d(f(y),f(x))<\varepsilon .}

เซตF ⊂ C ( X , R )กล่าวได้ว่ามีขอบเขตที่จุดต่อจุดถ้าสำหรับทุกx  ∈ X , 

${\displaystyle \sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .}$

ทฤษฎีบทเวอร์ชันหนึ่งยังใช้ได้กับปริภูมิC ( X ) ของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงบนปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับX ( Dunford & Schwartz 1958 , §IV.6.7)ด้วย

ให้Xเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ แล้วเซตย่อยFของC ( X ) จะกระชับสัมพัทธ์ในโทโพโลยีที่เกิดจากบรรทัดฐานเอกรูปก็ต่อเมื่อ เซตย่อย นั้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอและมีขอบเขตที่จุดต่อจุด

ดังนั้น ทฤษฎีบท Arzelà–Ascoli จึงเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในการศึกษาพีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิ Hausdorffกระชับ

สามารถสรุปผลลัพธ์ที่ยกมาข้างต้นได้หลายแง่มุม ตัวอย่างเช่น โดเมนอาจเป็นแบบกระชับเฉพาะที่หรือแบบสร้างกระชับ และฟังก์ชันอาจรับค่าในปริภูมิเมตริกหรือปริภูมิเอกรูป (เฮาส์ดอร์ฟ) โดยมีการเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยในข้อความ (ดูตัวอย่างเช่นKelley & Namioka (1982 , §8) , Kelley (1991 , บทที่ 7) )

ให้Xเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่ และYเป็นปริภูมิเมตริก แล้วF ⊂ C ( X , Y )จะกระชับสัมพัทธ์ในโทโพโลยีแบบกระชับ-เปิดก็ต่อเมื่อมันมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอและกระชับสัมพัทธ์แบบจุดต่อจุด

ในที่นี้ คำว่า "กะทัดรัดเชิงจุด" หมายความว่า สำหรับแต่ละx ∈  X เซต F x { f ( x ) : f ∈ F }จะกะทัดรัดเชิงจุดในY  

ในกรณีที่Yเป็นปริภูมิสมบูรณ์การพิสูจน์ที่กล่าวมาข้างต้นสามารถขยายความได้โดยไม่ต้องอาศัยคุณสมบัติการแยกส่วนของโดเมน ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับXเราใช้คุณสมบัติความต่อเนื่องเท่ากันเพื่อแยกเซตเปิดจำกัดของX  สำหรับแต่ละ ε =  1/ nโดยที่การแกว่งของฟังก์ชันใดๆ ในตระกูลนั้นมีค่าน้อยกว่า ε บนเซตเปิด แต่ละเซต ในเซตเปิดนั้น จากนั้น บทบาทของจำนวนตรรกยะสามารถแทนที่ได้ด้วยเซตของจุดที่ดึงมาจากเซตเปิดแต่ละเซตในเซตเปิดจำนวนนับได้ที่ได้มาด้วยวิธีนี้ และส่วนหลักของการพิสูจน์จะดำเนินไปเช่นเดียวกับข้างต้น มีการใช้เหตุผลที่คล้ายกันเป็นส่วนหนึ่งของการพิสูจน์สำหรับเวอร์ชันทั่วไปที่ไม่ถือว่าYเป็น ปริภูมิสมบูรณ์

ทฤษฎีบท Arzelà-Ascoli สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันได้${\displaystyle X\rightarrow Y}$ที่ไหน${\displaystyle X}$ไม่กระชับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีที่มีความสำคัญดังนี้${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี โปรดจำไว้ว่า ถ้า${\displaystyle X}$ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและ${\displaystyle Y}$ถ้าเป็นปริภูมิเอกรูป (เช่น ปริภูมิเมตริกใดๆ หรือกลุ่มโทโพโลยี ใดๆ ไม่ว่าจะวัดเมตริกได้หรือไม่) จะมีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบกระชับบนเซตนั้น${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ของฟังก์ชัน${\displaystyle X\rightarrow Y}$มันถูกตั้งค่าไว้เพื่อให้ลำดับ (หรือโดยทั่วไปแล้ว ตัวกรองหรือโครงข่าย ) ของฟังก์ชันลู่เข้าก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในแต่ละเซตย่อยกระชับของ${\displaystyle X}$. อนุญาต${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$เป็นปริภูมิย่อยของ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบกะทัดรัด จากนั้นทฤษฎีบท Arzelà-Ascoli รูปแบบหนึ่งจะเป็นดังต่อไปนี้:

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle Y}$พื้นที่สม่ำเสมอแบบเฮา ส์ดอร์ฟและ${\displaystyle H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$เซตของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีความสม่ำเสมอ เท่ากัน โดยที่${\displaystyle \{h(x):h\in H\}}$มีขนาดกะทัดรัดค่อนข้างมากใน${\displaystyle Y}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle x\in X}$. แล้ว${\displaystyle H}$มีขนาดกะทัดรัดค่อนข้างมากใน${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$.

ทฤษฎีบทนี้ให้ข้อความที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นข้างต้นในกรณีที่${\displaystyle X}$มีขนาดกะทัดรัดและโครงสร้างที่สม่ำเสมอของ${\displaystyle Y}$กำหนดโดยเมตริก มีตัวแปรอื่นๆ อีกเล็กน้อยในแง่ของโทโพโลยีของ การบรรจบกัน แบบพรีคอมแพ็กต์หรือโทโพโลยีอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องบน ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$นอกจากนี้ ยังสามารถขยายข้อความดังกล่าวไปยังฟังก์ชันที่ต่อเนื่องเฉพาะเมื่อจำกัดอยู่บนเซตของการครอบคลุมของ${\displaystyle X}$โดยใช้เซตย่อยขนาดกะทัดรัด สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม สามารถศึกษาได้จาก Bourbaki (1998), บทที่ X, § 2, ข้อ 5

โดยทั่วไปแล้ว ผลลัพธ์ของวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับสมการพาราโบลิกมักจะเป็นค่าคงที่แบบเป็นช่วงๆ ดังนั้นจึงไม่ต่อเนื่องตามเวลา อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงของค่าเหล่านี้มักจะน้อยลงเมื่อช่วงเวลาเพิ่มขึ้น${\displaystyle 0}$เป็นไปได้ที่จะสร้างคุณสมบัติการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอตามเวลาโดยใช้การขยายทฤษฎีบท Arzelà–Ascoli แบบคลาสสิกไปยังฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง (ดูเช่นDroniou & Eymard (2016 , Appendix) )

กำหนดให้โดย${\displaystyle S(X,Y)}$พื้นที่ของฟังก์ชันจาก${\displaystyle X}$ถึง${\displaystyle Y}$มีคุณสมบัติเป็นเมตริกสม่ำเสมอ

${\displaystyle d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).}$

จากนั้นเราก็มีสิ่งต่อไปนี้:

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเมตริกขนาดกะทัดรัดและ${\displaystyle Y}$ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ ให้${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$เป็นลำดับใน${\displaystyle S(X,Y)}$โดยที่ฟังก์ชันนั้นมีอยู่จริง${\displaystyle \omega :X\times X\to [0,\infty ]}$และลำดับ${\displaystyle \{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )}$น่าพอใจ

${\displaystyle \lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0,}$

${\displaystyle \forall (t,t')\in X\times X,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n}(t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.}$

สมมติด้วยว่า สำหรับทุก ๆ${\displaystyle t\in X}$,${\displaystyle \{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}}$มีขนาดกะทัดรัดค่อนข้างมากใน${\displaystyle Y}$. แล้ว${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$มีขนาดกะทัดรัดค่อนข้างมากใน${\displaystyle S(X,Y)}$และข้อจำกัดใดๆ ของ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ในพื้นที่นี้คือใน${\displaystyle C(X,Y)}$.