ในเรขาคณิตเชิง อนุพันธ์ ทฤษฎีบท ดัชนีAtiyah–Singerซึ่งพิสูจน์โดยMichael AtiyahและIsadore Singer (1963) ^{[ 1 ]}ระบุว่าสำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีบนแมนิโฟลด์กระชับดัชนีเชิงวิเคราะห์ (ที่เกี่ยวข้องกับมิติของปริภูมิของคำตอบ) จะเท่ากับดัชนีเชิงโทโพโลยี (กำหนดในแง่ของข้อมูลเชิงโทโพโลยีบางอย่าง) ทฤษฎีบทนี้รวมถึงทฤษฎีบทอื่นๆ อีกมากมาย เช่นทฤษฎีบท Chern–Gauss–Bonnetและทฤษฎีบท Riemann–Rochเป็นกรณีพิเศษ และมีการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี^{[ 2 ] [ 3 ]}

ปัญหาดัชนีสำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีถูกตั้งขึ้นโดยIsrael Gel'fand [ ^{4 ] เขา}สังเกตเห็นความไม่แปรเปลี่ยนของดัชนีภายใต้การแปลงโฮโมโทปี และขอสูตรสำหรับดัชนีโดยใช้ตัวแปรคงที่เชิงโทโพโลยี ตัวอย่างที่กระตุ้นบางส่วนได้แก่ทฤษฎีบท Riemann–Rochและทฤษฎีบท Hirzebruch–Riemann–Roch ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไป และทฤษฎีบทลายเซ็น Hirzebruch Friedrich HirzebruchและArmand Borelได้พิสูจน์ความสมบูรณ์ของเจเนัส Âของแมนิโฟลด์สปิน และ Atiyah แนะนำว่าความสมบูรณ์นี้สามารถอธิบายได้หากเป็นดัชนีของตัวดำเนินการ Dirac (ซึ่งถูกค้นพบใหม่โดย Atiyah และ Singer ในปี 1961)

ทฤษฎีบท Atiyah–Singer ได้รับการประกาศในปี 1963 ^{[ 1 ]}พวกเขาไม่เคยตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่ร่างไว้ในการประกาศนี้ แม้ว่าจะปรากฏอยู่ในหนังสือของ Palais ก็ตาม^{[ 5 ]}นอกจากนี้ยังปรากฏใน "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" ^{[ 6 ]}ซึ่งจัดขึ้นในปารีสพร้อมกับการสัมมนาที่นำโดยRichard Palaisที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันการบรรยายครั้งสุดท้ายในปารีสเป็นของ Atiyah เกี่ยวกับแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต บทพิสูจน์ที่ตีพิมพ์ครั้งแรกของพวกเขา^{[ 7 ]}ได้แทนที่ ทฤษฎี โค บอร์ดิซึม ของบทพิสูจน์แรกด้วยทฤษฎี Kและพวกเขาใช้ทฤษฎีนี้ในการพิสูจน์การสรุปทั่วไปต่างๆ ในเอกสารชุดอื่น^{[ 8 ]}

• พ.ศ. 2508: Sergey P. Novikovเผยแพร่ผลลัพธ์ของเขาเกี่ยวกับความไม่แปรเปลี่ยนเชิงโทโพโลยีของคลาส Pontryagin เชิงตรรกะ บนแมนิโฟลด์เรียบ^{[ 9 ]}
• ผลลัพธ์ของRobion KirbyและLaurent C. Siebenmann ^{[ 10 ]}รวมกับบทความของRené Thom ^{[ 11 ]}พิสูจน์การมีอยู่ของคลาส Pontryagin เชิงตรรกะบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี คลาส Pontryagin เชิงตรรกะเป็นส่วนประกอบสำคัญของทฤษฎีบทดัชนีบนแมนิโฟลด์เรียบและเชิงทอพอโลยี
• พ.ศ. 2512: Michael Atiyah กำหนดนิยามตัวดำเนินการเชิงวงรีนามธรรมบนปริภูมิเมตริกใดๆ ตัวดำเนินการเชิงวงรีนามธรรมกลายเป็นตัวเอกในทฤษฎีของ Kasparov และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบไม่สลับที่ของ Connes ^{[ 12 ]}
• พ.ศ. 2514:อิซาดอร์ ซิงเกอร์ เสนอโปรแกรมที่ครอบคลุมสำหรับการขยายทฤษฎีดัชนีในอนาคต^{[ 13 ]}
• พ.ศ. 2515: Gennadi G. Kasparov เผยแพร่ผลงานของเขาเกี่ยวกับการสร้าง K-homology โดยใช้ตัวดำเนินการเชิงวงรีแบบนามธรรม^{[ 14 ]}
• พ.ศ. 2516: Atiyah, Raoul BottและVijay Patodiได้นำเสนอการพิสูจน์ใหม่ของทฤษฎีบทดัชนี^{[ 15 ]}โดยใช้สมการความร้อนซึ่งอธิบายไว้ในบทความของ Melrose ^{[ 16 ]}
• พ.ศ. 2520: เดนนิส ซัลลิแวนได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาเกี่ยวกับการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างลิปชิตซ์และควาซิคอน ฟอร์มอ ลบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่มีมิติต่างจาก 4 ^{[ 17 ]}
• พ.ศ. 2526: Ezra Getzler ^{[ 18 ]}ได้รับแรงบันดาลใจจากแนวคิดของ Edward Witten ^{[ 19 ]}และLuis Alvarez-Gaumeได้ให้บทพิสูจน์สั้นๆ ของทฤษฎีบทดัชนีท้องถิ่นสำหรับตัวดำเนินการที่เป็นตัว ดำเนินการ Dirac ท้องถิ่น ซึ่งครอบคลุมกรณีที่มีประโยชน์หลายกรณี
• 1983: Nicolae Teleman พิสูจน์ว่าดัชนีเชิงวิเคราะห์ของตัวดำเนินการลายเซ็นที่มีค่าในเวกเตอร์บันเดิลเป็นค่าคงที่ทางโทโพโลยี^{[ 20 ]}
• พ.ศ. 2527: Teleman สร้างทฤษฎีบทดัชนีบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี^{[ 21 ]}
• พ.ศ. 2529: Alain Connesเผยแพร่บทความพื้นฐานเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบไม่สลับที่^{[ 22 ]}
• 1989: Simon K. Donaldsonและ Sullivan ศึกษาทฤษฎี Yang–Mills บนแมนิโฟลด์กึ่งคอนฟอร์มัลมิติ 4 พวกเขาแนะนำตัวดำเนินการลายเซ็นSที่กำหนดบนรูปแบบเชิงอนุพันธ์ระดับสอง^{[ 23 ]}
• 1990: Connes และ Henri Moscovici พิสูจน์สูตรดัชนีท้องถิ่นในบริบทของเรขาคณิตแบบไม่สลับที่^{[ 24 ]}
• 1994: Connes, Sullivan และ Teleman พิสูจน์ทฤษฎีบทดัชนีสำหรับตัวดำเนินการลายเซ็นบนแมนิโฟลด์กึ่งคอนฟอร์มัล^{[ 25 ]}

• Xคือแมนิโฟลด์เรียบขนาดกะทัดรัด (ไม่มีขอบเขต)
• EและF เป็น มัดเวกเตอร์เรียบเหนือX
• Dเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์แบบวงรีจากEไปยังFดังนั้นในพิกัดท้องถิ่น มันจึงทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ โดยแปลงส่วนเรียบของEไปเป็นส่วนเรียบของF

ถ้าDเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์บนปริภูมิยุคลิดอันดับnในตัวแปรk ตัว สัญลักษณ์ของมันคือฟังก์ชันของตัวแปร 2k ตัวซึ่งกำหนดโดยการตัดพจน์ทั้งหมดที่มีอันดับน้อยกว่าnออก และแทนที่ด้วยดังนั้นสัญลักษณ์จึงเป็นเอกพันธุ์ในตัวแปรyที่มีดีกรีnสัญลักษณ์นี้ได้รับการกำหนดอย่างดี แม้ว่าจะไม่สลับที่กับเพราะเราเก็บเฉพาะพจน์ที่มีอันดับสูงสุด และตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์จะสลับที่กันได้ "จนถึงพจน์ที่มีอันดับต่ำกว่า" ตัวดำเนินการนี้เรียกว่า ตัวดำเนิน การเชิงวงรีถ้าสัญลักษณ์ไม่เป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่อย่างน้อยหนึ่งyไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}}$${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

ตัวอย่าง: ตัวดำเนินการลาปลาสใน ตัวแปร kตัว มีสัญลักษณ์และเป็นตัวดำเนินการเชิงวงรี (elliptic) เนื่องจากสัญลักษณ์นี้มีค่าไม่เป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่ค่า ใดๆ ของ มีค่าไม่เป็นศูนย์ ส่วนตัวดำเนินการคลื่น (wave operator) มีสัญลักษณ์ซึ่งไม่ใช่ตัวดำเนินการเชิงวงรีหากเนื่องจากสัญลักษณ์นี้มีค่าเป็นศูนย์สำหรับค่าy บางค่า ที่ ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle -y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$${\displaystyle k\geq 2}$

สัญลักษณ์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับnบนแมนิโฟลด์เรียบXถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันโดยใช้แผนภูมิพิกัดท้องถิ่น และเป็นฟังก์ชันบนบันเดิลโคแทนเจนต์ของXซึ่งเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรีnบนปริภูมิโคแทนเจนต์ แต่ละแห่ง (โดยทั่วไป ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์จะแปลงในลักษณะที่ค่อนข้างซับซ้อนภายใต้การแปลงพิกัด (ดูบันเดิลเจ็ท ) อย่างไรก็ตาม พจน์อันดับสูงสุดจะแปลงเหมือนเทนเซอร์ ดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันเอกพันธุ์ที่กำหนดไว้อย่างดีบนปริภูมิโคแทนเจนต์ซึ่งเป็นอิสระจากการเลือกแผนภูมิท้องถิ่น) โดยทั่วไปแล้ว สัญลักษณ์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ระหว่างบันเดิลเวกเตอร์สองบันเดิลEและFคือส่วนของพูลแบ็กของบันเดิล Hom( E , F ) ไปยังปริภูมิโคแทนเจนต์ของXตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าแบบวงรีถ้าองค์ประกอบของ Hom( E , F ) สามารถผกผันได้สำหรับเวก เตอร์ โคแทนเจนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ณ จุดx ใดๆ ของX

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของตัวดำเนินการเชิงวงรีคือ ตัวดำเนินการเหล่านี้สามารถผกผันได้เกือบทั้งหมด ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับข้อเท็จจริงที่ว่าสัญลักษณ์ของตัวดำเนินการเหล่านี้สามารถผกผันได้เกือบทั้งหมด กล่าวคือ ตัวดำเนินการเชิงวงรีD บนแมนิโฟลด์กระชับจะมี พาราเมตริกซ์ (หรือตัวผกผันเทียม ) D ′ ที่ไม่ซ้ำกันซึ่ง D′DและD′Dต่างก็เป็นตัวดำเนินการกระชับ ผลที่ตามมาที่สำคัญคือ เคอร์เนลของDมีมิติจำกัด เนื่องจากปริภูมิไอเกนทั้งหมดของตัวดำเนินการกระชับ นอกเหนือจากเคอร์เนลแล้ว มีมิติจำกัด (ตัวผกผันเทียมของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงวงรีนั้น แทบจะไม่ใช่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เลย อย่างไรก็ตาม มันเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมเชิง วงรี )

เนื่องจากตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีDมีตัวผกผันเทียม จึงเป็นตัวดำเนินการเฟรดโฮล์มตัวดำเนินการเฟรดโฮล์มใดๆ ก็มีดัชนีซึ่งกำหนดโดยผลต่างระหว่างมิติ (จำกัด) ของ เคอร์เนลของD (คำตอบของDf = 0) และมิติ (จำกัด) ของโคเคอร์เนลของD (ข้อจำกัดทางด้านขวามือของสมการเอกพันธุ์ เช่นDf = gหรือเทียบเท่ากับเคอร์เนลของตัวดำเนินการผกผัน) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

Index( D ) = dim Ker(D) − dim Coker( D ) = dim Ker(D) − dim Ker( D* ).

บางครั้งเรียกสิ่งนี้ว่าดัชนี วิเคราะห์ของD

ตัวอย่าง:สมมติว่าแมนิโฟลด์คือวงกลม (คิดว่าเป็นR / Z ) และDคือตัวดำเนินการ d/dx − λ สำหรับค่าคงที่เชิงซ้อน λ บางค่า (นี่คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของตัวดำเนินการเชิงวงรี) จากนั้นเคอร์เนลคือปริภูมิของผลคูณของ exp(λ x ) ถ้า λ เป็นผลคูณจำนวนเต็มของ 2π iและเป็น 0 ในกรณีอื่น ๆ และเคอร์เนลของตัวดำเนินการผกผันคือปริภูมิที่คล้ายกันโดยแทนที่ λ ด้วยค่าสังยุคเชิงซ้อนของมัน ดังนั้นDมีดัชนีเป็น 0 ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าเคอร์เนลและโคเคอร์เนลของตัวดำเนินการเชิงวงรีสามารถกระโดดอย่างไม่ต่อเนื่องเมื่อตัวดำเนินการเชิงวงรีเปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงไม่มีสูตรที่ดีสำหรับมิติของพวกมันในแง่ของข้อมูลทางโทโพโลยีแบบต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม การกระโดดในมิติของเคอร์เนลและโคเคอร์เนลนั้นเหมือนกัน ดังนั้นดัชนีซึ่งกำหนดโดยความแตกต่างของมิติของพวกมันจึงเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง และสามารถกำหนดได้ในแง่ของข้อมูลทางโทโพโลยีโดยทฤษฎีบทดัชนี

ดัชนีโทโพโลยีของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีระหว่างกลุ่มเวกเตอร์เรียบและบนแมนิโฟลด์กระชับมิติ n กำหนดโดย ${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ค่าของส่วนประกอบมิติสูงสุดของชั้นโคฮอโมโลยี แบบผสม บนชั้นโฮโมโลยีพื้นฐานของแมนิโฟลด์โดยพิจารณาความแตกต่างของเครื่องหมาย ณ ที่นี้ ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {Td} (X)}$คือคลาสท็อดด์ของบันเดิลสัมผัสเชิงซ้อนของ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)}$เท่ากับ โดยที่ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))}$
  • ${\displaystyle \varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )}$คือไอโซมอร์ฟิซึมของทอมสำหรับบันเดิลทรงกลม${\displaystyle p:B(X)/S(X)\to X}$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$คือตัวละครเชิร์น
  • ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$คือ "องค์ประกอบความแตกต่าง" ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มเวกเตอร์สองกลุ่มและบนและไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มเวกเตอร์ทั้งสองบนปริภูมิย่อย${\displaystyle K(B(X)/S(X))}$${\displaystyle p^{*}E}$${\displaystyle p^{*}F}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle \sigma (D)}$${\displaystyle S(X)}$
  • ${\displaystyle \sigma (D)}$เป็นสัญลักษณ์ของ${\displaystyle D}$

ในบางสถานการณ์ สามารถลดรูปสูตรข้างต้นเพื่อวัตถุประสงค์ในการคำนวณได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็น แมนิโฟลด์แบบกำหนดทิศทางได้ (กระชับ) มิติ ที่มี คลาสออยเลอร์ไม่เป็นศูนย์การใช้ไอโซมอร์ฟิซึมของทอมและการหารด้วยคลาสออยเลอร์^{[ 26 ] [ 27 ]}ดัชนีโทโพโลยีอาจแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle 2m}$${\displaystyle e(TX)}$

${\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}$

โดยที่การหารจะมีความหมายเมื่อดึงกลับจากวงแหวนโคฮอโมโลยีของปริภูมิจำแนกประเภท ${\displaystyle e(TX)^{-1}}$${\displaystyle BSO}$

เราสามารถกำหนดดัชนีทางทอพอโลยีได้โดยใช้เพียงทฤษฎี K เท่านั้น (และนิยามทางเลือกนี้เข้ากันได้ในแง่หนึ่งกับการสร้างอักขระเชิร์นข้างต้น) ถ้าXเป็นส่วนย่อยกระชับของแมนิโฟลด์Yแล้วจะมีแผนที่แบบพุชฟอร์เวิร์ด (หรือ "ชไรค์") จาก K( TX ) ไปยัง K( TY ) ดัชนีทางทอพอโลยีขององค์ประกอบของ K( TX ) ถูกกำหนดให้เป็นภาพของการดำเนินการนี้กับYซึ่งเป็นปริภูมิยุคลิดบางส่วน ที่ K( TY ) สามารถระบุได้อย่างเป็นธรรมชาติด้วยจำนวนเต็มZ (อันเป็นผลมาจากความเป็นคาบของบอตต์) แผนที่นี้ไม่ขึ้นอยู่กับการฝังตัวของXในปริภูมิยุคลิด ตอนนี้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ดังข้างต้นกำหนดองค์ประกอบของ K( TX ) ได้อย่างเป็นธรรมชาติ และภาพในZภายใต้แผนที่นี้ "คือ" ดัชนีทางทอพอโลยี

เช่นเคยD เป็นตัวดำเนินการ เชิง อนุพันธ์วงรีระหว่างกลุ่มเวกเตอร์EและFบนแมนิโฟลด์กระชับX

ปัญหาเกี่ยวกับดัชนีมีดังนี้: คำนวณดัชนี (เชิงวิเคราะห์) ของDโดยใช้เพียงสัญลักษณ์sและ ข้อมูล ทางโทโพโลยีที่ได้มาจากแมนิโฟลด์และเวกเตอร์บันเดิล ทฤษฎีบทดัชนีของ Atiyah–Singer แก้ปัญหานี้ได้ และระบุว่า:

ดัชนีเชิงวิเคราะห์ของDเท่ากับดัชนีเชิงโทโพโลยีของมัน

แม้ว่านิยามของดัชนีทางทอพอโลยีจะดูซับซ้อน แต่โดยทั่วไปแล้วสามารถประเมินค่าได้อย่างชัดเจนและตรงไปตรงมา ดังนั้นจึงทำให้สามารถประเมินค่าดัชนีเชิงวิเคราะห์ได้ (โดยทั่วไปแล้ว การประเมินค่าโคเคอร์เนลและเคอร์เนลของตัวดำเนินการเชิงวงรีแต่ละตัวนั้นยากมาก ทฤษฎีบทดัชนีแสดงให้เห็นว่าโดยปกติแล้วเราสามารถประเมินค่าความแตกต่าง ของพวกมัน ได้) ค่าคงที่ที่สำคัญหลายอย่างของแมนิโฟลด์ (เช่น ลายเซ็น) สามารถกำหนดได้เป็นดัชนีของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่เหมาะสม ดังนั้นทฤษฎีบทดัชนีจึงช่วยให้เราสามารถประเมินค่าคงที่เหล่านี้ในแง่ของข้อมูลทางทอพอโลยีได้

แม้ว่าดัชนีเชิงวิเคราะห์มักจะประเมินค่าโดยตรงได้ยาก แต่ก็เห็นได้ชัดว่าเป็นจำนวนเต็ม ดัชนีเชิงทอพอโลยีตามคำนิยามเป็นจำนวนตรรกยะ แต่โดยปกติแล้วจากคำนิยามนั้นไม่ชัดเจนเลยว่ามันเป็นจำนวนเต็มด้วย ดังนั้นทฤษฎีบทดัชนีของ Atiyah–Singer จึงบ่งบอกถึงคุณสมบัติความเป็นจำนวนเต็มที่ลึกซึ้งบางประการ เนื่องจากมันบ่งชี้ว่าดัชนีเชิงทอพอโลยีเป็นจำนวนเต็ม

ดัชนีของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีจะมีค่าเป็นศูนย์อย่างเห็นได้ชัดหากตัวดำเนินการนั้นเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง นอกจากนี้ ดัชนีจะมีค่าเป็นศูนย์หากแมนิโฟลด์Xมีมิติเป็นเลขคี่ แม้ว่าจะมี ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรี เทียมบางตัวที่มีดัชนีไม่เป็นศูนย์ในมิติเลขคี่ก็ตาม

ทฤษฎีบทGrothendieck–Riemann–Rochเป็นหนึ่งในแรงจูงใจหลักเบื้องหลังทฤษฎีบทดัชนี เนื่องจากทฤษฎีบทดัชนีเป็นคู่ตรงข้ามของทฤษฎีบทนี้ในบริบทของแมนิโฟลด์จริง ตอนนี้ ถ้ามีแผนที่ของแมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อนที่กะทัดรัดและเสถียร ก็จะมีไดอะแกรมการสลับตำแหน่ง^{[ 28 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}}$

ถ้าเป็นจุด เราก็จะได้ข้อความข้างต้นกลับคืนมา นี่คือกลุ่ม Grothendieckของเวกเตอร์บันเดิลเชิงซ้อน แผนภาพการสลับตำแหน่งนี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีบท GRR อย่างมากในเชิงรูปแบบ เพราะกลุ่มโคฮอโมโลยีทางด้านขวาถูกแทนที่ด้วยวงแหวน Chowของวาไรตีเรียบ และกลุ่ม Grothendieck ทางด้านซ้ายกำหนดโดยกลุ่ม Grothendieck ของเวกเตอร์บันเดิลเชิงพีชคณิต ${\displaystyle Y=*}$${\displaystyle K(X)}$

เนื่องจาก ( Teleman 1983 ), ( Teleman 1984 ):

สำหรับตัวดำเนินการเชิงวงรีนามธรรมใดๆ ( Atiyah 1970 ) บนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีแบบปิดและมีทิศทาง ดัชนีเชิงวิเคราะห์จะเท่ากับดัชนีเชิงทอพอโลยี

การพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ต้องผ่านการพิจารณาเฉพาะด้านต่างๆ รวมถึงการขยายทฤษฎีของ Hodge ไปยังแมนิโฟลด์เชิงคอมบินาทอริกและลิปชิตซ์ ( Teleman 1980 ), ( Teleman 1983 ), การขยายตัวดำเนินการลายเซ็นของ Atiyah–Singer ไปยังแมนิโฟลด์ลิปชิตซ์ ( Teleman 1983 ), K-homology ของ Kasparov ( Kasparov 1972 ) และโคบอร์ดิซึมเชิงทอพอโลยี ( Kirby & Siebenmann 1977 )

ผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทดัชนีไม่ใช่เพียงแค่ข้อความแสดงความสามารถในการหาอนุพันธ์เท่านั้น แต่เป็นข้อความเชิงโทโพโลยีด้วย

เนื่องจาก ( Donaldson & Sullivan 1989 ), ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ):

สำหรับแมนิโฟลด์กึ่งคอนฟอร์มัลใดๆ จะมีการสร้างคลาสลักษณะเฉพาะของ Hirzebruch–Thom ในระดับท้องถิ่นอยู่เสมอ

ทฤษฎีนี้อิงตามตัวดำเนินการลายเซ็นSซึ่งกำหนดไว้บนรูปแบบเชิงอนุพันธ์ระดับกลางบนแมนิโฟลด์กึ่งคอนฟอร์มัลมิติคู่ (เปรียบเทียบกับ ( Donaldson & Sullivan 1989 ))

การใช้โคบอร์ดิซึมเชิงทอพอโลยีและ K-โฮโมโลยี อาจให้ข้อความที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทดัชนีบนแมนิโฟลด์กึ่งคอนฟอร์มัลได้ (ดูหน้า 678 ของ ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 )) งาน ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) "ให้การสร้างเฉพาะที่สำหรับชั้นลักษณะเฉพาะโดยอาศัยความสัมพันธ์มิติสูงกว่าของการแมปแบบรีมันน์ที่วัดได้ในมิติสองและทฤษฎีหยาง-มิลส์ในมิติสี่"

ผลลัพธ์เหล่านี้ถือเป็นความก้าวหน้าที่สำคัญตามแนวทางของโครงการProspects in Mathematics ของ Singer ( Singer 1971 ) ในขณะเดียวกัน ผลลัพธ์เหล่านี้ยังให้การสร้างชั้น Pontrjagin เชิงตรรกะบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่มีประสิทธิภาพอีกด้วย บทความ ( Teleman 1985 ) เป็นตัวเชื่อมระหว่างการสร้างชั้น Pontrjagin เชิงตรรกะดั้งเดิมของ Thom ( Thom 1956 ) กับทฤษฎีดัชนี

สิ่งสำคัญที่ควรกล่าวถึงคือ สูตรดัชนีเป็นข้อความเชิงทอพอโลยี ทฤษฎีการกีดขวางของ Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan และ Donaldson แสดงให้เห็นว่ามีเพียงส่วนน้อยของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเท่านั้นที่มีโครงสร้างที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และโครงสร้างเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ผลลัพธ์ของ Sullivan เกี่ยวกับโครงสร้าง Lipschitz และ quasiconformal ( Sullivan 1979 ) แสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีใดๆ ในมิติที่แตกต่างจาก 4 จะมีโครงสร้างดังกล่าวซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว (จนถึงไอโซโทปีที่ใกล้เคียงกับเอกลักษณ์)

โครงสร้างควาซิคอนฟอร์มอล ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) และโดยทั่วไปแล้ว โครงสร้าง L ^p , p > n ( n +1)/2 ซึ่งแนะนำโดย M. Hilsum ( Hilsum 1999 ) เป็นโครงสร้างเชิงวิเคราะห์ที่อ่อนที่สุดบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีมิติnที่ทราบกันว่าทฤษฎีบทดัชนีเป็นจริง

• ทฤษฎีบท Atiyah–Singer สามารถนำไปใช้กับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียม แบบวงรี ได้ในลักษณะเดียวกับที่ใช้กับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์แบบวงรี อันที่จริง ด้วยเหตุผลทางเทคนิค การพิสูจน์ในยุคแรกส่วนใหญ่ใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมมากกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เนื่องจากความยืดหยุ่นที่มากกว่าทำให้ขั้นตอนบางอย่างของการพิสูจน์ง่ายขึ้น
• แทนที่จะใช้ตัวดำเนินการเชิงวงรีระหว่างกลุ่มเวกเตอร์สองกลุ่ม บางครั้งการใช้คอมเพล็กซ์เชิงวงรี ของกลุ่มเวกเตอร์อาจสะดวกกว่า ความแตกต่างคือสัญลักษณ์ต่างๆ จะเรียงตัวเป็นลำดับที่แน่นอน (นอกส่วนที่เป็นศูนย์) ในกรณีที่มีกลุ่มเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงสองกลุ่มในคอมเพล็กซ์ นั่นหมายความว่าสัญลักษณ์นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึมนอกส่วนที่เป็นศูนย์ ดังนั้นคอมเพล็กซ์เชิงวงรีที่มี 2 พจน์จึงเหมือนกับตัวดำเนินการเชิงวงรีระหว่างกลุ่มเวกเตอร์สองกลุ่ม ในทางกลับกัน ทฤษฎีบทดัชนีสำหรับคอมเพล็กซ์เชิงวงรีสามารถลดรูปไปสู่กรณีของตัวดำเนินการเชิงวงรีได้ง่ายๆ กล่าวคือ กลุ่มเวกเตอร์สองกลุ่มนั้นได้มาจากผลรวมของพจน์คู่หรือพจน์คี่ของคอมเพล็กซ์ และตัวดำเนินการเชิงวงรีคือผลรวมของตัวดำเนินการของคอมเพล็กซ์เชิงวงรีและตัวดำเนินการผกผันของมัน โดยจำกัดไว้ที่ผลรวมของกลุ่มเวกเตอร์คู่$${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$$
• หาก อนุญาตให้ แมนิโฟลด์มีขอบเขต จะต้องมีการกำหนดข้อจำกัดบางประการในโดเมนของตัวดำเนินการเชิงวงรีเพื่อให้แน่ใจว่าดัชนีมีค่าจำกัด เงื่อนไขเหล่านี้อาจเป็นเงื่อนไขเฉพาะที่ (เช่น การกำหนดให้ส่วนต่างๆ ในโดเมนมีค่าเป็นศูนย์ที่ขอบเขต) หรือเงื่อนไขโดยรวมที่ซับซ้อนกว่า (เช่น การกำหนดให้ส่วนต่างๆ ในโดเมนแก้สมการเชิงอนุพันธ์บางอย่าง) กรณีเฉพาะที่ได้รับการแก้ไขโดย Atiyah และ Bott แต่พวกเขาแสดงให้เห็นว่าตัวดำเนินการที่น่าสนใจหลายตัว (เช่นตัวดำเนินการลายเซ็น ) ไม่ยอมรับเงื่อนไขขอบเขตเฉพาะที่ เพื่อจัดการกับตัวดำเนินการเหล่านี้Atiyah , PatodiและSingerได้นำเสนอเงื่อนไขขอบเขตโดยรวมที่เทียบเท่ากับการแนบทรงกระบอกเข้ากับแมนิโฟลด์ตามขอบเขตแล้วจำกัดโดเมนเฉพาะส่วนต่างๆ ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ตามทรงกระบอก มุมมองนี้ถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทดัชนี Atiyah–Patodi–SingerของMelrose (1993)
• แทนที่จะพิจารณาตัวดำเนินการเชิงวงรีเพียงตัวเดียว เราอาจพิจารณาตระกูลของตัวดำเนินการเชิงวงรีที่กำหนดพารามิเตอร์โดยปริภูมิY บางอย่าง ในกรณีนี้ ดัชนีจะเป็นองค์ประกอบของทฤษฎี K ของYแทนที่จะเป็นจำนวนเต็ม หากตัวดำเนินการในตระกูลเป็นจำนวนจริง ดัชนีจะอยู่ในทฤษฎี K จริงของYซึ่งให้ข้อมูลเพิ่มเติมเล็กน้อย เนื่องจากแผนที่จากทฤษฎี K จริงของYไปยังทฤษฎี K เชิงซ้อนนั้นไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอไป
• ถ้ามีการกระทำของกลุ่มGบนแมนิโฟลด์กระชับXที่สลับตำแหน่งได้กับตัวดำเนินการเชิงวงรีแล้ว เราจะแทนที่ทฤษฎี K แบบธรรมดาด้วยทฤษฎี K แบบสมมาตรยิ่งไปกว่านั้น เราจะได้การขยายความของทฤษฎีบทจุดตรึงของเลฟเชตซ์โดยมีพจน์ที่มาจากซับแมนิโฟลด์จุดตรึงของกลุ่มGดูเพิ่มเติมที่: ทฤษฎีบทดัชนีสมมาตร
• Atiyah (1976)ได้แสดงให้เห็นถึงวิธีการขยายทฤษฎีบทดัชนีไปยังแมนิโฟลด์ที่ไม่กระชับบางส่วน ซึ่งถูกกระทำโดยกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีผลหารแบบกระชับ โดยทั่วไปแล้ว เคอร์เนลของตัวดำเนินการเชิงวงรีจะมีมิติอนันต์ในกรณีนี้ แต่เป็นไปได้ที่จะได้ดัชนีจำกัดโดยใช้มิติของโมดูลเหนือพีชคณิตฟอนนอยมันน์ดัชนีนี้โดยทั่วไปจะมีค่าเป็นจำนวนจริงมากกว่าจำนวนเต็ม เวอร์ชันนี้เรียกว่าทฤษฎีบทดัชนีL2และถูกใช้โดยAtiyah & Schmid (1977)เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของการแสดงอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่ม Lie กึ่งง่ายอีก^{ครั้ง}
• ทฤษฎีบทดัชนีของ Calliasเป็นทฤษฎีบทดัชนีสำหรับตัวดำเนินการ Dirac บนปริภูมิคี่มิติที่ไม่กระชับ ดัชนี Atiyah–Singer ถูกกำหนดไว้เฉพาะบนปริภูมิกระชับเท่านั้น และจะหายไปเมื่อมิติของปริภูมิเป็นคี่ ในปี 1978 Constantine CalliasตามคำแนะนำของRoman Jackiw ที่ปรึกษาปริญญาเอกของเขา ได้ใช้ความผิดปกติตามแกนเพื่อหาทฤษฎีบทดัชนีนี้บนปริภูมิที่มีเมทริกซ์ Hermitianที่เรียกว่าฟิลด์Higgs ^{[ 29 ]}ดัชนีของตัวดำเนินการ Dirac เป็นตัวแปรทางโทโพโลยีที่วัดการวนของฟิลด์ Higgs บนทรงกลมที่อนันต์ ถ้าUเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ในทิศทางของฟิลด์ Higgs ดัชนีจะเป็นสัดส่วนกับปริพันธ์ของU ( dU ) ^{n −1}บนทรงกลม ( n −1) ที่อนันต์ ถ้าnเป็นเลขคู่ ดัชนีจะเป็นศูนย์เสมอ
  • การตีความเชิงโทโพโลยีของตัวแปรคงที่นี้และความสัมพันธ์กับดัชนี Hörmanderที่เสนอโดยBoris Fedosovตามที่Lars Hörmander ได้ขยายความนั้น ได้ รับการตีพิมพ์โดยRaoul BottและRobert Thomas Seeley ^{[ 30 ]}

สมมติว่าเป็นแมนิโฟลด์แบบกระชับที่มีทิศทางและมีมิติถ้าเรากำหนดให้ เป็นผลรวมของกำลังภายนอกคู่ของบันเดิลโคแทนเจนต์ และกำหนดให้ เป็นผลรวมของกำลังคี่ กำหนด โดยพิจารณาว่าเป็นแผนที่จากไปยังแล้วดัชนีเชิงวิเคราะห์ของคือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของโคฮอโมโลยีฮอดจ์ของและดัชนีเชิงโทโพโลยี คือปริพันธ์ของชั้นออยเลอร์เหนือแมนิโฟลด์ สูตรดัชนีสำหรับตัวดำเนินการนี้ให้ทฤษฎีบทเชิร์น-เกาส์-บอนเนต์ ${\displaystyle M}$${\displaystyle n=2r}$${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$${\displaystyle D=d+d^{*}}$${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \chi (M)}$${\displaystyle M}$

การคำนวณที่เป็นรูปธรรมมีดังนี้: ตามหลักการแยกส่วน แบบหนึ่ง ถ้าเป็นมัดเวกเตอร์จริงที่มีมิติเพื่อพิสูจน์ข้อความที่เกี่ยวข้องกับชั้นลักษณะเฉพาะ เราอาจสมมติว่ามีมัดเส้นเชิงซ้อนเช่นนั้นดังนั้น เราจึงสามารถพิจารณารากเชอร์น, , ได้ ${\displaystyle E}$${\displaystyle n=2r}$${\displaystyle l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}}$${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$${\displaystyle i=1,\,\ldots ,\,r}$

โดยใช้ราก Chern ดังที่กล่าวมาข้างต้นและคุณสมบัติมาตรฐานของคลาส Euler เราจะได้ว่า. สำหรับอักขระ Chern และคลาส Todd ^{[ 31 ]}${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$

โดยการใช้ทฤษฎีบทดัชนี

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$

ซึ่งเป็นทฤษฎีบท Chern-Gauss-Bonnet ในเวอร์ชัน "เชิงทอพอโลยี" (ส่วนเวอร์ชันเชิงเรขาคณิตได้มาจากการประยุกต์ใช้โฮโมมอร์ฟิซึม Chern-Weil )

ให้Xเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีมิติ (เชิงซ้อน) nพร้อมด้วยเวกเตอร์บันเดิลโฮโลมอร์ฟิกVเราให้เวกเตอร์บันเดิลEและFเป็นผลรวมของบันเดิลของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์ในVที่มีประเภท (0, i ) โดยที่iเป็นจำนวนคู่หรือคี่ และเราให้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์Dเป็นผลรวม

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

จำกัด เฉพาะE.

การพิสูจน์ทฤษฎีบท Hirzebruch–Riemann–Roch ในลักษณะนี้จะเป็นธรรมชาติมากขึ้นหากเราใช้ทฤษฎีบทดัชนีสำหรับคอมเพล็กซ์เชิงวงรีแทนที่จะใช้ตัวดำเนินการเชิงวงรี เราสามารถกำหนดให้คอมเพล็กซ์เป็น

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm }$

โดยที่อนุพันธ์กำหนดโดย. จากนั้น กลุ่มโคฮอโมโลยีที่ i'ก็คือกลุ่มโคฮอโมโลยีที่สอดคล้องกัน H ⁱ ( X , V ) ดังนั้นดัชนีเชิงวิเคราะห์ของคอมเพล็กซ์นี้คือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เชิงโฮโลมอร์ฟิกของV : ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

เนื่องจากเรากำลังจัดการกับบันเดิลที่ซับซ้อน การคำนวณดัชนีทางโทโพโลยีจึงง่ายขึ้น โดยใช้รากของเชอร์นและทำการคำนวณที่คล้ายกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ชั้นออยเลอร์จะกำหนดโดยและ ${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}}$

เมื่อใช้ทฤษฎีบทดัชนี เราจะได้ทฤษฎีบท Hirzebruch-Riemann-Roch ดังนี้ :

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

อันที่จริง เราได้การสรุปทั่วไปของหลักการนี้ไปยังแมนิโฟลด์เชิงซ้อนทั้งหมด: บทพิสูจน์ของ Hirzebruch ใช้ได้เฉพาะกับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบโปรเจค ทีฟ Xเท่านั้น

ทฤษฎีบทลายเซ็นของ Hirzebruchกล่าวว่า ลายเซ็นของแมนิโฟลด์เชิงทิศทางขนาดกะทัดรัดXที่มีมิติ 4k นั้นกำหนดโดยจีนัส L ของแมนิโฟลด์ ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทดัชนี Atiyah–Singer ที่ ประยุกต์ใช้กับ ตัวดำเนินการลายเซ็นต่อไปนี้

บันเดิลEและFกำหนดโดยไอเกนสเปซ +1 และ −1 ของตัวดำเนินการบนบันเดิลของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ของXซึ่งกระทำกับk-ฟอร์ม เช่นเดียว กับ ตัวดำเนินการดาว HodgeตัวดำเนินการDคือลาปลาเซียน Hodge${\displaystyle i^{k(k-1)}}$

${\displaystyle D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}}$

จำกัดเฉพาะEโดยที่dคืออนุพันธ์ภายนอกของ คาร์ตัน และd * คืออนุพันธ์ผกผันของมัน

ดัชนีเชิงวิเคราะห์ของDคือลายเซ็นของแมนิโฟลด์Xและดัชนีเชิงโทโพโลยีของมันคือจีนัส L ของXดังนั้นทั้งสองจึงเท่ากัน

เจนัส Âเป็นจำนวนตรรกยะที่กำหนดขึ้นสำหรับแมนิโฟลด์ใดๆ แต่โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่จำนวนเต็ม บอเรลและฮิร์เซบรุคแสดงให้เห็นว่ามันเป็นจำนวนเต็มสำหรับแมนิโฟลด์สปิน และเป็นจำนวนเต็มคู่หากมิติเป็น 4 มอด 8 ด้วย สิ่งนี้สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทดัชนี ซึ่งบ่งชี้ว่าเจนัส Â สำหรับแมนิโฟลด์สปินคือดัชนีของตัวดำเนินการดิแรก ตัวประกอบพิเศษ 2 ในมิติ 4 มอด 8 มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในกรณีนี้ เคอร์เนลและโคเคอร์เนลของตัวดำเนินการดิแรกมีโครงสร้างควอเทอร์เนียน ดังนั้นในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน พวกมันจึงมีมิติเป็นคู่ ดังนั้นดัชนีจึงเป็นคู่

ในมิติที่ 4 ผลลัพธ์นี้บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทของ Rochlinที่ว่าลายเซ็นของแมนิโฟลด์สปิน 4 มิติหารด้วย 16 ลงตัว ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ในมิติที่ 4 นั้น จีนัส Â มีค่าเป็นลบหนึ่งในแปดของลายเซ็น

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมสามารถอธิบายได้ง่ายในกรณีของตัวดำเนินการที่มีสัมประสิทธิ์คงที่บนปริภูมิยุคลิด ในกรณีนี้ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ก็คือการแปลงฟูริเยร์ของการคูณด้วยพหุนาม และตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ก็คือการแปลงฟูริเยร์ของการคูณด้วยฟังก์ชันทั่วไป

การพิสูจน์ทฤษฎีบทดัชนีจำนวนมากใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมแทนที่จะใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เหตุผลก็คือ ในหลายกรณี ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์มีไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ตัวผกผันเทียมของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงวงรีอันดับบวกไม่ใช่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ แต่เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียม นอกจากนี้ ยังมีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างข้อมูลที่แสดงถึงองค์ประกอบของ K(B( X ), S ( X )) (ฟังก์ชันคลัตช์) และสัญลักษณ์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมเชิงวงรี

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมมีอันดับ ซึ่งอาจเป็นจำนวนจริงใดๆ หรือแม้แต่ −∞ และมีสัญลักษณ์ (ซึ่งไม่ใช่พหุนามในปริภูมิโคแทนเจนต์อีกต่อไป) และตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีคือตัวดำเนินการที่มีสัญลักษณ์ที่ผกผันได้สำหรับเวกเตอร์โคแทนเจนต์ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ทฤษฎีบทดัชนีส่วนใหญ่สามารถขยายจากตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีไปยังตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมวงรีได้

การพิสูจน์เบื้องต้นนั้นอิงตามทฤษฎีบทของ Hirzebruch–Riemann–Roch (1954) และเกี่ยวข้องกับทฤษฎีโคบอร์ดิซึมและตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียม

แนวคิดของการพิสูจน์ข้อแรกนี้โดยคร่าวๆ มีดังนี้ พิจารณาวงแหวนที่สร้างขึ้นโดยคู่ ( X , V ) โดยที่Vเป็นเวกเตอร์บันเดิลเรียบบนแมนิโฟลด์เรียบกระชับที่มีทิศทางXโดยมีความสัมพันธ์ที่ผลรวมและผลคูณของวงแหวนบนตัวสร้างเหล่านี้กำหนดโดยการรวมกันและการคูณแบบไม่ทับซ้อนกันของแมนิโฟลด์ (โดยมีการดำเนินการที่ชัดเจนบนเวกเตอร์บันเดิล) และขอบใดๆ ของแมนิโฟลด์ที่มีเวกเตอร์บันเดิลคือ 0 นี่คล้ายกับวงแหวนโคบอร์ดิซึมของแมนิโฟลด์ที่มีทิศทาง ยกเว้นว่าแมนิโฟลด์ยังมีเวกเตอร์บันเดิลด้วย ดัชนีทางโทโพโลยีและเชิงวิเคราะห์ถูกตีความใหม่เป็นฟังก์ชันจากวงแหวนนี้ไปยังจำนวนเต็ม จากนั้นตรวจสอบว่าฟังก์ชันทั้งสองนี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจริงๆ เพื่อพิสูจน์ว่าพวกมันเหมือนกัน จึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่าพวกมันเหมือนกันบนเซตของตัวสร้างของวงแหวนนี้ ทฤษฎีโคบอร์ดิซึมของทอมให้เซตของตัวสร้าง ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีบันเดิลแบบไม่สำคัญร่วมกับบันเดิลบางอย่างบนทรงกลมมิติคู่ ดังนั้นทฤษฎีบทดัชนีจึงสามารถพิสูจน์ได้โดยการตรวจสอบกับกรณีที่เรียบง่ายเป็นพิเศษเหล่านี้

บทพิสูจน์ที่ตีพิมพ์ครั้งแรกของ Atiyah และ Singer ใช้ทฤษฎี Kแทนที่จะเป็นโคบอร์ดิซึม ถ้าiเป็นการรวมของแมนิโฟลด์กระชับจากXไปยังYพวกเขากำหนดการดำเนินการ 'pushforward' i บนตัวดำเนินการเชิงวงรีของXไปยังตัวดำเนินการเชิงวงรีของYที่รักษาดัชนีไว้ โดยการเลือกYเป็นทรงกลมที่Xฝังอยู่ การดำเนินการนี้ลดทฤษฎีบทดัชนีลงเหลือกรณีของทรงกลม ถ้าYเป็นทรงกลมและXเป็นจุดใดจุดหนึ่งที่ฝังอยู่ในYแล้ว ตัวดำเนินการเชิงวงรีใดๆ บนYจะเป็นภาพภายใต้i ของตัวดำเนินการเชิงวงรีบางตัวบนจุดนั้น การดำเนินการนี้ลดทฤษฎีบทดัชนีลงเหลือกรณีของจุด ซึ่งเป็นเรื่องง่าย

Atiyah, BottและPatodi  ( 1973 ) ได้นำเสนอการพิสูจน์ใหม่ของทฤษฎีบทดัชนีโดยใช้สมการความร้อนดูเช่นBerline, Getzler & Vergne (1992)การพิสูจน์นี้ยังได้รับการตีพิมพ์ใน ( Melrose 1993 ) และ ( Gilkey 1994 ) ด้วย

ถ้าDเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวดำเนินการผกผันD*แล้วD*DและDD*เป็นตัวดำเนินการผกผันตัวเองซึ่งค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์มีจำนวนความซ้ำซ้อนเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ปริภูมิลักษณะเฉพาะที่เป็นศูนย์อาจมีจำนวนความซ้ำซ้อนต่างกัน เนื่องจากจำนวนความซ้ำซ้อนเหล่านี้เป็นมิติของเคอร์เนลของDและD*ดังนั้น ดัชนีของDจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D)-\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\dim \operatorname {Ker} (D^{*}D)-\dim \operatorname {Ker} (DD^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)}$

สำหรับค่าt บวกใดๆ ด้านขวามือได้มาจากร่องรอยของผลต่างของเคอร์เนลของตัวดำเนินการความร้อนสองตัว ซึ่งมีการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกสำหรับค่าt บวกเล็กๆ ซึ่งสามารถใช้ประเมินลิมิตเมื่อtเข้าใกล้ 0 ทำให้ได้บทพิสูจน์ทฤษฎีบทดัชนีของ Atiyah–Singer การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกสำหรับค่าt เล็กๆ ดูซับซ้อนมาก แต่ทฤษฎีความไม่แปรเปลี่ยนแสดงให้เห็นว่ามีการหักล้างกันอย่างมากระหว่างพจน์ต่างๆ ทำให้สามารถหาพจน์นำหน้าได้อย่างชัดเจน การหักล้างเหล่านี้ได้รับการอธิบายในภายหลังโดยใช้สมมาตรยิ่งยวด

• (-1)F  – เทอมในทฤษฎีสนามควอนตัมPages displaying short descriptions of redirect targets
• ดัชนีวิทเทน  – ฟังก์ชันพาร์ติชันที่ดัดแปลง

• Mazzeo, Rafe. "ทฤษฎีบทดัชนี Atiyah–Singer: มันคืออะไรและทำไมคุณจึงควรสนใจ" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 24 มิถุนายน 2549 . สืบค้นเมื่อเมื่อวันที่ 3 มกราคม 2549 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)งานนำเสนอ PDF
• Voitsekhovskii, MI; Shubin, MA (2001) [1994], "สูตรดัชนี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• วาสเซอร์มันน์, แอนโทนี . "บันทึกการบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีบทดัชนีอาติยาห์-ซิงเกอร์" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 29 มีนาคม 2017

• Raussen, Martin; Skau, Christian (2005), " บทสัมภาษณ์ Michael Atiyah และ Isadore Singer" (PDF) , ประกาศของ AMS , หน้า  223–231
• RR Seeley และคณะ (1999) ความทรงจำจากยุคแรกเริ่มของทฤษฎีดัชนีและตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียม - บันทึกการสนทนาอย่างไม่เป็นทางการหลังอาหารค่ำบางส่วนระหว่างการประชุมสัมมนาที่จัดขึ้นในเมือง Roskilde ประเทศเดนมาร์ก ในเดือนกันยายน พ.ศ. 2541