ในทฤษฎีความโกลาหลปรากฏการณ์ผีเสื้อขยับปีก (butterfly effect)คือการพึ่งพาเงื่อนไขเริ่มต้น อย่างละเอียดอ่อน ซึ่งการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในสถานะหนึ่งของระบบไม่เชิงเส้นแบบกำหนดได้ อาจส่งผลให้เกิดความแตกต่างอย่างมากในสถานะต่อมา

คำนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับงานของนักคณิตศาสตร์และนักอุตุนิยมวิทยาเอ็ดเวิร์ด นอร์ตัน ลอเรนซ์เขาตั้งข้อสังเกตว่าปรากฏการณ์ผีเสื้อมาจากตัวอย่างรายละเอียดของพายุทอร์นาโด (เวลาที่เกิดพายุ เส้นทางที่พายุเคลื่อนที่) ที่ได้รับอิทธิพลจากการรบกวนเล็กน้อย เช่นผีเสื้อ ที่อยู่ไกล ออกไปกระพือปีกเมื่อหลายสัปดาห์ก่อน ลอเรนซ์เดิมใช้ตัวอย่างนกนางนวลที่ทำให้เกิดพายุ แต่ถูกชักชวนให้เปลี่ยนมาใช้ผีเสื้อและพายุทอร์นาโดแทนในปี 1972 ^{[ 1 ] [ 2 ]}เขาค้นพบปรากฏการณ์นี้เมื่อสังเกตการทำงานของแบบจำลองสภาพอากาศ ของเขา โดยใช้ข้อมูลเงื่อนไขเริ่มต้นที่ปัดเศษในลักษณะที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญ เขาตั้งข้อสังเกตว่าแบบจำลองสภาพอากาศจะไม่สามารถสร้างผลลัพธ์ของการทำงานโดยใช้ข้อมูลเงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่ปัดเศษได้ การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเงื่อนไขเริ่มต้นทำให้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างมาก^{[ 3 ]}

แนวคิดที่ว่าสาเหตุเล็กๆ อาจส่งผลกระทบใหญ่หลวงต่อสภาพอากาศนั้นได้รับการยอมรับมาก่อนหน้านี้โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสHenri Poincaréนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวอเมริกันNorbert Wienerก็มีส่วนร่วมในทฤษฎีนี้เช่นกัน งานของ Lorenz ได้วางแนวคิดเรื่องความไม่เสถียรของบรรยากาศโลกไว้บนพื้นฐานเชิงปริมาณ และเชื่อมโยงแนวคิดเรื่องความไม่เสถียรเข้ากับคุณสมบัติของระบบไดนามิกกลุ่มใหญ่ๆ ซึ่งกำลังเกิดพลวัตแบบไม่เชิงเส้นและความโกลาหลแบบกำหนดได้^{[ 4 ]}

แนวคิดเรื่องปรากฏการณ์ผีเสื้อขยับปีกได้ถูกนำไปใช้ในบริบทอื่นนอกเหนือจากวิทยาศาสตร์ด้านสภาพอากาศแล้ว โดยเป็นคำกว้างๆ สำหรับสถานการณ์ใดๆ ก็ตามที่เชื่อกันว่าการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยเป็นสาเหตุของผลกระทบที่ใหญ่กว่า

ในหนังสือ "การเรียกขานของมนุษย์ " (ค.ศ. 1800) โยฮันน์ ก็อตต์ลีบ ฟิชเตกล่าวว่า "คุณไม่สามารถนำเม็ดทรายเพียงเม็ดเดียวออกจากที่เดิมได้โดยไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในทุกส่วนของทั้งหมดที่ไม่อาจวัดได้"

ทฤษฎีความโกลาหลและการพึ่งพาอย่างละเอียดอ่อนต่อเงื่อนไขเริ่มต้นได้รับการอธิบายไว้ในวรรณกรรมหลายรูปแบบ หลักฐานนี้มาจากกรณีของปัญหาวัตถุสามชิ้นโดยปวงกาเรในปี พ.ศ. 2433 ^{[ 5 ]}ต่อมาเขาเสนอว่าปรากฏการณ์ดังกล่าวอาจพบได้ทั่วไป เช่น ในอุตุนิยมวิทยา^{[ 6 ]}

ในปี พ.ศ. 2441 Jacques Hadamardสังเกตเห็นความแตกต่างโดยทั่วไปของวิถีการเคลื่อนที่ในพื้นที่ที่มีความโค้งเป็นลบPierre Duhemได้อภิปรายถึงความสำคัญโดยทั่วไปที่เป็นไปได้ของเรื่องนี้ในปี พ.ศ. 2451 ^{[ 5 ]}

ในปี พ.ศ. 2493 อลัน ทัวริงได้กล่าวไว้ว่า "การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียวเพียงหนึ่งในพันล้านเซนติเมตรในช่วงเวลาหนึ่ง อาจสร้างความแตกต่างระหว่างการที่คนคนหนึ่งถูกหิมะถล่มฆ่าตายในอีกหนึ่งปีต่อมา หรือการที่เขารอดชีวิต" ^{[ 7 ]}

แนวคิดที่ว่าการตายของผีเสื้อตัวหนึ่งอาจส่งผลกระทบเป็นวง กว้าง ต่อเหตุการณ์ทางประวัติศาสตร์ในภายหลังนั้น ปรากฏครั้งแรกในเรื่องสั้น " A Sound of Thunder " ในปี 1952 โดย Ray Bradburyซึ่งนักเดินทางข้ามเวลาได้เปลี่ยนแปลงอนาคตโดยการเหยียบผีเสื้อในอดีตโดยไม่ได้ตั้งใจ^{[ 8 ]}

กล่าวโดยละเอียดแล้ว แนวคิดและถ้อยคำที่เกือบจะเหมือนกันทุกประการ—เกี่ยวกับปีกของแมลงตัวเล็กๆ ที่ส่งผลต่อลมในชั้นบรรยากาศทั้งหมด—นั้น ได้ถูกตีพิมพ์ในหนังสือสำหรับเด็กเล่มหนึ่งซึ่งประสบความสำเร็จและเป็นที่รู้จักไปทั่วโลกในปี 1962 ซึ่งเป็นปีเดียวกับที่ลอเรนซ์ตีพิมพ์ผลงานชิ้นนี้:

"...สิ่งที่เราทำย่อมส่งผลกระทบต่อทุกสิ่งทุกอย่างและทุกคนอื่น แม้เพียงเล็กน้อยก็ตาม เช่น เมื่อแมลงวันตัวหนึ่งกระพือปีก ลมก็พัดไปทั่วโลก" -- เจ้าหญิงแห่งเหตุผลบริสุทธิ์

ในปี พ.ศ. 2504 ลอเรนซ์กำลังรันแบบจำลองคอมพิวเตอร์เชิงตัวเลขเพื่อทำการพยากรณ์อากาศใหม่จากจุดกึ่งกลางของการรันครั้งก่อนโดยใช้วิธีลัด เขาป้อนเงื่อนไขเริ่มต้น 0.506 จากการพิมพ์แทนที่จะป้อนค่าความแม่นยำเต็มที่ 0.506127 ผลลัพธ์ที่ได้คือสถานการณ์สภาพอากาศที่แตกต่างไปโดยสิ้นเชิง^{[ 9 ]}

ลอเรนซ์เขียนว่า:

ณ จุดหนึ่ง ผมตัดสินใจทำการคำนวณซ้ำอีกครั้งเพื่อตรวจสอบสิ่งที่เกิดขึ้นอย่างละเอียดมากขึ้น ผมหยุดคอมพิวเตอร์ พิมพ์ตัวเลขที่มันพิมพ์ออกมาเมื่อสักครู่ แล้วเริ่มการทำงานอีกครั้ง ผมเดินไปหยิบกาแฟที่โถงทางเดินแล้วกลับมาหลังจากนั้นประมาณหนึ่งชั่วโมง ในช่วงเวลานั้น คอมพิวเตอร์ได้จำลองสภาพอากาศประมาณสองเดือน ตัวเลขที่พิมพ์ออกมานั้นไม่เหมือนกับตัวเลขเก่าเลย ผมสงสัยทันทีว่าอาจเป็นหลอดสุญญากาศ เสีย หรือมีปัญหาคอมพิวเตอร์อื่นๆ ซึ่งไม่ใช่เรื่องแปลก แต่ก่อนที่จะโทรเรียกช่างมาซ่อม ผมตัดสินใจตรวจสอบดูว่าความผิดพลาดเกิดขึ้นที่จุดไหน เพราะรู้ว่าวิธีนี้จะช่วยเร่งกระบวนการซ่อมได้ แทนที่จะพบว่าเกิดความผิดพลาดอย่างกะทันหัน ผมพบว่าค่าใหม่ในตอนแรกนั้นเหมือนกับค่าเก่า แต่หลังจากนั้นไม่นานก็แตกต่างกันหนึ่งหน่วย แล้วก็หลายหน่วยในหลักทศนิยมสุดท้าย แล้วก็เริ่มแตกต่างกันในหลักรองสุดท้าย และในหลักก่อนหน้านั้นด้วย อันที่จริง ความแตกต่างนั้นเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าอย่างต่อเนื่องทุกๆ สี่วันหรือประมาณนั้น จนกระทั่งไม่เหมือนกับผลลัพธ์เดิมเลยในเดือนที่สอง แค่นี้ก็เพียงพอที่จะบอกให้ฉันรู้ว่าเกิดอะไรขึ้น: ตัวเลขที่ฉันพิมพ์เข้าไปไม่ใช่ตัวเลขดั้งเดิมที่แท้จริง แต่เป็นค่าที่ปัดเศษแล้วซึ่งปรากฏในเอกสารที่พิมพ์ออกมาครั้งแรก ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษในตอนแรกเป็นต้นเหตุ และมันค่อยๆ ขยายตัวจนกระทั่งครอบงำผลลัพธ์ทั้งหมด

ในปี พ.ศ. 2506 Lorenz ได้ตีพิมพ์งานวิจัยเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับผลกระทบนี้ในบทความสำคัญที่มีการอ้างอิงอย่างกว้างขวางชื่อDeterministic Nonperiodic Flow ^{[ 3 ] [ 11 ]} (การคำนวณดำเนินการบน คอมพิวเตอร์ Royal McBee LGP-30 ) ^{[ 12 ] [ 13 ]}ในที่อื่นเขากล่าวว่า:

นักอุตุนิยมวิทยาคนหนึ่งกล่าวว่า หากทฤษฎีนี้ถูกต้อง การกระพือปีกเพียงครั้งเดียวของ นก นางนวลก็เพียงพอที่จะเปลี่ยนทิศทางของสภาพอากาศไปตลอดกาล ข้อโต้แย้งยังไม่ยุติลง แต่หลักฐานล่าสุดดูเหมือนจะสนับสนุนนกนางนวล^{[ 13 ]}

ตามคำแนะนำจากเพื่อนร่วมงาน ในสุนทรพจน์และบทความในภายหลัง ลอเรนซ์ใช้คำว่า " ผีเสื้อ " ที่ไพเราะกว่า ตามที่ลอเรนซ์กล่าว เมื่อเขาไม่สามารถตั้งชื่อเรื่องสำหรับการบรรยายที่เขาจะนำเสนอในการประชุมครั้งที่ 139 ของสมาคมอเมริกันเพื่อความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ในปี 1972 ฟิลิป เมอริลีส์ได้คิดชื่อเรื่องว่า " การกระพือปีกของผีเสื้อในบราซิลทำให้เกิดพายุทอร์นาโดในเท็กซัสหรือไม่?" ^{[ 1 ]}แม้ว่าการกระพือปีกของผีเสื้อจะยังคงเป็นสิ่งคงที่ในการแสดงออกถึงแนวคิดนี้ แต่ตำแหน่งของผีเสื้อ ผลที่ตามมา และตำแหน่งของผลที่ตามมานั้นแตกต่างกันอย่างมาก^{[ 14 ]}

วลีนี้หมายถึงผลกระทบจากการกระพือปีกของผีเสื้อที่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในชั้นบรรยากาศซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงเส้นทางของพายุทอร์นาโดหรือทำให้การเกิดพายุทอร์นาโดในอีกสถานที่หนึ่งล่าช้า เร็วขึ้น หรือแม้กระทั่งป้องกันการเกิดพายุทอร์นาโดได้ ผีเสื้อไม่ได้เป็นพลังงานหรือสร้างพายุทอร์นาโดโดยตรง แต่คำนี้มีความหมายว่าการกระพือปีกของผีเสื้อสามารถทำให้เกิดพายุทอร์นาโดได้ ในแง่ที่ว่าการกระพือปีกเป็นส่วนหนึ่งของเงื่อนไขเริ่มต้นของเครือข่ายที่ซับซ้อนซึ่งเชื่อมโยงกัน เงื่อนไขชุดหนึ่งนำไปสู่พายุทอร์นาโด ในขณะที่เงื่อนไขอีกชุดหนึ่งไม่ก่อให้เกิด การกระพือปีกสร้างการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเงื่อนไขเริ่มต้นของระบบ ซึ่งส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในวงกว้าง (เปรียบเทียบกับปรากฏการณ์โดมิโน ) หากผีเสื้อไม่กระพือปีกเส้นทางของระบบอาจแตกต่างกันอย่างมาก แต่ก็เป็นไปได้เช่นกันที่เงื่อนไขที่ไม่มีผีเสื้อกระพือปีกจะเป็นเงื่อนไขที่นำไปสู่พายุทอร์นาโด

ปรากฏการณ์ผีเสื้อเป็นความท้าทายที่ชัดเจนต่อการพยากรณ์ เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นของระบบ เช่น สภาพอากาศ ไม่สามารถทราบได้อย่างแม่นยำทั้งหมด ปัญหานี้เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการพัฒนาการพยากรณ์แบบกลุ่มซึ่งมีการพยากรณ์หลายครั้งจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่เปลี่ยนแปลงไป^{[ 15 ]}

นักวิทยาศาสตร์บางคนโต้แย้งว่าระบบสภาพอากาศไม่ไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างที่เคยเชื่อกันมาก่อน^{[ 16 ]}เดวิด ออร์เรลล์โต้แย้งว่าปัจจัยหลักที่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการพยากรณ์อากาศคือข้อผิดพลาดของแบบจำลอง โดยความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นมีบทบาทค่อนข้างน้อย^{[ 17 ] [ 18 ]}สตีเฟน วูลฟรามยังตั้งข้อสังเกตอีกว่าสมการลอเรนซ์นั้นเรียบง่ายมากและไม่มีพจน์ที่แสดงถึงผลกระทบของความหนืด เขาเชื่อว่าพจน์เหล่านี้มีแนวโน้มที่จะลดทอนการรบกวนเล็กน้อย^{[ 19 ]} การศึกษาล่าสุดที่ใช้ แบบจำลองลอเรนซ์แบบทั่วไปที่รวมพจน์การกระจายพลังงานเพิ่มเติมและความไม่เป็นเชิงเส้นชี้ให้เห็นว่าต้องใช้พารามิเตอร์ความร้อนที่มากขึ้นสำหรับการเริ่มต้นของความโกลาหล^{[ 20 ]}

ในขณะที่ "ปรากฏการณ์ผีเสื้อ" มักถูกอธิบายว่ามีความหมายเหมือนกันกับการพึ่งพาเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างละเอียดอ่อนในลักษณะที่ Lorenz อธิบายไว้ในบทความปี 1963 ของเขา (และ Poincaré เคยสังเกตมาก่อน) อุปมาเรื่องผีเสื้อถูกนำมาใช้ครั้งแรก^{[ 1 ]}ในงานที่เขาตีพิมพ์ในปี 1969 ^{[ 21 ]}ซึ่งนำแนวคิดนี้ไปอีกขั้น Lorenz เสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับวิธีที่การเคลื่อนไหวเล็กๆ ในชั้นบรรยากาศขยายขนาดขึ้นเพื่อส่งผลกระทบต่อระบบที่ใหญ่กว่า เขาพบว่าระบบในแบบจำลองนั้นสามารถทำนายได้ถึงจุดหนึ่งในอนาคตเท่านั้น และหลังจากนั้น การลดข้อผิดพลาดในเงื่อนไขเริ่มต้นจะไม่เพิ่มความสามารถในการทำนาย (ตราบใดที่ข้อผิดพลาดไม่เป็นศูนย์) สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าระบบเชิงกำหนดสามารถ "แยกแยะไม่ได้จากการสังเกต" จากระบบที่ไม่ใช่เชิงกำหนดในแง่ของความสามารถในการทำนาย การตรวจสอบบทความนี้อีกครั้งเมื่อเร็วๆ นี้ชี้ให้เห็นว่าบทความนี้ได้เสนอความท้าทายที่สำคัญต่อแนวคิดที่ว่าจักรวาลของเราเป็นแบบเชิงกำหนด เทียบได้กับความท้าทายที่นำเสนอโดยฟิสิกส์ควอนตัม^{[ 22 ] [ 23 ]}

ในหนังสือชื่อThe Essence of Chaosที่ตีพิมพ์ในปี 1993 ^{[ 24 ]} Lorenz ได้นิยามปรากฏการณ์ผีเสื้อว่า: "ปรากฏการณ์ที่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในสถานะของระบบพลวัตจะทำให้สถานะที่ตามมาแตกต่างอย่างมากจากสถานะที่จะเกิดขึ้นหากไม่มีการเปลี่ยนแปลง" คุณลักษณะนี้เหมือนกับการพึ่งพาอย่างไวของคำตอบต่อเงื่อนไขเริ่มต้น (SDIC) ใน^{[ 3 ]}ในหนังสือเล่มเดียวกัน Lorenz ได้ประยุกต์ใช้กิจกรรมการเล่นสกีและพัฒนารูปแบบจำลองการเล่นสกีในอุดมคติเพื่อเปิดเผยความไวของเส้นทางที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาต่อตำแหน่งเริ่มต้น ขอบเขตความสามารถในการทำนายจะถูกกำหนดก่อนการเริ่มต้นของ SDIC ^{[ 25 ]}

ปรากฏการณ์ผีเสื้อในตัวดึงดูดลอเรนซ์
เวลา 0  ≤ t ≤ 30 (มากกว่า)		พิกัดz (ขนาดใหญ่ขึ้น)
ภาพเหล่านี้แสดงส่วนต่างๆ ของวิวัฒนาการสามมิติของวิถีสองเส้น (เส้นหนึ่งสีน้ำเงิน และอีกเส้นหนึ่งสีเหลือง) ในช่วงเวลาเดียวกันในตัวดึงดูดลอเรนซ์ โดยเริ่มต้นจากจุดเริ่มต้นสองจุดที่แตกต่างกันเพียง 10⁻⁵ ในพิกัดxในตอนแรก วิถีทั้งสองดูเหมือนจะทับซ้อนกัน ดังที่แสดงโดยความแตกต่างเล็กน้อยระหว่าง พิกัด zของวิถีสีน้ำเงินและสีเหลือง แต่สำหรับt  >  23 ความแตกต่างจะมีขนาดใหญ่เท่ากับค่าของวิถี ตำแหน่งสุดท้ายของกรวยบ่งชี้ว่าวิถีทั้งสองไม่ทับซ้อนกันอีกต่อไปที่t  =  30
ภาพเคลื่อนไหวของตัวดึงดูดลอเรนซ์แสดงให้เห็นถึงวิวัฒนาการอย่างต่อเนื่อง

การเกิดซ้ำ การที่ระบบกลับคืนสู่สภาวะเริ่มต้นโดยประมาณ ควบคู่กับการพึ่งพาสภาวะเริ่มต้นอย่างละเอียดอ่อน เป็นสององค์ประกอบหลักของการเคลื่อนที่แบบอลวน ผลที่ตามมาในทางปฏิบัติคือ ทำให้ระบบที่ซับซ้อนเช่นสภาพอากาศยากที่จะพยากรณ์ได้เกินช่วงเวลาหนึ่ง (ประมาณหนึ่งสัปดาห์ในกรณีของสภาพอากาศ) เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะวัดสภาวะบรรยากาศเริ่มต้นได้อย่างแม่นยำทั้งหมด

ระบบไดนามิกแสดงการพึ่งพาที่ไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น หากจุดที่อยู่ใกล้กันมากแยกออกจากกันเมื่อเวลาผ่านไปในอัตราเลขชี้กำลัง คำจำกัดความนี้ไม่ใช่เชิงโทโพโลยี แต่โดยพื้นฐานแล้วเป็นเชิงเมตริก Lorenz ^{[ 24 ]}นิยามการพึ่งพาที่ไวต่อเงื่อนไขดังนี้:

คุณสมบัติที่บ่งบอกถึงวงโคจร (เช่น คำตอบ) คือ หากวงโคจรอื่นๆ ส่วนใหญ่ที่ผ่านเข้ามาใกล้ในบางช่วงเวลา ไม่ได้คงอยู่ใกล้กันตลอดเวลาที่ผ่านไป

ถ้าMคือปริภูมิสถานะสำหรับแผนที่${\displaystyle f^{t}}$, แล้ว${\displaystyle f^{t}}$แสดงการพึ่งพาอย่างไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น หากสำหรับ x ใดๆ ในMและ δ  >  0 ใดๆ จะมี y ในMที่มีระยะห่างd (. , .)เช่นนั้น${\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }$และเช่นนั้น

${\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}$

สำหรับพารามิเตอร์บวกa บางตัว คำจำกัดความนี้ไม่จำเป็นต้องให้จุดทั้งหมดจากบริเวณใกล้เคียงแยกออกจากจุดฐานxแต่ต้องมีเลขชี้กำลัง Lyapunov บวกหนึ่งตัว นอกจากเลขชี้กำลัง Lyapunov บวกแล้ว ความมีขอบเขตยังเป็นคุณลักษณะสำคัญอีกประการหนึ่งในระบบอลวน^{[ 26 ]}

กรอบทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดซึ่งแสดงให้เห็นถึงการพึ่งพาอย่างละเอียดอ่อนต่อเงื่อนไขเริ่มต้นนั้น ได้มาจากการกำหนดพารามิเตอร์เฉพาะของแผนที่โลจิสติกส์ :

${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}$

ซึ่งแตกต่างจากแผนที่ความอลหม่านส่วนใหญ่ตรงที่มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิด :

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

โดยที่พารามิเตอร์เงื่อนไขเริ่มต้น${\displaystyle \theta }$ได้รับจาก${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$สำหรับเหตุผล${\displaystyle \theta }$หลังจากจำนวนรอบ ที่จำกัด${\displaystyle x_{n}}$แผนที่เหล่านี้ถูกแปลงเป็นลำดับคาบแต่เกือบทั้งหมด${\displaystyle \theta }$เป็นสิ่งที่ไม่สมเหตุสมผล และสำหรับสิ่งที่ไม่สมเหตุสมผล${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle x_{n}}$ไม่เคยซ้ำกัน – มันไม่เป็นคาบ สมการคำตอบนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงคุณลักษณะสำคัญสองประการของความโกลาหล – การยืดและการพับ: ตัวประกอบ 2n ^แสดงถึงการเติบโตแบบเลขชี้กำลังของการยืด ซึ่งส่งผลให้มีความขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างมาก (ปรากฏการณ์ผีเสื้อ) ในขณะที่ฟังก์ชันไซน์กำลังสองยังคง${\displaystyle x_{n}}$พับภายในช่วง [0,  1]

ปรากฏการณ์ผีเสื้อขยับปีกปรากฏให้เห็นในสื่อต่างๆ มากมาย เช่น วรรณกรรม (ตัวอย่างเช่นA Sound of Thunder ), ภาพยนตร์และโทรทัศน์ (เช่นThe Simpsons ), วิดีโอเกม (เช่นLife Is Strange ), การ์ตูนออนไลน์ (เช่นHomestuck ), การอ้างอิงทางดนตรี (เช่น "Butterfly Effect" โดยTravis Scott ), โมเดลภาษาที่ขยายตัวด้วย AI และอื่นๆ อีกมากมาย

• เจมส์ เกลค , ความโกลาหล: การสร้างวิทยาศาสตร์ใหม่ , นิวยอร์ก: ไวกิ้ง, 1987. 368 หน้า
• Devaney, Robert L. (2003). บทนำสู่ระบบพลวัตอลวน . สำนักพิมพ์ Westview. ISBN 0-670-81178-5.
• Hilborn, Robert C. (2004). "นกนางนวล ผีเสื้อ และตั๊กแตน: ประวัติโดยย่อของปรากฏการณ์ผีเสื้อในพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น" American Journal of Physics . 72 (4): 425– 427. Bibcode : 2004AmJPh..72..425H . doi : 10.1119/1.1636492 .
• แบรดเบอรี, เรย์. "เสียงฟ้าร้อง" คอลลิเออร์ส. 28 มิถุนายน 1952

ลองค้นหาคำว่า "butterfly effect"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• สภาพอากาศและความโกลาหล: ผลงานของเอ็ดเวิร์ด เอ็น. ลอเรนซ์สารคดีสั้นที่อธิบาย "ปรากฏการณ์ผีเสื้อ" ในบริบทของผลงานของลอเรนซ์
• หนังสือเรียนไฮเปอร์เท็กซ์บุ๊คแห่งความโกลาหล : คู่มือเบื้องต้นเกี่ยวกับความโกลาหลและแฟรกทัล
• ดิซิเคส, ปีเตอร์ (8 มิถุนายน 2008). "ความหมายของผีเสื้อ ทำไมวัฒนธรรมป๊อปถึงชื่นชอบ 'ปรากฏการณ์ผีเสื้อ' แต่กลับเข้าใจผิดอย่างสิ้นเชิง"เดอะบอสตันโกลบ บอสตัน รัฐแมสซาชูเซตส์สืบค้นเมื่อ19 มิถุนายน 2022
• สถาบันระบบซับซ้อนแห่งนิวอิงแลนด์ - แนวคิด: ปรากฏการณ์ผีเสื้อ
• ChaosBook.orgตำราเรียนระดับสูงสำหรับนักศึกษาปริญญาโทเกี่ยวกับความโกลาหล (ไม่มีแฟรกทัล)
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ปรากฏการณ์ผีเสื้อ" . MathWorld .