ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

Q: ประวัติศาสตร์

คำคุณศัพท์ Cartesian หมายถึง นักคณิตศาสตร์ และ นักปรัชญา ชาวฝรั่งเศส เรเน่ เดส์การ์ต ผู้เผยแพร่แนวคิดนี้ในปี ค.ศ.

Q: มิติเดียว

เส้นตรงเชิงเส้นตรง ที่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่เลือกไว้ เรียกว่า เส้นจำนวน ทุกจุดบนเส้นจำนวนจะมีพิกัดเป็นจำนวนจริง และทุกจำนวนจริงจะแทนจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นจำนวนนั้น

ภาพประกอบแสดงระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน จุดสี่จุดถูกทำเครื่องหมายและระบุพิกัดไว้ ได้แก่(2, 3)ด้วยสีเขียว(−3, 1)ด้วยสีแดง(−1.5, −2.5)ด้วยสีน้ำเงิน และจุดกำเนิด(0, 0)ด้วยสีม่วง

ในทางเรขาคณิตระบบพิกัดคาร์ทีเซียน(UK: /kɑːrˈtiːzjən / , US : / kɑːrˈtiːʒən / )ในระนาบคือระบบพิกัดที่ระบุแต่ละจุดได้อย่างเฉพาะเจาะจงด้วยคู่ของจำนวนจริงที่เรียกว่าพิกัดซึ่งเป็น ระยะทาง ที่มีเครื่องหมายไปยังจุดนั้นจากเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกันและวางตัวในแนวเดียวกันเรียกว่าเส้นพิกัด แกนพิกัดหรือเพียงแค่แกน (พหูพจน์ของaxis ) ของระบบ จุดที่แกนทั้งสองตัดกันเรียกว่าจุดกำเนิดและมี พิกัดเป็น $(0, 0)$ ทิศทางของแกนแสดงถึงฐานตั้งฉาก การรวมกันของจุดกำเนิดและฐานตั้งฉากก่อให้เกิดกรอบพิกัดที่เรียกว่ากรอบคาร์ทีเซียน

ในทำนองเดียวกัน ตำแหน่งของจุดใดๆ ในปริภูมิสามมิติสามารถระบุได้ด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน สาม พิกัด ซึ่งเป็นระยะทางที่มีเครื่องหมายจากจุดนั้นไปยังระนาบสามระนาบที่ตั้งฉากกัน โดยทั่วไปแล้ว พิกัดคาร์ทีเซียน $n$ พิกัดจะระบุจุดในปริภูมิยูคลิด $n$ มิติสำหรับมิติ $n$ ใดๆ พิกัดเหล่านี้เป็นระยะทางที่มีเครื่องหมายจากจุดนั้นไปยังระนาบ ไฮเปอร์ $n$ ระนาบ ที่ตั้ง ฉากกันและคงที่

^{ระบบพิกัดคาร์ที เซียน}ที่มีวงกลมรัศมี 2 จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดซึ่งทำเครื่องหมายด้วยสีแดง สมการของวงกลมคือ( x − a ) ^² + ( y − b ) ^² = r²โดยที่aและbคือพิกัดของจุดศูนย์กลาง( a , b )และrคือรัศมี

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามเรเน่ เดส์การ์ตผู้คิดค้นระบบนี้ในศตวรรษที่ 17 ซึ่งปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์โดยทำให้สามารถแสดงปัญหาทางเรขาคณิตในรูปของพีชคณิตและแคลคูลัสได้ โดยใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รูปทรงเรขาคณิต (เช่นเส้นโค้ง ) สามารถอธิบายได้ด้วย $สม$ การที่เกี่ยวข้องกับพิกัดของจุดต่างๆ บนรูปทรงนั้น ตัวอย่างเช่นวงกลมรัศมี 2 ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระนาบ อาจอธิบายได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่มีพิกัด $x$ และ $y$ ที่สอดคล้องกับสมการ x² + y² = 4 พื้นที่ เส้นรอบวง และเส้นสัมผัสที่ $จุด ใด ๆ สามารถ$ คำนวณได้จากสมการนี้โดยใช้ปริพันธ์และอนุพันธ์ในลักษณะที่สามารถนำไปใช้กับเส้นโค้งใดๆ $ก็ได้$

พิกัดคาร์ทีเซียนเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์และให้การตีความทางเรขาคณิตที่กระจ่างแจ้งสำหรับสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย เช่นพีชคณิตเชิงเส้นการวิเคราะห์เชิงซ้อน เรขาคณิตเชิง อนุพันธ์ แคลคูลัสหลายตัวแปรทฤษฎีกลุ่มและอื่นๆ ตัวอย่างที่คุ้นเคยคือแนวคิดของกราฟของฟังก์ชันพิกัดคาร์ทีเซียนยังเป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับสาขาวิชาประยุกต์ส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต รวมถึงดาราศาสตร์ฟิสิกส์วิศวกรรมและอื่นๆ อีกมากมาย พวกมันเป็นระบบพิกัดที่ใช้กันมากที่สุดในกราฟิกคอมพิวเตอร์ การออกแบบทางเรขาคณิต โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยและการประมวลผลข้อมูลอื่นๆที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต

ประวัติศาสตร์

คำคุณศัพท์Cartesianหมายถึงนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญา ชาวฝรั่งเศส เรเน่ เดส์การ์ตผู้เผยแพร่แนวคิดนี้ในปี ค.ศ. 1637 ขณะที่เขาพำนักอยู่ในเนเธอร์แลนด์ แนวคิดนี้ได้รับการค้นพบโดยอิสระโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ซึ่งทำงานในสามมิติเช่นกัน แม้ว่าแฟร์มาต์จะไม่ได้เผยแพร่การค้นพบนี้ ก็ตาม ^{[ 1 ]}นักบวชหญิงชาวฝรั่งเศสนิโคล โอเรสเมใช้โครงสร้างที่คล้ายกับพิกัดคาร์ทีเซียนมานานก่อนยุคของเดส์การ์ตและแฟร์มาต์^{[ 2 ]}

ทั้งเดส์การ์ตและแฟร์มาต์ใช้แกนเดียวในการพิจารณา และมีความยาวแปรผันที่วัดโดยอ้างอิงจากแกนนี้^{[ 3 ]}แนวคิดการใช้แกนคู่ได้รับการนำเสนอในภายหลัง หลังจากที่หนังสือเรขาคณิต ของเดส์การ์ต ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในปี 1649 โดยฟรานส์ ฟาน สคูเทนและลูกศิษย์ของเขา ผู้วิจารณ์เหล่านี้ได้นำเสนอแนวคิดหลายประการในขณะที่พยายามชี้แจงความคิดที่อยู่ในงานของเดส์การ์ต^{[ 4 ]}

การพัฒนาระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสโดยไอแซค นิวตันและก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ [ ^{5 ] คำ}อธิบายระนาบแบบสองพิกัดได้รับการขยายความในภายหลังเป็นแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์^{[ 6 ]}

นับตั้งแต่สมัยของเดส์การ์ต ได้มีการพัฒนาระบบพิกัดอื่นๆ อีกมากมาย เช่นพิกัดเชิงขั้วสำหรับระนาบ และ พิกัด ทรงกลมและทรงกระบอกสำหรับพื้นที่สามมิติ

คำอธิบาย

มิติเดียว

เส้นตรงเชิงเส้นตรงที่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่เลือกไว้ เรียกว่าเส้นจำนวนทุกจุดบนเส้นจำนวนจะมีพิกัดเป็นจำนวนจริง และทุกจำนวนจริงจะแทนจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นจำนวนนั้น

ในการเลือกใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับเส้นตรงนั้น มีอิสระสองระดับซึ่งสามารถระบุได้โดยการเลือกจุดสองจุดที่แตกต่างกันตามแนวเส้นตรง และกำหนดให้จุดเหล่านั้นมีค่าเป็นจำนวนจริง สองจำนวนที่แตกต่างกัน (โดยทั่วไปคือศูนย์และหนึ่ง) จากนั้นสามารถกำหนดตัวเลขให้กับจุดอื่นๆ ได้อย่างเฉพาะเจาะจงโดยการประมาณค่าเชิงเส้น หรืออีกนัยหนึ่ง สามารถกำหนดจุดหนึ่งให้มีค่าเป็นจำนวนจริงเฉพาะ เช่น จุด กำเนิดที่สอดคล้องกับศูนย์ และ สามารถเลือกความยาวตามแนวเส้น ตรงเป็นหน่วยได้ โดยทิศทางจะบ่งบอกถึงความสอดคล้องระหว่างทิศทางตามแนวเส้นตรงและจำนวนบวกหรือลบ^{[ a ]}แต่ละจุดจะสอดคล้องกับระยะทางที่มีเครื่องหมายจากจุดกำเนิด (จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับระยะทางและ เครื่องหมาย $+$ หรือ $-$ ที่เลือกตามทิศทาง)

การแปลงทางเรขาคณิตของเส้นตรงสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันของตัวแปรจริงตัวอย่างเช่นการเลื่อนเส้นตรงสอดคล้องกับการบวก และการปรับขนาดเส้นตรงสอดคล้องกับการคูณ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองระบบใดๆ บนเส้นตรงสามารถเชื่อมโยงกันได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้น (ฟังก์ชันในรูปแบบ ) $x\mapsto ax+b$ การแปลงพิกัดของจุดเฉพาะในระบบหนึ่งไปยังพิกัดของจุดนั้นในอีกระบบหนึ่ง การเลือกใช้ระบบพิกัดสำหรับเส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกัน จะสร้างแผนที่เชิงเส้นจากเส้นตรงหนึ่งไปยังอีกเส้นตรงหนึ่ง โดยแปลงแต่ละจุดบนเส้นตรงหนึ่งไปยังจุดบนเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งที่มีพิกัดเดียวกัน

สองมิติ

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในสองมิติ (เรียกอีกอย่างว่าระบบพิกัดสี่เหลี่ยมหรือระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตั้งฉาก^{[ 7 ]} ) ถูกกำหนดโดยคู่ของ เส้น ตั้งฉาก (แกน) ที่เรียงลำดับกัน หน่วยความยาวเดียวสำหรับทั้งสองแกน และการวางแนวสำหรับแต่ละแกน จุดที่แกนทั้งสองตัดกันถือเป็นจุดกำเนิดสำหรับทั้งสองแกน ทำให้แต่ละแกนกลายเป็นเส้นจำนวนสำหรับจุดP ใดๆ เส้นตรงจะถูกลากผ่านPตั้งฉากกับแต่ละแกน และตำแหน่งที่เส้นตรงนั้นตัดกับแกนจะถูกตีความว่าเป็นตัวเลข ตัวเลขสองตัวนั้น ตามลำดับที่เลือกไว้ จะเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของPการสร้างแบบย้อนกลับทำให้สามารถกำหนดจุดP ได้ เมื่อกำหนดพิกัดของมัน

พิกัดแรกและพิกัดที่สองเรียกว่าแกน abscissaและแกน ordinateของPตามลำดับ และจุดที่แกนทั้งสองตัดกันเรียกว่าจุดกำเนิดของระบบพิกัด โดยปกติพิกัดจะเขียนเป็นตัวเลขสองตัวในวงเล็บ เรียงตามลำดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น(3, −10.5)ดังนั้น จุดกำเนิดจึงมีพิกัด(0, 0)และจุดบนแกนครึ่งบวกที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิด 1 หน่วย จะมีพิกัด(1, 0)และ(0, 1 )

ในคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์ แกนแรกมักถูกกำหนดหรือแสดงเป็นแนวนอนและวางแนวไปทางขวา ส่วนแกนที่สองเป็นแนวตั้งและวางแนวขึ้นด้านบน (อย่างไรก็ตาม ใน บริบทของ กราฟิกคอมพิวเตอร์ บางอย่าง แกนตั้งอาจวางแนวลงด้านล่าง) จุดกำเนิดมักใช้สัญลักษณ์Oและพิกัดทั้งสองมักใช้ตัวอักษรXและYหรือxและy แทน แกนเหล่านี้จึงอาจเรียกว่า แกน Xและ แกน Yการเลือกใช้ตัวอักษรมาจากธรรมเนียมดั้งเดิม ซึ่งใช้ตัวอักษรส่วนหลังเพื่อระบุค่าที่ไม่ทราบค่า ส่วนตัวอักษรส่วนแรกใช้เพื่อระบุค่าที่ทราบค่า

ระนาบยุคลิดที่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่เลือกไว้เรียกว่าระนาบคาร์ทีเซียนในระนาบคาร์ทีเซียน เราสามารถกำหนดตัวแทนมาตรฐานของรูปทรงเรขาคณิตบางรูปได้ เช่นวงกลมหนึ่งหน่วย(รัศมีเท่ากับความยาวหนึ่งหน่วย และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด)สี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วย(เส้นทแยงมุมมีจุดปลายอยู่ที่(0, 0)และ(1, 1))ไฮเปอร์โบลาหนึ่งหน่วยและอื่นๆ

แกนทั้งสองแบ่งระนาบออกเป็นสี่มุมฉากเรียกว่าควาดรันต์ ควาดรันต์อาจมีชื่อหรือหมายเลขกำกับได้หลายวิธี แต่โดยทั่วไปแล้ว ควาดรันต์ที่พิกัดทั้งหมดเป็นบวกจะเรียกว่า ค วาดรันต์ที่หนึ่ง

ถ้าพิกัดของจุดคือ( x , y ) ระยะห่างจาก แกน Xและ แกน Yจะเป็น| y |และ| x |ตามลำดับ โดยที่| · |หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของจำนวน

สามมิติ

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับปริภูมิสามมิติประกอบด้วยชุดเส้นตรงสามเส้นเรียงลำดับ ( แกน ) ที่ผ่านจุดร่วมเดียวกัน (จุดกำเนิด ) และตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ นอกจากนี้ยังมีการกำหนดทิศทางให้กับแต่ละแกน และกำหนดหน่วยความยาวเดียวให้กับทั้งสามแกน เช่นเดียวกับในกรณีสองมิติ แต่ละแกนจะกลายเป็นเส้นจำนวน สำหรับจุดP ใดๆ ในปริภูมิ เราจะพิจารณาระนาบที่ผ่านจุดPซึ่งตั้งฉากกับแต่ละแกนพิกัด และตีความจุดที่ระนาบนั้นตัดกับแกนว่าเป็นจำนวน พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดPคือจำนวนทั้งสามนั้น ตามลำดับที่เลือก การสร้างในทางกลับกันจะกำหนดจุดPจากพิกัดทั้งสามของจุดนั้น

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถกำหนดพิกัดแต่ละจุดของจุดP เป็นระยะทางจากจุด Pไปยังระนาบที่กำหนดโดยแกนอีกสองแกน โดยเครื่องหมายจะถูกกำหนดโดยทิศทางของแกนที่เกี่ยวข้อง

แกนแต่ละคู่กำหนดระนาบพิกัด ระนาบเหล่านี้แบ่งพื้นที่ออกเป็นแปดส่วน ส่วนแปดส่วนนั้นได้แก่:

${\begin{aligned}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&(+x,-y,+z)&&(+x,+y,-z)\\(+x,-y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{aligned}}$

โดยปกติพิกัดจะเขียนเป็นตัวเลขสามตัว (หรือสูตรพีชคณิต) ล้อมรอบด้วยวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น $(3, -2.5, 1)$ หรือ $(t, u + v, π /2)$ ดังนั้น จุดกำเนิดจึงมีพิกัด $(0, 0, 0)$ และจุดหน่วยบนแกนทั้งสามคือ $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ และ $(0, 0, 1$ )

ชื่อมาตรฐานสำหรับพิกัดในแกนทั้งสามคือabscissa , ordinateและapplicate [ ⁸^]พิกัดมักจะแสดงด้วยตัวอักษรx , yและz แกน ^{เหล่า}นี้อาจถูกเรียกว่า แกน x , แกน yและ แกน zตามลำดับ จากนั้นระนาบพิกัดอาจถูกเรียกว่า ระนาบ xy , ระนาบ yzและระนาบxz

ในบริบทของคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรม แกนสองแกนแรกมักถูกกำหนดหรือแสดงเป็นแนวนอน โดยมีแกนที่สามชี้ขึ้น ในกรณีนั้น พิกัดที่สามอาจเรียกว่าความสูงหรือระดับความสูงการวางแนวนี้มักเลือกให้มุม 90 องศาจากแกนแรกไปยังแกนที่สองดูเหมือนทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากจุด $(0, 0, 1)$ ซึ่งเป็นธรรมเนียมที่เรียกกันทั่วไปว่ากฎมือขวา

มิติที่สูงกว่า

เนื่องจากพิกัดคาร์ทีเซียนมีเอกลักษณ์และไม่กำกวม จุดต่างๆ บนระนาบคาร์ทีเซียนจึงสามารถระบุได้ด้วยคู่ของจำนวนจริงกล่าวคือ ด้วยผลคูณคาร์ทีเซียน $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ , ที่ไหน $\mathbb {R}$ คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ในทำนองเดียวกัน จุดต่างๆ ในปริภูมิยุคลิดมิติn ใดๆ สามารถระบุได้ด้วยทูเปิล (รายการ) ของ จำนวนจริง nตัว นั่นคือ ด้วยผลคูณคาร์ทีเซียน $\mathbb {R} ^{n}$ .

การสรุปโดยทั่วไป

แนวคิดของพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถขยายให้ครอบคลุมถึงแกนที่ไม่ตั้งฉากกัน และ/หรือหน่วยที่แตกต่างกันตามแต่ละแกน ในกรณีนั้น พิกัดแต่ละค่าได้มาจากการฉายจุดลงบนแกนหนึ่งตามทิศทางที่ขนานกับแกนอื่น (หรือโดยทั่วไปแล้ว ขนานกับระนาบที่กำหนดโดยแกนอื่นๆ ทั้งหมด) ในระบบพิกัดเฉียง เช่นนี้ การคำนวณระยะทางและมุมจะต้องได้รับการปรับเปลี่ยนจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมาตรฐาน และสูตรมาตรฐานหลายสูตร (เช่น สูตรพีทาโกเรียนสำหรับระยะทาง) จะใช้ไม่ได้ (ดูระนาบเชิงเส้น )

สัญลักษณ์และธรรมเนียมปฏิบัติ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดมักเขียนไว้ในวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น(10, 5)หรือ(3, 5, 7)จุดกำเนิดมักใช้ตัวอักษรO ตัวใหญ่กำกับ ในเรขาคณิตวิเคราะห์ พิกัดที่ไม่ทราบค่าหรือพิกัดทั่วไปมักใช้ตัวอักษร ( x , y ) ในระนาบ และ ( x , y , z ) ในปริภูมิสามมิติ ธรรมเนียมนี้มาจากธรรมเนียมในพีชคณิต ซึ่งใช้ตัวอักษรที่อยู่ใกล้ท้ายตัวอักษรสำหรับค่าที่ไม่ทราบค่า (เช่น พิกัดของจุดในปัญหาทางเรขาคณิตหลายๆ ข้อ) และตัวอักษรที่อยู่ใกล้ต้นตัวอักษรสำหรับปริมาณที่กำหนด

ชื่อเรียกทั่วไปเหล่านี้มักถูกนำไปใช้ในสาขาอื่นๆ เช่น ฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ แม้ว่าอาจจะใช้ตัวอักษรอื่นๆ ก็ได้ ตัวอย่างเช่น ในกราฟที่แสดง การเปลี่ยนแปลงของ ความดันตามเวลาพิกัดของกราฟอาจใช้สัญลักษณ์pและtแต่ละแกนโดยทั่วไปจะตั้งชื่อตามพิกัดที่วัดตามแนวแกนนั้น ดังนั้นจึงเรียกว่าแกน x แกน y แกน t เป็นต้น

อีกหนึ่งธรรมเนียมปฏิบัติทั่วไปในการตั้งชื่อพิกัดคือการใช้ดัชนี เช่น ( x₁ x₂ ..., xₙ สำหรับพิกัดทั้งnตัวใน ปริภูมิ n มิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อnมากกว่า 3 หรือไม่ได้ระบุไว้ บางผู้เขียนอาจนิยมใช้การกำหนดหมายเลขแบบ ( x₀ x₁ , ..., xₙ⁻¹ ) สัญกรณ์เหล่านี้มีข้อดีอย่างยิ่งในเขียนโปรแกรม คอมพิวเตอร์จุดเป็นอาร์เรย์แทนที่จะเป็นเรคอร์ดดัชนีสามารถใช้เพื่ออ้างอิงพิกัดได้

ในการแสดงภาพทางคณิตศาสตร์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ พิกัดแรก (โดยทั่วไปเรียกว่าแกน abscissa ) จะวัดตาม แกนแนว นอนโดยวางแนวจากซ้ายไปขวา ส่วนพิกัดที่สอง (แกนordinate ) จะวัดตาม แกนแนว ตั้งโดยปกติจะวางแนวจากล่างขึ้นบน เด็กเล็กที่เรียนรู้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมักจะเรียนรู้ลำดับการอ่านค่าก่อนที่จะทำความเข้าใจ แนวคิดแกน x , yและzโดยเริ่มจากวิธีการจำแบบสองมิติ (ตัวอย่างเช่น 'เดินไปตามทางเดินแล้วขึ้นบันได' ซึ่งคล้ายกับการเดินตรงไปตาม แกน xแล้วขึ้นไปตาม แกน y ในแนวตั้ง )

อย่างไรก็ตาม กราฟิกคอมพิวเตอร์และการประมวลผลภาพมักใช้ระบบพิกัดที่มี แกน yชี้ลงด้านล่างบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ ธรรมเนียมนี้พัฒนาขึ้นในช่วงทศวรรษ 1960 (หรือก่อนหน้านั้น) จากวิธีการจัดเก็บภาพในบัฟเฟอร์แสดงผล ในยุค แรก เริ่ม

สำหรับระบบสามมิติ ธรรมเนียมปฏิบัติคือการแสดง ระนาบ xyในแนวนอน โดย เพิ่มแกน zเพื่อแสดงความสูง (บวกขึ้นด้านบน) นอกจากนี้ ยังมีธรรมเนียมปฏิบัติในการวางแนว แกน xไปทางผู้ดู โดยเอียงไปทางขวาหรือซ้าย หากแผนภาพ ( การฉายภาพสามมิติหรือภาพวาดทัศนียภาพสองมิติ ) แสดง แกน xและyในแนวนอนและแนวตั้งตามลำดับ แกน zควรแสดงให้ชี้ "ออกนอกหน้ากระดาษ" ไปทางผู้ดูหรือกล้อง ในแผนภาพสองมิติของระบบพิกัดสามมิติ แกนzจะปรากฏเป็นเส้นหรือรังสีที่ชี้ลงและไปทางซ้ายหรือลงและไปทางขวา ขึ้นอยู่กับมุมมอง ของผู้ดูหรือกล้องที่คาดการณ์ไว้ ในแผนภาพหรือการแสดงผลใดๆ การวางแนวของแกนทั้งสามโดยรวมนั้นเป็นไปโดยพลการ อย่างไรก็ตาม การวางแนวของแกนสัมพันธ์กันควรเป็นไปตามกฎมือขวา เสมอ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นโดยเฉพาะ กฎทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ทั้งหมดถือว่ามีความเป็นมือขวาซึ่งช่วยให้เกิดความสอดคล้องกัน

สำหรับแผนภาพ 3 มิติ ชื่อ "abscissa" และ "ordinate" แทบจะไม่ถูกใช้สำหรับxและyตามลำดับ เมื่อมีการ เรียกใช้ พิกัด zบางครั้งเรียกว่าapplicateคำว่าabscissa , ordinateและapplicateบางครั้งใช้เพื่ออ้างถึงแกนพิกัดแทนที่จะเป็นค่าพิกัด^{[ 7 ]}

ควอดแรนต์และอ็อกแทนต์

แกนของระบบคาร์ทีเซียนสองมิติแบ่งระนาบออกเป็นสี่บริเวณอนันต์ เรียกว่าควอดแรนต์ [ ^{7 ] แต่ละ}ควอดแรนต์ถูกล้อมรอบด้วยแกนครึ่งสองแกน โดยทั่วไปจะกำหนดหมายเลขตั้งแต่ที่ 1 ถึงที่ 4 และใช้เลขโรมัน แทน : I (พิกัดทั้งสองมีเครื่องหมายบวก), II (แกน abscissa เป็นลบ − และแกน ordinate เป็นบวก +), III (ทั้งแกน abscissa และแกน ordinate เป็นลบ −) และ IV (แกน abscissa เป็นบวก แกน ordinate เป็นลบ −) เมื่อวาดแกนตามธรรมเนียมทางคณิตศาสตร์ การกำหนดหมายเลขจะทวนเข็มนาฬิกาโดยเริ่มจากควอดแรนต์บนขวา ("ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ")

ในทำนองเดียวกัน ระบบคาร์ทีเซียนสามมิติจะกำหนดการแบ่งพื้นที่ออกเป็นแปดภูมิภาคหรืออ็อกแทนต์^{[ 7 ]}ตามเครื่องหมายของพิกัดของจุด ข้อกำหนดที่ใช้ในการตั้งชื่ออ็อกแทนต์เฉพาะคือการระบุเครื่องหมาย เช่น(+ + +)หรือ(− + −)การขยายแนวคิดของควอดแรนต์และอ็อกแทนต์ไปยังจำนวนมิติใดๆ เรียกว่าออร์แธนต์และระบบการตั้งชื่อที่คล้ายกันก็ใช้ได้เช่นกัน

สูตรคาร์ทีเซียนสำหรับระนาบ

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

ระยะทางแบบยุคลิดระหว่างสองจุดบนระนาบที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน $(x_{1},y_{1})$ และ $(x_{2},y_{2})$ เป็น

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$

นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ในปริภูมิสามมิติ ระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ $(x_{1},y_{1},z_{1})$ และ $(x_{2},y_{2},z_{2})$ เป็น

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$

ซึ่งสามารถหาได้จากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสองครั้งติดต่อกัน^{[ 9 ]}

การแปลงแบบยุคลิด

การแปลงแบบยุคลิดหรือการเคลื่อนที่แบบยุคลิดคือการแมปจุดบนระนาบยุคลิด ไปยังจุดเหล่านั้นเอง ( แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ) ซึ่งรักษาระยะห่างระหว่างจุดไว้ มีการแมปสี่ประเภท (เรียกอีกอย่างว่าไอโซเมตรี) ได้แก่การเลื่อน การหมุน การสะท้อนและการสะท้อนแบบเลื่อน^[¹⁰^]

การแปล

การเลื่อนจุดชุดหนึ่งบนระนาบ โดยคงระยะทางและทิศทางระหว่างจุดเหล่านั้นไว้ จะเทียบเท่ากับการเพิ่มค่าคงที่คู่หนึ่ง( a , b )ให้กับพิกัดคาร์ทีเซียนของทุกจุดในชุดนั้น กล่าวคือ ถ้าพิกัดเดิมของจุดหนึ่งคือ( x , y )หลังจากเลื่อนแล้ว พิกัดเหล่านั้นจะเป็น (x , y)

$(x',y')=(x+a,y+b).$

การหมุน

การหมุนรูปทรงทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิด ด้วยมุมที่กำหนด $\theta$ เทียบเท่ากับการแทนที่ทุกจุดที่มีพิกัด ( x , y ) ด้วยจุดที่มีพิกัด ( x ' , y ' ) โดยที่

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}$

ดังนั้น:

$(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).$

การสะท้อนความคิด

ถ้า( x , y )คือพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดหนึ่งแล้ว( −x , y )คือพิกัดของการสะท้อน ของจุดนั้น ข้ามแกนพิกัดที่สอง (แกน y) ราวกับว่าเส้นนั้นเป็นกระจก ในทำนองเดียวกัน( x , −y )คือพิกัดของการสะท้อนของจุดนั้นข้ามแกนพิกัดแรก (แกน x) โดยทั่วไปแล้ว การสะท้อนข้ามเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดและทำมุมกัน $\theta$ เมื่อพิจารณาตามแกน x จะเทียบเท่ากับการแทนที่ทุกจุดที่มีพิกัด( x , y )ด้วยจุดที่มีพิกัด( x ′, y ′)โดยที่

${\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}$

ดังนั้น: $(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).$

การสะท้อนแบบเลื่อน

การสะท้อนแบบเลื่อน (Glide reflection) คือการรวมกันของการสะท้อนข้ามเส้นตรง ตามด้วยการเลื่อนในทิศทางของเส้นตรงนั้น จะเห็นได้ว่าลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ไม่สำคัญ (การเลื่อนอาจมาก่อน ตามด้วยการสะท้อน)

รูปแบบเมทริกซ์ทั่วไปของการแปลง

การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟินทั้งหมดของระนาบสามารถอธิบายได้ในรูปแบบเดียวกันโดยใช้เมทริกซ์ เพื่อจุดประสงค์นี้ พิกัด $(x,y)$ โดยทั่วไปแล้ว ค่าของจุดหนึ่งๆ จะถูกแสดงด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$ ผลลัพธ์ $(x',y')$ ของการประยุกต์ใช้การแปลงเชิงเส้นกับจุดหนึ่ง $(x,y)$ กำหนดโดยสูตร ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+b,$ ที่ไหน $A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{pmatrix}}$ เป็นเมทริกซ์ขนาด 2×2 และ $b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$ เป็นเมทริกซ์คอลัมน์^{[ 11 ]}นั่นคือ ${\begin{aligned}x'&=xA_{1,1}+yA_{1,1}+b_{1}\\y'&=xA_{2,1}+yA_{2,2}+b_{2}.\end{aligned}}$

ในบรรดาการแปลงเชิงเส้นตรงการแปลงแบบยุคลิดมีลักษณะเฉพาะคือเมทริกซ์ $A$ เป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก กล่าวคือ คอลัมน์ของเมทริกซ์นี้เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากที่มีขนาดบรรทัดฐานแบบยุคลิดเท่ากับหนึ่ง หรือกล่าวอย่างชัดเจนคือ $A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0$ และ $A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.$

นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่า $A$ คูณกับทรานสโพส ของมัน คือเมทริกซ์เอกลักษณ์หากเงื่อนไขเหล่านี้ไม่เป็นจริง สูตรนี้จะอธิบายถึงการแปลงเชิงเส้นแบบทั่วไป มากกว่า

การแปลงจะเป็นการเลื่อนตำแหน่งก็ต่อเมื่อ $A$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การแปลงจะเป็นการหมุนรอบจุดใดจุดหนึ่งก็ต่อเมื่อ $A$ เป็นเมทริกซ์การหมุนซึ่งหมายความว่ามันเป็นเมทริกซ์ตั้งฉากและ $A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=1.$

การสะท้อนหรือการสะท้อนแบบเลื่อนจะเกิดขึ้นเมื่อ $A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.$

โดยสมมติว่าไม่ได้ใช้การแปล (นั่นคือ $b_{1}=b_{2}=0$ การแปลงสามารถประกอบขึ้นได้โดยการคูณเมทริกซ์การแปลงที่เกี่ยวข้องเข้าด้วยกัน ในกรณีทั่วไป การใช้เมทริกซ์เสริมของการแปลงจะเป็นประโยชน์ กล่าวคือ การเขียนสูตรการแปลงใหม่ ${\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}=A'{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}},$ ที่ไหน $A'={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&b_{1}\\A_{2,1}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}.$ ด้วยเทคนิคนี้ การประกอบการแปลงเชิงเส้นตรงจะเกิดขึ้นได้โดยการคูณเมทริกซ์เสริม

การแปลงเชิงเส้น

การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟินของระนาบยูคลิดคือการแปลงที่แมปเส้นตรงไปยังเส้นตรง แต่ระยะทางและมุมอาจเปลี่ยนแปลงได้ ดังที่กล่าวไว้ในหัวข้อก่อนหน้านี้ การแปลงเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์เสริม: ${\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.$

การแปลงแบบยุคลิดเป็นการแปลงเชิงเส้นตรง โดยที่เมทริกซ์ 2×2 ของ $A_{i,j}$ เป็นมุมฉาก

เมทริกซ์เสริมที่แสดงถึงการประกอบกันของการแปลงเชิงเส้นสองแบบ ได้มาจากการคูณเมทริกซ์เสริมของการแปลงทั้งสองแบบเข้าด้วยกัน

การแปลงเชิงเส้นบางประเภทที่ไม่ใช่การแปลงแบบยุคลิดได้รับชื่อเฉพาะ

การปรับขนาด

ตัวอย่างของการแปลงเชิงเส้นที่ไม่ใช่แบบยุคลิดคือการปรับขนาด การทำให้รูปมีขนาดใหญ่ขึ้นหรือเล็ลงเทียบเท่ากับการคูณพิกัดคาร์ทีเซียนของทุกจุดด้วยจำนวนบวกเดียวกันmถ้า( x , y )คือพิกัดของจุดบนรูปเดิม จุดที่สอดคล้องกันบนรูปที่ปรับขนาดแล้วจะมีพิกัดเป็น

$(x',y')=(mx,my).$

ถ้าmมากกว่า 1 รูปทรงจะใหญ่ขึ้น ถ้าmอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 รูปทรงจะเล็ลง

การเฉือน

การแปลงแบบเฉือนจะผลักส่วนบนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปด้านข้างเพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานการเฉือนในแนวนอนนิยามได้ดังนี้:

$(x',y')=(x+ys,y)$

การตัดเฉือนยังสามารถใช้ในแนวตั้งได้อีกด้วย:

$(x',y')=(x,xs+y)$

การวางแนวและการถนัดมือ

ในสองมิติ

การกำหนดหรือเลือก แกน xจะกำหนด แกน y ได้ จนถึงทิศทาง กล่าวคือ แกน yจะต้องเป็นเส้นตั้งฉากกับ แกน xผ่านจุดที่ทำเครื่องหมาย 0 บน แกน xแต่สามารถเลือกได้ว่าจะกำหนดให้ครึ่งเส้นใดของเส้นตั้งฉากเป็นบวกและครึ่งเส้นใดเป็นลบ การเลือกทั้งสองแบบนี้จะกำหนดทิศทางที่แตกต่างกัน (หรือเรียกว่าความเป็นมือซ้ายหรือมือขวา ) ของระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน

โดยทั่วไปแล้ว วิธีการวางแนวระนาบแบบหนึ่ง ซึ่งให้แกนxบวกชี้ไปทางขวา และ แกน yบวกชี้ขึ้น (โดย แกน xเป็นแกน "แรก" และ แกน yเป็นแกน "ที่สอง") ถือเป็นการ วางแนว แบบบวกหรือแบบมาตรฐานหรือเรียกอีกอย่างว่าการวางแนวแบบมือขวา

วิธีช่วยจำที่นิยมใช้ในการกำหนดทิศทางบวกคือกฎมือขวาโดยวางมือขวาที่ปิดสนิทเล็กน้อยลงบนระนาบ โดยให้นิ้วหัวแม่มือชี้ขึ้น นิ้วอื่นๆ จะชี้จาก แกน xไปยัง แกน yในระบบพิกัดที่มีทิศทางบวก

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดทิศทางของระนาบคือการปฏิบัติตามกฎมือซ้ายโดยวางมือซ้ายลงบนระนาบโดยให้นิ้วโป้งชี้ขึ้น

เมื่อชี้หัวแม่มือออกจากจุดกำเนิดไปตามแกนในทิศทางบวก ความโค้งของนิ้วมือจะบ่งชี้ถึงการหมุนในทิศทางบวกตามแกนนั้น

ไม่ว่าเราจะใช้กฎใดในการกำหนดทิศทางของระนาบ การหมุนระบบพิกัดจะรักษาทิศทางเดิมไว้ การสลับแกนใดแกนหนึ่งจะทำให้ทิศทางกลับด้าน แต่การสลับทั้งสองแกนจะทำให้ทิศทางไม่เปลี่ยนแปลง

ในสามมิติ

เมื่อระบุแกนxและy แล้ว แกนเหล่านี้จะกำหนด แนวเส้นที่ แกน zควรอยู่ แต่แนวเส้นนี้มีสองทิศทางที่เป็นไปได้ ระบบพิกัดสองระบบที่เป็นไปได้ที่เกิดขึ้นเรียกว่า 'มือขวา' และ 'มือซ้าย' ^{[ 12 ]}ทิศทางมาตรฐานที่ ระนาบ xyเป็นแนวนอนและ แกน zชี้ขึ้น (และแกนxและ แกน yสร้างระบบพิกัดสองมิติที่มีทิศทางเป็นบวกใน ระนาบ xyหากสังเกตจากด้านบนของ ระนาบ xy ) เรียกว่ามือขวาหรือบวก

ชื่อนี้มีที่มาจากกฎมือขวาถ้าหากนิ้วชี้ของมือขวาชี้ไปข้างหน้า นิ้วกลางงอเข้าด้านในเป็นมุมฉาก และนิ้วโป้งวางเป็นมุมฉากกับทั้งสองนิ้ว นิ้วทั้งสามนี้จะแสดงทิศทางสัมพัทธ์ของ แกน x , yและzในระบบมือขวา นิ้วโป้งแสดงแกน xนิ้วชี้แสดงแกนyและนิ้วกลาง แสดงแกน zในทางกลับกัน ถ้าทำแบบเดียวกันกับมือซ้าย ก็จะได้ระบบมือซ้าย

ภาพที่ 7 แสดงระบบพิกัดมือซ้ายและมือขวา เนื่องจากวัตถุสามมิติถูกแสดงบนหน้าจอสองมิติ จึงทำให้เกิดการบิดเบือนและความกำกวม แกนที่ชี้ลง (และไปทางขวา) หมายถึงชี้ไป ยัง ผู้สังเกต ในขณะที่แกน "ตรงกลาง" หมายถึงชี้ออกไปจากผู้สังเกต วงกลมสีแดงขนานกับ ระนาบ xy ในแนวนอน และแสดงถึงการหมุนจาก แกน xไปยัง แกน y (ในทั้งสองกรณี) ดังนั้นลูกศรสีแดงจึงผ่านหน้าแกนz

ภาพที่ 8 เป็นอีกหนึ่งความพยายามในการแสดงระบบพิกัดมือขวา อีกครั้งหนึ่ง มีความกำกวมเกิดขึ้นจากการฉายระบบพิกัดสามมิติลงบนระนาบ ผู้สังเกตหลายคนเห็นภาพที่ 8 ว่า "พลิกเข้าพลิกออก" ระหว่าง ลูกบาศก์ นูนและ "มุม" เว้าซึ่งสอดคล้องกับทิศทางที่เป็นไปได้สองทิศทางของพื้นที่ การมองภาพเป็นนูนทำให้ได้ระบบพิกัดมือซ้าย ดังนั้น วิธีที่ "ถูกต้อง" ในการมองภาพที่ 8 คือการจินตนาการว่า แกน xชี้ไปยังผู้สังเกต และจึงมองเห็นเป็นมุมเว้า

การแสดงเวกเตอร์ในฐานมาตรฐาน

จุดในอวกาศในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนอาจแสดงด้วยเวกเตอร์ ตำแหน่ง ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นลูกศรที่ชี้จากจุดกำเนิดของระบบพิกัดไปยังจุดนั้น^{[ 13 ]}หากพิกัดแสดงถึงตำแหน่งเชิงพื้นที่ (การกระจัด) เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงเวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุดที่สนใจเป็น $\mathbf {r}$ ในสองมิติ เวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y) สามารถเขียนได้ดังนี้:

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,$

ที่ไหน $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ และ $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของ แกน xและ แกน yตามลำดับ โดยทั่วไปเรียกว่าฐานมาตรฐาน (ในบางสาขาการใช้งานอาจเรียกว่าเวกเตอร์เวกเตอร์ ) ในทำนองเดียวกัน ในสามมิติ เวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน $(x,y,z)$ สามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 14 ]} $\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,$

ที่ไหน $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},$ $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},$ และ $\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

ไม่มี วิธีการตีความ ตามธรรมชาติในการคูณเวกเตอร์เพื่อให้ได้เวกเตอร์อีกตัวที่ใช้ได้ในทุกมิติ อย่างไรก็ตาม มีวิธีใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อให้ได้การคูณดังกล่าว ในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ ให้ระบุจุดที่มีพิกัด( x , y )ด้วยจำนวนเชิงซ้อนz = x + iyโดยที่iคือหน่วยจินตนาการและระบุด้วยจุดที่มีพิกัด(0, 1)ดังนั้นจึงไม่ใช่เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของ แกน xเนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนสามารถคูณกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนอีกตัว การระบุนี้จึงเป็นวิธีการ "คูณ" เวกเตอร์ ในปริภูมิคาร์ทีเซียนสามมิติ สามารถทำการระบุที่คล้ายกันได้โดยใช้เซตย่อยของควอเทอร์เนียน

ดูเพิ่มเติม

หุ่นยนต์พิกัดคาร์ทีเซียน
แนวนอนและแนวตั้ง
แผนภาพโจนส์ซึ่งแสดงตัวแปรสี่ตัวแทนที่จะเป็นสองตัว
พิกัดเชิงตั้งฉากเป็นระบบพิกัดโค้งชนิดหนึ่ง
ระบบพิกัดเชิงขั้ว
ตารางปกติ
ระบบพิกัดทรงกลม

หมายเหตุ

↑พิจารณาเส้นตรงสองเส้นหรือครึ่งเส้นที่ได้จากการแบ่งเส้นตรงที่จุดกำเนิด ครึ่งเส้นหนึ่งสามารถกำหนดให้เป็นจำนวนบวก และครึ่งเส้นอีกครึ่งเส้นกำหนดให้เป็นจำนวนลบ

การอ้างอิง

↑ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ6 สิงหาคม 2017 .
↑เคนท์และวูยาโควิช 2017 ดูที่นี่
↑ Katz, Victor J. (2009). ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์: บทนำ ( ฉบับที่ 3). บอสตัน: Addison-Wesley. หน้า484. ISBN 978-0-321-38700-4. OCLC 71006826 .
↑เบอร์ตัน 2011 , หน้า 374
↑เบอร์ลินสกี้ 2011
↑แอกซ์เลอร์ 2015 , หน้า1
1 2 3 4 Ivanov, AB (2001) [1994], "ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตั้งฉาก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
↑ "พิกัดคาร์ทีเซียน" . planetmath.org . สืบค้นเมื่อ25 สิงหาคม 2024 .
↑ฮิวส์-ฮัลเลตต์, แมคคัลลัมและเกลสัน 2013
↑ Smart 1998 , บทที่ 2 .
↑แบรนแนน, เอสเพลน&เกรย์ 1998 , หน้า. 49 .
↑ Anton, Bivens & Davis 2021 , หน้า657
↑ Brannan, Esplen & Grey 1998 , ภาคผนวก 2, หน้า 377–382
↑กริฟฟิธส์ 1999

เอกสารอ้างอิงทั่วไปและเอกสารอ้างอิงที่อ้างถึง

Axler, Sheldon (2015). พีชคณิตเชิงเส้นที่ถูกต้อง . ตำราคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี. Springer. doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 . ISBN 978-3-319-11079-0เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 27 พฤษภาคม 2022 เรียกดูเมื่อวันที่ 17 เมษายน 2022
เบอร์ลินสกี, เดวิด (2011). การสำรวจแคลคูลัส . สำนักพิมพ์นอปฟ์ ดับเบิลเดย์. ISBN 9780307789730.
Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998). เรขาคณิต . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-59787-6.
เบอร์ตัน, เดวิด เอ็ม. (2011). ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์/บทนำ ( ฉบับที่ 7). นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์. ISBN 978-0-07-338315-6.
Griffiths, David J. (1999). บทนำสู่พลศาสตร์ไฟฟ้า . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). แคลคูลัส: ตัวแปรเดียวและหลายตัวแปร ( ฉบับที่ 6). John Wiley & Sons . ISBN 978-0470-88861-2.
เคนท์, อเล็กซานเดอร์ เจ.; วูยาโควิช, ปีเตอร์ (4 ตุลาคม 2017). คู่มือการทำแผนที่และภูมิศาสตร์ของรูทเลดจ์ . รูทเลดจ์. ISBN 9781317568216.
Smart, James R. (1998), เรขาคณิตสมัยใหม่ ( ฉบับที่ 5), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5
Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2021). แคลคูลัส: หลายตัวแปร . John Wiley & Sons . หน้า 657. ISBN 978-1-119-77798-4.

อ่านเพิ่มเติม

เดส์การ์ต, เรเน่ (2001). วาทกรรมว่าด้วยวิธีการ ทัศนศาสตร์ เรขาคณิต และอุตุนิยมวิทยาแปลโดย พอล เจ. ออสแคมป์ ( ฉบับปรับปรุง). อินเดียนาโพลิส, อินเดียนา: สำนักพิมพ์แฮ็กเก็ตต์. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC 488633510 .
Korn GA, Korn TM (1961). คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร ( ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า55–79 . LCCN 59-14456 . OCLC 19959906 .
Margenau H , Murphy GM (1956). คณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และเคมี . นิวยอร์ก: D. van Nostrand. LCCN 55-10911 .
Moon P, Spencer DE (1988). "พิกัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า (x, y, z)". คู่มือทฤษฎีสนาม รวมถึงระบบพิกัด สมการเชิงอนุพันธ์ และคำตอบ (ฉบับแก้ไขครั้งที่ 2 และ 3 ). นิวยอร์ก: Springer-Verlag. หน้า 9–11 (ตาราง 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
Morse PM , Feshbach H (1969). วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เล่ม 1 ( ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). นิวยอร์ก: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8. ลคซีเอ็น52-11515 .
ซาวเออร์ อาร์, Szabó I (1967) แมทเธมาติส ฮิลฟ์สมิตเทล เด อินเฌอเนียร์ นิวยอร์ก: สปริงเกอร์ แวร์แล็ก. ลคซีเอ็น67-25285 .

ลิงก์ภายนอก

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "พิกัดคาร์ทีเซียน" . แมธเวิลด์ .
โปรแกรมแปลงพิกัด – แปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้ว พิกัดคาร์ทีเซียน และพิกัดทรงกลม
พิกัดของจุด – เครื่องมือแบบโต้ตอบเพื่อสำรวจพิกัดของจุด
คลาส JavaScript โอเพนซอร์สสำหรับการจัดการระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 2 มิติ/3 มิติ

[7] พิจารณาเส้นตรงสองเส้นหรือครึ่งเส้นที่ได้จากการแบ่งเส้นตรงที่จุดกำเนิด ครึ่งเส้นหนึ่งสามารถกำหนดให้เป็นจำนวนบวก และครึ่งเส้นอีกครึ่งเส้นกำหนดให้เป็นจำนวนลบ

[1] Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ6 สิงหาคม 2017 .

[2] เคนท์และวูยาโควิช 2017 ดูที่นี่

[3] Katz, Victor J. (2009). ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์: บทนำ ( ฉบับที่ 3). บอสตัน: Addison-Wesley. หน้า484. ISBN 978-0-321-38700-4. OCLC 71006826 .

[4] เบอร์ตัน 2011 , หน้า 374

[5] เบอร์ลินสกี้ 2011

[6] แอกซ์เลอร์ 2015 , หน้า1

[:0-8] 1 2 3 4 Ivanov, AB (2001) [1994], "ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตั้งฉาก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press

[9] "พิกัดคาร์ทีเซียน" . planetmath.org . สืบค้นเมื่อ25 สิงหาคม 2024 .

[10] ฮิวส์-ฮัลเลตต์, แมคคัลลัมและเกลสัน 2013

[11] Smart 1998 , บทที่ 2 .

[12] แบรนแนน, เอสเพลน&เกรย์ 1998 , หน้า. 49 .

[13] Anton, Bivens & Davis 2021 , หน้า657

[14] Brannan, Esplen & Grey 1998 , ภาคผนวก 2, หน้า 377–382

[15] กริฟฟิธส์ 1999

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

5 ] คำ

[ 6 ]

[ a ]

8

[ 9 ]

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

ไม่มีชื่อบทความ