ในวิชาฟิสิกส์และเรขาคณิตเส้น โค้ง แคทเทนารี ( ภาษาอังกฤษแบบอังกฤษ : / kəˈtiːnəri / kə- TEE - nər-ee , ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน: / ˈkætənɛri / KAT - ən - err-ee )คือเส้นโค้งที่โซ่หรือสายเคเบิล ในอุดมคติซึ่งแขวนอยู่จะมีรูปร่างตาม น้ำหนักของตัวเอง เมื่อ ได้รับการรองรับเฉพาะที่ปลายทั้งสองข้าง ภายใต้สนามแรงโน้มถ่วงที่ สม่ำเสมอ

เส้นโค้งแคทเทนารีมีรูปร่างคล้ายตัว U ซึ่งดูเผินๆ คล้ายกับ พาราโบลา

เส้นโค้งปรากฏในการออกแบบซุ้มประตู บางประเภท และเป็นหน้าตัดของแคทเทนอยด์ซึ่งเป็นรูปทรงของฟิล์มสบู่ที่ล้อมรอบด้วยวงแหวนวงกลมขนานสองวง

เส้นโค้งแคทเทนารีเรียกอีกอย่างว่าอะลิซอยด์เชนเน็ต [ ^{1 ] หรือ}โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิทยาศาสตร์วัสดุ ถือเป็นตัวอย่างของฟูนิคูลาร์ [ ^{2 ] สถิต}ศาสตร์ของเชือกอธิบายเส้นโค้งแคทเทนารีในปัญหาสถิตศาสตร์แบบคลาสสิกที่เกี่ยวข้องกับเชือกแขวน^{[ 3 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ เส้นโค้งแคทเทนารีคือกราฟของฟังก์ชันโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกพื้นผิวการหมุนของเส้นโค้งแคทเทนารี หรือแคทเทนอยด์เป็นพื้นผิวขั้นต่ำโดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นผิวการหมุนขั้นต่ำโซ่ที่แขวนจะรับรูปทรงที่มีพลังงานศักย์น้อยที่สุด ซึ่งก็คือแคทเทนารี^{[ 4 ]}กาลิเลโอ กาลิเลอีในปี 1638 ได้กล่าวถึงแคทเทนารีในหนังสือวิทยาศาสตร์ใหม่สองเล่มโดยตระหนักว่ามันแตกต่างจากพาราโบลาคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของเส้นโค้งแคทเทนารีได้รับการศึกษาโดยโรเบิร์ต ฮุกในช่วงทศวรรษ 1670 และสมการของมันได้รับการอนุมานโดยไลบ์นิซ ฮุยเกนส์และโยฮันน์ เบอร์นูลลีในปี 1691

เส้นโค้งแคทเทนารีและเส้นโค้งที่เกี่ยวข้องถูกนำมาใช้ในงานสถาปัตยกรรมและวิศวกรรม (เช่น ในการออกแบบสะพานและซุ้มประตูเพื่อไม่ให้แรงกระทำส่งผลให้เกิดโมเมนต์ดัด) ในอุตสาหกรรมน้ำมันและก๊าซนอกชายฝั่ง "แคทเทนารี" หมายถึงท่อส่งน้ำมันเหล็กแบบแคทเทนารี ซึ่งเป็นท่อที่แขวนอยู่ระหว่างแท่นผลิตและพื้นทะเล โดยมีรูปร่างคล้ายแคทเทนารี ในอุตสาหกรรมรถไฟ หมายถึงสายไฟเหนือศีรษะที่ส่งพลังงานไปยังรถไฟ (ซึ่งมักจะมีสายสัมผัสรองรับอยู่ด้วย ในกรณีนี้ สายไฟจะไม่เป็นเส้นโค้งแคทเทนารีที่แท้จริง)

ในด้านทัศนศาสตร์และแม่เหล็กไฟฟ้า ฟังก์ชันโคไซน์และไซน์ไฮเปอร์โบลิกเป็นคำตอบพื้นฐานของสมการของแม็กซ์เวลล์^{[ 5 ]}โหมดสมมาตรที่ประกอบด้วยคลื่นเอวาเนสเซนต์ สองคลื่น จะก่อตัวเป็นรูปทรงแคทเทนารี^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

คำว่า "catenary" มาจากคำภาษาละตินcatēnaซึ่งหมายถึง " โซ่ " คำ ^ว่า "catenary" ในภาษาอังกฤษมักจะถูกยกให้เป็นผลงานของโทมัส เจฟเฟอร์สัน [ ^{9 ] [ 10 ]} ซึ่งเขียนจดหมายถึงโทมัส เพนเกี่ยวกับการสร้างส่วนโค้งสำหรับสะพาน:

เมื่อไม่นานมานี้ ข้าพเจ้าได้รับตำราเกี่ยวกับสมดุลของส่วนโค้งจากอิตาลี โดยอับเบ มาสเชโรนีดูเหมือนจะเป็นงานทางวิทยาศาสตร์มาก ข้าพเจ้ายังไม่มีเวลาศึกษาอย่างละเอียด แต่พบว่าข้อสรุปจากการสาธิตของเขาคือ ทุกส่วนของเส้นโค้งแคทเทนารีอยู่ในสมดุลอย่างสมบูรณ์^{[ 11 ]}

มักกล่าวกันว่า^{[ 12 ]}กาลิเลโอคิดว่าเส้นโค้งของโซ่ที่แขวนอยู่เป็นรูปพาราโบลา อย่างไรก็ตาม ในหนังสือวิทยาศาสตร์ใหม่สองเล่ม ของเขา (ค.ศ. 1638) กาลิเลโอเขียนว่าเชือกที่แขวนอยู่เป็นเพียงพาราโบลาโดยประมาณ โดยสังเกตอย่างถูกต้องว่าการประมาณค่านี้มีความแม่นยำมากขึ้นเมื่อความโค้งลดลง และเกือบจะแม่นยำเมื่อมุมเงยน้อยกว่า 45° ^{[ 13 ]}ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นโค้งที่โซ่เคลื่อนที่ตามนั้นไม่ใช่พาราโบลาได้รับการพิสูจน์โดยโยอาคิม จุงกิอุส (ค.ศ. 1587–1657) ผลลัพธ์นี้ได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี ค.ศ. 1669 ^{[ 12 ]}

การประยุกต์ใช้เส้นโค้งแคทเทนารีในการสร้างซุ้มโค้งนั้นมีที่มาจากโรเบิร์ต ฮุคซึ่ง "รูปแบบทางคณิตศาสตร์และกลไกที่แท้จริง" ในบริบทของการสร้างมหาวิหารเซนต์ปอล ขึ้นใหม่ นั้นได้อ้างอิงถึงเส้นโค้งแค ทเทนารี ^{[ 14 ]}ซุ้มโค้งที่เก่าแก่กว่าบางแห่งก็มีลักษณะคล้ายเส้นโค้งแคทเทนารี ตัวอย่างเช่น ซุ้มโค้งTaq-i Kisraในเมืองซีเทซิฟอน^{[ 15 ]}

ในปี ค.ศ. 1671 ฮุกประกาศต่อราชสมาคมว่าเขาได้แก้ปัญหาเกี่ยวกับรูปทรงโค้งที่เหมาะสมที่สุดแล้ว และในปี ค.ศ. 1675 ได้ตีพิมพ์คำตอบที่เข้ารหัสเป็นคำสลับอักษร ภาษาละติน ^{[ 16 ]}ในภาคผนวกของหนังสือDescription of Helioscopes ของเขา ^{[ 17 ]}ซึ่งเขาเขียนว่าเขาได้ค้นพบ "รูปแบบทางคณิตศาสตร์และกลไกที่แท้จริงของโค้งทุกประเภทสำหรับการก่อสร้าง" เขาไม่ได้ตีพิมพ์คำตอบของคำสลับอักษรนี้^{[ 18 ]}ในช่วงชีวิตของเขา แต่ในปี ค.ศ. 1705 ผู้จัดการมรดกของเขาได้ให้คำตอบนั้นมาในชื่อut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversumซึ่งหมายความว่า "ดังที่สายเคเบิลที่ยืดหยุ่นแขวนอยู่ ชิ้นส่วนที่สัมผัสกันของโค้งก็ตั้งอยู่ได้เมื่อกลับหัว"

ในปี ค.ศ. 1691 Gottfried Leibniz , Christiaan HuygensและJohann Bernoulliได้พิสูจน์สมการดังกล่าวเพื่อตอบสนองต่อคำท้าของJakob Bernoulli [ ^{12 ] คำ}ตอบของพวกเขาได้รับการตีพิมพ์ในActa Eruditorumฉบับเดือนมิถุนายน ค.ศ. 1691 ^{[ 19 ] [ 20 ]} David Gregoryได้เขียนตำราเกี่ยวกับเส้นโค้งแคทเทนารีในปี ค.ศ. 1697 ^{[ 12 ] [ 21 ]}ซึ่งเขาได้ให้การพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ถูกต้อง^{[ 20 ]}

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์พิสูจน์ในปี 1744 ว่าเส้นโค้งแคทเทนารีคือเส้นโค้งที่เมื่อหมุนรอบ แกน xแล้วจะให้พื้นผิวที่มีพื้นที่ผิว น้อยที่สุด ( แคทเทนอยด์ ) สำหรับวงกลมล้อมรอบที่กำหนด^{[ 1 ]}นิโคลัส ฟุสส์ได้ให้สมการที่อธิบายสมดุลของโซ่ภายใต้แรง ใดๆ ในปี 1796 ^{[ 22 ]}

โค้งแคทเทนารีมักใช้ในการก่อสร้างเตาเผาเพื่อสร้างเส้นโค้งที่ต้องการ รูปทรงของโซ่แขวนที่มีขนาดที่ต้องการจะถูกถ่ายทอดไปยังแม่พิมพ์ จากนั้นจึงใช้แม่พิมพ์นั้นเป็นแนวทางในการวางอิฐหรือวัสดุก่อสร้างอื่นๆ^{[ 23 ] [ 24 ]}

บางครั้งมีการกล่าวกันว่า Gateway Archในเซนต์หลุยส์ รัฐมิสซูรีสหรัฐอเมริกา เป็นเส้นโค้งแคทเทนารี (กลับหัว) แต่สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง^{[ 25 ]}มันใกล้เคียงกับเส้นโค้งทั่วไปที่เรียกว่าแคทเทนารีแบบแบน โดยมีสมการy = A cosh( Bx )ซึ่งเป็นแคทเทนารีถ้าAB = 1ในขณะที่แคทเทนารีเป็นรูปทรงในอุดมคติสำหรับซุ้มประตูแบบตั้งอิสระที่มีความหนาคงที่ Gateway Arch กลับแคบลงใกล้กับส่วนบน ตาม การเสนอชื่อ ให้เป็นสถานที่สำคัญทางประวัติศาสตร์แห่งชาติ ของสหรัฐอเมริกา สำหรับซุ้มประตูนี้ มันเป็น " แคทเทนารีแบบมีน้ำหนัก " แทน รูปทรงของมันสอดคล้องกับรูปทรงที่โซ่แบบมีน้ำหนัก ซึ่งมีข้อต่อที่เบากว่าตรงกลาง จะก่อตัวขึ้น^{[ 26 ] [ 27 ]}

• 
  โซ่^{[ 28 ]}ซุ้มโค้งใต้หลังคาของCasa Milàของเกาดีเมืองบาร์เซโลนาประเทศสเปน
• 
  สวนฤดูหนาวเชฟฟิลด์ถูกล้อมรอบด้วยซุ้มโค้งแคทเทนารี^{[ 29 ]}
• 
  ประตูโค้งเกตเวย์อาร์ช ( เมืองเซนต์หลุยส์ รัฐมิสซูรี ) มีรูปทรงโค้งแบบแคทเทนารีที่แบนราบ
• 
  เตาเผาโค้งแคทเทนารีที่กำลังก่อสร้างอยู่บนโครงสร้างชั่วคราว

ในโซ่ที่แขวนอย่างอิสระ แรงที่กระทำจะสม่ำเสมอตามความยาวของโซ่ ดังนั้นโซ่จึงเป็นไปตามเส้นโค้งแคทเทนารี^{[ 30 ]}เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับสะพานแขวนธรรมดาหรือ "สะพานแคทเทนารี" ซึ่งถนนจะเป็นไปตามสายเคเบิล^{[ 31 ] [ 32 ]}

สะพานริบบิ้นที่รับแรงดึงเป็นโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าแต่มีรูปทรงโค้งมนเหมือนกัน^{[ 33 ] [ 34 ]}

อย่างไรก็ตาม ในสะพานแขวนที่มีถนนแขวน โซ่หรือสายเคเบิลจะรับน้ำหนักของสะพาน ดังนั้นจึงไม่แขวนอย่างอิสระ ในกรณีส่วนใหญ่ ถนนจะราบเรียบ ดังนั้นเมื่อน้ำหนักของสายเคเบิลน้อยมากเมื่อเทียบกับน้ำหนักที่รองรับ แรงที่กระทำจะสม่ำเสมอตามระยะทางแนวนอน และผลลัพธ์ที่ได้คือพาราโบลาดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง (แม้ว่าคำว่า "แคทเทนารี" มักจะยังคงใช้ในความหมายที่ไม่เป็นทางการ) หากสายเคเบิลหนัก เส้นโค้งที่ได้จะอยู่ระหว่างแคทเทนารีและพาราโบลา^{[ 35 ] [ 36 ]}

แรงโน้มถ่วงที่ทำให้เกิดเส้นโค้งโค้งช่วยให้เชือกสมอ ที่มีน้ำหนักมากได้เปรียบ เชือกสมอ (หรือสายสมอ) โดยทั่วไปประกอบด้วยโซ่หรือสายเคเบิล หรือทั้งสองอย่าง เรือ แท่นขุดเจาะน้ำมัน ท่าเรือ กังหันลมลอยน้ำและอุปกรณ์ทางทะเลอื่นๆ ที่ต้องยึดติดกับพื้นทะเล ใช้เชือกสมอเหล่านี้

เมื่อเชือกหย่อน เส้นโค้งแคทเทนารีจะทำให้มุมดึงของสมอหรืออุปกรณ์ผูกเรือลดลงกว่ากรณีที่เชือกเกือบตรง ซึ่งจะช่วยเพิ่มประสิทธิภาพของสมอและเพิ่มระดับแรงที่สมอจะต้านทานได้ก่อนที่จะลาก เพื่อรักษารูปทรงแคทเทนารีเมื่อมีลม จำเป็นต้องใช้โซ่ขนาดใหญ่ ดังนั้นเฉพาะเรือขนาดใหญ่ในน้ำลึกเท่านั้นที่สามารถพึ่งพาผลนี้ได้ เรือขนาดเล็กก็อาศัยแคทเทนารีเพื่อรักษากำลังยึดสูงสุดเช่นกัน^{[ 37 ]}

เรือเฟอร์รี่เคเบิลและเรือโซ่เป็นกรณีพิเศษของยานพาหนะทางทะเลที่เคลื่อนที่แม้ว่าจะจอดอยู่โดยใช้เส้นโค้งแคทเทนารีสองเส้น โดยแต่ละเส้นประกอบด้วยสายเคเบิลหนึ่งเส้นหรือมากกว่า (เชือกลวดหรือโซ่) ที่ผ่านยานพาหนะและเคลื่อนที่ไปตามรอกที่ขับเคลื่อนด้วยมอเตอร์ เส้นโค้งแคทเทนารีสามารถประเมินได้ทางกราฟิก^{[ 38 ]}

สมการของเส้นโค้งแคทเทนารีในพิกัดคาร์ทีเซียนมีรูปแบบดังนี้^{[ 35 ]}

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),}$$ โดยที่coshคือฟังก์ชันโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกและaคือระยะห่างของจุดต่ำสุดเหนือแกน x ^{[ 39 ]}เส้นโค้งแคทเทนารีทั้งหมดจะคล้ายคลึงกัน เนื่องจากการเปลี่ยนพารามิเตอร์aเทียบเท่ากับการปรับขนาดเส้นโค้ง อย่างสม่ำเสมอ

สมการ Whewellสำหรับเส้นโค้งแคทเทนารีคือ^{[ 35 ]} โดยที่คือมุมสัมผัสและs คือความยาวส่วนโค้ง $${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}},}$$${\displaystyle \varphi }$

การหาอนุพันธ์ให้ผล และการกำจัดให้ผล เป็น สมการ Cesàro ^{[ 40 ]} โดยที่คือความ โค้ง$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}},}$$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}},}$$${\displaystyle \kappa }$

รัศมีของความโค้งคือ ความยาวของเส้นตั้งฉากระหว่างเส้นโค้งกับแกนx ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi ,}$$

เมื่อพาราโบลาถูกกลิ้งไปตามเส้นตรง เส้นโค้ง รูเล็ตที่ลากโดยจุดโฟกัสจะเป็นเส้นโค้งแคทเทนารี^{[ 42 ]}เส้นห่อหุ้มของไดเรกทริกซ์ของพาราโบลาก็เป็นเส้นโค้งแคทเทนารีเช่นกัน^{[ 43 ]}เส้นอินโวลูตจากจุดยอด ซึ่งก็คือเส้นโค้งรูเล็ตที่ลากโดยจุดที่เริ่มต้นจากจุดยอดเมื่อเส้นถูกกลิ้งไปตามเส้นโค้งแคทเทนารี จะเป็นเส้นโค้งแทรกทริกซ์^{[ 42 ]}

รูเล็ตอีกอันที่สร้างขึ้นโดยการกลิ้งเส้นบนเส้นโค้งแคทเทนารี ถือเป็นเส้นอีกเส้นหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าล้อสี่เหลี่ยมสามารถกลิ้งได้อย่างราบรื่นบนถนนที่ทำจากเนินหลายลูกในรูปทรงของเส้นโค้งแคทเทนารีกลับหัว ล้อสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ใดๆ ก็ได้ ยกเว้นรูปสามเหลี่ยม แต่เส้นโค้งแคทเทนารีจะต้องมีพารามิเตอร์ที่สอดคล้องกับรูปทรงและขนาดของล้อ^{[ 44 ]}

ในช่วงแนวนอนใดๆ อัตราส่วนของพื้นที่ใต้เส้นโค้งแคทเทนารีต่อความยาวจะเท่ากับaโดยไม่ขึ้นอยู่กับช่วงที่เลือก เส้นโค้งแคทเทนารีเป็นเส้นโค้งระนาบเพียงเส้นเดียวที่ไม่ใช่เส้นตรงแนวนอนที่มีคุณสมบัตินี้ นอกจากนี้ จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตของพื้นที่ใต้เส้นโค้งแคทเทนารีคือจุดกึ่งกลางของส่วนตั้งฉากที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของเส้นโค้งกับแกนx ^{[ 45 ]}

ประจุเคลื่อนที่ ใน สนามไฟฟ้าสม่ำเสมอจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งแคทเทนารี (ซึ่งมีแนวโน้มที่จะเป็นเส้นโค้งพาราโบลาหากความเร็วของประจุน้อยกว่าความเร็วแสงc มาก ) ^{[ 46 ]}

พื้นผิวโค้งที่เกิดจากการหมุนรอบแกนโดยมีรัศมีคงที่ที่ปลายทั้งสองข้าง และมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด เรียกว่า เส้นโค้งแคทเทนารี

$${\displaystyle y=a\cosh ^{-1}\left({\frac {x}{a}}\right)+b}$$

หมุนรอบแกน - ^{[ 42 ]}${\displaystyle y}$

ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โซ่ (หรือเชือก สาย สายเคเบิล เชือกเส้นเล็ก ฯลฯ) จะถูกทำให้เป็นอุดมคติโดยสมมติว่ามันบางมากจนสามารถถือได้ว่าเป็นเส้นโค้งและมีความยืดหยุ่นมากจนแรงดึง ใดๆ ที่กระทำต่อโซ่จะขนานกับโซ่^{[ 47 ]}การวิเคราะห์เส้นโค้งสำหรับส่วนโค้งที่เหมาะสมที่สุดนั้นคล้ายกัน ยกเว้นว่าแรงดึงจะกลาย เป็นแรงอัด และทุกอย่างจะกลับด้าน^{[ 48 ]} หลักการพื้นฐานคือโซ่อาจถือได้ว่าเป็นวัตถุแข็งเกร็งเมื่อมันถึงสมดุลแล้ว^{[ 49 ]}สมการที่กำหนดรูปร่างของเส้นโค้งและแรงดึงของโซ่ ณ แต่ละจุดอาจได้มาจากการตรวจสอบอย่างละเอียดของแรงต่างๆ ที่กระทำต่อส่วนโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าแรงเหล่านี้จะต้องสมดุลกันหากโซ่อยู่ในสมดุลสถิต

ให้เส้นทางที่โซ่เคลื่อนที่ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s ))โดยที่sแทนความยาวส่วนโค้งและrคือเวกเตอร์ตำแหน่งนี่คือการกำหนดพารามิเตอร์ตามธรรมชาติและมีคุณสมบัติว่า

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }$$

โดยที่uคือ เวก เตอร์ สัมผัสหน่วย

สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับเส้นโค้งสามารถหาได้ดังต่อไปนี้^{[ 50 ]}ให้cเป็นจุดต่ำสุดบนโซ่ เรียกว่าจุดยอดของเส้นโค้งแคทเทนารี^{[ 51 ]}ความชัน⁠dy/dxค่าของเส้นโค้งเป็นศูนย์ที่ cเนื่องจากเป็นจุดต่ำสุด สมมติว่า rอยู่ทางขวาของ cในขณะที่ด้านตรงข้ามจะถูกกำหนดโดยสมมาตร ^{[ 52 ]}แรงที่กระทำต่อส่วนของโซ่จาก cถึง rคือแรงตึงของโซ่ที่ cแรงตึงของโซ่ที่ rและน้ำหนักของโซ่ แรงตึงที่ cสัมผัสกับเส้นโค้งที่ cดังนั้นจึงเป็นแนวนอนโดยไม่มีส่วนประกอบในแนวตั้ง และดึงส่วนนั้นไปทางซ้าย ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้ว่า (− T ₀ , 0)โดยที่ T ₀คือขนาดของแรง แรงตึงที่ rขนานกับเส้นโค้งที่ rและดึงส่วนนั้นไปทางขวา แรงตึงที่ rสามารถแยกออกเป็นสองส่วนประกอบ ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้ว่า T u = ( T cos φ , T sin φ )โดยที่ Tคือขนาดของแรง และ φคือมุมระหว่างเส้นโค้งที่ rกับ แกน x (ดูมุมสัมผัส ) สุดท้าย น้ำหนักของโซ่จะแสดงด้วย (0, − ws )โดยที่ wคือน้ำหนักต่อหน่วยความยาว และ s คือความ ยาว ของส่วนของโซ่ระหว่าง cและ r

โซ่อยู่ในสภาวะสมดุล ดังนั้นผลรวมของแรงทั้งสามจึงเป็น0ดังนั้น

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$ และ $${\displaystyle T\sin \varphi =ws\,,}$$

และการหารสิ่งเหล่านี้จะได้

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {ws}{T_{0}}}\,.}$$

การเขียนนั้นสะดวก

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w}}}$$

ซึ่งเป็นความยาวของโซ่ที่มีน้ำหนักเท่ากับแรงดึงที่c [ ^{53 ] จาก} นั้น

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}$$

เป็นสมการที่กำหนดเส้นโค้ง

ส่วนประกอบแนวนอนของแรงตึงT cos φ = T ₀มีค่าคงที่ และส่วนประกอบแนวตั้งของแรงตึงT sin φ = wsมีค่าแปรผันตรงกับความยาวของโซ่ระหว่างrกับจุดยอด^{[ 54 ]}

สมการเชิงอนุพันธ์ที่ระบุไว้ข้างต้นสามารถแก้ได้เพื่อสร้างสมการสำหรับเส้นโค้ง ^{[ 55 ]} เราจะแก้สมการโดยใช้เงื่อนไขขอบเขตที่จุดยอดอยู่ที่ และ${\displaystyle dy/dx=s/a}$${\displaystyle s_{0}=0}$${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})}$

ขั้นแรก ให้ใช้สูตรสำหรับ ความยาวส่วนโค้ง เพื่อหาค่า จากนั้นแยกตัวแปร เพื่อหาค่า $${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}\,,}$$$${\displaystyle {\frac {ds}{\sqrt {1+(s/a)^{2}}}}=dx\,.}$$

วิธีการที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาในการหาปริพันธ์นี้คือการใช้ การแทนที่แบบไฮเปอร์โบลิกซึ่งจะได้ (โดยที่เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต ) และดังนั้น $${\displaystyle a\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}+x_{0}=x}$$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle {\frac {s}{a}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,.}$$

แต่ซึ่ง สามารถอินทิเกรตได้เป็น (โดยที่ เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรตที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต) ${\textstyle s/a=dy/dx}$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,,}$$$${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x-x_{0}}{a}}+\delta }$$${\displaystyle \delta =y_{0}-a}$

เนื่องจากสิ่งที่เราสนใจหลัก ๆ คือรูปร่างของเส้นโค้ง การวางตำแหน่งของแกนพิกัดจึงเป็นไปโดยพลการ ดังนั้นให้เลือกแกนที่สะดวกที่สุด เพื่อลดความซับซ้อนของผลลัพธ์เป็น ${\textstyle x_{0}=0=\delta }$$${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}.}$$

เพื่อให้สมบูรณ์ความสัมพันธ์นี้สามารถหาได้โดยการแก้ความสัมพันธ์แต่ละข้อสำหรับซึ่งจะได้: ดังนั้น ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น ${\displaystyle y\leftrightarrow s}$${\displaystyle x\leftrightarrow y}$${\displaystyle x\leftrightarrow s}$${\displaystyle x/a}$$${\displaystyle \cosh ^{-1}{\frac {y-\delta }{a}}={\frac {x-x_{0}}{a}}=\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\,,}$$$${\displaystyle y-\delta =a\cosh \left(\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\right)\,,}$$$${\displaystyle y-\delta =a{\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.}$$

สมการเชิงอนุพันธ์สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการที่แตกต่างกัน^{[ 56 ]}จาก

$${\displaystyle s=a\tan \varphi }$$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

$${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$$ และ $${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$$

การบูรณาการทำให้เกิด...

$${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$$ และ $${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$$

เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้สามารถเลื่อนแกนxและy เพื่อให้ αและβมีค่าเป็น 0 ได้ จากนั้น

$${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$$ และนำส่วนกลับของทั้งสองข้างมาพิจารณา $${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$$

เมื่อนำสมการสองสมการสุดท้ายมาบวกและลบกัน จะได้คำตอบ และ $${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$$$${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

พารามิเตอร์aคือ พิกัด y ที่น้อยที่สุด ของจุดต่างๆ บนเส้นโค้งแคทเทนารี ในทางปฏิบัติ ทั้งพารามิเตอร์นี้และแกนที่เส้นโค้งแคทเทนารีมีรูปร่างมาตรฐานนั้น ไม่เป็นที่ทราบ ล่วงหน้า

ข้อมูลเหล่านี้สามารถกำหนดได้จากตำแหน่งของจุดสองจุดที่กำหนด⁠ ⁠${\displaystyle P_{1}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle P_{2}}$และความยาวLของเส้นโค้งแคทเทนารีระหว่างจุดเหล่านี้ดังต่อไปนี้: ^{[ 57 ]}

_{ถ้า จำเป็นให้}เปลี่ยนชื่อจุดP1ไปทางซ้ายของP2และให้Hเป็นแนวนอน และvเป็นระยะทางแนวตั้งจากP1ถึงP2เลื่อนแกนเพื่อให้จุดยอดของเส้นโค้งแคทเทนารีอยู่บน แกน yและปรับความสูงa เพื่อ _ให้เส้น โค้งแคทเทนารีเป็นไปตามสม _การมาตรฐานของเส้นโค้ง

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

และให้พิกัดของจุดP ₁และP ₂เป็น( x ₁ , y ₁ )และ( x ₂ , y ₂ )ตามลำดับ เส้นโค้งผ่านจุดเหล่านี้ ดังนั้นความแตกต่างของความสูงคือ

$${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

และความยาวของเส้นโค้งจากP ₁ถึงP ₂คือ

$${\displaystyle L=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

เมื่อขยาย L ² − v ^{2 โดยใช้นิพจน์เหล่านี้ ผลลัพธ์ที่ได้คือ}

$${\displaystyle L^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$$ ดังนั้น $${\displaystyle {\frac {1}{H}}{\sqrt {L^{2}-v^{2}}}={\frac {2a}{H}}\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$$

นี่คือสมการอดิศัยในaและต้องแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขเนื่องจาก เป็น ^{ฟังก์ชัน}โมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดบน[ ^{58 ]}จึงมีคำตอบอย่างมากที่สุดหนึ่งคำตอบที่มีa > 0และดังนั้นจึงมีตำแหน่งสมดุลอย่างมากที่สุดหนึ่งตำแหน่ง ${\displaystyle \sinh(x)/x}$${\displaystyle x>0}$

อย่างไรก็ตาม หากปลายทั้งสองของเส้นโค้ง ( P ₁และP ₂ ) อยู่ที่ระดับเดียวกัน ( y ₁ = y ₂ ) จะสามารถแสดงได้ว่า^{[ 59 ]} โดยที่ L คือความยาวทั้งหมดของเส้นโค้งระหว่างP ₁และP ₂และhคือระยะหย่อน (ระยะทางแนวตั้งระหว่างP ₁ , P ₂และจุดยอดของเส้นโค้ง) $${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่า และ โดยที่ H คือระยะทางในแนวนอนระหว่างP ₁และP ₂ซึ่งตั้งอยู่ที่ระดับเดียวกัน ( H = x ₂ − x ₁ ) $${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$$$${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$$

แรงดึงในแนวนอนที่จุดP ₁และP ₂คือT ₀ = waโดยที่wคือน้ำหนักต่อหน่วยความยาวของโซ่หรือสายเคเบิล

มีความสัมพันธ์ง่ายๆ ระหว่างแรงตึงในสายเคเบิล ณ จุดหนึ่งกับ พิกัด xและ/หรือyเริ่มต้นด้วยการรวมกำลังสองของส่วนประกอบเวกเตอร์ของแรงตึง: ซึ่ง (เมื่อระลึกว่า) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น แต่ดัง ที่แสดงไว้ข้างต้น (สมมติว่า) ดังนั้นเราจึงได้ความสัมพันธ์ง่ายๆ^{[ 60 ]}$${\displaystyle (T\cos \varphi )^{2}+(T\sin \varphi )^{2}=T_{0}^{2}+(ws)^{2}}$$${\displaystyle T_{0}=wa}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )&=(wa)^{2}+(ws)^{2}\\[6pt]T^{2}&=w^{2}(a^{2}+s^{2})\\[6pt]T&=w{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$${\displaystyle y_{0}=a}$$${\displaystyle T=wy=wa\cosh {\frac {x}{a}}\,.}$$

พิจารณาโซ่ที่มีความยาวw แขวนจากสองจุดที่มีความสูงเท่ากันและอยู่ห่างกันΔt เส้นโค้งนี้ต้องลดพลังงานศักย์ให้เหลือน้อยที่สุด (โดยที่wคือน้ำหนักต่อหน่วยความยาว) และอยู่ภายใต้ข้อจำกัด Δt ${\displaystyle L}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle U=\int _{0}^{D}wy{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}$$$${\displaystyle \int _{0}^{D}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=L\,.}$$

ดังนั้น Lagrangianที่ปรับปรุงแล้วคือ โดยที่คือตัวคูณ Lagrangeที่ต้องกำหนด เนื่องจากตัวแปรอิสระไม่ปรากฏใน Lagrangian เราจึงสามารถใช้เอกลักษณ์ Beltrami โดยที่คือค่าคงที่ของการอินทิเกรต เพื่อให้ได้อินทิกรัลแรก $${\displaystyle {\mathcal {L}}=(wy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}-y'{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y'}}=C}$$${\displaystyle C}$$${\displaystyle {\frac {(wy-\lambda )}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-C}$$

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งธรรมดาที่สามารถแก้ได้โดยวิธีแยกตัวแปร คำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกทั่วไป โดยที่พารามิเตอร์ได้มาจากเงื่อนไขข้อจำกัด

หากความหนาแน่นของโซ่แปรผันได้ การวิเคราะห์ข้างต้นสามารถปรับให้สร้างสมการสำหรับเส้นโค้งโดยกำหนดความหนาแน่น หรือกำหนดเส้นโค้งเพื่อหาความหนาแน่นได้^{[ 61 ]}

ให้wแทนน้ำหนักต่อหน่วยความยาวของโซ่ ดังนั้นน้ำหนักของโซ่จะมีขนาดเท่ากับ

$${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

โดยที่ขอบเขตของการอินทิเกรตคือcและrการปรับสมดุลแรงเช่นเดียวกับในโซ่สม่ำเสมอทำให้เกิด

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$ และ และด้วยเหตุนี้ $${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$$

การหาอนุพันธ์จึงให้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$$

ในแง่ของφและรัศมีของความโค้งρจะได้ว่าดังนี้

$${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$$

สามารถทำการวิเคราะห์ที่คล้ายกันเพื่อหาเส้นโค้งที่สายเคเบิลที่รองรับสะพานแขวนที่มีถนนแนวนอนเคลื่อนที่ ตาม ^{[ 62 ]}หากน้ำหนักของถนนต่อหน่วยความยาวคือwและน้ำหนักของสายเคเบิลและลวดที่รองรับสะพานนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกันแล้ว น้ำหนักบนสายเคเบิล (ดูรูปในCatenary#Model of chains and arches ) จากcถึงrคือwxโดยที่xคือระยะทางแนวนอนระหว่างcและrการดำเนินการตามที่กล่าวมาข้างต้นจะให้สมการเชิงอนุพันธ์

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$$

ปัญหานี้แก้ไขได้ด้วยการอินทิเกรตอย่างง่ายเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$$

ดังนั้นสายเคเบิลจึงมีลักษณะเป็นรูปพาราโบลา หากน้ำหนักของสายเคเบิลและสายรองรับไม่น้อย การวิเคราะห์ก็จะซับซ้อนมากขึ้น^{[ 63 ]}

ในเส้นโค้งแคทเทนารีที่มีความแข็งแรงเท่ากัน ความแข็งแรงของสายเคเบิลจะขึ้นอยู่กับขนาดของแรงดึง ณ แต่ละจุด ดังนั้นความต้านทานต่อการขาดจึงคงที่ตลอดความยาว โดยสมมติว่าความแข็งแรงของสายเคเบิลเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นต่อหน่วยความยาว น้ำหนักwต่อหน่วยความยาวของโซ่สามารถเขียนได้ดังนี้ที/คโดยที่ cเป็นค่าคงที่ และสามารถนำการวิเคราะห์สำหรับโซ่ที่ไม่สม่ำเสมอมาใช้ได้ ^{[ 64 ]}

ในกรณีนี้ สมการสำหรับแรงดึงคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$$

การรวมกันทำให้ได้

$${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$$

และโดยการหาอนุพันธ์

$${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$$

โดยที่ρคือรัศมีของความโค้ง

วิธีแก้ปัญหานี้คือ

$${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$$

ในกรณีนี้ เส้นโค้งมีเส้นกำกับแนวตั้ง ซึ่งจำกัดช่วงให้เท่ากับπcความสัมพันธ์อื่นๆ มี ดังนี้

$${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$$

เส้นโค้งนี้ได้รับการศึกษาในปี 1826 โดยเดวีส์ กิลเบิร์ตและดูเหมือนว่าจะได้รับการศึกษาโดยอิสระจากกันโดยกัสปาร์ด-กุสตาฟ โคริโอลิสในปี 1836

เมื่อเร็วๆ นี้ พบว่าเส้นโค้งแคทเทนารีประเภทนี้สามารถทำหน้าที่เป็นส่วนประกอบพื้นฐานของเมตาเซอร์เฟซแม่เหล็กไฟฟ้าและเป็นที่รู้จักในชื่อ "เส้นโค้งแคทเทนารีที่มีการไล่ระดับเฟสเท่ากัน" ^{[ 65 ]}

ใน เส้นโค้งแคทเทนารี แบบยืดหยุ่นโซ่จะถูกแทนที่ด้วยสปริงซึ่งสามารถยืดออกได้เมื่อได้รับแรงดึง สปริงจะยืดออกตามกฎของฮุคโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าpคือความยาวตามธรรมชาติของหน้าตัดสปริง ความยาวของสปริงเมื่อมีแรงดึงTกระทำจะมีค่าเท่ากับความยาว p

$${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$$

โดยที่Eเป็นค่าคงที่เท่ากับkpโดยที่kคือความแข็งของสปริง^{[ 66 ]}ในเส้นโค้งแคทเทนารี ค่าของTจะแปรผันได้ แต่ค่าอัตราส่วนยังคงใช้ได้ในระดับท้องถิ่น ดังนั้น^{[ 67 ]} เส้นโค้งที่สปริงยืดหยุ่นเคลื่อนที่ตามสามารถหาได้โดยใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกับสปริงที่ไม่ยืดหยุ่น^{[ 68 ]}$${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$$

สมการสำหรับแรงดึงของสปริงมีดังนี้

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$$ และ $${\displaystyle T\sin \varphi =w_{0}p\,,}$$

ซึ่ง

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w_{0}p}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+w_{0}^{2}p^{2}}}\,,}$$

โดยที่pคือความยาวตามธรรมชาติของส่วนจากcถึงrและw ₀คือน้ำหนักต่อหน่วยความยาวของสปริงเมื่อไม่มีแรงดึง เขียน ดังนี้ $${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w_{0}}}}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$$

จาก นั้นจากนั้น $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {w_{0}p}{T}}\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {w_{0}p}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{alignedat}}}$$

การอินทิเกรตจะให้สมการพาราเมตริก

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$$

อีกครั้งหนึ่งเราสามารถเลื่อนแกนxและ แกน y เพื่อให้ αและβมีค่าเป็น 0 ได้ ดังนั้น

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$$

เป็นสมการพาราเมตริกสำหรับเส้นโค้ง ในขีดจำกัดความ แข็งเกร็ง ที่Eมีค่ามาก รูปทรงของเส้นโค้งจะลดลงเหลือเพียงรูปทรงของโซ่ที่ไม่ยืดหยุ่น

หากไม่มีการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับแรงGที่กระทำต่อโซ่ สามารถทำการวิเคราะห์ดังต่อไปนี้ได้^{[ 69 ]}

ขั้นแรก ให้T = T ( s )เป็นแรงตึงที่เป็นฟังก์ชันของsโซ่มีความยืดหยุ่น ดังนั้นจึงสามารถออกแรงได้เฉพาะในทิศทางขนานกับตัวมันเองเท่านั้น เนื่องจากแรงตึงถูกนิยามว่าเป็นแรงที่โซ่กระทำต่อตัวมันเอง ดังนั้นTจะต้องขนานกับโซ่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

$${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$$

โดยที่TคือขนาดของTและuคือเวกเตอร์สัมผัสหน่วย

ประการที่สอง ให้G = G ( s )เป็นแรงภายนอกต่อหน่วยความยาวที่กระทำต่อส่วนเล็กๆ ของโซ่เป็นฟังก์ชันของsแรงที่กระทำต่อส่วนของโซ่ระหว่างsและs + Δs ​​คือแรงดึงT ( s + Δs )ที่ปลายด้านหนึ่งของส่วนนั้น แรงที่เกือบตรงข้าม−T ( s )ที่ปลายอีกด้านหนึ่ง และแรงภายนอกที่กระทำต่อส่วนนั้นซึ่งมีค่าประมาณGΔsแรงเหล่านี้จะต้องสมดุลกัน

$${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$$

หารด้วยΔsแล้วหาลิมิตเมื่อΔs → 0เพื่อ ให้ได้

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$$

สมการเหล่านี้สามารถใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการวิเคราะห์โซ่ที่ยืดหยุ่นซึ่งทำงานภายใต้แรงภายนอกใดๆ ในกรณีของโซ่โค้งมาตรฐานG = (0, − w )โดยที่โซ่มีน้ำหนักwต่อหน่วยความยาว

• ซุ้มโค้งแคทเทนารี
• น้ำพุแบบโซ่หรือลูกปัดดูดน้ำอัตโนมัติ
• ส่วนโค้งฟูนิคูลาร์
• สายส่งไฟฟ้าเหนือศีรษะ – สายไฟฟ้าที่แขวนอยู่เหนือรถไฟหรือรถราง
• รูเล็ต (เส้นโค้ง) – เส้นโค้งแคทเทนารีรูปวงรี/ไฮเปอร์โบลา
• โทรโพสไกน์ – รูปทรงของเชือกที่ปั่นแล้ว
• เส้นโค้งแคทเทนารีแบบมีน้ำหนัก

• ล็อควูด, อีเอช (1961). "บทที่ 13: เส้นแทรกทริกซ์และเส้นโค้งแคทเทนารี" . หนังสือเส้นโค้ง . เคมบริดจ์.
• Salmon, George (1879). เส้นโค้งระนาบสูง . Hodges, Foster และ Figgis. หน้า  287–289 .
• Routh, Edward John (1891). "บทที่ 10: ว่าด้วยสาย" . ตำราว่าด้วยสถิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย.
• Maurer, Edward Rose (1914). "มาตรา 26 สายเคเบิลแคทเทนารี"กลศาสตร์เชิงเทคนิค J. Wiley & Sons.
• แลมบ์, เซอร์ ฮอเรซ (1897). "บทที่ 134 เส้นโค้งอดิศัย; เส้นโค้งแคทเทนารี, เส้นโค้งแทรกทริกซ์"หลักสูตรเบื้องต้นของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย.
• ทอดฮันเตอร์, ไอแซค (1858). "XI สตริงยืดหยุ่น ยืดไม่ได้, XII สตริงยืดหยุ่น ยืดได้" . ตำราว่าด้วยสถิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ . แมคมิลแลน.
• Whewell, William (1833). "บทที่ 5: สมดุลของวัตถุที่ยืดหยุ่นได้" . สถิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ . J. & JJ Deighton. หน้า 65.
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "แคทเทนารี" . แมธเวิลด์ .

• สเวทซ์, แฟรงค์ (1995). เรียนรู้จากปรมาจารย์ . MAA. หน้า  128–129 . ISBN 978-0-88385-703-8.
• เวนตูโรลี, จูเซปเป (1822). "บทที่ XXIII: ว่าด้วยเส้นโค้งแคทเทนารี"องค์ประกอบของทฤษฎีกลศาสตร์ . แปลโดย แดเนียล เครสเวลล์. สำนักพิมพ์ เจ. นิโคลสัน แอนด์ ซัน.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งแคทเทนารี

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับCatenary

วิกิซอร์ซมีเนื้อหาจาก บทความ สารานุกรมบริแทนนิกาค.ศ. 1911เรื่อง " Catenary "

• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "Catenary" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• เส้นโค้งแคทเทนารีที่PlanetMath
• เครื่องคำนวณเส้นโค้งแคทเทนารี
• เส้นโค้งแคทเทนารีที่ศูนย์เรขาคณิต
• "เส้นโค้งแคทเทนารี" ในพจนานุกรมภาพของเส้นโค้งระนาบพิเศษ
• เดอะ แคทเทนารี - โซ่ ซุ้มโค้ง และฟิล์มสบู่
• เครื่องคำนวณข้อผิดพลาดการหย่อนตัวของสายเคเบิล – คำนวณค่าเบี่ยงเบนจากเส้นตรงของเส้นโค้งแคทเทนารี และแสดงที่มาของเครื่องคำนวณและเอกสารอ้างอิง
• สมการเส้นโค้งศตวรรษทั้งแบบไดนามิกและแบบสถิตได้รับการหามาแล้ว – สมการที่ควบคุมรูปร่าง (กรณีสถิต) และพลวัต (กรณีไดนามิก) ของเส้นโค้งศตวรรษได้รับการหามาแล้ว มีการกล่าวถึงวิธีแก้สมการเหล่านั้น
• เส้นตรง, เส้นโค้งแคทเทนารี, เส้นโค้งบราคิสโตโครน, วงกลม และแนวทางรวมของแฟร์มาต์สำหรับเส้นโค้งจีโอเดสิกบางเส้น
• ไอรา ฟรีแมน "รูปแบบทั่วไปของเส้นโค้งแคทเทนารีของสะพานแขวน" วารสารของ AMS