วิธีที่เป็นระบบมากขึ้นในการกำหนดอ็อกโทเนียนคือการใช้การสร้างแบบเคย์ลีย์-ดิกสัน การนำการสร้างแบบเคย์ลีย์-ดิกสันไปใช้กับควอเทอร์เนียนจะสร้างอ็อกโทเนียน ซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle \mathbb {O} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {H} ,1)}$[ ^{6 ]​}

เช่นเดียวกับที่ควอเทอร์เนียนสามารถนิยามได้ว่าเป็นคู่ของจำนวนเชิงซ้อน อ็อกโทเนียนก็สามารถนิยามได้ว่าเป็นคู่ของควอเทอร์เนียน การบวกถูกนิยามแบบเป็นคู่ ผลคูณของควอเทอร์เนียนสองคู่( a , b )และ( c , d )ถูกนิยามโดย

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$

โดยที่z *หมายถึงคอนจูเกตของควอเทอร์เนียนzนิยามนี้เทียบเท่ากับนิยามที่ให้ไว้ข้างต้นเมื่ออ็อกโทเนียนหน่วยทั้งแปดถูกระบุด้วยคู่

${\displaystyle (1,0),(i,0),(j,0),(k,0),(0,1),(0,i),(0,j),(0,k)}$.

การบวกและการลบอ็อกโทเนียนทำได้โดยการบวกและลบพจน์ที่สอดคล้องกันและสัมประสิทธิ์ของพจน์เหล่านั้น เช่นเดียวกับควอเทอร์เนียน

การคูณอ็อกโทเนียนมีความซับซ้อนกว่า การคูณมีการกระจายตัวเหนือการบวก ดังนั้นผลคูณของอ็อกโทเนียนสองตัวสามารถคำนวณได้โดยการบวกผลคูณของพจน์ทั้งหมด เช่นเดียวกับควอเทอร์เนียน ผลคูณของแต่ละคู่ของพจน์สามารถหาได้จากการคูณสัมประสิทธิ์และตารางการคูณของอ็อกโทเนียนหน่วย ดังตารางนี้ (ซึ่งเสนอโดยArthur Cayleyในปี 1845 และJohn T. Gravesในปี 1843): ^{[ 7 ]}

${\displaystyle e_{i}e_{j}}$		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

องค์ประกอบนอกแนวทแยงส่วนใหญ่ของตารางเป็นเมทริกซ์ปฏิสมมาตร ทำให้เมทริกซ์นี้เกือบจะเป็นเมทริกซ์สมมาตรเฉียงยกเว้นองค์ประกอบบนแนวทแยงหลัก รวมถึงแถวและคอลัมน์ที่e เป็นตัวดำเนินการ

ตารางสามารถสรุปได้ดังนี้: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle e_{\ell }e_{m}={\begin{cases}e_{m},&{\text{ถ้า }}\ell =0\\e_{\ell },&{\text{ถ้า }}m=0\\-e_{0},&{\text{ถ้า }}\ell =m,m\neq 0\\\varepsilon _{\ell mn}e_{n},&{\text{ในกรณีอื่นๆ}}\end{cases}}}$

โดยที่ε เป็นเทนเซอร์แบบแอนติสมมาตรโดยสมบูรณ์มีค่า+1เมื่อℓmn = 123 , 145 , 176 , 246 , 257 , 347 , 365หรือการเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่ ใดๆ ของค่าเหล่านี้ และ−1สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแบบคี่ใดๆ (เช่นε = +1 ; ε = ε = -1 ; ε = ε = +1 ) เมื่อใดก็ตามที่ดัชนีสองตัวใดๆ ในสามตัวเหมือนกันε = 0

นิยามข้างต้นไม่ใช่นิยามเดียว: มันเป็นหนึ่งใน 480  นิยามที่เป็นไปได้สำหรับการคูณอ็อกโทเนียนด้วยe = 1นิยามอื่นๆ สามารถได้มาจากการสลับตำแหน่งและเปลี่ยนเครื่องหมายขององค์ประกอบฐานที่ไม่ใช่สเกลาร์{ e , e , e , e , e , e , e } พีชคณิตทั้ง 480 แบบนั้น เป็นไอโซมอร์ฟิกกันและโดยทั่วไปแล้วไม่จำเป็นต้องพิจารณาว่าใช้กฎการคูณแบบใดโดยเฉพาะ

นิยามทั้ง 480 ข้อนี้ แต่ละข้อไม่เปลี่ยนแปลงจนถึงเครื่องหมายภายใต้ วัฏจักร 7 ของจุด(1 2 3 4 5 6 7)และสำหรับแต่ละ วัฏจักร 7 จะมีนิยามสี่ข้อที่แตกต่างกันโดยเครื่องหมายและการกลับลำดับ โดยทั่วไปมักเลือกใช้นิยามที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ วัฏจักร 7 (1 2 3 4 5 6 7)โดยที่e e = e โดยใช้แผนภาพการคูณแบบสามเหลี่ยม หรือระนาบ Fano ด้านล่าง ซึ่งแสดงรายการเรียงลำดับของ ไตรแอดวัฏจักร 7 ฐาน 1 2 4และเมทริกซ์การคูณที่เกี่ยวข้องในรูปแบบe และIJKL ด้วย

ไตรแอดอ็อกโทเนียน ระนาบฟาโน และเมทริกซ์การคูณ

รูปแบบหนึ่งที่ใช้กันบางครั้งคือการกำหนดป้ายกำกับองค์ประกอบของฐานด้วยองค์ประกอบ∞ , 0, 1, 2, ..., 6 ของเส้นโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์จำกัดอันดับ 7 การคูณจะกำหนดโดยe = 1และe e = e และสมการทั้งหมดที่ได้จากสมการนี้โดยการเพิ่มค่าคงที่ ( โมดูล 7) ให้กับดัชนีทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการใช้สามตัว(1 2 4) , (2 3 5) , (3 4 6) , (4 5 0) , (5 6 1) , (6 0 2) , (0 1 3)เหล่านี้คือรหัสคำที่ไม่เป็นศูนย์ของรหัสเศษเหลือกำลังสองที่มีความยาว 7 เหนือฟิลด์กาโลอิสที่มีสององค์ประกอบGF (2 ) มีสมมาตรลำดับที่ 7 ที่กำหนดโดยการเพิ่มค่าคงที่mod  7 ให้กับดัชนีทั้งหมด และยังมีสมมาตรลำดับที่ 3 ที่กำหนดโดยการคูณ ดัชนีทั้งหมด mod 7 ด้วยเศษกำลังสอง 1, 2 และ 4 ^{[ 9 ] [ 10 ]} สามตัวนี้ยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการแปลเจ็ดครั้งของเซต{1,2,4}ของกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งสร้างเซตผลต่าง วัฏจักร (7,3,1) ในฟิลด์จำกัดGF(7)ขององค์ประกอบเจ็ดตัว

เครื่องบินฟาโนที่แสดงด้านบนพร้อมกับ${\displaystyle e_{n}}$และ เมทริกซ์การคูณ IJKLยังรวมถึง ฐาน พีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่มีเครื่องหมาย(− − − −)และกำหนดในรูปของ สามควอเทอร์ เนียน 7 ชุดต่อไปนี้ (โดยไม่รวมองค์ประกอบเอกลักษณ์สเกลาร์): 

${\displaystyle (I,j,k),(i,J,k),(i,j,K),(I,J,K),(\bigstar I,i,l),(\bigstar J,j,l),(\bigstar K,k,l)}$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง

${\displaystyle (\sigma _{1},j,k),(i,\sigma _{2},k),(i,j,\sigma _{3}),(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}),(\bigstar \sigma _{1},i,l),(\bigstar \sigma _{2},j,l),(\bigstar \sigma _{3},k,l)}$

โดยที่รายการที่เป็นตัวพิมพ์เล็ก{ i , j , k , l }เป็นเวกเตอร์ (เช่น {${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$} ตามลำดับ) และตัวพิมพ์ใหญ่{ I , J , K } = {${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$} คือไบเวกเตอร์ (เช่น${\displaystyle \gamma _{\{1,2,3\}}\gamma _{0}}$(ตามลำดับ) และตัวดำเนินการดาว Hodge ★ = i j k lคือองค์ประกอบสเกลาร์เทียม หาก บังคับให้ ★เท่ากับเอกลักษณ์ การคูณจะไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่ แต่ สามารถลบ ★ออกจากตารางการคูณได้ ทำให้ได้ตารางการคูณแบบอ็อกโทเนียน

เพื่อให้★ = i j k lมีคุณสมบัติการสลับที่ และด้วยเหตุนี้จึงไม่ลดพีชคณิตเรขาคณิต 4 มิติให้เหลือเพียงอ็อกโทเนียน ตารางการคูณทั้งหมดสามารถหาได้จากสมการสำหรับ★พิจารณาเมทริกซ์แกมมาในตัวอย่างที่ให้ไว้ข้างต้น สูตรที่กำหนดเมทริกซ์แกมมาตัวที่ห้า (${\displaystyle \gamma _{5}}$) แสดงให้เห็นว่ามันคือ★ของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตสี่มิติของเมทริกซ์แกมมา

แผนภาพ นี้ แสดงตารางการคูณของ Cayley และ Graves ^{[ 7 ] [ 12 ]} แผนภาพนี้มีจุดเจ็ดจุดและเส้นเจ็ดเส้น (วงกลมที่ผ่าน 1, 2 และ 3 ถือเป็นเส้นตรง) เรียกว่าระนาบ Fano เส้นเหล่านี้เป็น เส้นแสดงทิศทาง จุดทั้งเจ็ดจุดสอดคล้องกับองค์ประกอบพื้นฐานมาตรฐานเจ็ดตัวของ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$(ดูคำจำกัดความในหัวข้อ§ จุดคู่  ควบ บรรทัดฐาน และตัวผกผันด้านล่าง) จุดแต่ละคู่ที่แตกต่างกันจะอยู่บนเส้นตรงที่ไม่ซ้ำกัน และแต่ละเส้นตรงจะผ่านจุดสามจุดพอดี

ให้( a , b , c )เป็นสามจุดที่เรียงลำดับอยู่บนเส้นตรงที่กำหนด โดยลำดับนั้นระบุด้วยทิศทางของลูกศร การคูณจะกำหนดโดยab = cและba = −c พร้อมกับการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรกฎเหล่านี้ร่วมกับ

• 1คือเอกลักษณ์การคูณ
• ${\displaystyle {e_{i}}^{2}=-1\ }$สำหรับแต่ละจุดในแผนภาพ

กำหนดโครงสร้างการคูณของอ็อกโทเนียนได้อย่างสมบูรณ์ แต่ละบรรทัดทั้งเจ็ดบรรทัดสร้างพีชคณิตย่อยของ${\displaystyle \mathbb {O} }$ไอโซมอร์ฟิกกับควอเทอร์เนียนℍ

คอนจูเกตของอ็อกโทเนียน

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}}$

ได้รับจาก

${\displaystyle x^{\ast }=x_{0}e_{0}-x_{1}e_{1}-x_{2}e_{2}-x_{3}e_{3}-x_{4}e_{4}-x_{5}e_{5}-x_{6}e_{6}-x_{7}e_{7}}$.

การผันคำกริยาเป็นการผกผันของ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$และสอดคล้องกับ( xy )* = y * x * (โปรดสังเกตการเปลี่ยนแปลงลำดับ)

ส่วนจริงของxกำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}e_{0}}$

และส่วนจินตนาการ (บางครั้งเรียกว่าส่วนบริสุทธิ์ ) โดย

${\displaystyle {\frac {xx^{*}}{2}}=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}}$.

เซตของอ็อกโทเนียนจินตนาการล้วนทั้งหมดครอบคลุมปริภูมิย่อย 7 มิติ ของ${\displaystyle \mathbb {O} ,}$ระบุ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$.

การผันคำนามของอ็อกโทเนียนเป็นไปตามสมการ

${\displaystyle -6x^{*}=x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}}$.

ผลคูณของอ็อกโทเนียนกับคอนจูเกตของมันx * x = xx *จะเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเสมอ:

${\displaystyle x^{*}x={x_{0}}^{2}+{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+{x_{4}}^{2}+{x_{5}}^{2}+{x_{6}}^{2}+{x_{7}}^{2}}$.

โดยใช้สิ่งนี้ ค่ามาตรฐานของอ็อกโทเนียนจึงถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$.

บรรทัดฐานนี้สอดคล้องกับบรรทัดฐาน ยุคลิด 8 มิติ มาตรฐาน บนℝ ⁸

การมีอยู่ของบรรทัดฐานเกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {O} }$หมายความว่ามีตัวผกผันสำหรับทุกองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของ${\displaystyle \mathbb {O} .}$ตัวผกผันของx ≠ 0ซึ่งเป็นอ็อกโทเนียนx ⁻¹ ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งสอดคล้องกับxx ⁻¹ = x ⁻¹ x = 1นั้น กำหนดโดย

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$.

อ็อกโทเนียน xใดๆสามารถแยกออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการได้:

${\displaystyle x={\mathfrak {R}}(x)+{\mathfrak {I}}(x)}$

บางครั้งก็เรียกว่าส่วนสเกลาร์และส่วนเวกเตอร์ด้วย

เรากำหนดเวกเตอร์หน่วยuที่สอดคล้องกับxดังนี้

${\displaystyle u={\frac {{\mathfrak {I}}(x)}{\|{\mathfrak {I}}(x)\|}}}$เป็นอ็อกโทเนียนบริสุทธิ์ของบรรทัดฐาน 1

สามารถพิสูจน์ได้^{[ 13 ]}ว่าอ็อกโทเนียนที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle o=\|o\|(\cos \theta +u\sin \theta )=\|o\|e^{u\theta }}$

จึงทำให้เกิดรูปแบบขั้วขึ้น

ตัวสลับตำแหน่งของอ็อกโทเนียนสองตัวxและyกำหนดโดย

${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$.

นี่เป็นสมมาตรผกผันและเป็นจำนวนจินตนาการ หากพิจารณาเฉพาะในฐานะผลคูณบนปริภูมิย่อยจินตนาการ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$มันกำหนดผลิตภัณฑ์บนปริภูมินั้น ซึ่งก็คือผลคูณไขว้เจ็ดมิติโดยกำหนดโดย

${\displaystyle x\times y={\tfrac {1}{2}}(xy-yx)}$.

เช่นเดียวกับผลคูณเวกเตอร์ในสามมิติ เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับแกนxและyโดยมีขนาดเท่ากับ

${\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\|y\|\sin \theta }$.

แต่เช่นเดียวกับผลิตภัณฑ์อ็อกโทเนียน มันไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง แต่กลับมีผลิตภัณฑ์ครอสที่แตกต่างกันมากมาย ซึ่งแต่ละผลิตภัณฑ์ขึ้นอยู่กับการเลือกผลิตภัณฑ์อ็อกโทเนียน^{[ 14 ]}

ออโตมอร์ฟิซึมAของอ็อกโทเนียน คือการแปลงเชิงเส้น ผกผันได้ ของ${\displaystyle \mathbb {O} }$ที่ทำให้พึงพอใจ

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y)}$.

เซตของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของ${\displaystyle \mathbb {O} }$ก่อตัวเป็นกลุ่มที่เรียกว่าG 2 ^{15 ] กลุ่ม} G 2 กลุ่มLieจริงที่เชื่อมต่ออย่างง่ายกระชับและมีมิติ14 กลุ่มนี้เป็นกลุ่ม Lie พิเศษที่เล็กที่สุดและมีสมมาตรกับกลุ่มย่อยของSpin(7)ที่รักษาเวกเตอร์เฉพาะที่เลือกไว้ในการแสดงสปินเนอร์จริง 8 มิติ กลุ่มSpin(7)เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มไอโซโทปีที่อธิบายไว้ด้านล่าง 

ดูเพิ่มเติม : PSL(2,7) – กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบฟาโน

ไอโซโทปีของพีชคณิตคือสามฟังก์ชันเชิงเส้นแบบ หนึ่งต่อ หนึ่ง ทั่วถึง a , b , cโดยที่ถ้าxy = zแล้วa ( x ) b ( y ) = c ( z )สำหรับa = b = cนั้น จะเหมือนกับออโตมอร์ฟิซึม กลุ่มไอโซโทปีของพีชคณิตคือกลุ่มของไอโซโทปีทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วยกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมเป็นกลุ่มย่อย

กลุ่มไอโซโทปีของอ็อกโทเนียนคือกลุ่มSpin (ℝ)โดยที่a , b , cทำหน้าที่เป็นตัวแทน 8 มิติสามตัว^{[ 16 ]}กลุ่มย่อยขององค์ประกอบที่c ตรึงเอกลักษณ์คือกลุ่มย่อยSpin (ℝ)และกลุ่มย่อยที่a , b , cตรึงเอกลักษณ์ทั้งหมดคือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมG

เช่นเดียวกับที่ควอเทอร์เนียนสามารถแทนด้วยเมทริกซ์ได้อ็อกโทเนียนก็สามารถแทนด้วยตารางของควอเทอร์เนียนได้เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากอ็อกโทเนียนใดๆ ก็สามารถนิยามได้ว่าเป็นคู่ของควอเทอร์เนียน เราจึงแทนอ็อกโทเนียนด้วยตารางของควอเทอร์เนียน${\displaystyle (q_{0},q_{1})}$เช่น: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{0}&q_{1}\\-q_{1}^{*}&q_{0}^{*}\end{bmatrix}}}$$

โดยใช้การคูณเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อย (ไม่ใช่แบบสมาคม): $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha _{0}&\alpha _{1}\\\alpha _{2}&\alpha _{3}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}\beta _{0}&\beta _{1}\\\beta _{2}&\beta _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{0}\beta _{0}+\beta _{2}\alpha _{1}&\beta _{1}\alpha _{0}+\alpha _{1}\beta _{3}\\\beta _{0}\alpha _{2}+\alpha _{3}\beta _{2}&\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{3}\beta _{3}\end{bmatrix}}}$$ เราสามารถแปลการบวกและการคูณอ็อกโทเนียนเป็นการดำเนินการที่เกี่ยวข้องบนเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนได้^{[ 6 ]}