ภาคตัดขวาง (ฟิสิกส์)

Q: การชนกันระหว่างอนุภาคก๊าซ

ใน แก๊ส ที่มีอนุภาคขนาดจำกัด จะมีการชนกันระหว่างอนุภาคซึ่งขึ้นอยู่กับขนาดของพื้นที่หน้าตัดของอนุภาค ระยะทางเฉลี่ยที่อนุภาคเคลื่อนที่ระหว่างการชนแต่ละครั้งขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของอนุภาคแก๊ส ปริมาณเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันโดย

ในวิชาฟิสิกส์ พื้นที่หน้าตัด ( cross section)คือค่าที่ใช้วัดความน่าจะเป็นที่กระบวนการเฉพาะอย่างจะเกิดขึ้นในการชนกันของอนุภาคสองตัว ตัวอย่างเช่นพื้นที่หน้าตัดของรัทเทอร์ฟอร์ด (Rutherford cross section)คือค่าที่ใช้วัดความน่าจะเป็นที่อนุภาคอัลฟาจะเบี่ยงเบนไปในมุมที่กำหนดระหว่างการชนกับนิวเคลียสของอะตอม โดย ทั่วไปแล้ว พื้นที่หน้าตัดจะใช้สัญลักษณ์ $σ$ ( ซิกมา ) และมีมิติเป็นพื้นที่โดยมีหน่วยเป็นตารางเมตรหรือบ่อยครั้งกว่าคือ หน่วยบาร์น ( barns ) ในแง่หนึ่ง อาจคิดได้ว่าเป็นขนาดของวัตถุที่การกระตุ้นต้องกระทบเพื่อให้กระบวนการเกิดขึ้น แต่ที่ถูกต้องกว่านั้นคือ เป็นพารามิเตอร์ของกระบวนการสุ่ม

ในฟิสิกส์คลาสสิก เมื่ออนุภาคสองอนุภาคที่แยกจากกันมีปฏิสัมพันธ์กัน พื้นที่หน้าตัดร่วมของพวกมันคือพื้นที่ที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของพวกมัน ซึ่งพวกมันต้องมาพบกันภายในพื้นที่นั้นเพื่อให้เกิดการกระเจิงออกจากกัน หากอนุภาคเป็นทรงกลม แข็ง ที่ปฏิสัมพันธ์กันเฉพาะเมื่อสัมผัสกันเท่านั้น พื้นที่หน้าตัดการกระเจิงจะสัมพันธ์กับขนาดทางเรขาคณิตของอนุภาค หากอนุภาคมีปฏิสัมพันธ์กันผ่านแรงกระทำจากระยะไกล เช่นแรงแม่เหล็กไฟฟ้าหรือแรงโน้มถ่วงพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงโดยทั่วไปจะมีขนาดใหญ่กว่าขนาดทางเรขาคณิตของอนุภาค

เมื่อระบุภาคตัดขวางเป็น ลิ มิตเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรสถานะสุดท้ายบางอย่าง เช่น มุมหรือพลังงานของอนุภาค จะเรียกว่าภาคตัดขวางเชิงอนุพันธ์ (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง) เมื่อรวมภาคตัดขวางเข้ากับมุมการกระเจิงทั้งหมด (และอาจรวมถึงตัวแปรอื่นๆ ด้วย) จะเรียกว่าภาคตัดขวางรวมหรือภาคตัดขวางรวมแบบอินทิเกรตตัวอย่างเช่น ในการกระเจิงแบบเรย์ลีความเข้มของการกระเจิงที่มุมไปข้างหน้าและข้างหลังจะมากกว่าความเข้มของการกระเจิงไปด้านข้าง ดังนั้นภาคตัดขวางการกระเจิงเชิงอนุพันธ์ไปข้างหน้าจึงมากกว่าภาคตัดขวางเชิงอนุพันธ์ตั้งฉาก และโดยการบวกภาคตัดขวางขนาดเล็กทั้งหมดในช่วงมุมทั้งหมดด้วยแคลคูลัสเชิงอินทิกรัล เราสามารถหาภาคตัดขวางรวมได้

ในฟิสิกส์ นิวเคลียร์ฟิสิกส์อะตอมและฟิสิกส์อนุภาคสามารถกำหนดพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงได้สำหรับการชนกันของลำแสงเร่งความเร็วของอนุภาคชนิดหนึ่งกับเป้าหมาย (ไม่ว่าจะอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่) ของอนุภาคชนิดที่สอง ความน่าจะเป็นที่ปฏิกิริยาใดๆ จะเกิดขึ้นนั้นเป็นสัดส่วนกับพื้นที่หน้าตัดของปฏิกิริยานั้น ดังนั้น การระบุพื้นที่หน้าตัดสำหรับปฏิกิริยาใดๆ จึงเป็นการบ่งชี้ถึงความน่าจะเป็นที่กระบวนการกระเจิงนั้นจะเกิดขึ้น

อัตราการเกิดปฏิกิริยาที่วัดได้ของกระบวนการใดๆ ขึ้นอยู่กับตัวแปรในการทดลองอย่างมาก เช่น ความหนาแน่นของวัสดุเป้าหมาย ความเข้มของลำแสง ประสิทธิภาพการตรวจจับของอุปกรณ์ หรือการตั้งค่ามุมของอุปกรณ์ตรวจจับ อย่างไรก็ตาม ปริมาณเหล่านี้สามารถตัดทิ้งไปได้ ทำให้สามารถวัดค่าภาคตัดขวางการชนกันของอนุภาคสองตัวที่อยู่เบื้องหลังได้

พื้นที่หน้าตัดการกระเจิงแบบแยกส่วนและแบบรวม เป็นปริมาณที่วัดได้ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งในฟิสิกส์นิวเคลียร์ฟิสิกส์อะตอมและฟิสิกส์อนุภาค

ในการกระเจิงของแสงจากอนุภาคพื้นที่หน้าตัดจะระบุปริมาณพลังงานแสงที่กระเจิงจากแสงที่มีความเข้มแสง ที่กำหนด (พลังงานต่อพื้นที่) แม้ว่าพื้นที่หน้าตัดจะมีหน่วยเดียวกับพื้นที่ แต่พื้นที่หน้าตัดอาจไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับขนาดทางกายภาพที่แท้จริงของเป้าหมายที่ได้จากการวัดในรูปแบบอื่น เป็นเรื่องปกติที่พื้นที่หน้าตัดที่แท้จริงของวัตถุที่กระเจิงแสงจะมีขนาดใหญ่หรือเล็กกว่าพื้นที่หน้าตัดที่คำนวณได้จากกระบวนการทางกายภาพบางอย่าง ตัวอย่างเช่นอนุภาคนาโนพลาสมอนิกอาจมีพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงแสงสำหรับความถี่เฉพาะที่ใหญ่กว่าพื้นที่หน้าตัดที่แท้จริงของมันมาก

การชนกันระหว่างอนุภาคก๊าซ

**รูปที่ 1.**ในก๊าซของอนุภาคที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางแต่ละอนุภาคเท่ากับ $2r$ $พื้นที่$ หน้าตัด $σ$ สำหรับการ ชนกันมีความสัมพันธ์กับความหนาแน่นของจำนวนอนุภาค $n$ และระยะทางอิสระเฉลี่ยระหว่างการชนกัน $λ$

ในแก๊สที่มีอนุภาคขนาดจำกัด จะมีการชนกันระหว่างอนุภาคซึ่งขึ้นอยู่กับขนาดของพื้นที่หน้าตัดของอนุภาค ระยะทางเฉลี่ยที่อนุภาคเคลื่อนที่ระหว่างการชนแต่ละครั้งขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของอนุภาคแก๊ส ปริมาณเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันโดย

\sigma ={\frac {1}{n\lambda }},

ที่ไหน

σ

คือพื้นที่หน้าตัดของการชนกันของอนุภาคสองตัว ( หน่วย SI :^m² )

λ

คือระยะทางเฉลี่ยระหว่างการชนกัน (หน่วย SI: เมตร)

n

คือความหนาแน่นเชิงจำนวนของอนุภาคเป้าหมาย (หน่วย SI: m⁻³ )

หากอนุภาคในแก๊สสามารถถือได้ว่าเป็นทรงกลมแข็งรัศมี $r$ ที่มีปฏิสัมพันธ์กันโดยการสัมผัสโดยตรง ดังแสดงในรูปที่ 1 แล้ว พื้นที่หน้าตัดประสิทธิผลสำหรับการชนกันของอนุภาคคู่หนึ่งจะเป็นดังนี้

\sigma =\pi \left(2r\right)^{2}

มันเท่ากับพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมีประสิทธิผลใหญ่กว่ารัศมีของอนุภาคก๊าซสองเท่า

หากอนุภาคในแก๊สมีปฏิสัมพันธ์กันด้วยแรงที่มีระยะมากกว่าขนาดทางกายภาพของอนุภาค พื้นที่หน้าตัดจะมีขนาดใหญ่ขึ้น ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายอย่าง เช่น พลังงานของอนุภาค

สามารถคำนวณภาคตัดขวางสำหรับการชนกันของอะตอมได้ แต่ก็ยังใช้ในระดับอนุภาคย่อยด้วย ตัวอย่างเช่น ในฟิสิกส์นิวเคลียร์ "ก๊าซ" ของนิวตรอน พลังงานต่ำ จะชนกับนิวเคลียสในเครื่องปฏิกรณ์หรืออุปกรณ์นิวเคลียร์อื่นๆ โดยมีภาคตัดขวางที่ขึ้นอยู่กับพลังงาน และด้วยเหตุนี้จึงมี ระยะทางเฉลี่ยอิสระระหว่างการชนที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน

การลดทอนของลำแสงอนุภาค

ในการกระเจิงแสงพื้นที่หน้าตัดสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ประสิทธิผลของอนุภาคหนึ่งที่ทำปฏิกิริยากับลำแสงที่มีความเข้มที่กำหนด $I_{0}$ พลังงานที่กระจัดกระจายโดยอนุภาคหนึ่งที่มีพื้นที่หน้าตัด ${\textstyle \sigma }$ และความเข้มที่เข้ามา ${\textstyle I_{\rm {inc}}}$ ได้รับจาก $P_{\rm {sca}}=P_{\rm {inc}}\times {\frac {\sigma }{A_{\rm {beam}}}}=I_{\rm {inc}}\sigma ,$ ที่ไหน ${\textstyle A_{\rm {beam}}}$ พื้นที่ผิวของลำแสงและ ${\textstyle P_{\rm {inc}}}$ คือพลังงานขาเข้า^{[ 1 ]}

ถ้าลำแสงอนุภาคเข้าสู่ชั้นวัสดุบางที่มีความหนา $dz ฟ$ ลักซ์ $Φ$ ของลำแสงจะลดลง $dΦ$ ตามสมการ

{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} z}}=-n\sigma \Phi ,

โดยที่ $σ$ คือพื้นที่หน้าตัดรวมของเหตุการณ์ทั้งหมด รวมถึง การกระเจิง การดูดกลืนหรือการเปลี่ยนรูปไปเป็นสปีชีส์อื่น ความหนาแน่นเชิงปริมาตรของศูนย์กลางการกระเจิงถูกกำหนดโดย $n$ การแก้สมการนี้แสดงให้เห็นถึงการลดทอนแบบเอกซ์ponential ของความเข้มของลำแสง:

\Phi =\Phi _{0}e^{-n\sigma z},

โดยที่ $Φ$ คือฟลักซ์เริ่มต้น และ $z$ คือความหนาทั้งหมดของวัสดุ สำหรับแสงนั้น เรียกว่ากฎของเบียร์-แลมเบิร์ต

ภาคตัดขวางเชิงอนุพันธ์

พิจารณา การวัด แบบคลาสสิกที่อนุภาคเดี่ยวถูกกระเจิงออกจากอนุภาคเป้าหมายเดี่ยวที่อยู่นิ่ง โดยทั่วไปจะใช้ระบบพิกัดทรงกลม โดยวางเป้าหมายไว้ที่จุดกำเนิดและแกน $z$ ของระบบพิกัดนี้อยู่ในแนวเดียวกับลำแสงตกกระทบ มุม $θ$ คือมุมการกระเจิงซึ่งวัดระหว่างลำแสงตกกระทบและลำแสงกระเจิง และ $φ$ คือมุมอะซิมุทัล

พารามิเตอร์การกระทบ $b$ คือค่าเบี่ยงเบนตั้งฉากของวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่เข้ามา และอนุภาคที่ออกไปจะออกมาที่มุมθ $สำหรับ$ ปฏิสัมพันธ์ที่กำหนด ( คูลอมบ์แม่เหล็กแรง โน้มถ่วงการสัมผัส ฯลฯ) พารามิเตอร์การกระทบและมุมการกระเจิงจะมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งที่แน่นอนต่อกัน โดยทั่วไปแล้ว พารามิเตอร์การกระทบไม่สามารถควบคุมหรือวัดได้จากเหตุการณ์หนึ่งไปยังอีกเหตุการณ์หนึ่ง และถือว่ามีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อเฉลี่ยจากเหตุการณ์การกระเจิงจำนวนมาก ขนาดเชิงอนุพันธ์ของภาคตัดขวางคือองค์ประกอบพื้นที่ในระนาบของพารามิเตอร์การกระทบ นั่นคือ $dσ$ $=$ $b dφ db ช่วง เชิงมุม$ เชิงอนุพันธ์ของอนุภาคที่กระเจิงที่มุม $θ$ $คือ$ องค์ประกอบมุมตัน $dΩ = sin$ $θ$ $dθ$ $dφ$ $ภาค$ $ตัด$ ขวางเชิงอนุพันธ์คือผลหาร $ของ$ $ปริมาณ$ $เหล่า$ นี้ $dσ / dΩ$

ค่านี้ขึ้นอยู่กับมุมการกระเจิง (และดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์การกระทบด้วย) บวกกับตัวแปรอื่นๆ เช่น โมเมนตัมของอนุภาคที่เข้ามา ค่าหน้าตัดเชิงอนุพันธ์จะถือว่าเป็นค่าบวกเสมอ แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วพารามิเตอร์การกระทบที่มากขึ้นจะทำให้เกิดการเบี่ยงเบนน้อยลง ในสถานการณ์ที่มีสมมาตรทรงกระบอก (เกี่ยวกับแกนลำแสง) มุมอะซิมุท $φ$ จะไม่เปลี่ยนแปลงโดยกระบวนการกระเจิง และค่าหน้าตัดเชิงอนุพันธ์สามารถเขียนได้ดังนี้

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi

.

ในสถานการณ์ที่กระบวนการกระเจิงไม่สมมาตรตามแนวระนาบ เช่น เมื่อลำแสงหรืออนุภาคเป้าหมายมีโมเมนต์แม่เหล็กที่วางตัวตั้งฉากกับแกนลำแสง ค่าภาคตัดขวางเชิงอนุพันธ์จะต้องแสดงในรูปของฟังก์ชันของมุมตามแนวระนาบด้วย

สำหรับการกระเจิงของอนุภาคที่มีฟลักซ์ตกกระทบ $F$ จากเป้าหมายนิ่งที่ประกอบด้วยอนุภาคจำนวนมาก พื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์ $⁠$ $d$ $σ$ $/$ $dΩ$ $⁠$ ที่มุม $($ $θ$ $,$ $φ$ $)$ มีความสัมพันธ์กับฟลักซ์การตรวจจับอนุภาคกระเจิง $F$ $($ $θ$ $,$ $φ$ $)$ ในหน่วยอนุภาคต่อหน่วยเวลา โดย

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc}}}}.

ในที่นี้ $ΔΩ$ คือขนาดเชิงมุมจำกัดของตัวตรวจจับ (หน่วย SI: sr⁻³ ), $n$ คือความหนาแน่นของจำนวนอนุภาคเป้าหมาย (หน่วย SI: m⁻³ ⁾ , และ $t$ คือความหนาของเป้าหมายที่อยู่กับที่ (หน่วย SI: m) สูตรนี้สมมติว่าเป้าหมายบางพอที่อนุภาคของลำแสงแต่ละอนุภาคจะทำปฏิกิริยากับอนุภาคเป้าหมายได้มากที่สุดเพียงหนึ่งอนุภาคเท่านั้น

พื้นที่หน้าตัดรวม $σ$ สามารถหาได้โดยการอินทิเกรตพื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์ $⁠$ $d$ $σ$ $/$ $dΩ$ $⁠$ ตลอดมุมตัน ทั้งหมด ( $4π$ สเตอเรเดียน):

\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \โอเมก้า }}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

โดยทั่วไปมักจะละเว้นคำคุณศัพท์ "เชิงอนุพันธ์" เมื่อสามารถอนุมานประเภทของภาคตัดขวางได้จากบริบท ในกรณีนี้ $σ$ อาจถูกเรียกว่าภาคตัดขวางเชิงปริพันธ์หรือภาคตัดขวางรวม คำว่า "รวม" อาจทำให้เกิดความสับสนในบริบทที่มีเหตุการณ์หลายอย่างเกี่ยวข้อง เนื่องจากคำว่า "รวม" อาจหมายถึงผลรวมของภาคตัดขวางจากทุกเหตุการณ์ด้วย

พื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์เป็นปริมาณที่มีประโยชน์อย่างยิ่งในหลายสาขาของฟิสิกส์ เนื่องจากการวัดพื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์สามารถเปิดเผยข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับโครงสร้างภายในของอนุภาคเป้าหมายได้ ตัวอย่างเช่น พื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์ของการกระเจิงแบบรัทเทอร์ฟอร์ดให้หลักฐานที่แข็งแกร่งสำหรับการมีอยู่ของนิวเคลียสของอะตอม

แทนที่จะใช้มุมตันอาจใช้การถ่ายโอนโมเมนตัม เป็นตัวแปรอิสระของภาคตัดขวางเชิงอนุพันธ์ได้

ส่วนตัดขวางเชิงอนุพันธ์ในการกระเจิงแบบไม่ยืดหยุ่นมีจุดสูงสุดของการสั่นพ้องซึ่งบ่งชี้ถึงการสร้างสถานะกึ่งเสถียร และมีข้อมูลเกี่ยวกับพลังงานและอายุการใช้งานของสถานะเหล่านั้น

การกระเจิงควอนตัม

ใน รูปแบบ ที่ไม่ขึ้นกับเวลาของ การกระเจิง ควอนตัม ฟังก์ชันคลื่นเริ่มต้น(ก่อนการกระเจิง) ถือว่าเป็นคลื่นระนาบที่มีโมเมนตัม $k$ ที่แน่นอน :

\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},

โดยที่ $z$ และ $r$ คือ พิกัด สัมพัทธ์ระหว่างวัตถุที่พุ่งชนและเป้าหมาย ลูกศรชี้แสดงว่านี่เป็นการอธิบายพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชันคลื่นเมื่อวัตถุที่พุ่งชนและเป้าหมายอยู่ห่างกันมากเกินไปจนปฏิกิริยาไม่มีผลใดๆ

หลังจากเกิดการกระเจิงแล้ว คาดว่าฟังก์ชันคลื่นจะมีรูปแบบเชิงเส้นกำกับดังต่อไปนี้:

\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ikr}}{r}},

โดยที่ $f$ คือฟังก์ชันบางอย่างของพิกัดเชิงมุมที่เรียกว่าแอมพลิจูดการกระเจิงรูปแบบทั่วไปนี้ใช้ได้กับการปฏิสัมพันธ์ระยะสั้นที่อนุรักษ์พลังงาน แต่ใช้ไม่ได้กับการปฏิสัมพันธ์ระยะยาว ดังนั้นจึงมีความซับซ้อนเพิ่มเติมเมื่อต้องจัดการกับการปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า

ฟังก์ชันคลื่นทั้งหมดของระบบมีพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกเหมือนผลรวม

\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+}(\mathbf {r} ).

พื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์มีความสัมพันธ์กับแอมพลิจูดการกระเจิง:

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr |}^{2}.

สามารถตีความได้ง่ายๆ ว่าเป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการพบวัตถุที่กระจัดกระจาย ณ มุมที่กำหนด

ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดจึงเป็นการวัดพื้นที่ผิวที่มีประสิทธิภาพที่อนุภาคที่พุ่งชนมองเห็น และแสดงในหน่วยของพื้นที่ พื้นที่หน้าตัดของอนุภาค สองอนุภาค (เช่น ที่สังเกตได้เมื่ออนุภาคสองอนุภาคชนกัน) เป็นการวัดเหตุการณ์ปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคสองอนุภาค พื้นที่หน้าตัดเป็นสัดส่วนกับความน่าจะเป็นที่ปฏิสัมพันธ์จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในการทดลองการกระเจิงอย่างง่าย จำนวนอนุภาคที่กระเจิงต่อหน่วยเวลา (กระแสของอนุภาคที่กระเจิง $I$ ) ขึ้นอยู่กับจำนวนอนุภาคที่ตกกระทบต่อหน่วยเวลา (กระแสของอนุภาคที่ตกกระทบ $I$ ) คุณลักษณะของเป้าหมาย (ตัวอย่างเช่น จำนวนอนุภาคต่อหน่วยพื้นที่ $N$ ) และประเภทของปฏิสัมพันธ์ สำหรับ $Nσ ≪ 1$ เราจะได้

{\begin{aligned}I_{\text{r}}&=I_{\text{i}}N\sigma ,\\\sigma &={\frac {I_{\text{r}}}{I_{\text{i}}}}{\frac {1}{N}}\\&={\text{ความน่าจะเป็นของการมีปฏิสัมพันธ์}}\times {\frac {1}{N}}.\end{aligned}}

ความสัมพันธ์กับเมทริกซ์ S

ถ้า มวล และโมเมนตัม ที่ลดลงของระบบที่ชนกันคือ $m$ , $p$ และ $m$ , $p$ ก่อนและหลังการชนตามลำดับ พื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์จะกำหนดโดย

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{\text{i}}m_{\text{f}}{\frac {p_{\text{f}}}{p_{\text{i}}}}{\bigl |}T_{{\text{f}}{\text{i}}}{\bigr |}^{2},

$โดยที่เมทริกซ์ T$ บนเปลือกถูกกำหนดโดย

S_{{\text{f}}{\text{i}}}=\delta _{{\text{f}}{\text{i}}}-2\pi i\delta \left(E_{\text{f}}-E_{\text{i}}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{\text{i}}-\mathbf {p} _{\text{f}}\right)T_{{\text{f}}{\text{i}}}

ในแง่ของเมทริกซ์ Sโดยที่ $δ$ คือฟังก์ชันเดลต้าของ Diracการคำนวณเมทริกซ์ S เป็นเป้าหมายหลักของทฤษฎีการกระเจิง

การกระเจิงจากทรงกลมตันและจากเปลือกทรงกลม

พิจารณาทรงกลมที่มีรัศมี $a$ ตามหลักคลาสสิกแล้วหน้าตัดจะเป็นดังนี้ $\pi a^{2}$ ในเชิงกลศาสตร์ควอนตัมและสำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ช้า (เช่น อนุภาคที่มีความยาวคลื่นเดอ บรอยล์มากกว่ามิติของตัวกระจายอนุภาคมาก) และ $S$ คลื่นที่มีพื้นที่หน้าตัดรวมคือ $4\pi a^{2}$ สำหรับอนุภาคที่มีความเร็วสูง จะต้องพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมที่สูงขึ้น และพื้นที่หน้าตัดรวมโดยประมาณคือ $2\pi a^{2}$ ในกรณีของเปลือกทรงกลม (ศักยภาพเป็นฟังก์ชันเดลต้า) พื้นที่หน้าตัดทั้งหมดช่วยให้เกิดการสั่นพ้องได้^{[ 2 ]}

หน่วย

แม้ว่าหน่วย SIของพื้นที่หน้าตัดทั้งหมดจะเป็นm² ^แต่ในทางปฏิบัติมักใช้หน่วยที่เล็กกว่า

ในฟิสิกส์นิวเคลียร์และอนุภาค หน่วยมาตรฐานคือ barn (สัญลักษณ์b ) โดยที่ 1 b = 10 ⁻²⁸ m ² = 100 fm ²^[³^] หน่วยย่อย ที่มีคำนำหน้าเช่นmb และ μb ก็ มีการใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์ จึงสามารถวัดได้ในหน่วยเช่น mb/sr

เมื่อรังสีที่กระเจิงเป็นแสงที่มองเห็นได้ โดยทั่วไปจะวัดความยาวของเส้นทางเป็นเซนติเมตรเพื่อหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการใช้ตัวแปลงหน่วย พื้นที่หน้าตัดการกระเจิงจะแสดงเป็น cm² ^และความเข้มข้นของจำนวนอนุภาคจะแสดงเป็น cm⁻³ ^การวัดการกระเจิงของแสงที่มองเห็นได้เรียกว่าเนเฟโลเมตรีและมีประสิทธิภาพสำหรับอนุภาคที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 2–50 ไมโครเมตรดังนั้นจึงมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านอุตุนิยมวิทยาและการวัดมลพิษทางอากาศ

การกระเจิงของรังสีเอกซ์สามารถอธิบายได้ในแง่ของพื้นที่หน้าตัดการกระเจิง ซึ่งในกรณีนี้หน่วยอังสตรอมกำลังสองเป็นหน่วย^ที่สะดวก: 1 Å² = ^10⁻²⁰ m² ⁼ 10 000 pm ² = 10 ⁸ b. ผลรวมของภาคตัดขวางการกระเจิง โฟโตอิเล็กทริก และการผลิตคู่ (ในหน่วยบาร์น) จะถูกแสดงในแผนภูมิเป็น "สัมประสิทธิ์การลดทอนอะตอม" (ลำแสงแคบ) ในหน่วยบาร์น^{[ 4 ]}

การกระเจิงของแสง

สำหรับแสง เช่นเดียวกับในกรณีอื่นๆ พื้นที่หน้าตัดการกระเจิงของอนุภาคโดยทั่วไปจะแตกต่างจากพื้นที่หน้าตัดทางเรขาคณิตของอนุภาค และขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสง ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้ารูปร่าง และขนาดของอนุภาค ปริมาณการกระเจิงทั้งหมดในตัวกลางที่เบาบางจะเป็นสัดส่วนกับผลคูณของพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงและจำนวนอนุภาคที่มีอยู่

ในการปฏิสัมพันธ์ระหว่างแสงกับอนุภาค เกิดกระบวนการหลายอย่างขึ้น โดยแต่ละกระบวนการมีพื้นที่หน้าตัดของตัวเอง ได้แก่การดูดกลืนการกระเจิงและการเรืองแสง ผลรวมของพื้นที่หน้าตัดการดูดกลืนและการกระเจิงบางครั้งเรียกว่า พื้นที่หน้าตัดการลดทอนหรือพื้นที่หน้าตัดการดับแสง

\sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.

พื้นที่หน้าตัดการดูดกลืนแสงโดยรวมมีความสัมพันธ์กับการลดทอนความเข้มของแสงตามกฎของเบียร์-แลมเบิร์ตซึ่งกล่าวว่าการลดทอนเป็นสัดส่วนกับความเข้มข้นของอนุภาค:

A_{\lambda }=Cl\sigma ,

โดยที่ $A$ คือการลดทอนที่ความยาวคลื่น $λ$ ที่กำหนด C คือความเข้มข้น $ของ$ อนุภาคในรูปของความหนาแน่นเชิงจำนวน และ $l$ คือความยาวเส้นทางการดูดกลืนรังสีคือลอการิทึม ( แบบทศนิยมหรือโดยทั่วไปคือแบบธรรมชาติ ) ของส่วนกลับของการส่งผ่านT : ^{[ 5 ]}

A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.

การรวมภาคตัดขวางการกระเจิงและการดูดกลืนเข้าด้วยกันในลักษณะนี้มักเป็นสิ่งที่จำเป็นเนื่องจากไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างทั้งสองได้จากการทดลอง และมีการวิจัยมากมายเพื่อพัฒนารูปแบบจำลองที่ช่วยให้สามารถแยกแยะความแตกต่างได้ โดยทฤษฎีของคูเบลกา-มังค์เป็นหนึ่งในทฤษฎีที่สำคัญที่สุดในด้านนี้

ภาคตัดขวางและทฤษฎีของ Mie

ค่าภาคตัดขวางที่คำนวณโดยทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีของ Mieนั้นรวมถึงสัมประสิทธิ์ประสิทธิภาพสำหรับการลดทอน ${\textstyle Q_{\text{ext}}}$ การกระจัดกระจาย ${\textstyle Q_{\text{sc}}}$ และการดูดซึม ${\textstyle Q_{\text{abs}}}$ พื้นที่หน้าตัดเหล่านี้ได้รับการปรับให้เป็นมาตรฐานโดยพื้นที่หน้าตัดทางเรขาคณิตของอนุภาค ${\textstyle \sigma _{\text{geom}}=\pi a^{2}}$ เช่น $Q_{\alpha }={\frac {\sigma _{\alpha }}{\sigma _{\text{geom}}}},\qquad \alpha ={\text{ext}},{\text{sc}},{\text{abs}}.$ หน้าตัดถูกกำหนดโดย

\sigma _{\alpha }={\frac {W_{\alpha }}{I_{\text{inc}}}}

ที่ไหน $\left[W_{\alpha }\right]=\left[{\text{W}}\right]$ คือการไหลของพลังงานผ่านพื้นผิวโดยรอบ และ $\left[I_{\text{inc}}\right]=\left[{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}\right]$ คือความเข้มของคลื่นตกกระทบ สำหรับคลื่นระนาบความเข้มจะเป็นดังนี้ $I_{\text{inc}}=|\mathbf {E} |^{2}/(2\eta )$ , ที่ไหน $\eta ={\sqrt {\mu \mu _{0}/(\varepsilon \varepsilon _{0})}}$ คือค่าอิมพีแดนซ์ของตัวกลางหลัก

แนวทางหลักนั้นอิงตามสิ่งต่อไปนี้ ขั้นแรก เราสร้างทรงกลมสมมติที่มีรัศมี $r$ (พื้นผิว $A$ ) รอบอนุภาค (ตัวกระจาย) อัตราสุทธิของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าที่ไหลผ่านพื้นผิว $A$ เป็น

W_{\text{a}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } \cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA

ที่ไหน ${\textstyle \mathbf {\Pi } ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {H} \right]}$ คือ เวกเตอร์ Poyntingเฉลี่ยตามเวลาถ้า $W_{\text{a}}>0$ พลังงานจะถูกดูดซับภายในทรงกลม มิฉะนั้นพลังงานจะถูกสร้างขึ้นภายในทรงกลม เราจะไม่พิจารณากรณีนี้ในที่นี้ หากตัวกลางที่เป็นตัวกลางไม่ดูดซับ พลังงานจะต้องถูกดูดซับโดยอนุภาค เราแยกสนามทั้งหมดออกเป็นส่วนตกกระทบและส่วนกระเจิง $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{\text{i}}+\mathbf {E} _{\text{s}}$ และเช่นเดียวกันสำหรับสนามแม่เหล็ก $\mathbf {H}$ ดังนั้น เราจึงสามารถแยกย่อยได้ $W_{a}$ เข้าสู่สามเทอม $W_{\text{a}}=W_{\text{i}}-W_{\text{s}}+W_{\text{ext}}$ , ที่ไหน

W_{\text{i}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{i}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA\equiv 0,\qquad W_{\text{s}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{s}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA,\qquad W_{\text{ext}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA.

ที่ไหน $\mathbf {\Pi } _{\text{i}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{i}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{i}}\right]$ , $\mathbf {\Pi } _{\text{s}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{s}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{s}}\right]$ , และ $\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]$ .

สนามทั้งหมดสามารถแยกออกเป็นอนุกรมของเวกเตอร์ฮาร์มอนิกทรงกลม (VSH)ได้ หลังจากนั้นจึงสามารถหาปริพันธ์ทั้งหมดได้ ในกรณีของทรงกลมสม่ำเสมอที่มีรัศมี $a$ ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า $\varepsilon$ และการซึมผ่าน $\mu$ ปัญหาดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาที่แม่นยำ^{[ 6 ]} สัมประสิทธิ์การกระเจิงและการดูดกลืนคือ $Q_{\text{sc}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})$ $Q_{\text{ext}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})$ ที่ไหน ${\textstyle k=n_{\text{host}}k_{0}}$ สิ่งเหล่านี้เชื่อมต่อกันดังนี้ $\sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{abs}}\qquad {\text{or}}\qquad Q_{\text{ext}}=Q_{\text{sc}}+Q_{\text{abs}}$

การประมาณค่าไดโพลสำหรับภาคตัดขวางการกระเจิง

สมมติว่าอนุภาคหนึ่งรองรับเฉพาะโหมดไดโพลไฟฟ้าและไดโพลแม่เหล็ก ที่มีค่าโพลาไรเซชันเท่านั้น ${\textstyle \mathbf {p} =\alpha ^{e}\mathbf {E} }$ และ ${\textstyle \mathbf {m} =(\mu \mu _{0})^{-1}\alpha ^{m}\mathbf {H} }$ (ในที่นี้เราใช้สัญลักษณ์ของค่าโพลาไรซ์แม่เหล็กในลักษณะของ Bekshaev et al. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}แทนที่จะใช้สัญลักษณ์ของ Nieto-Vesperinas et al. ^{[ 9 ]} ) ซึ่งแสดงผ่านสัมประสิทธิ์ Mie ดังนี้ $\alpha ^{e}=4\pi \varepsilon _{0}\cdot i{\frac {3\varepsilon }{2k^{3}}}a_{1},\qquad \alpha ^{m}=4\pi \mu _{0}\cdot i{\frac {3\mu }{2k^{3}}}b_{1}.$ จากนั้นหน้าตัดจะกำหนดโดย $\sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{ext}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{ext}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{m})$ $\sigma _{\text{sc}}=\sigma _{\text{sc}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{sc}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{e}|^{2}+{\frac {1}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{m}|^{2}$ และสุดท้ายคือค่าภาคตัดขวางการดูดกลืนทางไฟฟ้าและทางแม่เหล็ก ${\textstyle \sigma _{\text{abs}}=\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}}$ เป็น $\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]$ และ $\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]$

สำหรับกรณีของอนุภาคที่ไม่มีการเพิ่มพลังงานภายใน กล่าวคือ อนุภาคจะไม่ปล่อยพลังงานออกมาภายใน ( ${\textstyle \sigma _{\text{abs}}>0}$ ) เรามีกรณีเฉพาะของทฤษฎีบททางแสง ${\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]$ ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นสำหรับอนุภาคที่ไม่ดูดซับแสง กล่าวคือสำหรับ ${\textstyle \Im (\varepsilon )=\Im (\mu )=0}$ .

การกระเจิงของแสงบนวัตถุที่มีขนาดใหญ่

ในบริบทของการกระเจิงแสงบนวัตถุขนาดใหญ่ พื้นที่หน้าตัดการกระเจิง ( $σsc$ อธิบายถึงโอกาสที่แสงจะถูกกระเจิงโดยอนุภาคขนาดมหาสาร โดยทั่วไป พื้นที่หน้าตัดการกระเจิงจะแตกต่างจากพื้นที่หน้าตัดเชิงเรขาคณิตของอนุภาค เนื่องจากขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสงและค่าสภาพยอมทางไฟฟ้านอกเหนือจากรูปร่างและขนาดของอนุภาค ปริมาณการกระเจิงทั้งหมดในตัวกลางที่เบาบางจะถูกกำหนดโดยผลคูณของพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงและจำนวนอนุภาคที่มีอยู่ ในแง่ของพื้นที่พื้นที่หน้าตัดทั้งหมด ( $σ$ ) คือผลรวมของพื้นที่หน้าตัดเนื่องจากการดูดกลืนการกระเจิง และ การ เรืองแสง

\sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.

พื้นที่หน้าตัดทั้งหมดมีความสัมพันธ์กับการดูดกลืนความเข้มแสงผ่าน กฎ ของBeer–Lambertซึ่งกล่าวว่าการดูดกลืนเป็นสัดส่วนกับความเข้มข้น: $A = Clσ$ โดยที่ $A$ คือการดูดกลืนที่ความยาวคลื่น $λ ที่กำหนด$ $C$ คือความเข้มข้นในรูปของความหนาแน่นเชิงจำนวนและ $l$ คือความยาวเส้นทางการลดทอนหรือการดูดกลืนของรังสีคือลอการิทึม ( แบบทศนิยมหรือโดยทั่วไปคือแบบธรรมชาติ ) ของส่วนกลับของการส่งผ่านT : ^{[ 5 ]}

A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.

ความสัมพันธ์กับขนาดทางกายภาพ

ไม่มีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงกับขนาดทางกายภาพของอนุภาค เนื่องจากพื้นที่หน้าตัดการกระเจิงขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของรังสีที่ใช้ เราสามารถสังเกตเห็นได้เมื่อมองดูรัศมีรอบดวงจันทร์ในตอนเย็นที่มีหมอกลงจัด: โฟตอนแสงสีแดงจะสัมผัสกับพื้นที่หน้าตัดของหยดน้ำมากกว่าโฟตอนที่มีพลังงานสูงกว่า ดังนั้นรัศมีรอบดวงจันทร์จึงมีขอบเป็นแสงสีแดงเนื่องจากโฟตอนที่มีพลังงานต่ำกว่ากระเจิงออกไปไกลจากศูนย์กลางของดวงจันทร์ ส่วนโฟตอนจากช่วงคลื่นแสงที่มองเห็นได้จะอยู่ภายในศูนย์กลางของรัศมีและปรากฏเป็นแสงสีขาว

ช่วงอุตุนิยมวิทยา

พื้นที่หน้าตัดการกระเจิงมีความสัมพันธ์กับช่วงทางอุตุนิยมวิทยา $L$ :

L_{\text{V}}={\frac {3.9}{C\sigma _{\text{scat}}}}.

ปริมาณ $Cσ$ บางครั้งเรียกว่า $b$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์การกระเจิงต่อหน่วยความยาว^{[ 10 ]}

ตัวอย่าง

การชนแบบยืดหยุ่นของทรงกลมแข็งสองลูก

สมการต่อไปนี้ใช้กับทรงกลมแข็งสองลูกที่เกิดการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์[ 11 ^]ให้Rและ $r$ แทน $รัศมี$ ของจุดศูนย์กลางการกระเจิงและทรงกลมที่กระเจิงตามลำดับ พื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์คือ

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {R^{2}}{4}},

และพื้นที่หน้าตัดทั้งหมดคือ

\sigma _{\text{tot}}=\pi \left(r+R\right)^{2}.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่หน้าตัดการกระเจิงทั้งหมดเท่ากับพื้นที่ของวงกลม (ที่มีรัศมี $r + R$ ) ซึ่งจุดศูนย์กลางมวลของทรงกลมที่เข้ามาจะต้องมาถึงภายในนั้นจึงจะเกิดการเบี่ยงเบน

การกระเจิงของรัทเทอร์ฟอร์ด

ในการกระเจิงแบบรัทเทอร์ฟอร์ดอนุภาคตกกระทบที่มีประจุ $q$ และพลังงาน $E$ กระเจิงออกจากอนุภาคคงที่ที่มีประจุ $Q$ พื้นที่หน้าตัดเชิงอนุพันธ์คือ

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {q\,Q}{16\pi \varepsilon _{0}E\sin ^{2}(\theta /2)}}\right)^{2}

ที่ไหน $\varepsilon _{0}$ คือค่าสภาพยอมทางสุญญากาศ^{[ 12 ]}พื้นที่หน้าตัดทั้งหมดเป็นอนันต์ เว้นแต่จะมีการตัดมุมการกระเจิงเล็กๆ ออก $\theta$ นำไปใช้^{[ 13 ]}นี่เป็นผลมาจากระยะไกลของ $1/r$ ศักย์คูลอมบ์

การกระเจิงจากกระจกวงกลม 2 มิติ

ตัวอย่างต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับลำแสงที่กระเจิงออกจากวงกลมที่มีรัศมี $r$ และขอบเขตสะท้อนแสงสมบูรณ์แบบ ลำแสงประกอบด้วยรังสีขนานที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ และปฏิสัมพันธ์ระหว่างลำแสงกับวงกลมถูกจำลองขึ้นภายในกรอบของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตเนื่องจากปัญหานี้เป็นสองมิติอย่างแท้จริง พื้นที่หน้าตัดจึงมีหน่วยเป็นความยาว (เช่น เมตร) ให้ $α$ เป็นมุมระหว่างรังสีแสงและรัศมีที่เชื่อมจุดสะท้อนของรังสีกับจุดศูนย์กลางของกระจกเงา ดังนั้นการเพิ่มขึ้นขององค์ประกอบความยาวที่ตั้งฉากกับลำแสงคือ

\mathrm {d} x=r\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha .

มุมสะท้อนของรังสีนี้เมื่อเทียบกับรังสีขาเข้าคือ $2α$ $และ$ มุมการกระเจิงคือ

\theta =\pi -2\alpha .

ความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์ระหว่างความเข้มของการตกกระทบและความเข้มของการสะท้อน $I$ คือ

I\,\mathrm {d} \sigma =I\,\mathrm {d} x(x)=Ir\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha =I{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta .

ดังนั้นภาคตัดขวางเชิงอนุพันธ์คือ ( $dΩ = d θ$ )

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).

ค่าสูงสุดที่ $θ = π$ สอดคล้องกับการกระเจิงย้อนกลับ และค่าต่ำสุดที่ $θ = 0$ สอดคล้องกับการกระเจิงจากขอบวงกลมไปข้างหน้าโดยตรง สมการนี้ยืนยันความคาดหวังโดยสัญชาตญาณว่าวงกลมสะท้อนทำหน้าที่เหมือนเลนส์ กระจาย แสง พื้นที่หน้าตัดทั้งหมดเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม:

\sigma =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =2r.

การกระเจิงจากกระจกทรงกลมสามมิติ

ผลลัพธ์จากตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถนำมาใช้แก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกันในสามมิติได้ กล่าวคือ การกระเจิงจากทรงกลมสะท้อนแสงสมบูรณ์แบบที่มีรัศมี $a$

ระนาบที่ตั้งฉากกับลำแสงที่เข้ามาสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยพิกัดทรงกระบอก $r$ และ $φ$ ในระนาบใดๆ ของลำแสงที่เข้ามาและลำแสงสะท้อน เราสามารถเขียนได้ (จากตัวอย่างก่อนหน้านี้):

{\begin{aligned}r&=a\sin \alpha ,\\\mathrm {d} r&=a\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,\end{aligned}}

ในขณะที่องค์ประกอบพื้นที่ผลกระทบคือ

\mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} r(r)\times r\,\mathrm {d} \varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

ในระบบพิกัดทรงกลม

\mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

ร่วมกับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

\sin \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),

เราได้รับ

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {a^{2}}{4}}.

พื้นที่หน้าตัดทั้งหมดคือ

\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\pi a^{2}.

ดูเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

ภาคตัดขวางนิวเคลียร์
พื้นที่หน้าตัดการกระเจิง
IAEA – บริการข้อมูลนิวเคลียร์
BNL – ศูนย์ข้อมูลนิวเคลียร์แห่งชาติ
กลุ่มข้อมูลอนุภาค – วารสารฟิสิกส์อนุภาค
IUPAC Goldbook – คำจำกัดความ: พื้นที่หน้าตัดปฏิกิริยา
IUPAC Goldbook – คำจำกัดความ: พื้นที่หน้าตัดการชน
โปรแกรมสร้างกราฟแสดงภาคตัดขวาง ShimPlotWell สำหรับข้อมูลนิวเคลียร์

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

]ให้R

[ 12 ]

[ 13 ]

ไม่มีชื่อบทความ