ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์รูป แบบ มาตรฐาน รูป แบบปกติหรือรูปแบบมาตรฐาน ของวัตถุทางคณิตศาสตร์คือ วิธีมาตรฐานในการนำเสนอวัตถุนั้นในรูปของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์บ่อยครั้งที่มันเป็นรูปแบบที่ให้การแสดงวัตถุที่ง่ายที่สุดและช่วยให้สามารถระบุวัตถุนั้นได้อย่างเฉพาะเจาะจง ความแตกต่างระหว่างรูปแบบ "มาตรฐาน" และ "ปกติ" แตกต่างกันไปในแต่ละสาขาย่อย ในสาขาส่วนใหญ่ รูปแบบมาตรฐานจะระบุ การแสดงวัตถุ ที่ไม่ซ้ำกันในขณะที่รูปแบบปกติจะระบุเพียงรูปแบบของมัน โดยไม่มีข้อกำหนดเรื่องความไม่ซ้ำกัน^{[ 1 ]}

รูปแบบมาตรฐานของจำนวนเต็มบวกในระบบเลขฐานสิบคือลำดับของตัวเลขที่ไม่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ โดยทั่วไปแล้ว สำหรับกลุ่มของวัตถุที่ กำหนด ความสัมพันธ์สมมูลไว้ รูปแบบมาตรฐานจะประกอบด้วยการเลือกวัตถุเฉพาะหนึ่งชิ้นในแต่ละกลุ่ม ตัวอย่างเช่น:

• รูปแบบปกติของจอร์แดน (Jordan normal form)เป็นรูปแบบมาตรฐานสำหรับความคล้ายคลึงของเมทริกซ์
• รูปแบบขั้นบันไดแถว (Row Echelon Form)เป็น รูปแบบมาตรฐาน (Canonical Form ) เมื่อพิจารณาว่าเมทริกซ์และผลคูณทางซ้ายของเมทริกซ์นั้นกับเมทริกซ์ผกผัน มีความเทียบเท่ากัน

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตคอมพิวเตอร์เมื่อแสดงวัตถุทางคณิตศาสตร์ในคอมพิวเตอร์ มักจะมีหลายวิธีในการแสดงวัตถุเดียวกัน ในบริบทนี้ รูปแบบมาตรฐานคือการแสดงวัตถุในลักษณะที่วัตถุทุกชิ้นมีการแสดงที่ไม่ซ้ำกัน (โดยการทำให้เป็นมาตรฐานคือกระบวนการที่การแสดงวัตถุถูกนำไปใส่ในรูปแบบมาตรฐาน) ^{[ 2 ]}ดังนั้น ความเท่าเทียมกันของวัตถุสองชิ้นสามารถทดสอบได้ง่ายโดยการทดสอบความเท่าเทียมกันของรูปแบบมาตรฐานของวัตถุทั้ง สอง

แม้จะมีข้อดีดังกล่าว รูปแบบมาตรฐานมักขึ้นอยู่กับการเลือกโดยพลการ (เช่น ลำดับของตัวแปร) ซึ่งก่อให้เกิดความยากลำบากในการทดสอบความเท่าเทียมกันของวัตถุสองชิ้นที่ส่งผลให้การคำนวณเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น ในพีชคณิตคอมพิวเตอร์รูปแบบมาตรฐานจึงเป็นแนวคิดที่อ่อนกว่า: รูปแบบมาตรฐานคือการแสดงผลที่ศูนย์ถูกแสดงอย่างไม่ซ้ำกัน ซึ่งช่วยให้สามารถทดสอบความเท่าเทียมกันได้โดยการนำผลต่างของวัตถุสองชิ้นมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

รูปแบบมาตรฐานยังอาจหมายถึงรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่ถูกกำหนดขึ้นในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ (มาตรฐาน) อีกด้วย

กำหนดให้เซตSของวัตถุที่มีความสัมพันธ์สมมูลR บน Sรูปแบบมาตรฐาน (canonical form) จะได้มาจากการกำหนดให้วัตถุบางชิ้นในSอยู่ใน "รูปแบบมาตรฐาน" โดยที่วัตถุทุกชิ้นที่พิจารณาจะสมมูลกับวัตถุเพียงหนึ่งเดียวในรูปแบบมาตรฐานเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปแบบมาตรฐานในSแสดงถึงชั้นสมมูลเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ในการทดสอบว่าวัตถุสองชิ้นสมมูลกันหรือไม่ จึงเพียงพอที่จะทดสอบความเท่าเทียมกันบนรูปแบบมาตรฐานของวัตถุเหล่านั้น ดังนั้น รูปแบบมาตรฐานจึงให้ทฤษฎีบทการจำแนกประเภทและอื่นๆ อีกมากมาย เนื่องจากไม่เพียงแต่จำแนกแต่ละชั้นเท่านั้น แต่ยังให้ตัวแทน ที่โดดเด่น (มาตรฐาน) สำหรับแต่ละวัตถุในชั้นนั้นด้วย

ในทางรูปธรรม การทำให้เป็นมาตรฐานโดยสัมพันธ์กับความสัมพันธ์สมมูลRบนเซตSคือการแมปc : S → Sโดยที่สำหรับทุกs , s ₁ , s ₂ ∈ S :

1. c ( s ) = c ( c ( s )) ( idempotence ),
2. s ₁ R s ₂ก็ต่อเมื่อc ( s ₁ ) = c ( s ₂ ) (ความเด็ดขาด) และ
3. s R c ( s ) (ความสามารถในการเป็นตัวแทน)

คุณสมบัติข้อ 3 ซ้ำซ้อน เพราะเป็นผลมาจากการนำ 2 มาใช้กับ 1

ในทางปฏิบัติ การสามารถจดจำรูปแบบมาตรฐาน (canonical forms) มักเป็นประโยชน์ นอกจากนี้ยังมีคำถามเชิงปฏิบัติและเชิงอัลกอริทึมที่ต้องพิจารณาด้วย นั่นคือ จะส่งผ่านจากวัตถุs ที่กำหนด ในSไปยังรูปแบบมาตรฐานs * ได้อย่างไร? โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบมาตรฐานจะใช้เพื่อทำให้การดำเนินการกับชั้นสมมูล (equivalence classes) มีประสิทธิภาพมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ในเลขคณิตแบบมอดูลาร์ รูปแบบมาตรฐานสำหรับชั้นเศษเหลือมักจะถือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่น้อยที่สุดในชั้นนั้น การดำเนินการกับชั้นต่างๆ จะทำโดยการรวมตัวแทนเหล่านี้เข้าด้วยกัน แล้วลดผลลัพธ์ให้เหลือเศษเหลือที่ไม่เป็นลบที่น้อยที่สุด บางครั้งข้อกำหนดเรื่องความเป็นเอกลักษณ์จะผ่อนปรนลง ทำให้รูปแบบมีความเป็นเอกลักษณ์ได้จนถึงความสัมพันธ์สมมูลที่ละเอียดกว่า เช่น การอนุญาตให้เรียงลำดับเทอมใหม่ (หากไม่มีการเรียงลำดับตามธรรมชาติของเทอม)

^{รูปแบบมาตรฐานอาจเป็นเพียงข้อตกลง หรือ อาจ}เป็นทฤษฎีบทที่สำคัญมาก ตัวอย่างเช่น โดยทั่วไปแล้วพหุนามจะเขียนโดยเรียงลำดับกำลังจากมากไปน้อย กล่าวคือ นิยมเขียนx² + x + 30 มากกว่าx + 30 + x² แม้ว่าทั้งสอง ^รูปแบบจะนิยามพหุนามเดียวกันก็ตาม ในทางตรงกันข้าม การมีอยู่ของรูปแบบมาตรฐานจอร์แดนสำหรับเมทริกซ์นั้นเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญมาก

ตามที่OEDและLSJระบุไว้ คำว่าcanonicalมาจากคำภาษากรีกโบราณkanonikós ( κανονικός , "ปกติ, ตามกฎ") จากkanṓn ( κᾰνών , "แท่ง, กฎ") ความหมายของบรรทัดฐานมาตรฐานหรือต้นแบบ ถูกนำมาใช้ในหลายสาขาวิชา การใช้ งานทางคณิตศาสตร์ได้รับการยืนยันในจดหมายจากLogan ในปี 1738 ^{[ 3 ]}คำศัพท์ภาษาเยอรมันkanonische Formได้รับการยืนยันในบทความของEisenstein ในปี 1846 [ ^{4 ]}ต่อมาในปีเดียวกันRichelotใช้คำว่าNormalformในบทความ^{[ 5 ]}และในปี 1851 ^Sylvesterเขียนว่า: ^{[ 6 ]}

"ต่อไปนี้ผมจะกล่าวถึง [...] วิธีการลดรูปฟังก์ชันพีชคณิตให้เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดและสมมาตรที่สุด หรือที่เพื่อนที่น่ายกย่องของผมคุณเฮอร์ไมต์เสนอให้เรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน (Canonical forms )"

ในช่วงเวลาเดียวกัน การใช้งานได้รับการรับรองโดยHesse ("รูปแบบปกติ"), ^{[ 7 ]} Hermite ("forme canonique"), ^{[ 8 ]} Borchardt ("forme canonique"), ^{[ 9 ]}และCayley ("รูปแบบบัญญัติ") ^{[ 10 ]}

ในปี ค.ศ. 1865 พจนานุกรมวิทยาศาสตร์ วรรณกรรม และศิลปะได้ให้คำจำกัดความของรูปแบบมาตรฐานไว้ดังนี้:

"ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า หมายถึงรูปแบบ ซึ่งโดยปกติแล้วจะเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดหรือสมมาตรที่สุด ซึ่งฟังก์ชันทั้งหมดในกลุ่มเดียวกันสามารถลดรูปไปเป็นรูปแบบนี้ได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป"

หมายเหตุ: ในส่วนนี้ คำว่า " ถึง " ความสัมพันธ์สมมูล E บางอย่าง หมายความว่า รูปแบบมาตรฐานนั้นไม่เป็นเอกลักษณ์โดยทั่วไป แต่ถ้าวัตถุหนึ่งมีรูปแบบมาตรฐานที่แตกต่างกันสองรูปแบบ รูปแบบทั้งสองนั้นจะสมมูลกันตามความสัมพันธ์ E

นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์จำนวนมากใช้รูปแบบมาตรฐานเพื่อเขียนตัวเลขขนาดใหญ่ มาก ในรูปแบบที่กระชับและเข้าใจง่ายยิ่งขึ้น ซึ่งรูปแบบที่โดดเด่นที่สุดคือ สัญกร ณ์วิทยาศาสตร์^{[ 11 ]}

• การแสดงผลแบบมาตรฐานของจำนวนเต็มบวก
• รูปแบบมาตรฐานของเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับการแสดงจำนวนคือเศษส่วนต่อเนื่องแบบง่าย

วัตถุ	Aเทียบเท่ากับBก็ต่อเมื่อ:	รูปแบบปกติ	หมายเหตุ
เมทริกซ์ปกติเหนือจำนวนเชิงซ้อน	${\displaystyle A=U^{*}BU}$สำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์U บางตัว	เมทริกซ์แนวทแยง (โดยไม่นับรวมการเรียงลำดับใหม่)	นี่คือทฤษฎีสเปกตรัม
เมทริกซ์เหนือจำนวนเชิงซ้อน	${\displaystyle A=UBV^{*}}$สำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์ UและVบางตัว	เมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่าเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ (เรียงลำดับจากมากไปน้อย)	การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์
เมทริกซ์เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$สำหรับเมทริกซ์ผกผันP บางตัว	รูปแบบปกติของจอร์แดน (จนถึงการเรียงลำดับบล็อกใหม่)
เมทริกซ์เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$สำหรับเมทริกซ์ผกผันP บางตัว	รูปแบบมาตรฐานของ Weyr (โดยไม่คำนึงถึงการเรียงลำดับบล็อกใหม่)
เมทริกซ์เหนือฟิลด์	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$สำหรับเมทริกซ์ผกผันP บางตัว	รูปแบบปกติของฟรอเบนิอุส
เมทริกซ์เหนือโดเมนอุดมคติหลัก	${\displaystyle A=P^{-1}BQ}$สำหรับเมทริกซ์ผกผันบางเมทริกซ์PและQ	รูปแบบปกติของสมิธ (โดยไม่รวมตัวประกอบหน่วย)	ความเท่าเทียมกันนั้นเหมือนกับการอนุญาตให้มีการแปลงแถวและคอลัมน์พื้นฐานที่ผกผันได้
เมทริกซ์เหนือจำนวนเต็ม	${\displaystyle A=UB}$สำหรับเมทริกซ์ยูนิโมดูลาร์U บางตัว	เฮอร์ไมท์ รูปแบบปกติ
เมทริกซ์เหนือจำนวนเต็มมอดูล n		รูปแบบปกติของโฮเวลล์
ปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัด เหนือฟิลด์K	AและBเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่สมมาตรกัน	${\displaystyle K^{n}}$โดยที่ nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ :

• ^สมการของเส้นตรงคือAx  +  By  =  Cโดยที่^A² +  B²  =  1 และC  ≥ 0
• สมการของวงกลม:${\displaystyle (xh)^{2}+(yk)^{2}=r^{2}}$

ในทางตรงกันข้าม รูปแบบการเขียนสมการก็มีทางเลือกอื่น ตัวอย่างเช่น สมการของเส้นตรงอาจเขียนได้ในรูปสมการเชิงเส้นแบบจุด-ความชันและแบบความชัน-จุดตัดแกน y

ทรงหลายเหลี่ยมนูนสามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ดังนี้:

• ทุกด้านเรียบสนิท
• ขอบทุกด้านสัมผัสกับทรงกลมหน่วย และ
• จุดศูนย์กลางของทรงหลายเหลี่ยมอยู่ที่จุดกำเนิด^{[ 12 ]}

ทุกแมนิโฟลด์ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ จะมีกลุ่มโคแทนเจนต์เสมอ กลุ่มโคแทนเจนต์นั้นสามารถกำหนดรูปแบบเชิงอนุพันธ์ บางอย่างได้เสมอ ซึ่งเรียกว่ารูปแบบหนึ่งเชิงแคนอนิกรูปแบบนี้ทำให้กลุ่มโคแทนเจนต์มีโครงสร้างของแมนิโฟลด์เชิง ซิมเพล็กติก และอนุญาตให้สนามเวกเตอร์บนแมนิโฟลด์สามารถหาปริพันธ์ได้โดยใช้สมการออยเลอร์-ลากรองจ์หรือโดยใช้กลศาสตร์แฮมิลตัน ระบบ สมการเชิงอนุพันธ์ที่หาปริพันธ์ได้ดังกล่าวเรียกว่าระบบที่หาปริพันธ์ได้

การศึกษาระบบพลวัตนั้นทับซ้อนกับการศึกษาระบบที่สามารถหาคำตอบได้โดยในส่วนนี้จะมีแนวคิดเรื่องรูปแบบมาตรฐาน (ของระบบพลวัต )

ในการศึกษาแมนิโฟลด์ในสามมิติ เรามีรูป แบบพื้นฐานแรกรูปแบบพื้นฐานที่สองและรูปแบบพื้นฐานที่สาม

วัตถุ	Aเทียบเท่ากับBก็ต่อเมื่อ:	รูปแบบปกติ
ปริภูมิฮิลเบิร์ต	ถ้าAและBเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติอนันต์ทั้งคู่แล้วAและBจะเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงไอโซเมตริก	${\displaystyle \ell ^{2}(I)}$พื้นที่ลำดับ (โดยสามารถสลับชุดดัชนีIกับชุดดัชนีอื่นที่มีขนาด เท่ากันได้ )
พีชคณิตC*-สลับที่พร้อมหน่วย	AและBเป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะ C*-แอลเจบรา	พีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับโดยพิจารณาถึงความเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของปริภูมิฐาน ${\displaystyle C(X)}$

• รูปแบบปกติของการปฏิเสธ
• รูปแบบปกติของการเชื่อมคำ
• รูปแบบปกติแบบแยกส่วน
• รูปแบบปกติเชิงพีชคณิต
• รูปแบบปกติของ Prenex
• สโกเล็มในรูปแบบปกติ
• รูปแบบมาตรฐานของเบลคหรือที่รู้จักกันในชื่อ ผลรวมสมบูรณ์ของตัวบ่งชี้เฉพาะ ผลรวมสมบูรณ์ หรือรูปแบบเฉพาะแบบแยกส่วน

• รูปแบบปกติของ แคนเตอร์สำหรับ จำนวนเชิงลำดับ

• เกมรูปแบบปกติ

• รูปแบบปกติ (การอนุมานตามธรรมชาติ)

การเปลี่ยนแปลงสัญลักษณ์ของสูตรจากรูปแบบหนึ่งไปอีกรูปแบบหนึ่งเรียกว่า "การเขียนใหม่" ของสูตรนั้น เราสามารถศึกษาคุณสมบัติเชิงนามธรรมของการเขียนใหม่ของสูตรทั่วไปได้โดยการศึกษาชุดของกฎเกณฑ์ที่ใช้ในการเปลี่ยนแปลงสูตรอย่างถูกต้อง สิ่งเหล่านี้คือ "กฎการเขียนใหม่" ซึ่งเป็นส่วนสำคัญของระบบการเขียนใหม่เชิงนามธรรมคำถามที่พบบ่อยคือ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะนำนิพจน์ทั่วไปบางอย่างมาอยู่ในรูปแบบเดียวที่ใช้ร่วมกันได้ ซึ่งก็คือรูปแบบมาตรฐาน หากลำดับการเขียนใหม่ที่แตกต่างกันยังคงได้ผลลัพธ์เป็นรูปแบบเดียวกัน รูปแบบนั้นก็สามารถเรียกว่ารูปแบบมาตรฐานได้ โดยการเขียนใหม่นั้นเรียกว่าจุดบรรจบ อย่างไรก็ตาม การจะได้รูปแบบมาตรฐานนั้นไม่ใช่เรื่องที่เป็นไปได้เสมอไป

• เทอมแลมบ์ดาจะอยู่ในรูปแบบเบตาปกติหากไม่มีการลดรูปเบตาใดๆ ที่เป็นไปได้แคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นกรณีพิเศษของระบบการเขียนใหม่แบบนามธรรม ตัวอย่างเช่น ในแคลคูลัสแลมบ์ดาแบบไม่ระบุชนิด เทอมนั้นไม่มีรูปแบบปกติ ในแคลคูลัสแลมบ์ดาแบบระบุชนิด ทุกเทอมที่มีรูปแบบถูกต้องสามารถเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปแบบปกติได้${\displaystyle (\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))}$

ในทฤษฎีกราฟซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ปัญหาการหาฟอร์มมาตรฐานของกราฟ (graph canonization) คือปัญหาของการหาฟอร์มมาตรฐานของกราฟG ที่กำหนดให้ ฟอร์มมาตรฐานคือกราฟที่มีป้ายกำกับ Canon( G ) ที่สมมาตรกับGโดยที่กราฟทุกกราฟที่สมมาตรกับGจะมีฟอร์มมาตรฐานเดียวกันกับGดังนั้น จากการแก้ปัญหาการหาฟอร์มมาตรฐานของกราฟ เราสามารถแก้ปัญหาเรื่องความสมมาตรของกราฟ ได้เช่นกัน กล่าว คือ ในการทดสอบว่ากราฟGและHสมมาตรกันหรือไม่ ให้คำนวณฟอร์มมาตรฐาน Canon( G ) และ Canon( H ) ของกราฟทั้งสอง แล้วทดสอบว่าฟอร์มมาตรฐานทั้งสองนี้เหมือนกันหรือไม่

ในด้านคอมพิวเตอร์การลดทอนข้อมูลให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานใดๆ มักเรียกว่าการทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐาน (Data Normalization )

ตัวอย่างเช่นการทำให้ฐานข้อมูลเป็นมาตรฐานคือกระบวนการจัดระเบียบฟิลด์และตารางของฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์เพื่อลดความซ้ำซ้อนและการพึ่งพา ให้น้อยที่สุด ^{[ 13 ]}

ในด้านความปลอดภัยของซอฟต์แวร์ช่องโหว่ที่พบบ่อยคือข้อมูลป้อนเข้าที่เป็นอันตรายโดยไม่ได้รับการตรวจสอบ (ดูการแทรกโค้ด ) วิธีแก้ไขปัญหานี้คือการตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลป้อนเข้า อย่างเหมาะสม ก่อนที่จะทำการตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลป้อนเข้า โดยปกติแล้วข้อมูลป้อนเข้าจะถูกปรับให้เป็นมาตรฐานโดยการกำจัดวิธีการเข้ารหัส (เช่นการเข้ารหัส HTML ) และลดข้อมูลป้อนเข้าให้เหลือชุดอักขระ ทั่วไปชุด เดียว

ข้อมูลรูปแบบอื่น ๆ ที่มักเกี่ยวข้องกับการประมวลผลสัญญาณ (รวมถึงเสียงและภาพ ) หรือการเรียนรู้ของเครื่องสามารถปรับให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ได้ช่วงค่าที่จำกัดได้

ในการจัดการเนื้อหาแนวคิดเรื่องแหล่งข้อมูลที่ถูกต้องเพียงแหล่งเดียว (Single Source of Truth : SSOT) สามารถนำมาประยุกต์ใช้ได้ เช่นเดียวกับการทำให้ฐานข้อมูลเป็นมาตรฐานโดยทั่วไปและในการพัฒนาซอฟต์แวร์ระบบจัดการเนื้อหาที่มีประสิทธิภาพจะจัดหาวิธีการเชิงตรรกะเพื่อให้ได้มาซึ่งแหล่งข้อมูลที่ถูกต้อง เช่นการแทรกหรือรวมข้อมูล (Transclusion )

• การทำให้เป็นมาตรฐาน
• ฐานหลัก
• คลาสแคนนอน
• การทำให้เป็นมาตรฐาน (การขจัดความกำกวม)
• การกำหนดมาตรฐาน