บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคสำหรับลอการิทึม ทุกๆ กรณีของ${\displaystyle \log(x)}$ฐานที่ไม่มีตัวห้อยควรตีความว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมักเขียนว่า${\displaystyle \ln(x)}$หรือ${\displaystyle \log _{e}(x)}$.

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ( PNT ) อธิบาย การกระจาย ตัวเชิงอะซิมโทติกของ จำนวนเฉพาะในหมู่จำนวนเต็มบวก ทฤษฎีบทนี้ทำให้แนวคิดเชิงสัญชาตญาณที่ว่าจำนวนเฉพาะจะพบได้น้อยลงเมื่อมีขนาดใหญ่ขึ้นเป็นรูปธรรม โดยการระบุอัตราการเกิดเหตุการณ์นี้อย่างแม่นยำ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยอิสระโดยJacques Hadamard ^{[ 1 ]}และCharles Jean de la Vallée Poussin ^{[ 2 ]}ในปี 1896 โดยใช้แนวคิดที่นำเสนอโดยBernhard Riemann (โดยเฉพาะฟังก์ชันซีตาของ Riemann )

การแจกแจงแบบแรกที่พบคือπ ( N ) ~ ⁠ N / log( N ) ⁠โดยที่π ( N )คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับN ) และlog( N )คือลอการิทึมธรรมชาติของNซึ่งหมายความว่าสำหรับN ที่มีขนาดใหญ่พอ ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มสุ่มที่ไม่มากกว่าN จะเป็นจำนวนเฉพาะ นั้นใกล้เคียงกับ1 / log( N ) มาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ช่องว่างเฉลี่ยระหว่างจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกันใน จำนวนเต็ม N ตัวแรกนั้น โดยประมาณคือlog( N ) ^{[ 3 ]}ดังนั้น จำนวนเต็มสุ่มที่มีหลักไม่เกิน2 n (สำหรับn ที่มีขนาดใหญ่พอ) มีโอกาสเป็นจำนวนเฉพาะประมาณครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มสุ่มที่มี หลักไม่เกินnตัวอย่างเช่น ในบรรดาจำนวนเต็มบวกที่มีหลักไม่เกิน 1000 หลัก จะมีจำนวนเฉพาะประมาณ 1 ใน 2300 ( log(10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302.6 ) ในขณะที่ในบรรดาจำนวนเต็มบวกที่มีหลักไม่เกิน 2000 หลัก จะมีจำนวนเฉพาะประมาณ 1 ใน 4600 ( log(10 ²⁰⁰⁰ ) ≈ 4605.2 )

ให้π ( x )เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะที่กำหนดให้เป็นจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับxสำหรับจำนวนจริงx ใดๆ ตัวอย่างเช่นπ (10) = 4เพราะมีจำนวนเฉพาะสี่จำนวน (2, 3, 5 และ 7) ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 10 ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่าx /log xเป็นค่าประมาณที่ดีของπ ( x ) (โดยที่ log ในที่นี้หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ) ในแง่ที่ว่าลิมิตของผลหารของฟังก์ชันπ ( x )และx /log xเมื่อxเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขตคือ 1: 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}$

รู้จักกันในชื่อกฎการกระจายเชิงอะซิมโทติกของจำนวนเฉพาะโดยใช้สัญกรณ์เชิงอะซิมโทติกผลลัพธ์นี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

สัญลักษณ์นี้ (และทฤษฎีบท) ไม่ได้กล่าวถึงลิมิตของผลต่างของฟังก์ชันทั้งสองเมื่อxเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต แต่ทฤษฎีบทกล่าวว่าx / log xประมาณค่าπ ( x )ในแง่ที่ว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการประมาณค่านี้จะเข้าใกล้ 0 เมื่อxเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะเทียบเท่ากับข้อความที่ว่าจำนวนเฉพาะลำดับที่n คือ p ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อ ไปนี้

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

สัญลักษณ์เชิงอะซิมโทติกหมายความว่า ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการประมาณนี้จะเข้าใกล้ 0 เมื่อnเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น^{จำนวนเฉพาะลำดับที่ 17}คือ2 × 108 512 677 386 048 191 063 , ^{[ 4 ]}และ (2 × 10 ¹⁷ )log(2 × 10 ¹⁷ ) ปัดเศษเป็น7 967 418 752 291 744 388มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ประมาณ 6.4%

ในทางกลับกัน ความสัมพันธ์เชิงอะซิมโทติกต่อไปนี้มีความสมมูลกันทางตรรกะ: ^{[ 5 ] : 80–82}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}&=1,{\text{ และ}}\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log \pi (x)}{x}}\,&=1.\end{aligned}}}$

ดังที่ได้อธิบายไว้ด้านล่างทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะยังเทียบเท่ากับ

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,}$

โดยที่ϑและψคือฟังก์ชันเชบิเชฟลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองตามลำดับ และไปยัง

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {M(x)}{x}}=0,}$^{[ 5 ] : 92–94}

ที่ไหน${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$คือฟังก์ชันเมอร์เทนส์

จากตารางของAnton FelkelและJurij Vega Adrien - Marie Legendreตั้งข้อสันนิษฐานในปี 1797 หรือ 1798 ว่าπ ( a )สามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชันa /( A log a + B )โดยที่AและBเป็นค่าคงที่ที่ไม่ได้ระบุ ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สองของหนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน (1808) เขาจึงตั้งข้อสันนิษฐานที่แม่นยำยิ่งขึ้น โดยกำหนด ให้A = 1และB = −1.08366 Carl Friedrich Gaussพิจารณาคำถามเดียวกันนี้เมื่ออายุ 15 หรือ 16 ปี "ในปี 1792 หรือ 1793" ตามความทรงจำของเขาเองในปี 1849 ^{[ 6 ]}ในปี 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichletได้คิดค้นฟังก์ชันประมาณค่าของเขาเอง คือ อิน ทิกรัลลอการิทึมli( x ) (ในรูปแบบอนุกรมที่แตกต่างกันเล็กน้อย ซึ่งเขาได้แจ้งให้ Gauss ทราบ) ทั้งสูตรของเลอจองเดอร์และดิริชเลต์ต่างก็บ่งบอกถึงความสมมูลเชิงอะซิมโทติกที่คาดการณ์ไว้ของπ ( x )และx /log( x )ดังที่กล่าวมาข้างต้น แม้ว่าในที่สุดแล้ว การประมาณค่าของดิริชเลต์จะดีกว่ามากหากพิจารณาจากผลต่างแทนที่จะเป็นผลหาร

ในเอกสารสองฉบับจากปี 1848 และ 1850 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียPafnuty Chebyshevพยายามพิสูจน์กฎการกระจายตัวเชิงอะซิมโทติกของจำนวนเฉพาะ งานของเขาโดดเด่นด้วยการใช้ฟังก์ชันซีตาζ ( s )สำหรับค่าจริงของอาร์กิวเมนต์ " s " เช่นเดียวกับงานของLeonhard Eulerตั้งแต่ปี 1737 เอกสารของ Chebyshev มีมาก่อนบันทึกอันโด่งดังของ Riemann ในปี 1859 และเขาสามารถพิสูจน์กฎเชิงอะซิมโทติกในรูปแบบที่อ่อนกว่าเล็กน้อยได้ กล่าวคือ ถ้าลิมิตเมื่อxเข้าสู่อินฟินิตี้ของπ ( x )/( x /log( x )) มีอยู่จริง มันจะต้องเท่ากับหนึ่ง^{[ 7 ]}เขาสามารถพิสูจน์ได้อย่างไม่มีเงื่อนไขว่าอัตราส่วนนี้มีขอบเขตบนและล่างที่ 0.92129 และ 1.10555 สำหรับxที่ มีค่ามากพอ ^{[ 8 ] [ 9 ]}แม้ว่าบทความของเชบิเชฟจะไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ แต่การประมาณค่า π ( x ) ของ เขานั้นแข็งแกร่งพอที่จะพิสูจน์สมมติฐานของเบอร์ทรานด์ที่ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่ระหว่างnและ2 nสำหรับจำนวนเต็มn ≥ 2 ใด ๆ

เอกสารสำคัญเกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะคือบทความของรีมันน์ในปี ค.ศ. 1859 เรื่อง " เกี่ยวกับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าขนาดที่กำหนด " ซึ่งเป็นเอกสารเพียงฉบับเดียวที่เขาเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ รีมันน์ได้นำเสนอแนวคิดใหม่ๆ เข้ามาในเรื่องนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่ขยายเชิงวิเคราะห์ของตัวแปรเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในเอกสารฉบับนี้เองที่เป็นที่มาของแนวคิดในการนำวิธีการวิเคราะห์เชิงซ้อน มาใช้ ในการศึกษาฟังก์ชันจริงπ ( x )การขยายแนวคิดของรีมันน์ ทำให้มีการค้นพบการพิสูจน์กฎเชิงอะซิมโทติกของการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะสองแบบโดยอิสระโดยJacques Hadamard ^{[ 1 ]}และCharles Jean de la Vallée Poussin ^{[ 2 ]}และตีพิมพ์ในปีเดียวกัน (ค.ศ. 1896) หลักฐานทั้งสองใช้วิธีการจากการวิเคราะห์เชิงซ้อน โดยกำหนดขั้นตอนหลักของหลักฐานว่าฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ζ ( s )ไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าเชิงซ้อนทั้งหมดของตัวแปรsที่มีรูปแบบs = 1 + itโดยที่t > 0 ^{[ 10 ]}

ในช่วงศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีบทของ Hadamard และ de la Vallée Poussin เป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ มีการค้นพบการพิสูจน์ที่แตกต่างกันหลายแบบ รวมถึงการพิสูจน์แบบ "พื้นฐาน" ของAtle Selberg (1949) ^{[ 11 ]}และPaul Erdős (1949) ^{[ 12 ]} การพิสูจน์ดั้งเดิมของ Hadamard และde la Vallée Poussinนั้นยาวและซับซ้อน การพิสูจน์ในภายหลังได้นำเสนอการลดรูปต่างๆ ผ่านการใช้ทฤษฎีบท Tauberianแต่ก็ยังคงเข้าใจยาก การพิสูจน์แบบสั้นถูกค้นพบในปี 1980 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันDonald J. Newman [ ^{13 ] [ 14 ] การ}พิสูจน์ของ Newman อาจกล่าวได้ว่าเป็นการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดเท่าที่รู้จักของทฤษฎีบทนี้ แม้ว่าจะไม่ใช่ "พื้นฐาน"เนื่องจากใช้ทฤษฎีบทปริพันธ์ของ Cauchyจากการวิเคราะห์เชิงซ้อน

นี่คือภาพร่างของบทพิสูจน์ที่อ้างถึงในการบรรยายครั้งหนึ่งของTerence Tao ^{[ 15 ]}เช่นเดียวกับบทพิสูจน์ส่วนใหญ่ของ PNT บทพิสูจน์นี้เริ่มต้นด้วยการกำหนดปัญหาใหม่ในแง่ของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะที่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณ แต่มีพฤติกรรมที่ดีกว่า แนวคิดคือการนับจำนวนเฉพาะ (หรือเซตที่เกี่ยวข้อง เช่น เซตของกำลังของจำนวนเฉพาะ) ด้วยน้ำหนักเพื่อให้ได้ฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับที่ราบเรียบกว่า ฟังก์ชันการนับทั่วไปที่พบได้บ่อยที่สุดคือฟังก์ชัน Chebyshev ψ ( x )ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\sum _{\overset {p^{k}\leq x,}{\!\!\!\!p{\text{ เป็นจำนวนเฉพาะ}}\!\!\!\!}}\log p\;.}$

บางครั้งเขียนแบบนี้

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,}$

โดยที่Λ ( n )คือฟังก์ชัน von Mangoldtกล่าวคือ

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

ขณะนี้สามารถตรวจสอบได้ค่อนข้างง่ายว่า PNT เทียบเท่ากับข้ออ้างที่ว่า

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.}$

อันที่จริงแล้ว สิ่งนี้เป็นผลมาจากการประมาณการอย่างง่าย

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\overset {p\leq x}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{\overset {p\leq x}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log x=\pi (x)\log x}$

และ (โดยใช้สัญลักษณ์Oใหญ่ ) สำหรับε > 0ใด ๆ

${\displaystyle \psi (x)\geq \sum _{\!\!\!\!{\overset {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!}\log p\geq \sum _{\!\!\!\!{\overset {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!}(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x\;.}$

ขั้นตอนต่อไปคือการหาตัวแทนที่มีประโยชน์สำหรับψ ( x )ให้ζ ( s )เป็นฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ สามารถแสดงได้ว่าζ ( s )มีความสัมพันธ์กับฟังก์ชัน von Mangoldt Λ ( n )และด้วยเหตุนี้จึงมีความสัมพันธ์กับψ ( x )ผ่านความสัมพันธ์

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.}$

การวิเคราะห์อย่างละเอียดของสมการนี้และคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องของฟังก์ชันซีตา โดยใช้การแปลงเมลลินและสูตรของเพอร์รอน แสดงให้เห็นว่าสำหรับ xที่ไม่ใช่จำนวนเต็มสมการนี้

${\displaystyle \psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\!\!\!\!\sum \limits _{\rho$ :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}

สูตรนี้เป็นจริง โดยผลรวมนั้นครอบคลุมศูนย์ทั้งหมด (ทั้งศูนย์ที่ไม่สำคัญและสำคัญ) ของฟังก์ชันซีตา สูตรที่น่าทึ่งนี้เป็นหนึ่งในสูตรที่เรียกว่าสูตรชัดแจ้งของทฤษฎีจำนวนและชี้ให้เห็นถึงผลลัพธ์ที่เราต้องการพิสูจน์อยู่แล้ว เนื่องจากพจน์x (ซึ่งอ้างว่าเป็นลำดับเชิงอะซิมโทติกที่ถูกต้องของψ ( x ) ) ปรากฏอยู่ทางด้านขวามือ ตามด้วยพจน์เชิงอะซิมโทติกที่มีลำดับต่ำกว่า (โดยสันนิษฐาน)

ขั้นตอนต่อไปในการพิสูจน์เกี่ยวข้องกับการศึกษาค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตา ค่าศูนย์ที่ไม่สำคัญ −2, −4, −6, −8, ... สามารถจัดการแยกกันได้:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

ซึ่งจะหายไปเมื่อx มีค่ามาก ศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ธรรมดา กล่าวคือ ศูนย์ที่อยู่บนแถบวิกฤต0 ≤ Re( s ) ≤ 1อาจมีลำดับเชิงอะซิมโทติกที่เทียบได้กับเทอมหลักxถ้าRe( ρ ) = 1ดังนั้นเราจึงต้องแสดงให้เห็นว่าศูนย์ทั้งหมดมีส่วนจริงน้อยกว่า 1 อย่างเคร่งครัด

DJ Newmanนำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (PNT) อย่างรวดเร็ว การพิสูจน์นี้ "ไม่ใช่แบบพื้นฐาน" เนื่องจากอาศัยการวิเคราะห์เชิงซ้อน แต่ใช้เพียงเทคนิคพื้นฐานจากหลักสูตรเบื้องต้นในเรื่องนี้ ได้แก่สูตรปริพันธ์ของ Cauchyทฤษฎีบทปริพันธ์ของ Cauchyและการประมาณค่าปริพันธ์เชิงซ้อน นี่คือภาพร่างโดยย่อของการพิสูจน์นี้ ดู^{[ 14 ]}สำหรับรายละเอียดทั้งหมด

การพิสูจน์ใช้หลักการเบื้องต้นเช่นเดียวกับในส่วนก่อนหน้า ยกเว้นว่าแทนที่จะใช้ฟังก์ชัน${\textstyle \ \psi \ ,}$ฟังก์ชันเชบิเชฟ${\textstyle \ \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p\ }$ถูกนำมาใช้ ซึ่งได้มาจากการตัดบางพจน์ออกจากอนุกรมสำหรับ${\textstyle \ \psi ~.}$เช่นเดียวกับข้อโต้แย้งในการพิสูจน์ก่อนหน้านี้โดยอ้างอิงจากการบรรยายของ Tao เราสามารถแสดงได้ว่าϑ ( x ) ≤ π ( x ) log xและϑ ( x ) ≥ ( 1 − ɛ ) ( π ( x ) + O( x ^{1 − ɛ} ) ) log xสำหรับ0 < ɛ < 1ใด ๆ ดังนั้น PNT จึงเทียบเท่ากับ${\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\tfrac {\ \vartheta (x)\ }{x}}=1~.}$ ในทำนองเดียวกัน แทนที่จะ${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}\ }$ฟังก์ชัน${\displaystyle \ \Phi (s)=\sum _{p\leq x}{\tfrac {\ \log p\ }{\;p^{s}\ }}\ }$ถูกนำมาใช้ ซึ่งได้มาจากการตัดบางพจน์ในอนุกรมออกไป${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}~.}$ฟังก์ชันต่างๆ${\displaystyle \ \Phi (s)\ }$ และ${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}\ }$แตกต่างกันโดยฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบน${\displaystyle \ \Re (s)=1~.}$เนื่องจากดังที่ได้แสดงไว้ในส่วนก่อนหน้านี้แล้ว${\displaystyle \ \zeta (s)\ }$ ไม่มีเลขศูนย์ในบรรทัดนั้น${\displaystyle \ \Re =1\ ,}$และ${\displaystyle \ \Phi (s)-{\tfrac {1}{\ s-1\ }}\ }$ไม่มีจุดเอกฐานบน${\displaystyle \ \Re (s)=1~.}$

ข้อมูลเพิ่มเติมอีกประการหนึ่งที่จำเป็นในการพิสูจน์ของนิวแมน และเป็นกุญแจสำคัญในการประมาณค่าด้วยวิธีการง่ายๆ ของเขา ก็คือ${\displaystyle \ {\tfrac {\ \vartheta (x)\ }{x}}\ }$มีขอบเขตจำกัด สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยใช้วิธีการที่ชาญฉลาดและง่ายดายซึ่งคิดค้นโดยเชบิเชฟ

การบูรณาการโดยใช้ส่วนประกอบแสดงให้เห็นว่าอย่างไร${\displaystyle \ \vartheta (x)\ }$และ${\displaystyle \ \Phi (s)\ }$มีความเกี่ยวข้อง: สำหรับ${\displaystyle \ \Re (s)>1\ ,}$

${\displaystyle \Phi (s)~=~\int _{1}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} \vartheta (x)}{\;x^{s}\ }}~=~s\int _{1}^{\infty }{\frac {\vartheta (x)}{\ x^{s+1}\ }}\operatorname {d} x~=~s\int _{0}^{\infty }{\frac {\;\vartheta (e^{t})\ }{\;e^{st}\ }}\operatorname {d} t~.}$

วิธีการของนิวแมนพิสูจน์ทฤษฎีบทพอยน์เทนเนนเชียล (PNT) โดยแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัล

${\displaystyle I\equiv \int _{0}^{\infty }\left({\frac {\ \vartheta (e^{t})\ }{e^{t}}}-1\right)\operatorname {d} t~.}$

ลู่เข้า และดังนั้นตัวอินทิกรัลจึงเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ${\displaystyle \ t\to \infty \ ,}$ซึ่งก็คือ PNT โดยทั่วไปแล้ว การลู่เข้าของปริพันธ์ไม่เหมาะสมไม่ได้หมายความว่าตัวถูกอินทิเกรตจะเข้าใกล้ศูนย์ที่อนันต์เสมอไป เนื่องจากมันอาจมีการแกว่งไปมา แต่เนื่องจาก${\displaystyle \ \vartheta \ }$หากเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ก็สามารถแสดงให้เห็นได้ง่ายๆ ในกรณีนี้

เพื่อแสดงให้เห็นถึงการลู่เข้าของ${\displaystyle \ I\ ,}$สำหรับ${\displaystyle \ \Re (z)>0\ }$ อนุญาต

${\displaystyle g_{T}(z)\equiv \int _{0}^{T}f(t)\ e^{-zt}\operatorname {d} t\quad }$และ${\displaystyle \quad g(z)\equiv \int _{0}^{\infty }f(t)\ e^{-zt}\operatorname {d} t\quad }$ที่ไหน${\displaystyle \quad f(t)\equiv {\frac {\ \vartheta (e^{t})\ }{e^{t}}}-1\ }$

แล้ว

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)~=~g(z)~=~{\frac {\ \Phi (s)\ }{s}}-{\frac {1}{\ s-1\ }}\qquad {\text{where}}\quad z\equiv s-1\ }$

ซึ่งเท่ากับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเส้นตรง${\displaystyle \ \Re (z)=0~.}$

การลู่เข้าของอินทิกรัล${\displaystyle \ I\ ,}$และด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีบท PNT จึงได้รับการพิสูจน์โดยการแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle \ \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)~=~g(0)~.}$ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนลำดับของลิมิต เนื่องจากสามารถเขียนได้ดังนี้${\textstyle \ \lim _{T\to \infty }\ \lim _{z\to 0}g_{T}(z)~=~\lim _{z\to 0}\ \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)\ }$และด้วยเหตุนี้จึงถูกจัดว่าเป็นทฤษฎีบทแบบทอเบอเรียน

ความแตกต่าง${\displaystyle \ g(0)-g_{T}(0)\ }$แสดงออกมาโดยใช้สูตรอินทิกรัลของโคชีแล้วจึงแสดงให้เห็นว่ามีค่าเล็กเมื่อค่ามีขนาดใหญ่${\displaystyle \ T\ }$โดยการประมาณค่าอินทิกรัล: ตรึง${\displaystyle \ R>0\ }$และ${\displaystyle \ \delta >0\ }$ดังนั้น${\displaystyle \ g(z)\ }$เป็นโฮโลมอร์ฟิกในบริเวณที่${\displaystyle \ |z|\leq R~}$และ${\displaystyle ~\Re (z)\geq -\delta \ ,}$และปล่อยให้${\displaystyle \ C\ }$ให้ 0 เป็นขอบเขตของบริเวณนั้น เนื่องจาก0อยู่ภายในบริเวณนั้นสูตรปริพันธ์ของโคชีจึงให้ ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)~=~{\frac {1}{\ 2\pi i\ }}\int _{C}{\bigl (}\ g(z)-g_{T}(z)\ {\bigr )}\ {\frac {\ \operatorname {d} z\ }{z}}~=~{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\bigl (}\ g(z)-g_{T}(z)\ {\bigr )}\ F(z)\ {\frac {\ \operatorname {d} z\ }{z}}\ }$

ที่ไหน${\displaystyle \ F(z)\equiv e^{zT}\left(1+{\frac {\;z^{2}\ }{\;R^{2}\ }}\right)\ }$คือปัจจัยที่นิวแมนนำเสนอ ซึ่งไม่ทำให้ค่าอินทิกรัลเปลี่ยนแปลงไป เนื่องจาก${\displaystyle \ F\ }$ทั้งหมดและ​${\displaystyle \ F(0)=1~.}$

ในการประมาณค่าอินทิกรัล ให้ตัดเส้นโค้ง${\displaystyle \ C\ }$แบ่งออกเป็นสองส่วน${\displaystyle \ C=C_{+}+C_{-}\ }$ที่ไหน${\displaystyle \ C_{+}\equiv C\cap \left\{z\ \vert \ \Re (z)>0\right\}\ }$และ${\displaystyle \ C_{-}\equiv C\cap \left\{z\ \vert \ \Re (z)\leq 0\right\}~.}$แล้ว

${\displaystyle \ g(0)-g_{T}(0)~~=~~\int _{C_{+}}\int _{T}^{\infty }H(t,z)\operatorname {d} t\ \operatorname {d} z~~-~\int _{C_{-}}\int _{0}^{T}H(t,z)\operatorname {d} t\operatorname {d} z~~+~\int _{C_{-}}g(z)\ F(z){\frac {\operatorname {d} z}{\ 2\pi iz\ }}\ ,}$

ที่ไหน${\displaystyle \ H(t,z)\equiv f(t)\ e^{-tz}{\frac {F(z)}{\ 2\pi i\ }}~.}$โปรดทราบว่า${\displaystyle \ {\frac {\ \vartheta (x)\ }{x}}\ ,}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle \ f(t)\ ,}$มีขอบเขต ดังนั้นให้${\displaystyle \ B\ }$ควรมีขีดจำกัดสูงสุดบางอย่าง:${\displaystyle \ B\geq {\bigl |}f(t){\bigr |}~.}$

ขอบเขตนี้ เมื่อรวมกับการประมาณการแล้ว${\displaystyle \ \left|F\right|\ \leq \ 2\ \exp \!{\Bigl (}T\ \Re (z){\Bigr )}{\frac {\ \left|\Re (z)\right|\ }{R}}\ }$สำหรับ${\displaystyle \ |z|=R\ ,}$เมื่อรวมกันแล้วจะได้ว่าค่าสัมบูรณ์ของปริพันธ์แรกจะต้องเป็น${\displaystyle \ \leq {\frac {\ B\ }{R}}~.}$อินทิกรัลเหนือ${\displaystyle \ C_{-}\ }$ในปริพันธ์ที่สองนั้นเป็นปริพันธ์ทั้งหมดดังนั้นโดยทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีเส้นโค้งจึงเป็นปริพันธ์ทั้งหมด${\displaystyle \ C_{-}\ }$สามารถปรับเปลี่ยนให้เป็นครึ่งวงกลมที่มีรัศมีได้${\displaystyle \ R\ }$ในระนาบครึ่งซ้ายโดยไม่เปลี่ยนแปลงอินทิกรัล และเหตุผลเดียวกันกับอินทิกรัลแรกทำให้ค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลที่สองต้องเป็น${\displaystyle \ \leq {\frac {\ B\ }{R}}~.}$สุดท้ายนี้ การปล่อย${\displaystyle \ T\to \infty \ ,}$อินทิกรัลที่สามมีค่าเข้าใกล้ศูนย์เนื่องจาก${\displaystyle \ e^{zT}\ }$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle \ F\ }$เข้าใกล้ศูนย์บนเส้นโค้ง เมื่อรวมค่าประมาณทั้งสองและลิมิตเข้าด้วยกันจะได้

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }\ {\bigl |}\ g(0)-g_{T}(0)\ {\bigr |}\ \leq \ {\frac {\ 2B\ }{R}}\ ~.}$

หลักการนี้ใช้ได้กับทุกเรื่อง${\displaystyle \ R\ }$ดังนั้น${\displaystyle \ \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)\ ,}$และ PNT ก็ตามมา

ในบันทึกที่เขียนด้วยลายมือบนสำเนาบทความปี 1838 ของเขาเรื่อง " Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres " ซึ่งเขาส่งทางไปรษณีย์ให้เกาส์ ดิริชเลต์ตั้งข้อสันนิษฐาน (ในรูปแบบที่แตกต่างเล็กน้อย โดยอ้างถึงอนุกรมแทนที่จะเป็นปริพันธ์) ว่าค่าประมาณที่ดีกว่าของπ ( x ) นั้น ได้มาจากฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึมแบบออฟเซ็ตLi( x )ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

อันที่จริง อินทิกรัลนี้ชี้ให้เห็นอย่างชัดเจนถึงแนวคิดที่ว่า "ความหนาแน่น" ของจำนวนเฉพาะรอบtควรจะเป็น1 / log tฟังก์ชันนี้มีความสัมพันธ์กับลอการิทึมโดยการขยายอนุกรมเชิงเส้นกำกับ

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

ดังนั้น ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะจึงสามารถเขียนได้เป็นπ ( x ) ~ Li( x )ในความเป็นจริง ในเอกสารอื่น^{[ 17 ]}ในปี พ.ศ. 2442 เดอ ลา วัลเล ปูแซง ได้พิสูจน์ว่า

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

สำหรับค่าคงที่บวกa บางค่า โดยที่O (...)คือสัญลักษณ์Oตัวใหญ่สิ่งนี้ได้รับการปรับปรุงเป็น

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$ที่ไหน${\displaystyle A=0.2098}$[ ^{18 ]​}

ในปี 2016 ทิโมธี ทรูดเจียนได้พิสูจน์ขอบเขตบนที่ชัดเจนสำหรับความแตกต่างระหว่าง${\displaystyle \pi (x)}$และ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

สำหรับ${\displaystyle x\geq 229}$[ ^{19 ]​}

ความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และπ ( x )เป็นเหตุผลหนึ่งที่ ทำให้ สมมติฐานของรีมันน์มีความสำคัญอย่างมากในทฤษฎีจำนวน: หากได้รับการพิสูจน์แล้ว จะทำให้ได้ค่าประมาณของข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ดีกว่าที่มีอยู่ในปัจจุบันมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งHelge von Kochได้แสดงให้เห็นในปี 1901 ^{[ 20 ]}ว่าหากสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง พจน์ข้อผิดพลาดในความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถปรับปรุงได้เป็น

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

(การประมาณค่าครั้งสุดท้ายนี้เทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์) ค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องกับ สัญกรณ์ O ขนาดใหญ่ ได้รับการประมาณค่าในปี พ.ศ. 2519 โดยLowell Schoenfeld ^{[ 21 ]}โดยสมมติสมมติฐานของรีมันน์:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

สำหรับทุกx ≥ 2657เขายังได้กำหนดขอบเขตที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะของเชบิเชฟψด้วย

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

สำหรับx ≥ 73.2  ทั้งหมด ขอบเขตหลังนี้ได้รับการแสดงให้เห็นว่าแสดงถึงความแปรปรวนต่อกฎกำลังเฉลี่ย(เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันสุ่มเหนือจำนวนเต็ม) และสัญญาณรบกวน 1/ fและยังสอดคล้องกับการแจกแจงปัวซงแบบผสมของทวีดี (การแจกแจงทวีดีแสดงถึงตระกูลของ การแจกแจง ที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วนซึ่งทำหน้าที่เป็นจุดโฟกัสของการบรรจบกันสำหรับการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง^{[ 22 ]} ) ขอบเขตล่างยังได้มาจากJE Littlewoodโดยสมมติสมมติฐานของรีมันน์: ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} 

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}=\Omega \left({\sqrt {x}}{\frac {\log \log \log x}{\log x}}\right)}$

อินทิกรัลลอการิทึมli( x ) มี ค่ามากกว่าπ ( x )สำหรับค่าx ที่ "เล็ก" เนื่องจาก (ในแง่หนึ่ง) มันไม่ได้นับจำนวนเฉพาะ แต่กำลังของจำนวนเฉพาะ โดยกำลังpnของจำนวนเฉพาะ^pจะถูกนับเป็น1 / nของจำนวนเฉพาะ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าli( x )ควรจะมีค่ามากกว่า π ( x )ประมาณ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,}$และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ควรมีค่ามากกว่าπ ( x ) เสมอ อย่างไรก็ตาม ในปี ค.ศ. 1914 ลิตเติลวูดได้พิสูจน์ว่า${\displaystyle \ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\ }$เปลี่ยนเครื่องหมายบ่อยอย่างไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 23 ]} ค่าแรกของxที่π ( x )เกินli( x )น่าจะอยู่ที่ประมาณx ~ 10³¹⁶ ; ดูบทความเกี่ยวกับเลขสกิวส์สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม (ในทางกลับกันอินทิกรัลลอการิทึมชดเชยLi( x )มีค่าน้อยกว่า π ( x )แล้วสำหรับ x = 2; อันที่จริงLi(2) = 0ในขณะที่ π (2) = 1)

ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์บางคน (โดยเฉพาะGH Hardy ) เชื่อว่ามีลำดับชั้นของวิธีการพิสูจน์ในคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับชนิดของตัวเลข ( จำนวนเต็มจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อน) ที่การพิสูจน์ต้องการ และทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (PNT) เป็นทฤษฎีบทที่ "ลึกซึ้ง" เนื่องจากต้องใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อน^{[ 9 ]} ความเชื่อนี้สั่นคลอนบ้างจาก การพิสูจน์ PNT โดยอาศัยทฤษฎีบททอเบอเรียนของ Wienerแม้ว่าการพิสูจน์ของ Wiener จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันซีตาของ Riemann บนเส้นตรงในที่สุด${\displaystyle Re(s)=1}$ซึ่งจำเป็นต้องใช้การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน

ในเดือนมีนาคม ค.ศ. 1948 อัตเล เซลเบิร์กได้พิสูจน์สูตรเชิงเส้นกำกับ โดยใช้วิธี "พื้นฐาน"

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

ที่ไหน

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

for primes p.^[11] By July of that year, Selberg and Paul Erdős^[12] had each obtained elementary proofs of the PNT, both using Selberg's asymptotic formula as a starting point.^[9][26] These proofs effectively laid to rest the notion that the PNT was "deep" in that sense, and showed that technically "elementary" methods were more powerful than had been believed to be the case. On the history of the elementary proofs of the PNT, including the Erdős–Selberg priority dispute, see an article by Dorian Goldfeld.^[9]

There is some debate about the significance of Erdős and Selberg's result. There is no rigorous and widely accepted definition of the notion of elementary proof in number theory, so it is not clear exactly in what sense their proof is "elementary". Although it does not use complex analysis, it is in fact much more technical than the standard proof of PNT. One possible definition of an "elementary" proof is "one that can be carried out in first-order Peano arithmetic." There are number-theoretic statements (for example, the Paris–Harrington theorem) provable using second order but not first-order methods, but such theorems are rare to date. Erdős and Selberg's proof can certainly be formalized in Peano arithmetic, and in 1994, Charalambos Cornaros and Costas Dimitracopoulos proved that their proof can be formalized in a very weak fragment of PA, namely IΔ + exp.^[27] However, this does not address the question of whether or not the standard proof of PNT can be formalized in PA.

A more recent "elementary" proof of the prime number theorem uses ergodic theory, due to Florian Richter.^[28] The prime number theorem is obtained there in an equivalent form that the Cesàro sum of the values of the Liouville function is zero. The Liouville function is ${\displaystyle (-1)^{\omega (n)}}$ where ${\displaystyle \omega (n)}$ is the number of prime factors, with multiplicity, of the integer ${\displaystyle n}$. Bergelson and Richter (2022) then obtain this form of the prime number theorem from an ergodic theorem which they prove:

Let ${\displaystyle X}$ be a compact metric space, ${\displaystyle T}$ a continuous self-map of ${\displaystyle X}$, and ${\displaystyle \mu }$ a ${\displaystyle T}$-invariant Borel probability measure for which ${\displaystyle T}$ is uniquely ergodic. Then, for every ${\displaystyle f\in C(X)}$,

$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \int _{X}f\,d\mu ,\quad \forall x\in X.}$$

ทฤษฎีบทเออร์โกดิกนี้ยังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะแบบ "อ่อน" ได้ เช่น ทฤษฎีบทพิลไล-เซลเบิร์กและทฤษฎีบทเออร์โดส-เดอลังจ์

ในปี พ.ศ. 2548 Avigad และคณะได้ใช้โปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบท Isabelleเพื่อคิดค้นรูปแบบที่ได้รับการตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์ของบทพิสูจน์ Erdős–Selberg ของ PNT ^{[ 29 ]}นี่เป็นบทพิสูจน์ PNT ที่ได้รับการตรวจสอบด้วยเครื่องจักรเป็นครั้งแรก Avigad เลือกที่จะทำให้บทพิสูจน์ Erdős–Selberg เป็นทางการมากกว่าที่จะเป็นแบบวิเคราะห์ เพราะในขณะที่ไลบรารีของ Isabelle ในขณะนั้นสามารถนำแนวคิดของลิมิต อนุพันธ์ และฟังก์ชันอดิศัย มาใช้ได้ แต่แทบไม่มีทฤษฎีการอินทิเกรตเลย^{[ 29 ] : 19}

ในปี 2009 จอห์น แฮร์ริสันใช้HOL Lightเพื่อทำให้การพิสูจน์โดยใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นทางการ [ ^{30 ] ด้วย}การพัฒนาเครื่องมือวิเคราะห์ที่จำเป็น รวมถึงสูตรอินทิกรัลของโคชีแฮร์ริสันจึงสามารถทำให้ "การพิสูจน์ที่ตรงไปตรงมา ทันสมัย ​​และสง่างาม แทนที่จะใช้ข้อโต้แย้ง Erdős–Selberg 'พื้นฐาน' ที่ซับซ้อนกว่า" เป็นทางการได้

ให้π ( x )แทนจำนวนของจำนวนเฉพาะในลำดับเลขคณิตa , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ...ที่น้อยกว่าx Dirichlet และ Legendre ตั้งข้อสันนิษฐาน และ de la Vallée Poussin พิสูจน์ว่า ถ้าaและdเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันแล้ว

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,}$

โดยที่φคือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนเฉพาะจะกระจายอย่างสม่ำเสมอในชั้นเศษเหลือ[ a ] ​​มอดูล dโดยมีgcd( a , d ) = 1 ซึ่งแข็งแกร่งกว่าทฤษฎีบทของ Dirichlet เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต (ซึ่งระบุเพียงว่ามีจำนวนเฉพาะอนันต์ในแต่ละชั้น) และสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีการที่คล้ายกันกับที่ Newman ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะของเขา^{[ 31 ]}

ทฤษฎีบท ซีเกล-วาลฟิซให้ค่าประมาณที่ดีสำหรับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะในกลุ่มเศษเหลือ

Bennett และคณะ^{[ 32 ]} พิสูจน์การประมาณค่าต่อไปนี้ที่มีค่าคงที่AและB ที่ชัดเจน (ทฤษฎีบท 1.3): ให้d${\displaystyle \geq 3}$ให้ d เป็นจำนวนเต็ม และให้aเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกับdแล้วจะมีค่าคงที่บวกAและBอยู่จริง โดยที่

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,}$

ที่ไหน

${\displaystyle A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,}$

และ

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .}$

การแข่งขันจำนวนเฉพาะ

แม้ว่าเราจะมีโดยเฉพาะ

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x)\ ,}$

จากประสบการณ์ จำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ 3 มีจำนวนมากกว่าและมักจะนำหน้าในการ "แข่งขันจำนวนเฉพาะ" นี้เสมอ การกลับทิศทางครั้งแรกเกิดขึ้นที่x = 26861 [ ^{33 ] : 1–2อย่างไรก็ตาม}ลิตเติลวูดแสดงให้เห็นในปี พ.ศ. 2457 ^{[ 33 ] : 2}ว่ามีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเป็นอนันต์สำหรับฟังก์ชัน

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

ดังนั้นการนำในการแข่งขันจึงสลับไปมาอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ปรากฏการณ์ที่π ( x )นำหน้าอยู่เกือบตลอดเวลาเรียกว่าอคติของเชบิเชฟการแข่งขันจำนวนเฉพาะขยายไปสู่โมดูลัสอื่นๆ และเป็นหัวข้อของการวิจัยมากมายPál Turánถามว่าπ ( x )และπ ( x )สลับตำแหน่งกันเสมอหรือไม่เมื่อaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับc ^{[ 34} ] Granville และ Martin ให้คำ ^{อธิบาย}และการสำรวจอย่างละเอียด^{[ 33 ]}

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการกระจายตัวของหลักสุดท้ายของจำนวนเฉพาะ ยกเว้น 2 และ 5 จำนวนเฉพาะทั้งหมดจะลงท้ายด้วย 1, 3, 7 หรือ 9 ทฤษฎีบทของ Dirichlet ระบุว่าในทางอนุกรมวิธาน 25% ของจำนวนเฉพาะทั้งหมดจะลงท้ายด้วยหลักทั้งสี่นี้ อย่างไรก็ตาม หลักฐานเชิงประจักษ์แสดงให้เห็นว่า สำหรับขีดจำกัดที่กำหนด มีแนวโน้มที่จะมีจำนวนเฉพาะที่ลงท้ายด้วย 3 หรือ 7 มากกว่าที่ลงท้ายด้วย 1 หรือ 9 เล็กน้อย (อคติของ Chebyshev รุ่นหนึ่ง) ^{[ 35 ]}ซึ่งส่งผลให้ 1 และ 9 เป็นเศษเหลือกำลังสองโมดูล 10 และ 3 และ 7 เป็นเศษเหลือที่ไม่ใช่กำลังสองโมดูล 10

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะเป็น ผลลัพธ์ เชิงอะซิมโทติกมันให้ ขอบเขต ที่ไม่มีประสิทธิภาพสำหรับπ ( x )ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากนิยามของลิมิต: สำหรับทุกε > 0จะมีSอยู่ตัวหนึ่งที่ทำให้สำหรับทุกx > S

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.}$

อย่างไรก็ตาม ขอบเขตที่ดีกว่าสำหรับπ ( x )เป็นที่รู้จัก เช่นขอบเขตของPierre Dusart

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

อสมการแรกเป็นจริงสำหรับx ≥ 599 ทั้งหมด และอสมการที่สองเป็นจริงสำหรับx ≥ 355991 ^{[ 36 ]}

การพิสูจน์โดยเด อลา วัลเล ปูแซง บ่งชี้ถึงขอบเขตต่อไปนี้: สำหรับทุกε > 0จะมีS อยู่ ตัวหนึ่งซึ่งสำหรับทุกx > S

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.}$

ค่าε = 3ให้ขอบเขตที่อ่อนแอแต่บางครั้งก็มีประโยชน์สำหรับx ≥ 55 : ^{[ 37 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.}$

ในวิทยานิพนธ์ของ Pierre Dusart มีเวอร์ชันที่แข็งแกร่งกว่าของความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้ที่ใช้ได้สำหรับx ที่ใหญ่กว่า ต่อมาในปี 2010 Dusart ได้พิสูจน์ว่า: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

โปรดทราบว่าข้อแรกนี้ทำให้ เงื่อนไข ε > 0บนขอบล่างนั้นไม่จำเป็นอีกต่อไป

จากทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ทำให้ได้นิพจน์เชิงอะซิมโทติกสำหรับ จำนวนเฉพาะลำดับที่ nซึ่งเขียนแทนด้วยp :

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$^{[ 39 ]}

การประมาณค่าที่ดีกว่าคือโดยCesàro (1894): ^{[ 40 ]}

${\displaystyle p_{n}=nB_{2}(\log n),{\text{ where}}}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x+\log x-1+{\frac {\log x-2}{x}}-{\frac {(\log x)^{2}-6\log x+11}{2x^{2}}}+o\left({\frac {1}{x^{2}}}\right).}$

เมื่อพิจารณาอีกครั้ง2 × 10จำนวนเฉพาะลำดับที่¹⁷8 512 677 386 048 191 063โดยสมมติว่าค่าความคลาดเคลื่อนสุดท้ายเป็นศูนย์ จะได้ค่าประมาณของ8 512 681 315 554 715 386 ; ตัวเลข 5 หลักแรกตรงกัน และค่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์อยู่ที่ประมาณ 0.46 ส่วนต่อล้าน

Cipolla (1902) ^{[ 41 ] [ 42 ]}แสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้เป็นพจน์นำของอนุกรมอนันต์ซึ่งอาจถูกตัดทอนที่ระดับใดก็ได้ด้วย

${\displaystyle B_{k}(x)=x+\log x-1-\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}{\frac {P_{i}(\log x)}{ix^{i}}}+O\left({\frac {(\log x)^{k+1}}{x^{k+1}}}\right),}$

โดยที่ P แต่ละอันเป็นพหุนามเอกพจน์ดีกรีi ( P ( y ) = y − 2 , P ( y ) = y ² − 6 y + 11 , P ( y ) = y ³ − ⁠ 21 / 2 ⁠ y ² + 42 y + ⁠ 131 / 2 ⁠และอื่นๆ^{[ 42 ]} )

ทฤษฎีบทของ Rosser ^{[ 37 ]}ระบุว่า

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Dusart (1999). ^{[ 43 ]}พบขอบเขตที่แน่นขึ้นโดยใช้รูปแบบของการประมาณค่า Cesàro/Cipolla แต่เปลี่ยนแปลงพจน์คงที่ลำดับ ต่ำสุด B ( x ; C )เป็นฟังก์ชันเดียวกันกับข้างต้น แต่แทนที่พจน์คงที่ลำดับต่ำสุดด้วยพารามิเตอร์C :

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}\;&>\;nB_{0}(\log n;1)&&{\text{for }}n\geq 2,{\text{ and}}\\p_{n}\;&<\;nB_{0}(\log n;0.9484)&&{\text{for }}n\geq 39017,{\text{ where}}\\B_{0}(x;C)\;&=\;x+\log x-C.\\p_{n}\;&>\;nB_{1}(\log n;2.25)&&{\text{for }}n\geq 2,{\text{ and}}\\p_{n}\;&<\;nB_{1}(\log n;1.8)&&{\text{for }}n\geq 27076,{\text{ where}}\\B_{1}(x;C)\;&=\;x+\log x-1+{\frac {\log x-C}{x}}.\end{aligned}}}$

ขอบเขตบนสามารถขยายไปยังn ที่เล็กกว่าได้ โดยการคลายพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่นp < n B (log n ; 0.5)สำหรับn ≥ 20ทั้งหมด^{[ 44 ]}

Axler (2019) ^{[ 44 ]}ขยายสิ่งนี้ไปสู่ลำดับที่สูงขึ้น โดยแสดงให้เห็นว่า:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}\;&>\;nB_{2}(\log n;11.321)\quad {\text{for }}n\geq 2,{\text{ and }}\\p_{n}\;&<\;nB_{2}(\log n;10.667)\quad {\text{for }}n\geq 46\,254\,381,{\text{ where}}\\B_{2}(x;C)\;&=\;x+\log x-1+{\frac {\log x-2}{x}}-{\frac {(\log x)^{2}-6\log x+C}{2x^{2}}}.\end{aligned}}}$

อีกครั้งหนึ่ง ขอบเขตของn อาจลดลง ได้โดยการคลายพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่นp < n B (log n ; 0)สำหรับn ≥ 3468

ตารางนี้เปรียบเทียบค่าที่แน่นอนของπ ( x )กับค่าประมาณสองค่าคือx /log xและli( x ) คอลัมน์ผลต่างของค่าประมาณจะปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด แต่คอลัมน์ " % ข้อผิดพลาด" จะคำนวณจากค่าประมาณที่ไม่ปัดเศษ คอลัมน์สุดท้ายx / π ( x )คือค่าเฉลี่ยของช่องว่างจำนวนเฉพาะที่ต่ำกว่าx 

x	π ( x )	π ( x ) − ⁠ x / log( x ) ⁠	li( x ) − π ( x )	% ข้อผิดพลาด		⁠ x / π ( x ) ⁠
				x / log ( x )​	li( x )
10	4	0	2	8.22%	42.606%	2,500
10 2	25	3	5	14.06%	18.597%	4,000
10 3	168	23	10	14.85%	5.561%	5.952
10 4	1,229	143	17	12.37%	1.384%	8.137
10 5	9,592	906	38	9.91%	0.393%	10.425
10 6	78,498	6,116	130	8.11%	0.164%	12.739
10 7	664,579	44,158	339	6.87%	0.051%	15.047
10 8	5,761,455	332,774	754	5.94%	0.013%	17.357
10 9	50,847,534	2,592,592	1,701	5.23%	3.34 × 10 −3  %	19.667
10 10	455,052,511	20,758,029	3,104	4.66%	6.82 × 10 −4  %	21.975
10 11	4,118,054,813	169,923,159	11,588	4.21%	2.81 × 10 −4  %	24.283
10 12	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	3.83%	1.02 × 10 −4  %	26.590
10 13	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	3.52%	3.14 × 10 −5  %	28.896
10 14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	3.26%	9.82 × 10 −6  %	31.202
10 15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	3.03%	3.52 × 10 −6  %	33.507
10 16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	2.83%	1.15 × 10 −6  %	35.812
10 17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	2.66%	3.03 × 10 −7  %	38.116
10 18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	2.51%	8.87 × 10 −8  %	40.420
10 19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	2.36%	4.26 × 10 −8  %	42.725
10 20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	2.24%	1.01 × 10 −8  %	45.028
10 21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	2.13%	2.82 × 10 −9  %	47.332
10 22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	2.03%	9.59 × 10 −10  %	49.636
10 23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	1.94%	3.76 × 10 −10  %	51.939
10 24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	1.86%	9.31 × 10 −11  %	54.243
10 25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	1.78%	3.21 × 10 −11  %	56.546
10 26	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	1.71%	9.17 × 10 −12  %	58.850
10 27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	1.64%	3.11 × 10 −12  %	61.153
10 28	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	1.58%	9.05 × 10 −13  %	63.456
10 29	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	1.53%	2.99 × 10 −13  %	65.759

ค่าของπ (10 ²⁴ )เดิมทีคำนวณโดยสมมติสมมติฐานของรีมันน์^{[ 45 ]}ซึ่งได้รับการตรวจสอบแล้วโดยไม่มีเงื่อนไข^{[ 46 ]}

มีทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ซึ่งอธิบายถึง "การกระจาย" ของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บนฟิลด์จำกัดรูปแบบของมันคล้ายคลึงกับกรณีของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะแบบคลาสสิกอย่างมาก

กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เป็นจำนวนของพหุนามเอกลักษณ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บน F ซึ่งมีดีกรีเท่ากับnนั่นคือ เรากำลังพิจารณาพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ที่เลือกมาจากFซึ่งไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าได้ ในบริบทนี้ พหุนามเหล่านี้มีบทบาทเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากพหุนามเอกลักษณ์อื่นๆ ทั้งหมดสร้างขึ้นจากผลคูณของพหุนามเหล่านี้ จากนั้นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

ถ้าเราแทนค่าx = q ⁿลงไป ด้านขวามือก็จะเป็นเพียงแค่...

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

ซึ่งทำให้การเปรียบเทียบชัดเจนยิ่งขึ้น เนื่องจากมีพหุนามเอกลักษณ์ดีกรีn อยู่ qn ^ตัว (รวมถึงพหุนามที่แยกตัวประกอบได้) จึงสามารถกล่าวใหม่ได้ดังนี้: หากเลือกพหุนามเอกลักษณ์ดีกรีnมาหนึ่งตัวแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่มันจะเป็นพหุนามที่แยกตัวประกอบไม่ได้นั้นมีค่าประมาณ 1 / n 

เรายังสามารถพิสูจน์สิ่งที่คล้ายคลึงกันกับสมมติฐานของรีมันน์ได้ กล่าวคือ

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

การพิสูจน์ข้อความเหล่านี้ง่ายกว่าในกรณีคลาสสิกมาก เกี่ยวข้องกับการโต้แย้งเชิงการจัดเรียง สั้นๆ ^{[ 47 ]}ซึ่งสรุปได้ดังนี้: องค์ประกอบทุกตัวของส่วนขยายดีกรีnของFเป็นรากของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บางตัวซึ่งดีกรีdหารn ลงตัว โดยการนับรากเหล่านี้ในสองวิธีที่แตกต่างกัน จะได้ว่า

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

โดยผลรวมนั้นครอบคลุมตัวหารd ทั้งหมด ของn การผกผันโมเบียสจะให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

โดยที่μ ( k )คือฟังก์ชันโมเบียส (สูตรนี้เป็นที่รู้จักของเกาส์อยู่แล้ว) พจน์หลักเกิดขึ้นเมื่อd = n และไม่ใช่เรื่องยากที่จะหาขอบเขตของพจน์ที่เหลือ ข้อความ "สมมติฐานของรี มันน์" ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าตัวหารแท้ ที่ใหญ่ที่สุด ของn จะ ต้องไม่มากกว่าn / 2

• ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์นามธรรมสำหรับข้อมูลเกี่ยวกับการสรุปทั่วไปของทฤษฎีบท
• ทฤษฎีบทไอเดียลเฉพาะของแลนเดาสำหรับการวางนัยทั่วไปไปยังไอเดียลเฉพาะในฟิลด์จำนวนพีชคณิต
• สมมติฐานของรีมันน์