เรขาคณิตวงรีเป็นตัวอย่างของเรขาคณิตที่สัจพจน์เส้นขนาน ของยูคลิด ไม่เป็นจริง ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเรขาคณิตทรงกลมไม่มีเส้นขนานใด ๆ เนื่องจากเส้นตรงสองเส้นใด ๆ จะต้องตัดกัน อย่างไรก็ตาม ต่างจากเรขาคณิตทรงกลม ตรงที่โดยทั่วไปแล้วเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันที่จุดเดียว (แทนที่จะเป็นสองจุด) ด้วยเหตุนี้ เรขาคณิตวงรีที่กล่าวถึงในบทความนี้จึงบางครั้งเรียกว่าเรขาคณิตวงรีเดี่ยวในขณะที่เรขาคณิตทรงกลมบางครั้งเรียกว่าเรขาคณิตวงรีคู่

การปรากฏตัวของงานวิจัยเกี่ยวกับเรขาคณิตประเภทนี้ในศตวรรษที่สิบเก้าได้กระตุ้นการพัฒนาเรขาคณิตนอกยุคลิดโดยทั่วไป รวมถึงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกด้วย

เรขาคณิตวงรีมีคุณสมบัติหลายอย่างที่แตกต่างจากเรขาคณิตระนาบแบบยุคลิดคลาสสิก ตัวอย่างเช่น ผลรวมของมุม ภายใน ของสามเหลี่ยม ใดๆ จะมากกว่า 180 องศาเสมอ

เรขาคณิตวงรีสามารถได้มาจากเรขาคณิตทรงกลมโดยการระบุจุดตรงข้ามของทรงกลมให้เป็นจุดวงรีจุดเดียว เส้นวงรีจะสอดคล้องกับวงกลมใหญ่ที่ลดขนาดลงโดยการระบุจุดตรงข้าม เนื่องจากวงกลมใหญ่สองวงใดๆ ตัดกัน จึงไม่มีเส้นขนานในเรขาคณิตวงรี

ในเรขาคณิตเชิงวงรี เส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดจะต้องตัดกัน ที่จริงแล้ว เส้นตั้งฉากทุกเส้นกับเส้นตรงที่กำหนดจะตัดกันที่จุดเดียว ซึ่งเรียกว่าจุดขั้วสัมบูรณ์ของเส้นตรงนั้น

ทุกจุดจะสอดคล้องกับเส้นขั้วสัมบูรณ์ซึ่งจุดนั้นเป็นขั้วสัมบูรณ์ จุดใดๆ บนเส้นขั้วนี้จะสร้างคู่สังยุคสัมบูรณ์กับขั้ว คู่ของจุดดังกล่าวตั้งฉากกันและระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองคือ ควอดแร นต์^{[ 1 ] : 89}

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเป็นสัดส่วนกับมุมระหว่างขั้วสัมบูรณ์ของจุดทั้งสอง^{[ 1 ] : 101}

ตามที่ HSM Coxeterอธิบายไว้:

ชื่อ "วงรี" อาจทำให้เข้าใจผิดได้ มันไม่ได้หมายความถึงความเชื่อมโยงโดยตรงกับเส้นโค้งที่เรียกว่าวงรี แต่เป็นเพียงการเปรียบเทียบที่ค่อนข้างไกลตัวเท่านั้น กรวยศูนย์กลางเรียกว่าวงรีหรือไฮเปอร์โบลา ขึ้นอยู่กับว่ามันไม่มีเส้นกำกับหรือมีเส้นกำกับ สองเส้น ในทำนอง เดียวกัน ระนาบที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเรียกว่าวงรีหรือไฮเปอร์โบลา ขึ้นอยู่กับว่าเส้น แต่ละเส้นของระนาบนั้น ไม่มีจุดที่อนันต์หรือมีจุดที่อนันต์สองจุด^{[ 2 ]}

ระนาบวงรีเป็น ระนาบเชิงโปรเจกที ฟจริงที่มีเมตริกเคปเลอร์และเดซาร์กส์ใช้การฉายภาพแบบโนมอนิกเพื่อเชื่อมโยงระนาบ σ กับจุดบนซีกโลกที่สัมผัสกับระนาบนั้น โดยให้Oเป็นศูนย์กลางของซีกโลก จุดPใน σ กำหนดเส้นตรงOPที่ตัดกับซีกโลก และเส้นตรงใดๆL ⊂ σ กำหนดระนาบOLซึ่งตัดกับซีกโลกเป็นครึ่งหนึ่งของวงกลมใหญ่ซีกโลกถูกล้อมรอบด้วยระนาบที่ผ่าน O และขนานกับ σ ไม่มีเส้นตรงธรรมดาใดๆ ในσที่สอดคล้องกับระนาบนี้ แต่ จะมี เส้นตรงที่อนันต์ต่อท้ายσ แทน เนื่องจากเส้นตรงใดๆ ในส่วนขยายของ σ นี้สอดคล้องกับระนาบที่ผ่านOและเนื่องจากระนาบดังกล่าวสองระนาบใดๆ ตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านOเราจึงสรุปได้ว่าเส้นตรงสองเส้นใดๆ ในส่วนขยายจะตัดกัน จุดตัดจะอยู่ตรงที่ระนาบที่ตัดกันพบกับ σ หรือเส้นตรงที่อนันต์ ดังนั้นสัจพจน์ของเรขาคณิตเชิงฉายที่กำหนดให้เส้นตรงทุกคู่ในระนาบต้องตัดกันจึงได้รับการยืนยัน^{[ 3 ]}

เมื่อกำหนดPและQในσระยะทางวงรีระหว่างทั้งสองคือการวัดมุมPOQซึ่งโดยปกติจะวัดเป็นเรเดียนอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ได้ริเริ่มการศึกษาเรขาคณิตวงรีเมื่อเขาเขียน "เกี่ยวกับนิยามของระยะทาง" ^{[ 4 ] : 82} การริเริ่มสู่นามธรรมในเรขาคณิตนี้ได้รับการสานต่อโดยเฟลิกซ์ ไคลน์และเบอร์นาร์ด รีมันน์ซึ่งนำไปสู่เรขาคณิตนอกยุคลิดและเรขาคณิตแบบรีมันน์

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปทรงสามารถขยายหรือย่อขนาดได้เรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด และรูปทรงที่ได้จะคล้ายคลึงกัน กล่าวคือ มีมุมและสัดส่วนภายในเท่ากัน แต่ในเรขาคณิตแบบวงรีนั้นไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ในแบบจำลองทรงกลม เราจะเห็นว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ จะต้องน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของทรงกลมอย่างเคร่งครัด (เพราะจุดตรงข้ามจะถูกระบุ) ดังนั้น ส่วนของเส้นตรงจึงไม่สามารถขยายขนาดได้เรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

A great deal of Euclidean geometry carries over directly to elliptic geometry. For example, the first and fourth of Euclid's postulates, that there is a unique line between any two points and that all right angles are equal, hold in elliptic geometry. Postulate 3, that one can construct a circle with any given center and radius, fails if "any radius" is taken to mean "any real number", but holds if it is taken to mean "the length of any given line segment". Therefore any result in Euclidean geometry that follows from these three postulates will hold in elliptic geometry, such as proposition 1 from book I of the Elements, which states that given any line segment, an equilateral triangle can be constructed with the segment as its base.

Elliptic geometry is also like Euclidean geometry in that space is continuous, homogeneous, isotropic, and without boundaries. Isotropy is guaranteed by the fourth postulate, that all right angles are equal. For an example of homogeneity, note that Euclid's proposition I.1 implies that the same equilateral triangle can be constructed at any location, not just in locations that are special in some way. The lack of boundaries follows from the second postulate, extensibility of a line segment.

One way in which elliptic geometry differs from Euclidean geometry is that the sum of the interior angles of a triangle is greater than 180 degrees. In the spherical model, for example, a triangle can be constructed with vertices at the locations where the three positive Cartesian coordinate axes intersect the sphere, and all three of its internal angles are 90 degrees, summing to 270 degrees. For sufficiently small triangles, the excess over 180 degrees can be made arbitrarily small.

The Pythagorean theorem fails in elliptic geometry. In the 90°–90°–90° triangle described above, all three sides have the same length, and consequently do not satisfy ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. The Pythagorean result is recovered in the limit of small triangles.

The ratio of a circle's circumference to its area is smaller than in Euclidean geometry. In general, area and volume do not scale as the second and third powers of linear dimensions.

Note: This section uses the term "elliptic space" to refer specifically to 3-dimensional elliptic geometry. This is in contrast to the previous section, which was about 2-dimensional elliptic geometry. The quaternions are used to elucidate this space.

สามารถสร้างปริภูมิวงรีได้ในลักษณะที่คล้ายกับการสร้างปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ โดยใช้ชั้นสมมูล โดยใช้ส่วนโค้งที่มีทิศทางบนวงกลมใหญ่ของทรงกลม เช่นเดียวกับที่ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางจะมีความเท่าเทียมกันเมื่อขนานกัน มีความยาวเท่ากัน และมีทิศทางคล้ายกัน ส่วนโค้งที่มีทิศทางบนวงกลมใหญ่ก็จะมีความเท่าเทียมกันเมื่อมีความยาว ทิศทาง และอยู่บนวงกลมใหญ่เดียวกัน ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันนี้ทำให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์สามมิติและปริภูมิวงรีตามลำดับ

การเข้าถึงโครงสร้างพื้นที่วงรีทำได้ผ่านพีชคณิตเวกเตอร์ของWilliam Rowan Hamiltonโดยเขาจินตนาการถึงทรงกลมว่าเป็นโดเมนของรากที่สองของลบหนึ่ง จากนั้นสูตรของออยเลอร์ (โดยที่rอยู่บนทรงกลม) แสดงถึงวงกลมใหญ่ในระนาบที่ประกอบด้วย 1 และrจุดตรงข้ามrและ −r สอดคล้องกับวงกลมที่มีทิศทางตรงข้ามกัน ส่วนโค้งระหว่าง θ และ φ เท่ากับส่วนโค้งระหว่าง 0 และ φ − θ ในพื้นที่วงรี ความยาวส่วนโค้งน้อยกว่า π ดังนั้นส่วนโค้งจึงสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วย θ ใน [0, π) หรือ (−π/2, π/2] ^{[ 5 ]}${\displaystyle \exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$

กล่าวกันว่าค่าสัมบูรณ์หรือค่ามาตรฐานของzมีค่าเท่ากับหนึ่ง (แฮมิลตันเรียกว่าเทนเซอร์ของ z) แต่เนื่องจากrครอบคลุมทรงกลมในปริภูมิ 3 มิติ exp(θ r) จึงครอบคลุมทรงกลมในปริภูมิ 4 มิติ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทรงกลม 3 มิติเนื่องจากพื้นผิวของมันมีสามมิติ แฮมิลตันเรียกพีชคณิตของเขาว่าควอเทอร์เนียนและมันก็กลายเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์และได้รับการยกย่องอย่างรวดเร็ว ปริภูมิสี่มิติของมันพัฒนาขึ้นในพิกัดเชิงขั้วโดยที่tเป็นจำนวนจริงบวก ${\displaystyle z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.}$${\displaystyle t\exp(\theta r),}$

เมื่อทำตรีโกณมิติบนโลกหรือทรงกลมท้องฟ้าด้านของสามเหลี่ยมจะเป็นส่วนโค้งวงกลมใหญ่ ความสำเร็จครั้งแรกของควอเทอร์เนียนคือการแปลงตรีโกณมิติทรงกลมเป็นพีชคณิต^{[ 6 ]}แฮมิลตันเรียกควอเทอร์เนียนที่มีบรรทัดฐานหนึ่งว่าเวอร์เซอร์และสิ่งเหล่านี้คือจุดของปริภูมิวงรี

เมื่อ กำหนดค่า r แล้ว เวอร์เซอร์

${\displaystyle e^{ar},\quad 0\leq a<\pi }$

ก่อให้เกิดเส้นตรงวงรีระยะห่างจากถึง 1 คือaสำหรับเวกเตอร์  u ใดๆ ระยะห่างจะเป็น θ ซึ่งcos θ = ( u + u ^∗ )/2เนื่องจากนี่คือสูตรสำหรับส่วนสเกลาร์ของควอเทอร์เนียนใดๆ ${\displaystyle e^{ar}}$

การเคลื่อนที่แบบวงรีอธิบายได้ด้วยการแมปควอเทอร์เนียน

${\displaystyle q\mapsto uqv,}$โดยที่uและvเป็นเวกเตอร์คงที่

ระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ จะเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดภาพของการเคลื่อนที่แบบวงรี ในกรณีที่uและvเป็นควอเทอร์เนียนคู่ควบซึ่งกันและกัน การเคลื่อนที่นั้นจะเป็นการหมุนในอวกาศและส่วนที่เป็นเวกเตอร์ของพวกมันคือแกนการหมุน ในกรณีที่u = 1การเคลื่อนที่แบบวงรีนี้เรียกว่าการแปลแบบคลิฟฟอร์ดขวา หรือพาราแท็กซีส่วนกรณีv = 1จะสอดคล้องกับการแปลแบบคลิฟฟอร์ดซ้าย

เส้นวงรีที่ลากผ่านจุด  uอาจมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace }$หรือสำหรับค่า  rที่ กำหนดไว้${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace }$

เป็นการเลื่อนคลิฟฟอร์ดทางขวาและซ้ายของ  uตามเส้นวงรีที่ผ่าน 1 พื้นที่วงรีถูกสร้างขึ้นจากS ³โดยการระบุจุดตรงข้าม^{[ 7 ]}

ปริภูมิรูปวงรีมีโครงสร้างพิเศษที่เรียกว่าเส้นขนานคลิฟฟอร์ดและพื้นผิวคลิฟฟอร์ด

จุดเวอร์เซอร์ของปริภูมิวงรีจะถูกแมปโดยการแปลงเคย์ลีย์ไปยังการแสดงปริภูมิในรูปแบบอื่น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

แบบจำลองไฮเปอร์สเฟียร์เป็นการขยายแบบจำลองทรงกลมไปยังมิติที่สูงกว่า จุดในปริภูมิวงรีnมิติ คือคู่ของเวกเตอร์หน่วย( x , −x )ใน Rn + ^{1ซึ่ง}ก็คือคู่ของจุดตรงข้ามบนพื้นผิวของลูกบอลหน่วยในปริภูมิ n+1 มิติ ( ไฮ เปอร์ สเฟี ย ร์ nมิติ) เส้นในแบบจำลองนี้คือวงกลมใหญ่กล่าวคือ จุดตัดของไฮเปอร์สเฟียร์กับพื้นผิวเรียบมิติnที่ผ่านจุดกำเนิด

ในแบบจำลองเชิงฉายของเรขาคณิตวงรี จุดต่างๆ ในปริภูมิเชิงฉายจริงnมิติถูกใช้เป็นจุดของแบบจำลอง แบบจำลองนี้สร้างเรขาคณิตวงรีนามธรรม หรือที่รู้จักกันในชื่อเรขาคณิตเชิงฉาย

จุดต่างๆ ใน ปริภูมิเชิงฉาย nมิติ สามารถระบุได้ด้วยเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดใน ปริภูมิ n + 1มิติ และสามารถแทนด้วยเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใน R n + 1 ได้อย่างไม่ซ้ำกันโดยเข้าใจ^{ว่า u}และλ u สำหรับส เกลาร์ λใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์  แทนจุดเดียวกัน ระยะทางถูกกำหนดโดยใช้เมตริก

${\displaystyle d(u,v)=\arccos \left({\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}}\right);}$

กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือมุมระหว่างเส้นตรงที่สอดคล้องกันในR ^{n +1}สูตรระยะห่างเป็นสูตรเอกพันธุ์ในแต่ละตัวแปร โดยที่d (λ u , μ v ) = d ( u , v )ถ้าλและμเป็นสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงกำหนดระยะห่างบนจุดต่างๆ ในปริภูมิเชิงฉายได้

คุณสมบัติที่โดดเด่นอย่างหนึ่งของเรขาคณิตเชิงวงรีแบบโปรเจคทีฟคือ สำหรับมิติคู่ เช่น ระนาบ เรขาคณิตนี้จะไม่สามารถกำหนดทิศทางได้มันลบล้างความแตกต่างระหว่างการหมุนตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาโดยการรวมเข้าด้วยกัน

แบบจำลองที่แสดงถึงปริภูมิเดียวกันกับแบบจำลองไฮเปอร์สเฟริคัลสามารถหาได้โดยใช้การฉายภาพสเตอริโอ กราฟิก ให้E ⁿแทนR ⁿ ∪ {∞}นั่นคือ ปริภูมิจริง nมิติที่ขยายโดยจุดเดียวที่อนันต์ เราอาจกำหนดเมตริกเมตริกคอร์ดัลบน E ⁿโดย

${\displaystyle \delta (u,v)={\frac {2\|u-v\|}{\sqrt {(1+\|u\|^{2})(1+\|v\|^{2})}}}}$

โดยที่uและvเป็นเวกเตอร์สองตัวใดๆ ในR ⁿและคือค่ามาตรฐานแบบยุคลิดปกติ เรายังกำหนดเพิ่มเติมอีกด้วย ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \delta (u,\infty )=\delta (\infty ,u)={\frac {2}{\sqrt {1+\|u\|^{2}}}}.}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือปริภูมิเมตริกบนE ⁿซึ่งแสดงถึงระยะทางตามคอร์ดของจุดที่สอดคล้องกันบนแบบจำลองไฮเปอร์สเฟริคัล ซึ่งมีการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งโดยการฉายภาพสเตอริโอกราฟิก เราจะได้แบบจำลองเรขาคณิตทรงกลมหากเราใช้เมตริกนี้

${\displaystyle d(u,v)=2\arcsin \left({\frac {\delta (u,v)}{2}}\right).}$

เรขาคณิตวงรีได้มาจากการระบุจุดตรงข้ามuและ− u / ‖ u ‖ ²และกำหนดให้ระยะห่างจากvไปยังจุดทั้งสองนี้เป็นค่าต่ำสุดของระยะห่างจากvไปยังจุดทั้งสองนี้

เนื่องจากเรขาคณิตวงรีทรงกลมสามารถจำลองได้ เช่น เป็นปริภูมิย่อยทรงกลมของปริภูมิยุคลิด ดังนั้น หากเรขาคณิตยุคลิดมีความสอดคล้องในตัวเอง เรขาคณิตวงรีทรงกลมก็จะมีความสอดคล้องในตัวเองเช่นกัน ด้วยเหตุนี้ จึงไม่สามารถพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานโดยอาศัยสัจพจน์อีกสี่ข้อของเรขาคณิตยุคลิดได้

Tarskiพิสูจน์ว่าเรขาคณิตยุคลิดขั้นพื้นฐานนั้นสมบูรณ์ : มีอัลกอริทึมที่สามารถแสดงให้เห็นว่าข้อเสนอทุกข้อเป็นจริงหรือเท็จได้^{[ 8 ]} (สิ่งนี้ไม่ขัดกับทฤษฎีบทของ Gödel เพราะเรขาคณิตยุคลิดไม่สามารถอธิบาย เลขคณิตในปริมาณที่เพียงพอสำหรับทฤษฎีบทนี้^{[ 9 ]} ) ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าเรขาคณิตวงรีขั้นพื้นฐานก็มีความสอดคล้องในตัวเองและสมบูรณ์เช่นกัน

• การปูกระเบื้องรูปวงรี
• การปูกระเบื้องทรงกลม

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตวงรีในวิกิมีเดียคอมมอนส์